平面解析几何经典题(含答案)

平面解析几何

一、直线的倾斜角与斜率

1、直线的倾斜角与斜率

（1）倾斜角α的范围000180α≤<

（2）经过两点的直线的斜率公式

是

（3）每条直线都有倾斜角，但并不是每条直线都有斜率

2.两条直线平行与垂直的判定

（1）两条直线平行

对于两条不重合的直线12,l l ，其斜率分别为12,k k ，则有1212//l l k k ⇔=。特别地，

当直线12,l l 的斜率都不存在时，12l l 与的关系为平行。

（2）两条直线垂直

如果两条直线12,l l 斜率存在，设为12,k k ，则12121l l k k ⊥⇔=-g

注：两条直线12,l l 垂直的充要条件是斜率之积为-1，这句话不正确；由两直线的斜率

之积为-1，可以得出两直线垂直，反过来，两直线垂直，斜率之积不一定为-1。如果12,l l 中有一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率为0时，12l l 与互相垂直。

二、直线的方程 1、直线方程的几种形式 名称

方程的形式 已知条件 局限性 点斜式

为直线上一定点，k 为斜率 不包括垂直于x 轴的直线 斜截式

k 为斜率，b 是直线在y 轴上的截距 不包括垂直于x 轴的直线 两点式

是直线上两定点

不包括垂直于x 轴和y 轴的

直线

截距式

a 是直线在x 轴上的非零截距，

b 是直线在y 轴上的非零截距 不包括垂直于x 轴和y 轴或过原点的直线

一般式A，B，C为系数无限制，可表示任何位置的

直线

三、直线的交点坐标与距离公式

三、直线的交点坐标与距离公式

1.两条直线的交点

设两条直线的方程是，两条

直线的交点坐标就是方程组的解，若方程组有唯一解，则这两条

直线相交，此解就是交点的坐标；若方程组无解，则两条直线无公共点，此时两条直线平

行；反之，亦成立。

2.几种距离

（1）两点间的距离平面上的两点间的距离公式

（2）点到直线的距离

点到直线的距离；

（3）两条平行线间的距离

两条平行线间的距离

注：（1）求点到直线的距离时，直线方程要化为一般式；

（2）求两条平行线间的距离时，必须将两直线方程化为系数相同的一般形式后，才能套用

公式计算

（二）直线的斜率及应用

利用斜率证明三点共线的方法：

已知

112233

(,),(,),(,),

A x y

B x y

C x y若

123AB AC

x x x k k

===

或，则有A、B、C三点共

线。

注：斜率变化分成两段，0

90是分界线，遇到斜率要谨记，存在与否需讨论。

直线的参数方程

〖例1〗已知直线的斜率k=-cos α (α∈R).求直线的倾斜角β的取值范围。

思路解析：cos α的范围→斜率k 的范围→tan β的范围→倾斜角β的取值范围。

〖例2〗设,,a b c 是互不相等的三个实数，如果333(,)(,)(,)A a a B b b C c c 、、在同一直线上，求证：0a b c ++=

思路解析：若三点共线，则由任两点所确定的直线斜率相等或都不存在。

〖例3〗已知点M （2，2），N （5，-2），点P 在x 轴上，分别求满足下列条件的P 点坐标。

（1）∠MOP=∠OPN （O 是坐标原点）；

（2）∠MPN 是直角。

思路解析：∠MOP=∠OPN ⇒OM ⇒⊥1l 2l →→→

1111:0

l A x B y C ++=2222:0l A x B y C ++=12122112211221111222222

//00(0)

(0).l l A B A B AC A C B C B C A B C A B C A B C ⇔-=-≠-≠=≠且或或记为：、、不为121212//0.l l A A B B ⇔+=1l 2l ⇔01221=-B A B A 01221=-C A C A 01221=-C B C B 1

11C C B B A A ==1:260l ax y ++=22:(1)10l x a y a +-+-=1l 2l 1l 2l a 2l l l →→

l l l

1P l 2P ()22,x y 12

0,A x x ≠≠1:23l y x =+:1l y x =+2l 22:2440C x y x y +--+=3440x y ++=d =:1l y x =-22l y 1-01=+-y x 01=--y x 01=-+y x 01=++y x ()2,1M 2MQ MP

=(2,)A m -(,4)B m 012=-+y x m 0 B. 8- C. 2 D.

10

7．已知0,0ab bc <<，则直线ax by c +=通过（ ）

A. 第一、二、三象限

B. 第一、二、四象限

C. 第一、三、四象限

D. 第二、三、四象限

8．若方程014)()32(22=+--+-+m y m m x m m 表示一条直线，则实数m 满足（ ）

A. 0≠m

B. 23-≠m

C. 1≠m

D. 1≠m ，2

3-≠m ，0≠m

9．函数x e y 2=图像上的点到直线042=--y x 距离的最小值是 _

10． 若直线

1:10l mx y +-=与2:250l x y -+=垂直，则m 的值是 ．

11．一条光线从点A (－1,3)射向x 轴，经过x 轴上的点P 反射后通过点B (3,1)，求P 点的坐标．

12.写出下列直线的点斜式方程．

(1)经过点A(2,5)，且与直线y ＝2x ＋7平行；