高中数学立体几何讲义(一)

平面与空间直线

(Ⅰ)、平面的基本性质及其推论

1、空间图形是由点、线、面组成的。点、线、面的基本位置关系如下表所示：

图形

符号语言

文字语言（读法） A

a

A a ∈ 点A 在直线a 上。 A

a

A a ∉ 点A 不在直线a 上。 A

α

A α∈

点A 在平面α内。

A

α

A α∉ 点A 不在平面α内。 b a A

a b A = 直线a 、b 交于A 点。 a

α

a

α

直线a 在平面α内。

a

α

a α=∅ 直线a 与平面α无公共点。

a

A

α

a A α= 直线a 与平面α交于点A 。

l α

β= 平面α、β相交于直线l 。

α⊄a αa ）表示a α=∅或a A α=。

2、平面的基本性质

公理1： 如果一条直线的两点在一个平面内，那么这条直线上的所有点都在这个平面内

推理模式：A AB

B ααα∈⎫

⇒⎬∈⎭

。 如图示：

应用：是判定直线是否在平面内的依据，也是检验平面的方法。

B

A α

公理2：如果两个平面有一个公共点,那么它们还有其他公共点,且所有这些公共点的集合是一条过这个公共点的直线。 推理模式：

A l A ααββ∈⎫

⇒=⎬∈⎭

且A l ∈且l 唯一如图示：

应用：①确定两相交平面的交线位置；②判定点在直线上。

例1．如图，在四边形ABCD 中，已知AB ∥CD ，直线AB ，BC ，AD ，DC 分别与平面

α相交于点E ，G ，H ，F ．求证：E ，F ，G ，H 四点必定共线． 解：∵AB ∥CD ，

∴AB ，CD 确定一个平面β． 又∵AB α＝E ，AB ⊂β，∴E ∈α，E ∈β，

即E 为平面α与β的一个公共点．

同理可证F ，G ，H 均为平面α与β的公共点．

∵两个平面有公共点，它们有且只有一条通过公共点的公共直线， ∴E ，F ，G ，H 四点必定共线．

说明：在立体几何的问题中，证明若干点共线时，常运用公理2，即先证明这些点都是某二平面的公共点，而后得出这些点都在二平面的交线上的结论．

例2．如图，已知平面α，β，且α β＝l ．设梯形ABCD 中，AD ∥BC ，且AB ⊂α，CD ⊂β，求证：AB ，CD ，l 共点（相交于一点）． 证明 ∵梯形ABCD 中，AD ∥BC ， ∴AB ，CD 是梯形ABCD 的两条腰． ∴ AB ，CD 必定相交于一点， 设AB CD ＝M ．

又∵AB ⊂α，CD ⊂β，∴M ∈α，且M ∈β．∴M ∈α β．

又∵α β＝l ，∴M ∈l ，

即AB ，CD ，l 共点．

说明：证明多条直线共点时，一般要应用公理2，这与证明多点共线是一样的．

公理3： 经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面。 推理模式：,, A B C 不共线⇒存在唯一的平面α，使得,,A B C α∈。 应用：①确定平面；②证明两个平面重合 。

例3．已知：a ，b ，c ，d 是不共点且两两相交的四条直线，求证：a ，b ，c ，d 共面．

证明 1o 若当四条直线中有三条相交于一点，不妨设a ，b ，c 相交于一点A ，

α D

C B A E

F

H

G

α D

C B

A

l 例2

β

M

但A ∉d ，如图1．

∴直线d 和A 确定一个平面α． 又设直线d 与a ，b ，c 分别相交于E ，F ，G ， 则A ，E ，F ，G ∈α． ∵A ，E ∈α，A ，E ∈a ，∴a ⊂α．

同理可证b ⊂α，c ⊂α．

∴a ，b ，c ，d 在同一平面α内．

2o 当四条直线中任何三条都不共点时，如图2． ∵这四条直线两两相交，则设相交直线a ，b 确定一个平面α．

设直线c 与a ，b 分别交于点H ，K ，则H ，K ∈α．

又 H ，K ∈c ，∴c ⊂α． 同理可证d ⊂α．

∴a ，b ，c ，d 四条直线在同一平面α内．

说明：证明若干条线(或若干个点)共面的一般步骤是：首先根据公理3或推论，由题给条件中的部分线(或点)确定一个平面，然后再根据公理1证明其余的线(或点)均在这个平面内．本题最容易忽视“三线共点”这一种情况．因此，在分析题意时，应仔细推敲问题中每一句话的含义．

“有且只有一个”的含义分两部分理解，“有”说明图形存在，但不唯一，“只有一个”说明图形如果有顶多只有一个，但不保证符合条件的图形存在，“有且只有一个”既保证了图形的存在性，又保证了图形的唯一性．在数学语言的叙述中，“确定一个”，“可以作且只能作一个”与“有且只有一个”是同义词，因此，在证明有关这类语句的命题时，要从“存在性”和“唯一性”两方面来论证。

推论1： 经过一条直线和直线外的一点有且只有一个平面。 推理模式：A a ∉⇒存在唯一的平面α，使得A α∈，l

α 。

推论2： 经过两条相交直线有且只有一个平面。 推理模式：P b a = ⇒存在唯一的平面α，使得,a b

α。

推论3： 经过两条平行直线有且只有一个平面。 推理模式：//a b ⇒存在唯一的平面α，使得,a b α。

练习：

1．如图，在平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1的中，A 1C 1 B 1D 1＝O 1，B 1D 平面A 1BC 1＝P ． 求证：P ∈BO 1．

证明 在平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，

α b a d

c G F E A

图1 a b c d α H K

图2