向量的线性关系与向量的分解

共面.若xy
0，则xe1
//
e1
, ye r
2
// ur
e2
,由向量加 uur
法的平行四边形法则可知r与x r ur uur
e1，ye2共
面，从而有r与e1，e2共面.
ur uur r
最后证明x，y由 r ur uur
e1，eu2r，r
唯一确定. uur
如果r
x ur
e1
ye2
x uur
'
e1ur
一、向量的线性组合 二、共线向量的基底
三、共面向量的基底 四、空间向量的基底
五、向量的线性关系 六、向量线性相关的条件 七、共线向量的条件
八、共面向量的条件
一、向量的线性组合
向量的加法和向量的数乘统称为向量的线性运算.
定义 1.4.1
ur uur uur 由向量 a1, a2,L , an 与实数 1, 2 ,L , n 所组成的向量
P
b
ur p
p b n(a b) na (1 n)b r
r
O a
Ma
A
因为 所以 解得 所以
a,b 不共线，
(1 m) n, m (1 n).
m (1 ) , n (1 ) .
1
1
p (1 ) a (1 ) b. 1 1
例2 证明四面体对边中点的连线交于一点，且互相
r ur uur
uur
a 1a1 2 a2 L n an ，
叫做向量的线性组合.
r
ur uur uur
r
当向量 a 是向量 a1, a2,L , an 的线性组合时，我们也说：向量 a
ur uur uur
r
可以用向量 a1, a2,L , an 线性表示.或者说，向量 a 可以分解成向量
ur uur uur a1, a2,L , an 的线性组合.
ur uur 这时 e1,e2 叫做平面上向量的基底.
ur uur
ur r uur r r ur uur
证r：因ur 为e1u，ure2不共线，所以有e1 0，e2r 0.设ur r与eu1ur，e2共面，
若r与e（1 或e2）共线，r 由ur定uur理1.4.1，有r xe1 ye2，其中
如果向量
e1,
e2
,
e3
不共面，那么空间任意向量 r
r 可以由向量 ur uur ur
e1,e2,e3 线性表示，或者说空间任意向量 r 可以分解成向量 e1,e2,e3 的线性
组合，即
r ur uur ur r xe1 ye2 ze3 ，
C
并且其中系数 x, y, z 被 ur uur ur r e1,e2,e3,r 惟一确定.
rr
证 ：若r xe，则由数乘的定义知r与e共线.
r
r r r
r ，当r与e同向时
rr 反过来，若r与e共线，取x
e
r
，
r rr r ，当r与e反向时
e
rr
则有r xe.
rr r
rr
最后证明x的唯一性.若r xe x'e，则（x x'）e 0，
rr
而r 0，所以x x'.
三、共面向量的基底
ur uur
r ur uur
定理
1.4.2
r 如果向量 e1,uer2
不共线，那么向量 uur
r
与
e1,
er2
共面的
充要条件是 ur uur
r
可以用向量
e1,
e2
线性表示，或者说向量
r
可以分解
成 e1,e2 的线性组合，即 r ur uur
ur uur
r xe1 ye2
并且系数 x, y 被 e1,e2 惟一确定.
二、共线向量的基底
rr
r
r
r
定理 1.4.1 如果向量 e 0 ，那么向量 r 与向量 e 共线的充要条件是 r
r
rr
可以用向量 e 线性表示，或者说 r 是 e 的线性组合，即
rr r xe rr 并且系数 x 被 e, r 惟一确定.
r 这时 e 称为用线性组合来表示共线向量的基底.
rr
先求 AP1用e1，e2，e3线性表示的关系式 .
联接AF，因为AP1是△AEF的中线，所以有
uuur AP1
1（AuuEur 2
uuur AF）.
又因为AF是△ACD的中线，所以又有
uuur AF
1（AuuCur 2
uuur AD）
12（euur2
uur e3）.
uuur 而AE
1 2
uuur AB
平分.
证 设四面体ABCD一组
对边AB, CD的中点E, F的连
ur
线为EF , 它的中点为P1, 其余
e3
两组对边中点连线的中点分
别为P2 , P3 ,下只需证P1, P2 , P3
三点重合就可以了.
A
D
F
P1 uur
e2
C
E ur
e1
B
取不共面的三矢量 AB e1, AC e2 , AD e3,
1 2
ur e1，
uuur 从而有AP1
14（eur1
uur e2
uur e3）.
uuuur 同理可得AP2
uuur uuuur
uuur AP3
uuur
14（eur1
uur e2
uur e3）.
所以AP1 AP2 AP3，P1，P2，P3，三点重合.
由定理1.4.1，可设OA uuur uuur uuur
xe1，OB
ye2，
B
P
所以，OP OA OB， r ur uur
r
uurE2
r
即r xe1 ye2.
e2
O
ur
e1 E1
A
r ur uur
反过来，设r
r
xe1
ye uur
2u， ur 若x，y有一个ur是uur0，
例如x 0，则r ye2u与r e2u共r 线uur，从uur而与e1，e2
y' e2 , 则
（x x' )e1 ( y y' )e2 0.
若x
ur x '，则e1
y x
y' x'
uur ur uur e2，即e1与e2共线，
与定理的假设矛盾，所以x=x'，
同理y=y'，因此x，y被唯一确定.
四、空间向量的基底
ur uur ur
r
定理 1.4.3 ur uur ur
P
E3
ur e3
r r
ur uur ur 向量 e1,e2,e3 叫做空间向量的基底.
ur E1 e1
uur
O e2
E2
B
A
解： p OM MP, p Oຫໍສະໝຸດ Baidu NP
设 MP mMB m(b a), NP nNA n(a b)
B
r
b
所以 p a m(b a) (1 m)a mb, N r
y （0 或x 0），若uuur与ur e1，ure2都不共线uu，ur 把r它们归结到共
同的起点O，并设OEi
e（i i=1，2），OP
r，过P分别作OE uuur ur uuur uur
，
2
OE1的平行线并交OuuEur1，OuEr 2u于uurA，Buur.因为OA // e1, OB // e2,