用列表法求概率测试卷
九年级概率初步（列表法树形图专项训练）
九年级概率初步（列表法树形图专项训练）25.2⽤列举法求概率例1.学校组织春游，安排给九年级3辆车，⼩明与⼩华都可以从这三辆车中任选⼀辆搭乘，求⼩明与⼩华同车的概率。
1.两个布袋中分别装有除颜⾊外，其他都相同的2个⽩球，1个⿊球，同时从这两个布袋中摸出⼀个球，请⽤列表法表⽰出可能出现的情况，并求出摸出的球颜⾊相同的概率.2.四张⼤⼩、质地均相同的卡⽚上分别标有数字1,2,3,4,现将标有数字的⼀⾯朝下扣在桌⼦上,从中随机抽取⼀张(不放回),再从桌⼦上剩下的3张中随机抽取第⼆张.(1)⽤列表法,列出前后两次抽得的卡⽚上所标有数字的所有可能情况;(2)计算抽得的两张卡⽚上的数字之积为奇数的概率是多少?3.某校⼋年级将举⾏班级乒乓球对抗赛，每个班必须选派出⼀对男⼥混合双打选⼿参赛.⼋年级⼀班准备在⼩娟、⼩敏、⼩华三名⼥选⼿和⼩明、⼩强两名男选⼿中，选男、⼥选⼿各⼀名组成⼀对参赛，⼀共能够组成哪⼏对？如果⼩敏和⼩强的组合是最强组合，那么采⽤随机抽签的办法，恰好选出⼩敏和⼩强参赛的概率是多少？4.⼩明和⼩刚⽤如图的两个转盘做游戏，游戏规则如下：分别旋转两个转盘，当两个转盘所转到的数字之积为奇数时，⼩明得2分；当所转到的数字之积为偶数时，⼩刚得1分.这个游戏对双⽅公平吗？若公平，说明理由;若不公平，如何修改规则才能使游戏对双⽅公平？5.如图是从⼀副扑克牌中取出的两组牌,分别是⿊桃2、3、4和⽅块2、3、4,将它们背⾯朝上分别重新洗牌后,从两组牌中各摸出⼀张,那么摸出的两张牌的牌⾯数字之和等于5的概率是多少?请你⽤列表或画树状图加以分析说明.６．妞妞和她的爸爸玩“锤⼦、剪⼑、布”游戏．每次⽤⼀只⼿可以出锤⼦、剪⼑、布三种⼿势之⼀，规则是锤⼦赢剪⼑、剪⼑赢布、布赢锤⼦，若两⼈出相同⼿势，则算打平．(1)你帮妞妞算算爸爸出“锤⼦”⼿势的概率是多少?(2)妞妞决定这次出“布”⼿势，妞妞赢的概率有多⼤?(3)妞妞和爸爸出相同⼿势的概率是多少?７．⼀个不透明的袋⼦中装有三个完全相同的⼩球，分别标有数字3、4、5．从袋⼦中随机取出⼀个⼩球，⽤⼩球上的数字作为⼗位上的数字，然后放回；再取出⼀个⼩球，⽤⼩球上的数字作为个位上的数字，这样组成⼀个两位数．试问：按这种⽅法能组成哪些两位数？⼗位上的数字与个位上的数字之和为9的两位数的概率是多少？⽤列表法或画树状图法加以说明．８．桌⾯上放有4张卡⽚，正⾯分别标有数字1，2，3，4，这些卡⽚除数字外完全相同，把这些卡⽚反⾯朝上洗匀后放在桌⾯上，甲从中随机抽出⼀张，记下卡⽚上的数字后仍放反⾯朝上放回洗匀，⼄从中随机抽出⼀张，记下卡⽚上的数字，然后将这两数相加；（1）请⽤列表或画树形图的⽅法求两数和为5的概率；（2）若甲与⼄按上述⽅式作游戏，当两数之和为5时，甲胜；反之则⼄胜；若甲胜⼀次得12分，那么⼄胜⼀次得多少分，才能使这个游戏对双⽅公平？９．⼩明为了检验两枚六个⾯分别刻有点数1、2、3、4、5、6的正六⾯体骰⼦的质量是否都合格，在相同的条件下，同时抛两枚骰⼦20 000次，结果发现两个朝上⾯的点数和是7的次数为20次．你认为这两枚骰⼦质量是否都合格(合格标准为：在相同条件下抛骰⼦时，骰⼦各个⾯朝上的机会相等)？并说明理由．1．（2012?⼴州）甲、⼄两个袋中均装有三张除所标数值外完全相同的卡⽚，甲袋中的三张卡⽚上所标有的三个数值为﹣7，﹣1，3．⼄袋中的三张卡⽚所标的数值为﹣2，1，6．先从甲袋中随机取出⼀张卡⽚，⽤x 表⽰取出的卡⽚上的数值，再从⼄袋中随机取出⼀张卡⽚，⽤y 表⽰取出卡⽚上的数值，把x 、y 分别作为点A 的横坐标和纵坐标．（1）⽤适当的⽅法写出点A （x ，y ）的所有情况．（2）求点A 落在第三象限的概率．2．（2012，湖北黄冈）在⼀个⼝袋中有4个完全相同的⼩球，把它们分别标号l 、2、3、4．⼩明先随机地摸出⼀个⼩球，⼩强再随机地摸出⼀个⼩球.记⼩明摸出球的标号为x ，⼩强摸出的球标号为y.⼩明和⼩强在此基础上共同协商⼀个游戏规则：当x>y 时⼩明获胜，否则⼩强获胜.①若⼩明摸出的球不放回，求⼩明获胜的概率．②若⼩明摸出的球放回后⼩强再随机摸球，问他们制定的游戏规则公平吗?请说明理由．3.（2012，湖北黄⽯）已知甲同学⼿中藏有三张分别标有数字12，14，1的卡⽚，⼄同学⼿中藏有三张分别标有数字1，3，2的卡⽚，卡⽚外形相同.现从甲⼄两⼈⼿中各任取⼀张卡⽚，并将它们的数字分别记为a ，b .（1）请你⽤树形图或列表法列出所有可能的结果.（2）现制定这样⼀个游戏规则：若所选出的a ，b 能使得210ax bx ++=有两个不相等的实数根，则甲获胜；否则⼄获胜.请问这样的游戏规则公平吗？请你⽤概率知识解释。
52张扑克牌.从中抽出两张.至少有1张是K或Q或J的概率是多少？题目和参考答案
52张扑克牌（不包括大王、小王），从中抽出两张，至少有1张是K或Q或J
的概率是多少？
考点：列表法与树状图法
专题：
分析：由52张扑克牌（不包括大王、小王），从中抽出两张，等可能的结果有：52×51=2625（种），其中至少有1张是K或Q或J 的有：12×51=612（种），直接利用概率公式求解即可求得答案．解答：解：∵52张扑克牌（不包括大王、小王），从中抽出两张，等可能的结果有：52×51=2625（种），其中至少有1张是K或Q或J的有：12×51=612（种），
∴从中抽出两张，至少有1张是K或Q或J的概率是：6122625=313．
点评：此题考查了概率公式的应用．注意用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．。
用列举法求三步事件的概率
解：根据题意，我们可以画出如下的“树 形图”：
这些结果出现的可能性相等。
（1）只有一个元音字母的结果（红色）有5个， 即ACH，ADH，BCI，BDI，BEH，所以P（一个元 5 音）= 有两个元音字母的结果（绿色）有4个，即ACI， ADI，AEH，BEI，所以
4 1 P（两个元音）= 12 = 3 12
拓展提高
• 1、甲，乙，丙，丁四人分到A,B两个足球 队，每队两人。求甲，乙两人分在同一球 队的概率
一个不透明的袋子中装有编号分别为1、2、3的 球（除编号外，其余都 相同），其中1号球1个， 3号球3个，从中随机摸出一个球是2号球的概率 为1 3
（1）求袋子中2号球的个数 （2）甲、乙两人分别从袋子中摸出一个球（不放 回），甲摸出球的编号记为x ，乙摸出球的编号记 为y，用列表法求点A(x,y)在直线y=x下方的概率。
解：掷1个质地均匀的正方体骰子，向上一 面的点数可能为1，2，3，4，5，6，共6种。 这些点数出现的可能性相等。 （1）掷得点数是6的约数(记为事件A)有4种结果， 4 2 =.= 因此P（A） 6 3 （2）掷得点数是质数(记为事件B)有3种结果， 3 1 = = 因此P（B） 6 2 . （3）掷得点数是合数(记为事件C)有2种结果， 2 1 = 因此P（C） = 6 . 3 （4）由上面的计算知道, P（小明胜） , P 1 = （小亮胜） 3 , ∵ P（小明胜）> P（小亮胜）, ∴ 这样的游戏规则不公平。
灵活应用
1.在一个盒子中有质地均匀的3个小球，其 中两个小球都涂着红色，另一个小球涂着黑 色，则计算以下事件的概率选用哪种方法更 方便？
（1）从盒子中取出一个小球，小球是红球 （2）从盒子中每次取出一个小球，取出后 再放回，取出两球的颜色相同 （3）从盒子中每次取出一个小球，取出后 再放回，连取了三次，三个小球的颜色都相 同。
人教版数学九年级上册：25.2 用列举法求概率 同步练习(附答案)
25．2 用列举法求概率第1课时用列表法求概率1．同时抛掷两枚质地均匀的硬币，两枚硬币全部正面向上的概率为()A.14B.13C.12D.342．三张外观相同的卡片分别标有数字1，2，3，从中随机一次抽出两张，这两张卡片上的数字恰好都小于3的概率是()A.13B.23C.16D.193．小亮、小莹、大刚三位同学随机地站成一排合影留念，小亮恰好站在中间的概率是()A.12B.13C.23D.164．同时掷两枚质地均匀的骰子，两枚骰子点数的和是5的概率是()A.112B.19C.16D.145．如图，两个转盘分别自由转动一次，当停止转动时，两个转盘的指针都指向2的概率为()A.12B.14C.18D.1166．一个不透明的盒子中放入四张卡片，每张卡片上都写有一个数字，分别是－2，－1，0，1.卡片除数字不同外其他均相同，从中随机抽取两张卡片，抽取的两张卡片上数字之积为负数的概率是()A.14B.13C.12D.347．某居委会组织两个检查组，分别对“垃圾分类”和“违规停车”的情况进行抽查．各组随机抽取辖区内某三个小区中的一个进行检查，则两个组恰好抽到同一个小区的概率是()A.19B.16C.13D.238．从1，2，3，4中任取一个数作为十位上的数字，再从余下的数字中任取一个数作为个位上的数字，那么组成的两位数是6的倍数的概率是．9．小红上学要经过两个十字路口，每个路口遇到红、绿灯的机会都相同，小红希望上学时经过每个路口都是绿灯，但实际这样的概率是．10．张华和李明两人玩“剪刀、石头、布”的游戏，游戏规则为：剪刀胜布，布胜石头，石头胜剪刀．(1)请用列表法表示出所有可能出现的游戏结果；(2)求张华胜出的概率．剪刀石头布11．周末期间小明和小华到影城看电影，影城同时在四个放映室(1室、2室、3室、4室)播放四部不同的电影，他们各自在这四个放映室任选一个，每个放映室被选中的可能性都相同，则小明和小华选择同一间放映室看电影的概率是．12．某校举行数学青年教师优秀课比赛活动，某天下午在安排2位男选手和2位女选手的出场顺序时，采用随机抽签方式，则第一、二位出场选手都是女选手的概率是．13．从长度分别为1，3，5，7的四条线段中任取三条作边，能构成三角形的概率为()A.12B.13C.14D.1514．若从－1，1，2这三个数中，任取两个分别作为点M 的横、纵坐标，则点M 在第二象限的概率是 .15．在某校运动会4×400 m 接力赛中，甲、乙两名同学都是第一棒，参赛同学随机从四个赛道中抽取赛道，则甲、乙两名同学恰好抽中相邻赛道的概率为 ．16．一个不透明的袋子中装有红、白两种颜色的小球，这些球除颜色外都相同，其中红球有1个，若从中随机摸出一个球，这个球是白球的概率是23.(1)求袋子中白球的个数；(2)随机摸出一个球后，放回并搅匀，再随机摸出一个球，求两次都摸到相同颜色的小球的概率．17．某超市在端午节期间开展优惠活动，凡购物者可以通过转动转盘的方式享受折扣优惠，本次活动共有两种方式，方式一：转动转盘甲，指针指向A 区域时，所购买物品享受9折优惠，指针指向其他区域无优惠；方式二：同时转动转盘甲和转盘乙，若两个转盘的指针指向每个区域的字母相同，所购买物品享受8折优惠，其他情况无优惠．在每个转盘中，指针指向每个区城的可能性相同(若指针指向分界线，则重新转动转盘)． (1)若顾客选择方式一，则享受9折优惠的概率为14；(2)若顾客选择方式二，请用列表法列出所有可能，并求顾客享受8折优惠的概率．转盘甲 转盘乙18．如图为甲、乙两个可以自由转动的均匀的转盘，甲转盘被分成3个面积相等的扇形，乙转盘被分成4个面积相等的扇形，每一个扇形都标有相应的数字，同时转动两个转盘，当转盘停止后，设甲转盘中指针所指区域内的数字为m，乙转盘中指针所指区域内的数字为n(若指针指在边界线上，重转一次，直到指针指向一个区域为止)．(1)请你用列表的方法求出|m＋n|＞1的概率；(2)直接写出点(m，n)落在函数y＝－x＋1图象上的概率．第2课时用树状图法求概率1．在一个不透明的口袋中装有2个白球、2个黑球，这些球除颜色外其他都相同，在看不到球的条件下，随机地从这个袋子中摸出一个球，放回后再随机摸出一个球，两次摸到都是白球的概率是()A.112B.16C.14D.122．某校九年级共有1，2，3，4四个班，现从这四个班中随机抽取两个班进行一场篮球比赛，则恰好抽到1班和2班的概率是()A.18B.16C.38D.123．甲、乙两人用如图所示的两个转盘(每个转盘被分成面积相等的3个扇形)做游戏．游戏规则：转动两个转盘各一次，当转盘停止后，指针所在区域的数字之和为偶数时甲获胜；数字之和为奇数时乙获胜．若指针落在分界线上，则需要重新转动转盘，甲获胜的概率是()A.13B.49C.59D.234．经过某十字路口的汽车，可直行，也可向左转或向右转．如果这三种可能性大小相同，那么两辆汽车经过该十字路口时都直行的概率是．5．一个不透明的袋中共有5个小球，分别为2个红球和3个黄球，它们除颜色外完全相同．随机摸出两个小球，摸出两个颜色相同的小球的概率为．6．有两组卡片，第一组的三张卡片上分别写有数字3，4，5，第二组的三张卡片上分别写有数字1，3，5.现从每组卡片中各随机抽出一张，用抽取的第一组卡片的数字减去抽取的第二组卡片上的数字，差为正数的概率为．7．甲、乙两个不透明的口袋，甲口袋中装有3个分别标有数字1，2，3的小球，乙口袋中装有2个分别标有数字4，5的小球，它们的形状、大小完全相同，现随机从甲口袋中摸出一个小球记下数字，再从乙口袋中摸出一个小球记下数字．(1)请用画树状图的方法表示出两次所得数字可能出现的所有结果；(2)求出两个数字之和能被3整除的概率．8．商店只有雪碧、可乐、果汁、奶汁四种饮料，每种饮料数量充足，某同学去该店购买饮料，每种饮料被选中的可能性相同．(1)若他去买一瓶饮料，则他买到奶汁的概率为；(2)若他两次去买饮料，每次买一瓶，且两次所买饮料品种不同，请用树状图法求出他恰好买到雪碧和奶汁的概率．9．在拼图游戏中，从图1的四张纸片中，任取两张纸片，能拼成“小房子”(如图2)的概率为()A.23B.12C.13D．1图1 图210．用m，n，p，q四把钥匙去开A，B两把锁，其中仅有钥匙m能打开锁A，仅有钥匙n能打开锁B，则取一把钥匙恰能打开一把锁的概率是()A.18B.16C.14D.1211．从－1，0，1，2这四个数中，任取两个不同的数作为点的坐标，则该点在第一象限的概率为．12．有3张背面完全相同的卡片，正面分别印有如图的几何图形．现将这3张卡片正面朝下摆放并洗匀，从中任意抽取一张记下卡片正面的图形；放回后再次洗匀，从中任意抽取一张，两次抽到的卡片正面的图形都是中心对称图形的概率是．13．(遵义中考)学校召集留守儿童过端午节，桌上摆有甲、乙两盘粽子，每盘中盛有白粽2个，豆沙粽1个，肉粽1个(粽子外观完全一样)．(1)小明从甲盘中任取一个粽子，取到豆沙粽的概率是；(2)小明在甲盘和乙盘中先后各取了一个粽子，请用树状图或列表法求小明恰好取到两个白粽子的概率．14．在四边形ABCD中，有下列条件：①AB綊CD；②AD綊BC；③AC＝BD；④AC⊥BD.(1)从中任选一个作为已知条件，能判定四边形ABCD是平行四边形的概率是；(2)从中任选两个作为已知条件，请用画树状图法表示能判定四边形ABCD是矩形的概率，并判断能判定四边形ABCD是矩形和是菱形的概率是否相等？15．小颖参加某个智力竞答节目，答对最后两道单选题就顺利通关．第一道题有3个选项，第二道题有4个选项，这两道题小颖都不会，不过小颖还有一个“求助”没有使用(使用“求助”可让主持人去掉其中一题中的一个错误选项)．(1)若小颖第一道题不使用“求助”，那么小颖答对第一道题的概率是13；(2)若小颖将“求助”留在第二道题使用，求小颖顺利通关的概率； (3)从概率的角度分析，你会建议小颖在答第几道题时使用“求助”？参考答案：25．2 用列举法求概率第1课时用列表法求概率1．A2．A3．B4．B5．D6．B7．C8．14．9．14．10．解：(1)列表如下：(2)由表可知，张华胜出的结果有3种，∴P (张华胜出)＝39＝13.11．14．12．16．13．C 14． 13.15． 12．16．解：(1)设袋子中白球有x 个，根据题意，得 x x ＋1＝23.解得x ＝2. 经检验，x ＝2是所列方程的根，且符合题意． 答：袋子中有白球2个． (2)列表：∴两次都摸到相同颜色的小球的概率为59.17．(1)14；(2)解：列表如下：由表格可知共有其中指针指向每个区域的字母相同的有2种， 所以P (顾客享受8折优惠)＝212＝16.18．解：(1)列表如下：所以|m ＋n|＞1的概率为512.(2)点(m ，n )落在函数y ＝－x ＋1图象上的概率为16.第2课时 用树状图法求概率1．C 2．B 3．C 4． 19．5． 25．6． 59．7．解：(1)画树状图如下：可能出现的结果共6种，分别是(1，4)，(1，5)，(2，4)，(2，5)，(3，4)，(3，5)，它们出现的可能性相等．(2)∵两个数字之和能被3整除的情况共有2种， ∴P (两个数字之和能被3整除)＝26＝13.8．(1)14；(2)解：画树状图如下：由树状图可知，所有等可能的结果共有12种，满足条件的结果有2种，所以他恰好买到雪碧和奶汁的概率为212＝16.9．A 10．C 11． 16．12． 49．13．(1)14；(2)解：画树状图如下：由树状图可知，共有16种等可能的结果，其中恰好取到两个白粽子的结果有4种． ∴P (小明恰好取到两个白粽子)＝416＝14.14．(1)12；(2)解：画树状图如下：由树状图可知，从中任选两个作为已知条件共有12种等可能的结果，能判定四边形ABCD 是矩形的有4种，能判定四边形ABCD 是菱形的有4种． ∴能判定四边形ABCD 是矩形的概率为412＝13，能判定四边形ABCD 是菱形的概率为412＝13.∴能判定四边形ABCD 是矩形和是菱形的概率相等．15．(1)13；解：(2)用Z 表示正确选项，C 表示错误选项，画树状图如下：由树状图可知，共有9种等可能的结果，其中小颖顺利通关的结果有1种． ∴在第二道题使用“求助”时，P (小颖顺利通关)＝19.(3)若小颖将“求助”留在第一道题使用，画树状图如下：由树状图可知，共有8种等可能的结果，其中小颖顺利通关的结果有1种． ∴在第一道题使用“求助”时，P (小颖顺利通关)＝18.∵18>19，∴建议在答第一道题时使用“求助”．。
利用树状图或列表法求概率分类
◆
一 ◆
＿ ．
－＋
－ — ◆ － 一 ●
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◆ 致掌大世界 － ｎ ． ＋．＋．＋＋＋＋． 。。 ． 。。。。。，。。 ９ 。
随机摸球两次（ 第一 次摸 出球后放 回摇匀 ） 把 第一 次 ， ，
第 二 次 摸 到 的球 上 标 有 的 数 字 分 别 记 作 ｍ、 ， ｍ、 ｎ以 ｎ分 别 作 为 一个 点 的横 坐 标 与 纵 坐 标 ， 点 （ｚｎ 不 在 第 二 求 ｎ、 ）
象限的概率 （ 用树状图或列表法求解 ）
率 为 ０５ ．．
‘
． ．
Ｐ 和为 ３ ． （ ）＝
１
Ｐ和 于４ ： ÷． （ 大 ） 寺：
例 ２ 完 全相 同的 ４个小球 ， 上面分别标有 数字 １ ，
一
（ ） 口袋 中红 球 的 个 数 ； １求
（） ２ 小明认 为 口袋 中共有三 种颜 色的球 ， 以从 袋 所 中任意摸 １一球 ， １ １ ， 摸到红球 、 白球 或黄球 的概率都是 １ 你认为对 吗？请你用列 表或 画树 状图的方法说明理 由． 解 ： １ ‘ 从袋中任 意摸取一 个球是 白球 的概率 是 （ ）． ‘
粥 一
名 师 导 学
…
塑 互塞生 主蔓． ． …瘩－ 兰 曼 四塞
列表法和树状图求概率
例题讲解---树形图
甲口袋中装有2个相同的小球，它们分别写有字母A和B； 乙 口袋中装有3个相同的小球，它们分别写有字母C、D和E；丙 口袋中装有2个相同的小球，它们分别写有字母H和I。 从3个口袋中各随机地取出1个小球。 （1）取出的3个小球上恰好有1个、2个和3个元音字母的概率 分别是多少？ （2）取出的3个小球上全是辅音字母的概率是多少？
（1）指向红色； （2）指向红色或黄色； （3）不指向红色。
解：把7个扇形分别记为红1，红2，红3，绿1，绿2， 黄1，黄2，一共有7个等可能的结果，且这7个结果发生 的可能性相等，
绿（2，3）P(不指指向向红指色向或红黄色色有)= 个47结果，即黄1，黄2，绿1，
练习
二、耐心填一填
3.从一幅充分均匀混合的扑克牌中，随机抽取一张，抽到大王的概率是
（ （
15314））。，抽到牌面数字是6的概率是（
2 27
），抽到黑桃的概率是
54
4.四张形状、大小、质地相同的卡片上分别画上圆、平行四边形、等边
三角形、正方形，然后反扣在桌面上，洗匀后随机抽取一张，抽到轴对称图
形的概率是（0.75
），抽到中心对称图形的概率是（0.75
）。
5. 某班文艺委员小芳收集了班上同学喜爱传唱的七首歌曲，作为课前三
1 第第二一张张 2 3 4 5 6 1 (1,1) (2,1) (3,1) (4,1) (5,1) (6,1) 2 (1,2) (2,2) (3,2) (4,2) (5,2) (6,2) 3 (1,3) (2,3) (3,3) (4,3) (5,3) (6,3) 4 (1,4) (2,4) (3,4) (4,4) (5,4) (6,4) 5 (1,5) (2,5) (3,5) (4,5) (5,5) (6,5) 6 (1,6) (2,6) (3,6) (4,6) (5,6) (6,6)
第2课时 用列表法求概率
题型二
利用概率判断游戏公平性
例2 在一个不透明的口袋里有分别标注2,4,6的3个
小球(小球除数字不同外,其余都相同),另有3张背面
完全一样,正面分别写有数字6,7,8的卡片.现从口袋
中任意摸出一个小球,再从3张背面朝上的卡片中任
意摸出一张卡片.
(1)请你用列表的方法,表示出所有可能出现的结果;
解:(1)列表如下:
的方法,求恰好抽到2张卡片都是《辞海》的概率;
解:(1)先将《消防知识手册》《辞海》《辞海》分别记
作A,B1,B2,然后列表如下:
总共有6种结果,每种结果出现的可能性相同,而
2张卡片都是《辞海》的有2种:(B1,B2),(B2,B1),
∴P(2张卡片都是《辞海》)
2 1
= = .
6 3
(2)再添加几张和原来一样的《消防知识手册》卡片,
8 1
= = .
16 2
∵x+y为偶数的有8种情况,
∴P(乙获胜)
8 1
= = ,
16 2
∴P(甲获胜)=P(乙获胜),
∴这个游戏对双方公平.8源自12(2)从1~12这12个整数中,随机选取1个整数,
该数不是(1)中所填数字的概率为
1
3
.
跟踪训练
1.(2023·重庆B卷)有四张完全一样正面分别写有汉
字“清”“风”“朗”“月”的卡片,将其背面朝上
并洗匀,从中随机抽取一张,记下卡片正面上的汉字
后放回,洗匀后再从中随机抽取一张,则抽取的两张
卡片上的汉字相同的概率是1
胜.
(1)用列表法求(x,y)所有可能出现的结果总数;
解:(1)列表如下:
(x,y)所有可能出
九年级数学人教版(上册)第1课时 用列表法求概率
华和小丽每人随机选择参加其中一个宣传队，那么她们恰好选到同
一个宣传队的概率是( C )
1
1
A.9
B.6
C.13
D.23
5．在一个不透明的口袋中，放入标有数字 1，2，2，3，4 的五
个小球(除数字外完全相同)，从中随机摸出一个小球后放回，再随机 6
摸出一个小球，则两次摸出的小球标号之和为 5 的概率为25．
11．如图，有 5 张不透明的卡片，除正面上的图案不同外，其
他均相同，将这 5 张卡片背面向上洗匀后放在桌面上．
(1)从中随机抽取 1 张卡片，卡片上的图案是轴对称图形的概率 3 为5 ．
(2)，请用 列表的方法求两次所抽取的卡片恰好都是中心对称图形的概率．
(1)请你用列表的方法求出|m＋n|＞1 的概率．
解：列表如下：
n
m
－1
0
1
2
－1 (－1，－1) (0，－1) (1，－1) (2，－1)
－12 (－1，－12) (0，－12) (1，－12) (2，－12)
1 (－1，1) (0，1) (1，1) (2，1)
由表格可知，所有等可能的结果有 12 种，其中满足|m＋n|＞1 的情况有 5 种，
6．张华和李明两人玩“剪刀、石头、布”的游戏，游戏规则： 剪刀胜布，布胜石头，石头胜剪刀．
(1)请用列表法表示出所有可能出现的游戏结果．
解：列表如下：
张华
李明
石头
剪刀
布
石头 (石头，石头) (剪刀，石头) (布，石头)
剪刀 (石头，剪刀) (剪刀，剪刀) (布，剪刀)
布 (石头，布) (剪刀，布) (布，布)
B.3
2 C.3
25.2 第1课时 用列表法求概率
第二十五章 第1课时 用列表法求概率
知识要点基础练
综合能力提升练
拓展探究突破练
-12-
解:(1)∵甲扔一袋垃圾有 4 种等可能的结果,其中扔对的只有 1 种结果,∴甲扔对垃圾的
概率为14. (2)记可回收物桶为 A,厨余垃圾桶为 B,有害垃圾桶为 C,其他垃圾桶为 D.列表如下:
A
B
C
D
A (A,A) (B,A) (C,A) (D,A) B (A,B) (B,B) (C,B) (D,B) C (A,C) (B,C) (C,C) (D,C) D (A,D) (B,D) (C,D) (D,D)
(2)列表如下:
白
红1
红2
白
(白,红 1) (白,红 2)
红 1 (红 1,白)
(红 1,红 2)
红 2 (红 2,白) (红 2,红 1)
∴一共有 6 种等可能的结果,连续两次都摸出红球的结果有 2 种,
∴连续两次都摸出红球的概率为2
6
=
13.
第二十五章 第1课时 用列表法求概率
知识要点基础练
综合能力提升练
第二十五章 第1课时 用列表法求概率
知识要点基础练
综合能力提升练
拓展探究突破练
-11-
14.现如今,“垃圾分类”已逐渐推广.如图,垃圾一般可分为:可回收物,厨余垃圾,有害垃圾, 其他垃圾.甲拿了一袋有害垃圾,乙拿了一袋厨余垃圾,随机扔进并排的4个垃圾桶.
(1)直接写出甲扔对垃圾的概率; (2)用列表法求甲、乙两人同时扔对垃圾的概率.
②左端连BC,右端连A1B1或A1C1;
③左端连AC,右端连A1B1或B1C1.
故这三根绳子连成一根长绳的概率为
25.2用列举法求概率(树形图法)
3、若上面的问题中，第一次取出不放回，再取出一个小球，那 么取出的小球之和是奇数的概率与第2题一样吗？
解：第一步：可能产生的结果： 1
第二步：可能产生的结果： 2 小球标号之和结果：
2
偶 数
3 3
奇 数
用列举法求概率
例2：甲口袋中装有2个相同的小球，它们分别写有字母A和B； 乙口袋中装有3个相同的小球，它们分别写有字母C、D和E； 丙口袋中装有2个相同的小球，它们分别写有字母H和I。 从3个口袋中各随机地取出1个小球。 （1）取出的3个小球上恰好有1个、2个和3个元音字母的概率 分别是多少？ （2）取出的3个小球上全是辅音字母的概率是多少？ D C
1、 经过某十字路口的汽车，它可能继续直行，也可能左转或右转，如果这三种可能 性大小相同，同向而行的三辆汽车都经过这个十字路口时，求下列事件的概率：
（1）三辆车全部继续直行（2）两辆车右转，一辆车左转（3）至少有两辆车左转
左 左 直 右 左 直 直 右 左 右 直 右
左 直 右左 直 右左 直 右 左 直 右左 直 右左 直 右 左 直 右左 直 右左 直 右 左 左 左 左 左 左 左 左 左直 直 直直 直 直 直 直 直 右 右 右右 右 右 右 右 右 左 左 左 直 直 直 右 右 右左 左 左直 直 直 右 右 右 左 左 左直 直 直 右 右 右 左 直 右 左 直 右 左 直 右左 直 右左 直 右 左 直 右 左 直 右左 直 右 左 直 右
(1) 列表法和树形图法的优点是什么? (2)什么时候使用“列表法”方便?什么时候使 用“树形图法”方便?
利用树形图或表格可以清晰地表示出 某个事件发生的所有可能出现的结果;从而 较方便地求出某些事件发生的概率. 当试验包含两步时,列表法比较方便, 当然,此时也可以用树形图法; 当试验在三步或三步以上时,用树形图 法方便.
4用列举法求概率(2)-列表法
2 (1,2) (2,2) (3,2) (4,2) (5,2) (6,2)
列 表 法
1 (1,1) (2,1) (3,1) (4,1) (5,1) (6,1) 1 2 3 4 5 6 ①号骰子 ①号 1 2 3 4 5 6
②号 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6
同时掷两个质地均匀的骰子: (1)可能出现的结果有____ 36 种. ① ②
②号骰子 6 (1,6) (2,6) (3,6) (4,6) (5,6) (6,6) 5 (1,5) (2,5) (3,5) (4,5) (5,5) (6,5) 4 (1,4) (2,4) (3,4) (4,4) (5,4) (6,4)
3 (1,3) (2,3) (3,3) (4,3) (5,3) (6,3)
2 (1,2) (2,2) (3,2) (4,2 (3,1) (4,1) (5,1) (6,1) 1 2 3 4 5 6 ①号骰子
(2)写出下列事件的概率： 1 ①两个骰子的点数相同；
时钟不会为任何一个人敲打逝去的钟点，时间 也从不会因为你的一时偷懒而停下脚步，请不要浪
费这美好的时光！
张磊
1、进一步体会概率在生活实际中的应用. 2、会用列表法分析一次试验中涉及两个因素的等可能事件
发生结果的总数.
3、体验数学方法的多样性、灵活性，提高解题能力.
同时掷两个质地均匀的骰子: (1)可能出现的结果有____ 36 种. ① ②
11 ③至少有一个骰子的点数为2；36
6
②两个骰子点数的和是9；
1 9
(3)把“同时掷两个骰子”改为“把一个骰子掷两次”,(2)中的结果有变化吗？
列表法求概率
蓝 红蓝 白蓝 蓝蓝
白 红白 白白 蓝白
红 红红 白红 蓝红
红白 蓝
长裤
13一个口袋内装有大小相等的1个白球和已编 有不同号码的3个黑球，从中摸出2个球. （1）共有多少种不同的结果？ （2）摸出2个黑球有多种不同的结果？ （3）摸出两个黑球的概率是多少？
1、现有两组电灯，每一组中各有红、黄、蓝、 绿四盏灯，各组中的灯均为并联，两组灯同时 只能各亮一盏，求同时亮红灯的概率。
这两种可能结果一样吗？ （一样）
练习：
1、袋子中装有红、绿各一个小球，除颜色外无 其他差别，随机摸出一个小球后放回，再随机 摸出一个。求下列事件的概率：
（1）第一次摸到红球，第二次摸到绿球 （2）两次都摸到相同颜色的小球； （3）两次摸到的球中有一个绿球和一个红球。
红红 红绿 绿红 绿绿
问题：利用分类列举法可以列出事件发生 的各种情况，对于列举复杂事件的发生情 况还有什么更好的方法呢？
游戏规则是:游戏者同时转动两个转盘,如果转盘A 转出了红色,转盘B转出了蓝色,那么他就赢了,因为 红色和蓝色在一起配成了紫色.
(1)利用列表的方 法表示游戏者所有 可能出现的结果. (2)游戏者获胜的 概率是多少?
红白
A盘
蓝 黄
绿 B盘
真知灼见源于 实践
“配紫色”游戏
表格可以是：
第二个
转盘
黄
第一个
将所有可能出现的情况列表如下： 红，红 黄，红 蓝，红 绿，红 红，黄 黄，黄 蓝，黄 绿，黄 红，蓝 黄，蓝 蓝，蓝 绿，蓝 红，绿 黄，绿 蓝，绿 绿，绿
P（红，红） 1 16
“配紫色”游戏 要“玩”出水平
小颖为学校联欢会设计了一个“配紫色”游戏:下面是两 个可以自由转动的转盘,每个转盘被分成相等的几个扇形.
画树状图求概率-(列表法)
1．“石头、剪刀、布”是广为流传的游戏，游戏时比赛各方做“石头”、“剪刀”、“布”手势中的一种，规定“石头”胜“剪刀”，“剪刀”胜“布”，“布”胜“石头”，同种手势或三种手势循环不分胜负继续比赛，假定甲、乙、丙三人都是等可能地做这三种手势，那么：(1)一次比赛中三人不分胜负的概率是多少? (2)比赛中一人胜，二人负的概率是多少? 解：剪刀一A ，石头一B ，布一C ，画出树形图如下：由树形图可知，三人随机出拳的所有可能情况有27种，每种情况出现的可能性相同，其中，(1)不分胜负的有：AAA ，BBB ，CCC ，ABC ，共4个，P (三人不分胜负);274=(2)一人胜二人负的有：ACC ，AAB ，ABA ，BAA ，BBC ，CBB ，CAC ，CCA ，BCB ，共9个，P (一人胜二人负).31279==2．经过某十字路口的汽车，它可能继续直行，也可能向左转或向右转．如果这三种可能性大小相同，三辆汽车经过这个十字路口，求下列事件的概率： (1)三辆车全部直行；(2)两辆车向右转，一辆车向左转； (3)至少有两辆车向左转． 解：画出树形图：由树形图可知，三辆车在十字路口随机选择的情况共有27种，每种情况出现的可能性大小相同，其中，(1)三辆车全部继续直行的结果只有一个，P (三辆车全部继续直行);271= (2)两辆车向右转，一辆车向左转的结果有3个，P (两辆车向右转，一辆车向左转);91273==(3)至少有两辆车向左转的结果有7个，P (至少有两辆车向左转).277= 3.同时掷两个质地均匀的骰子，计算下列事件的概率： （1）两个骰子的点数的和是5； （2）至少有一个骰子的点数为5. 解：列表如下: 第2个 第1个 1234561 （1，1） （1，2） （1，3） （1，4） （1，5） （1，6）2 （2，1） （2，2） （2，3） （2，4） （2，5） （2，6）3 （3，1） （3，2） （3，3） （3，4） （3，5） （3，6）4 （4，1） （4，2） （4，3） （4，4） （4，5） （4，6）5 （5，1） （5，2） （5，3） （5，4） （5，5） （5，6） 6（6，1） （6，2） （6，3） （6，4） （6，5） （6，6）可能性相等.由所列表格可以发现：（1）两个骰子的点数的和是5满足两个骰子的点数相同（记为事件A ）的结果有4个，即（4，1），（3，2），（2，3），（4，1），所以P(A)=41369=. （2）至少有一个骰子的点数为5（记为事件B ）的结果有11个，所以P(B)=1136.4．在一个布口袋中装着只有颜色不同，其他都相同的白、红、黑三种颜色的小球各1只，甲乙两人进行摸球游戏；甲先从袋中摸出一球看清颜色后放回，再由乙从袋中摸出一球．(1)试用树状图(或列表法)表示摸球游戏所有可能的结果；(2)如果规定：乙摸到与甲相同颜色的球为乙胜，否则为负，试求乙在游戏中获胜的概率．解：(1)画树形图来找出所有可能情况．甲摸得球的颜色：乙摸得球的颜色或用列表法思考所有情况．列表如下：乙甲白红黑白 白，白 红，白 黑，白 红 白，红 红，红 黑，红 黑白，黑红，黑黑，黑(2)由树形图可得，该试验的所有可能情况有9种，其中乙摸到与甲相同颜色球有三种情况，每种情况出现的机会均等，乙取胜的概率为⋅=31935．一个袋子中装有红、黄、蓝三个小球，它们除颜色外均相同． (1)如果从中随机摸出一个小球，那么摸到蓝色小球的概率是多少?(2)小王和小李玩摸球游戏，游戏规则如下：先由小王随机摸出一个小球，记下颜色后放回，小李再随机摸出一个小球，记下颜色．当两个小球的颜色相同时，小王赢；当两个小球的颜色不同时，小李赢．请你分析这个游戏规则对双方是否公平?并用列表法或画树状图法加以说明． 解：(1)每个小球被摸到的机会均等，故P (摸到蓝色小球)⋅=31(2)列表思考所有可能情况：小李小王红 黄 蓝 红 红，红 红，黄 红，蓝 黄 黄，红 黄，黄 黄，蓝 蓝蓝，红蓝，黄蓝，蓝由上表可知小王和小李先后摸球的所有情况有9种，每种情况出现的可能性相同，其中小王赢的情况有3种，小李赢的情况有6种． ∴P (小王赢),3193== P (小李赢) ,3296==∵∴此游戏规则对双方是不公平的．6．如图，两个转盘中指针落在每个数字上的机会相等，现同时转动A 、B 两个转盘，停止后，指针各指向一个数字．小力和小明利用这两个转盘做游戏，若两数之积为非负数则小力胜；否则，小明胜．你认为这个游戏公平吗?请你利用列举法说明理由．解：列表考虑所有可能情况：转盘A两个数字之积转盘B－1 0 2 11 －1 02 1－2 2 0 －4 －2－1 1 0 －2 －1由列表可知，由两个转盘各转出一数字作积的所有可能情况有12种，每种情况出现的可能性相同，其中两个数字之积为非负数有7个，负数有5个，∴P(小力获胜),127=P(小明获胜).125=∴这个游戏对双方不公平．7．从3名男生和2名女生中随机抽取2012年伦敦奧运会志愿者．求下列事件的概率：(1)抽取1名，恰好是女生；(2)抽取2名，恰好是1名男生和1名女生．解：(1)5名学生中有2名女生，所以抽取1名，恰好是女生的概率为25；(2)共有20种情况树状图如图DJ4，恰好是1名男生和1名女生的情况数有12种，所以概率为35.图DJ48.同时掷两个质地均匀的骰子，计算下列事件的概率：（1）两个骰子的点数的和是5；（2）至少有一个骰子的点数为5.解：列表如下:可能性相等.由所列表格可以发现：（1）两个骰子的点数的和是5满足两个骰子的点数相同（记为事件A）的结果有4个，即（4，1），（3，2），（2，3），（4，1），所以P(A)=41.369（2）至少有一个骰子的点数为5（记为事件B）的结果有11个，所以P(B)=1136.9.在一个不透明的袋子里装有除数字以外其它均相同的4个小球，上面分别标有数字1、2、3、4．小明先从袋中随机摸出一个小球，记下数字后不再放回,再从袋中剩下的3个小球中又随机摸出一个小球,记下数字．请用列表或画树状图的方法求出先后摸出的两个小球上的数字和为奇数的概率是多少?解：（1）根据题意可列表或树状图如下：从表或树状图可以看出所有可能结果共有12种，且每种结果发生的可能性相同，符合条件的结果有8种，∴P （和为奇数）23=.10．某商场为了吸引顾客，设计了一种促销活动：在一个不透明的箱子里放有4个相同的小球，球上分别标有“0元”、“10元”、“20元”和“30元”的字样．规定：顾客在本商场同一日内，每消费满200元，就可以在箱子里先后摸出两个球（第一次摸出后不放回）．商场根据两小球所标金额的和返还相应价格的购物券，可以重新在本商场消费．某顾客刚好消费200元．（1）该顾客至少可得到_______元购物券，至多可得到_______元购物券； （2）请你用画树状图或列表的方法，求出该顾客所获得购物券的金额不低于30元的概率． 解：（1）10，50； （2）解：树状图如下：从上图可以看出，共有12种可能结果，其中大于或等于30元共有8种可能结果，因此P （不低于30元）=82123=． 11．在一个不透明的盒子里，装有三个分别写有数字6，-2，7的小球，它们的形状、大小、质地等完全相同，先从盒子里随机取出一个小球，记下数字后放回盒子，摇匀后再随机取出一个小球，记下数字．请你用画树形图或列表的方法，求下列事件的概率：（1）两次取出小球上的数字相同；（2）两次取出小球上的数字之和大于10．（1，2） （1，3） （1，4） 2341 （1，1） （2，3） （2，4） 1342 （3，1） （3，2） （3，4） 1243 （4，1） （4，2） （4，3） 1234 第一次摸球 第二次摸球 010 20 30 102030 100 20 30 103040 0 10 30 20203050 20 300 10 503040第一次第二次 和解：（1）P （两数相同）=13．（2）P （两数和大于10）=49．12．一个不透明的布袋里装有4个大小、质地均相同的乒乓球，每个球上面分别标有1，2，3，4．小林先从布袋中随机抽取一个乒乓球（不放回去），再从剩下的3个球中随机抽取第二个乒乓球． （1）请你列出所有可能的结果；（2）求两次取得乒乓球的数字之积为奇数的概率． 解：（1）根据题意列表如下：（2）在（1）中的12种可能结果中，两个数字之积为奇数的只有2种， 所以，P （两个数字之积是奇数）21126==． 13.“学雷锋活动日”这天，阳光中学安排七、八、九年级部分学生代表走出校园参与活动，活动内容有：A ．打扫街道卫生；B ．慰问孤寡老人；C ．到社区进行义务文艺演出．学校要求一个年级的学生代表只负责一项活动内容． (1)若随机选一个年级的学生代表和一项活动内容，请你用列表法(或画树状图)表示所有可能出现的结果；(2)求九年级学生代表到社区进行义务文艺演出的概率． 解：（1）画树状图分析如下：树形图6 76 -276 7 76 -2 -2 -2（2）九年级学生代表到社区进行义务文艺演出的概率为2163P ==.14.把一副扑克牌中的3张黑桃牌（它们的正面牌数字分别为3、4、5）洗匀后正面朝下放在桌面上.小王和小李玩摸牌游戏，游戏规则如下：先由小王随机抽取一张牌，记下牌面数字后放回，洗匀后正面朝下，再由小李随机抽取一张牌，记下牌面数字.当2张牌的牌面数字相同时，小王赢；当2张牌的牌面数字不同时，小李赢.现请你利用树状图或列表法分析游戏规则对双方是否公平？并说明理由.解：游戏规则不公平.理由如下：列表,由表可知，所有可能出现的结果共有9种，故3193)(==牌面数字相同P ,3296)(==牌面数字不同P . ∵31＜32，∴此游戏规则不公平，小李赢的可能性大.15．甲、乙两同学用一副扑克牌中牌面数字分别是3、4、5、6的4张牌做抽数游戏，游戏规则是：将这4线牌的正面全部朝下、洗匀，从中随机抽取一张，抽得的数作为十位上的数字，然后，将所抽的牌放回，正面全部朝下、洗匀，3 4 53 （3，3） （3，4） （3，5）4 （4，3） （4，4） （4，5） 5（5，3） （5，4） （5，5）小李小王再从中随机抽取一张，抽得的数作为个位上的数字，这样就得到一个两位数，若这个两位数小于45，则甲获胜，否则乙获胜．你认为这个游戏公平吗？请运用概率知识说明理由．解：这个游戏不公平，游戏所有可能出现的结果如下表：表中共有16种．∴63168P ==（甲获胜）,105168P ==（乙获胜）．∵8583≠，∴这个游戏不公平． 16．在一个不透明的纸箱里装有红、黄、蓝三种颜色的小球，它们除颜色外完全相同，其中红球有2个，黄球有1个，蓝球有1个.现有一张电影票，小明和小亮决定通过摸球游戏定输赢（赢的一方得电影票）．游戏规则是：两人各摸1次球，先由小明从纸箱里随机摸出1个球，记录颜色后放回，将小球摇匀，再由小亮随机摸出1个球．若两人摸到的球颜色相同，则小明赢，否则小亮赢．这个游戏规则对双方公平吗？请你利用树状图或列表法说明理由． 解：树状图为： 或列表为：开始红 红 黄 蓝红 红 黄 蓝红 红 黄 蓝红 红 黄 蓝红 红 黄 蓝由上述树状图或表格知：所有可能出现的结果共有16种． ∴P （小明赢）=63168=，P（小亮赢）=105168=． ∴此游戏对双方不公平，小亮赢的可能性大．17．将如图所示的牌面数字分别是1，2，3，4的四张扑克牌背面朝上，洗匀后放在桌面上．（1）从中随机抽出一张牌，牌面数字是偶数的概率是________； （2）从中随机抽出二张牌，两张牌牌面数字的和是5的概率是________； （3）先从中随机抽出一张牌，将牌面数字作为十位上的数字，然后将该牌放回并重新洗匀，再随机抽取一张，将牌面数字作为个位上的数字，请用画树状图或列表的方法求组成的两位数恰好是4的倍数的概率．解：（1）12.（2）13. （3）根据题意，画树状图：由树状图可知，共有16种等可能的结果：11，12，13，14，21，22，23，24，31，32，33，34，41，42，43，44．其中恰好是4的倍数的共有4种：12，24，32，44．∴P （4的倍数）41164==． 18．除颜色外完全相同的六个小球分别放到两个袋子中，一个袋子中放两个红球和一个白球，另一个袋子中放一个红球和两个白球．随机从两个袋子中分别摸出一个小球，试判断摸出两个异色小球的概率与摸出两个同色小球的概率是1 2 3 4 1第一次第二次 1 2 3 4 21 2 3 4 31 2 3 4 4开始否相等，并说明理由．解:摸出两个异色小球的概率与摸出两个同色小球的概率不相等． 画树状图如下（画出一种情况即可）：∴摸出两个异色小球的概率为59，摸出两个同色小球的概率49．19．一只不透明的袋子中，装有2个白球（标有号码1、2）和1个红球，这些球除颜色外其他都相同．（1）搅匀后从中摸出一个球，摸到白球的概率是多少？（2）搅匀后从中一次摸出两个球，请用树状图（或列表法）求这两个球都是白球的概率．解:（1）p （一个球是白球）=23. （2）树状图如下（列表略）：开始∴P （两个球都是白球）2163==．20.小明和小亮利用三张卡片做游戏，卡片上分别写有A ，B ，B ．这些卡片除字母外完全相同，从中随机摸出一张，记下字母后放回，充分洗匀后，再从中摸出一张，如果两次摸到卡片字母相同则小明胜，否则小亮胜，这个游戏对双方公平吗？请说明现由．红 白 白 红红 白 白 红红 白 白 白开始 或红 红 白 白红红 白 白红红 白红开始 白2红白1 白1红白2 白1白2 红解：画树状图得：∵共有9种等可能的结果，两次摸到卡片字母相同的有5种等可能的结果，∴两次摸到卡片字母相同的概率为：；∴小明胜的概率为，小明胜的概率为，∵ ≠ ，∴这个游戏对双方不公平21.如图，两个转盘中指针落在每个数字上的机会相等，现同时转动A、B两个转盘，停止后，指针各指向一个数字．小力和小明利用这两个转盘做游戏，若两数之积为非负数则小力胜；否则，小明胜．你认为这个游戏公平吗?请你利用列举法说明理由．解：根据题意列树状图如下：由树状图可知，游戏结果有12中情况，其中两数之积为非负有7种，则两数之积为非负的概率为，两数之积为负的情况有5种，则两数之积为为负的概率为.≠，因此该游戏不公平。
用列表法、画树状图求概率
一个试验
中涉及3个因素,第
一个因素中有2种 第一个因素 A
B
可能情况;第二个
因素中有3种可能 第二个 的情况;第三个因
1
2
31
2
3
素中有2种可能的
情况,
第三个 a b a b a b a b a b a b
则其树状图如图：
n=2×3×2=12
例：有一个不透明的袋子中装有红、白、绿 三种颜色的小球各1个。除了颜色外无其他 差别。随机摸出1个小球后，记下球的颜色， 然后放回，再随机摸出一个。求下列事件的 概率。（列表或画树状图分析）
（1）两次颜色相同的概率 （2）第一次为红色，第二次为白色的概率 （3）一个白色、一个绿色的概率
知识回顾 Knowledge Review
放映结束 感谢各位的批评指导！
谢 谢！
让我们共同进步
A1
A2
B1
B2
A2 B1 B2 A1 B1 B2 A1 A1 B2 A1 A2 B1
P（小明正好穿相同的一双袜子）=
4 12
1 3
1、什么时候要用列表法？ 方法归纳：
当一次试验要涉及两个因素（两组量，或一组
量操作2次），并且可能出现的结果数目较多时。
列表法中表格构造特点:
一个因素所包含的可能情况
另一
个因素
不ห้องสมุดไป่ตู้
所包含 的可能
两个因素所组合的 所有可能情况,即n
重
情况
不
漏
2、用列表法求概率的关键是什么？
关键在于正确列举出试验结果的各种可能性。
方法归纳：
当一次试验中涉及3个因素或更多的因素时,用列 表法就不方便了.为了不重不漏地列出所有可能的结果, 通常采用“树状图”.
25.2用列举法求概率(1直接列举法,列表法)
探究
.同时掷两个质地均匀的骰子，计算下列 事件的概率：
（1）两个骰子的点数相同;
（2）两个骰子点数的和是9；
（3）至少有一个骰子的点数为2。
分析：当一次试验要涉及两个因素（例如 掷两个骰子或抛两枚硬币）并且可能出现 的结果数目较多时，为不重不漏地列出所 有可能结果，通常采用列表法。
把两个骰子分别标记为第1个和第2个，列表如下：
4
5 6
(4,1) (4,2) (4,3) (4,4) (4,5) (4,6) (4,2)
(5,1) (5,2) (5,3) (5,4) (5,5) (5,6) (5,2)
(6,1) (6,2) (6,3) (6,4) (6,5) (6,6) (6,2)
（3）满足至少有一个骰子的点数为2(记为事件C)
思考2:
如图,袋中装有两个完全相同的球,分别标有数 字“1”和“2”.小明设计了一个游戏:游戏者 每次从袋中随机摸出一个球,并自由转动图中 的转盘(转盘被分成相等的三个扇形).
1 2 3
游戏规则是: 如果所摸球上的数字与转盘转出的数 字之和为2,那么游戏者获胜.求游戏者 获胜的概率.
驶向胜利 的彼岸
3
4 5 6
（1）满足两个骰子点数相同（记为事件A） P（A）=
6 36
1 = 6
用表格列举出所有可能出现的结果
第二个 第一个
1
2
3
4
5
6
1 2 3
(1,1) (1,2) (1,3) (1,4) (1,5) (1,6) (2,1) (2,2) (2,3) (2,4) (2,5) (2,6) (3,1) (3,2) (3,3) (3,4) (3,5) (3,6) (4,1) (4,2) (4,3) (4,4) (4,5) (4,6) (5,1) (5,2) (5,3) (5,4) (5,5) (5,6) (6,1) (6,2) (6,3) (6,4) (6,5) (6,6)
列表法求概率问题
列表法求概率问题
一、一个骰子有六个面，分别标有1到6的数字。
随机投掷一次，出现偶数的概率是多少？
A. 1/6
B. 1/3
C. 1/2
D. 2/3（答案：C）
二、从一副没有大小王的扑克牌（52张）中随机抽取一张，抽到红心的概率是多少？
A. 1/52
B. 1/13
C. 1/4
D. 1/2（答案：C）
三、一个盒子里有10个红球和10个蓝球，随机摸取一个球，摸到红球的概率是多少？
A. 1/10
B. 1/20
C. 1/2
D. 11/20（答案：C）
四、一个转盘上有红、黄、蓝三种颜色，每种颜色各占1/3。
转动转盘一次，指针停在红色区域的概率是多少？
A. 1/9
B. 1/4
C. 1/3
D. 1/2（答案：C）
五、一个袋子里有5个黑球和3个白球，随机摸取一个球，不摸到黑球的概率是多少？
A. 3/5
B. 3/8
C. 5/8
D. 2/5（答案：B）
六、从数字1到10中随机选择一个数字，选择的数字是质数的概率是多少？（质数定义为大于1且仅能被1和自身整除的数）
A. 1/10
B. 2/5
C. 3/10
D. 1/2（答案：B）
七、一个盒子里有大小相同的红、黄、绿三种颜色的球各5个，随机摸取一个球，摸到非绿色球的概率是多少？
A. 1/5
B. 2/5
C. 3/5
D. 4/5（答案：C）
八、从一副只有红桃和黑桃的扑克牌（每种花色13张）中随机抽取一张，抽到黑桃A的概率是多少？
A. 1/52
B. 1/26
C. 1/13
D. 1/4（答案：B）。
用列表法求概率
的有(1,1)(1,3)(1,5)(3,1)(3,3)(3,5)(5,1)(5,3)(5,5)
这9种情况,所以
P(A)=
总结经验:
9 36
1 4
当一次试的列
出所有可能的结果,通常采用列表的办法
随堂练习
P154 1
1 .在6张卡片上分别写有1~6的整数, 随机的抽取一张后放回,再随机的抽取 一张,那么,第一次取出的数字能够整除 第2次取出的数字的概率是多少?
“把一个骰子掷两次”,所得的结果有变化
吗? 没有变化
思考1:小明和小亮做扑克游戏，桌面上放有两
堆牌,分别是红桃和黑桃的1,2,3,4,5,6, 小明建议:”我从红桃中抽取一张牌,你从 黑桃中取一张,当两张牌数字之积为奇 数时，你得1分，为偶数我得1分,先得 到10分的获胜”。如果你是小亮,你愿 意接受这个游戏的规则吗?
(2)满足两个骰子点数和为9的结果有4个, 即(3, 6), (4, 5), (5, 4), (6, 3), 所以
P（两个骰子点数的和是9） 4 1 36 6
(3)满足至少有一个骰子的点数为2的结果有11个,所以 P（至少有一个骰子的点数为2） 11 36
如果把例5中的“同时掷两个骰子”改为
红白
蓝 黄
绿
(2)游戏者获胜的概
A盘
B盘
率是多少?
想一想 4
真知灼见源于实践
“配紫色”游戏
表格可以是：
第二个
转盘
黄
第一个
转盘
红
(红,黄)
蓝 (红,蓝)
白
(白,黄) (白,蓝)
游戏者获胜的概率是1/6.
绿
(红,绿) (白,绿)
驶向胜 利的彼
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用列表法求概率测试卷
25.2 用列举法求概率
第1课时用列表法求概率
知识要点基础练
知识点1 利用直接列举法求概率
1.(赤峰中考)从数字2,3,4中任选两个数组成一个两位数,组成的数是偶数的概率是(A)
A.B..D.
2.(临沂中考)某校九年级共有1,2,3,4四个班,现从这四个班中随机抽取两个班进行一场篮球比赛,则恰好抽到1班和2班的概率是(B)
A.B..D.
3.【教材母题变式】如图,是从一副扑克牌中取出的两组牌,分别是红桃1,2,3和方块1,2,3(A看成1),将它们的背面朝上分别重新洗牌后,再从两组牌中各摸出一张.
(1)用列举法列举所有可能出现的结果;
(2)求摸出的两张牌的牌面数字之和不小于5的概率.
解:(1)(1,1),(1,2),(1,3),(2,1),(2,2),(2,3),(3,1),(3, 2),(3,3),共9种情况.
(2)摸出的两张牌的牌面数字之和不小于5的有
(2,3),(3,2),(3,3),共3种情况,
∴摸出的两张牌的牌面数字之和不小于5的概率为.
知识点2 用列表法求概率
4.放假期间,小丁和小华一起去安徽艺术影城看著名的电影《芳华》,通过手机购买影票,只剩下二十排的四个空座位供他们选择,座位号分别为3号、4号、8号、7号.小丁要从这四个座位中随机抽取两个,则抽到的座位号都是偶数的概率是(A)
A.B..D.
5.(重庆中考)点P的坐标是(a,b),从-2,-1,0,1,2这五个数中任取一个数作为a的值,再从余下的四个数中任取一个数作为b的值,则点P(a,b)在平面直角坐标系第二象限内的概率是.
6.在四个完全相同的小球上分别标上1,2,3,4四个数字,然后装入一个不透明的口袋里搅匀,小明同学随机摸取一个小球记下标号,然后放回,再随机摸取一个小球,记下标号.
(1)请你用列表的方法表示小明同学摸球的所有可能出现的结果.
(2)按照小明同学的摸球方法,把第一次取出的小球的数字作为点的横坐标,把第二次取出的小球的数字作为点的纵坐标,试求点(x,y)落在直线y=x上的概率是多少?
解:(1)列表:
234
1(2,1)(3,1)(4,1)
2(2,2)(3,2)(4,2)
3(2,3)(3,3)(4,3)
4(2,4)(3,4)(4,4)
(2)由(1)中的表格知,共有16种结果,每种结果出现的可能性都相同,其中满足条件的点有(1,1),(2,2),(3,3),(4,4),∴点(x,y)落在直线y=x上的概率是.
综合能力提升练
7.(恩施州中考)小明和他的爸爸妈妈共3人站成一排拍照,他的爸爸妈妈相邻的概率是(D)
A.B..D.
8.在数-1,0,2中任取两个数作为点的坐标,那么该点刚好在一次函数y=x+2图象上的概率是(D)
A.B..D.
9.有3个整式x,x+1,2,先随机取一个整式作为分子,再在余下的整式中随机取一个作为分母,恰能组成分式的概率是()
A.B..D.
10.(临沂中考)一天晚上,小丽在清洗两只颜色分别为粉色和白色的有盖茶杯时,突然停电了,小丽只好把杯盖和
茶杯随机搭配在一起,则其颜色搭配一致的概率是(B)
A.B..D.1
【变式拓展】在一个不透明的口袋中有5个除标号外完全相同的小球,小球上分别标有数字-1,1,-2,2,3,从中随机取出一个小球,用取出的小球上标有的数字表示k,不放回再取出一个,用取出小球上标有的数字表示b,那么构成的一次函数y=kx+b的图象经过第二、三象限的概率是.
11.合肥市某公交站每天7:30~8:00开往合肥一中的三辆班车票价相同,但车的大小和车上的人数不同.小杰在站牌等车,先观察后再上车,当第一辆车开时,他不上车,而是观察车里的人数的多少,若第二辆车里的人数比第一辆车少,他就上第二辆车;若第二辆车的人数比第一辆多,他就上第三辆车.若按这三辆车的舒适程度,分为优、中、差三等,则小杰坐上优等车的概率是(A)
A.B..D.
12.有5张看上去无差别的卡片,上面分别写着1,2,3,4,5,随机抽取3张,用抽到的三个数字作为边长,恰能构成三角形的概率是.
13.(安徽二模)如图①,一张纸条上依次写有10个数,如图②,一卡片每次可以盖住纸条上的3个数,那么随机地用卡片盖住的3个数中有且只有一个是负数的概率为.
14.(安徽中考)如图,管中放置着三根同样的绳子
AA1,BB1,1;
(1)小明从这三根绳子中随机选一根,恰好选中绳子AA1的概率是多少?
(2)小明先从左端A,B,三个绳头中随机选两个打一个结,再从右端A1,B1,1三个绳头中随机选两个打一个结,求这三根绳子能连成一根长绳的概率.
解:(1)三种等可能的情况数,则恰好选中绳子AA1的概率是.
(2)列表如下:
AB
A1(A,A1)(B,A1)(,A1)
B1(A,B1)(B,B1)(,B1)
1(A,1)(B,1)(,1)
所有等可能的情况有9种,其中这三根绳子能连结成一根长绳的情况有6种,
则P=.
15.某学校为了增强学生体质,决定开设以下体育课外活动项目:A篮球、B乒乓球、跳绳、D踢毽子,为了解学生最喜欢哪一种活动项目,随机抽取了部分学生进行调查,并将调查结果绘制成了两幅不完整的统计图,请回答下列问题:
(1)这次被调查的学生共有人;
(2)请你将条形统计图补充完整;
(3)在平时的乒乓球项目训练中,甲、乙、丙、丁四人表现优秀,现决定从这四名同学中任选两名参加乒乓球比赛,求恰好选中甲、乙两位同学的概率(用列表法解答).
解:(1)200.
(2)项目对应人数:200-20-80-40=60(人),图略.
(3)列表如下:
甲乙丙丁
甲—乙甲丙甲丁甲
乙甲乙—丙乙丁乙
丙甲丙乙丙—丁丙
丁甲丁乙丁丙丁—
从甲、乙、丙、丁四人中任选两名,共有12种等可能的情况,恰好选中甲、乙两位同学的有2种,
∴P(选中甲、乙)=.
拓展探究突破练
16.(攀枝花中考)在一个不透明的口袋里装有分别标有数字-3,-1,0,2的四个小球,除数字不同外,小球没有任何区别,每次试验先搅拌均匀.
(1)从中任取一球,求抽取的数字为正数的概率;
(2)从中任取一球,将球上的数字记为a,求关于x的一元二次方程ax2-2ax+a+3=0有实数根的概率;
(3)从中任取一球,将球上的数字作为点的横坐标记为
x(不放回);再任取一球,将球上的数字作为点的纵坐标,记为y,试用画树状图(或列表法)表示出点(x,y)所有可能出现的结果,并求点(x,y)落在第二象限内的概率.
解:(1)根据题意,所有等可能的情况有4种,抽取的数字为正数的情况有1种,则P=.
(2)方程ax2-2ax+a+3=0,Δ=4a2-4a(a+3)=-12a≥0,即a ≤0,且a≠0所有等可能的情况有4种,满足a<0的情况有2种,则方程ax2-2ax+a+3=0有实数根的概率为.
(3)列表如下:
-3-102
-3—(-1,-3)(0,-3)(2,-3)
-1(-3,-1)—(0,-1)(2,-1)
0(-3,0)(-1,0)—(2,0)
2(-3,2)(-1,2)(0,2)—
所有等可能的情况有12种,其中点(x,y)落在第二象限内的情况有2种,
则P=.。