机械振动大作业——简支梁的各情况分析2

机械振动大作业

姓名：徐强

学号：SX1302106

专业：航空宇航推进理论与工程

能源与动力学院

2013年12月

简支梁的振动特性分析

题目:针对简支梁、分别用单、双、三、十个自由度以及连续体模型，计算其固有频率、固有振型。单、双、三自由度模型要求理论解；十自由度模型要求使用兹法、霍尔茨法、矩阵迭代法、雅可比法、子空间迭代法求解基频；连续体要求推导理论解，并通过有限元软件进行数值计算。

解答：

一、单自由度简支梁的振动特性

如图1，正方形截面（取5mm×5mm，质量m沿杆长均匀分布，将其简化为单自由度模型，忽略阻尼，则运动

固有频率ωn其中k

等效质量。因此，求出上述两项即可知单自由度简支梁的固有频率。

根据材料力学的结果，由于横向载荷F作用在简支梁中间位置而

度，则：

梁本身的最大动能为：

T max=2

大动能可表示为：

T max

所以质量为m

的简支梁，等效到中间位置的全部质量为： 故单自由度简支梁横向振动的固有频率为：

ωn

图1 简支梁的单自由度模型

二、 双自由度简支梁的振动特性

如图2，将简支梁简化为双自由度模型，仍假设在简支梁中间位置作用载荷，根据对称性，等效质量相等,

去小量得：

所以，质量矩阵为：

双自由度简支梁的柔度矩阵：

在

所以，柔度矩阵为：

动力矩阵：

令特征行列式为零，得到频率方程为：

解上述方程的根为：

第一、二阶主振型分别为：

图2 简支梁的双自由度模型

三、 三自由度简支梁的振动特性

如图3，将简支梁简化为三自由度模型，按照双自由度类似的等效思想，可得等效质量：

因此，质量矩阵为：

由机械振动中文教材例6.6可知，系统的柔度矩阵为：

动力矩阵：

令特征行列式为零，得到频率方程为：

利用Matlab 软件

,求解上述方程的根为：

第一、二、三阶主振型分别为：

图3 简支梁的三自由度模型

四、十自由度简支梁的数值方法

将简支梁简化为十自由度模型（如图4）。

图4 简支梁的十自由度模型

通过在一点施加单位力，计算其余点的挠度，可得柔度矩阵：

0.0137 0.0240 0.0306 0.0339 0.0344 0.0324 0.0284 0.0227 0.0158 0.0081 0.0240 0.0443 0.0579 0.0650 0.0664 0.0628 0.0552 0.0443 0.0309 0.0158 0.0306 0.0579 0.0787 0.0904 0.0934 0.0891 0.0787 0.0633 0.0443 0.0227 0.0339 0.0650 0.0904 0.1071 0.1131 0.1093 0.0973 0.0787 0.0552 0.0284 0.0344 0.0664 0.0934 0.1131 0.1229 0.1212 0.1093 0.0891 0.0628 0.0324 0.0324 0.0628 0.0891 0.1093 0.1212 0.1229 0.1131 0.0934 0.0664 0.0344 0.0284 0.0552 0.0787 0.0973 0.1093 0.1131 0.1071 0.0904 0.0650 0.0339 0.0227 0.0443 0.0633 0.0787 0.0891 0.0934 0.0904 0.0787 0.0579 0.0306 0.0158 0.0309 0.0443 0.0552 0.0628 0.0664 0.0650 0.0579 0.0443 0.0240 0.0081 0.0158 0.0227 0.0284 0.0324 0.0344 0.0339 0.0306 0.0240 0.0137

表1

十自由度简支梁为十个集中质量的振动模型，每个质量都近似等

动力矩阵为：

下面，用如下几种方法计算十自由度简支梁的固有频率与振型。

1、邓克莱法

利用邓克莱法求基频（比准确值小）：

2、瑞利法

（1）瑞利第一商

柔度矩阵求逆得刚度矩阵：

2。

2.0433 -1.9003 0.7778 -0.2649 0.1647 0.0356 -0.2817 0.2834 -0.0446 -0.0926

-1.9003 2.9228 -2.4675 1.4375 -0.6862 0.0299 0.5193 -0.6226 0.3193 -0.0446 0.7778 -2.4675 3.8387 -3.3468 1.6331 -0.1417 -0.6684 0.8588 -0.6226 0.2834

-0.2649 1.4375 -3.3468 4.2339 -2.9123 0.778 0.4309 -0.6684 0.5193 -0.2817 0.1647 -0.6862 1.6331 -2.9123 3.4193 -2.2932 0.778 -0.1417 0.0299 0.0356 0.0356 0.0299 -0.1417 0.778 -2.2932 3.4193 -2.9123 1.6331 -0.6862 0.1647 -0.2817 0.5193 -0.6684 0.4309 0.778 -2.9123 4.2339 -3.3468 1.4375 -0.2649 0.2834 -0.6226 0.8588 -0.6684 -0.1417 1.6331 -3.3468 3.8387 -2.4675 0.7778 -0.0446 0.3193 -0.6226 0.5193 0.0299 -0.6862 1.4375 -2.4675 2.9228 -1.9003 -0.0926 -0.0446 0.2834 -0.2817 0.0356 0.1647

-0.2649 0.7778 -1.9003 2.0433

表2

假设力作用在简支梁中间位置而得到各点的静变形，可以表示为：

因此，可以假设振型：

（2）瑞利第二商

同样假设力作用在简支梁中间位置，由瑞利第二商公式：

可得

3、兹法

将十自由度简支梁缩减为三自由度，假设振型为：