计量经济学讲义——线性回归模型的异方差问题1
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(优选)线性回归模型的异方差问题
同方差的含义：每个Y值以相同的方差分布在其均值周 围，即Y偏离其均值的程度相同。
Y
＋u E(Y|X)=α+β*X
＋u ＋u
－u －u －u
Y
＋u
＋u
＋u －u
－u －u
0
X
E(Y|X)=α+β*X
同方差(homoscedasticity)
0
X
异方差(heteroscedasticity)
一元线性回归分析－回归的假定条件
y bx
一元线性回归分析－总结（最小二乘法的优良性质 ）
➢残差之和为零 e 0
➢所拟合直线通过样本散点图的重心 (x, y)
➢误差项与解释变量不相关 (e e)(x x) 0
➢a与b分别是总体回归系数的无偏估计量
E(a) E(b)
➢a与b均为服从正态分布的随机变量
2 x2 a ~ N (, (x x)2 ), b ~ N ( ,
从残差图可以看出：残差的绝对值随着销售额的 增加而增加。
尽管残差ei与扰动项ui是两个不同的概念，根据ei 的变化并不能断言ui的方差也是变化的。但是，实践 中很难观察到ui，只能利用检验ei的变动来推断ui的 变化。
问题：如何理解残差ei与扰动项ui两个概念的差 别？
9.3 异方差的后果
如果CLRM其它假设保持不变，放松同方差假定，允 许扰动项方差随观察值而异，异方差有如下后果： 1、OLS估计量仍是线性的。 2、OLS估计量仍是无偏的。 3、OLS估计量不再具有最小方差性，即不再是有效的。 4、根据常用估计OLS估计量方差的公式得到的方差通常 是有偏的，无法先验地辨别偏差是正的还是负的。如果 OLS高估了估计量的真实方差，则产生正的偏差，如果 OLS低估了估计量的真实方差，则产生负的偏差。
Y
＋u E(Y|X)=α+β*X
＋u ＋u
－u －u －u
Y
＋u
＋u
＋u －u
－u －u
0
X
E(Y|X)=α+β*X
同方差(homoscedasticity)
0
X
异方差(heteroscedasticity)
一元线性回归分析－回归的假定条件
y bx
一元线性回归分析－总结（最小二乘法的优良性质 ）
➢残差之和为零 e 0
➢所拟合直线通过样本散点图的重心 (x, y)
➢误差项与解释变量不相关 (e e)(x x) 0
➢a与b分别是总体回归系数的无偏估计量
E(a) E(b)
➢a与b均为服从正态分布的随机变量
2 x2 a ~ N (, (x x)2 ), b ~ N ( ,
从残差图可以看出：残差的绝对值随着销售额的 增加而增加。
尽管残差ei与扰动项ui是两个不同的概念，根据ei 的变化并不能断言ui的方差也是变化的。但是，实践 中很难观察到ui，只能利用检验ei的变动来推断ui的 变化。
问题：如何理解残差ei与扰动项ui两个概念的差 别？
9.3 异方差的后果
如果CLRM其它假设保持不变，放松同方差假定，允 许扰动项方差随观察值而异，异方差有如下后果： 1、OLS估计量仍是线性的。 2、OLS估计量仍是无偏的。 3、OLS估计量不再具有最小方差性，即不再是有效的。 4、根据常用估计OLS估计量方差的公式得到的方差通常 是有偏的，无法先验地辨别偏差是正的还是负的。如果 OLS高估了估计量的真实方差，则产生正的偏差，如果 OLS低估了估计量的真实方差，则产生负的偏差。
计量经济学第九章异方差
2 2
四、异方差的补救措施
（一）加权最小二乘法 1.当 2i已知时： 考虑双变量PRF，
Y i B 1 B 2 X i ui (7)
var(ui ) i2
其中，Y为被解释变量，X为解释变量。假设误差方差 对模型（７）考虑如下变换：
i
Yi B 1(
是已知的。
i
1
) B2 (
ln ei2 B1 B2 ln X i vi
2
(3)
(4)检验零假设 B 0 ，即不存在异方差。如果 ln X i 和 ln ei2 之 间是统计显著的，则拒绝零假设：不存在异方差。
例子：利用方程(2)来说明帕克检验。把从该回归方程中得到的残差 用于模型（３），得到如下结果：
ln ei2 3.412 0.938 ln salesi se (4.972)
三、异方差的诊断
与多重共线性的情况一样，并没有诊断异方差的确定办法，只能借助一 些诊断工具判断异方差的存在。主要有：
1.根据问题的性质 2.残差的图形检验
(1)残差图可以是关于观察值与残差的散点图，也可以是残 ˆ 的散点图。这些图可以帮 差与解释变量，残差与估计值 Y i 助我们判断同方差假设或者是CLRM其他假设是否满足。 例子可参见美国行业利润，销售量和R&D支出。 由该例中关于观察值与残差的散点图可以得出结论，该模 型存在异方差。 2 e (2)此外，还可以利用残差的平方 i 与观察值或解释变量或 ei2 估计值的散点图来判断是否存在异方差。一般来说， 与变量 X 之间的散点图主要有如下样式。（见下一页） 图a到图c中，图a中残差平方与X之间没有可识别的系统模 式，所以不存在异方差；而图b到图e中两者都呈现出系统 关系，所以都可能存在异方差。
四、异方差的补救措施
（一）加权最小二乘法 1.当 2i已知时： 考虑双变量PRF，
Y i B 1 B 2 X i ui (7)
var(ui ) i2
其中，Y为被解释变量，X为解释变量。假设误差方差 对模型（７）考虑如下变换：
i
Yi B 1(
是已知的。
i
1
) B2 (
ln ei2 B1 B2 ln X i vi
2
(3)
(4)检验零假设 B 0 ，即不存在异方差。如果 ln X i 和 ln ei2 之 间是统计显著的，则拒绝零假设：不存在异方差。
例子：利用方程(2)来说明帕克检验。把从该回归方程中得到的残差 用于模型（３），得到如下结果：
ln ei2 3.412 0.938 ln salesi se (4.972)
三、异方差的诊断
与多重共线性的情况一样，并没有诊断异方差的确定办法，只能借助一 些诊断工具判断异方差的存在。主要有：
1.根据问题的性质 2.残差的图形检验
(1)残差图可以是关于观察值与残差的散点图，也可以是残 ˆ 的散点图。这些图可以帮 差与解释变量，残差与估计值 Y i 助我们判断同方差假设或者是CLRM其他假设是否满足。 例子可参见美国行业利润，销售量和R&D支出。 由该例中关于观察值与残差的散点图可以得出结论，该模 型存在异方差。 2 e (2)此外，还可以利用残差的平方 i 与观察值或解释变量或 ei2 估计值的散点图来判断是否存在异方差。一般来说， 与变量 X 之间的散点图主要有如下样式。（见下一页） 图a到图c中，图a中残差平方与X之间没有可识别的系统模 式，所以不存在异方差；而图b到图e中两者都呈现出系统 关系，所以都可能存在异方差。
计量经济学课件：第五章-异方差性汇总
第五章异方差性本章教学要求：根据类型，异方差性是违背古典假定情况下线性回归模型建立的另一问题。
通过本章的学习应达到，掌握异方差的基本概念包括经济学解释，异方差的出现对模型的不良影响，诊断异方差的方法和修正异方差的方法。
经过学习能够处理模型中出现的异方差问题。
第一节异方差性的概念一、例子例1，研究我国制造业利润函数，选取销售收入作为解释变量，数据为1998年的食品年制造业、饮料制造业等28个截面数据（即n=28）。
数据如下表,其中y表示制造业利润函数，x表示销售收入（单位为亿元）。
Y对X的散点图为从散点图可以看出，在线性的基础上，有的点分散幅度较小，有的点分散幅度较大。
因此，这种分散幅度的大小不一致，可以认为是由于销售收入的影响，使得制造业利润偏离均值的程度发生了变化，而这种偏离均值的程度大小不同是一种什么现象？如何定义？如果非线性，则属于哪类非线性，从图形所反映的特征看并不明显。
下面给出制造业利润对销售收入的回归估计。
模型的书写格式为2ˆ12.03350.1044(0.6165)(12.3666)0.8547,..84191.34,152.9322213.4639,146.4905Y YX R S E FY s =+=====通过变量的散点图、参数估计、残差图，可以看到模型中（随机误差）很有可能存在一种系统性的表现。
例2，改革开放以来，各地区的医疗机构都有了较快发展，不仅政府建立了一批医疗机构，还建立了不少民营医疗机构。
各地医疗机构的发展状况，除了其他因素外主要决定于对医疗服务的需求量，而医疗服务需求与人口数量有关。
为了给制定医疗机构的规划提供依据，分析比较医疗机构与人口数量的关系，建立卫生医疗机构数与人口数的回归模型。
根据四川省2000年21个地市州医疗机构数与人口数资料对模型估计的结果如下：i iX Y 3735.50548.563ˆ+-= （291.5778） (0.644284) t =(-1.931062) (8.340265)785456.02=R 774146.02=R 56003.69=F式中Y 表示卫生医疗机构数（个），X 表示人口数量（万人）。
计量经济学-5异方差
ˆ Yi |ei| |ei|等级
9 8 6 7 5 4 1 2 3 10
di
0 -1 2 -1 -1 1 2 0 -2 -9
d
2 i
0 1 4 1 1 1 4 0 4 81
计量经济学
解：根据表中的数据， ˆ Y = 4 . 5615 − 0 . 7965 X
t
利用普通最小二乘得：
t
R
2
= 0 . 93
计量经济学
四、帕克（Pack）检验 帕克（ ）
假定σ i2与某一解释变量X k 有关 :
σ i2 = σ 2 X β e v , 或 ln(σ i2 ) = ln(σ 2 ) + β ln( X k ) + vi
i k
由于σ i2未知，以同方差假定下OLS估计得到的e i2 代替： ln(ei2 ) = α + β ln( X k ) + vi 进行回归，对β作显著性检验。若显著，则存在异方差。
且能确定影响随机项的解释变量。 且能确定影响随机项的解释变量。
计量经济学
夸特（ 五、戈德菲尔德—夸特（Goldfied-Quandt）检验 戈德菲尔德 夸特 ） G-Q检验适用于大样本、随机项的方差与某异解释变量 检验适用于大样本、 检验适用于大样本 存在正相关的情况。检验的前提条件是： 存在正相关的情况。检验的前提条件是：随机项服从正态分 无序列相关。步骤： 布；无序列相关。步骤：
计量经济学
三、异方差的后果 基于CLRM假定的 假定的OLS估计参数结果将受到影响。 估计参数结果将受到影响。 基于 假定的 估计参数结果将受到影响 1、考虑异方差性的 、考虑异方差性的OLS估计 估计 E (u i ) = σ i2 ≠ 常数 ，保留其它的 保留其它的CLRM假定， 假定， 如果假定 假定 以双变量回归模型为例，普通OLS估计为： 估计为： 以双变量回归模型为例，普通 估计为
计量经济学异方差性PPT课件
(
n
2
c
k
,
n
2
性水
c k)
平 计
，查 算统计
F分* 量
布表 。
得
临
界
值
如果
F*
F
(n
2
c
k,
n
2
c
k)
则拒绝原假设，接受备择假设，即模型中的 24 第24页/共69页
（三）检验的特点
●要求大样本 ●异方差的表现既可为递增型，也可为递减型 ●检验结果与选择数据删除的个数C的大小有关 ●只能判断异方差是否存在，在多个解释变量 的情下，对哪一个变量引起异方差的判断存在 局限。
19
第19页/共69页
二、Goldfeld-Quanadt检验
作用：检验递增性(或递减性)异方差。
基本思想：将样本分为两部分，然后分别对两个 样
本进行回归，并计算两个子样的残差平方和所构 成
的比，以此为统计量来判断是否存在异方差。
（一） 检验的前提条件
1、要求检验使用的为大样本容量。
2、除了同方差假定不成立外，其它假定均满
差。
第32页/共69页
32
（三）ARCH 检验:1 = 2 = ... = p = 0 ;
2.参数估计并计算
H1
:
不全为零
j
对原模型作OLS估计，求出残差 et ，并计算
残差平方序列 et2,et21,..., et2p ，以分别作为对 σt2 ,σt21,...,σt2p 的估计。
同的方差，所以利用分析Y与X的相关图形，可以 初略地看到Y的离散程度与X之间是否有相关关系。
如果随着X的增加，Y的离散程度为逐渐增大（或
减小）的变化趋势，则认为存在递增型（或递减
计量经济学--异方差性讲解
图1：我国税收和GDP
图2：1998年我国制造工业和利润
X-GDP Y-税收
X－销售收入 Y－销售利润
两个散点图有共同的特征，随着自变量增加，因变量也 增加，但是图2中，当X比较小时，数据点相对集中，随 着X增大，数据点变得相对分散。而图1中数据分布却没 有出现这一特征。
异方差的性质
➢经典线形回归模型的一个重要假定是同方差性：
PRF的干扰项 u i 是同方差的（homoscedastic）
即： E（ui2） 2
i 1, 2, , n (3.3.1)
➢异方差性是指，ui 的条件方差（= Yi 的条件方差）
随着X的变化而变化，用符号表示为：
E (ui2
)
2 i
(3.3.2)
Var(Yi ) Var(ui )
异方差产生的主要原因
——这就是GLS方法，得到的是GLS估计量
•模型函数形式存在设定误差 •模型中遗漏了一些重要的解释变量 •随机因素本身的影响
异方差较之 同方差更为
常见
7
异方差的具体理由
➢按照边错边改学习模型（error—learning models)，人 们的行为误差随时间而减少。
➢随着收入的增长，人们在支出和储蓄中有更大的灵活
性。在做储蓄对收入的回归中， i2与收入俱增
此时如果仍采用
计算斜率参数的方差，将会
产生估计偏误，偏误的大小取决与因子值的大小。
17
3.t检验的可靠性降低
由于异方差的存在，无法正确估计参数的方差和标 志误差，因此也影响到t检验的效果
4.模型的预测误差增大
模型的预测区间和随机误差项的方差有着紧密联 系，随着随机误差项方差的增大，模型的预测区 间也随之增大，模型的预测误差也会相应增加。
异方差问题
2. EViews等软件提供怀特异方差一致协方差矩阵的估 计量（White Heteroskedasticity-Consistence Covariance Matrix Estimator）。
3. 怀特证明了，利用稳健标准误对回归系数进行t检验 和F检验是渐进有效的（大样本情形下有效）。
...
ˆk
X
ki
2
一般情形：若假设varui
2 i
2
f
X ji
以1 f（X ji）为权数乘以因变量和解释变量（包括常变量），得到：
Yi f（X
ji）
1
1 f（X
ji）
2
X 2i f（X
ji）
...
k
Xki f（X
ji）
ui
1 f（X ji）
var
ui f（X
ji）
1 f（X
? ?
xiui xi 2
?
)=
xi2Var(ui ) (? xi 2 )2
?
=
(?
xi2
2 i
xi 2 )2
在同方差时，
该形式具有最小方差
Var( ?2 )= 2
? xi2
11
异方差的后果
一、回归系数的OLS估计量仍然满足：
1、线性
2、无偏
二、回归系数的OLS估计量不再满足有效性，也即： 在回归系数的所有线性无偏估计量中，OLS估计 量的方差不再是最小的。甚至在大样本下，也不 具备渐进有效性。
三、通常方法计算的OLS估计量的样本方差和标准 误都是有偏的和不一致的。（偏大偏小没有定 论）。因此利用通常方法计算的t值、F值或卡方 值进行假设检验都会失效。
四、模型的预测功能失效。
3. 怀特证明了，利用稳健标准误对回归系数进行t检验 和F检验是渐进有效的（大样本情形下有效）。
...
ˆk
X
ki
2
一般情形：若假设varui
2 i
2
f
X ji
以1 f（X ji）为权数乘以因变量和解释变量（包括常变量），得到：
Yi f（X
ji）
1
1 f（X
ji）
2
X 2i f（X
ji）
...
k
Xki f（X
ji）
ui
1 f（X ji）
var
ui f（X
ji）
1 f（X
? ?
xiui xi 2
?
)=
xi2Var(ui ) (? xi 2 )2
?
=
(?
xi2
2 i
xi 2 )2
在同方差时，
该形式具有最小方差
Var( ?2 )= 2
? xi2
11
异方差的后果
一、回归系数的OLS估计量仍然满足：
1、线性
2、无偏
二、回归系数的OLS估计量不再满足有效性，也即： 在回归系数的所有线性无偏估计量中，OLS估计 量的方差不再是最小的。甚至在大样本下，也不 具备渐进有效性。
三、通常方法计算的OLS估计量的样本方差和标准 误都是有偏的和不一致的。（偏大偏小没有定 论）。因此利用通常方法计算的t值、F值或卡方 值进行假设检验都会失效。
四、模型的预测功能失效。
计量经济学：第9章 异方差
误差项的方差:Var(ui ) 2 f ( xi )
权数w 1 f (xi )
原模型:Y B1 B2 X2 Bk Xk u
变换模型：
Yi f (xi )
B1
1 f (xi
)
B2
X 2i f (xi )
Bk
Xki f (xi )
ui f (xi )
Yi*
B1*
B2
X
* 2
Bk
X
* K
异方差时： 大的残差降低权数， 小残差增加权数
采用权数对残差提供的信息的重要程度作校正， 以提高估计精度——即采用WLS（加权最小 二乘法）。
19
加权最小二乘法的机理
以递增型为例。权数Wi与异方差的变异趋势相 反。Wi=1/2i。Wi使异方差经受了“压缩”和 “扩张”变为同方差。
20
异方差的修正
假定误差方差与X、X2和交叉乘积呈线性关系
回归模型Y B1 B2 X2 B3 X3 u
步骤： 1）OLS估计得残差
e12 , e22 ,, en2
2) 做辅助回归
e2
A1
A2 X 2
A3 X 3
A4
X
2 2
A5 X 32
A6 X 2 X 3
3)
检验统计量nR2
~
2 k 1
16
9.4 异方差的修正
14
3、格莱泽检验(Glejser Test)
假定误差方差与解释变量相关形式：
ei B1 B2 X i i
ei B1 B2 X i i
ei
B1 B2
1 Xi
i
步骤：
1）做OLS估计 2）对ei求绝对值 3）做辅助回归方程
计量经济学第六章异方差性
构建统一的异方差 性处理框架
未来可以构建一个统一的异方 差性处理框架，整合现有的处 理方法和技巧，为实际应用提 供更为全面和系统的指导。同 时，该框架还可以为计量经济 学的教学和研究提供便利。
THANK YOU
感谢聆听
03
异方差性对假设检验 的影响
异方差性可能导致假设检验中的t统计 量和F统计量失效，从而影响假设检 验的结论。
异方差性下的模型选择和评价
异方差性检验
在进行模型选择和评价之前，需要对异方差性进行检验。常用 的异方差性检验方法有怀特检验、布雷施-帕甘检验等。
模型选择
在存在异方差性的情况下，应选择能够处理异方差性的模型， 如加权最小二乘法（WLS）、广义最小二乘法（GLS）等。
性质
异方差性违反了经典线性回归模型的同方差假设，可能导致参数 估计量的无偏性、有效性和一致性受到影响。
产生原因及影响
模型设定误差
模型遗漏了重要变量或函数形式设定错误。
数据采集问题
观测数据的误差或异常值。
产生原因及影响
• 经济现象本身：某些经济变量之间的关系可能随时间和空间的变化而变化，导致异方差性。
等级相关系数法
计算残差绝对值与解释变量之间的等 级相关系数，若显著则表明存在异方 差性。
Goldfeld-Quandt检验法
假设条件
该检验假设异方差性以解释变量的某个值为界，将样本分为两组，且两组的方差不同。
检验步骤
首先根据假设条件将样本分组，然后分别计算两组的残差平方和，最后构造F统计量进行假设检验。
05
异方差性在计量经济学模型中的应用
异方差性对模型设定的影响
01
异方差性可能导致参 数估计量的偏误
当存在异方差性时，普通最小二乘法 （OLS）的参数估计量可能不再具有无 偏性和一致性，从而导致估计结果的偏 误。
计量经济学-第五章-异方差
若权项 t 未知，则 也未知，最小二乘估计量无 法解出。然而， t 可能是某些解释变量的函数 即
t2 f ( X t1 , X t 2 ,, X tk )
权项 1 f ( X t1 , X t 2 ,, X tk )
Xt
通常取权重为 t 1 。
第五节 案例分析
例 5.1 已知某地区的个人储蓄 Y ，可支配收入 X 的
——加权最小二乘法
第五节：案例分析
第一节 异方差的概念
1. 什么是异方差？
12 2 0 0 2 0 0 Var (u ) 0 Var (u ) 2 0 0 0 0
2 2
天津商业大学经济学院
计量经济学
授课人：田立法 教材：张晓峒《计量经济学基础（第3版）》 授课班级：金融0905、0906，信用0901 公共信箱：sd_jiliang_2011@ tianlifa
2011年10月
第五章 异方差
第一节：异方差的概念 第二节：异方差的来源与后果 第三节：异方差检验 第四节：异方差的修正方法
1.2E+11 RESID 8.0E+10
4.0E+10
6.0E+11
0.0E+00
4.0E+11 2.0E+11 0.0E+00 84 86 88 90 92 94 96 98 00 02
-4.0E+10
-8.0E+10 84 86 88 90 92 94 96 98 00 02
第二节 异方差的来源与后果
X 1* ' 11 0 0 X 1 ' X 1 ' / 1 * X 2 ' 0 21 0 X 2 ' X 2 ' / 2 X* * X T ' 0 0 T1 X T ' X T ' / T
t2 f ( X t1 , X t 2 ,, X tk )
权项 1 f ( X t1 , X t 2 ,, X tk )
Xt
通常取权重为 t 1 。
第五节 案例分析
例 5.1 已知某地区的个人储蓄 Y ，可支配收入 X 的
——加权最小二乘法
第五节：案例分析
第一节 异方差的概念
1. 什么是异方差？
12 2 0 0 2 0 0 Var (u ) 0 Var (u ) 2 0 0 0 0
2 2
天津商业大学经济学院
计量经济学
授课人：田立法 教材：张晓峒《计量经济学基础（第3版）》 授课班级：金融0905、0906，信用0901 公共信箱：sd_jiliang_2011@ tianlifa
2011年10月
第五章 异方差
第一节：异方差的概念 第二节：异方差的来源与后果 第三节：异方差检验 第四节：异方差的修正方法
1.2E+11 RESID 8.0E+10
4.0E+10
6.0E+11
0.0E+00
4.0E+11 2.0E+11 0.0E+00 84 86 88 90 92 94 96 98 00 02
-4.0E+10
-8.0E+10 84 86 88 90 92 94 96 98 00 02
第二节 异方差的来源与后果
X 1* ' 11 0 0 X 1 ' X 1 ' / 1 * X 2 ' 0 21 0 X 2 ' X 2 ' / 2 X* * X T ' 0 0 T1 X T ' X T ' / T
计量经济学——异方差
ji )
X 1i
2
f
1 (X
ji )
X 2i
k
f
1 (X
ji )
X ki
f
1 (X
ji )
i
在该模型中，存在
Var(
f
1 (X
ji
)
i
)
E(
f
1 (X
ji
)
i )2
f
(
1 X
ji
)
E(
i
)
2
2
即满足同方差性。于是可以用 OLS 估计其 参数，得到关于参数 0 , 1,, k 的无偏的、有 效的估计量。这就是加权最小二乘法，在这
(2.4.10)
即
Y* X* *
该模型具有同方差性。因为
E(N * N * ) E(D-1D-1 ) D-1E(NN )D-1
D -1 2 WD -1 D -1 2 DDD-1 2I
于是，可以用 OLS 法估计模型(2.4.10)，得
(X* X* ) -1 X* Y*
(XD -1D -1X) -1 XD -1D -1Y (XW -1X) -1 XW -1Y
所以，当模型出现异方差性时，参数OLS估计 值的变异程度增大，从而造成对Y的预测误差变 大，降低预测精度，预测功能失效。
Back
四、异方差性的检验
1、检验方法的共同思路
• 由于异方差性就是相对于不同的解释变量观测值，
随机误差项具有不同的方差。那么： 检验异方差性，也就是检验随机误差项的方差与
解释变量观测值之间的相关性。
• 同方差性假定的意义是指每个i围绕其零平均
值的变差，并不随解释变量X的变化而变化，不 论解释变量观测值是大还是小，每个i的方差保 持相同，即
计量经济学 第五章 异方差 ppt课件
OLS回归。注意，上式中要保留常数项。求辅助回归式的可决系数R2。 ③White检验的零假设和备择假设是
H0：ut不存在异方差， H1：ut存在异方差。
10
5.4 异方差检验
(2) White检验
④在同方差假设条件下，统计量
TR 2 2(5)
其中T表示样本容量，R2是辅助回归式的OLS估计的可决系数。 自由度5表示辅助回归式中解释变量项数（注意，不计算常数 项）。T R 2属于LM统计量。 ⑤判别规则是
2
1
0
-1
1
0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200
-2
-3 0
T
50
100
150
200
散点图
残差图
7
5.4 异方差检验
(1) Goldfeld-Quandt 检验
H0: ut 具有同方差， H1: ut 具有递增型异方差。
①把原样本分成两个子样本。具体方法是把成对（组）的观 测值按解释变量顺序排列，略去m个处于中心位置的观测值 （通常T 30时，取m T / 4，余下的T- m个观测值自然分成 容量相等，(T- m) / 2，的两个子样本。）
主对角线上的部分或全部元素都不为零，误差项就是自相关的。
异方差通常有三种表现形式，（1）递增型，（2）递减型，（3）条件自回
归型。 7
Байду номын сангаас
6
Y 6
4
DJ P Y
5
2
4
0
3
-2
2
-4
1
-6
0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200
-8
H0：ut不存在异方差， H1：ut存在异方差。
10
5.4 异方差检验
(2) White检验
④在同方差假设条件下，统计量
TR 2 2(5)
其中T表示样本容量，R2是辅助回归式的OLS估计的可决系数。 自由度5表示辅助回归式中解释变量项数（注意，不计算常数 项）。T R 2属于LM统计量。 ⑤判别规则是
2
1
0
-1
1
0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200
-2
-3 0
T
50
100
150
200
散点图
残差图
7
5.4 异方差检验
(1) Goldfeld-Quandt 检验
H0: ut 具有同方差， H1: ut 具有递增型异方差。
①把原样本分成两个子样本。具体方法是把成对（组）的观 测值按解释变量顺序排列，略去m个处于中心位置的观测值 （通常T 30时，取m T / 4，余下的T- m个观测值自然分成 容量相等，(T- m) / 2，的两个子样本。）
主对角线上的部分或全部元素都不为零，误差项就是自相关的。
异方差通常有三种表现形式，（1）递增型，（2）递减型，（3）条件自回
归型。 7
Байду номын сангаас
6
Y 6
4
DJ P Y
5
2
4
0
3
-2
2
-4
1
-6
0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200
-8
计量经济学第五章-异方差
由于异方差，会使得OLS估计的方差增大， 从而造成预测误差变大，降低预测精度。
可编辑ppt
5
一、参数的OLS估计仍然是线性无偏的，但不 是最小方差的估计量
1、线性性
bˆ1
= xi yi xi 2
= b1
+ xi ui xi 2
一元线性回归模型为例
2、无偏性
E( bˆ1 )=E(
b1
+
xi ui xi 2
在同方差的假定下才被证明是服从 t 分布的。 分母变大，t 值变小，t 检验也就失去意义。
三、降低预测精度
由于存在异方差，参数的OLS估计的方差增大，参数 估计值的变异程度增大，从而造成对 Y 的预测误差变大， 降低预测的精度。
可编辑ppt
7
第二节 异方差的检验
• 1、图解法 • 2、戈德菲尔德—匡特法（双变量模型） • 3、怀特检验（White） • 4、戈里瑟(Glejser)检验 • 5、帕克(Park)检验
• 二、随着收入的增长，人们有更多的备用收入，从而如何支配 他们的收入有更大的选择范围。因此，在做储蓄对收入的回归 时，很可能发现，由于人们对其储蓄行为有更多的选择，与收 入俱增。
• 三、个体户收入随时间变化。
• 四、异方差还会因为异常值的出现而产生。一个超越正常值范 围的观测值或称异常值是指和其它观测值相比相差很多（非常 小或非常大）的观测值。
)= b1+
xi E(ui xi 2
)
=
b1
3、方差
该形式不具有最小方差
Var( bˆ1 ) =
i 2
xi 2
在同方差时，
xi2 Xi2 xi 2
该形式具有最小方差
Var(
可编辑ppt
5
一、参数的OLS估计仍然是线性无偏的，但不 是最小方差的估计量
1、线性性
bˆ1
= xi yi xi 2
= b1
+ xi ui xi 2
一元线性回归模型为例
2、无偏性
E( bˆ1 )=E(
b1
+
xi ui xi 2
在同方差的假定下才被证明是服从 t 分布的。 分母变大，t 值变小，t 检验也就失去意义。
三、降低预测精度
由于存在异方差，参数的OLS估计的方差增大，参数 估计值的变异程度增大，从而造成对 Y 的预测误差变大， 降低预测的精度。
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7
第二节 异方差的检验
• 1、图解法 • 2、戈德菲尔德—匡特法（双变量模型） • 3、怀特检验（White） • 4、戈里瑟(Glejser)检验 • 5、帕克(Park)检验
• 二、随着收入的增长，人们有更多的备用收入，从而如何支配 他们的收入有更大的选择范围。因此，在做储蓄对收入的回归 时，很可能发现，由于人们对其储蓄行为有更多的选择，与收 入俱增。
• 三、个体户收入随时间变化。
• 四、异方差还会因为异常值的出现而产生。一个超越正常值范 围的观测值或称异常值是指和其它观测值相比相差很多（非常 小或非常大）的观测值。
)= b1+
xi E(ui xi 2
)
=
b1
3、方差
该形式不具有最小方差
Var( bˆ1 ) =
i 2
xi 2
在同方差时，
xi2 Xi2 xi 2
该形式具有最小方差
Var(
计量经济学异方差精品PPT资料
随机误差项的方差并不随某一个解释变量观测值 的变化而呈规律性变化，呈现复杂型。
• 一般经验，对于采用截面数据作样本的 计量经济学问题，由于不同样本点上解
释变量以外的其他因素的差异较大，所 以往往存在异方差。
二、异方差性的后果 Consequences of Using OLS in the
Presence of Heteroskedasticity
V ar(i)E(i2)e ~ i2 最 好 在 大 样 本 条 件 下 (使 2用 .4 .7)
即 用 e ~ i2来 表 示 随 机 误 差 项 的 方 差 。
从而可进一步考察其与X的相关性及其具体的形式。
( 2 1 ) X - e ~ i 2 的 散 点 图 进 行 判 断
看是否形成一斜率为零的直线
问题在于如何获得随机误差项 （从总体带来的）的方差
• 问题在于如何获得随机误差项 （从总体带 WLS估计的Eviews软件的实现
以案例1为例：由于不知ei与Xi之间具体的函数关系。
i
来的）的方差 从而可进一步考察其与X的相关性及其具体的形式。
White1980年提出。 假设6：随机项满足正态分布
一般的处理方法：
2 任 意 选 择 c 个 中 间 观 测 值 略 去 . 经 验 表 明 , 略 去 数 目 c 的 大 小 , 大 约 相 当 于
样 本 观 测 值 个 数 的 1 .剩 下 的 n c 个 观 测 值 平 均 分 成 两 组 , 每 组 观 测 值 的 个 数 为 n c.
4
2
（3）对每个子样本分别进行OLS，并分别计算各自的残差平方和。
E
X
X
1
X
X
X
X
• 一般经验，对于采用截面数据作样本的 计量经济学问题，由于不同样本点上解
释变量以外的其他因素的差异较大，所 以往往存在异方差。
二、异方差性的后果 Consequences of Using OLS in the
Presence of Heteroskedasticity
V ar(i)E(i2)e ~ i2 最 好 在 大 样 本 条 件 下 (使 2用 .4 .7)
即 用 e ~ i2来 表 示 随 机 误 差 项 的 方 差 。
从而可进一步考察其与X的相关性及其具体的形式。
( 2 1 ) X - e ~ i 2 的 散 点 图 进 行 判 断
看是否形成一斜率为零的直线
问题在于如何获得随机误差项 （从总体带来的）的方差
• 问题在于如何获得随机误差项 （从总体带 WLS估计的Eviews软件的实现
以案例1为例：由于不知ei与Xi之间具体的函数关系。
i
来的）的方差 从而可进一步考察其与X的相关性及其具体的形式。
White1980年提出。 假设6：随机项满足正态分布
一般的处理方法：
2 任 意 选 择 c 个 中 间 观 测 值 略 去 . 经 验 表 明 , 略 去 数 目 c 的 大 小 , 大 约 相 当 于
样 本 观 测 值 个 数 的 1 .剩 下 的 n c 个 观 测 值 平 均 分 成 两 组 , 每 组 观 测 值 的 个 数 为 n c.
4
2
（3）对每个子样本分别进行OLS，并分别计算各自的残差平方和。
E
X
X
1
X
X
X
X
多元线性回归异方差问题
多元线性回归异方差问
目 录
• 引言 • 异方差问题的识别 • 异方差问题的处理方法 • 异方差问题的实际应用 • 结论
01 引言
异方差问题的定义
异方差性
指回归模型中误差项的方差不恒 定，即随着解释变量的变化，误 差项的方差也会发生变化。
异方差性的来源
数据本身特性、模型设定误差、 随机误差等。
异方差问题对回归模型的影响
02
根据实际情况选择合适的权重，以使模型更加准确。
模型应用
03
将加权最小二乘法应用于多元线性回归模型中，以减少异方差
问题的影响。
04 异方差问题的实际应用
经济领域中的应用
预测经济指标
异方差问题在经济领域中常用于预测各种经济指标，如GDP、CPI、失业率等。 通过对历史数据的分析，可以建立多元线性回归模型，预测未来经济走势。
风险评估
金融机构在进行风险评估时，需要考虑各种风险因素对资产价值的影响程度。通 过解决异方差问题，可以更准确地评估风险水平，为风险管理提供依据。
医学领域中的应用
疾病预测与诊断
在医学领域中，疾病的发生和发展受到多种因素的影响，如基因、环境、生活习惯等。通过解决异方差问题，可 以建立多元线性回归模型，预测疾病的发生概率和诊断结果。
药物疗效评估
在临床试验中，药物疗效受到多种因素的影响，如患者个体差异、用药剂量等。通过解决异方差问题，可以更准 确地评估药物疗效，为新药研发提供科学依据。
05 结论
对多元线性回归模型的改进建议
使用稳健的标准误
在异方差情况下，使用稳健的 标准误（robust standard errors）可以更准确地估计回归 系数的标准误，从而更准确地 评估模型的有效性。
目 录
• 引言 • 异方差问题的识别 • 异方差问题的处理方法 • 异方差问题的实际应用 • 结论
01 引言
异方差问题的定义
异方差性
指回归模型中误差项的方差不恒 定，即随着解释变量的变化，误 差项的方差也会发生变化。
异方差性的来源
数据本身特性、模型设定误差、 随机误差等。
异方差问题对回归模型的影响
02
根据实际情况选择合适的权重，以使模型更加准确。
模型应用
03
将加权最小二乘法应用于多元线性回归模型中，以减少异方差
问题的影响。
04 异方差问题的实际应用
经济领域中的应用
预测经济指标
异方差问题在经济领域中常用于预测各种经济指标，如GDP、CPI、失业率等。 通过对历史数据的分析，可以建立多元线性回归模型，预测未来经济走势。
风险评估
金融机构在进行风险评估时，需要考虑各种风险因素对资产价值的影响程度。通 过解决异方差问题，可以更准确地评估风险水平，为风险管理提供依据。
医学领域中的应用
疾病预测与诊断
在医学领域中，疾病的发生和发展受到多种因素的影响，如基因、环境、生活习惯等。通过解决异方差问题，可 以建立多元线性回归模型，预测疾病的发生概率和诊断结果。
药物疗效评估
在临床试验中，药物疗效受到多种因素的影响，如患者个体差异、用药剂量等。通过解决异方差问题，可以更准 确地评估药物疗效，为新药研发提供科学依据。
05 结论
对多元线性回归模型的改进建议
使用稳健的标准误
在异方差情况下，使用稳健的 标准误（robust standard errors）可以更准确地估计回归 系数的标准误，从而更准确地 评估模型的有效性。
计量经济学第5章 异方差
10
~2 e i
~2 e i
X 同方差 递增异方差
X
~2 e i
~2 e i
X 递减异方差 复杂型异方差
X
11
• （二）戈德菲尔德-夸特(Goldfeld-Quandt) 检验
• 此检验方法以F检验为基础，适合于样本容量较大， 异方差为单调递增或单调递减的情况。 • 原假设为：H0:ui是同方差，即σ12=σ22=…=σn2 • 备择假设为： H1:ui是递增（或递减）异方差， 即σi2随X递增（或递减）(i=1,2,…,n) • 检验过程如下： • 1、将解释变量观测值Xi按大小的顺序排列，被解 释变量观测值Yi保持原来与解释变量的对应关系。
14
• 4、选择统计量 • 若是检验递增方差，
nc ESS2 /( k 1) ESS2 nc nc 2 F ~ F( k 1, k 1) nc 2 2 ESS1 /( k 1) ESS1 2
• 若是检验递减方差，
nc ESS1 /( k 1) ESS1 nc nc 2 F ~ F( k 1, k 1) nc 2 2 ESS2 /( k 1) ESS2 2
12
• 2、按照上述顺序排列的观测值，把位于中间的c 个删去，删去的数目c是Goldfeld-Quandt通过试 验的方法确定的。对于n≥30时，删去的中心观测 数目为整个样本数目的四分之一最合适（比如 n=30,c=8;n=60,c=16）,将剩下的(n-c)个观测值 划分为大小相等的两个子样本，每个子样本的容 量均为(n-c)/2，其中一个子样本是相应的观测值 Xi较大的部分，另一个子样本是相应的观测值Xi 较小的部分。
18
• （四）帕克（Park）检验与戈里瑟(Gleiser)检验 • 帕克检验与戈里瑟检验的基本思想是：以ei2或|ei| 为被解释变量，以原模型的某一解释变量Xj为解释 变量,建立如下方程： 2 • ei f ( X ji ) i 或 | ei | f ( X ji ) i • 选择关于变量Xj的不同的函数形式，对方程进行估 计并进行显著性检验。如果存在某一种函数形式， 使得方程显著成立，则说明原模型存在异方差性。
计量经济学讲义——线性回归模型的异方差问题1
Σx − b = y − b x n
9.3 异方差的后果
5、方差的产生是由于 σ 2 ,即∑ei2 / d. f ，不再是真实σ2的无 ˆ 偏估计量，因为在计算OLS估计量的方差时已经用了 σ 2 。 ˆ 6、建立在t分布与F分布之上的置信区间和假设检验是不可 靠的。如果沿用传统的假设检验方法，则很可能得出错误 的结论。
σ 2 ∑ x2
E (b ) = β
σ2
a与b均为服从正态分布的随机变量
a ~ N (α ,
∑ (x − x)
2
),
b ~ N (β ,
∑ (x − x)
2
)
一元线性回归分析－总结（相关系数与回归系数的差别） b与r的关系：
r＞0 ＞ b＞0 ＞
r＜0 ＜ b＜0 ＜
x y
r=0 b=0
S r = b S
ei2 = A1 + A2 X 2 i + A3 X 3 i + A4 X 22i + A5 X 32i + A6 X 2 i X 3 i + v i
3、求辅助回归方程(9.7)的R2值，在不存在异方差的原假设 下，怀特证明了从方程(9.7)中得到的R2值与样本容量(n)的 积服从χ2分布，自由度等于方程(9.7)中解释变量的个数。
9.2 异方差的性质
例9.1 美国创新研究：1988年美国研究与开发费用支出
Sales R&D 6375. 3 11626 .4 1466 5.1 2186 9.2 62.5 92.9 178. 3 258. 4
Profi t 185. 1 1596 .5 276. 8 2828 .1
Sales R&D Profit 80552 .8 95249 .0 10131 4.1 11614 1.3 6620. 1 3918. 6 1595. 3 6107. 5 1386 9.9 4487. 8 1027 8.9 8787. 3
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ndiv = 248 .8055 + 0 .206553 * Atprofits se = ( 31 .89255 )( 0 .049390 ) t = ( 7 .801368 )( 4 .182100 ) p = ( 0 . 00000 )( 0 .00060 ), R 2 = 0 .507103
Gleiser检验与Park检验存在同样的弱点。
(9.3) (9.4) (9.5)
9.4 异方差的诊断－方法4：怀特(White)检验法
Yi = B1 + B 2 X 2 i + B3 X 3 i + u i
2、做如下辅助回归： (9.6) (9.7)
1、首先用普通最小二乘法估计方程(9.6)，获得残差ei
E(Y|X)=α+β*X Y
＋u ＋u －u －u －u ＋u
0
同方差(homoscedasticity)
X 0
E(Y|X)=α+β*X
异方差(heteroscedasticity)
X
一元线性回归分析－回归的假定条件
假定5 无自相关假定，即两个误差项之间不相关。 Cov（ui,uj） = 0。
ui
9.2 异方差的性质
例9.1 美国创新研究：销售对研究与开发的影响 ^ R&D ＝ 266.2575 + 0.030878*Sales se＝(1002.963) (0.008347) t ＝(0.265471) (3.699508) p ＝(0.7940) R2 ＝ 0.461032 从回归结果可以看出： （1）随着销售额的增加，R&D也逐渐增加，即销售 额每增加一百万美元，研发相应的增加3.1 万美元。 （2）随着销售额的增加，R&D支出围绕样本回归线 的波动也逐渐变大，表现出异方差性。 (0.0019)
一元线性回归分析－总结（回归系数的计算公式）
整理得到由两个关于a、b的二元一次方程组成的方程组：
Σy = na + bΣx 2 Σxy = aΣx + bΣx
进一步整理，有：
b = a =
∑ ∑ ∑
n
xi yi x y
2 i
=
∑
(X
∑
i
− X )( Y i − Y ) (X
9.2 异方差的性质
例9.1 美国创新研究：1988年美国研究与开发费用支出
Sales R&D 6375. 3 11626 .4 1466 5.1 2186 9.2 62.5 92.9 178. 3 258. 4
Profi t 185. 1 1596 .5 276. 8 2828 .1
Sales R&D Profit 80552 .8 95249 .0 10131 4.1 11614 1.3 6620. 1 3918. 6 1595. 3 6107. 5 1386 9.9 4487. 8 1027 8.9 8787. 3
σ 2 ∑ x2
E (b ) = β
σ2
a与b均为服从正态分布的随机变量
a ~ N (α ,
∑ (x − x)
2
),
b ~ N (β ,
∑ (x − x)
2
)
一元线性回归分析－总结（相关系数与回归系数的差别） b与r的关系：
r＞0 ＞ b＞0 ＞
r＜0 ＜ b＜0 ＜
x y
r=0 b=0
S r = b S
ui
ui
uj
uj
uj
正相关
负相关
不相关
一元线性回归分析－回归的假定条件
假定6 回归模型是正确设定的，即实证分析的模型不 存在设定误差或设定错误。 假定7 在总体回归函数中，
y =α + β x+u
误差项u服从均值为0，方差为σ2的正态分布。即 u ～ N(0，σ2) 中心极限定理 独立同分布的随机变量，随着变量个 数的无限增加，其和的分布近似服从正态分布。
σˆ =
2
∑
e i2
n−2
3.2 一元线性回归分析－
普通最小二乘估计量的方差与标准误差
系数估计量的误差 ：是既然估计量是通过样本计算出来的， 因此随着样本的变化，这些估计量是存在抽样变异性的 ，其 变异性是由估计量的方差或其标注误差 来度量。
var( a ) = σ st . e ( a ) = var( b ) = σ st . e =
ei2 = A1 + A2 X 2 i + A3 X 3 i + A4 X 22i + A5 X 32i + A6 X 2 i X 3 i + v i
3、求辅助回归方程(9.7)的R2值，在不存在异方差的原假设 下，怀特证明了从方程(9.7)中得到的R2值与样本容量(n)的 积服从χ2分布，自由度等于方程(9.7)中解释变量的个数。
n ∗ R 2 ~ χ k2−1
(9.8)
9.4 异方差的诊断－方法4：怀特(White)检验法
n ∗ R 2 ~ χ k2−1
(9.8)
4、如果从方程(9.8)中得到的χ2值超过了所选显著水平的χ2 临界值，或者说计算χ2的p值很低，则拒绝原假设：不存在 异方差。p值大，则不能拒绝原假设。
9.4 异方差的诊断－方法4：怀特(White)检验法
异方差性－回归问题的引入
虽然古典线性回归模型强调了同方差假定，但在实践 中无法保证总能够满足。本章内容就是讨论同方差假 定不满足条件下，回归模型可能会出现的问题，以及 如何解决问题： 1. 异方差有什么性质？ 2. 异方差的后果是什么？ 3. 如何诊断存在异方差？ 4. 如果存在异方差，如何解决？
ei2 = − 2482 .57 + 10 .16896 * atp − 0 .00855 * atp * atp R 2 = 0 . 179238
样本容量为19，自由度为2，19*0.179238=3.41则 χ22=2.77(α=25％) < 3.41< χ22=4.61(α=10％)， 存在异方差的可能性还是较大的。
计量经济学讲义
线性回归模型的异 方差问题
9.1 一元线性回归分析－总结（一元线性回归的思想）
ˆ 总体一元线性回归方程:Y
(估计的回归方程) 样本一元线性回归方程： （一元线性回归方程）
= E (Y | X
)= α
+ βX
以样本统计量估计总体参数
ˆ y = a + bx
截距 斜率（回归系数）
ˆ y 表示总体均值 E (Y | X )的估计量， a = α 的估计量， b = β 的估计量 估计量或样本估计量是 总体参数的估计公式。
i
− X )2
Σx − b = y − b x n
一元线性回归分析－总结（最小二乘法的优良性质 ）
残差之和为零
∑e = 0
所拟合直线通过样本散点图的重心 ( x , y ) 误差项与解释变量不相关
∑ (e − e )( x − x ) = 0
a与b分别是总体回归系数的无偏估计量
E (a ) = α
(9.1)
在许多情况下，是无法知道σi2的，因此就用ei代替ui，建立 如下回归模型：
ln e = B1 + B2 * ln X i + vi
2 i
(9.2)
ei2可以从原始回归模型中得到。
9.4 异方差的诊断－方法2：帕克(R.E.Park)检验法
帕克检验步骤： Park检验的弱点在哪？ 1. 做普通最小二乘回归，不考虑异方差问题； 2. 从原始回归方程求得残差ei，并求其平方，再取对数形式； 3. 利用原始模型中得一个解释变量做形如(9.2)的回归，如果 有多个解释变量，则对每个解释变量做形如(9.2)的回归， 或者做ei2对Y估计值的回归； 4. 检验零假设B2＝0，即不存在异方差。如果lnei2和lnXi之间 是统计显著的，则拒绝零假设，表示存在异方差的可能。 5. 如果接受零假设，则回归方程中的B1可以理解为同方差 σi2的一个给定值。
9.4 异方差的诊断－方法2：帕克(R.E.Park)检验法
如果存在异方差，则异方差σi2可能与一个或多个解释变量 系统有关。是否相关，做σi2对一个或多个解释变量X的回归。 例如，在一元回归模型中进行如下回归：
lnσ i2 = B1 + B2 * ln X i + vi
其中，vi是残差项。此即为帕克检验。
2 a
=
n∑ (X
∑
σ
X
i
2 i
− X )2
•σ
2
var( a )
2 b
=
2
∑
(X
i
− X )2
σ2是误差扰 动项u的方差， 但是在多数情 况下它是未知 的。
var( b )
9.4 异方差的诊断－方法1：图形检验法
例子 不同收入阶层人群的消费状况。不同收入阶层的消 费方差很可能是不同的。 异方差的诊断方法： 1、残差的图形检验：即考虑解释变量X与误差ei之间的关系。 从例9.1看出随着Sales增大，误差ei的平方呈逐渐增大趋势。
#43;β*X
0
X
一元线性回归分析－回归的假定条件
假定4 误差扰动项u的方差为常数，即Var（u）＝σ2，称 之为同方差(homoscedasticity) 同方差的含义：每个Y值以相同的方差分布在其均值周 围，即Y偏离其均值的程度相同。 Y
＋u ＋u －u －u －u ＋u
9.4 异方差的诊断－方法3：格莱泽(Glejser)检验法
该检验方法实际上与帕克检验方法类似，从原始模型 中获得残差ei后，格莱泽所做的回归模型的方程不同，他采 取的是下列函数形式：
| ei |= B1 + B2 * X i + vi | ei |= B1 + B2 * X i + vi 1 | ei |= B1 + B2 * + vi Xi
Gleiser检验与Park检验存在同样的弱点。
(9.3) (9.4) (9.5)
9.4 异方差的诊断－方法4：怀特(White)检验法
Yi = B1 + B 2 X 2 i + B3 X 3 i + u i
2、做如下辅助回归： (9.6) (9.7)
1、首先用普通最小二乘法估计方程(9.6)，获得残差ei
E(Y|X)=α+β*X Y
＋u ＋u －u －u －u ＋u
0
同方差(homoscedasticity)
X 0
E(Y|X)=α+β*X
异方差(heteroscedasticity)
X
一元线性回归分析－回归的假定条件
假定5 无自相关假定，即两个误差项之间不相关。 Cov（ui,uj） = 0。
ui
9.2 异方差的性质
例9.1 美国创新研究：销售对研究与开发的影响 ^ R&D ＝ 266.2575 + 0.030878*Sales se＝(1002.963) (0.008347) t ＝(0.265471) (3.699508) p ＝(0.7940) R2 ＝ 0.461032 从回归结果可以看出： （1）随着销售额的增加，R&D也逐渐增加，即销售 额每增加一百万美元，研发相应的增加3.1 万美元。 （2）随着销售额的增加，R&D支出围绕样本回归线 的波动也逐渐变大，表现出异方差性。 (0.0019)
一元线性回归分析－总结（回归系数的计算公式）
整理得到由两个关于a、b的二元一次方程组成的方程组：
Σy = na + bΣx 2 Σxy = aΣx + bΣx
进一步整理，有：
b = a =
∑ ∑ ∑
n
xi yi x y
2 i
=
∑
(X
∑
i
− X )( Y i − Y ) (X
9.2 异方差的性质
例9.1 美国创新研究：1988年美国研究与开发费用支出
Sales R&D 6375. 3 11626 .4 1466 5.1 2186 9.2 62.5 92.9 178. 3 258. 4
Profi t 185. 1 1596 .5 276. 8 2828 .1
Sales R&D Profit 80552 .8 95249 .0 10131 4.1 11614 1.3 6620. 1 3918. 6 1595. 3 6107. 5 1386 9.9 4487. 8 1027 8.9 8787. 3
σ 2 ∑ x2
E (b ) = β
σ2
a与b均为服从正态分布的随机变量
a ~ N (α ,
∑ (x − x)
2
),
b ~ N (β ,
∑ (x − x)
2
)
一元线性回归分析－总结（相关系数与回归系数的差别） b与r的关系：
r＞0 ＞ b＞0 ＞
r＜0 ＜ b＜0 ＜
x y
r=0 b=0
S r = b S
ui
ui
uj
uj
uj
正相关
负相关
不相关
一元线性回归分析－回归的假定条件
假定6 回归模型是正确设定的，即实证分析的模型不 存在设定误差或设定错误。 假定7 在总体回归函数中，
y =α + β x+u
误差项u服从均值为0，方差为σ2的正态分布。即 u ～ N(0，σ2) 中心极限定理 独立同分布的随机变量，随着变量个 数的无限增加，其和的分布近似服从正态分布。
σˆ =
2
∑
e i2
n−2
3.2 一元线性回归分析－
普通最小二乘估计量的方差与标准误差
系数估计量的误差 ：是既然估计量是通过样本计算出来的， 因此随着样本的变化，这些估计量是存在抽样变异性的 ，其 变异性是由估计量的方差或其标注误差 来度量。
var( a ) = σ st . e ( a ) = var( b ) = σ st . e =
ei2 = A1 + A2 X 2 i + A3 X 3 i + A4 X 22i + A5 X 32i + A6 X 2 i X 3 i + v i
3、求辅助回归方程(9.7)的R2值，在不存在异方差的原假设 下，怀特证明了从方程(9.7)中得到的R2值与样本容量(n)的 积服从χ2分布，自由度等于方程(9.7)中解释变量的个数。
n ∗ R 2 ~ χ k2−1
(9.8)
9.4 异方差的诊断－方法4：怀特(White)检验法
n ∗ R 2 ~ χ k2−1
(9.8)
4、如果从方程(9.8)中得到的χ2值超过了所选显著水平的χ2 临界值，或者说计算χ2的p值很低，则拒绝原假设：不存在 异方差。p值大，则不能拒绝原假设。
9.4 异方差的诊断－方法4：怀特(White)检验法
异方差性－回归问题的引入
虽然古典线性回归模型强调了同方差假定，但在实践 中无法保证总能够满足。本章内容就是讨论同方差假 定不满足条件下，回归模型可能会出现的问题，以及 如何解决问题： 1. 异方差有什么性质？ 2. 异方差的后果是什么？ 3. 如何诊断存在异方差？ 4. 如果存在异方差，如何解决？
ei2 = − 2482 .57 + 10 .16896 * atp − 0 .00855 * atp * atp R 2 = 0 . 179238
样本容量为19，自由度为2，19*0.179238=3.41则 χ22=2.77(α=25％) < 3.41< χ22=4.61(α=10％)， 存在异方差的可能性还是较大的。
计量经济学讲义
线性回归模型的异 方差问题
9.1 一元线性回归分析－总结（一元线性回归的思想）
ˆ 总体一元线性回归方程:Y
(估计的回归方程) 样本一元线性回归方程： （一元线性回归方程）
= E (Y | X
)= α
+ βX
以样本统计量估计总体参数
ˆ y = a + bx
截距 斜率（回归系数）
ˆ y 表示总体均值 E (Y | X )的估计量， a = α 的估计量， b = β 的估计量 估计量或样本估计量是 总体参数的估计公式。
i
− X )2
Σx − b = y − b x n
一元线性回归分析－总结（最小二乘法的优良性质 ）
残差之和为零
∑e = 0
所拟合直线通过样本散点图的重心 ( x , y ) 误差项与解释变量不相关
∑ (e − e )( x − x ) = 0
a与b分别是总体回归系数的无偏估计量
E (a ) = α
(9.1)
在许多情况下，是无法知道σi2的，因此就用ei代替ui，建立 如下回归模型：
ln e = B1 + B2 * ln X i + vi
2 i
(9.2)
ei2可以从原始回归模型中得到。
9.4 异方差的诊断－方法2：帕克(R.E.Park)检验法
帕克检验步骤： Park检验的弱点在哪？ 1. 做普通最小二乘回归，不考虑异方差问题； 2. 从原始回归方程求得残差ei，并求其平方，再取对数形式； 3. 利用原始模型中得一个解释变量做形如(9.2)的回归，如果 有多个解释变量，则对每个解释变量做形如(9.2)的回归， 或者做ei2对Y估计值的回归； 4. 检验零假设B2＝0，即不存在异方差。如果lnei2和lnXi之间 是统计显著的，则拒绝零假设，表示存在异方差的可能。 5. 如果接受零假设，则回归方程中的B1可以理解为同方差 σi2的一个给定值。
9.4 异方差的诊断－方法2：帕克(R.E.Park)检验法
如果存在异方差，则异方差σi2可能与一个或多个解释变量 系统有关。是否相关，做σi2对一个或多个解释变量X的回归。 例如，在一元回归模型中进行如下回归：
lnσ i2 = B1 + B2 * ln X i + vi
其中，vi是残差项。此即为帕克检验。
2 a
=
n∑ (X
∑
σ
X
i
2 i
− X )2
•σ
2
var( a )
2 b
=
2
∑
(X
i
− X )2
σ2是误差扰 动项u的方差， 但是在多数情 况下它是未知 的。
var( b )
9.4 异方差的诊断－方法1：图形检验法
例子 不同收入阶层人群的消费状况。不同收入阶层的消 费方差很可能是不同的。 异方差的诊断方法： 1、残差的图形检验：即考虑解释变量X与误差ei之间的关系。 从例9.1看出随着Sales增大，误差ei的平方呈逐渐增大趋势。
#43;β*X
0
X
一元线性回归分析－回归的假定条件
假定4 误差扰动项u的方差为常数，即Var（u）＝σ2，称 之为同方差(homoscedasticity) 同方差的含义：每个Y值以相同的方差分布在其均值周 围，即Y偏离其均值的程度相同。 Y
＋u ＋u －u －u －u ＋u
9.4 异方差的诊断－方法3：格莱泽(Glejser)检验法
该检验方法实际上与帕克检验方法类似，从原始模型 中获得残差ei后，格莱泽所做的回归模型的方程不同，他采 取的是下列函数形式：
| ei |= B1 + B2 * X i + vi | ei |= B1 + B2 * X i + vi 1 | ei |= B1 + B2 * + vi Xi