椭圆相关知识点复习
椭圆的相关知识点总结
椭圆的相关知识点总结一、椭圆的定义椭圆是平面上到两个定点F1、F2的距离之和等于常数2a的点P的轨迹。
这两个定点F1、F2称为椭圆的焦点，常数2a称为椭圆的长轴，长轴的一半a称为椭圆的半长轴。
椭圆的短轴的长度为2b，短轴的一半b称为椭圆的半短轴。
椭圆上到焦点的距离等于常数2a的性质可以用数学语言表示为：|PF1|+|PF2|=2a。
椭圆的离心率e的定义是e=c/a，其中c是焦点到中心的距离。
显然，0<e<1，当e=0时，椭圆退化为一条线段；当e=1时，椭圆退化为一个圆。
二、椭圆的性质1. 焦点离心率椭圆的离心率大于0小于1。
2. 焦点公式椭圆长轴长度为2a，半短轴长度为b。
其中a、b分别是半长轴和半短轴的长度。
焦点坐标为(f1,0)和(-f1,0)。
其中f1=\sqrt{a^2-b^2}。
3. 针焦直线椭圆的焦点圆椭圆的大小只和a、b两轴有关，与焦点的远近无关。
4. 椭圆的直径垂直于直径的直线，称为轴；椭圆的两条轴相互垂直，且它们的交点是中心。
三、椭圆的方程1. 标准方程椭圆的标准方程为(x^2/a^2)+(y^2/b^2)=1，其中a、b分别为半长轴和半短轴的长度。
2. 一般方程椭圆的一般方程为Ax^2+By^2+Cx+Dy+E=0，其中A、B、C、D、E为常数。
一般方程的椭圆可以通过平移和旋转变换为标准方程。
四、椭圆的焦点椭圆的焦点离中心的距离c=\sqrt{a^2-b^2}。
五、椭圆的参数方程设椭圆的焦点为(f,0)和(-f,0)，半长轴为a，半短轴为b，则椭圆的参数方程为：x=a\cos t,y=b\sin t,其中0\leq t\leq 2\pi。
六、椭圆的极坐标方程椭圆的极坐标方程可以表示为：r=\frac{a(1-e^2)}{1+e\cos\theta},其中e为椭圆的离心率。
七、椭圆的图形椭圆的图形是一种闭合的曲线，形状类似于椭子。
椭圆的长轴和短轴分别是轴、横轴。
椭圆是关于两条坐标轴对称的曲线。
椭圆的认识知识点总结
椭圆的认识知识点总结一、椭圆的定义椭圆是平面上到两个固定点F1和F2的距离之和等于常数2a（a＞0）的点P的轨迹。
这两个固定点F1和F2称为椭圆的焦点，常数2a称为椭圆的长轴。
椭圆上距离F1和F2的距离之差等于2b（b＞0），其中b称为椭圆的短半轴。
椭圆的离心率e定义为e=c/a，其中c是焦距。
二、椭圆的性质1. 椭圆的长轴和短半轴椭圆的长轴是通过两个焦点的直线，而短半轴是垂直于长轴并且通过椭圆中心的直线。
椭圆的长轴和短半轴的长度分别为2a和2b。
2. 椭圆的离心率椭圆的离心率e决定了椭圆形状的“扁平程度”，e的取值范围是0<e<1。
当e=0时，椭圆的形状是一个圆；当e→1时，椭圆的形状趋近于一个长而狭窄的椭圆。
3. 椭圆的焦点和焦准线椭圆上任何一点到两个焦点的距离之和是一个常数2a，这个定理称为定义定理。
椭圆的长轴是两个焦点之间的直线，称为主轴。
两个焦点之间的直线称为焦准线。
4. 椭圆的轴线方程椭圆的长轴和短半轴分别平行于坐标轴，可以通过坐标轴和焦点的位置来确定椭圆的轴线方程，通常有(x-h)²/a²+(y-k)²/b²=1和(x-h)²/b²+(y-k)²/a²=1两种形式。
5. 椭圆的参数方程和焦点方程椭圆的参数方程是一对参数方程x=a*cosθ，y=b*sinθ。
椭圆的焦点方程是通过焦点和参数θ来表示椭圆上的点的坐标方程。
6. 椭圆的面积椭圆的面积可以通过长轴和短半轴的长度计算得出，通常为πab。
7. 椭圆的周长椭圆的周长可以通过参数方程和积分计算得出，通常为4aE(e)，其中E(e)是第二类椭圆积分。
8. 椭圆的方程椭圆的方程可以通过焦点、焦准线、长轴和短轴的长度来表示，通常为(x-h)²/a²+(y-k)²/b²=1。
三、椭圆的应用1. 天体运动椭圆的轨迹方程在天文学中有广泛的应用，例如行星的轨道运动就可以用椭圆轨迹方程描述。
(完整版)椭圆知识点归纳总结
(完整版)椭圆知识点归纳总结1. 椭圆的定义椭圆是平面上到两个给定点的距离之和等于常数的点的集合。
这两个给定点称为焦点，而常数称为离心率。
椭圆的形状由焦点之间的距离决定，离心率的大小则决定了椭圆的扁平程度。
2. 椭圆的基本性质- 椭圆的长轴是焦点之间的距离，短轴是长轴的垂直中垂线。
- 椭圆的离心率介于0和1之间，且离心率为0时为圆。
- 椭圆有两个对称轴，分别是长轴和短轴的中垂线。
- 椭圆的焦点和任意一点的距离和等于离心率与该点到椭圆两个焦点的距离之和。
- 椭圆的面积为π * a * b，其中a和b分别是长轴和短轴的一半。
3. 椭圆的方程普通椭圆的方程为：(x-h)²/a² + (y-k)²/b² = 1其中(h,k)是椭圆的中心坐标，a和b分别是椭圆长轴和短轴的一半。
4. 椭圆的参数方程椭圆的参数方程为：x = h + a * cos(t)y = k + b * sin(t)其中(h,k)是椭圆的中心坐标，a和b分别是椭圆长轴和短轴的一半，t是参数。
5. 椭圆的焦点与直径- 焦点到定点的距离等于椭圆的常数离心率。
- 椭圆的两个焦点与椭圆的直径的交点相同。
6. 椭圆与其他几何图形关系- 椭圆与直线的关系：给定一条直线，椭圆上离直线距离之和最小的点在直线的垂直线上。
- 椭圆与双曲线的关系：双曲线可以看作是离心率大于1的椭圆。
- 椭圆与抛物线的关系：抛物线可以看作是离心率等于1的椭圆。
7. 椭圆的应用椭圆在现实生活中有广泛的应用，例如：- 天体运动：行星、卫星等的轨道可以近似看作是椭圆。
- 椭圆滤波器：在信号处理中用于清除噪音。
- 光学器件：如折射球面镜、椭圆镜等。
以上是关于椭圆的常见知识点的归纳总结，希望能对你有所帮助。
椭圆的知识点总结
椭圆的知识点总结椭圆是高中数学中的一个重要概念，在数学和物理学等领域都有广泛的应用。
下面我们来详细总结一下椭圆的相关知识点。
一、椭圆的定义平面内与两个定点$F_1$、＄F_2$的距离之和等于常数（大于$｜F_1F_2|＄）的点的轨迹叫做椭圆。
这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距。
用数学表达式来表示：设点$P$为椭圆上的任意一点，焦点$F_1$、＄F_2$的坐标分别为$（c, 0)＄、＄（c, 0)＄，则$｜PF_1| ＋｜PF_2|＝ 2a$（＄2a ＞ 2c$）。
二、椭圆的标准方程1、焦点在$x$轴上的椭圆标准方程：＄＼frac{x^2}｛a^2} ＋＼frac{y^2}｛b^2} ＝ 1$（＄a ＞ b ＞ 0$），其中$a$为椭圆的长半轴长，＄b$为椭圆的短半轴长，＄c ＝＼sqrt{a^2 b^2}＄为半焦距。
2、焦点在$y$轴上的椭圆标准方程：＄＼frac{y^2}｛a^2} ＋＼frac{x^2}｛b^2} ＝ 1$（＄a ＞ b ＞ 0$）。
要注意区分焦点所在的坐标轴，根据条件正确选择标准方程的形式。
三、椭圆的性质1、范围对于焦点在$x$轴上的椭圆$＼frac{x^2}｛a^2} ＋＼frac{y^2}｛b^2} ＝ 1$，有$a ＼leq x ＼leq a$，＄b ＼leq y ＼leq b$；对于焦点在$y$轴上的椭圆$＼frac{y^2}｛a^2} ＋＼frac{x^2}｛b^2} ＝ 1$，有$b ＼leq x ＼leq b$，＄a ＼leq y ＼leq a$。
2、对称性椭圆关于$x$轴、＄y$轴和原点对称。
3、顶点焦点在$x$轴上的椭圆的顶点坐标为$（＼pm a, 0)＄，＄（0, ＼pm b)＄；焦点在$y$轴上的椭圆的顶点坐标为$（0, ＼pm a)＄，＄（＼pm b, 0)＄。
4、离心率椭圆的离心率$e ＝＼frac{c}｛a}＄，其中$0 ＜ e ＜ 1$。
椭圆知识点复习
椭圆知识点复习一、要点归纳 （一）椭圆的定义：第一定义：平面内与两定点F 、F'的距离的和等于常数2a(2a>|FF'|的动点P 的轨迹叫做椭圆。
即：│PF │+│PF'│=2a其中两定点F 、F'叫做椭圆的焦点，两焦点的距离│FF'│叫做椭圆的焦距。
第二定义：平面上到定点F 距离与到定直线间距离之比为常数的点的集合（定点F 不在定直线上，该常数为小于1的正数），定点与定直线在椭圆同一侧，定常数为椭圆离心率。
其中定点F 为椭圆的焦点，定直线称为椭圆的准线（该定直线的方程是X=a^2/c)。
（二）椭圆的标准方程：椭圆的标准方程有两种，取决于焦点所在的坐标轴：1）焦点在X 轴时，标准方程为：x^2/a^2+y^2/b^2=1 (a>b>0) 2）焦点在Y 轴时，标准方程为：x^2/b^2+y^2/a^2=1 (a>b>0)其中a>0，b>0。
a 、b 中较大者为椭圆长半轴长，较短者为短半轴长（椭圆有两条对称轴，对称轴被椭圆所截，有两条线段，它们的一半分别叫椭圆的长半轴和短半轴或半长轴和半短轴）当a>b 时，焦点在x 轴上，焦距为2*(a^2-b^2)^0.5，焦距与长.短半轴的关系:b^2=a^2-c^2，准线方程是x=a^2/c 和x=-a^2/c（三）椭圆的几何性质１．范围：椭圆位于直线a x ±=和b y ±=所围成的矩形里．原因：由标准方程可知，椭圆上的点的坐标（x ,y ）都适合不等式,1,12222≤≤by a x即2222,b y a x ≤≤,∴b y a x ≤≤,2．对称性：从图形上看：椭圆关于x 轴、y 轴、原点对称。
从方程上看： （1）把x 换成-x 方程不变，图象关于y 轴对称； （2）把y 换成-y 方程不变，图象关于x 轴对称；（3）把x 换成-x ，同时把y 换成-y 方程不变，图象关于原点成中心对称。
椭圆的知识点总结
椭圆的知识点总结一、椭圆的定义椭圆是平面上的一种特殊曲线，它的定义可以有多种方式。
在解析几何中，我们通常采用焦点－直线之和等于常数的定义来描述椭圆。
具体而言，椭圆定义为到两个固定点（焦点）的距离之和等于常数的点的集合。
这个常数被称为椭圆的长轴长度。
另外，椭圆还有一个短轴，它垂直于长轴且通过长轴的中点。
椭圆的长轴和短轴的长度决定了椭圆的形状。
二、椭圆的性质1. 焦点性质：椭圆有两个焦点，它们位于长轴上，且椭圆上任意一点到两个焦点的距离之和等于椭圆的长轴长度。
2. 直径性质：椭圆的直径是经过焦点的直线段，并且它恰好与椭圆相交于椭圆上的两点。
3. 周长性质：椭圆的周长可以用椭圆的半长轴和半短轴的长度来表示，即2πb+4aE(e)，其中a和b分别为椭圆的长轴和短轴的长度，E(e)为第二类椭圆积分。
4. 质心性质：椭圆的质心位于椭圆的中心，且与椭圆的几何中心重合。
椭圆的质心满足椭圆上所有点到该质心的距离之和等于椭圆的长轴长度。
5. 对称性质：椭圆具有关于长轴和短轴的对称性，且同时具有关于两个焦点的对称性。
6. 离心率性质：椭圆的离心率e是一个重要的参数，它刻画了椭圆的形状。
椭圆的离心率满足0<e<1，且e=√(1-b²/a²)。
7. 焦点和直角坐标系的关系：椭圆在直角坐标系中的方程形式可以用来描述椭圆的形状，其一般方程为(x²/a²)+(y²/b²)=1。
三、椭圆的方程椭圆的方程通常以长轴和短轴的长度来表示，其一般方程为(x²/a²)+(y²/b²)=1。
在给定长轴和短轴的情况下，可以通过椭圆的方程来确定椭圆的形状和位置。
四、椭圆的焦点椭圆有两个焦点，它们分别位于长轴的两端。
椭圆上任意一点到两个焦点的距离之和等于椭圆的长轴长度。
焦点是椭圆的重要特性，它们的位置决定了椭圆的形状和方向。
五、椭圆的参数方程椭圆还可以用参数方程来描述。
椭圆的复习(基本知识+常考题型)
椭圆基本知识点一．椭圆及其标准方程1．椭圆的定义：平面内与两定点12,F F 距离的和等于常数()212F F a >的点的轨迹叫做椭圆，即点集2121{||||2,2||2}M P PF PF a a F F c =+=>=，这里两个定点12,F F 叫椭圆的焦点，两焦点间的距离叫椭圆的焦距2c 。
（若1212||||||PF PF F F +=时，P 的轨迹为线段21F F ；若1212||||||PF PF F F +<，则无轨迹）。
2．标准方程： ①焦点在x 轴上：22221(0)x y a b a b+=>>； 焦点12(,0),(,0)F c F c -②焦点在y 轴上：22221(0)y x a b a b+=>>； 焦点12(0,),(0,)F c F c -注意：①在两种标准方程中，总有0a b >>，且222ca b =-；②两种标准方程可用一般形式表示：221x y m n+= 或221mx ny += 二．椭圆的简单几何性质：1.范围：（1）椭圆22221(0)x y a b a b+=>>横坐标a x a -≤≤ ,纵坐标b y b -≤≤（2）椭圆22221(0)y x a b a b+=>> 横坐标b x b -≤≤，纵坐标a y a -≤≤2.对称性：椭圆关于x 轴y 轴都是对称的，这里，坐标轴是椭圆的对称轴，原点是椭圆的对称中心，椭圆的对称中心叫做椭圆的中心3.椭圆的顶点：椭圆的长轴长等于2a ，短轴长等于2b ，a 和b 分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长。
4．离心率：我们把椭圆的焦距与长轴长的比22c a ，即ac称为椭圆的离心率， 记作e （10<<e ），2221()c b e aa==-0e =是圆；e 越接近于0 （e 越小），椭圆就越接近于圆； e 越接近于1 （e 越大），椭圆越扁；注意：离心率的大小只与椭圆本身的形状有关，与其所处的位置无关。
椭圆知识点汇总
椭圆知识点汇总一、椭圆的定义平面内与两个定点 F₁、F₂的距离之和等于常数（大于|F₁F₂|）的点的轨迹叫做椭圆。
这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距。
若 M 为椭圆上任意一点，F₁、F₂为椭圆的焦点，则有|MF₁| ＋｜MF₂| ＝ 2a（2a ＞ 2c，其中 2c 为焦距）。
二、椭圆的标准方程1、焦点在 x 轴上的椭圆标准方程：＼（＼frac{x^2}｛a^2} ＋＼frac{y^2}｛b^2} ＝ 1\）（＼（a ＞ b ＞ 0\）），其中\（a\）为椭圆的长半轴长，＼（b\）为椭圆的短半轴长，＼（c\）满足\（c^2 ＝ a^2b^2\），焦点坐标为\（（＼pm c, 0)＼）。
2、焦点在 y 轴上的椭圆标准方程：＼（＼frac{y^2}｛a^2} ＋＼frac{x^2}｛b^2} ＝ 1\）（＼（a ＞ b ＞ 0\）），焦点坐标为\（（0, ＼pm c)＼）。
三、椭圆的性质1、对称性椭圆关于 x 轴、y 轴和原点都是对称的。
2、范围对于焦点在 x 轴上的椭圆\（＼frac{x^2}｛a^2} ＋＼frac{y^2}｛b^2} ＝ 1\），有\（a ＼leq x ＼leq a\），＼（b ＼leq y ＼leq b\）；对于焦点在 y 轴上的椭圆\（＼frac{y^2}｛a^2} ＋＼frac{x^2}｛b^2} ＝ 1\），有\（b ＼leq x ＼leq b\），＼（a ＼leq y ＼leq a\）。
3、顶点焦点在 x 轴上的椭圆顶点坐标为\（（＼pm a, 0)＼），＼（（0, ＼pm b)＼）；焦点在 y 轴上的椭圆顶点坐标为\（（0, ＼pm a)＼），＼（（＼pm b, 0)＼）。
4、离心率椭圆的离心率\（e ＝＼frac{c}｛a}＼）（＼（0 ＜ e ＜ 1\）），它反映了椭圆的扁平程度。
＼（e\）越接近0，椭圆越接近于圆；＼（e\）越接近 1，椭圆越扁。
椭圆的性质及知识点总结
椭圆的性质及知识点总结一、椭圆的定义和基本性质1.1 椭圆的定义椭圆是平面上到两个定点F1和F2的距离之和等于常数2a的点P的轨迹。
设d1和d2分别表示P到F1和F2的距离，则椭圆的定义可以用数学表达式表示为|d1 + d2| = 2a 。
1.2 椭圆的基本性质（1）椭圆对称轴：椭圆有两个对称轴，分别称为长轴和短轴。
长轴的端点是两个焦点F1和F2，短轴与长轴垂直并通过椭圆的中心点。
（2）椭圆的焦点和离心率：椭圆的焦点是定义椭圆的两个定点F1和F2，离心率e是一个表示椭圆形状的参数，e的取值范围是0<e<1。
（3）椭圆的三大定律：椭圆有三个基本定律，分别是:（a）椭圆内到两个焦点的距离之和等于长轴的长度；（b）椭圆内到两个焦点的距离之差等于长轴的长度；（c）椭圆的面积等于πab，其中a和b分别是长轴和短轴的长度。
1.3 椭圆的方程椭圆的标准方程是x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1，其中a和b分别是长轴和短轴的长度，椭圆的中心点位于原点(0,0)。
二、椭圆的相关知识点2.1 椭圆的离心率椭圆的离心率e的定义是e=c/a，其中c为焦距，a为长半轴的一半。
离心率越接近于0，椭圆形状越圆；离心率越接近于1，椭圆形状越扁。
2.2 椭圆的参数方程椭圆也可以用参数方程表示，参数方程为：x = a * cosθy = b * sinθ其中θ为参数，a和b分别是长轴和短轴的长度。
2.3 椭圆的焦半径椭圆的焦半径是指从椭圆的焦点到该椭圆上的任意一点P的距离，椭圆上各点的焦半径之和等于椭圆的周长。
2.4 椭圆的切线椭圆上的切线有一个特点：与椭圆相切的切线在切点处与切线的法线垂直。
根据这个特点可以求出椭圆上任意一点处的切线方程。
2.5 椭圆的焦点坐标椭圆的焦点坐标可以通过椭圆的离心率和焦距来求解。
焦点坐标为（±ae, 0），a为长轴的一半，e为椭圆的离心率。
2.6 椭圆的面积椭圆的面积可以通过参数法求解，面积为πab，其中a和b分别是长轴和短轴的长度。
高三椭圆知识点总结
高三椭圆知识点总结1. 椭圆的定义椭圆是平面上的一个点集，它的定义是：给定一个点 F1 和一个实数 e（e＜1），平面上到 F1 的距离与到另一定点 F2 的距离的和是一个常数 2a ，即：PF1 + PF2 = 2a（a＞0）。
这样的点集就构成了一个椭圆。
2. 椭圆的性质（1）椭圆的对称性椭圆具有两条互相垂直的对称轴，称为长轴和短轴。
椭圆的中心既是长轴的中点，也是短轴的中点。
椭圆具有中心对称性，即椭圆上的任意点关于中心对称。
（2）焦点和直径在椭圆上存在两个特殊的点 F1 和 F2，它们被称为焦点。
椭圆上的所有点到焦点的距离和为定值 2a。
椭圆的长轴称为椭圆的主轴，短轴称为椭圆的次轴。
椭圆的主轴的两端点被称为端点，也被称为椭圆的顶点。
（3）椭圆的离心率椭圆的离心率 e 定义为焦点 F1 到椭圆中心 O 的距离与椭圆的底边长 b 的比值，即 e = OF1 / b。
离心率的取值范围为 0＜e＜1，当 e＝0 时，椭圆退化为一个圆；当e→1 时，椭圆逐渐趋近于一个狭长的形状。
（4）椭圆的方程椭圆的标准方程为 x^2 / a^2 + y^2 / b^2 = 1 ，其中 a 和 b 分别是椭圆的长轴和短轴的长度。
椭圆的方程也可以表示为其它形式，如标准方程的极坐标形式、参数方程、直角坐标系下的一般形式等。
3. 椭圆的相关定理（1）椭圆的焦点定理椭圆上任意一点 P 到椭圆的两个焦点 F1 和 F2 的距离之和等于常数 2a，即 PF1 + PF2 = 2a。
（2）椭圆的切线定理椭圆的切线与椭圆的两个焦点之间的距离之和等于椭圆的两条焦轴的长度，即 PT1 + PT2= 2a；PT1 和 PT2 分别为切线的两个切点到椭圆两焦点的距离。
（3）椭圆的两条辅助圆定理椭圆与其两个辅助圆相交于同一条直线上，椭圆的两个焦点为圆心，椭圆的长轴为直径的圆被称为椭圆的第一辅助圆，椭圆的两个顶点为圆心，椭圆的短轴为直径的圆被称为椭圆的第二辅助圆。
复习椭圆相关知识点总结
复习椭圆相关知识点总结一、椭圆的定义椭圆是平面上的一条封闭曲线，其定义为到两个给定点的距离之和等于常数（椭圆的长轴）。
即设两点F1（-c, 0）、F2（c, 0）（c为常数）,过F1、F2点分别作两条互相垂直的直线，这两条直线交于一点O，任意取一点M，连接M到两点的距离之和是常数，即|MF1| + |MF2| = 2a(常数)，则点M的轨迹称为椭圆。
二、椭圆的性质1.椭圆的离心率椭圆的离心率是指椭圆焦点到中心点的距离与长轴之比，其数值范围在0到1之间。
2.椭圆的焦点和直径椭圆有两个焦点，分别位于椭圆的长轴上，并向短轴的对称位置。
而椭圆的长轴和短轴之间的距离称为椭圆的直径。
3.椭圆的参数方程椭圆的参数方程为：x = a * cos(t)，y = b * sin(t)。
其中，a和b分别为椭圆的长短轴长度，t为参数。
4.椭圆的切线和法线椭圆上的切线与法线分别垂直于轨迹曲线，在切点处切线的斜率等于轨迹曲线的斜率，法线的斜率是切线斜率的相反数。
5.椭圆的焦点位置椭圆的焦点位置可以通过以下公式计算得出： c = sqrt(a^2 - b^2)。
三、椭圆的应用椭圆在数学和物理学中都有着广泛的应用，例如在天文学中，椭圆常用来描述行星、卫星和彗星的运动轨迹；在工程学中，椭圆常用来描述电子束的运动轨迹；在通信领域中，椭圆常用来描述无线信号的传播路径等。
四、椭圆的计算1.椭圆的面积椭圆的面积可以通过以下公式计算得出：S = π * a * b。
2.椭圆的周长椭圆的周长可以通过以下公式计算得出：C = 4a * E(e)。
其中，E(e)是椭圆的第二类完全椭圆积分，e是椭圆的离心率。
3.椭圆的焦距椭圆的焦距可以通过以下公式计算得出：f = 2a * e。
五、椭圆的变换椭圆可以通过平移、旋转、缩放等变换来得到新的椭圆，这些变换可以通过矩阵运算来表示，从而方便进行计算和分析。
综上所述，椭圆是一种经典的几何图形，在数学和物理学中有着广泛的应用。
椭圆知识点总结归纳
椭圆知识点总结归纳一、椭圆的定义和基本概念椭圆可以通过平面上的一个固定点F（称为焦点）和一条固定线段2a（称为主轴）上的所有点P的路径定义为椭圆。
具体而言，椭圆的定义如下：给定平面内的一条固定线段2a，再给定一个固定点F（焦点），点S（焦点）到线段上所有的点P的距离之和等于一个常数2a。
即|PF1| + |PF2| = 2a。
一个椭圆可以有很多不同的特点和性质，其中一些重要的概念包括椭圆的长轴、短轴、焦距、离心率等，这些概念对于理解和分析椭圆的性质和特点非常重要。
椭圆上的点P满足以下条件：|PF1| + |PF2| = 2a，其中F1和F2为椭圆的两个焦点，2a为椭圆的长轴的长度。
椭圆也具有一个参数e，叫做离心率，满足e=c/a，其中c为焦距。
二、椭圆的标准方程和参数方程椭圆的标准方程是椭圆上的所有点（x，y）满足以下条件的方程：x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1。
其中a和b分别为椭圆的长轴和短轴的长度。
椭圆的参数方程是另一种表示椭圆的方式，通常用参数方程表示的椭圆更容易进行计算和分析。
三、椭圆的性质和特点1. 椭圆的离心率是一个重要的性质，它决定了椭圆的形状。
离心率e的取值范围是0<e<1，当e=0时，椭圆退化为一个点；当e=1时，椭圆退化为一条线段。
2. 椭圆的长轴和短轴的长度分别为2a和2b，其中a>b。
3. 椭圆的焦点和两个顶点都在椭圆的长轴上。
4. 椭圆上的任意点P到两个焦点的距离之和等于椭圆的长轴的长度2a。
5. 椭圆上的对称轴是椭圆的长轴和短轴，对称中心是椭圆的中心。
6. 椭圆与坐标轴的交点分别为（±a, 0）和（0, ±b）。
7. 椭圆上的点P（x，y）与主轴和副轴之间的关系满足x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1。
8. 椭圆的周长和面积分别为π(a+b)和πab。
9. 椭圆是一种闭合曲线，不同于抛物线和双曲线，它没有渐近线。
四、椭圆的相关定理和公式1. 椭圆上的点P(x，y)与焦点的距离之和等于椭圆的长轴的长度2a，即|PF1| + |PF2| = 2a。
数学椭圆知识点总结
数学椭圆知识点总结数学椭圆知识点总结椭圆基础知识梳理知识点一椭圆的定义平面内到两个定点的距离之和等于常数(大于)的点的集合叫做椭圆。
两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距。
根据椭圆的定义可知：椭圆上的点M满足集合，，且都为常数。
当即时，集合P为椭圆。
当即时，集合P为线段。
当即时，集合P为空集。
知识点二椭圆的标准方程(1)，焦点在轴上时，焦点为，焦点。
(2)，焦点在轴上时，焦点为，焦点。
知识点三椭圆方程的一般式这种形式的方程在课本中虽然没有明确给出，但在应用中有时比较方便，在此提供出来，作为参考：(其中为同号且不为零的常数，)，它包含焦点在轴或轴上两种情形。
方程可变形为。
当时，椭圆的焦点在轴上;当时，椭圆的焦点在轴上。
一般式，通常也设为，应特别注意均大于0，标准方程为。
知识点四椭圆标准方程的求法1.定义法椭圆标准方程可由定义直接求得，这是求椭圆方程中很重要的方法之一,当问题是以实际问题给出时，一定要注意使实际问题有意义，因此要恰当地表示椭圆的范围。
例1、在△ABC中，A、B、C所对三边分别为，且B(-1,0)C(1,0)，求满足，且成等差数列时，顶点A的曲线方程。
变式练习1.在△ABC中，点B(-6,0)、C(0,8)，且成等差数列。
(1)求证：顶点A在一个椭圆上运动。
(2)指出这个椭圆的焦点坐标以及焦距。
2.待定系数法首先确定标准方程的类型，并将其用有关参数表示出来，然后结合问题的条件，建立参数满足的等式，求得的值，再代入所设方程，即一定性，二定量，最后写方程。
例2、已知椭圆的中心在原点，且经过点P(3,0)，=3b，求椭圆的标准方程。
例3、已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过两点，求椭圆方程。
变式练习2.求适合下列条件的椭圆的方程;(1)两个焦点分别是(-3,0)，(3,0)且经过点(5,0).(2)两焦点在坐标轴上，两焦点的中点为坐标原点，焦距为8，椭圆上一点到两焦点的距离之和为12.3.已知椭圆经过点和点，求椭圆的标准方程。
椭圆知识点总结
椭圆知识点知识点一：椭圆的定义平面内一个动点P 到两个定点1F 、2F 的距离之和等于常数)2(2121F F a PF PF >=+ ,这个动点P 的轨迹叫椭圆.这两个定点叫椭圆的焦点，两焦点的距离叫作椭圆的焦距. 注意：若)(2121F F PF PF =+，则动点P 的轨迹为线段21F F ； 若)(2121F F PF PF <+，则动点P 的轨迹无图形.知识点二：椭圆的标准方程1．当焦点在x 轴上时，椭圆的标准方程：12222=+by a x )0(>>b a ，其中222b a c -=2．当焦点在y 轴上时，椭圆的标准方程：12222=+bx a y )0(>>b a ，其中222b a c -=；注意：1．只有当椭圆的中心为坐标原点，对称轴为坐标轴建立直角坐标系时， 才能得到椭圆的标准方程； 2．在椭圆的两种标准方程中，都有)0(>>b a 和222b a c -=；3．椭圆的焦点总在长轴上.当焦点在x 轴上时，椭圆的焦点坐标为)0,(c ，)0,(c -； 当焦点在y 轴上时，椭圆的焦点坐标为),0(c ，),0(c -知识点三：椭圆的简单几何性质椭圆：12222=+by a x )0(>>b a 的简单几何性质1.对称性：对于椭圆标准方程12222=+b y a x )0(>>b a ：说明：把x 换成x -、或把y 换成y -、或把x 、y 同时换成x -、y -、原方程都不变，所以椭圆12222=+by a x 是以x 轴、y 轴为对称轴的轴对称图形，并且是以原点为对称中心的中心对称图形，这个对称中心称为椭圆的中心。
2.范围：椭圆上所有的点都位于直线a x±=和b y ±=所围成的矩形内，所以椭圆上点的坐标满足a x ≤，b y ≤。
3.顶点：①椭圆的对称轴与椭圆的交点称为椭圆的顶点。
数学椭圆知识点
数学椭圆知识点数学椭圆知识点汇总在现实学习生活中，相信大家一定都接触过知识点吧！知识点就是学习的重点。
哪些知识点能够真正帮助到我们呢？下面是店铺整理的数学椭圆知识点，希望对大家有所帮助。
数学椭圆知识点篇1椭圆的面积公式S=(圆周率)ab(其中a,b分别是椭圆的长半轴,短半轴的长).或S=(圆周率)AB/4(其中A,B分别是椭圆的长轴,短轴的长).椭圆的周长公式椭圆周长没有公式，有积分式或无限项展开式。
椭圆周长(L)的精确计算要用到积分或无穷级数的求和。
如L = /2]4a * sqrt(1-(e*cost)^2)dt((a^2+b^2)/2) [椭圆近似周长], 其中a为椭圆长半轴,e为离心率椭圆离心率的定义为椭圆上的点到某焦点的距离和该点到该焦点对应的准线的距离之比，设椭圆上点P到某焦点距离为PF，到对应准线距离为PL，则e=PF/PL椭圆的准线方程x=a^2/C椭圆的离心率公式e=c/a(e1,因为2a2c)椭圆的焦准距：椭圆的焦点与其相应准线(如焦点(c,0)与准线x=+a^2/C)的距离,数值=b^2/c椭圆焦半径公式 |PF1|=a+ex0 |PF2|=a-ex0椭圆过右焦点的半径r=a-ex过左焦点的半径r=a+ex椭圆的通径：过焦点的垂直于x轴(或y轴)的直线与椭圆的两交点A,B之间的距离，数值=2b^2/a点与椭圆位置关系点M(x0，y0) 椭圆 x^2/a^2+y^2/b^2=1点在圆内： x0^2/a^2+y0^2/b^21点在圆上： x0^2/a^2+y0^2/b^2=1点在圆外： x0^2/a^2+y0^2/b^21直线与椭圆位置关系y=kx+m ①x^2/a^2+y^2/b^2=1 ②由①②可推出x^2/a^2+(kx+m)^2/b^2=1相切△=0相离△0无交点相交△0 可利用弦长公式：A(x1,y1) B(x2,y2)|AB|=d = (1+k^2)|x1-x2| = (1+k^2)(x1-x2)^2 = (1+1/k^2)|y1-y2| = (1+1/k^2)(y1-y2)^2椭圆通径(定义：圆锥曲线(除圆外)中，过焦点并垂直于轴的弦)公式：2b^2/a椭圆的斜率公式过椭圆上x^2/a^2+y^2/b^2=1上一点(x，y)的切线斜率为 -(b^2)X/(a^2)y数学椭圆知识点篇2⑴集合与简易逻辑：集合的概念与运算、简易逻辑、充要条件⑵函数：映射与函数、函数解析式与定义域、值域与最值、反函数、三大性质、函数图象、指数与指数函数、对数与对数函数、函数的应用⑶数列：数列的有关概念、等差数列、等比数列、数列求和、数列的应用⑷三角函数：有关概念、同角关系与诱导公式、和、差、倍、半公式、求值、化简、证明、三角函数的图象与性质、三角函数的应用⑸平面向量：有关概念与初等运算、坐标运算、数量积及其应用⑹不等式：概念与性质、均值不等式、不等式的证明、不等式的解法、绝对值不等式、不等式的应用⑺直线和圆的方程：直线的方程、两直线的位置关系、线性规划、圆、直线与圆的.位置关系⑻圆锥曲线方程：椭圆、双曲线、抛物线、直线与圆锥曲线的位置关系、轨迹问题、圆锥曲线的应用⑽排列、组合和概率：排列、组合应用题、二项式定理及其应用⑾概率与统计：概率、分布列、期望、方差、抽样、正态分布⑿导数：导数的概念、求导、导数的应用⒀复数：复数的概念与运算正弦定理a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R注：其中R表示三角形的外接圆半径余弦定理b2=a2+c2—2accosB注：角B是边a和边c的夹角圆的标准方程（x—a）2+（y—b）2=r2注：（a，b）是圆心坐标圆的一般方程x2+y2+Dx+Ey+F=0注：D2+E2—4F>0抛物线标准方程y2=2pxy2=—2p_2=2pyx2=—2py直棱柱侧面积S=c_h斜棱柱侧面积S=c'_h正棱锥侧面积S=1/2c_h'正棱台侧面积S=1/2（c+c'）h'圆台侧面积S=1/2（c+c'）l=pi（R+r）l球的表面积S=4pi_r2 圆柱侧面积S=c_h=2pi_h圆锥侧面积S=1/2_c_l=pi_r_l弧长公式l=a_ra是圆心角的弧度数r>0扇形面积公式s=1/2_l_r 锥体体积公式V=1/3_S_H圆锥体体积公式V=1/3_pi_r2h斜棱柱体积V=S'L注：其中，S'是直截面面积，L是侧棱长柱体体积公式V=s_h圆柱体V=p_r2h乘法与因式分a2—b2=（a+b）（a—b）a3+b3=（a+b）（a2—ab+b2）a3—b3=（a—b（a2+ab+b2）三角不等式|a+b|≤|a|+|b||a—b|≤|a|+|b||a|≤b<=>—b≤a≤b|a—b|≥|a|—|b|—|a|≤a≤|a|一元二次方程的解—b+√（b2—4ac）/2a—b—√（b2—4ac）/2a根与系数的关系X1+X2=—b/aX1_X2=c/a注：韦达定理判别式b2—4ac=0注：方程有两个相等的实根b2—4ac>0注：方程有两个不等的实根b2—4ac<0注：方程没有实根，有共轭复数根两角和公式sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinBsin（A—B）=sinAcosB—sinBcosAcos（A+B）=cosAcosB—sinAsinBcos（A—B）=cosAcosB+sinAsinBtan（A+B）=（tanA+tanB）/（1—tanAtanB）tan（A—B）=（tanA—tanB）/（1+tanAtanB）ctg（A+B）=（ctgActgB—1）/（ctgB+ctgA）ctg（A—B）=（ctgActgB+1）/（ctgB—ctgA）倍角公式tan2A=2tanA/（1—tan2A）ctg2A=（ctg2A—1）/2ctgacos2a=cos2a—sin2a=2cos2a—1=1—2sin2a半角公式sin（A/2）=√（（1—cosA）/2）sin（A/2）=—√（（1—cosA）/2）cos（A/2）=√（（1+cosA）/2）cos（A/2）=—√（（1+cosA）/2）tan（A/2）=√（（1—cosA）/（（1+cosA））tan（A/2）=—√（（1—cosA）/（（1+cosA））ctg（A/2）=√（（1+cosA）/（（1—cosA））ctg（A/2）=—√（（1+cosA）/（（1—cosA））和差化积2sinAcosB=sin（A+B）+sin（A—B）2cosAsinB=sin（A+B）—sin（A—B）2cosAcosB=cos（A+B）—sin（A—B）—2sinAsinB=cos （A+B）—cos（A—B）sinA+sinB=2sin（（A+B）/2）cos（（A—B）/2cosA+cosB=2cos（（A+B）/2）sin（（A—B）/2）tanA+tanB=sin（A+B）/cosAcosBtanA—tanB=sin（A—B）/cosAcosBctgA+ctgBsin（A+B）/sinAsinB—ctgA+ctgBsin（A+B）/sinAsinB【数学椭圆知识点汇总】。
椭圆知识点总结_高三数学知识点总结
椭圆知识点总结_高三数学知识点总结椭圆是数学中的一个重要概念，它在几何学、代数学、物理学等领域都有着广泛的应用。
在高中数学中，学生学习了椭圆的基本知识，包括椭圆的定义、性质、方程、参数方程、焦点、直径等内容。
本文将对高中数学中关于椭圆的知识点进行总结，帮助学生更好地掌握和理解椭圆的相关知识。
一、椭圆的定义椭圆是平面上到两个定点F1和F2的距离之和等于常数2a的动点P的轨迹。
定点F1和F2称为椭圆的焦点，2a称为椭圆的长轴长度。
二、椭圆的性质1. 对称性：椭圆具有关于长轴和短轴的两个对称轴，分别称为长轴和短轴。
椭圆关于长轴和短轴对称。
2. 焦点性质：椭圆上任意一点到两个焦点的距离之和等于常数2a。
3. 直径性质：椭圆的直径是椭圆内任意两点连线中最长的。
椭圆上通过焦点的直径垂直于椭圆的长轴。
4. 离心率：椭圆的离心率0＜e＜1，其中e＝c/a，c是焦点到圆心的距离，a是椭圆长轴的一半。
5. 参数方程：椭圆可以有参数方程表示为x=a*cos(t)，y=b*sin(t)，其中t∈[0,2π]。
三、椭圆的方程椭圆的标准方程为(x^2)/a^2+(y^2)/b^2=1。
a、b分别为椭圆长轴和短轴的长度。
椭圆的一般方程为Ax^2+By^2+2Dx+2Ey+F=0。
通过对一般方程进行平移变换和旋转变换，可以将椭圆的一般方程化为标准方程。
五、椭圆的焦点和直径椭圆有两个焦点F1和F2，它们与椭圆的长轴之间的距离等于椭圆长轴长度的一半。
椭圆的两个焦点确定了椭圆的形状和大小。
六、椭圆的常见问题解答1. 求椭圆的焦点坐标：通过椭圆的标准方程可以求得焦点的坐标。
2. 求椭圆的离心率：通过椭圆的焦距和长轴长度可以求得椭圆的离心率。
数学椭圆涉及知识点总结
数学椭圆涉及知识点总结一、椭圆的定义1.1、直角坐标系下的定义在直角坐标系中，椭圆的定义如下：给定两个固定点F1和F2（称为焦点）以及一个正实数a，且a>0。
椭圆是到两个焦点的距离之和等于常数2a的点的集合，即对于任意点P(x,y)，PF1+PF2=2a。
1.2、参数方程的定义椭圆也可以用参数方程来表示。
假设椭圆的焦点在原点，半长轴为a，半短轴为b（a>b>0）。
椭圆上的点可以表示为(x,y)=(a*cosθ, b*sinθ)，其中θ是参数。
1.3、其他等价定义除了以上直角坐标系和参数方程的定义之外，椭圆还有许多其他等价的定义，例如：轴对称、封闭曲线等等。
二、椭圆的性质2.1、焦点、顶点和长轴、短轴椭圆有两个焦点和两条主轴。
焦点是椭圆上的两个固定点，两个焦点之间的距离等于2a。
椭圆的两个主轴分别是椭圆的长轴和短轴，其长度分别为2a和2b。
2.2、离心率椭圆的离心率e是一个表示椭圆形状的重要参数，它是焦距与长轴的比值，即e=c/a，其中c是焦点到原点的距离。
离心率是一个小于1的实数，并且与椭圆的形状密切相关。
2.3、焦点、半焦距和半通径椭圆的焦点F1和F2之间的距离是2c，称为焦距。
椭圆的半焦距用c表示，半焦距与长短轴关系为c=sqrt(a^2-b^2)。
半通径是椭圆上的任意点到两个焦点的距离之和的一半。
2.4、椭圆的标准方程椭圆的标准方程是(x^2/a^2)+(y^2/b^2)=1，其中(a>b>0)。
根据标准方程，椭圆的长轴平行于x轴，短轴平行于y轴。
2.5、对称性质椭圆是关于x轴和y轴对称的，且有中心对称性质。
2.6、切线与法线椭圆上任意一点处的切线是垂直于从该点到两个焦点的连线的直线。
而该点处的法线是与切线垂直的直线。
2.7、焦半径定理焦半径定理描述了椭圆上任意一点处的两条焦半径的乘积为常数（等于长短轴的乘积），这是椭圆独特的性质之一。
2.8、面积椭圆的面积是一个重要的性质，其面积等于πab，其中a和b分别是椭圆的长轴和短轴的长度。
高三椭圆知识点归纳总结
高三椭圆知识点归纳总结一、椭圆的定义椭圆是平面上到两个定点F1，F2的距离之和等于一定值（2a）的动点P的轨迹所组成的曲线。
两个定点F1，F2称为椭圆的焦点，而线段F1F2的长度为主轴的长度。
二、椭圆的基本性质1. 半长轴与半短轴- 半长轴a：半长轴是椭圆中心到椭圆的边界的最大距离。
- 半短轴b：半短轴是椭圆中心到椭圆的边界的最小距离。
2. 焦距与半长轴的关系- 焦距c：焦距是椭圆的两个焦点之间的距离。
根据焦距和半长轴的关系，可以得出关系式：c^2 = a^2 - b^2。
3. 离心率- 离心率e：离心率是用来衡量椭圆形状的一个参数。
离心率e的值介于0到1之间，离心率越接近于0，椭圆形状越接近于圆形；离心率越接近于1，椭圆形状越扁平。
4. 椭圆的焦点和准线- 焦点F1和F2：椭圆的焦点是定义中的两个定点，焦点到椭圆上任意一点的距离之和等于2a。
- 准线L1和L2：准线是与椭圆的焦点平行且通过椭圆中心的两条直线。
5. 椭圆的方程- 标准方程：以椭圆中心为坐标原点，长轴与x轴平行，且焦点在x轴上的椭圆方程为x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1。
- 带有倾斜角度的方程：如果椭圆的长轴与x轴的夹角为α，则椭圆的方程为[(x-h)cosα + (y-k)sinα]^2/a^2 +[(x-h)sinα - (y-k)cosα]^2/b^2 = 1，其中(h, k)表示椭圆中心的坐标。
三、椭圆的相关公式1. 离心率的计算离心率e = c / a，其中c为焦距，a为半长轴的长度。
2. 焦点到直角椭圆弧的距离对于直角椭圆弧的焦点到椭圆上任意一点的距离d，有以下关系：d = a(1 - e*cosθ)，其中θ为焦点与椭圆上某点P的连线与半长轴的夹角。
3. 焦半径公式椭圆上任意一点P(x,y)到焦点F1或F2的距离为r，有以下关系：r = |PF1| + |PF2| = 2a。
四、椭圆的相关定理1. 切线与法线- 切线：过椭圆上任意一点的切线与该点与两个焦点的连线之间的夹角等于这两条线段的夹角的一半。
椭圆知识点总结框架
椭圆知识点总结框架一、椭圆的定义1. 椭圆的几何定义2. 椭圆的代数定义3. 参数方程和极坐标方程二、椭圆的性质1. 椭圆的焦点和直径2. 椭圆的离心率3. 椭圆的直角坐标方程4. 椭圆的极坐标方程5. 椭圆的对称性6. 椭圆的形状7. 椭圆的周长和面积三、椭圆的方程1. 椭圆标准方程2. 椭圆的变换方程3. 椭圆的参数方程4. 椭圆的极坐标方程四、椭圆的图形1. 椭圆的图像特征2. 椭圆的几何分析3. 椭圆的轴和焦点4. 椭圆的绘制方法五、椭圆的应用1. 椭圆在天文学中的应用2. 椭圆在机械工程中的应用3. 椭圆在工程测量中的应用4. 椭圆在地理学中的应用5. 椭圆在其他领域中的应用六、椭圆与其他几何图形的关系1. 椭圆与圆的关系2. 椭圆与抛物线的关系3. 椭圆与双曲线的关系4. 椭圆与直线的关系七、椭圆的数学推导1. 椭圆的性质证明2. 椭圆的相关公式推导3. 椭圆的参数化方程推导4. 椭圆的极坐标方程推导八、椭圆的计算题1. 椭圆的周长计算2. 椭圆的面积计算3. 椭圆的焦点坐标计算4. 椭圆的离心率计算以上是关于椭圆的知识点总结框架，接下来我们将对每个知识点进行详细讲解。
一、椭圆的定义1. 椭圆的几何定义椭圆是平面上到两个定点F1,F2的距离之和等于常数2a的点P的集合，这个常数2a称为椭圆的长轴，两个定点F1,F2称为椭圆的焦点。
椭圆的几何定义可以简单理解为平面上到两个固定点的距离之和等于常数的点的轨迹。
2. 椭圆的代数定义设椭圆的两个焦点为F1(-c,0),F2(c,0), 两个焦点到椭圆上任意点P(x,y)的距离之和等于椭圆的长轴长2a，则有|PF1|+|PF2|=2a。
根据勾股定理可以得到椭圆的代数方程：(x+c)^2+y^2+(x-c)^2+y^2=4a^2。
3. 参数方程和极坐标方程椭圆的参数方程是x=a*cos(t),y=b*sin(t), 其中a,b分别为椭圆的长短半轴。
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第一部分 椭圆相关知识点讲解一．椭圆的定义及椭圆的标准方程：1.椭圆的定义：平面内一个动点P 到两个定点1F 、2F 的距离之和等于常数)2(2121F F a PF PF >=+ ,这个动点P 的轨迹叫椭圆.这两个定点叫椭圆的焦点，两焦点的距离叫作椭圆的焦距.注意：若)(2121F F PF PF =+，则动点P 的轨迹为线段21F F ； 若)(2121F F PF PF <+，则动点P 的轨迹无图形. 2.椭圆的标准方程（1）当焦点在x 轴上时，椭圆的标准方程：12222=+by a x )0(>>b a ，其中222b a c -=（2）当焦点在y 轴上时，椭圆的标准方程：12222=+bx a y )0(>>b a ，其中222b a c -=；注意：1．只有当椭圆的中心为坐标原点，对称轴为坐标轴建立直角坐标系时，才能得到椭圆的标准方程；2．在椭圆的两种标准方程中，都有)0(>>b a 和222b a c -=； 3．椭圆的焦点总在长轴上.当焦点在x 轴上时，椭圆的焦点坐标为)0,(c ，)0,(c -； 当焦点在y 轴上时，椭圆的焦点坐标为),0(c ，),0(c -3.圆的参数方程：{cos sin x a y b ϕϕ==（其中ϕ为参数）.4.方程22Ax By C +=表示椭圆的充要条件是什么？（ABC ≠0，且A ，B ，C 同号，A ≠B ）。
二．点与椭圆的位置关系：（1）点00(,)P x y 在椭圆外⇔2200221x y a b+>；（2）点00(,)P x y 在椭圆上⇔220220b y a x +＝1；（3）点00(,)P x y 在椭圆内⇔2200221x y a b+<三．椭圆的简单几何性质椭圆：12222=+by a x )0(>>b a 的简单几何性质（1）对称性：对于椭圆标准方程12222=+by a x )0(>>b a ：说明：把x 换成x -、或把y 换成y -、或把x 、y 同时换成x -、y -、原方程都不变，所以椭圆12222=+by a x 是以x 轴、y 轴为对称轴的轴对称图形，并且是以原点为对称中心的中心对称图形，这个对称中心称为椭圆的中心。
（2）范围：椭圆上所有的点都位于直线a x ±=和b y ±=所围成的矩形内，所以椭圆上点的坐标满足a x ≤，b y ≤。
（3）顶点：①椭圆的对称轴与椭圆的交点称为椭圆的顶点。
②椭圆12222=+b y a x )0(>>b a 与坐标轴的四个交点即为椭圆的四个顶点，坐标分别为)0,(1a A -，)0,(2a A ，),0(1b B -，),0(2b B③线段21A A ，21B B 分别叫做椭圆的长轴和短轴，a A A 221=,b B B 221=。
a 和b 分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长。
三．直线与椭圆的位置关系：（1）相交：0∆>⇔直线与椭圆相交； （2）相切：0∆=⇔直线与椭圆相切； （3）相离：0∆<⇔直线与椭圆相离；四．椭圆12222=+b y a x 与 12222=+bx a y )0(>>b a 的区别和联系标准方程12222=+b y a x )0(>>b a 12222=+bx a y )0(>>b a 图形性质焦点 )0,(1c F -，)0,(2c F ),0(1c F -，),0(2c F焦距 c F F 221= c F F 221= 范围 a x ≤，b y ≤b x ≤，a y ≤对称性 关于x 轴、y 轴和原点对称顶点 )0,(a ±，),0(b ±),0(a ±，)0,(b ±轴长长轴长=a 2，短轴长=b 2注意：椭圆12222=+b y a x ，12222=+bx a y )0(>>b a 的相同点：形状、大小都相同；参数间的关系都有222c b a +=)0(>>b a ；不同点：两种椭圆的位置不同；它们的焦点坐标也不相同。
6.弦长公式：若直线y kx b =+与圆锥曲线相交于两点A 、B ，且12,x x 分别为A 、B 的横坐标，则AB 2121k x +-，若12,y y 分别为A 、B 的纵坐标，则AB ＝21211y y k-+。
7.圆锥曲线的中点弦问题：遇到中点弦问题常用“韦达定理”或“点差法”求解。
在椭圆12222=+b y a x 中，以00(,)P x y 为中点的弦所在直线的斜率k=－0202y a x b ；第三部分 典型例题分析类型一：求椭圆的方程1 、已知椭圆06322=-+m y mx 的一个焦点为（0，2）求m 的值．分析：把椭圆的方程化为标准方程，由2=c ，根据关系222c b a +=可求出m 的值．解：方程变形为12622=+my x ．因为焦点在y 轴上，所以62>m ，解得3>m ． 又2=c ，所以2262=-m ，5=m 适合．故5=m ．2、 已知椭圆的中心在原点，且经过点()03，P ，b a 3=，求椭圆的标准方程．分析：因椭圆的中心在原点，故其标准方程有两种情况．根据题设条件，运用待定系数法，求出参数a 和b （或2a 和2b ）的值，即可求得椭圆的标准方程．解：当焦点在x 轴上时，设其方程为()012222>>=+b a b y a x ．由椭圆过点()03，P ，知10922=+ba ．又b a 3=，代入得12=b ，92=a ，故椭圆的方程为1922=+y x ． 当焦点在y 轴上时，设其方程为()012222>>=+b a b x a y ．由椭圆过点()03，P ，知10922=+ba ．又b a 3=，联立解得812=a ，92=b ，故椭圆的方程为198122=+x y ．3、 ABC ∆的底边16=BC ，AC 和AB 两边上中线长之和为30，求此三角形重心G 的轨迹和顶点A 的轨迹．分析：（1）由已知可得20=+GB GC ，再利用椭圆定义求解．（2）由G 的轨迹方程G 、A 坐标的关系，利用代入法求A 的轨迹方程．解： （1）以BC 所在的直线为x 轴，BC 中点为原点建立直角坐标系．设G 点坐标为()y x ，，由20=+GB GC ，知G 点的轨迹是以B 、C 为焦点的椭圆，且除去轴上两点．因10=a ，8=c ，有6=b ，故其方程为()013610022≠=+y y x ． （2）设()y x A ，，()y x G ''，，则()013610022≠'='+'y y x ． ① 由题意有⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧='='33yy x x ，代入①，得A 的轨迹方程为()0132490022≠=+y y x ，其轨迹是椭圆（除去x 轴上两点）．4 、已知P 点在以坐标轴为对称轴的椭圆上，点P 到两焦点的距离分别为354和352，过P 点作焦点所在轴的垂线，它恰好过椭圆的一个焦点，求椭圆方程． 解：设两焦点为1F 、2F ，且3541=PF ，3522=PF ．从椭圆定义知52221=+=PF PF a ．即5=a ． 从21PF PF >知2PF垂直焦点所在的对称轴，所以在12F PF Rt ∆中，21sin 1221==∠PF PF F PF ， 可求出621π=∠F PF ，3526cos21=⋅=πPF c ，从而310222=-=c a b ．∴所求椭圆方程为1103522=+y x 或1510322=+y x ．类型二：过中点弦直线方程1 已知椭圆1222=+y x ，（1）求过点⎪⎭⎫ ⎝⎛2121，P 且被P 平分的弦所在直线的方程；（2）求斜率为2的平行弦的中点轨迹方程；（3）过()12，A 引椭圆的割线，求截得的弦的中点的轨迹方程； （4）椭圆上有两点P 、Q ，O 为原点，且有直线OP 、OQ 斜率满足21-=⋅OQ OP k k ， 求线段PQ 中点M 的轨迹方程．分析：此题中四问都跟弦中点有关，因此可考虑设弦端坐标的方法．解：设弦两端点分别为()11y x M ，，()22y x N ，，线段MN 的中点()y x R ，，则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+=+=+④，③，②，①，y y y x x x y x y x 222222212122222121①－②得()()()()022*******=-++-+y y y y x x x x ． 由题意知21x x ≠，则上式两端同除以21x x -，有()()0221212121=-+++x x y y y y x x 将③④代入得022121=--+x x y y yx ．⑤（1）将21=x ，21=y 代入⑤，得212121-=--x x y y ，故所求直线方程为： 0342=-+y x ． ⑥将⑥代入椭圆方程2222=+y x 得041662=--y y ，0416436>⨯⨯-=∆符合题意，0342=-+y x 为所求．（2）将22121=--x x y y 代入⑤得所求轨迹方程为： 04=+y x ．（椭圆内部分）（3）将212121--=--x y x x y y 代入⑤得所求轨迹方程为： 022222=--+y x y x ．（椭圆内部分）（4）由①＋②得 ：()2222212221=+++y y x x ， ⑦， 将③④平方并整理得 212222124x x x x x -=+， ⑧， 212222124y y y y y -=+， ⑨将⑧⑨代入⑦得：()224424212212=-+-y y y x x x ， ⑩再将212121x x y y -=代入⑩式得： 221242212212=⎪⎭⎫⎝⎛--+-x x y x x x ， 即 12122=+y x ．此即为所求轨迹方程．当然，此题除了设弦端坐标的方法，还可用其它方法解决．2.已知一直线与椭圆369422=+y x 相交于A 、B 两点，弦A 、B 的中点坐标()1,1M , 求直线AB 的方程。
类型三：弦长公式1 已知椭圆1422=+y x 及直线m x y +=． （1）当m 为何值时，直线与椭圆有公共点？ （2）若直线被椭圆截得的弦长为5102，求直线的方程． 解：（1）把直线方程m x y +=代入椭圆方程1422=+y x 得 ()1422=++m x x ，即012522=-++m mx x ．()()020*********≥+-=-⨯⨯-=∆m m m ，解得2525≤≤-m ． （2）设直线与椭圆的两个交点的横坐标为1x ，2x ，由（1）得5221m x x -=+，51221-=m x x ．根据弦长公式得 ：51025145211222=-⨯-⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅+m m ．解得0=m ．方程为x y =．2、 已知长轴为12，短轴长为6，焦点在x 轴上的椭圆，过它对的左焦点1F 作倾斜解为3π的直线交椭圆于A ，B 两点，求弦AB 的长．分析：可以利用弦长公式]4))[(1(1212212212x x x x k x x k AB -++=-+=求得， 也可以利用椭圆定义及余弦定理，还可以利用焦点半径来求． 解：(法1)利用直线与椭圆相交的弦长公式求解．2121x x k AB -+=]4))[(1(212212x x x x k -++=．因为6=a ，3=b ，所以33=c ．因为焦点在x 轴上，所以椭圆方程为193622=+y x ，左焦点)0,33(-F ，从而直线方程为93+=x y ． 由直线方程与椭圆方程联立得：0836372132=⨯++x x ．设1x ，2x 为方程两根，所以1337221-=+x x ，1383621⨯=x x ，3=k ， 从而1348]4))[(1(1212212212=-++=-+=x x x x k x x k AB ．(法2)利用椭圆的定义及余弦定理求解．由题意可知椭圆方程为193622=+y x ，设m AF =1，n BF =1，则m AF -=122，n BF -=122．在21F AF ∆中，3cos22112212122πF F AF F F AF AF -+=，即21362336)12(22⋅⋅⋅-⋅+=-m m m ；所以346-=m ．同理在21F BF ∆中，用余弦定理得346+=n ，所以1348=+=n m AB ．3.过椭圆1922=+y x 的左焦点作直线与椭圆交于A 、B 两点，若弦AB 的长恰等于短轴长，求直线方程。