同角三角函数的基本关系

同角三角函数的基本关系倒数关系: tanα ·cotα＝1 sinα ·cscα＝1 cosα ·secα＝1商的关系：sinα/cosα＝tanα＝secα/cscα cosα/sinα＝cotα＝cscα/secα 平方关系：sin^2(α)＋cos^2(α)＝1 1＋tan^2(α)＝sec^2(α) 1＋cot^2(α)＝csc^2(α)平常针对不同条件的常用的两个公式sin² α+cos² α=1 tan α *cot α=1一个特殊公式（sina+sinθ）*（sina+sinθ）=sin（a+θ）*sin（a-θ）证明：（sina+sinθ）*（sina+sinθ）=2 sin[(θ+a)/2] cos[(a-θ)/2] *2 cos[(θ+a)/2] sin[(a-θ)/2]=sin（a+θ）*sin（a-θ）锐角三角函数公式正弦：sin α=∠α的对边/∠α 的斜边余弦：cos α=∠α的邻边/∠α的斜边正切：tan α=∠α的对边/∠α的邻边余切：cot α=∠α的邻边/∠α的对边二倍角公式正弦sin2A=2sinA·cosA 余弦 1.Cos2a=Cos^2(a)-Sin^2(a)=2Cos^2(a)-1 =1-2Sin^2(a) 2.Cos2a=1-2Sin^2(a) 3.Cos2a=2Cos^2(a)-1 正切tan2A=（2tanA）/（1-tan^2(A)）三倍角公式sin3α=4sinα·sin(π/3+α)sin(π/3-α) cos3α=4cosα·cos(π/3+α)cos(π/3-α)tan3a = tan a · tan(π/3+a)· tan(π/3-a)三倍角公式推导sin(3a) =sin(a+2a)=sin2acosa+cos2asina=2sina(1-sin²a)+(1-2sin²a)sina=3sina-4sin^3acos3a =cos(2a+a)=cos2acosa-sin2asina=(2cos²a-1)cosa-2(1-cos^a)cosa=4cos^3a-3cosasin3a=3sina-4sin^3a=4sina(3/4-sin²a)=4sina[(√3/2)²-sin²a]=4sina(sin²60°-sin²a)=4sina(sin60°+sina)(sin60°-sina)=4sina*2sin[(60+a)/2]cos[(60°-a)/2]*2sin[(60°-a)/2]cos[(60°-a)/2]=4sinasin(60°+a)sin(60°-a)cos3a=4cos^3a-3cosa=4cosa(cos²a-3/4)=4cosa[cos²a-(√3/2)^2]=4cosa(cos²a-cos²30°)=4cosa(cosa+cos30°)(cosa-cos30°)=4cosa*2cos[(a+30°)/2]cos[(a-30°)/2]*{-2sin[(a+30°)/2]sin[(a-30°)/2]}=-4cosasin(a+30°)sin(a-30°)=-4cosasin[90°-(60°-a)]sin[-90°+(60°+a)]=-4cosacos(60°-a)[-cos(60°+a)]=4cosacos(60°-a)cos(60°+a)上述两式相比可得tan3a=tanatan(60°-a)tan(60°+a)n倍角公式sin（n a）=Rsina sin（a+π/n）......sin（a+（n-1）π/n）。

其中R=2^（n-1）证明：当sin（na）=0时，sina=sin（π/n）或=sin（2π/n）或=sin（3π/n）或=......或=sin【（n-1）π/n】这说明sin（na）=0与｛sina-sin（π/n）｝*｛sina-sin （2π/n）｝*｛sina-sin（3π/n）｝*......*｛sina- sin【（n-1）π/n】=0是同解方程。

所以sin（na）与｛sina-sin（π/n）｝*｛sina-sin（2π/n）｝*｛sina-sin （3π/n）｝*......*｛sina- sin【（n-1）π/n】成正比。

而（sina+sinθ）*（sina+sinθ）=sin（a+θ）*sin（a-θ），所以｛sina-sin（π/n）｝*｛sina-sin（2π/n）｝*｛sina-sin（3π/n）｝*......*｛sina- sin【（n-1π/n】与sina sin（a+π/n） (i)（a+（n-1）π/n）成正比（系数与n有关，但与a无关，记为Rn）。

然后考虑sin（2n a）的系数为R2n=R2*(Rn)^2=Rn*(R2)^n.易证R2=2，所以Rn= 2^（n-1）半角公式tan(A/2)=(1-cosA)/sinA=sinA/(1+cosA);cot(A/2)=sinA/(1-cosA)=(1+cosA)/sinA. sin^2(a/2)=(1-cos(a))/2cos^2(a/2)=(1+cos(a))/2 tan(a/2)=(1-cos(a))/sin(a)=sin(a)/(1+cos(a))和差化积sinθ+sinφ = 2 sin[(θ+φ)/2] cos[(θ-φ)/2]sinθ-sinφ = 2 cos[(θ+φ)/2] sin[(θ-φ)/2] cosθ+cosφ = 2 cos[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] cosθ-cosφ = -2 sin[(θ+φ)/2] sin[(θ-φ)/2]tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB=tan(A+B)(1-tanAtanB)tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB=tan(A-B)(1+tanAtanB)两角和公式cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβcos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβsin(α+β)=sinαcosβ+ cosαsinβsin(α-β)=sinαcosβ -cosαsinβ积化和差sinαsinβ = [cos(α-β)-co s(α+β)] /2 cosαcosβ = [cos(α+β)+cos(α-β)]/2sinαcosβ = [sin(α+β)+sin(α-β)]/2 cosαsinβ = [sin(α+β)-sin(α-β)]/2双曲函数sinh(a) = [e^a-e^(-a)]/2 cosh(a) = [e^a+e^(-a)]/2 tanh(a) = sin h(a)/cos h(a)公式一：设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等：sin（2kπ＋α）= s inα cos（2kπ＋α）= cosα tan（2kπ＋α）= tanα cot（2kπ＋α）= cotα公式二：设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系：sin（π＋α）= -sinα cos（π＋α）= -cosα tan（π＋α）= tanα cot（π＋α）= cotα公式三：任意角α与-α的三角函数值之间的关系：sin（-α）= -sinα cos （-α）= cosα tan（-α）= -tanα c ot（-α）= -cotα公式四：利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系：sin（π-α）= sinα cos（π-α）= -cosα tan（π-α）= -tanα cot（π-α）= -cotα 公式五：利用公式-和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系：sin（2π-α）= -sinα cos（2π-α）= cosα tan（2π-α）= -tanα cot（2π-α）= -cotα公式六：π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系：sin（π/2+α）= cosα cos（π/2+α）= -sinα tan（π/2+α）= -cotα cot（π/2+α）= -tanα sin（π/2-α）= cosα cos（π/2-α）= sinα tan（π/2-α）= cotα cot（π/2-α）= tanα sin（3π/2+α）= -cosα cos（3π/2+α）= sinα tan（3π/2+α）= -cotα cot（3π/2+α）= -tanα sin（3π/2-α）= -cosα cos（3π/2-α）= -sinα tan （3π/2-α）= cotα cot（3π/2-α）= tanα (以上k∈Z) A·sin(ωt+θ)+ B·sin(ωt+φ) = √{(A² +B² +2ABcos(θ-φ)} · sin{ ωt + arcsin[ (A·sinθ+B·sinφ) / √{A^2 +B^2; +2ABcos(θ-φ)} } √表示根号,包括{……}中的内容诱导公式sin(-α) = -s inα cos(-α) = cosα tan (-α)=-tanα sin(π/2-α) = cosαcos(π/2-α) = sinα sin(π/2+α) = cosα cos(π/2+α) = -sinα sin(π-α) =sinα cos(π-α) = -cosα sin(π+α) = -sinα cos(π+α) = -cosα tanA= sinA/cosA tan（π/2＋α）＝－cotα tan（π/2－α）＝cotα tan（π－α）＝－tanα tan（π＋α）＝tanα 诱导公式记背诀窍：奇变偶不变，符号看象限万能公式sinα=2tan(α/2)/[1+(tan(α/2))²] cosα=[1-(tan(α/2))²]/[1+(tan(α/2))²]tanα=2tan(α/2)/[1-(tan(α/2))²]其它公式(1) (sinα)²+(cosα)²=1 (2)1+(tanα)²=(secα)² (3)1+(cotα)²=(cscα)² 证明下面两式,只需将一式,左右同除(sinα)²，第二个除(cosα)²即可(4)对于任意非直角三角形,总有tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC 证: A+B=π-Ctan(A+B)=tan(π-C) (tanA+tanB)/(1-tanAtanB)=(tanπ-tanC)/(1+tanπtanC)整理可得tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC 得证同样可以得证,当x+y+z=nπ(n∈Z)时,该关系式也成立由tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC可得出以下结论(5)cotAcotB+cotAcotC+cotBcotC=1(6)cot(A/2)+cot(B/2)+cot(C/2)=cot(A/2)cot(B/2)cot(C/2) (7)(cosA）²+(cosB）²+(cosC）²=1-2cosAcosBcosC (8)（sinA）²+（sinB）²+（sinC）²=2+2cosAcosBcosC 其他非重点三角函数csc(a) = 1/sin(a) sec(a) = 1/cos(a)编辑本段内容规律三角函数看似很多，很复杂，但只要掌握了三角函数的本质及内部规律就会发现三角函数各个公式之间有强大的联系。