解析几何第一章习题

解析几何作业集内部资料请勿盗印第一章向量与坐标§1.1向量的概念1.下列情形中的向量终点各构成什么图形？（1）把空间中一切单位向量归结到共同的始点；（2）把平行于某一平面的一切单位向量归结到共同的始点；（3）把平行于某一直线的一切向量归结到共同的始点；（4）把平行于某一直线的一切单位向量归结到共同的始点.解：2.设点O 是正六边形ABCDEF 的中心，在向量OA 、OB 、OC 、OD 、OE 、OF 、AB 、BC 、CD 、DE 、EF和F A 中，哪些向量是相等的？解：图1-13.设在平面上给了一个四边形ABCD ，点K 、L 、M 、N 分别是边ＡＢ、ＢＣ、ＣＤ、ＤＡ的中点，求证：KL ＝NM .当ABCD 是空间四边形时，这等式是否也成立？解：AFBE CDO图1—24.如图1-3，设ABCD-EFGH是一个平行六面体，在下列各对向量中，找出相等的向量和互为相反向量的向量：(1)AB、CD;(2)AE、CG;(3)AC、EG;(4)AD、GF;(5)BE、CH.解：§1.2向量的加法1.要使下列各式成立，向量ba,应满足什么条件？（1-=+（2+=+（3-=+（4+=-（5-=-解：§1.3数量乘向量1、已知四边形ABCD中，→→→-=caAB2，→→→→-+=cbaCD865，对角线→AC、→BD的中点分别为E、F，求→EF．解：2、设→→→+=baAB5，→→→+-=baBC82，)(3→→→-=baCD，证明：A、B、D三点共线．解：3、在四边形ABCD中，→→→+=baAB2，→→→--=baBC4，→→→--=baCD35，证明ABCD 为梯形．解：6.设L、M、N分别是ΔABC的三边BC、CA、AB的中点，证明：三中线向量AL,BM,CN 可以构成一个三角形.解：7.设L、M、N是△ABC的三边的中点，O是任意一点，证明OA++OC=OL+OM+ON.OB解：8.如图1-5，设M是平行四边形ABCD的中心，O是任意一点，证明OA+OB+OC+OD＝4OM.证明：Array图1-5 9在平行六面体ABCDEFGH（参看第一节第4题图）中，证明→→→→AC2．=AF++AGAH证明：11.用向量法证明，平行四边形的对角线互相平分.证明：§1.4向量的线性关系与向量的分解1．在平行四边形ABCD 中，（1）设对角线,,b BD a AC ==求.,,,DA CD BC AB （2）设边BC 和CD 的中点M 和N ，且q AN p AM ==,求CD BC ,。

解：图1-42．在平行六面体ABCD-EFGH 中，设,,,321e AE e AD e AB ===三个面上对角线向量设为,,,r AF q AH p AC ===试把向量r q p a νμλ++=写成321,,e e e 的线性组合。

解：3.设一直线上三点A ,B ,P 满足AP ＝λPB (λ≠－1),O 是空间任意一点，求证：λλ++=1OB OA OP 证明：4.在ABC ∆中,设,1e AB =2e AC =.(1)设E D 、是边BC 三等分点,将向量AE AD ,分解为21,e e 的线性组合;（2）设AT 是角A 的平分线(它与BC 交于T 点),将AT 分解为21,e e 的线性组合解：的重心（三中线之交点），求向量OG对于向量5．在四面体OABC中，设点G是ABCOA,,,的分解式。

OBOC解：C OPGA B（图1）6．用向量法证明以下各题（1）三角形三中线共点证明：A N MBLCO （图2）7．已知向量b a ,不共线，问b a c -=2与b a d 23-=是否线性相关？解：8.证明三个向量a＝－1e +32e +23e ,b ＝41e －62e +23e ，c＝－31e +122e ＋113e 共面，其中a 能否用b,c 线性表示？如能表示，写出线性表示关系式.解：§1.5标架与坐标3.在空间直角坐标系{O ;k j i,,}下，求P (2,－3,－1)，M (a ,b ,c )关于(1)坐标平面；(2)坐标轴；(3)坐标原点的各个对称点的坐标.8.已知向量a ,b ,c 的分量如下：(1)a ＝{0,－1,2}，b ＝{0,2,－4}，c ＝{1,2,－1}；(2)a ＝{1,2,3}，b ＝{2,－1,0}，c ＝{0,5,6}.试判别它们是否共面？能否将c 表成a ，b 的线性组合？若能表示，写出表示式.解：7．已知A,B,C 三点坐标如下：（1）在标架{}21,;e e O 下，()()().4,2,2,2,1,0--C B A （2）在标架{}321,,;e e e O 下，()()()4,3,2,2,0,1,0,1,0---C B A 判别它们是否共线？若共线，写出AB 和AC 的线性关系式.解：9.已知线段AB 被点C(2,0,2)和D(5,-2,0)三等分,试求这个线段两端点A 与B 的坐标.解：§1.6向量在轴上的射影1．已知向量AB 与单位向量e 的夹角为15010=，又如果e e -='.解：§1.7两向量的数性积1、已知向量b a ,互相垂直，向量c 与b a ,的夹角都是︒60，321===计算：22)2)(4();3).(23)(3();)()(2(;))(1(c b a c b b a b a b a b a -+---++解：2、计算下列各题.（1）已知,,a b c 两两垂直,且1,a = 2,b = 3,c = 求r a b c =++的长和它与,,a b c 的夹角.（2）已知2,a = 5,b =2(,),3a b π∠= 3,p a b =- 17.q a b λ=+ 问系数λ取何值时p 与q垂直？解：3、用向量法证明以下各题：(1)三角形的余弦定理a2＝b2＋c2－2bc cos A;(2)三角形各边的垂直平分线共点且这点到各顶点等距.证明：（1）(2)图1-11图1-125已知平行四边形以= a ﹛1，2，-1﹜，= b ﹛1，-2，1﹜为两边(1)求它的边长和内角(2)求它的两对角线的长和夹角解：6已知△ABC 的三顶点(0,0,3),A (4,0,0),B (0,8,3)C -，试求：(1)△三边长(2)△三内角(3)三中线长(4)角A 的角平分线向量AD （中点在BC 边上），并求AD 的方向余弦和单位向量解：§1.8两向量的矢性积1.已知1a = ,5,b = 3.a b ⋅= 试求:(1)a b⨯ (2)2()()a b a b ⎡⎤+⨯-⎣⎦(3)2(2)(2)a b b a ⎡⎤-⨯-⎣⎦解：2.证明：（1）(a ⨯b )2≤a 2⋅b 2，并说明在什么情形下等号成立.（2）如果a +b +c ＝0 ，那么a ⨯b ＝b ⨯c ＝c ⨯a ，并说明它的几何意义.4.已知:{}2,3,1a =- ,{}1,2,3,b =- 求与a ,b 都垂直,且满足下列条件的向量c :(1)c 为单位向量(2)10c d ⋅= ,其中d = {}2,1,7-.5.在直角坐标系内已知三点(5,1,1),A -(0,4,3),B -(1,3,7)C -,试求:(1)三角形ABC 的面积(2)三角形ABC 的三条高的长.6.已知:{}2,3,1,a = {}5,6,4b = ,试求:(1)以,a b 为边的平行四边形的面积.(2)这平行四边形的两条高的长.7.用向量方法证明：（1）三角形的正弦定理A a sin ＝B b sin ＝Cc sin .（2）三角形面积的海伦(Heron)公式，即三斜求积公式：∆2＝p (p －a )(p －b )(p －c ).式中p ＝21(a +b +c )是三角形的半周长，∆为三角形的面积..§1.9三向量的混合积1.设a ,b ,c 为三个非零向量，证明(3)(a ,b ,c +λa +μb )=(a ,b ,c );(4)(a ＋b ,b ＋c ,c ＋a )=2(a ,b ,c ).3．u =11e a +21e b +31e c ,12e a v = +22e b +32e c ,w =13e a +23e b +33e c ,试证明(w v u ,,)=333222111c b a c b a c b a (1e ,2e ,3e ).4.已知直角坐标系内向量,,a b c 的分量,判别这些向量是否共面?如果不共面,求出以它们为三邻边作成的平行六面体体积.(1){}3,4,5a = ,{}1,2,2b = ,{}9,14,16c = .(2){}3,0,1a =- ,{}2,4,3b =- ,{}1,2,2c =-- .5.已知直角坐标系内D C ,,,B A 四点坐标,判别它们是否共面?如果不共面,求以它们为顶点的四面体体积和从顶点D 所引出的高的长.⑴()()()()17,14,10,3,2,2,6,4,4,1,0,1D C B A ;⑵()()()()8,4,5,7,3,6,2,1,4,1,3,2--D C B A .。