由平方差公式的几何证明谈代数.
七年级下册平方差公式的认识
七年级下册平方差公式的认识平方差公式是关于二次项的一个非常重要的公式，也是初中数学中必须要学会的知识点之一，在七年级下册中也进行了相关的介绍和学习。
本文将对平方差公式的认识进行详细的解释。
1. 平方差公式的定义平方差公式是指一个二次项式的平方形式可以转化为一次项的平方形式与一个常数之差的形式，即：(a+b)² = a² + 2ab + b²(a-b)² = a² - 2ab + b²其中，“平方”，指的是将一个数乘以自身得到的结果，“二次项式”，指的是含有未知数的二次幂的代数式。
2. 平方差公式的用途平方差公式可以用来简化计算，例如我们可以通过平方差公式得出(7+3)²的值为 7²+2×7×3+3²=100，而不必一步一步算。
平方差公式还可以应用于解二次方程，通过化简到一次项的平方形式与一个常数之差的形式，进而求解出未知数。
3. 平方差公式的证明平方差公式的证明分为代数证明和几何证明两种。
代数证明可以通过展开平方的方式，将 (a+b)²和 (a-b)²化简为a²+2ab+b²和 a²-2ab+b²。
可以发现，两个式子的中间项为正和负，因此它们的和为：a²+2ab+b² + a²-2ab+b² = 2a²+2b²，即为一个常数。
几何证明可以通过正方形和长方形的形式，将 (a+b)²和 (a-b)²表示为面积的和与差，进而得出平方差公式。
4. 平方差公式的应用实例例1：计算 (13+7)²的值。
根据平方差公式，可以得到 (13+7)² = 13²+2×13×7+7²，进而得出结果为400。
例2：解方程 x²-6x+9=0。
平方差公式课件PPT
$(a+b-c)^2 = a^2 + b^2 - c^2 + 2ab - 2bc$
$(a-b+c)^2 = a^2 - b^2 + c^2 + 2(ab)c$
平方差公式的其他变种形式
$(a+b)^3 = (a+b)(a^2 - ab + b^2)$ $(a-b)^3 = (a-b)(a^2 + ab + b^2)$
平方差公式课件
目录
CONTENTS
• 平方差公式的基本概念 • 平方差公式的推导过程 • 平方差公式的证明 • 平方差公式的应用举例 • 平方差公式的变种 • 总结与回顾
01 平方差公式的基本概念
平方差公式的定义
总结词
平方差公式是数学中一个重要的恒等 式，用于表示两个数的平方差与这两 个数之间的关系。
$(a+b+c)^3 = (a+b+c)(a^2 - ab + b^2 - ac + bc - c^2)$
06 总结与回顾
本节课的重点回顾
01
02
03
04
平方差公式的形式和结 构
平方差公式的推导过程
平方差公式的应用范围 和条件
平方差公式的代数表示 和几何意义
本节课的难点解析
01
02
03
04
如何理解和记忆平方差公式的 形式和结构
目标
证明该公式成立
证明的步骤
01
02
03
步骤1
展开左侧，得到 $(a+b)(a-b) = a^2 b^2 + ab - ab$
步骤2
合并同类项，得到 $(a+b)(a-b) = a^2 b^2$
《平方差公式说》课件
二次项系数不为1的平方差公式推广
当二次项系数不为1时，平方差 公式仍然成立，但形式会有所不
同。
推广后的公式可以适用于更广泛 的情况，包括二次项系数不为1
的等式和恒等式。
通过推广平方差公式，我们可以 更好地理解和应用数学中的一些
基本概念和原理。
平方差公式的其他形式和推广
除了标准的平方差公式外，还有许多 其他形式和推广的平方差公式。
03
CATALOGUE
平方差公式的证明
利用数学归纳法证明
总结词
数学归纳法是一种证明数学命题的重要方法，通过归纳递推 的方式，证明命题对所有自然数都成立。
详细描述
首先证明基础步骤，即n=1时命题成立；然后假设n=k时命 题成立，推导出n=k+1时命题也成立；最后由归纳递推得出 ，命题对所有自然数n都成立。
利用多项式乘法法则推导
总结词
通过多项式乘法法则，将平方差公式进行拆解和重组，推导出其公式形式。
详细描述
首先将平方差公式中的每一项视为一个多项式，然后利用多项式乘法法则，将 每一项与另一项相乘，得到的结果再合并同类项，最终推导出平方差公式。
利用因式分解法推导
总结词
通过对平方差公式进行因式分解，将其拆解为更简单的形式，从而推导出其公式 形式。
通过学习和掌握这些公式，我们可以 更好地理解和应用数学中的一些基本 概念和原理，从而更好地解决实际问 题。
这些公式可以用来解决一些特定的问 题，例如求解某些数学问题和证明某 些等式。
THANKS
感谢观看
平方差公式的应用范围
01
02
03
04
在代数中，平方差公式常用于 因式分解和多项式简化。
在几何中，它可以用于计算某 些图形的面积和周长。
中考数学常用代数公式和几何结论
中考数学常用代数公式和几何结论一、代数公式1.二次根式：若a>0，则√a（平方根a）的平方是a，即(√a)²=a。
2. 一次方程求根公式：对于一次方程ax+b=0(a≠0)，它的根为x=-b/a。
3. 二次方程求根公式：对于二次方程ax²+bx+c=0(a≠0)，它的根为x=(-b±√(b²-4ac))/(2a)。
4.平方差公式：a²-b²=(a+b)(a-b)。
5. 二次完全平方公式：a²+2ab+b²=(a+b)²。
6. 二次差平方公式：a²-2ab+b²=(a-b)²。
7. 平方和公式：a²+2ab+b²=(a+b)²。
8. 两个平方和公式：a²+b²=(a+b)²-2ab。
9.两个平方差公式：a²-b²=(a+b)(a-b)。
10.三角恒等式：包括正弦定理、余弦定理和正切定理等。
二、几何结论1.圆的面积公式：S=πr²，其中S表示圆的面积，r表示圆的半径，π≈3.142.圆的周长公式：C=2πr，其中C表示圆的周长，r表示圆的半径，π≈3.143. 三角形的面积公式：S=1/2bh，其中S表示三角形的面积，b表示三角形的底边长，h表示三角形的高。
4.三角形内角和公式：三角形的三个内角之和为180°。
5.三角形边长关系：三角形两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。
6.相似三角形的边长比例：若两个三角形的对应边长度之比相等，则这两个三角形是相似三角形。
7.等腰三角形特性：等腰三角形的底边、顶角、底角相等。
8.等边三角形特性：等边三角形的三边相等。
9.正多边形内角和公式：正n边形的内角和为(2n-4)×90°，其中n 表示边数。
平方差公式证明推导过程及运用详解(数学简便计算方法)
数学简便计算方法之平方差公式证明推导及运用详解平方差公式是小学奥数计算中的常用公式。
通常写为：a²-b²=(a+b)x(a-b)它的几何方法推导过程是这样的：如下图所示，四边形ABCD和四边形DEFG为正方形，边长分别为a和b，求阴影部分面积。
显然，阴影部分面积有2种求法。
第一种方法阴影面积=大正方形面积-小正方形面积即，阴影面积=a²-b²（G老师讲奥数）第二种方法作两条辅助线，延长FG、EG，分别交线段AB、BC与点H、J。
阴影面积=四边形AEGH面积+四边形HBJG面积+四边形GFCJ面积跟G老师一起分别计算下上述三个四边形的边长吧。
分别计算出三个四边形的边长后，我们发现四边形GFCJ=四边形AEGH面积。
接下来，我们将四边形GFCJ旋转后挪到四边形HBJG右侧。
即如下图所示，将③移到④后，纯手绘，就认为和上边的图一样吧此刻，阴影部分的面积=①+②+④组成的大矩形面积。
阴影部分面积=(a-b)x[b+(a-b)+b]=(a-b)x(a+b)。
因为第一种和第二种方法都是计算阴影部分面积，所以它们的结果是相等的。
a²-b²=(a+b)x(a-b)当然，代数方法也可以证明。
令A=(a+b)，(a+b)x(a-b)=Ax(a-b)=Axa-Axb (乘法分配律)=(a+b)xa-(a+b)xb（代入A=a+b）=a²+ab-ab-b²=a²-b²【例题】计算：48x52+37x43分析：48和52刚好都与50相差2，37和43刚好与40相差3。
48x52+37x43=(50-2)x(50+2)+(40-3)x(40+3)=50²-2²+40²-3²=2500-4+1600-9=4087这类题目往往不会明确告知你需要用什么技巧简化计算，关键在于自己要熟练掌握，牢记于心，灵活运用。
8.3《平方差公式与完全平方公式》典型例题精析
8.3 完全平方公式与平方差公式1．了解乘法公式的几何背景，掌握公式的结构特征，并能熟练运用公式进行简单的计算．2．感受生活中两个乘法公式存在的意义，养成“观察—归纳—概括”的数学能力，体会数形结合的思想方法，提高学习数学的兴趣和运用知识解决问题的能力，进一步增强符号感和推理能力．1．完全平方公式(1)完全平方公式：(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2，(a－b)2＝a2－2ab＋b2.上式用语言叙述为：两个数的和(或差)的平方，等于这两个数的平方和加(或减)这两个数乘积的2倍．(2)完全平方公式的证明：(a±b)2＝(a±b)(a±b)＝a2±ab±ab＋b2(多项式乘多项式)＝a2±2ab＋b2(合并同类项)．(3)完全平方公式的特点：①左边是一个二项式的完全平方，右边是一个二次三项式，其中有两项是公式左边二项式中每一项的平方，另一项是左边二项式中两项乘积的2倍．可简单概括为“首平方，尾平方，积的2倍夹中央”．②公式中的a，b可以是单项式，也可以是多项式．③对于符合两数和(或差)的平方的乘法，均可用上述公式计算．【例1－1】用完全平方公式计算(1)(x＋2y)2；(2)(2a－5)2；(3)(－2s＋t)2；(4)(－3x－4y)2；(5)(2x＋y－3z)2.分析：第(1)、(2)两题可直接用和、差平方公式计算；第(3)题可先把它变成(t－2s)2，然后再计算，也可以把－2s看成一项，用和平方公式计算；第(4)题可看成－3x与4y差的平方，也可以看成－3x与－4y和的平方；(5)可把2x＋y看成一项，用差平方公式计算，然后再用和平方公式计算，也可以把它看成2x与y－3z的和平方，再用差平方公式计算．解：(1)(x ＋2y )2＝x 2＋2·x ·2y ＋(2y )2＝x 2＋4xy ＋4y 2；(2)(2a －5)2＝(2a )2－2·2a ·5＋52＝4a 2－20a ＋25；(3)(－2s ＋t )2＝(t －2s )2＝t 2－2·t ·2s ＋(2s )2＝t 2－4ts ＋4s 2；(4)(－3x －4y )2＝(－3x )2－2·(－3x )·4y ＋(4y )2＝9x 2＋24xy ＋16y 2；(5)(2x ＋y －3z )2＝[2x ＋(y －3z )]2＝(2x )2＋2·2x ·(y －3z )＋(y －3z )2＝4x 2＋4xy －12xz ＋y 2－2·y ·3z ＋(3z )2＝4x 2＋y 2＋9z 2＋4xy －12xz －6yz .(1)千万不要与公式(ab )2＝a 2b 2混淆，发生类似(a ±b )2＝a 2±b 2的错误；(2)切勿把“乘积项”2ab 中的2漏掉；(3)计算时，应先观察所给题目的特点是否符合公式的条件，如符合，则可以直接套用公式进行计算；如不符合，应先变形，使其具备公式的结构特点，再利用公式进行计算，如变形后仍不具备公式的结构特点，则应运用乘法法则进行计算．此外，在运用公式时要灵活，如第(4)题，由于(－3x －4y )2与(3x ＋4y )2是相等关系，故可以把(－3x －4y )2转化为(3x ＋4y )2，再进行计算，再如(5)题，也有许多不同的方法．(4)完全平方公式的几何解释．如图是对(a ＋b )2＝a 2＋2ab ＋b 2几何意义的阐释．大正方形的面积可以表示为(a ＋b )2，也可以表示为S ＝S Ⅰ＋S Ⅱ＋S Ⅲ＋S Ⅳ，又S Ⅲ，SⅠ，S Ⅳ，S Ⅱ分别等于a 2，ab ，ab ，b 2，所以S ＝a 2＋ab ＋ab ＋b 2＝a 2＋2ab ＋b 2.从而验证了完全平方公式(a ＋b )2＝a 2＋2ab ＋b 2.如图是对(a－b)2＝a2－2ab＋b2几何意义的阐释．正方形Ⅰ的面积可以表示为(a－b)2，也可以表示为SⅠ＝S大－SⅡ－SⅣ＋SⅢ，又S大，SⅡ，SⅢ，SⅣ分别等于a2，ab，b2，ab，所以SⅠ＝a2－ab－ab＋b2＝a2－2ab＋b2.从而验证了完全平方公式(a－b)2＝a2－2ab＋b2.【例1－2】下图是四张全等的矩形纸片拼成的图形，请利用图中的空白部分面积的不同表示方法，写出一个关于a，b的恒等式：__________________.解析：根据图中的面积写一个恒等式，需要用两种方法表示空白正方形的面积．首先观察大正方形是由四个矩形和一个空白正方形组成，所以空白正方形的面积等于大正方形的面积减去四个矩形的面积，即(a＋b)2－4ab，空白正方形的面积也等于它的边长的平方，即(a－b)2，根据面积相等有(a＋b)2－4ab＝(a－b)2.答案：(a＋b)2－4ab＝(a－b)22．平方差公式(1)平方差公式：(a＋b)(a－b)＝a2－b2.上式用语言叙述为：两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差．(2)平方差公式的证明：(a＋b)(a－b)＝a2－ab＋ab＋b2(多项式乘多项式)＝a2－b2(合并同类项)．(3)平方差公式的特点：①左边是两个二项式相乘，这两项中有一项完全相同，另一项互为相反数；②右边是乘式中两项的平方差(相同项的平方减去互为相反数项的平方)；③公式中的a和b可以是具体的数，也可以是单项式或多项式．利用此公式进行乘法计算时，应仔细辨认题目是否符合公式特点，不符合平方差公式形式的两个二项式相乘，不能用平方差公式．如(a＋b)(a－2b)不能用平方差公式计算．【例2－1】计算：(1)(3x＋2y)(3x－2y)；(2)(－m＋n)(－m－n)；(3)(－2x－3)(2x－3)．分析：(1)本题符合平方差公式的结构特征，其中3x对应“a”，2y对应“b”；(2)题中相同项为－m，互为相反数的项为n与－n，故本题也符合平方差公式的结构特征；(3)利用加法交换律将原式变形为(－3＋2x)(－3－2x)，然后运用平方差公式计算．解：(1)(3x＋2y)(3x－2y)＝(3x)2－(2y)2＝9x2－4y2.(2)(－m＋n)(－m－n)＝(－m)2－n2.(3)(－2x－3)(2x－3)＝(－3＋2x)(－3－2x)＝(－3)2－(2x)2＝9－4x2.利用公式计算，关键是分清哪一项相当于公式中的a，哪一项相当于公式中的b，通常情况下，为防止出错，利用公式前把相同项放在前面，互为相反数的项放在后面，然后套用公式．(4)平方差公式的几何解释如图，阴影部分的面积可以看成是大正方形的面积减去小正方形的面积，即a2－b2；若把小长方形Ⅲ旋转到小长方形Ⅳ的位置，则此时的阴影部分的面积又可以看成SⅠ＋SⅢ＝SⅠ＋SⅣ＝(a＋b)(a－b)．从而验证了平方差公式(a＋b)(a－b)＝a2－b2.【例2－2】下图由边长为a和b的两个正方形组成，通过用不同的方法，计算图中阴影部分的面积，可以验证的一个乘法公式是____________________．分析：要表示阴影部分的面积，可以从两个方面出发：一是观察阴影部分是由边长为a的正方形除去边长为b的正方形得到的，所以它的面积等于a2－b2；二是阴影部分是由两个直角梯形构成的，所以它的面积又等于两个梯形的面积之和．这两个梯形的面积都等于12 (b＋a)(a－b)，所以梯形的面积和是(a＋b)(a－b)，根据阴影部分的面积不变，得(a＋b)(a－b)＝a2－b2.因此验证的一个乘法公式是(a＋b)(a－b)＝a2－b2.答案：(a＋b)(a－b)＝a2－b23．运用乘法公式简便计算平方差公式、完全平方公式不但是研究整式运算的基础，而且在许多的数字运算中也有广泛地运用．不少数字计算题看似与平方差公式、完全平方公式无关，但若根据数字的结构特点，灵活巧妙地运用平方差公式、完全平方公式，常可以使运算变繁为简，化难为易．解答此类题，关键是分析数的特点，看能否将数改写成两数和的形式及两数差的形式，若改写成两数和的形式乘以两数差的形式，则用平方差公式；若改写成两数和的平方形式或两数差的平方形式，则用完全平方公式．【例3】计算：(1)2 0132－2 014×2 012；(2)1032；(3)1982.分析：(1)2 014＝2 013＋1,2 012＝2 013－1，正好符合平方差公式，可利用平方差公式进行简便运算；(2)可将1032改写为(100＋3)2，利用两数和的平方公式进行简便运算；(3)可将1982改写为(200－2)2，利用两数差的平方公式进行简便运算．解：(1)2 0132－2 014×2 012＝2 0132－(2 013＋1)×(2 013－1)＝2 0132－(2 0132－12)＝2 0132－2 0132＋1＝1.(2)1032＝(100＋3)2＝1002＋2×100×3＋32＝10 000＋600＋9＝10 613.(3)1982＝(200－2)2＝2002－2×200×2＋22＝40 000－800＋4＝39 204.4．利用乘法公式化简求值求代数式的值时，一般情况是先化简，再把字母的值代入化简后的式子中求值．在化简的过程中，合理地利用乘法公式能使整式的运算过程变得简单．在代数式化简过程中，用到平方差公式及完全平方公式时，要特别注意应用公式的准确性．【例4】先化简，再求值：5(m ＋n )(m －n )－2(m ＋n )2－3(m －n )2，其中m ＝－2，n ＝15. 解：5(m ＋n )(m －n )－2(m ＋n )2－3(m －n )2＝5(m 2－n 2)－2(m 2＋2mn ＋n 2)－3(m 2－2mn ＋n 2)＝5m 2－5n 2－2m 2－4mn －2n 2－3m 2＋6mn －3n 2＝－10n 2＋2mn .当m ＝－2，n ＝15时，原式＝－10n 2＋2mn ＝－10×⎝ ⎛⎭⎪⎫152＋2×(－2)×15＝－65. 5．乘法公式的运用技巧一些多项式的乘法或计算几个有理数的积时，表面上看起来不能利用乘法公式，实际上经过简单的变形后，就能直接运用乘法公式进行计算了．有些题目往往可用不同的公式来解，此时要选择最恰当的公式以使计算更简便．在运用平方差公式时，注意以下几种常见的变化形式：①位置变化：(b ＋a )(－b ＋a )＝a 2－b 2.②符号变化：(－a ＋b )(－a －b )＝(－a )2－b 2＝a 2－b 2.③系数变化：(0.5a ＋3b )(0.5a －3b )＝(0.5a )2－(3b )2.④指数变化：(a 2＋b 2)(a 2－b 2)＝(a2)2－(b2)2＝a4－b4.⑤增项变化：(a－b－c)(a－b＋c)＝(a－b)2－c2，(a＋b－c)(a－b＋c)＝a2－(b－c)2.⑥增因式变化：(a＋b)(a－b)(－a－b)(－a＋b)＝(a2－b2)(a2－b2)＝(a2－b2)2.⑦连用公式变化：(a－b)(a＋b)(a2＋b2)(a4＋b4)＝a8－b8.【例5－1】计算：(1)(a＋b＋1)(a＋b－1)；(2)(m－2n＋p)2；(3)(2x－3y)2(2x＋3y)2.解：(1)(a＋b＋1)(a＋b－1)＝[(a＋b)＋1][(a＋b)－1]＝(a＋b)2－1＝a2＋2ab＋b2－1.(2)(m－2n＋p)2＝[(m－2n)＋p]2＝(m－2n)2＋2·(m－2n)·p＋p2＝m2－4mn＋4n2＋2mp－4np＋p2.(3)(2x－3y)2(2x＋3y)2＝[(2x－3y)(2x＋3y)]2＝(4x2－9y2)2＝(4x2)2－2×4x2×9y2＋(9y2)2＝16x4－72x2y2＋81y4.在运用平方差公式时，应分清两个因式是否是两项之和与差的形式，符合形式才可以用平方差公式，否则不能用；完全平方公式就是求一个二项式的平方，其结果是一个三项式，在计算时不要发生：(a＋b)2＝a2＋b2或(a－b)2＝a2－b2这样的错误；当因式中含有三项或三项以上时，要适当的分组，看成是两项，从而应用平方差公式或完全平方公式．【例5－2】计算：(2＋1)(22＋1)(24＋1)(28＋1)…(22n＋1)的值．分析：为了能便于运用平方差公式，观察到待求式中都是和的形式，没有差的形式，可设法构造出差的因数，于是可乘以(2－1)，这样就可巧妙地运用平方差公式了．解：(2＋1)(22＋1)(24＋1)(28＋1)…(22n＋1)＝(2－1)(2＋1)(22＋1)(24＋1)(28＋1)…(22n＋1)＝(22－1)(22＋1)(24＋1)(28＋1)…(22n＋1)＝(24－1)(24＋1)(28＋1)…(22n＋1)＝…＝(22n－1)(22n＋1)＝24n－1.6．乘法公式的实际应用在解决生活中的实际问题时，经常把其中的一个量或几个量先用字母表示，然后列出相关式子，进而化简，这往往涉及到整式的运算．解题时，灵活运用乘法公式，往往能事半功倍，使问题得到快速解答．【例6】一个正方形的边长增加3 cm，它的面积就增加39 cm2，这个正方形的边长是多少？分析：如果设原正方形的边长为x cm，根据题意和正方形的面积公式可列出方程(x＋3)2＝x2＋39，求解即可．解：设原正方形的边长为x cm，则(x＋3)2＝x2＋39，即x2＋6x＋9＝x2＋39，解得x＝5(cm)．故这个正方形的边长是5 cm.7．完全平方公式的综合运用学习乘法公式应注意掌握公式的特征，认清公式中的“两数”，注意为使用公式创造条件．(1)完全平方公式变形后可得到以下一些新公式：①a 2＋b 2＝(a ＋b )2－2ab ；②a 2＋b 2＝(a －b )2＋2ab ；③(a ＋b )2＝(a －b )2＋4ab ；④(a －b )2＝(a ＋b )2－4ab ；⑤(a ＋b )2＋(a －b )2＝2(a 2＋b 2)；⑥(a ＋b )2－(a －b )2＝4ab 等．在公式(a ±b )2＝a 2±2ab ＋b 2中，如果把a ＋b ，ab 和a 2＋b 2分别看做一个整体，则知道了其中两个就可以求第三个．(2)注意公式的逆用不仅会熟练地正用公式，而且也要求会逆用公式，乘法公式均可逆用，特别是完全平方公式的逆用——a 2＋2ab ＋b 2＝(a ＋b )2，a 2－2ab ＋b 2＝(a －b )2.【例7－1】已知a 2＋b 2＋4a －2b ＋5＝0，则a ＋b a －b的值是__________．解析：原等式可化为(a 2＋4a ＋4)＋(b 2－2b ＋1)＝0，即(a ＋2)2＋(b －1)2＝0，根据非负数的特点知a ＋2＝0且b －1＝0，从而可知a ＝－2且b ＝1.然后将其代入求a ＋b a －b的值即可． 答案：13【例7－2】已知a ＋b ＝2，ab ＝1，求a 2＋b 2的值．分析：利用完全平方公式有(a ＋b )2＝a 2＋2ab ＋b 2，把2ab 移到等式的左边，可得(a ＋b )2－2ab ＝a 2＋b 2，然后代入求值即可．解：∵(a ＋b )2＝a 2＋2ab ＋b 2，∴a 2＋b 2＝(a ＋b )2－2aB ．∵a ＋b ＝2，ab ＝1，∴a 2＋b 2＝22－2×1＝2.涉及两数和或两数差及其乘积的问题，就要联想到完全平方公式．本题也可从条件出发解答，如因为a＋b＝2，所以(a＋b)2＝22，即a2＋2ab＋b2＝4.把ab＝1代入，得a2＋2×1＋b2＝4，于是可得a2＋b2＝4－2＝2.。
平方差公式课件
02
平方差公式的基本概念
平方差公式的定义
平方差公式是数学中的一个基本公式，它表示两个数的平方差等于这两个数和与差的积。
具体形式为：$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$
平方差公式的几何意义
• 平方差公式可以理解为两个平行线间距离的公式。如果两条平 行线被第三条直线所截，那么截得的两条线段的平方差等于两 条线段和与差的积。
平方差公式的代数表达
• 平方差公式也可以从代数角度理解，即利用多项式乘多项式 法则进行展开。具体形式为：$(a+b)(a-b)=a^2-ab+abb^2=a^2-b^2$
03
平方差公式的证明
利用多项式展开证明
总结词
通过代数运算，将两个多项式相乘，展开后得到两组完全平方项，最终化简得 到平方差公式。
详细描述
首先将两个多项式分别展开，然后根据分配律和结合律，将两个多项式相乘得 到一组新的完全平方项。通过观察和化简，可以发现这组完全平方项可以再次 组合成两个完全平方项的差，即平方差公式。
利用几何方法证明
总结词
通过几何图形，将两个正方形或矩形相减，得到一个新的正 方形或矩形，最终计算其面积得到平方差公式。
示例：计算$203\times197$的值。
习题三：挑战题
总结词：挑战难题
详细描述：本题主要考察学生对平方差公式的综合运用能力，要求学生 能够解决一些复杂的计算问题。
示例：计算$10000\times9999$的值。
THANKS
感谢观看
详细描述
首先画两个正方形或矩形，使它们的边长分别为a和b。然后 将其中一个正方形或矩形剪去，得到一个新的正方形或矩形 。通过计算这个新正方形的面积，可以得到平方差公式。
8.3平方差公式与完全平方公式讲解与例题
8.3 完全平方公式与平方差公式1．了解乘法公式的几何背景，掌握公式的结构特征，并能熟练运用公式进行简单的计算．2．感受生活中两个乘法公式存在的意义，养成“观察—归纳—概括”的数学能力，体会数形结合的思想方法，提高学习数学的兴趣和运用知识解决问题的能力，进一步增强符号感和推理能力．1．完全平方公式(1)完全平方公式：(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2，(a－b)2＝a2－2ab＋b2.上式用语言叙述为：两个数的和(或差)的平方，等于这两个数的平方和加(或减)这两个数乘积的2倍．(2)完全平方公式的证明：(a±b)2＝(a±b)(a±b)＝a2±ab±ab＋b2(多项式乘多项式)＝a2±2ab＋b2(合并同类项)．(3)完全平方公式的特点：①左边是一个二项式的完全平方，右边是一个二次三项式，其中有两项是公式左边二项式中每一项的平方，另一项是左边二项式中两项乘积的2倍．可简单概括为“首平方，尾平方，积的2倍夹中央”．②公式中的a，b可以是单项式，也可以是多项式．③对于符合两数和(或差)的平方的乘法，均可用上述公式计算．【例1－1】用完全平方公式计算(1)(x＋2y)2；(2)(2a－5)2；(3)(－2s＋t)2；(4)(－3x－4y)2；(5)(2x＋y－3z)2.分析：第(1)、(2)两题可直接用和、差平方公式计算；第(3)题可先把它变成(t－2s)2，然后再计算，也可以把－2s看成一项，用和平方公式计算；第(4)题可看成－3x与4y差的平方，也可以看成－3x与－4y和的平方；(5)可把2x＋y看成一项，用差平方公式计算，然后再用和平方公式计算，也可以把它看成2x与y－3z的和平方，再用差平方公式计算．解：(1)(x＋2y)2＝x2＋2·x·2y＋(2y)2＝x2＋4xy＋4y2；(2)(2a－5)2＝(2a)2－2·2a·5＋52＝4a2－20a＋25；(3)(－2s ＋t )2＝(t －2s )2＝t 2－2·t ·2s ＋(2s )2＝t 2－4ts ＋4s 2；(4)(－3x －4y )2＝(－3x )2－2·(－3x )·4y ＋(4y )2＝9x 2＋24xy ＋16y 2；(5)(2x ＋y －3z )2＝[2x ＋(y －3z )]2＝(2x )2＋2·2x ·(y －3z )＋(y －3z )2＝4x 2＋4xy －12xz ＋y 2－2·y ·3z ＋(3z )2＝4x 2＋y 2＋9z 2＋4xy －12xz －6yz .(1)千万不要与公式(ab )2＝a 2b 2混淆，发生类似(a ±b )2＝a 2±b 2的错误；(2)切勿把“乘积项”2ab 中的2漏掉；(3)计算时，应先观察所给题目的特点是否符合公式的条件，如符合，则可以直接套用公式进行计算；如不符合，应先变形，使其具备公式的结构特点，再利用公式进行计算，如变形后仍不具备公式的结构特点，则应运用乘法法则进行计算．此外，在运用公式时要灵活，如第(4)题，由于(－3x －4y )2与(3x ＋4y )2是相等关系，故可以把(－3x －4y )2转化为(3x ＋4y )2，再进行计算，再如(5)题，也有许多不同的方法．(4)完全平方公式的几何解释．如图是对(a ＋b )2＝a 2＋2ab ＋b 2几何意义的阐释．大正方形的面积可以表示为(a ＋b )2，也可以表示为S ＝S Ⅰ＋S Ⅱ＋S Ⅲ＋S Ⅳ，又S Ⅲ，S Ⅰ，S Ⅳ，S Ⅱ分别等于a 2，ab ，ab ，b 2，所以S ＝a 2＋ab ＋ab ＋b 2＝a 2＋2ab ＋b 2.从而验证了完全平方公式(a ＋b )2＝a 2＋2ab ＋b 2.如图是对(a －b )2＝a 2－2ab ＋b 2几何意义的阐释．正方形Ⅰ的面积可以表示为(a －b )2，也可以表示为S Ⅰ＝S 大－S Ⅱ－S Ⅳ＋S Ⅲ，又S 大，S Ⅱ，S Ⅲ，S Ⅳ分别等于a 2，ab ，b 2，ab ，所以SⅠ＝a 2－ab －ab ＋b 2＝a 2－2ab ＋b 2.从而验证了完全平方公式(a －b )2＝a 2－2ab ＋b 2.【例1－2】下图是四张全等的矩形纸片拼成的图形，请利用图中的空白部分面积的不同表示方法，写出一个关于a ，b 的恒等式：__________________.解析：根据图中的面积写一个恒等式，需要用两种方法表示空白正方形的面积．首先观察大正方形是由四个矩形和一个空白正方形组成，所以空白正方形的面积等于大正方形的面积减去四个矩形的面积，即(a ＋b )2－4ab ，空白正方形的面积也等于它的边长的平方，即(a－b )2，根据面积相等有(a ＋b )2－4ab ＝(a －b )2.答案：(a ＋b )2－4ab ＝(a －b )22．平方差公式(1)平方差公式：(a＋b)(a－b)＝a2－b2.上式用语言叙述为：两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差．(2)平方差公式的证明：(a＋b)(a－b)＝a2－ab＋ab＋b2(多项式乘多项式)＝a2－b2(合并同类项)．(3)平方差公式的特点：①左边是两个二项式相乘，这两项中有一项完全相同，另一项互为相反数；②右边是乘式中两项的平方差(相同项的平方减去互为相反数项的平方)；③公式中的a和b可以是具体的数，也可以是单项式或多项式．利用此公式进行乘法计算时，应仔细辨认题目是否符合公式特点，不符合平方差公式形式的两个二项式相乘，不能用平方差公式．如(a＋b)(a－2b)不能用平方差公式计算．【例2－1】计算：(1)(3x＋2y)(3x－2y)；(2)(－m＋n)(－m－n)；(3)(－2x－3)(2x－3)．分析：(1)本题符合平方差公式的结构特征，其中3x对应“a”，2y对应“b”；(2)题中相同项为－m，互为相反数的项为n与－n，故本题也符合平方差公式的结构特征；(3)利用加法交换律将原式变形为(－3＋2x)(－3－2x)，然后运用平方差公式计算．解：(1)(3x＋2y)(3x－2y)＝(3x)2－(2y)2＝9x2－4y2.(2)(－m＋n)(－m－n)＝(－m)2－n2.(3)(－2x－3)(2x－3)＝(－3＋2x)(－3－2x)＝(－3)2－(2x)2＝9－4x2.利用公式计算，关键是分清哪一项相当于公式中的a，哪一项相当于公式中的b，通常情况下，为防止出错，利用公式前把相同项放在前面，互为相反数的项放在后面，然后套用公式．(4)平方差公式的几何解释如图，阴影部分的面积可以看成是大正方形的面积减去小正方形的面积，即a2－b2；若把小长方形Ⅲ旋转到小长方形Ⅳ的位置，则此时的阴影部分的面积又可以看成SⅠ＋SⅢ＝SⅠ＋SⅣ＝(a＋b)(a－b)．从而验证了平方差公式(a＋b)(a－b)＝a2－b2.【例2－2】下图由边长为a和b的两个正方形组成，通过用不同的方法，计算图中阴影部分的面积，可以验证的一个乘法公式是____________________．分析：要表示阴影部分的面积，可以从两个方面出发：一是观察阴影部分是由边长为a的正方形除去边长为b 的正方形得到的，所以它的面积等于a 2－b 2；二是阴影部分是由两个直角梯形构成的，所以它的面积又等于两个梯形的面积之和．这两个梯形的面积都等于12(b＋a )(a －b )，所以梯形的面积和是(a ＋b )(a －b )，根据阴影部分的面积不变，得(a ＋b )(a－b )＝a 2－b 2.因此验证的一个乘法公式是(a ＋b )(a －b )＝a 2－b 2.答案：(a ＋b )(a －b )＝a 2－b23．运用乘法公式简便计算平方差公式、完全平方公式不但是研究整式运算的基础，而且在许多的数字运算中也有广泛地运用．不少数字计算题看似与平方差公式、完全平方公式无关，但若根据数字的结构特点，灵活巧妙地运用平方差公式、完全平方公式，常可以使运算变繁为简，化难为易．解答此类题，关键是分析数的特点，看能否将数改写成两数和的形式及两数差的形式，若改写成两数和的形式乘以两数差的形式，则用平方差公式；若改写成两数和的平方形式或两数差的平方形式，则用完全平方公式．【例3】计算：(1)2 0132－2 014×2 012；(2)1032；(3)1982.分析：(1)2 014＝2 013＋1,2 012＝2 013－1，正好符合平方差公式，可利用平方差公式进行简便运算；(2)可将1032改写为(100＋3)2，利用两数和的平方公式进行简便运算；(3)可将1982改写为(200－2)2，利用两数差的平方公式进行简便运算．解：(1)2 0132－2 014×2 012＝2 0132－(2 013＋1)×(2 013－1)＝2 0132－(2 0132－12)＝2 0132－2 0132＋1＝1.(2)1032＝(100＋3)2＝1002＋2×100×3＋32＝10 000＋600＋9＝10 613.(3)1982＝(200－2)2＝2002－2×200×2＋22＝40 000－800＋4＝39 204. 4．利用乘法公式化简求值求代数式的值时，一般情况是先化简，再把字母的值代入化简后的式子中求值．在化简的过程中，合理地利用乘法公式能使整式的运算过程变得简单．在代数式化简过程中，用到平方差公式及完全平方公式时，要特别注意应用公式的准确性．【例4】先化简，再求值：5(m ＋n )(m －n )－2(m ＋n )2－3(m －n )2，其中m ＝－2，n ＝15.解：5(m ＋n )(m －n )－2(m ＋n )2－3(m －n )2＝5(m 2－n 2)－2(m 2＋2mn ＋n 2)－3(m 2－2mn ＋n 2)＝5m 2－5n 2－2m 2－4mn －2n 2－3m 2＋6mn －3n 2＝－10n 2＋2mn .当m ＝－2，n ＝15时，原式＝－10n2＋2mn ＝－10×⎝ ⎛⎭⎪⎫152＋2×(－2)×15＝－65.5．乘法公式的运用技巧一些多项式的乘法或计算几个有理数的积时，表面上看起来不能利用乘法公式，实际上经过简单的变形后，就能直接运用乘法公式进行计算了．有些题目往往可用不同的公式来解，此时要选择最恰当的公式以使计算更简便．在运用平方差公式时，注意以下几种常见的变化形式：①位置变化：(b＋a)(－b＋a)＝a2－b2.②符号变化：(－a＋b)(－a－b)＝(－a)2－b2＝a2－b2.③系数变化：(0.5a＋3b)(0.5a－3b)＝(0.5a)2－(3b)2.④指数变化：(a2＋b2)(a2－b2)＝(a2)2－(b2)2＝a4－b4.⑤增项变化：(a－b－c)(a－b＋c)＝(a－b)2－c2，(a＋b－c)(a－b＋c)＝a2－(b－c)2.⑥增因式变化：(a＋b)(a－b)(－a－b)(－a＋b)＝(a2－b2)(a2－b2)＝(a2－b2)2.⑦连用公式变化：(a－b)(a＋b)(a2＋b2)(a4＋b4)＝a8－b8.【例5－1】计算：(1)(a＋b＋1)(a＋b－1)；(2)(m－2n＋p)2；(3)(2x－3y)2(2x＋3y)2.解：(1)(a＋b＋1)(a＋b－1)＝[(a＋b)＋1][(a＋b)－1]＝(a＋b)2－1＝a2＋2ab＋b2－1.(2)(m－2n＋p)2＝[(m－2n)＋p]2＝(m－2n)2＋2·(m－2n)·p＋p2＝m2－4mn＋4n2＋2mp－4np＋p2.(3)(2x－3y)2(2x＋3y)2＝[(2x－3y)(2x＋3y)]2＝(4x2－9y2)2＝(4x2)2－2×4x2×9y2＋(9y2)2＝16x4－72x2y2＋81y4.在运用平方差公式时，应分清两个因式是否是两项之和与差的形式，符合形式才可以用平方差公式，否则不能用；完全平方公式就是求一个二项式的平方，其结果是一个三项式，在计算时不要发生：(a＋b)2＝a2＋b2或(a－b)2＝a2－b2这样的错误；当因式中含有三项或三项以上时，要适当的分组，看成是两项，从而应用平方差公式或完全平方公式．【例5－2】计算：(2＋1)(22＋1)(24＋1)(28＋1)…(22n＋1)的值．分析：为了能便于运用平方差公式，观察到待求式中都是和的形式，没有差的形式，可设法构造出差的因数，于是可乘以(2－1)，这样就可巧妙地运用平方差公式了．解：(2＋1)(22＋1)(24＋1)(28＋1)…(22n＋1)＝(2－1)(2＋1)(22＋1)(24＋1)(28＋1)…(22n＋1)＝(22－1)(22＋1)(24＋1)(28＋1)…(22n＋1)＝(24－1)(24＋1)(28＋1)…(22n＋1)＝…＝(22n－1)(22n＋1)＝24n－1.6．乘法公式的实际应用 在解决生活中的实际问题时，经常把其中的一个量或几个量先用字母表示，然后列出相关式子，进而化简，这往往涉及到整式的运算．解题时，灵活运用乘法公式，往往能事半功倍，使问题得到快速解答．【例6】一个正方形的边长增加3 cm ，它的面积就增加39 cm 2，这个正方形的边长是多少？分析：如果设原正方形的边长为x cm ，根据题意和正方形的面积公式可列出方程(x ＋3)2＝x 2＋39，求解即可．解：设原正方形的边长为x cm ，则(x ＋3)2＝x 2＋39，即x 2＋6x ＋9＝x 2＋39，解得x ＝5(cm)． 故这个正方形的边长是5 cm. 7．完全平方公式的综合运用学习乘法公式应注意掌握公式的特征，认清公式中的“两数”，注意为使用公式创造条件．(1)完全平方公式变形后可得到以下一些新公式： ①a 2＋b 2＝(a ＋b )2－2ab ； ②a 2＋b 2＝(a －b )2＋2ab ；③(a ＋b )2＝(a －b )2＋4ab ；④(a －b )2＝(a ＋b )2－4ab ；⑤(a ＋b )2＋(a －b )2＝2(a 2＋b 2)；⑥(a ＋b )2－(a －b )2＝4ab 等．在公式(a ±b )2＝a 2±2ab ＋b 2中，如果把a ＋b ，ab 和a 2＋b 2分别看做一个整体，则知道了其中两个就可以求第三个．(2)注意公式的逆用不仅会熟练地正用公式，而且也要求会逆用公式，乘法公式均可逆用，特别是完全平方公式的逆用——a 2＋2ab ＋b 2＝(a ＋b )2，a 2－2ab ＋b 2＝(a －b )2.【例7－1】已知a 2＋b 2＋4a －2b ＋5＝0，则a ＋b a －b的值是__________．解析：原等式可化为(a 2＋4a ＋4)＋(b 2－2b ＋1)＝0，即(a ＋2)2＋(b －1)2＝0，根据非负数的特点知a ＋2＝0且b －1＝0，从而可知a ＝－2且b ＝1.然后将其代入求a ＋ba －b的值即可．答案：13【例7－2】已知a ＋b ＝2，ab ＝1，求a 2＋b 2的值．分析：利用完全平方公式有(a ＋b )2＝a 2＋2ab ＋b 2，把2ab 移到等式的左边，可得(a ＋b )2－2ab ＝a 2＋b 2，然后代入求值即可．解：∵(a ＋b )2＝a 2＋2ab ＋b 2，∴a 2＋b 2＝(a ＋b )2－2aB ．∵a ＋b ＝2，ab ＝1，∴a 2＋b 2＝22－2×1＝2.涉及两数和或两数差及其乘积的问题，就要联想到完全平方公式．本题也可从条件出发解答，如因为a ＋b ＝2，所以(a ＋b )2＝22，即a 2＋2ab ＋b 2＝4.把ab ＝1代入，得a 2＋2×1＋b 2＝4，于是可得a 2＋b 2＝4－2＝2.。
平方差公式的结构特征
平方差公式的结构特征平方差公式是高中数学中一个十分重要的公式，它是用来计算两个数的平方和与平方差之间的关系的。
在本文中，将从几何角度、代数角度和推广角度三个方面来探讨平方差公式的结构特征。
从几何角度来看，平方差公式的结构特征主要表现为以下三个方面：一，平方和可以表示为从原点到各点的距离的平方之和。
假设有两个点A(x1,y1)和B(x2,y2)，它们之间的距离可以表示为d=√[(x2-x1)²+(y2-y1)²]。
那么，如果有三个点A(x1,y1)、B(x2,y2)和C(x3,y3)，则它们之间的距离的平方和为d(A,B)²+d(B,C)²+d(A,C)²=2(x1²+x2²+x3²+y1²+y2²+y3²)-(x1x2+x2x3+x1x3+y1y2+y2y3+y1y3)。
可见，平方和的结构特征是用坐标表示为每个点到原点的距离的平方和。
二，平方差可以表示为两点到原点的距离之差和它们之间的距离的平方。
如果有两个点A(x1,y1)和B(x2,y2)，则它们之间的距离可以表示为d=√[(x2-x1)²+(y2-y1)²]，它们到原点的距离分别为r1=√(x1²+y1²)和r2=√(x2²+y2²)，则它们的平方差为(r1-r2)²+d²/2-[(r1+r2)²-d²/2]/2=x1x2+y1y2。
由此可见，平方差的结构特征是将两个向量的点乘作为一个几何量。
三，平方和与平方差之间的关系可以通过勾股定理来解释。
如果三角形ABC为直角三角形，其中∠ACB=90°，则有AB²=AC²+BC²。
同样，如果有两个向量a和b，则有(a+b)²=(a-b)²+4ab，即平方和等于平方差加上两倍的点乘。
平方差公式的推导与应用
03
对于等差数列的部分和，也可以利用平方差公式进行
求解，从而简化计算过程。
裂项相消法求解数列和
裂项相消法的基本思想
裂项相消法是一种通过将数列中的项进行拆分和重组，使得部分项相互抵消，从而简化 求和过程的方法。
平方差公式在裂项相消法中的应用
在裂项相消法中，平方差公式可以用于将复杂的数列项拆分为简单的形式，从而更容易 找到相消的项，简化求和过程。
THANK YOU
感谢观看
相互转化
在某些情况下，可以通过平方差 公式将完全平方公式进行因式分 解，或者通过完全平方公式将平 方差公式进行展开。
02
平方差公式推导过程
利用多项式乘法进行推导
设定两个二项式
设定两个二项式 $(a+b)$和$(a-b)$。
展开乘法
将两个二项式相乘，得 到$(a+b)(a-b)=a^2ab+ab-b^2$。
表示方法
用数学符号表示为$(a+b)(a-b)=a^2b^2$，其中$a$和$b$是任意实数或 代数式。
公式中各项含义与性质
$a$和$b$
代表任意实数或代数式，可以是具体的数值 ，也可以是含有变量的表达式。
$a^2-b^2$
表示$a$的平方减去$b$的平方，是平方差 公式的结果。
$(a+b)(a-b)$
其他推导方法简述及比较
代数恒等式法
通过代数恒等式直接推导出平方差公式，此方法较为抽象但逻辑严谨。
几何图形法
利用几何图形直观展示平方差公式的推导过程，易于理解但可能不够严谨。
各种方法比较
不同的推导方法各有优缺点，可以根据个人喜好和实际情况选择适合自己的方法。在实际应用中，可以根据 需要灵活选择推导方法，以便更好地理解和应用平方差公式。
整式中的数形结合思想——探索平方差公式的几何意义
教育研究课程教育研究116学法教法研究数形结合思想是中学数学解题中常用的数学思想，利用这种思想，可以将代数问题转化为几何问题，也可以将几何问题转化为代数问题。
通过数形结合将代数与几何完美的结合在一起，可以大大降低解题的难度，提高效率和正确率，甚至还可以达到令人意想不到的效果。
教科书中利用几何图形证明平方差公式的做法，就是一个非常典型的例子。
【教材拼法一】如图：左图阴影部分面积为可以拼成右图长方形，长为，宽为，面积为，从而验证了平方差公式。
例1：如图1是一张长方形纸条，将其剪成长短两条后刚好能拼成图2，如图所示。
（1）则图1长方形纸条的面积可表示为________（写成多项式乘法的形式）。
（2）拼成的图2中阴影部分面积可表示为________（写成两数平方差的形式）。
（3）比较两图的阴影部分面积，可以得到乘法公式________。
（4）应用所得的公式计算：（2x+y ）（2x-y ）=________。
（5）计算【左图阴影部分面积为分成四个等腰梯形，可以拼成右边的平行四边形，底为，高为，面积为，从而验证了平方差公式。
例2：（1）比较左、右两图的阴影部分面积，可以得到乘法公式。
（用式子表达）。
（2）运用你所得到的公式，计算（a+2b-c ）（a-2b-c ）。
【变式拼法三】左图阴影部分面积为分成两个等腰梯形，可以拼成右边的大等腰梯形，梯形上底长为a 的正方形中剪去一个边长为b 的小正方形，剩下部分拼成图4的形状，利用这两幅图形中面积的等量关系，能验证公式；（2）根据你所得到的等式解决下面的问题：①计算：67.752-32.252②解方程：【变式拼法四】左图阴影部分面积为分成两个等腰梯形，可以拼成右边的长方形，长为，宽为，面积为，从而验证了平方差公式。
例4：如图，边长为m+4的正方形纸片剪出一个边长为m 的正方形之后，剩余部分可剪拼成一个矩形，若拼成的矩形一边长为4，则另一边长为__________。
平方差公式几何证明6种
平方差公式几何证明6种平方差公式是数学中的一个重要公式，在几何中也有广泛的应用。
本文将从几何的角度出发，通过六种不同的例子，来证明平方差公式的几何意义。
1. 两点间距离的平方差设平面上有两个点A(x1, y1)和B(x2, y2)，我们要证明点A和点B 之间的距离的平方等于x坐标之差的平方加上y坐标之差的平方。
我们可以画出以A和B为顶点的直角三角形ABC，其中C点的坐标为(x2, y1)。
根据勾股定理，我们有AB的平方等于AC的平方加上CB的平方，即AB^2 = AC^2 + CB^2。
将AC和CB的长度代入，即可得到平方差公式的几何证明。
2. 线段中点连线的平方差假设平面上有一条线段AB，其中A和B分别为端点。
我们要证明线段中点M到A点和B点的距离的平方之差等于线段的长度的四分之一。
我们可以通过连接AM和BM，得到两个直角三角形AMC 和BMC。
根据勾股定理，我们有AM的平方等于AC的平方加上CM的平方，BM的平方等于BC的平方加上CM的平方。
将这两个等式相减，即可得到平方差公式的几何证明。
3. 直角三角形斜边上某点到两直角边的平方差考虑一个直角三角形ABC，其中∠C为直角，AC为斜边。
我们要证明任意一点D在斜边AC上，D点到直角边AB的距离的平方减去D点到直角边BC的距离的平方等于线段AD和CD的长度之差。
我们可以通过连接AD和CD，得到两个直角三角形ADC和BDC。
根据勾股定理，我们有AD的平方等于AC的平方减去CD的平方，CD的平方等于BC的平方减去BD的平方。
将这两个等式相减，即可得到平方差公式的几何证明。
4. 三角形边长平方差设平面上有一个三角形ABC，其中AB、BC、AC分别为三边的长度。
我们要证明三角形的三条边长的平方之差等于三条边上的三角形面积的四倍。
我们可以通过求三角形的面积，利用海伦公式得到三角形面积的表达式。
然后将三边长的平方代入表达式，即可得到平方差公式的几何证明。
5. 矩形对角线平方差考虑一个矩形ABCD，其中AB和CD为矩形的对边。
知识点060平方差公式的几何背景解答
知识点060 平方差公式的几何背景（解答）1. 乘法公式的探究及应用（1）如图1，可以求出阴影部分的面积是a2-b2（写成两数平方差的形式）；（2）如图2，若将阴影部分裁剪下来，重新拼成一个矩形，它的宽是a-b，长是a+b，面积是（a+b）（a-b）（写成多项式乘法的形式）；（3）比较图1、图2阴影部分的面积，可以得到公式（a+b）（a-b）=a2-b2；（4）运用你所得到的公式，计算下列各题：①10.2×9.8，②（2m+n-p）（2m-n+p）．考点：平方差公式的几何背景．专题：计算题．分析：（1）利用正方形的面积公式就可求出；（2）仔细观察图形就会知道长，宽由面积公式就可求出面积；（3）建立等式就可得出；（4）利用平方差公式就可方便简单的计算．解答：解：（1）利用正方形的面积公式可知：阴影部分的面积=a2-b2；（2）a-b，a+b，（a+b）（a-b）；（3）（a+b）（a-b）=a2-b2（等式两边交换位置也可）；（4）①解：原式=（10+0.2）×（10-0.2），=102-0.22，=100-0.04，=99.96；②解：原式=[2m+（n-p）]•[2m-（n-p）]，=（2m）2-（n-p）2，=4m2-n2+2np-p2．点评：此题主要考查了平方差公式．即两个数的和与这两个数的差的积等于这两个数的平方差，这个公式就叫做平方差公式．对于有图形的题同学们注意利用数形结合求解更形象直观．2. 如图是边长为a+2b的正方形（1）边长为a的正方形有1个（2）边长为b的正方形有4个（3）两边分别为a和b的矩形有4个（4）用不同的形式表示边长为a+2b的正方形面积，并进行比较写出你的结论．考点：平方差公式的几何背景；列代数式；完全平方式．分析：（1）（2）（3）根据图直接可以看出，（4）根据正方形的面积公式=边长×边长=（a+2b）（a+2b）=（a+2b）2，然后利用平方差公式把它展开又是另一种表现形式．解答：解：（1）由图可知边长为a的正方形只有一个；（2）由图可知边长为b的正方形有4个；（3）由图可知两边长分别为a和b的矩形有4个；（4）∵S边长为a+2b的正方形=（a+2b）2S边长为a+2b的正方形=a2+4b2+4ab；∴结论是（a+2b）2=a2+4b2+4ab．点评：本题主要考查了同学们的观察能力以及运用面积公式求正方形的面积．3. 如图1所示，边长为a的大正方形中有一个边长为b的小正方形，如图2是由图1中阴影部分拼成的一个长方形．（1）请你分别表示出这两个图形中阴影部分的面积：a2-b2、（a+b）（a-b）；（2）请问以上结果可以验证哪个乘法公式？平方差公式；（3）试利用这个公式计算：20092-2010×2008．考点：平方差公式的几何背景．分析：本题通过（1）中的面积=a2-b2，（2）中矩形的面积=（a+b）（a-b），并且两图形阴影面积相等，据此即可得出平方差公式，即a2-b2=（a+b）（a-b）．解答：解：（1）a2-b2（1分）；（a+b）（a-b）．（1分）（2）平方差公式．（2分）（3）20092-2010×2008，=20092-（2009+1）（2009-1），=20092-20092+1，=1．（4分）点评：本题主要考查了利用面积公式证明平方差公式，熟记公式结构是利用平方差公式解决实际问题．4. 乘法公式的探究及应用：（1）如图1所示，可以求出阴影部分的面积是a2-b2（写成两数平方差的形式）．（2）若将图1中的阴影部分裁剪下来，重新拼成一个如图2的矩形，此矩形的面积是（a+b）（a-b）（写成多项式乘法的形式）．（3）比较两图的阴影部分面积，可以得到乘法公式a2-b2=（a+b）（a-b）．（4）应用所得的公式计算：(1-1/22)(1-1/32)(1-1/42)…(1-1/992)(1-1/1002)．考点：平方差公式的几何背景．专题：探究型．分析：（1）利用面积公式：大正方形的面积-小正方形的面积=阴影面积；（2）利用矩形公式即可求解；（3）利用面积相等列出等式即可；（4）利用平方差公式简便计算．解答：解：（1）a2-b2；（2）（a+b）（a-b）；（3）a2-b2=（a+b）（a-b）；（4）原式=(1-1/2)(1+1/2)(1-1/3)(1+1/3)…(1-1/99)(1+1/99)(1-1/100)(1+1/100)，=1/2×3/2×2/3×4/3×…×98/99×100/99×99/100×101/100，=101/200．点评：本题综合考查了证明平方差公式和使用平方差公式的能力．5. 如图：大正方形的边长为a，小正方形的边长为b，利用此图证明平方差公式．考点：平方差公式的几何背景．专题：证明题．分析：由大正方形的面积-小正方形的面积=四个等腰梯形的面积，进而证得平方差公式．解答：解：根据题意大正方形的面积-小正方形的面积=a2-b2，四个等腰梯形的面积=1/2（a+b）（1/2a-1/2b）×4=（a+b）（a-b），故a2-b2=（a+b）（a-b）．点评：本题主要考查平方差公式的几何背景，不是很难．6. （1）如图1，可以求出阴影部分的面积是a2-b2（写成两数平方差的形式）；（2）如图2，若将阴影部分裁剪下来，重新拼成一个矩形，它的宽是a-b，长是a+b，面积是（a-b）（a+b）（写成多项式乘法的形式）；（3）比较左、右两图的阴影部分面积，可以得到乘法公式（a+b）（a-b）=a2-b2（用式子表达）．考点：平方差公式的几何背景．分析：（1）中的面积=大正方形的面积-小正方形的面积=a2-b2；（2）中的长方形，宽为a-b，长为a+b，面积=长×宽=（a+b）（a-b）；（3）中的答案可以由（1）、（2）得到，（a+b）（a-b）=a2-b2．解答：解：（1）阴影部分的面积=大正方形的面积-小正方形的面积=a2-b2；（2）长方形的宽为a-b，长为a+b，面积=长×宽=（a+b）（a-b）；（3）由（1）、（2）得到，（a+b）（a-b）=a2-b2．点评：本题考查了平方差公式的几何表示，利用不同的方法表示图形的面积是解题的关键．7. 会说话的图形．如下图，把正方形的方块，按不同的方式划分，计算其面积，便可得到不同的数学公式．按图1所示划分，计算面积，便得到一个公式：（x+y）2=x2+2xy+y2．若按图2那样划分，大正方形则被划分成一个小正方形和两个梯形，通过计算图中的面积，请你完成下面的填空．（1）图2正方形的面积为x2；（2）图2中两个梯形的面积为1/2(x+y)(x-y)；（3）根据（1）和（2），你得到的一个数学公式为x2-y2=（x+y）（x-y）．考点：平方差公式的几何背景；完全平方公式的几何背景．专题：图表型．分析：本题的关键是仔细观察图形从图形中找到规律，按正方形，梯形的面积公式进行计算即可．解答：解：（1）图正方形的面积为x2；（2）两个梯形的面积分别为1/2（x+y）（x-y）；（3）则有x2-y2=2×1/2（x+y）（x-y）；即x2-y2=（x+y）（x-y）．故答案为：x2；1/2（x+y）（x-y）；x2-y2=（x+y）（x-y）．点评：本题考查了平方差公式的几何表示，通过数形结合，推导并验证了平方差公式．8. 请大家阅读下面两段材料，并解答问题：材料1：我们知道在数轴上表示4和1的两点之间的距离为3，（如图）而|4-1|=3，所以在数轴上表示4和1的两点之间的距离为|4-1|．再如在数轴上表示4和-2的两点之间的距离为6，（如图）而|4-（-2）|=6，所以数轴上表示数4和-2的两点之间的距离为|4-（-2）|．根据上述规律，我们可以得出结论：在数轴上表示数a 和数b 两点之间的距离等于|a-b|（如图）材料2：如下左图所示大正方形的边长为a ，小正方形的边长为b ，则阴影部分的面积可表示为：a2-b2．将上图中的左图重新拼接成右图，则阴影部分的面积可表示为（a+b ）（a-b ），由此可以得到等式：a2-b2=（a+b ）（a-b ），阅读后思考：（1）试一试，求在数轴上表示的数532与-441的两点之间的距离为91211； （2）请用材料2公式计算：（4998）2-（4991）2=77； （3）上述两段材料中，主要体现了数学中数形结合的数学思想．考点：平方差公式的几何背景；数轴．专题：阅读型；数形结合．分析：（1）首先理解材料1的题意，利用它的公式即可求结果；（2）利用平方差公式把题目展开成平方差公式的形式，然后根据有理数的加法法则计算，并且这样计算比较简便；（3）此题把图形和数的计算结合起来，所以容易知道利用的数学思想．解答：解：（1）数532与-441的两点之间的距离为|532+441|=91211； （2）（4998）2-（4991）2=(4998+4991)(4998-4991)=77； （3）数形相结合．故答案为：91211，77，数形结合． 点评：本题考查了平方差公式的几何表示，关键是理解题意，才能根据题目的公式进行计算，此题还考查了数形结合的思想．9. 如图1所示大正方形的边长为a ，小正方形的边长为b ，则阴影部分的面积可表示为：a2-b2，将图1中的图形重新拼接成图2，则阴影部分的面积可表示为（a-b ）（a+b ），这样可以得到等式：a2-b2=（a-b ）（a+b ）．请用此公式计算：（99998）2-（99991）2考点：平方差公式的几何背景．分析：图1阴影部分的面积=大正方形的面积-小正方形的面积，图2阴影部分的面积根据矩形面积公式即可得出，根据阴影部分的面积相等可得等式．计算题直接利用公式即可． 解答：解：a2-b2，（a-b ）（a+b ），a2-b2=（a-b ）（a+b ）；（99998）2-（99991）2 =（99998+99991）（99998-99991）， =1000×99997， =98998000． 点评：本题利用组合图形考查平方差公式，计算题较为简单，直接利用公式即可．做题时认真观察图形，找到各部分的面积及两面积相等是解决本题的关键．10. 如图，在边长为a 的正方形中剪去一个边长为b 的小正方形（ ），把剩下部分拼成一个梯形，通过计算这两个图形阴影部分的面积，可验证公式为？考点：平方差公式的几何背景．分析：要求可验证的公式，可分别求出两个图形的面积，令其相等，即可得出所验证的公式． 解答：解：在边长为a 的正方形中剪去一个边长为b 的小正方形，剩余面积为a •a-b •b=a2-b2图中梯形的上底为2b ，下底为2a ，高为a-b ，∴梯形的面积为1/2(2a+2b)(a-b)=（a+b ）（a-b ），∴可验证的公式为a2-b2=（a+b ）（a-b ）．点评：本题考查了平方差公式的几何意义，用不同的方法求阴影部分的面积是解题的关键，考法较新颖．11. 如图，小刚家有一块“L ”形的菜地，要把这块菜地按图示那样分成面积相等的梯形，种上不同的蔬菜，这两个梯形的上底都是xm，下底都是ym，高都是（y-x）m，请你帮小刚家算一算菜地的面积是y2-x2平方米．当x=20m，y=30m时，面积是500平方米．考点：平方差公式的几何背景．分析：本题结合图形，根据梯形的面积公式=1/2（上底+下底）×高，列出菜地的面积，再运用平方差公式计算．解答：解：由题意得菜地的面积为2×1/2（x+y）（y-x）=y2-x2．当x=20，y=30时，y2-x2=302-202=900-400=500m2．故答案为：y2-x2；500．点评：本题考查了平方差公式的几何表示，计算菜地的面积时，也可运用边长为y的正方形的面积减去边长为x的正方形的面积求得，这样更为简单．12. 如图，有一位狡猾的地主，把一块边长为a的正方形的土地，租给老汉种植，他对老汉说：“我把你这块地的一边减少4m，另一边增加4m，继续租给你，你也没有吃亏，你看如何”．老汉一听，觉得自己好像没有吃亏，就答应了．同学们，你们觉得老汉有没有吃亏？请说明理由．考点：平方差公式的几何背景．分析：本题只要利用面积公式，再利用平方差公式计算就可知．解答：解：老汉吃亏了．理由：原来的种植面积为a2，变化后的种植面积为（a+4）（a-4）=a2-16，因为a2＞a2-16，所以老汉吃亏了．点评：本题考查了平方差公式在实际生活中的运用，只有利用平方差公式计算后才能做出正确的判断．13. （1）通过观察比较左、右两图的阴影部分面积，可以得到乘法公式为（a-b）（a+b）．（用式子表达）（2）运用你所学到的公式，计算下列各题：①1022②103×97．考点：平方差公式的几何背景；完全平方公式；平方差公式．分析：（1）本题需先根据图中所给的数据，再根据面积公式进行计算，再与两边的图形进行比较，即可求出答案．（2）本题需先根据平方差公式的求法，分别进行计算，即可求出答案．解答：解：（1）根据题意得：S=a2-b2=（a-b）（a+b）．（2）①1022=（100+2）2=1002+400+4=10404，②103×97=（100+3）（100-3）=1002-32=9991．点评：本题主要考查了平方差公式的几何表示，表示出图形阴影部分面积是解题的关键．14. 我们已经知道利用图形中面积的等量关系可以得到某些数学公式，如图一，我们可以得到两数差的完全平方公式：（a-b）2=a2-2ab+b2（1）请你在图二中，标上相应的字母，使其能够得到两数和的完全平方公式（a+b）2=a2+2ab+b2，（2）图三是边长为a的正方形中剪去一个边长为b的小正方形，剩下部分拼成图四的形状，利用这两幅图形中面积的等量关系，能验证公式a2-b2=（a+b）（a-b）；（3）除了拼成图四的图形外还能拼成其他的图形能验证公式成立，请试画出一个这样的图形，并标上相应的字母．考点：平方差公式的几何背景；完全平方公式的几何背景．专题：作图题．分析：（1）此题只需将大正方形的边长表示为a，小正方形的边长表示为b即可，（2）此题只需将两个图形的面积表示出来写成等式即可；（3）此题还可以拼成一个矩形来验证公式的成立．解答：解：（1）．（2）根据两图形求得两图形的面积分别为：S1=a2-b2；S2=12（2a+2b）（a-b）=（a+b）（a-b）（3）拼成的图形如下图所示：点评：本题考查了平方差公式及完全平方式的几何背景，考查的围比较广．15. 如图，在边长为a的正方形的一角是一个边长为b的正方形，请用这个图形验证公式：a2-b2=（a+b）（a-b）．考点：平方差公式的几何背景．专题：计算题．分析：利用正方形的面积减去小正方形的面积，即为所剩部分的面积．解答：解：由图可知：大正方形的面积-小正方形的面积=剩余部分的面积，∴a2-b2=（a-b）b+（a-b）a=（a+b）（a-b），即a2-b2=（a+b）（a-b）．点评：此题主要考查了乘法的平方差公式．即两个数的和与这两个数的差的积等于这两个数的平方差，这个公式就叫做平方差公式．16. （1）如图甲所示，可得阴影部分的面积是a2-b2（写成多项式的形式）；（2）如图乙所示，若将阴影部分裁剪下来重新拼成一个长方形，它的长是a+b，宽是a-b ，面积是（a+b）（a-b）（写成两式乘积形式）；（3）比较图甲和图乙中阴影部分的面积，可得乘法公式（a+b）（a-b）=a2-b2；（4）利用公式计算（-2x+y）（2x+y）=y2-4x2．考点：平方差公式的几何背景．专题：计算题．分析：（1）利用正方形的面积公式就可求出；（2）仔细观察图形就会知道长，宽由面积公式就可求出面积；（3）建立等式就可得出；（4）利用平方差公式就可方便简单的计算．解答：解：（1）利用正方形的面积公式可知：阴影部分的面积=a2-b2；（2）a+b，a-b，（a+b）（a-b）；（3）（a+b）（a-b）=a2-b2（等式两边交换位置也可）；（4）①原式=（10+0.2）×（10-0.2），=102-0.22，=100-0.04，=99.96；②原式=（y+2x）（y-2x）=（y）2-（2x）2，=y2-4x2．故答案是：（1）a2-b2（2）a-b，a+b，（a+b）（a-b）；（3）（a+b）（a-b）=a2-b2（4）y2-4x2．点评：此题主要考查了平方差公式．即两个数的和与这两个数的差的积等于这两个数的平方差，这个公式就叫做平方差公式．对于有图形的题同学们注意利用数形结合求解更形象直观．17. 乘法公式的探究及应用．（1）如左图，可以求出阴影部分的面积是a2-b2（写成两数平方差的形式）；（2）如右图，若将阴影部分裁剪下来，重新拼成一个长方形，它的宽是a-b，长是a+b，面积是（a+b）（a-b）．（写成多项式乘法的形式）（3）比较左、右两图的阴影部分面积，可以得到乘法公式（a+b）（a-b）=a2-b2．（用式子表达）（4）运用你所得到的公式，计算下列各题：①10.3×9.7②（2m+n-p）（2m-n+p）考点：平方差公式的几何背景．分析：（1）利用大正方形面积减去小正方形面积即可求出；（2）根据图形中长方形长与宽求出即可；（3）结合（1）（2）即可得出（a+b）（a-b）=a2-b2；（4）利用平方差公式进行运算即可，注意符合（a+b）（a-b）=a2-b2的形式才能运算．解答：解：（1）利用大正方形面积减去小正方形面积即可求出：a2-b2；（2）它的宽是a-b，长是a+b，面积是（a+b）（a-b）；（3）根据题意得出：（a+b）（a-b）=a2-b2；（4）①10.3×9.7=（10+0.3）（10-0.3）=100-0.09=99.91；②（2m+n-p）（2m-n+p）=[2m+（n-p）][2m-（n-p）]=4m2-（n-p）2=4m2-n2-p2+2np．点评：此题主要考查了平方差公式的几何背景，利用图形面积得出公式是近几年中考中考查重点，同学们应重点掌握．18. 如图所示，有一位狡猾的老账主，把一块边长为a米（a＞30）的正方形土地给老汉种植．隔了一年，他对老汉说：“我把你这块地的一边减少5米，另一边增加5米，继续租给你，你也没有吃亏，你看如何？”老汉一听，觉得好像没有吃亏，就答应了．你觉得老汉有没有吃亏呢？请说明理由．考点：平方差公式的几何背景．专题：几何图形问题．分析：本题只要利用面积公式，再利用平方差公式计算就可知．解答：解：老汉吃亏了．因为他原来所租地的面积为a2平方米，而后经过割补，面积变为（a+5）（a-5）=a2-25（平方米）所以，他实际是少25平方米．因此，他吃亏了．点评：本题考查了平方差公式在实际生活中的运用，只有利用平方差公式计算后才能做出正确的判断．19. 如图：边长为a的大正方形中有一个边长为b的小正方形．（1）通过观察①、②两图的阴影部分面积，可以得到的乘法公式为a2-b2=（a-b）（a+b）；（用式子表达）（2）运用你所得到的公式，计算：102×98（不用公式计算不得分）考点：平方差公式的几何背景．专题：计算题．分析：（1）图1阴影部分的面积=大正方形的面积-小正方形的面积，图2阴影部分的面积根据矩形面积公式即可得出，根据阴影部分的面积相等可得等式．（2）计算题直接利用平方差公式即可．解答：解：（1）图1阴影部分的面积a2-b2，图2阴影部分的面积（a-b）（a+b），则a2-b2=（a-b）（a+b）．故答案为：a2-b2=（a-b）（a+b）；（2）102×98=（100+2）（100-2）=1002-22=10000-4=9996．点评：本题利用组合图形考查平方差公式，计算题较为简单，直接利用公式即可．做题时认真观察图形，找到各部分的面积及两面积相等是解决本题的关键．20. 如图阴影部分，是边长为4cm的正方形纸片，在它的中心剪去一个边长为2.5cm的正方形小纸片得到的，请尝试用最简便方法作一个长方形使其面积等于图中阴影部分的面积．考点：平方差公式的几何背景．专题：计算题．分析：如图，将阴影部分沿虚线剪开，以4+2.5=6.4cm为长，4-2.51.5cm为宽，作出与阴影部分面积相等的长方形．解答：解：如图，作长为6.5cm，宽为1.5cm的长方形；理由：42-2.52=（4+2.5）（4-2.5）=6.5×1.5．点评：本题考查了平方差公式的几何背景．关键是通过将面积合理的分割，解释平方差公式．21. 如图：边长为a，b的两个正方形的中心重合，边保持平行，如果从大正方形中剪去小正方形，剩下的图形可以分割成4个大小相等的等腰梯形．请你用a，b表示出梯形的高和面积，并由此说明a2-b2=（a+b）（a-b）的几何意义．考点：平方差公式的几何背景．分析：根据图形可得等腰梯形的高为1/2（a-b），根据大正方形的面积减去小正方形的面积可作出说明．解答：解：梯形的高=1/2（a-b），面积=1/4（a+b）（a-b），∴a2-b2=（a+b）（a-b）的几何意义是大正方形的面积减去小正方形的面积．点评：本题考查平方差公式的几何背景，属于比较简单的题目，解答本题的关键是正确的求出等腰梯形的高．22. 如图，边长为a的大正方形有一个边长为b的小正方形．（1）阴影部分面积是a2-b2．（2）小欣把阴影部分的两个四边形拼成如图6所示的长方形，则这个长方形的宽是a-b面积是（a+b）（a-b）．（3）由此可验证出的结论是（a+b）（a-b）=a2-b2．考点：平方差公式的几何背景．专题：计算题．分析：（1）边长为a的正方形的面积减去边长为b的正方形的面积即可；（2）根据图形求出长方形的长和宽，根据面积公式求出即可；（3）根据阴影部分的面积相等求出即可．解答：解：（1）图中阴影部分的面积是：a2-b2，故答案为：a2-b2．（2）由图象可知：这个长方形的宽是：a-b，长方形的面积是：（a+b）（a-b），故答案为：a-b，（a+b）（a-b）．（3）根据阴影部分的面积相等，∴（a+b）（a-b）=a2-b2，故答案为：（a+b）（a-b）=a2-b2．点评：本题考查了平方差公式的应用，解此题的关键是能根据面积公式求出各个部分的面积，题型较好，难度适中，是一道不错的题目，通过此题能培养学生的观察能力.23. 用四块长为acm、宽为bcm的矩形材料（如图1）拼成一个大矩形（如图2）或大正方形（如图3），中间分别空出一个小矩形A和一个小正方形B．（1）求（如图1）矩形材料的面积；（用含a，b的代数式表示）（2）通过计算说明A、B的面积哪一个比较大；（3）根据（如图4），利用面积的不同表示方法写出一个代数恒等式．考点：平方差公式的几何背景．专题：几何图形问题．分析：（1）根据矩形的面积公式可得出答案．（2）分别求出矩形的长和宽，求出正方形的边长，从而计算出面积即可作出比较．（3）求出新形成的矩形的长和宽，根据面积相等即可得出答案．解答：解：（1）S=长×宽=ab；（2）根据图形可得：矩形的长=（2b+a），宽=a；正方形的边长=a+b，矩形的面积=2ab+a2，正方形的面积=a2+2ab+b2，正方形面积-矩形的面积=b2，∴矩形的面积大；（3）根据图形可得：a2-b2=（a-b）（a+b）．点评：本题考查平方差公式的背景，难度不大，运用几何直观理解、解决平方差公式的推导过程，通过几何图形之间的数量关系对平方差公式做出几何解释．24. （1）比较左、右两图的阴影部分面积，可以得到乘法公式（a+b）（a-b）=a2-b2（用式子表达）．（2）运用你所得到的公式，计算（a+2b-c）（a-2b-c）．考点：平方差公式的几何背景；完全平方公式的几何背景．分析：（1）首先利用平行四边形与正方形面积求解方法表示出两个图形中的阴影部分的面积，又由两图形阴影面积相等，即可得到答案．（2）利用平方差公式就可简单的计算．注意将a-c看作一个整体．解答：解：（1）（a+b）（a-b）=a2-b2（2分）；故答案为：（a+b）（a-b）=a2-b2．（2）（a+2b-c）（a-2b-c），=[（a-c）+2b][（a-c）-2b]，=（a-c）2-（2b）2，=a2-2ac+c2-4b2．（8分）点评：本题主要考查了平方差公式的几何表示，表示出图形阴影部分面积是解题的关键．注意可以从第2个图形得出平行四边形的高．25. （1）小思同学用如图所示的A、B、C三类卡片若干，拼出了一个长为2a+b宽为a+b长方形图形．请你求出小思同学拼这个长方形所用A、B、C三类卡片各几（要求：所拼图形中，卡片之间不能重叠，不能有空隙）．（2）小明同学用四长为x、宽为y的长方形卡片，拼出如图所示的包含两个正方形的图形（任两相邻的卡片之间没有重叠，没有空隙）．①图中小正方形的边长是x-y②通过计算小正方形面积，可推出（x+y）2，xy，（x-y）2三者的等量关系式为：（x+y）2-（x-y）2=4xy③参用②中的结论，试求：当a+b=6，ab=7时（a-b）2的值．考点：平方差公式的几何背景；完全平方公式；矩形的性质；正方形的性质．专题：计算题；图表型．分析：（1）根据长方形的面积公式求出拼接后的长方形的面积，再利用多项式的乘法运算法则进行计算，然后根据系数即可得解；（2）①根据图形中正方形的大正方形的边长解答；②根据大正方形的面积减去小正方形的面积等于四个长方形的面积解答；③代入②的结论进行计算即可．解答：解：（1）（2a+b）（a+b）=2a2+2ab+ab+b2=2a2+3ab+b2；∵A、B、C三类卡片的面积分别为ab、b2、a2，∴所以A、B、C三类卡片分别为3，1，2；（2）①小正方形的边长是x-y；②大正方形的面积为（x+y）2，四周四个小长方形的面积为4xy，中间小正方形的面积为（x-y）2，∴（x+y）2-（x-y）2=4xy；③根据②，∵a+b=6，ab=7，∴（a-b）2=（a+b）2-4ab=62-4×7=36-28=8．点评：本题考查了平方差公式的几何背景以及完全平方公式，矩形的面积公式，利用面积的不同表示求解进行解答是解题的关键，也是此类题目常用的方法之一．。
平方差公式几何的意义
平方差公式几何的意义
在几何中，平方差公式的意义体现在以下几个方面：
1.平方差公式的几何证明：平方差公式有多种几何证明方法，其中一
种基于长方形的性质。
当我们把两个数a和b看作长方形的边长时，可将
长方形分割成两个部分，一个是以a+b为底长、a-b为高的矩形，另一个
是以a为底长、b为高的矩形。
通过这种分割，我们可以得到平方差公式。
2.平方差公式的应用：平方差公式在几何中有广泛的应用。
例如，当
我们计算一个长方形的面积时，可以利用平方差公式求得两条边的乘积。
3.平方差公式的推广：平方差公式还可以推广到更高维的几何空间中。
4. 平方差公式的代数意义：平方差公式在代数中也有重要意义。
它
可以用来展开二次多项式的平方，即(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2、其
中的2ab一项即为两个数的乘积的两倍，而平方差公式可以帮助我们快速
得到a^2和b^2的和与差。
5.平方差公式的应用举例：平方差公式在几何的实际问题中有实际的
应用。
例如，在测量边长为a和b的长方形时，可以利用平方差公式计算
对角线的长度，即√(a^2+b^2)。
6.平方差公式与勾股定理的关系：勾股定理是几何学中最著名的公式
之一，它表示为：直角三角形的斜边的平方等于另外两条直角边的平方和。
勾股定理可以从平方差公式推导出来，以及平方差公式可以用来证明勾股
定理。
在总结平方差公式在几何中的意义时，可以说它是一种连接代数和几
何的桥梁。
平方差公式帮助我们更好地理解和计算几何图形的面积、长度、角度等属性，同时也提供了应用于其他数学分支领域的基础。
平方差公式几何证明6种
平方差公式几何证明6种a²-b²=(a+b)(a-b)下面将给出六种几何证明平方差公式的方法。
1.长方形法证明：考虑一个长方形，其中长为a+b，宽为a-b。
将这个长方形分割成两个正方形，一个边长为a，另一个边长为b。
则长方形的面积可以表示为(a+b)(a-b)。
另一方面，根据长方形的面积公式，面积也可以表示为a²-b²。
因此，我们得到了平方差公式。
2.根据勾股定理证明：考虑一个直角三角形，其中一条直角边的长度为a，另一条直角边的长度为b。
根据勾股定理，斜边的长度为√(a²+b²)。
另一方面，根据勾股定理的另一个形式，斜边的长度也可以表示为√((a+b)(a-b))。
因此，我们可以得到平方差公式。
3.齐次坐标法证明：考虑一个平面上的点P(a,a²)和Q(b,b²)。
连接P和Q，得到线段PQ。
根据两点间距离公式，PQ的长度为√((a-b)²+(a²-b²)²)。
另一方面，根据斜率公式，PQ的斜率为(a²-b²)/(a-b)=a+b。
因此，我们可以得到平方差公式。
4.几何平均法证明：考虑一个边长为a的正方形，以及一个边长为b的正方形。
边长分别为a和b的两个正方形的面积分别为a²和b²。
将这两个正方形共边放置在一起，形成一个边长为a+b，面积为(a+b)²的正方形。
然后，将边长为b的正方形从这个大正方形中去掉，留下一个边长为a，面积为(a+b)(a-b)的长方形。
另一方面，我们可以推导出，这个留下的长方形的面积也可以表示为a²-b²。
因此，我们得到了平方差公式。
5.抛物线法证明：考虑一个抛物线y=x²。
选择两个点P(a,a²)和Q(b,b²)，其中a>b，并且Q在P的右侧。
连接P和Q，并延长到抛物线上的点R，使得PQ平行于x轴。
用几何图示法解代数问题
也谈用几何图示法解代数问题很多代数问题用纯代数知识来解答很繁琐，也很难解决。
因此，许多代数问题用几何图示法来解决非常容易，下面举几例进行探讨。
一、线段图示法例1、甲、乙两车分别从A、B两地同时出发，相向而行，相遇时，甲车在已过中点15千米处，相遇后甲车再行89时到达B地，乙车又行了2时到达A地，求甲、乙两车每时各行多少千米？分析：行程问题有三个基本量：路程、速度、时间，且有基本关系：路程=速度×时间。
本题设甲车的速度为x千米/小时，乙车的速度为y千米/小时，由于同时出发到相遇时，甲车在已过（如图1）所示的线段AB中点M的15千米处C点，继续前进后，甲车行的距离为CB=89x千米，乙车行的距离为CA=2y千米。
因此，甲车开始行驶的距离BC的时间为yx89时所用时间相同，而M是AB的中点，即AM=BM，MC=15千米，则AM=2y－15，BM=89x+15，由图所示易知：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=-y x xy x y 8921589152，解这个方程组，得⎩⎨⎧==608011y x ，⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=76078022y x ，经检验，⎩⎨⎧==608011y x ，⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=76078022y x 都是原方程组的解，但⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=76078022y x 不合题意，舍去。
所以，甲车的速度为80千米/小时，乙车的速度为60千米/小时。
二、三角形图法法例2、已知正数x ，y 满足条件x+y=4，求1122++y x 的最小值。
分析：若直接求解，比较困难，但注意到所求式子的特点，则可构造直角三角形求解，就容易多了。
建立（如图2）所式的两个直角三角形。
由图3可知三角形面积关系：S △ABC =21BC ·AD=21AB ·ACsin ∠BAC.即21（x+y)×1=211122++y x sin ∠BAC ，∴1122++y x=BAC y x sin +=BACsin 4≥4. 可见，当且仅当∠BAC=90°，即sin ∠BAC=1时所求的式子有最小值4.三、矩形图示法例3、证明平方差公式a2－b2=(a+b)(a－b)分析：通过计算（图3）两个图形（阴影部分）的面积相等，验证平方差公式。
勾股定理代数证明方法
勾股定理代数证明方法1. 代数证明方法一：假设直角三角形的边长分别是a、b、c，其中c是斜边。
根据勾股定理，有a² + b² = c²。
我们可以设定一个未知数x，表示c²的值。
然后将a²和b²分别用x表示，即a² = x，b² = x。
根据代数运算，我们有a² + b² = c²，可以改写为x + x = c²，即2x = c²。
将c²代入2x = c²，得到2x = 2x，说明原命题成立，即勾股定理得到了代数证明。
2. 代数证明方法二：设直角三角形的边长分别是a、b、c，其中c是斜边。
根据勾股定理，有a² + b² = c²。
将a和b用未知数表示，即a = p + q，b = p - q，其中p、q是任意数。
将a和b代入勾股定理，得到(p + q)² + (p - q)² = c²。
根据二次展开公式，我们将式子展开得到2p² + 2q² = c²。
可以看出式子左边的2p²和2q²可以合并为2(p² + q²)，即2(p² + q²) = c²。
根据代数运算，我们可以将2(p² + q²) = c²进一步简化为(p² + q²) = c²/2。
勾股定理得到了代数证明。
3. 代数证明方法三：设直角三角形的边长分别是a、b、c，其中c是斜边。
根据勾股定理，有a² + b² = c²。
将a和b用未知数表示，即a = m² - n²，b = 2mn，其中m、n是任意正整数。
将a²和b²代入勾股定理，得到(m² - n²)² + (2mn)² = c²。
完全平方差公式几何证明过程
完全平方差公式几何证明过程
完全平方差公式的几何证明。
一、完全平方差公式。
完全平方差公式为(a - b)^2=a^2 - 2ab + b^2
二、几何证明。
1. 构建几何图形。
- 我们构建一个边长为a的正方形。
- 在这个正方形中，我们取一个边长为b（b< a）的小正方形，这个小正方形的一个顶点与大正方形的一个顶点重合，并且小正方形的边与大正方形的边平行。
2. 计算面积关系。
- 大正方形的面积为a^2。
- 小正方形的面积为b^2。
- 剩余部分的面积可以看作是两个长方形的面积之和，这两个长方形的长为a，宽为(a - b)，所以这两个长方形的面积之和为2× a×(a - b)=2a(a - b)。
- 我们也可以把剩余部分看作是一个边长为(a - b)的正方形。
- 那么这个边长为(a - b)的正方形的面积为(a - b)^2。
- 从大正方形面积中减去小正方形面积就得到剩余部分的面积，即a^2-b^2。
- 同时，剩余部分的面积也可以表示为(a - b)^2。
- 我们将(a - b)^2展开来计算其面积组成：
- (a - b)^2=(a - b)(a - b)=a× a - a× b - b× a + b× b=a^2 - 2ab + b^2。
- 这样就通过几何图形的面积关系证明了完全平方差公式(a - b)^2=a^2 - 2ab + b^2。
三次方的完全平方差公式
三次方的完全平方差公式
完全平方差公式是一个用于计算两个立方数之间差的公式。
如果我们有两个整数a和b，那么完全平方差公式可以表示为(a^3
b^3) = (a b)(a^2 + ab + b^2)。
这个公式可以通过因式分解来证明。
从代数角度来看，完全平方差公式可以帮助我们简化立方数之间的差。
这个公式在代数运算中经常被使用，特别是在因式分解和简化表达式的过程中。
从几何角度来看，完全平方差公式可以帮助我们理解立方数之间的关系。
它可以被解释为一个立方体的体积差，其中a和b分别代表立方体的边长，而(a^3 b^3)则代表两个立方体之间的体积差。
从应用角度来看，完全平方差公式可以在物理学和工程学领域中找到应用。
例如，在计算两个立方数之间的差时，这个公式可以被用来简化计算过程，从而节省时间和精力。
总之，完全平方差公式在代数运算、几何学以及实际应用中都
具有重要意义，它可以帮助我们理解和简化立方数之间的关系，以及在解决实际问题中起到一定的作用。
32.怎样用平方差公式解无理方程---刘培杰 代数
32 怎样用平方差公式解无理方程m x g x =±)()(f设)(x f 和)(x g 都是关于x 的有理式，m 是不等于零的常数．本节介绍无理方程)()()(I m x g x f =±的一种简便解法．显然))(()(])([])([22∏-=-x g x f x g x f(II)÷(I)得 ,)(g )()()(mx x f x g x f -= 即 )()()()(x g x f x g m x f m -= （Ⅲ） (I)×m+(Ⅲ)得,)()()(22m x g x f x f m +-=所以222])()([)(4m x g x f x f m +-=(Ⅳ)容易证明(请读者自证)：若x=a 是方程(I)的根，那么它必定是方程(Ⅳ)的根，因此，欲解无理方程(I)，只须解出有理方程(Ⅳ)，然后将所得的根代入(I)进行检验就行了．例1解方程：.7413=+-+x x解 因为 ①7413=+-+x x ②32)4()13(-=+-+x x x ②÷①得,732413-=+++x x x 即 ③3247137-=+++x x x ①×7+③并化筒可得,23137+=+x x 此式两边平方后，经整理可得④0)96)(5(=--x x解方程④得x=5，x=96，代人①进行检验，可知x=5是增根(舍去)，x=96是原方程的根．例2 解方程：.2661522=+--+-x x x x解 因为 ①2661522=+--+-x x x x②5)66()15(22-=+--+-x x x x x②÷①得25661522+=+-++-x x x x x 即 ③566215222-=+-++-x x x x x ①×2+③就得.11542-=+-x x x 此式两边平方后，经整理可得(x 一5)(5x 一1)=0 ④ 解方程④得⋅==51,5x x 代入①进行检验，可知x=5是原方程的根，x=51是增根(舍去)．例3 解方程.132314=+--++x x x x 解 因为 ①132314=+--++x x x x ②33332314++=+--++x x x x x x ②÷①得③33332314++=+-+++x x x x x x ①+③得 3643142++=++x x x x 此式两边平方后，经整理可得x=6．代入①进行检验，可知x=6是原方程的根．。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
由平方差公式的几何证明谈几何对代数运算的作用
22()() a b a b a b
-=-+
↓把四边形EBCF 移动跟四边形CFGD 构成长方形DEBG
↓
求证：
22()()a b a b a b -=-+ 证明：设|AD|=a , |AG| =b 则
S AEFG =2a ,S ABCD =2b
S AEFG –S ABCD ==S EBFC +S CFGD
而 S EBFC +S CFGD =|DG| .|DE|
=(|AD| -|AG| ).(|DC| +|CE| )
=(a-b)(a+b)
(就是把四边形EBCF 移动跟四边形CFGD 构成长方形DEBG 算面积）
这种用几何的方法证明平方差公式很容
易理解，也让人容易接受，可以把抽象的代数运算用几何的方法具体化。
我们知道代数主要研究的是数字与数字之间的逻辑联系,是代数式与代数式的运算。
而几何是图形中各种边角面积之间的必然联系。
有些代数运算可以用几何图形表示而还有些代数运算不能用几何图
形表示。
我在上面用几何的方法证明了我们常用的，也是最简单的平方差公式，同样的方法也可以证明单项式和多项式的相乘，多项式和多项式相乘公式等等。
用几何方法可以解决很多复杂的难题。
每个函数有它相对应的几何图形，有图形我们就可以看出函数的很多性质，特征。
例如：
上面这个心形的函为
2/1sin *cos 1617/(a ）θθρ-=
我们用代数式能画出各种各样漂亮的图
形，且解决很多问题。
抽象的代数式可以用具体的几何图像来表示。
对学数学的专业人士代数和几何都一样，但是对不是专业人理解几何图形比理解代数式容易很多，所以我们要让别人看懂我们做的成果就要用一些几何图形来表示。
用几何图形表示的时候可以看出这个函数的定义域，值域，最大最小值等等一些性质。
总之几何在代数运算中有何大的作用，几何使代数运算简单化，具体化。
我这个图像是用超级画板做出来的，下面 谈谈我个人学超级画板的感受，对超级画板的看法以及超级画板对代数和几何中的作用。
动态几何是我们数学专业学生的专业选修课，要学超级画板软的用法，用它做图，做教学案例等等。
超级画板是张景中院士专为新课标打造的软件,原名智能教育平台，与几何画板有共性,在色彩、多媒体效果上优与几何画板，且作直线与圆锥曲线交点方面很方便。
超级画板这个软件比较好掌握，我们用一个学期的时间掌握了软件的基本操作，
也会做了难度较大的一些操作，此软件很实用，尤其是对我们数学专业的学生。
作为未来的数学教育者，尤其是对我们以后在中小学当老师的学生掌握超级画板是必须的，超级画板在中小学数学教育中起非常重要的作用，软件可以把比较抽象的定义，定理，推论等等具体化，让学生容易理解，加深印象，还可以提高学生对数学的兴趣，不让学生感觉学数学很枯燥，还可以提高教学效率。
我学习这门课就等于掌握了一个专业技能，学这门课真的很有用，这门课让我进一步感觉到了数学的美，在学这门课过程中我亲自动手做出了很美的图，一直觉得数学是很重要的一门科学，但没感觉到它的美，在这门课让我意识到数学也是一种艺术，我亲自画出来的哪些图形真的很美。
以前理论上知道数学很重要，用数学可以做出很多大事，学了这门课后真正感觉到数学加上现在的高科技能做出很多了不起的事，这门课使我更自信，更加喜欢上自己的专业—数学了。
这门课加深了我对数学的认识，我以前
认为我正在学的专业课没有很大的用处，我以后就是当老师，学数学学到很深才能做出比较大事，但我错了，动态几何给了我自信，使我了解了数学，使我认识到我也能用数学做出大事，能做很多事。
学了这门课后对自己的专业—数学更加感兴趣了，超级画板能做出我们已经学过的函数图象，都很美，能用短时间较容易地证明以前学过的一些定定理，推论，函数的性质等等，比较具体的看到了数学。
我们知道很多人认为学数学很枯燥，也没有特别具体的能应用所学的知识，我相信学了超级画板的人不再这样说。
学了这门课收获很多，学到了怎么用超级画板，会用此软件做很多图以及简单的教学案例，这不算是最重要的，最重要的是，我本来就比别的课喜欢数学，学了动态几何后对数学更加感兴趣，加深了对数学的认识，感觉到了数学的美，这门课算是我在大学选对的一门课之一。