等差数列的认识与公式运用.教师版

本讲知识点属于计算板块的部分，难度较三年级学到的该内容稍大，最突出一点就是把公式用字母表示。要求学生熟记等差数列三个公式，并在公式中找出对应的各个量进行计算。

一、等差数列的定义

⑴ 先介绍一下一些定义和表示方法

定义：从第二项起，每一项都比前一项大(或小)一个常数(固定不变的数)，这样的数列我们称它为等差数列．

譬如：2、5、8、11、14、17、20、 从第二项起，每一项比前一项大3 ，递增数列

100、95、90、85、80、 从第二项起，每一项比前一项小5 ，递减数列

⑵ 首项：一个数列的第一项，通常用1a 表示

末项：一个数列的最后一项，通常用n a 表示，它也可表示数列的第n 项。 项数：一个数列全部项的个数，通常用n 来表示；

公差：等差数列每两项之间固定不变的差，通常用d 来表示； 和 ：一个数列的前n 项的和，常用n S 来表示 ．

二、等差数列的相关公式

(1)三个重要的公式

① 通项公式：递增数列：末项=首项+(项数1-)⨯公差，11n a a n d =+

-⨯（） 递减数列：末项=首项-(项数1-)⨯公差，11n a a n d =-

-⨯（） 回忆讲解这个公式的时候可以结合具体数列或者原来学的植树问题的思想，让学生明白 末项其

实就是首项加上(末项与首项的)间隔个公差个数，或者从找规律的情况入手．同时还可延伸出来这样一个有用的公式：n m a a n m d -=-⨯（），n m >（）

② 项数公式：项数=(末项-首项)÷公差+1

由通项公式可以得到：11n n a a d =

-÷+（） (若1n a a >)；11n n a a d =-÷+（） (若1n a a >)． 找项数还有一种配组的方法，其中运用的思想我们是常常用到的．

譬如：找找下面数列的项数：4、7、10、13、 、40、43、46 ，

分析：配组：(4、5、6)、(7、8、9)、(10、11、12)、(13、14、15)、 、(46、47、48)，注意等差是3 ，那么每组有3个数，我们数列中的数都在每组的第1位，所以46应在最后一组第1位，4到48有484145

-+=知识点拨

教学目标

等差数列的认识与公式运用

项，每组3个数，所以共45315÷=组，原数列有15组． 当然还可以有其他的配组方法．

③ 求和公式：和=(首项+末项)⨯项数÷2 对于这个公式的得到可以从两个方面入手： (思路1) 1239899100++++++

11002993985051=++++++++

共50个101

（）（）（）（）101505050=⨯= (思路2)这道题目，还可以这样理解：

2349899100

1009998973212101101101101101101101+++++++=+++++++=+++++++ 和=1+和倍和即，和

(

1

00

1=+⨯

÷=

⨯

=

(2) 中项定理：对于任意一个项数为奇数的等差数列，中间一项的值等于所有项的平均数，也等于首项与末项和的一半；或者换句话说，各项和等于中间项乘以项数．

譬如：① 48123236436922091800+++++=

+⨯÷=⨯= （）， 题中的等差数列有9项，中间一项即第5项的值是20，而和恰等于209⨯；

② 65636153116533233331089++++++=

+⨯÷=⨯= （）， 题中的等差数列有33项，中间一项即第17项的值是33，而和恰等于33

33⨯．

模块一、等差数列基本概念及公式的简单应用

等差数列的基本认识

【例 1】 下面的数列中，哪些是等差数列？若是，请指明公差，若不是，则说明理由。

①6，10，14，18，22，…，98； ②1，2，1，2，3，4，5，6； ③ 1，2，4，8，16，32，64； ④ 9，8，7，6，5，4，3，2； ⑤3，3，3，3，3，3，3，3； ⑥1，0，1，0，l ，0，1，0；

【考点】等差数列的基本认识 【难度】2星 【题型】解答 【解析】 ①是，公差d =4.

②不是，因为数列的第3项减去第2项不等于数列的第2项减去第1项. ③不是，因为4-2≠2-1. ④是，公差d =l . ⑤是，公差d =0.

⑥不是，因为第1项减去第2项不等于第2项减去第3项。

【答案】①是，公差d =4.

②不是，因为数列的第3项减去第2项不等于数列的第2项减去第1项. ③不是，因为4-2≠2-1. ④是，公差d =l . ⑤是，公差d =0.

⑥不是，因为第1项减去第2项不等于第2项减去第3项。

【例 2】 小朋友们，你知道每一行数列各有多少个数字吗？

（1）3、4、5、6、……、76、77、78 （2）2、4、6、8、……、96、98、100 （3）1、3、5、7、……、87、89、91

例题精讲

（4）4、7、10、13、……、40、43、46

【考点】等差数列的基本认识【难度】2星【题型】计算

【解析】⑴连续的自然数列，3、4、5、6、7、8、9、10…… ，对应的是这个数列的第1、2、3、4、5、

6、7、8、…… ，发现它的项数比对应数字小2，所以78是第76项，那么这个数列就有76

项．对于连续的自然数列，它们的项数是：末项－首项+1．

⑵如果添上此数列所缺的一些奇数，就变成了1、2、3、4、5、6、7、8、……、95、96、97、

98、99、100，可知这个数列是100项．让它们两两结合有：（1、2）、（3、4）、（5、6）、（7、

8）、……、（95、96）、（97、98）、（99、100），奇数在每一组的第1位，偶数在第2位，而

且每组里偶数比奇数大，同学们一看就知道，共有100250

÷=组，每组把偶数找出来，那么原数列就有50项了．这样的方法我们称为“添数配组法”．

⑶利用“添数配组法”得：（1、2）、（3、4）、（5、6）、（7、8）、……、（87、88）、（89、90）、（91、

92），1～92有92项，每组2项，那么可以得到92246

÷=组，所以原数列有46项．

⑷利用“添数配组法”得：（4、5、6）、（7、8、9）、（10、11、12）、（13、14、15）、……、（46、

47、48），注意每两项的差是3 ，那么每组有3个数，数列中的数都在每组的第1位，所以

46应在最后一组第1位，4到48有484145

÷=组，原

-+=项，每组3个数，所以共45315数列有15项．当然，我们还可以有其他的配组方法．

【答案】⑴76⑵50⑶46⑷15

【巩固】1，3，5，7，……是从1开始的奇数，其中第2005个奇数是________。

【考点】等差数列的基本认识【难度】2星【题型】填空

【关键词】希望杯，四年级，复赛，第4题，6分

【解析】2×2005-1=4009

【答案】4009

【例 3】312

+、……是按一定规律排列的一串算式，其中第六个算式

+、484

+、610

+、128

+、246

的计算结果是。

【考点】等差数列的基本认识【难度】1星【题型】填空

【关键词】希望杯，四年级，复赛，第3题，6分

【解析】规律是，第一个加数是公比为2的等比数列，第二个加数是差为2的等差数列，所以第六个式子是96+2=98

【答案】98

【例 4】把比100大的奇数从小到大排成一列，其中第21个是多少？

【考点】等差数列的基本认识【难度】2星【题型】计算

【解析】该数列为等差数列，首项为101，公差为2，第21个数的项数为21.则101+（21-1）×2=141

【答案】141

【巩固】2，5，8，11，14……是按照规律排列的一串数，第21项是多少？

【考点】等差数列的基本认识【难度】2星【题型】计算

【解析】此数列为一个等差数列，将第21项看做末项。末项=2+（21-1）×3=62

【答案】62

【例 5】已知一个等差数列第9项等于131，第10项等于137，这个数列的第1项是多少？第19项是多少？

【考点】等差数列的基本认识【难度】3星【题型】计算

【解析】把数列列出来：83,89,95,101,107,113,119,125,131,137,143,149,155,161,167,173,179,185,191

【答案】191

【巩固】一个数列共有13项，每一项都比它的前一项多7，并且末项为125，求首项是多少？

【考点】等差数列的基本认识【难度】3星【题型】计算

【解析】把数列列出来：125,118,111,104,97,90,83,76,69,62,55,48,41

【答案】41