第9章 条件异方差模型上课讲义
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B09异方差
▪ 以三变量模型 Yi 0 1 X1i 2 X 2i ui 为例。 ▪ （1）做OLS回归得到残差 uˆ i 。 ▪ （2）做辅助回归：
uˆ i2
0
1 X1i
2X2i
3
X
2 1i
4
X
2 2i
5 X1i X 2i
vi
▪ 得到 R2 。也可以加入原始变量的更高次幂。
▪ （3）在无异方差的虚拟假设下， nR2 近似服
9
计量经济学
▪ 2、格莱泽检验（Glejser Test）：思想上类似 于帕克检验。
▪ 格莱泽建议，用OLS回归的残差的绝对值对被 认为与密切相关的变量X做回归。
▪ 他使用了如下几种函数形式：
uˆi Xi vi
uˆi Xi vi
uˆi / Xi vi
10
计量经济学
▪ 如果 表现为统计上显著异于0，就表明数据
差的。
▪ （2）非纯异方差：由于错误设定模型的误差项
所导致的异方差。
▪ （3）在对异方差进行检验和补救之前，首先要
确认模型是正确设定的。
2
计量经济学
Y的条件 分布
Y的条件方差 随着X而增大
教材210页图9-5a是另 一种形式的异方差
3
计量经济学
▪ 2、异方差产生的原因： ▪ （1）按照边干边学模型，人们在学习的过程中
计量经济学
第九章 异方差
▪ 第1节 异方差的性质与影响 ▪ 第2节 异方差的诊断 ▪ 第3节 异方差的补救措施
▪ 教学时数：4
1
计量经济学
第1节 异方差的性质与影响
▪ 一、异方差的性质
▪ 1、异方差：误差的条件方差（即因变量的条件
方差）随着自变量的变化而变化，即
第9章 异 方 差
9.3 异方差的诊断2
• 残差的图形检验graphical examination of residuals
– 见“精要§13例题”之残差图、残差平方图(收 入X为横轴) – 如果是多元回归方程，可以使用残差平方对Y^ 作图，注意，Y^是有確定规律的，它是X的线性 函数 – 如果呈现图9.6之b、c、d、e模式，即有异方差 性存在
对变换後的模型使用普通最小二乘法得到如 下结果：
Yi / 1 X i 26.611 0.069 X i Xi Se (442.622) t (0.060) R 2 0.230 (0.011 ) (6.194) DW 1.684
ˆ Y 329.996 0.075 X Se (810.332) (0.012) t (0.407) (6.105) R 2 0.489 DW 1.616
• 其中的X，可以是每一个Xi，或者是Y^。 • 如果B2以较大的概率为0，说明自变量对 残差没有影响，不存在异方差。如果B2 以较小的概率为0，说明自变量对残差有 影响，则存在异方差。
9.3 异方差的诊断4格莱泽Gleiser检验
| ei | B1 B2 xih vi h 1,2,0.5,
• 假设误差方差与X成比例，则平方根变换 • 假设误差方差与X2成比例，则倒数变换
• 2.重新设定模型
i2 9.4.1
已知时：加权最小二乘法
Y • 考虑一元线性回归模型 i 1 2 X i u, i 1,2,, n
如果每个观察值的误差项方差 i2 是已知的， 使用 1 / i 为权数，对模型(9.18)作如下变 X i ui 1 换： Yi
第9章 异方差 HETEROSCEDASTICITY
精选-时间序列分析课件-条件异方差模型
方法2：ARCH_LM检验
• ARCH_LM检验 – 1982年，Engle提出检验残差序列是否存在ARCH 效应的拉格朗日乘数检验（Lagrange multiplier test），即ARCH LM检验。
该检验等价于在如下的线性回归中用F统计量检验i 0(i 1, , m) :
at2
0
1at21
m
a2 tm
et ,
t m 1, ,T ,
其他et 表示误差项，m是事先指定的正整数，T是样本容量。
具体的
H0 :1 m 0
令SSR0
T
(at2
t m1
)2,其中
1 T
T
at2 ,
t 1
T
SSR1 eˆt2 ,其中eˆt2是前面线性回归最小二乘估计的残差。 t m1
于是，在原假设下，我们有
at的条件均值 ? at的条件方差 ?
作业：ARCH(p)模型
at的条件均值 ? at的条件方差 ? at的无条件均值 ? at的无条件方差 ?
定义t
at2
2 t
,
可以
证明{
t
}是均
值为
零的
不相关序列。
于是ARCH模型变成
at2 0 1at21 mat2m t , 这是at2的A R(m)形式，但是{ t }不是独立同分布的序列。 因为{ t }不同分布，因此上述模型的最小二乘估计是相合的，
现实金融市场上，许多金融时间序列并没有恒定的均值，大 多数序列在呈现出阶段性的相对平稳的同时，往往伴随着出 现剧烈的波动性。
金融数据的重要特征，包括： ➢ 尖峰厚尾（Leptokurtosis）：金融资产收益呈现厚尾（fat
tails）和在均值处呈现过度波峰，即出现过度峰度分布的倾 向； ➢ 波动丛聚性（clustering）：金融市场波动往往呈现簇状倾向， 即波动的当期水平往往与它最近的前些时期水平存在正相关 关系。波动率可能在一些时间上高，在另一些时间段上低。 ➢ 杠杆效应（leverage effects）：指价格大幅度下降后往往会 出现同样幅度价格上升的倾向，对价格大幅上升和大幅下降 的反应不同 ➢ 波动率以连续方式随时间变化，即波动率的跳跃是很少见的。 ➢ 波动率不发散到无穷，即在固定的范围内变化。
第九章方差分析及回归分析 第2讲精品PPT课件
x1, x2, , xn
因此干脆不把X看成随机变量，而将它当作 普通的变量。X的变化将使Y发生相应的变 化，但它们之间的变化是不确定的。由于Y 是随机变量 ，当X取得任一个可能的值x时， Y都相应地服从一定的概率分布。
10
设进行 n 次独立试验，测得试验数据如下表：
xபைடு நூலகம்
x1
x2
xn
y
y1
y2
yn
我们的问题是，如何根据这组观察值，用 “最佳”的形式来表达变量Y与x的相关关系？
比较合理的想法就是，取Xx时随机变量
Y的数学期望EY Xx 作为Xx时Y的估计值。
11
设Y的数学期望EY存在,其值随X的取值
而定，即Y的数学期望是x的函数。将这一函数
记为yx 或x，xEY Xx称为Y关于x
的回归函数。 为 此 ， 我 们 就 将 讨 论 Y 与 x的 相 关 关 系 的 问 题
转 换 为 讨 论 E Y x与 x的 函 数 关 系 了 。
由一个或一组非随机变量来估计或预测某 一个随机变量的观察值时所建立的数学模 型及所进行的统计分析称为回归分析
7
如果这个模型是线性的就称为线性回归分析 这种方法是处理变量间相关关系的有力工具，是
数理统计工作中一种常用的方法。它不仅告诉人 们怎样建立变量间的数学表达式，即经验公式， 而且还利用概率统计知识进行分析讨论，判断出 所建立的经验公式的有效性，从而可以进行预测 或估计。 本章主要介绍如何建立经验公式。
14
温度x(oc) 100 110 120 130 140 150 160 170 180 190 得率（%） 45 51 54 61 66 70 74 78 85 89
得率与温度关系的散点图 100 90 80 70 60 50 40
2012第9章异方差
（1)用X-Y的散点图 进行判断 看是否存在明显 的散点扩大、缩小 或复杂型趋势（即 不在一个固定的带 型域中） 9-24
Байду номын сангаас
300 Y
200
100
0 0 5000 10000 15000
X 20000
9.3 异方差的诊断：如何知道存在异方差问题？
9.3.2图形检验
2 ~ e (2)X- i 的散点图进行判断
9.1 异方差的性质
例9.1 放松管制后纽约股票交易所（NYSE）的经纪人佣金
9-13
9.1 异方差的性质
9-14
9.1 异方差的性质
例9.2 523个工人的工资等数据
Wagei B1 B2 Edui B 3 Exper ui
9-15
9.1 异方差的性质
例9.2 523个工人的工资等数据
9-11
9.1 异方差的性质
例如： 以某一行业的企业为样本建立企业生产函 数模型 Yi=Ai1 Ki2 Li3ei 被解释变量：产出量Y 解释变量：资本K、劳动L、技术A， 那么：每个企业所处的外部环境对产出量的影响被 包含在随机误差项中。 每个企业所处的外部环境对产出量的影响程度不 同，造成了随机误差项的异方差性。 这时，随机误差项的方差并不随某一个解释变量 9-12 观测值的变化而呈规律性变化，呈现复杂型。
9-39
9.3 异方差的诊断：如何知道存在异方差问题？
例9-5工资回归与怀特的一般异方差检验
Wagei B1 B2 Edui B 3 Exper ui （9-13）
ei B1 B2 Edui B 3 Exper B4 Edu
2 2 i
B 5 Experi B 6 Edui Experi ui
条件异方差模型分析解析
第三节 自回归条件异方差(ARCH)模型金融时间序列数据通常表现出一种所谓的集群波动现象。
模型随机误差项中同时含有自相关和异方差。
一、ARCH 模型 （Auto-regressive Conditional Heteroskedastic —自回归条件异方差模型）对于回归模型t kt k t t x b x b b y ε++++= 110 （3.3.1） 若2t ε服从AR （q ）过程 t q t q t t νεαεααε++++=--221102 （3.3.2） 其中tν独立同分布，并满足0)(=t E ν , 2)(σν=tD 则称（3.3.2）式为ARCH 模型，序列t ε服从q 阶ARCH 过程，记为t ε～ARCH （q ）。
(3.3.1)和(3.3.2)称为回归—ARCH 模型。
注：不同时点t ε的方差2)(t t D σε=是不同的。
对于AR （p ）模型t p t p t t y y y εφφ+++=-- 11 （3.3.3） 如果tε～ARCH （q ），则（3.3.3）与（3.3.2）结合称为AR （p ）-ARCH （q ）模型。
ARCH （q ）模型还可以表示为 *t t h =εt ν (3.3.4)21022110jt q j q t q t t h -=--∑+=+++=εααεαεααα (3.3.5)其中，tν独立同分布，且0)(=t E ν,1)(=tD ν,00>α 0≥j α)2,1(q j = 且11<∑=q j j α（保证ARCH 平稳）。
有时，（3.3.5）式等号右边还可以包括外生变量，但要注意应保证th 值是非负的。
如：p t p t q t q t t h h h ----++++++=θθεαεαα 1122110 1011<+<∑∑==p j j q i iθα对于任意时刻t ，条件期望E （tε| ,1-t ε）=0)(*=t t E h ν （3.3.6）条件方差t t t t t h E h E ==-)(*),|(2212νεσ （3.3.7） （3.3.7）式反映了序列条件方差随时间而变化。
《异方差性》PPT课件 (2)
• scalar lm1 = e(N)*e(r2)display _n "LM statistic : " %6.3f lm1 /*
• 通常的LM=3.54 • 异方差—稳健LM=4.00 • 仍然不能拒绝H0 • 问题：语句的意思，有没有直接计算LM的命令〔robust LM statistic已有，那么前面的计
?
• predict ubar1, resid • quite reg avgsen pcnv ptime86 qemp86 inc86 black hispan • predict r1, r • quite reg avgsensq pcnv ptime86 qemp86 inc86 black hispan • predict r2, r • quite gen ur1 = ubar1*r1 • quite gen ur2 = ubar1*r2 • gen iota = 1 • reg iota ur1 ur2, noconstant • scalar hetlm = e(N)-e(rss) • scalar pval = chi2tail(2,hetlm) • display _n "Robust LM statistic : " %6.3f hetlm /* • > */ _n "Under H0, distrib Chi2(2), p-value: " %5.3f pval
异方差-稳健的F统计量
例8.2 P255 GPA3.DTA
例8.2 P255 GPA3.DTA
• 1.异方差-稳健回归得R-square=0.4006 • 〔注意是春季学期，所以有条件项〕
2.联合显著性检验—约束方程回归 求R-squared=0.3983
• 通常的LM=3.54 • 异方差—稳健LM=4.00 • 仍然不能拒绝H0 • 问题：语句的意思，有没有直接计算LM的命令〔robust LM statistic已有，那么前面的计
?
• predict ubar1, resid • quite reg avgsen pcnv ptime86 qemp86 inc86 black hispan • predict r1, r • quite reg avgsensq pcnv ptime86 qemp86 inc86 black hispan • predict r2, r • quite gen ur1 = ubar1*r1 • quite gen ur2 = ubar1*r2 • gen iota = 1 • reg iota ur1 ur2, noconstant • scalar hetlm = e(N)-e(rss) • scalar pval = chi2tail(2,hetlm) • display _n "Robust LM statistic : " %6.3f hetlm /* • > */ _n "Under H0, distrib Chi2(2), p-value: " %5.3f pval
异方差-稳健的F统计量
例8.2 P255 GPA3.DTA
例8.2 P255 GPA3.DTA
• 1.异方差-稳健回归得R-square=0.4006 • 〔注意是春季学期，所以有条件项〕
2.联合显著性检验—约束方程回归 求R-squared=0.3983
第九讲异方差性 PPT资料共47页
相同。
异方差性的含义
设模型为
Y i 0 1 X 1 i 2 X 2 i . . . k X k i u i i 1 , 2 , . . . , n
如果对于模型中随机误差项 u i 有：
V a r(u i)i2 , i 1 ,2 ,3 ,...,n (5.3)
则称具有异方差性。进一步，把异方差看成是由于某个
解释变量的变化而引起的，则
V ar(ui)i22f(X i)
(5.4)
图形表示
概
率
密
Y
度
X
产生异方差的原因
（一）模型设定误差
假设正确的计量模型是：
Y i01 X 1 i2 X 2 i u i
假如略去 X 3 i ，而采用
的 β 、t 、F 等信息判断，若参数 β 显著不为零，即
认为存在异方差性。
26
White检验
（一）基本思想：
不需要关于异方差的任何先验信息，只需要在大 样本的情况下，将OLS估计后的残差平方对常数、解 释变量、解释变量的平方及其交叉乘积等所构成一 个辅助回归，利用辅助回归建立相应的检验统计量 来判断异方差性。
（一） 检验的前提条件
1、要求检验使用的为大样本容量。 2、除了同方差假定不成立外，其它假定均满足。
（二）检验的具体做法
1.排序 将解释变量的取值按从小到大排序。
2.数据分组 将排列在中间的约1/4的观察值删除掉，记
为 c ，再将剩余的分为两个部分，每部分观察
值的个数为 (n - c) / 2 。
（三）截面数据中总体各单位的差异
通常认为，截面数据较时间序列数据更容易产生异 方差。这是因为同一时点不同对象的差异，一般说来会 大于同一对象不同时间的差异。不过，在时间序列数据 发生较大变化的情况下，也可能出现比截面数据更严重 的异方差。
异方差课件
• 注意：应用加权最小二乘法要求异方差的形式是已 知的，事实上这是一个很强的假定，一般情况下模 型的异方差的形式是未知的。
4 异方差的修正方法（WLS）
（2）利用Glejser检验结果确定异方差形式，消除异方差
假设 Glejser 检验结果是
| uˆt | = aˆ0 + aˆ1 xt
说明异方差形式是 Var(ut) = ( aˆ0 + aˆ1 xt)22。用 ( aˆ0 + aˆ1 xt) 除原模型各项，
SSR2 SSR1
•
n1 n2
k k
，k为模型中被估参数个数
在H0成立条件下，F F(n2 - k, n1 - k)
④ 判别规则如下，
若 F F (n2 - k, n1 - k), 接受H0（ut 具有同方差） 若 F > F(n2 - k, n1 - k), 拒绝H0（递增型异方差） 注意：
异方差通常有三种表现形式，（1）递增型，（2）递减型，（3）条件自回
归型。 7
6
Y 6
4
DJ P Y
5
2
4
0
3
-2
2
-4
1
-6
0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200
-8 400 500 600 700 800 900 1000 1100 1200
2 异方差来源与后果
① 当摸型含有多个解释变量时，应以每一个解释变量为基准检验异方差。
② 此法只适用于递增型异方差。
③ 对于截面样本，计算F统计量之前，必须先把数据按解释变量的值排序。
3 异方差检验
(2) White检验
White检验由H. White 1980年提出。White检验不需要对观测值排序，也不
4 异方差的修正方法（WLS）
（2）利用Glejser检验结果确定异方差形式，消除异方差
假设 Glejser 检验结果是
| uˆt | = aˆ0 + aˆ1 xt
说明异方差形式是 Var(ut) = ( aˆ0 + aˆ1 xt)22。用 ( aˆ0 + aˆ1 xt) 除原模型各项，
SSR2 SSR1
•
n1 n2
k k
，k为模型中被估参数个数
在H0成立条件下，F F(n2 - k, n1 - k)
④ 判别规则如下，
若 F F (n2 - k, n1 - k), 接受H0（ut 具有同方差） 若 F > F(n2 - k, n1 - k), 拒绝H0（递增型异方差） 注意：
异方差通常有三种表现形式，（1）递增型，（2）递减型，（3）条件自回
归型。 7
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Y 6
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DJ P Y
5
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-2
2
-4
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0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200
-8 400 500 600 700 800 900 1000 1100 1200
2 异方差来源与后果
① 当摸型含有多个解释变量时，应以每一个解释变量为基准检验异方差。
② 此法只适用于递增型异方差。
③ 对于截面样本，计算F统计量之前，必须先把数据按解释变量的值排序。
3 异方差检验
(2) White检验
White检验由H. White 1980年提出。White检验不需要对观测值排序，也不
异方差
Econometrics第六章异方差（教材第九章）第六章异方差6.1 异方差的涵义6.2 异方差的后果6.3 异方差的诊断6.4 补救措施学习要点异方差及其产生的后果，诊断及消除其影响的措施6.1 异方差的涵义异方差（Heteroscedasticity ）f 古典线性回归模型（CLRM ）的对u i 的假定其中，称为同方差（Homoscedasticity ）假定。
f 若，则称存在异方差（Heteroscedasticity ）。
12233i i i iY B B X B X u =+++2()0()(,)0i i i j E u Var u Cov u u σ=⎧⎪=⎨⎪=⎩2()i Var u σ=22()i i Var u σσ=≠6.1 异方差的涵义异方差（Heteroscedasticity）f例，个人储蓄的方差随个人可支配收入增加而变大。
6.1 异方差的涵义异方差（Heteroscedasticity ）f 异方差用符号表示为：（注意下标）表明u i 的方差随观察值的不同而变化。
f存在异方差问题的实际背景多存在于横截面数据（cross-sectional data）由于存在规模效应测量误差f 例如，使用横截面数据估计中国总量消费函数。
22()i iE u σ=()()2()i i i Var u E u E u =−=2i σ6.1 异方差的涵义异方差（Heteroscedasticity ）f 例，523个工人的工资：123i i i iWage B B Edu B Exper u =+++6.1 异方差的涵义异方差（Heteroscedasticity ）f 例，523个工人的工资：123i i i iWage B B Edu B Exper u =+++6.2 异方差的后果异方差的后果（证明从略）f OLS OLS6.3 异方差的诊断异方差的一些诊断工具f问题的性质：在横截面数据中常有异方差问题f帕克检验（Park test）f格莱泽检验（Glejser test）Heteroscedasticity Test）f异方差的其他检验方法6.3 异方差的诊断异方差的一些诊断工具f 残差的图形检验：用对一个或多个解释变量作图2i e6.3 异方差的诊断异方差的一些诊断工具f 残差的图形检验：多个解释变量时可用对作图2ieˆiY6.3 异方差的诊断异方差的一些诊断工具f 帕克检验（Park test ）：做对一个或多个的回归f 例如，一元模型中f 实际估计中以代替，如何获得？f 检验零假设B 2=0，即不存在异方差。
Eviews：条件异方差模型
恩格尔和克拉格（Kraft, D., 1983）在分析宏观数据时，发 现这样一些现象：时间序列模型中的扰动方差稳定性比通常假 设的要差。恩格尔的结论说明在分析通货膨胀模型时，大的及 小的预测误差会大量出现，表明存在一种异方差，其中预测误 差的方差取决于后续扰动项的大小。 从事于股票价格、通货膨胀率、外汇汇率等金融时间序列 预测的研究工作者，曾发现他们对这些变量的预测能力随时期 的不同而有相当大的变化。预测的误差在某一时期里相对地小， 而在某一时期里则相对地大，然后，在另一时期又是较小的。 这种变异很可能由于金融市场的波动性易受谣言、政局变动、 政府货币与财政政策变化等等的影响。从而说明预测误差的方 差中有某种相关性。 为了刻画这种相关性，恩格尔提出自回归条件异方差 （ARCH）模型。ARCH的主要思想是时刻 t 的ut 的方差（=
的度量。例如，我们可以认为某股票指数，如上证的股票指 数的票面收益（returet）依赖于一个常数项，通货膨胀率t 以 及条件方差：
returet 1 2 t ut
2 t
u u
2 t 2 1 t 1
2 p t p
1
2 t 1
z t xt
（5.1.12）
GARCH(p, q)模型
高阶GARCH模型可以通过选择大于1的p或q得到估计，
记作GARCH(p, q)。其方差表示为：
t2 i ut2i j t2 j .
i 1 j 1
q
p
（5.1.13）
这里，p是GARCH项的阶数，q是ARCH项的阶数。
ut
2 N 0 , ( u ~ 0 1 t 1 )
(5.1.2)
也就是，ut 遵循以0为均值，(0+ 1u2t-1 )为方差的正态分布。 由于(5.1.2)中ut的方差依赖于前期的平方扰动项，我们称它 为ARCH(1)过程：
第9章 条件异方差模型上课讲义
9.5.1 成分GARCH模型介绍
•
此外，在成分GARCH模型的条件方差中，可以包含外生变量 ，外生变量既可以放在长期方程中，也可以放在短期方程 中。
短期方程中的外生变量将对波动产生短期影响，长期方程中 的外生变量将对波动产生长期影响。
非对称成分GARCH模型 •
9.6 多元GARCH模型
随着经济的全球化，很少有国家或地区的金融市场是封闭或孤立的，当 某国出现金融危机后，通常会迅速传导到其它金融市场，多个金融资 产会沿时间方向呈现波动集聚，不同金融资产之间会出现风险交叉传 递。
因此，ARCH模型可以拟合市场波动的集群性现象，但没有说明 波动的方向。
如果时间序列的方差随时间变化，使用ARCH模型可以更精确地 估计参数，提高预测精度，同时还可以知道预测值的可靠性 。当方差较大时，预测值的置信区间就较大，从而可靠性较 差；当方差较小时，预测值的置信区间就较小，从而可靠性 较好。
非对称成分garch模型96多元garch模型随着经济的全球化很少有国家或地区的金融市场是封闭或孤立的当某国出现金融危机后通常会迅速传导到其它金融市场多个金融资产会沿时间方向呈现波动集聚不同金融资产之间会出现风险交叉传一元garch模型无法捕捉到这种跨市场的风险传递或波动溢出
第九章 条件异方差模型（ARCH）
9.1 ARCH模型
•
9.1.1 ARCH(q)模型
•
9.1.1 ARCH(q)模型
•
ARCH(q)模型特点
ARCH(q)模型表明，过去的波动扰动对市场未来波动有着正向而 减缓的影响，即较大幅度的波动后面一般紧接着较大幅度的 波动，较小幅度的波动后面一般紧接着较小幅度的波动，波 动会持续一段时间。
9.4.3 EGARCH模型
异方差性检验 计量经济学 EVIEWS建模课件
G-Q检验的步骤：
①将n对样本观察值(Xi,Yi)按观察值Xi的大 小排队；
②将序列中间的c=n/4个观察值除去，并 将剩下的观察值划分为较小与较大的相 同的两个子样本，每个子样的样本容量 均为(n-c)/2；
③对每个子样分别进行OLS回归，并计算各自 的残差平方和∑esi12 与∑esi22 ；
计量经济学模型一旦出现异方差性，如果仍采用 OLS估计模型参数，会产生下列不良后果：
1.参数估计量非有效
OLS估计量仍然具有无偏性，但不具有有效 性。因为在有效性证明中利用了 E(εε’)=2I 。
而且，在大样本情况下，尽管参数估计量具 有一致性，但仍然不具有渐近有效性。
2. 变量的显著性检验失去意义
例如以绝对收入假设为理论假设、以截面数据
为样本建立居民消费函数： Ci=0+1Yi+εi
将居民按照收入等距离分成n组，取组平均数 为样本观测值。 • 一般情况下，居民收入服从正态分布：中等收 入组人数多，两端收入组人数少。而人数多的组 平均数的误差小，人数少的组平均数的误差大。 • 所以样本观测值的观测误差随着解释变量观测 值的不同而不同，往往引起异方差性。
异方差性的检验与修正分析
一、异方差性问题 二、异方差性检验 三、异方差的修正及案例 四、条件异方差模型的建立
⒉ 在同方差情况下： 异 方 差 的 图 示 在异方差情况下： 说 明 ：
异方差时
同方差：i2 = 常数 f(Xi) 异方差：i2 = f(Xi)
⒊异方差的类型
异方差一般可归结为三种类型： (1)单调递增型： i2随X的增大而增大 (2)单调递减型： i2随X的增大而减小 (3)复 杂 型： i2与X的变化呈复杂形式
变量的显著性检验中，构造了t统计量
计量经济学第九章异方差
(3)求辅助回归方程(6)的 R 2 值。在不存在异方差（即式(6) 中所有斜率系数都为零）的零假设下，怀特证明了从方程 (6)中得到的 R 2 值与样本容量的积服从 2 分布，自由度等 于方程(6)中解释变量的个数（不包括截距项）。
n•R2
2 k1
(4)如果从方程(5)中得到的 2 值超过了所选显著水平下的 2
格莱泽检验实质上与帕克检验类似。从原始模型获得残差后，格莱泽
建议做e i 的绝对值 e i 对X的回归。其具体回归函数如下：
.
ei B 1B2 Xi vi
ei B 1B 2Xi vi
ei
B1
B2(
1 Xi
)viLeabharlann 每种情形下的零假设都为：H0:B2=0。如果拒绝零假设， 则表明可能存在异方差。 例子：如研发支出 但应注意的是，格莱泽检验同帕克检验存在同样的缺陷。 5.怀特一般异方差检验
从图中可以看到，残差的绝对值随销售额的增加而增加。因为残差可以 近似地看作随机误差项，所以可以得出结论，该模型存在异方差。 由于观察值是按照销售额升序排列的，这就等同于间接地将残差对销售额 作图
.
1988年美国研究与发展支出费用（百万美元）
.
二、异方差的后果
如果CLRM其他假设保持不变，放松同方差假定，异方差则有 如下后果：
假定要了解研究与发展与销售的关系，有如下模型：
R & D i B 1 B 2 S a l e s i u i
该模型的最小二乘回归结果如下:
( 1 )
R&Di 266.190.0309Salesi se(1002.96) (0.008)
t (0.27) (3.70) R2 0.46
(2)
计量经济学异方差精品PPT资料
随机误差项的方差并不随某一个解释变量观测值 的变化而呈规律性变化，呈现复杂型。
• 一般经验，对于采用截面数据作样本的 计量经济学问题，由于不同样本点上解
释变量以外的其他因素的差异较大，所 以往往存在异方差。
二、异方差性的后果 Consequences of Using OLS in the
Presence of Heteroskedasticity
V ar(i)E(i2)e ~ i2 最 好 在 大 样 本 条 件 下 (使 2用 .4 .7)
即 用 e ~ i2来 表 示 随 机 误 差 项 的 方 差 。
从而可进一步考察其与X的相关性及其具体的形式。
( 2 1 ) X - e ~ i 2 的 散 点 图 进 行 判 断
看是否形成一斜率为零的直线
问题在于如何获得随机误差项 （从总体带来的）的方差
• 问题在于如何获得随机误差项 （从总体带 WLS估计的Eviews软件的实现
以案例1为例：由于不知ei与Xi之间具体的函数关系。
i
来的）的方差 从而可进一步考察其与X的相关性及其具体的形式。
White1980年提出。 假设6：随机项满足正态分布
一般的处理方法：
2 任 意 选 择 c 个 中 间 观 测 值 略 去 . 经 验 表 明 , 略 去 数 目 c 的 大 小 , 大 约 相 当 于
样 本 观 测 值 个 数 的 1 .剩 下 的 n c 个 观 测 值 平 均 分 成 两 组 , 每 组 观 测 值 的 个 数 为 n c.
4
2
（3）对每个子样本分别进行OLS，并分别计算各自的残差平方和。
E
X
X
1
X
X
X
X
• 一般经验，对于采用截面数据作样本的 计量经济学问题，由于不同样本点上解
释变量以外的其他因素的差异较大，所 以往往存在异方差。
二、异方差性的后果 Consequences of Using OLS in the
Presence of Heteroskedasticity
V ar(i)E(i2)e ~ i2 最 好 在 大 样 本 条 件 下 (使 2用 .4 .7)
即 用 e ~ i2来 表 示 随 机 误 差 项 的 方 差 。
从而可进一步考察其与X的相关性及其具体的形式。
( 2 1 ) X - e ~ i 2 的 散 点 图 进 行 判 断
看是否形成一斜率为零的直线
问题在于如何获得随机误差项 （从总体带来的）的方差
• 问题在于如何获得随机误差项 （从总体带 WLS估计的Eviews软件的实现
以案例1为例：由于不知ei与Xi之间具体的函数关系。
i
来的）的方差 从而可进一步考察其与X的相关性及其具体的形式。
White1980年提出。 假设6：随机项满足正态分布
一般的处理方法：
2 任 意 选 择 c 个 中 间 观 测 值 略 去 . 经 验 表 明 , 略 去 数 目 c 的 大 小 , 大 约 相 当 于
样 本 观 测 值 个 数 的 1 .剩 下 的 n c 个 观 测 值 平 均 分 成 两 组 , 每 组 观 测 值 的 个 数 为 n c.
4
2
（3）对每个子样本分别进行OLS，并分别计算各自的残差平方和。
E
X
X
1
X
X
X
X
Eviews数据统计与分析教程9章
精选ppt课件
10
EViews统计分析基础教程
一、自回归条件异方差模型（ARCH）
3.ARCH模型的建立 “Specification”（设定）选项卡
在“Mean equation”的文本框中输入均值方程的形式。
在“Variance and distribution specification”（变量和分布设定） 区域中，“Model”的下拉菜单有四个模型可供选择。分别是 “ GARCH/TARCH” 、 “ EGARCH” 、 “ PARCH” “Component ARCH(1,1)”。
其中，dt-1是一个虚拟变量，满足的条件为 1 ，如果μt-1<0
dt-1= 0，如果μt-1>=0
精选ppt课件
19
EViews统计分析基础教程
三、ARCH模型的其他扩展形式
2. TARCH模型
ARCH模型是一个非对称的ARCH模型，当β不为0时， 就存在非对称效应。因而条件方差方程中的βdt-1项被称为非 对称效应项，也称为TARCH项。
t2与两个因素有关：
一个是前期残差的平方， 一个是条件方差。
μt-1<0代表经济中不好的信息，μt-1>0代表经济中好的信息。
精选ppt课件
20
EViews统计分析基础教程
三、ARCH模型的其他扩展形式
2. TARCH模型
在EViews软件中，打开条件异方差的方程设定对话框，在 “Threshold”编辑框中输入1，其他内容的设定与GARCH（1， 1）模型相同。然后单击“确定”按钮即可得到TARCH模型 的估计结果。
在“Options”中输入ARCH和GARCH的阶数 。
在“Variance”的编辑栏中可精列选p出pt课方件 差方程中的外生变量。 11
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两者的区别在于，GARCH模型的条件方差不仅是滞后误差平方的线性函数，而 且是滞后条件方差的线性函数，GARCH过程实质上是无限阶的ARCH过程.
利用GARCH模型，能在计算量不大时，更合适，更方便地描述高阶的ARCH过程 。
GARCH模型的基本性质 •
GARCH模型的基本性质
大多数金融数据序列的分布较正态分布而言，尾巴拖得更长，中间峰顶更尖 ，具有厚尾特征，GARCH（1,1）的尾部要比正态分布尾部厚，呈现尖峰厚 尾的形状。
ARCH模型的提出表明，经济时间序列中比较明显的变化是可以 预测的，并且这种变化是来自某一特定类型的非线性依赖性 ，而不是方差的外生结构变化。
9.1.2 ARCH效应的检验
检验ARCH效应的方法包括: LM检验、F检验和残差平方相关图检验。
LM检验 •
F检验 •
F检验 •
残差平方相关图检验
②GARCH(p,q)模型中假定参数都是非负数，从而保证方差非负，但是这些约 束隐含在任何时期增加误差的平方，都会增加误差方差，因而排除了误差 方差的随机波动行为。
GARCH模型的不足
③由于没有一致的测量波动持久性的准则，所以难以利用GARCH(p,q)模型对 条件方差的冲击是否会持久这一问题进行评价。
9.2 GARCH模型
如果ARCH模型中的阶数过高，约束条件就会变得复杂，结果也 难以解释。
针对ARCH模型的缺陷，Bollerslev在1986年提出了广义的自回归 条件异方差模型即GARCH模型。
9.2.1 GARCH(p,q)模型
•
GARCH模型的基本性质
ARCH(q)模型是GARCH(p,q)模型的特例，当p = 0时，GARCH(p,q)模型即为 ARCH(q)模型。
后来该模型又被扩展为GARCH、IGARCH、EGARCH、GARCH-M等 模型。
本章的知识框架
模 型 的 引 入 ： 解 决 金 融 市 场 中 时 间 序 列 存 在 的 异 方 差 现 象
自
回
归
条
件
异
方
差
模
型
（
A
R
C
H
）
模
型
的
表
达
式
：
u
2 t
0
ARCH 效 应 的 检 验 ： LM
1u
2 t 1
9.1 ARCH模型
•
9.1.1 ARCH(q)模型
•
9.1.1 ARCH(q)模型
•
ARCH(q)模型特点
ARCH(q)模型表明，过去的波动扰动对市场未来波动有着正向而 减缓的影响，即较大幅度的波动后面一般紧接着较大幅度的 波动，较小幅度的波动后面一般紧接着较小幅度的波动，波 动会持续一段时间。
如果波动变化只是暂时的，则市场对风险溢价不会有明显的调整，由将来预 期现金流的净现值决定的股票价格和折现因子都不会发生明显变化；如果 波动冲击无限期地存留，则可能改变整个风险溢价的期限结构，从而对长 期资本的投资产生显著影响。
9.2.2 GARCH模型误差项分布假设与估计
GARCH模型误差项的分布通常有3个假设，正态分布、学生t分布 和广义误差分布（GED）。给定误差项的分布假设，GARCH 模型都使用极大似然估计法进行参数估计。
j
2 t
j
i 1
j 1
IG ARC H 模 型
GARCH M 模 型
AGARCH
广
义
自
回
归
条
件
异
方
差
模
型
（
G
A
R
C
H
）
模
型
拓
展
不 ：
对
称
的
G
A
R
C
H
模
型
T E P
G G G
ARC ARC ARC
H H H
成
分
G
A
R
C
H
模
型
VEC GARCH
多
元
G
AR
C
H
模
型
BEEK GARCH CCC GARCH DCC GARCH
第九章 条件异方差模型（ARCH）
经典线性回归分析中，时间序列数据被认为更容易存在序列相 关，而不是异方差。
然而当学者在分析利率、汇率、股票价格等金融时间序列时， 却发现其方差会经常随时间变化，具有集群性和方差波动 性特点，即存在明显异方差现象。
第九章 条件异方差模型（ARCH）
1982年，美国经济学家恩格尔(Engle.R)教授提出了自回归条件异 方差模型(Auto Regressive Conditional Heteroscedasticity，以下 简称ARCH模型)，该模型被广泛应用于具有集群性和方差波动 性特点的金融时间序列数据的分析及预测，取得了良好的效 果，恩格尔教授也因此获得2003年诺贝尔经济学奖。
检验、F
t 检
验
与
残
差
平
方
相
关
图
检
验
广 义 自 回 归 条 件 异 方 差 模 型 （ G A R C H ） 模 型 的 引 入 ： 为 了 解 决 A R C H 模 型 估 计 时 参 数 过 多 不 易
求解的缺陷。
广
义Байду номын сангаас
自
回
归
条
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型
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G
A
R
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2 t
0
p
i
u
2 t
i
q
针对GARCH模型误差项的不同分布，下面列举每种分布对应的 对数似然函数。
•
•
正是由于GARCH模型既能模拟价格波动的集群性特征，又有助于解释厚尾巴 现象，从而使得GARCH模型得到了广泛的应用
。此外实践中还发现，当样本较大时，GARCH(1,1)就足以描述方差的动态特 征，而且越是高频率的数据序列，ARCH效应就越显著。
GARCH模型的不足
①由于GARCH(p,q)模型假定条件方差是过去残差平方的函数，因此，条件方 差对正的价格变化和负的价格变化的反应是对称的。但是现实中，正负冲 击对波动率的影响并不对称，即存在杠杆效应，而GARCH模型不能解释这 种现象。
应用残差平方图可以显示指定滞后阶数的残差平方序列的自相关（AC）系数 与偏自相关(PAC)系数，以及计算出相应滞后阶数的Ljung-Box Q统计量，从而 反映残差序列是否存在ARCH效应。若自相关系数与偏自相关系数都近似为0 且Q统计量不显著，说明模型在该指定的滞后阶数下不存在ARCH效应，反之 则存在ARCH效应。 对于ARCH模型的估计，一般采用极大似然估计法。
因此，ARCH模型可以拟合市场波动的集群性现象，但没有说明 波动的方向。
如果时间序列的方差随时间变化，使用ARCH模型可以更精确地 估计参数，提高预测精度，同时还可以知道预测值的可靠性 。当方差较大时，预测值的置信区间就较大，从而可靠性较 差；当方差较小时，预测值的置信区间就较小，从而可靠性 较好。
利用GARCH模型，能在计算量不大时，更合适，更方便地描述高阶的ARCH过程 。
GARCH模型的基本性质 •
GARCH模型的基本性质
大多数金融数据序列的分布较正态分布而言，尾巴拖得更长，中间峰顶更尖 ，具有厚尾特征，GARCH（1,1）的尾部要比正态分布尾部厚，呈现尖峰厚 尾的形状。
ARCH模型的提出表明，经济时间序列中比较明显的变化是可以 预测的，并且这种变化是来自某一特定类型的非线性依赖性 ，而不是方差的外生结构变化。
9.1.2 ARCH效应的检验
检验ARCH效应的方法包括: LM检验、F检验和残差平方相关图检验。
LM检验 •
F检验 •
F检验 •
残差平方相关图检验
②GARCH(p,q)模型中假定参数都是非负数，从而保证方差非负，但是这些约 束隐含在任何时期增加误差的平方，都会增加误差方差，因而排除了误差 方差的随机波动行为。
GARCH模型的不足
③由于没有一致的测量波动持久性的准则，所以难以利用GARCH(p,q)模型对 条件方差的冲击是否会持久这一问题进行评价。
9.2 GARCH模型
如果ARCH模型中的阶数过高，约束条件就会变得复杂，结果也 难以解释。
针对ARCH模型的缺陷，Bollerslev在1986年提出了广义的自回归 条件异方差模型即GARCH模型。
9.2.1 GARCH(p,q)模型
•
GARCH模型的基本性质
ARCH(q)模型是GARCH(p,q)模型的特例，当p = 0时，GARCH(p,q)模型即为 ARCH(q)模型。
后来该模型又被扩展为GARCH、IGARCH、EGARCH、GARCH-M等 模型。
本章的知识框架
模 型 的 引 入 ： 解 决 金 融 市 场 中 时 间 序 列 存 在 的 异 方 差 现 象
自
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异
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9.1 ARCH模型
•
9.1.1 ARCH(q)模型
•
9.1.1 ARCH(q)模型
•
ARCH(q)模型特点
ARCH(q)模型表明，过去的波动扰动对市场未来波动有着正向而 减缓的影响，即较大幅度的波动后面一般紧接着较大幅度的 波动，较小幅度的波动后面一般紧接着较小幅度的波动，波 动会持续一段时间。
如果波动变化只是暂时的，则市场对风险溢价不会有明显的调整，由将来预 期现金流的净现值决定的股票价格和折现因子都不会发生明显变化；如果 波动冲击无限期地存留，则可能改变整个风险溢价的期限结构，从而对长 期资本的投资产生显著影响。
9.2.2 GARCH模型误差项分布假设与估计
GARCH模型误差项的分布通常有3个假设，正态分布、学生t分布 和广义误差分布（GED）。给定误差项的分布假设，GARCH 模型都使用极大似然估计法进行参数估计。
j
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j 1
IG ARC H 模 型
GARCH M 模 型
AGARCH
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型
VEC GARCH
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BEEK GARCH CCC GARCH DCC GARCH
第九章 条件异方差模型（ARCH）
经典线性回归分析中，时间序列数据被认为更容易存在序列相 关，而不是异方差。
然而当学者在分析利率、汇率、股票价格等金融时间序列时， 却发现其方差会经常随时间变化，具有集群性和方差波动 性特点，即存在明显异方差现象。
第九章 条件异方差模型（ARCH）
1982年，美国经济学家恩格尔(Engle.R)教授提出了自回归条件异 方差模型(Auto Regressive Conditional Heteroscedasticity，以下 简称ARCH模型)，该模型被广泛应用于具有集群性和方差波动 性特点的金融时间序列数据的分析及预测，取得了良好的效 果，恩格尔教授也因此获得2003年诺贝尔经济学奖。
检验、F
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图
检
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广 义 自 回 归 条 件 异 方 差 模 型 （ G A R C H ） 模 型 的 引 入 ： 为 了 解 决 A R C H 模 型 估 计 时 参 数 过 多 不 易
求解的缺陷。
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针对GARCH模型误差项的不同分布，下面列举每种分布对应的 对数似然函数。
•
•
正是由于GARCH模型既能模拟价格波动的集群性特征，又有助于解释厚尾巴 现象，从而使得GARCH模型得到了广泛的应用
。此外实践中还发现，当样本较大时，GARCH(1,1)就足以描述方差的动态特 征，而且越是高频率的数据序列，ARCH效应就越显著。
GARCH模型的不足
①由于GARCH(p,q)模型假定条件方差是过去残差平方的函数，因此，条件方 差对正的价格变化和负的价格变化的反应是对称的。但是现实中，正负冲 击对波动率的影响并不对称，即存在杠杆效应，而GARCH模型不能解释这 种现象。
应用残差平方图可以显示指定滞后阶数的残差平方序列的自相关（AC）系数 与偏自相关(PAC)系数，以及计算出相应滞后阶数的Ljung-Box Q统计量，从而 反映残差序列是否存在ARCH效应。若自相关系数与偏自相关系数都近似为0 且Q统计量不显著，说明模型在该指定的滞后阶数下不存在ARCH效应，反之 则存在ARCH效应。 对于ARCH模型的估计，一般采用极大似然估计法。
因此，ARCH模型可以拟合市场波动的集群性现象，但没有说明 波动的方向。
如果时间序列的方差随时间变化，使用ARCH模型可以更精确地 估计参数，提高预测精度，同时还可以知道预测值的可靠性 。当方差较大时，预测值的置信区间就较大，从而可靠性较 差；当方差较小时，预测值的置信区间就较小，从而可靠性 较好。