概率论重难点

《概率论与数理统计》课程重点与难点要记

第一章：随机事件及其概率

题型一：古典概型

1．房间里有10个人，分别佩戴从1号到10号的纪念章，任选3人记录其纪念章的号码，求最小号码为5的概率，及最大号码是5的概率。

2．设袋中有5个白球，3个黑球，从袋中随机摸取4个球，分别求出下列事件的概率： 1）采用有放回的方式摸球，则四球中至少有1个白球的概率； 2）采用无放回的方式摸球，则四球中有1个白球的概率。

3．一盒子中有10件产品，其中4件次品，每次随机地取一只进行检验， 1）求第二次检验到次品的概率； 2）求第二才次检验到次品的概率。

4．在1－2000的整数中随机的取一个数，问取到的整数既不能被6整除，又不能被8整除

的概率是多少？（合理的设置事件，通过概率的性质解题也很重要） 课后习题：P16：2，3，4，5， 7，9，10，11，12，13，14 P30：8，9，10，16

题型二：利用条件概率、乘法公式及事件的独立性计算事件的概率

1。3人独立去破译一个密码，他们能译出的概率分别为1/5、1/4、1/3，问能将此密码译出的概率。

2。设口袋有2n-1只白球，2n 只黑球，一次取出n 只球，如果已知取出的球都是同一种颜色，试计算该颜色是黑色的概率。

3。设袋中装有a 只红球，b 只白球，每次自袋中任取一只球，观察颜色后放回，并同时放入m 只与所取出的那只同色的球，连续在袋中取球四次，试求第一、第二次取到红球且第三次取到白球，第四次取到红球的概率。

课后习题：P23：1，2，3，4，6，10，11 P28：1，2，4，5，6，7，9，10，12，

13

题型三：全概率与贝叶斯公式

1．在一个每题有4个备选答案的测验中，假设有一个选项是正确的，如果一个学生不知道问题的正确答案，他就作随机选择。知道正确答案的学生占参加测验者的90%，试求： （1）学生回答正确的概率；

（2）假如某学生回答此问题正确，那么他是随机猜出的概率。

2．一通讯通道，使用信号“0”和“1”传输信息。以A 记事件收到信号“1”，以B 记事件发出信号“1”。已知()0.4,(/)0.95,(/)0.90P B P A B P A B ===。 1）求收到信号“1”的概率？ 2）现已收到信号“1”，求发出信号是“1”的概率？

课后习题：P23：7，8，9，12 P31：19，26，27，28

第二章：随机变量及其分布

题型一：关于基本概念：概率分布律、分布函数、密度函数

1．一房间有三扇同样大小的窗子，其中只有一扇是打开的。有一只鸟自开着的窗子飞入了房间，它只能从开着的窗子飞出去。鸟在房间里飞来飞去，试图飞出房间。假定鸟是没有记忆的，鸟飞向各扇窗子是随机的。

1）以X 表示鸟为了飞出房间试飞的次数，求X 的分布律；

2)户主声称，他养的一只鸟是有记忆的，它飞向任一窗子的尝试次数不多于一次。以Y 表示这只聪明的鸟为了飞出房间试飞的次数。如户主所说是确实，试求Y 的分布率。 3）写出Y 的分布函数。

2．以X 表示某商店从早晨开始营业起直到第一个顾客到达的等待时间（以分钟计），X 的分布函数是：

0.41,0

()0,0x X e x F x x -⎧->=⎨≤⎩

试求：1）P （3分钟至4分钟之间）2）P （至多三分钟或至少4分钟）3）P （恰好3分钟）

4）X 的密度函数。

3．设随机变量X 的密度函数为

,01()2,120,x x f x x x ≤<⎧⎪

=-≤<⎨⎪⎩

其它

试求X 的分布函数。

课后习题：P41：1，3，4，7，8，9 P45：2，3，4，5，6 P60：6，9，11

题型二：关于六种重要的分布

1．某种型号器件的寿命X （以小时记）具有以下的概率密度

2

1000

,1000()0,

x f x x ⎧>⎪

=⎨⎪⎩其它

现有一大批此种器件（设各种器件损坏与否相互独立），任取5只，问其中至少有1只寿命

大于1500小时的概率是多少？（几种分布揉合在同一题当中，要注意分布的识别） 2．某地区18岁的女青年的血压（收缩压，mmHg 计），服从2

(110,12)N 分布，在该地区任选一18岁的女青年，测量它的血压X ，试求：1）{}105P X <2）{}100120P X ≤< 3）确定最小的x ，使{}0.05P X x >≤。

课后习题：P42：10，12，13 P53：5，6，7，11，12，13，14 题型三：关于随机变量函数()Y g X =的分布

1．设(0,1)X N ，求 1）X

Y e = 2）21Y X =+的概率密度函数。 课后习题：P59：1，2，3，4 P60：20，21

第三章：多维随机变量及其分布

题型一：二维连续型随机变量的密度函数、边缘密度函数，及X 与Y 独立性的判定。 1．设(,)X Y 在曲线2

,y x y x ==所围成的区域G 内服从均匀分布，试求

1）(,)X Y 的联合密度函数， 2）X 和Y 的边缘密度函数，

3）同时判定X 与Y 是否相互独立。

课后习题：P71：7，8，9，10

题型二：二维连续型随机变量的和分布：Z X Y =+的分布 1．设随机变量X 与Y 相互独立，其概率密度函数分别为

1,01

,0

()()0,0,0

y X Y x e y f x f y y -≤≤⎧>⎧==⎨

⎨≤⎩⎩其它

求随机变量U=X+Y 的概率密度函数。

课后习题：P86：5，6 P89：16

题型三：二维离散型随机变量的分布律及其随机变量函数的分布律的建立、边缘分布律、及X 与Y 独立性的判定。

1．将一枚硬币投掷三次，以X 表示前2次中出现H 的次数，以Y 表示3次中出现H 的次数，试求：1）（X ，Y ）的联合分布律 2）Y —X 的分布律 3）XY 的分布律

2．将一枚硬币投掷三次，以X 表示前2次中出现H 的次数，以Y 表示3次中出现H 的次数，试求：2）分别关于X 和Y 的边缘分布律 2）判定X 与Y 是否独立，并说出理由。 课后习题：P71：3，P86：2，3 P87：1，3 P89：15

第四章：随机变量的数字特征&第五章：数理统计的基础知识

题型一：关于随机变量和随机变量函数(,)Z g X Y =的期望与方差的计算 1

试求：1）E （X ） 2）D （X ） 3）E （XY ） 4）E （X －Y ）

2．设二维随机变量（X ，Y ）的概率密度为

221,1

(,)0,

x y f x y π⎧+≤⎪=⎨

⎪⎩其它

试求：1）E （X

） 2）D （

X ） 3）E （XY ） 4）E （X+Y ）

课后习题：P96：2，6，7，8，9，10，11，12，13 P104：2，4，7，8，9

第六章：参数估计&第七章：假设检验

题型一：点估计：矩估计法，极大似然估计法

1．设12,,...,n X X X 是取自总体X 服从Possion 分布，求关于未知参数λ的极大似然估计量与矩估计量。

2．设随机变量X 的概率密度为

1

,01(,)0,

x f x θ≤≤=⎪⎩其它