概率论与数理统计期末习题

f2(x)
0,x0
(1)求 E (X 1 X 2)E ,(2 X 1 3 X 2 2)
(2)又设 X1, X2相互独立，求 E(X1X2)
解:若X服从以为参数的指数分布，其概率密度为
f
(x)
1
ex/ , x
0
0,其他
E(X) ,D(X) 2 E(X2) 22
故 E (X 1 ) 1 2 ,E (X 2 ) 1 4 ,E (X 2 2 ) 2 (1 4 )2 8 1
j1
j
2 *3j
2
(1)j1
j1 j
不绝对收敛，按定义X的数学期望不存在。
(2)以 Ak 记事件“第k次摸球摸到黑球”，以A k 记事件“第k次摸球摸到白
球”，以 C k 表示事件“游戏在第k次摸球时结束”，k=1,2,...依题意得
Ck A1A2..A .k1Ak
P ( C k ) P ( A k A 1 A 2 .A . k 1 ) . P ( A k 1 A 1 A 2 .A . k 2 ) .P ( . A 2 . A 1 ) . P ( A 1 )
2 .5n
即 200050n 1.645 2.5 n
n 39.483 n至多取39.
.
27.下列各对随机变量X和Y，问哪几对是相互独立的？哪几对是不相关的？
(1) X ~ U ( 0 ,1), Y X 2
( 2 ) X ~ U ( 1,1), Y X 2
( 3 ) X cos V , Y sin V ,V ~ U ( 0 , 2 ) 若 ( X , Y )的概率密度为 f ( x , y )
解：(1)由关于随机变量函数的数学期望的定理，知
E(Y)E(2X) 2xf(x)dx2
E(Y)E(e2x) e2xf(x)dx1
3
(2)因 X i~ U (0 ,1 )i, 1 ,2 ,.n .,X 的.i,分布函数为
0, x 0
F (x)
x,0
x
1
1, x 1
因 X1,X2,...X,n 相互独立，故 U ma X 1,x X 2{ ,.X .n .} ,的分布函数为
E(X2Y2 )
(2)设随机变量X,Y的联合密度为 f(x,y)1ye(yx/y),x0,y0求E(X),E(Y),E(XY)
0,其他
解：(1)
E(X)
xf(x,y)dxdy
x•12y2dxdy
G
1dxx12xy2dy4
00
5
E(Y) y•12y2dxdy
G
1
dx
x12y3dy 3
.
(2)设仓库应至少储存n kg该产品，才能使该产品不脱销的概率大于0.99，按 题意，n应满足条件
P{Yn}0.99
由于 Y~N(120,3052),故有 P { Y n } P { Y 12 n 0 1 02 } 0 (n 0 12 ) 00
35 35 35
因而上述不等式即为 (n12)0 00 .9 9 (2.3)3
0,u 0
FU (u) un,0 u 1
1,u 1
.
U的概率密度为
nun1,0u1
fU(u)
0,其他
E (U ) uU (u f)d u 0 1 u •nn 1 u d u n n 1
VmX i1 n ,X 2 { ,.X .n .},的分布函数为
0,v0 FV(v) 1(1v)n,0v1
商店的仓库应至少储存多少千克该产品？
解：以Y记为五家商店该种产品的总销售量，即 Y X 1 X 2 X 3 X 4 X 5 (1)按题设 Xi(i1,2,3,4,5) 相互独立且均服从正态分布，即有
5
E(Y)E(Xi)2002401802603201200 i1 5
D(Y)D(Xi)2252402252652701225 i1
E(3X25)3E(X2)51.34
(2)因 X~()故, P{Xk}ke
k!
1
1
1 ke ke
E( )
P{X k}
X1 k0 k1
k0 k1 k! k0 (k1)!
e k1 e ( j )e ( j 1)
k0 (k1)! j1 j! j0 j!
e
(e
1)
1(1e)
3X2 )5
f ( x , y )与 f X ( x )， fY ( y )在平面上几乎处处相等
E(X
)
01 x ( x
1 )dx 2
7 12
, E (Y )
7 12
E ( XY ) 01 01 xy ( x
y ) dxdy
1 3
Cov ( X ,Y ) E ( XY ) E ( X ) E (Y ) 0
概率论与数理统计期末习题
2015.06.01
.
1 第四章 随机变量的数字特征
目录
2 第五章 大数定律集中心极限定理 3 第六章 样本及抽样分布
4 第七章 参数估计
.
第四章 随机变量的数字特征
4.（1）设随机变量X的分布律为 P{X(1)j13j}2,j1,2,说...明, X的数学期望不存在。
j 3j
00
5
E(XY) xy•12y2dxdy
G
1
dx
x
12x
y3dy
1
00
2
E(X2 Y2) (x2 y2)•12y2dxdy
G
1
dx
x12(x2y2
y4)dy16
00
15
.
(2)
E(X)
xe(yx/y)d
0 0y
x dy0ey0x ex/yd(xy)dy
eydy1 0
E(Y)00e(yx/y)dxd y0ey0ex/ydxdy eydy1
.
7.(1)设随机变量X的概率密度为
ex f (x)
x求0 Y=2X;Y=
e 的2 x数学期望。
0 x0
(2)设随机变量 X1,X2,...X相,n互独立，且都服从（0,1）上的均匀分布，求
U ma X 1,x X 2{ ,.X .和n .} , VmX i1 n ,X 2 { ,.的X .n .数},学期望
（2）一盒中装有一只黑球，一只白球，作摸球游戏，规则如下：一次从盒中随机摸一 只球，若摸到白球，则游戏结束；若摸到黑球放回再放入一只黑球，然后再从盒中随机地 摸一只球，试说明要游戏结束的摸球次数X的数学期望不存在。
解：(1)因级数
(1)j1
3j P{X
(1)j1
3j }
j1
j
j
(1)j1 3j
1,v1
V的概率密度为
n(1v)n1,0v1
fV(v)
0,其他
E (V ) vV (v f)d v 0 1 v • n (1 v )n 1 d v n 1 1
.
9.(1)设随机变量(X,Y)的概率密度为 f(x,y)12y2,00,其 y他 x1求E(X),E(Y),E(XY),
D (X)E(X2)[E(X)2]E[X(X1)X][E(X)2] E[X(X1) ]E(X)[E(X)2]1 p2p
.
23.五家商店联营，它们每两周售出的某种农产品的数量分别为 X1,X2,X3,X4,X5 已知 X 1 ~ N ( 2 , 2 ) X 2 0 ~ N , ( 2 2 , 2 0 ) X 5 3 4 ~ N , ( 4 1 , 2 0 ) X 4 0 8 ~ N , ( 2 2 , 2 0 ) X 5 5 6 ~ N , ( 6 3 , 2 0 ) X 5 1 2 , X 2 , 7 X 3 , X 4 , 0 X 5 0 相互独立。 (1)求五家商店两周的总销售量的均值和方差。 (2)商店每隔两周进货一次，为了使新的供货到达前商店不会脱销的概率大于0.99，问
in2V)1202
1s
2
in2d0
Co(vX,Y)E(XY)E(X)E(Y)0
故X,Y不相互独立，不相关
.
(4)
x y ,0 x 1,0 y 1
f (x, y)
0, 其他
fX
(x)
01
(
x
y )dy
x
1 2
,0
x
1
0, 其他
fY ( y)
01
(
x
y ) dx
y
1 2
,0
y
1
0, 其他
故卡车所装运水泥的总重量为 W X 1X2...Xn
按题意n需满足 P {W20}0 00 .05
对于像这样的实际问题，认为 X1,X2,...X,n 相互独立是适宜的，此时
E (W )5n ,0 D (W )2 .5 2n于是，W~N(5n 0,2.52n)
从而，P { W 20 } 1 0 (0 20 50 n )0 0 0 .0 1 5 (1 .6)45
证： E[X (C)2]E(X22C XC2)E(X2)2C(E X)C2
E(X2)[E(X)2]{E [(X)2]2C(E X)C2} D (X)(E(X)C)2D (X)
等号仅当C=E(X)时成立。
.
20.设随机变量X服从几何分布，其分布律为 P {Xk}p (1p )n 1,k 1 ,2 ,.其.中.,
0
E(X)Y00xe(yx/y)dx d0 yey0xex/ydxdy y2eydy (3)2
0
注： () x1exdx,0, 0 (1)(), (1)1,(1) 2 (n1)n(n)n!
.
14.设随机变量 X1, X2 的概率密度分别为
2e2x, x 0
f1(x)
0, x 0
4e4x,x0
故 X ,Y不相互独立，相关
， X ,Y不相互独立
.
(5)
(1) E(X1X2)E(X1)E(X2)43
E(2X13X22)2E(X1)3E(X22)85
(2)因为 X1, X2相互独立，
E(X1X2)E(X1)E(X2)8 1
.
17.设X为随机变量，C为常数，证明 D (X)E[X (C)2],对于 CE(X).（由于
D (X)E [X [E (X)2]],上式表明 E[(XC)2] 当C=E(X)时取到最小值。）
从而 n 1200 2.33
35
35
n 1281.55 即需取n=1282 kg.
.
24.卡车装运水泥，设每袋水泥重量X服从N(50,2.52) ,问至多装多少袋水泥使总重量
超过2000的概率不大于0.05.
解：设至多能装运n袋水泥，各袋水泥的重量分别为 X1,X2,...X,n，则
Xi~N (5,2 0 .52)i,1,2,.n ..,
E ( X ) n 1 n { X P n } n 1 n ( 1 p ) n 1 p n 1 n ( 1 p ) n 1 p [ 1 ( 1 1 p ) 2 ] 1 p
E ( X ( X 1 ) n ) 1 n ( n 1 ) P { X n } p n 1 n ( n 1 ) 1 ( p ) n 1 p [ 1 ( 1 2 p ) 3 ] p 2 2
k(P Xk)k•1•1 1
k 1
k 1 k 1k k 1k 1
故X的数学期望不存在。
.
6.(1)设随机变量X的分布律为
(2)设
X~(求),
E( 1 ) X 1
解：(1)
求E(X),E( ),X 2 E(
E(X)(2)0.400.320.30.2
E(X2)(2)20.4020.3220.32.8
.
X=k时，盒中共有k+1只球，其中只有一只白球，故
P(Xk)P(A1..A. k1Ak)
P(Ak A1A2..A.k1)P(Ak1 A1A2..A.k2)..P.(A2 A1)P(A1)
1 •k1•k2•..•. 2•1 k1 k k1 3 2
1 •1 k1 k
若E(X)存在，则它等于 kP(X k) ，但 k 1
故X ,Y不相互独立，相关
.
(2)
E(
X
)
0,
E(Y
)
E(
X
2
)
11
1 2
x2dx
1 3
,
E(
XY)
E(
X
3)
10
1 2
x3d
x
0
Cov(X,Y) E(XY) E(X )E(Y) 0
故X ,Y不相互独立，不相关
(3)
E(X)02
1c
2
osd0,E(Y)02
1s
2
ind0
E(XY)E(c
oVssinV)1E(s 2
0<p<1是常数，求E(X),D(X).
Байду номын сангаас：因为： 11xx2...xk..x . ,1
1x
两边对x求导得：(1 1 x)2 12x3 x2 .. .kk x 1 ..x . ,1
两边对x求导得：(1 2 x )3 1 • 2 2 • 3 x . .( .k 1 )• kk x 2 ..x . ,1
x y,0 x 1,0 y 1
(4) f (x, y)
0 , 其他
2 y ,0 x 1,0 y 1
(5) f (x, y)
0 , 其他
解：(1)
E(X )
1 2
,
E(Y
)
E(
X
2
)
10
x2d
x
1 3
,
E(
XY)
E(
X
3)
10
x3d
x
1 4
Cov(X ,Y ) E(XY) E(X )E(Y) 0