条件异方差模型

2 2 t 1
(6.1.19)
2 t 1
( y t 1 x t 1γ )
u
2 t 1

(6.1.20)
这个说明通常可以在金融领域得到解释，因为代理商或贸易 商可以通过建立长期均值的加权平均（常数），上期的预期方差 （ GARCH 项 ） 和 在 以 前 各 期 中 观 测 到 的 关 于 变 动 性 的 信 息 （ARCH项）来预测本期的方差。如果上升或下降的资产收益出 乎意料地大，那么贸易商将会增加对下期方差的预期。这个模型 还包括了经常可以在财务收益数据中看到的变动组，在这些数据 中，收益的巨大变化可能伴随着更进一步的巨大变化。
2 p
（6.1.9）
的根全部位于单位圆外。如果 i（i = 1, 2, …, p）都非 负，式（6.1.9）等价于 1 + 2 + … + p 1。
6.1.2 ARCH的检验
两种方法：ARCH LM检验和残差平方相关图检验。 1. ARCH LM检验
10
下面介绍检验一个模型的残差是否含有ARCH效应的
在标准化的GARCH(1,1)模型中：
均值方程：
14
(6.1.17)
y t x tγ u t
t2 u t2 1 t2 1
方差方程：
(6.1.18)
其中：xt 是 (k+1)×1维外生变量向量， 是(k+1)×1维系数 向量。 (6.1.17)中给出的均值方程是一个带有扰动项的外生变 量函数。由于t2是以前面信息为基础的一期向前预测方差 ，
也就是，ut 遵循以0为均值，(0+1u2t-1 )为方差的
由于(6.1.7)中 ut 的方差依赖于前期的平方扰动项，我们称 7
它为ARCH(1)过程：
va r( u t ) 0 u
2 t
2 1 t 1
通常用极大似然估计得到参数0, 1, 2, , k, 0, 1的有 效估计。
有两个可供选择的方差方程的描述可以帮助解释这个模 17
型：
1．如果我们用条件方差的滞后递归地替代（6.1.18）式
的右端，就可以将条件方差表示为滞后扰动项平方的加权平
均：
t2 1 j 1 j 1 2 t j
u .
（6.1.21）
我们看到 GARCH(1,1) 方差说明与样本方差类似，但是， 它包含了在更大滞后阶数上的，扰动项的加权条件方差。
其中，û t 表示从原始回归模型（6.1.1）估计得到的OLS残 差。
9
在 ARCH(p) 过程中，由于 ut 是随机的，ut2 不可能 为负，所以对于 {ut} 的所有实现值，只有是正的，才 是合理的。为使 ut2 协方差平稳，所以进一步要求相应 的特征方程
1 1z 2 z p z 0
Engle在1982年提出检验残差序列中是否存在ARCH 效应的拉格朗日乘数检验（Lagrange multiplier test）， 即ARCH LM检验。自回归条件异方差性的这个特殊的设
定，是由于人们发现在许多金融时间序列中，残差的大小
与最近的残差值有关。ARCH本身不能使标准的OLS估计 无效，但是，忽略ARCH影响可能导致有效性降低。
GARCH模型（Intergrated GARCH Model，IGARCH）。
6.1.5 约束及回推
22
1．约束
在估计一个GARCH模型时，有两种方式对GARCH模型 的参数进行约束（restrictions）。一个选择是IGARCH方法，
它将模型的方差方程中的所有参数之和限定为1。另一个就
是方差目标（variance target）方法，它把方差方程（6.1.24） 中的常数项设定为GARCH模型的参数和无条件方差的方程：
这个根非常接近1，所以冲击会逐渐减弱。
方差方程的回归因子
19
方程(6.1.18)可以扩展成包含外生的或前定回归因子 z 的 方差方程：
u
2 tБайду номын сангаас
2 t 1

2 t 1
zt
（6.1.23）
注意到从这个模型中得到的预测方差不能保证是正的。 可以引入到这样一些形式的回归算子，它们总是正的，从而 将产生负的预测值的可能性降到最小。例如，我们可以要求：
所以它被称作条件方差 ， 式 （ 6.1.18 ） 也被称作条件方差方
程。
15
(6.1.18)中给出的条件方差方程是下面三项的函数： 1．常数项（均值）： 2 ．用均值方程 (6.1.11) 的扰动项平方的滞后来度量 从前期得到的波动性的信息： ut2-1（ARCH项）。 3．上一期的预测方差：
如果限定GARCH模型的方差方程中的参数和等于1，
并且去掉常数项：
q p
t2
其中
q
2 2 u j t j i t i j 1 i 1
（6.1.27）

j 1
j
i 1
i 1
p
（6.1.28）
这就是Engle和Bollerslev（1986）首先提出的单整
政局变动、政府货币与财政政策变化等等的影响。从而说明
预测误差的方差中有某种相关性。 为了刻画这种相关性，恩格尔提出自回归条件异方差
(ARCH)模型。ARCH的主要思想是时刻 t 的ut 的方差(= t2 )
2 。 依赖于时刻(t 1)的扰动项平方的大小，即依赖于 û t -1
6.1.1 ARCH模型
u
2 2 t2
pu
2 t p
我们就能够用一个或两个 t2 的滞后值代替许多 ut2的滞后值， 这 就 是 广 义 自 回 归 条 件 异 方 差 模 型 (generalized autoregressive conditional heterosce- dasticity model，简记 为GARCH模型)。在GARCH模型中，要考虑两个不同的设 定：一个是条件均值，另一个是条件方差。
容易加以推广，ARCH (p)过程可以写为：
var( u t ) t2 0 1 u t2 1 2 u t2 2 p u t2 p
(6.1.8)
这时方差方程中的(p+1)个参数0, 1, 2, , p也要和回归模
型中的参数0, 1, 2, , k一样，利用极大似然估计法进行估
（6.1.1）也称为均值方程。
(6.1.2)
由 于 yt 的 均 值 近 似 等 于 式 （ 6.1.1 ） 的 估 计 值 ， 所 以 式
6
假设在时刻 ( t 1 ) 所有信息已知的条件下，扰
动项 ut 的条件分布是：
ut
正态分布。
~
N 0 , ( 0 1 u t2 1 )


(6.1.7)
计。
如果扰动项方差中没有自相关，就会有 H0 ：va r( u 这时
2 ) 0 t
8
1 2 p 0
恩格尔曾表明，容易通过以下的回归去检验上述虚拟
从而得到扰动项方差的同方差性情形。 假设：
ˆ t2 ˆ 0 ˆ 1 u ˆ t2 1 ˆ 2 u ˆ t2 2 ˆ p u ˆ t2 p u
明在分析通货膨胀模型时，大的及小的预测误差会
大量出现，表明存在一种异方差，其中预测误差的 方差取决于后续扰动项的大小。
4 从事于股票价格、通货膨胀率、外汇汇率等金融时间序
列预测的研究工作者，曾发现他们对这些变量的预测能力随 时期的不同而有相当大的变化。预测的误差在某一时期里相 对地小，而在某一时期里则相对地大，然后，在另一时期又 是较小的。这种变异很可能由于金融市场的波动性易受谣言、
在EViews中ARCH模型是在扰动项是条件正态分布的假定下， 16 通过极大似然函数方法估计的。例如，对于GARCH(1,1)，t 时期 的对数似然函数为：
其中
2 t
1 1 1 2 l t ln( 2 π) ln t ( y t x t γ ) 2 / t2 2 2 2
1
条件异方差模型
自回归条件异方差模型
2
自 回 归 条 件 异 方 差 (Autoregressive Conditional Heteroscedasticity Model， ARCH)模型是特别用来建立条件 方差模型并对其进行预测的。 ARCH 模型是 1982 年由恩格尔 (Engle, R.) 提出，并由博 勒斯莱文(Bollerslev, T., 1986)发展成为GARCH (Generalized ARCH)——广义自回归条件异方差。这些模型被广泛的应用
11 ARCH LM检验统计量由一个辅助检验回归计算。为检
验原假设：残差中直到q阶都没有ARCH，运行如下回归：
uˆ 0 uˆ uˆ
2 t 2 1 t 1
2 q tq
t
式中 û t 是残差。这是一个对常数和直到 q 阶的滞后平方残 差所作的回归。这个检验回归有两个统计量： （1）F 统计量是对所有残差平方的滞后的联合显著性所 作的一个省略变量检验； （2）TR2 统计量是Engle’s LM检验统计量，它是观测
zt xt
20
高阶GARCH(p, q)模型
高阶GARCH模型可以通过选择大于1的 p 或 q 得到估
计，记作GARCH(p, q)。其方差表示为：
t2
j
q
1
j t2 j
2 u i t i
p
i 1
（6.1.24）
t
6.1.4 IGARCH模型
21
q p 2 ˆ 1 j i j 1 i 1