1.4向量的线性关系与向量的分解

1
1
即
p (1 ) a (1 ) b.
1
1
例2、证明四面体对边中点的连线交于一点且互相平分。
证：设四面体ABCD一组对边AB，CD的中点为E、F
EF的中点为P1，其余二组对边的中点分别为P2，P3。
下证P1，P2，P3重合。
D
如图，取不共面的三矢量
第四节 向量的线性关系与向量的分解
向量的加法和数与向量的乘法统称为向量 的线性运算。
1、线性组合：
由向量
与数量
所
组成的向量：
称为向量
的线性组合，或称向量
定理1、
定理2、
定理3、
例1、已知三角形OAB，其中OA=a，OB=b，而M，
N分别是三角形两边OA，OB上的点，且有OM=λa,
ON=μb,(0＜λ＜1,0＜μ＜1)，设AN与BM相交于P，
试把矢量OP=P分解为a,b的线性组合。 B
解：因为P=OM+MP
N
或 P=ON+NP 而 OM=λa
μb P P
O
λa M
A
MP=mMB=m(OB-OM)=m(b-λa)
而 ON=λb, NP = nNA= n(OA-ON)=n(a-μ b) 所以 P=λa+m(b λa)=λ(1m)amb （1）
a1 a2 0 b1 b2
即 λ 1P1P3+λ 2P2P3=0
但λ1+λ2≠0，知λ1，λ2不全为零，所以P1P3， P2P3共线，即P1，P2，P3三点共线。
例4、设a,b为两个不共线的矢量，证明矢量u=a1a+b1b, V=a2a+b2b共线的充要条件是
a1 a2 0 b1 b2
证：因为u,v共线的充要条件为存在不全为零的数λμ ， 使 λu+μ v =0 即(a1λ+a2μ )a+(b1λ+b2μ)b=0 因a,b不共线，即a,b线性无关，所以 a1λ+a2μ =0 b1λ+b2μ=0 又因为λ，μ不全为零，故u,v共线的充要条件为
λ1r1+λ2r2+λ3,r3=0
且λ1+λ2+λ3=0
证：设P1，P2，P3三点共线，则 P1P3，P2P3共线，
从而 P1P3，P2P3线性相关。故存在不全为零的数m,
n，使
P2
mP1P3+nP2P3=0
P3
即
m(r3-r1)+n(r3-r2)=0
由此得 mr1+nr2-(m+n)r3=0
r2 r3
e3
F
AB=e1,AC=e2,AD=e3
则
AP1

1 2
(AE

AF)
A
P1 e2 C E e1 B
1
1
而
AF
(AC AD) 2
2 (e2 e3),
1 代入得 AP1 4 (e1 e2 e3)
AE

1 2
AB

1 2
e1
同理可得
AP2

AP3
1 4
(e1

e2

e3 )
即P1，P2，P3重合。
O
r1
P1
令λ1=m,λ2=n,λ3=(m+n)，则有不全为零， 使
λ1r1+λ2r2+λ3,r3=0
且λ1+λ2+λ3=0
反之，设有不全为零的数λ1,λ2,λ3，使
λ1r1+λ2r2+λ3,r3=0
且λ1+λ2+λ3=0
根据条件不妨设 λ 3=（λ 1+λ 2）≠0， 代入上式整理得 λ1(r3-r1)+λ2 (r3-r2)=0
P=μ b+n(a μ b)=μ (1n)bna （2） 因为a,b不共线，故根据定理2及（1）（2）可得
(1 m)Βιβλιοθήκη Baidu n m (1 n)
由上方程组得
m (1 ) , n (1 ) .
1
1
所以得：
p [1 (1 )]a (1 ) b.
2、
定理6 两矢量共线的充要条件是它们线性相关。 证：设两矢量a与b，若它们线性相关，则
λa+μ b=0 (λ,μ 不全为零） 设λ≠0，则a= (μ /λ)b 若b≠0,由定理1知a,b共线； 若b=0，显然a 与b共线。
反之，设a与b共线，如果b≠0，则由定理1知 a=xb 即 axb=0
故a与b线性相关； 如果b=0，则由定理5的推论知a与b线性相关. 定理得证。
定理7 三矢量共面的充要条件是它们线性相关。
定理8 空间任意四个矢量必线性相关。 推论 空间四个以上矢量必线性相关。
例3、设OPi=ri(i=1,2,3)，试证P1，P2，P3三点共线 的充要条件是存在不全为零的数λ1,λ2,λ3,使得