人教版八年级数学下《菱形》拓展练习

《菱形》拓展练习一、选择题（本大题共5小题，共25.0分）1．（5分）如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC＝8cm，BD＝6cm，DH⊥AB 于点H，且DH与AC交于点G，AG＝cm，则GH的长为（）A．cm B．cm C．cm D．cm2．（5分）如图，把菱形ABCD向右平移至DCEF的位置，作EG⊥AB，垂足为G，EG与CD相交于点K，GD的延长线交EF于点H，连接DE，则下列结论：①DG＝DE；②∠DHE＝∠BAD；③EF+FH＝2KC；④∠B＝∠EDH．则其中所有成立的结论是（）A．①②③④B．①②④C．②③④D．①③3．（5分）矩形ABCD中，O为AC的中点，过点O的直线分别与AB，CD交于点E，F，连接BF交AC于点M连接DE，BO．若∠COB＝60°，FO＝FC，则下列结论：①△AOE≌△COF；②△EOB≌△CMB；③FB⊥OC，OM＝CM；④四边形EBFD是菱形；⑤MB：OE＝3：2其中正确结论的个数是（）A．5B．4C．3D．24．（5分）如图，菱形ABCD的对角线AC与BD交于点O，过点C作AB垂线交AB延长线于点E，连结OE，若AB＝2，BD＝4，则OE的长为（）A．6B．5C．2D．45．（5分）如图，在菱形ABCD中，E、F分别是AB、BC边的中点，EP⊥CD 于点P，∠BAD＝110°，则∠FPC的度数是（）A．35°B．45°C．50°D．55°二、填空题（本大题共5小题，共25.0分）6．（5分）如图，已知平行四边形的两条边长分别为1，a（a＞1），它能被平行于边的直线分割成4个菱形，则a的值可以是．7．（5分）如图，菱形ABCD，∠B＝60°，AB＝4，点E为BC中点，点F在菱形ABCD的边上，连接EF，若EF＝2，则的值为．8．（5分）在菱形ABCD中，M是BC边上的点（不与B，C两点重合），AB＝AM，点B关于直线AM对称的点是N，连接DN，设∠ABC．∠CDN的度数分别为x，y，则y关于x的函数解析式是．9．（5分）如图，菱形ABCD和菱形BEFG的边长分别是5和2，∠A＝60°，连结DF，则DF的长为．10．（5分）如图，在菱形ABCD中，∠B＝60°，对角线AC平分角∠BAD，点P是△ABC内一点，连接P A、PB、PC，若P A＝6，PB＝8，PC＝10，则菱形ABCD的面积等于．三、解答题（本大题共5小题，共50.0分）11．（10分）菱形ABCD中，∠ABC＝60°，点E在AD上，连接BE，点F、H 在BE上，△AFH为等边三角形．（1）如图1，若CE⊥AD，BE＝，求菱形ABCD的面积；（2）如图2，点G在AC上，连接FG，HC，若FG∥AH，HC＝2AH，求证：AG＝GC．12．（10分）如图，在菱形ABCD中，∠B＝60°．（1）如图①，若点E、F分别在边AB、AD上，且BE＝AF．求证：△CEF是等边三角形；（2）小明发现若点E、F分别在边AB、AD上，且∠CEF＝60°时△CEF也是等边三角形，并通过画图验证了猜想；小丽通过探索，认为应该以CE＝EF 为突破口构造两个三角形全等；小倩受到小丽的启发，尝试在BC上截取BM ＝BE，连接ME，如图②，很快就证明了△CEF是等边三角形，请你根据小倩的方法，写出完整的证明过程．13．（10分）在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，E是对角线AC上任意一点，F 是线段BC延长线上一点，且CF＝AE，连接BE、EF．（1）如图1，当E是线段AC的中点时，求证：BE＝EF．（2）如图2，当点E不是线段AC的中点，其它条件不变时，请你判断（1）中的结论是否成立？若成立，请证明；若不成立，说明理由．14．（10分）如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，延长AC到E，使CE＝CO，连接EB，ED．（1）求证：EB＝ED；（2）过点A作AF⊥AD，交BC于点G，交BE于点F，若∠AEB＝45°，①试判断△ABF的形状，并加以证明；②设CE＝m，求EF的长（用含m的式子表示）．15．（10分）已知：如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于O，点E，F分别是AD，DC的中点，已知OE＝，EF＝3，求菱形ABCD的周长和面积．《菱形》拓展练习参考答案与试题解析一、选择题（本大题共5小题，共25.0分）1．（5分）如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC＝8cm，BD＝6cm，DH⊥AB 于点H，且DH与AC交于点G，AG＝cm，则GH的长为（）A．cm B．cm C．cm D．cm【分析】先求出菱形的边长，然后利用面积的两种表示方法求出DH，在Rt△DHB中求出BH，然后得出AH，勾股定理可得出GH的值．【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，对角线AC＝8cm，BD＝6cm，∴AO＝4cm，BO＝3cm，在Rt△AOB中，AB＝＝5cm，∵BD×AC＝AB×DH，∴DH＝cm，在Rt△DHB中，BH＝＝cm，则AH＝AB﹣BH＝cm，∴GH＝＝＝cm．故选：B．【点评】本题考查了菱形的性质、解直角三角形及三角函数值的知识，注意菱形的面积等于对角线乘积的一半，也等于底乘高．2．（5分）如图，把菱形ABCD向右平移至DCEF的位置，作EG⊥AB，垂足为G，EG与CD相交于点K，GD的延长线交EF于点H，连接DE，则下列结论：①DG＝DE；②∠DHE＝∠BAD；③EF+FH＝2KC；④∠B＝∠EDH．则其中所有成立的结论是（）A．①②③④B．①②④C．②③④D．①③【分析】首先证明△ADG≌△FDH，再利用菱形的性质、直角三角形斜边中线的性质即可一一判断；【解答】解：∵四边形ABCD和四边形DCEF是菱形，∴AB∥CD∥EF，AD＝CD＝DF，∴∠GAD＝∠F，∵∠ADG＝∠FDH，∴△ADG≌△FDH，∴DG＝DH，AG＝FH，∵EG⊥AB，∴∠BGE＝∠GEF＝90°，∴DE＝DG＝DH，故①正确，∴∠DHE＝∠DEH，∵∠DEH＝∠CEF，∠CEF＝∠CDF＝∠BAD，∴∠DHE＝∠BAD，故②正确，∴EF+FH＝AB+AG＝BG，故③正确，∵∠B＝∠DCE，∠CED＝∠CDE＝∠DEF＝∠DHE，∴∠B＝∠EDH，故④正确．故选：A．【点评】本题考查菱形的性质、平移变换、全等三角形的判定和性质、直角三角形斜边中线的性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型．3．（5分）矩形ABCD中，O为AC的中点，过点O的直线分别与AB，CD交于点E，F，连接BF交AC于点M连接DE，BO．若∠COB＝60°，FO＝FC，则下列结论：①△AOE≌△COF；②△EOB≌△CMB；③FB⊥OC，OM＝CM；④四边形EBFD是菱形；⑤MB：OE＝3：2其中正确结论的个数是（）A．5B．4C．3D．2【分析】①由矩形的性质和全等三角形的判定方法即可证明①△AOE≌△COF；②根据已知得出△OBF≌△CBF，可求得△OBF与△CBF关于直线BF对称，进而求得FB⊥OC，OM＝CM；③因为△EOB≌△FOB≌△FCB，故△EOB不会全等于△CBM．④先证得∠ABO＝∠OBF＝30°，再证得OE＝OF，进而证得OB⊥EF，因为BD、EF互相平分，即可证得四边形EBFD是菱形；⑤根据三角函数求得MB和OF的长，根据OE＝OF即可求得MB：OE的值．【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，∴AB∥CD，∴∠OCF＝∠OAE，∵O为AC的中点，∴AO＝CO，在△AOE和△COF中，∴△AOE≌△COF，∴①正确；连接BD，∵四边形ABCD是矩形，∴AC＝BD，AC、BD互相平分，∵O为AC中点，∴BD也过O点，∴OB＝OC，∵∠COB＝60°，OB＝OC，∴△OBC是等边三角形，∴OB＝BC＝OC，∠OBC＝60°，在△OBF与△CBF中，∴△OBF≌△CBF（SSS），∴△OBF与△CBF关于直线BF对称，∴FB⊥OC，OM＝CM；∴③正确，∵∠OBC＝60°，∴∠ABO＝30°，∵△OBF≌△CBF，∴∠OBM＝∠CBM＝30°，∴∠ABO＝∠OBF，∵AB∥CD，∴∠OCF＝∠OAE，∵OA＝OC，易证△AOE≌△COF，∴OE＝OF，∴OB⊥EF，∴四边形EBFD是菱形，∴④正确，∵△EOB≌△FOB≌△FCB，∴△EOB≌△CMB错误．∴②错误，∵∠OMB＝∠BOF＝90°，∠OBF＝30°，∴MB＝，OF＝，∵OE＝OF，∴MB：OE＝3：2，∴⑤正确；综上可知其中正确结论的个数是4个，故选：B．【点评】本题考查矩形的性质、等边三角形的判定和性质．全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用这些知识解决问题，属于中考常考题型．4．（5分）如图，菱形ABCD的对角线AC与BD交于点O，过点C作AB垂线交AB延长线于点E，连结OE，若AB＝2，BD＝4，则OE的长为（）A．6B．5C．2D．4【分析】先判断出OE＝OA＝OC，再求出OB＝1，利用勾股定理求出OA，即可得出结论．【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，∴OA＝OC，BD⊥AC，∵CE⊥AB，∴OE＝OA＝OC，∵BD＝4，∴OB＝BD＝2，在Rt△AOB中，AB＝2，OB＝2，∴OA＝＝4，∴OE＝OA＝4．故选：D．【点评】此题主要考查了菱形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，角平分线的定义，勾股定理，判断出CD＝AD＝AB是解本题的关键．5．（5分）如图，在菱形ABCD中，E、F分别是AB、BC边的中点，EP⊥CD 于点P，∠BAD＝110°，则∠FPC的度数是（）A．35°B．45°C．50°D．55°【分析】延长PF、EB交于点G；连接EF，易证△BGF≌△CPF，则点F为PG 的中点，FP＝FG＝FE，则∠FPC＝∠FGB＝∠GEF；连接AC，则∠GEF＝∠BAC＝∠BAD＝55°，进而可求出∠FPC的度数．【解答】解：延长PF、EB交于点G；连接EF，∵四边形ABCD是菱形，∴AG∥DC，∴∠GBF＝∠PCF，∵F是BC中点，∴BF＝CF，在△BGF和△CPF中，，∴△BGF≌△CPF，∴PF＝GF，∴点F为PG的中点，∵∠GEP＝90°，∴FP＝FG＝FE，∴∠FPC＝∠FGB＝∠GEF，连接AC，则∠GEF＝∠BAC＝∠BAD＝55°，∴∠FPC的度数是55°．故选：D．【点评】本题考查了菱形的性质、全等三角形的判定和性质、直角三角形斜边上的中线的性质，题目的综合性较强难度较大，解题的关键是正确添加辅助线，构造全等三角形，从而得到点F为PG的中点．二、填空题（本大题共5小题，共25.0分）6．（5分）如图，已知平行四边形的两条边长分别为1，a（a＞1），它能被平行于边的直线分割成4个菱形，则a的值可以是4或2.5或或．【分析】结合菱形的性质画出图形，根据图形可以直接得到答案．【解答】解：如图所示，a＝4 或a＝2.5 或a＝或a＝；故答案是：4或2.5或或．【点评】本题主要考查菱形的性质，平行四边形的性质，解题时，采用了“分类讨论”和“数形结合”的数学思想，使抽象的问题变得形象化，降低了题的难度．7．（5分）如图，菱形ABCD，∠B＝60°，AB＝4，点E为BC中点，点F在菱形ABCD的边上，连接EF，若EF＝2，则的值为1或．【分析】①当点F与A重合时，易知EF＝2，此时DF＝DC＝4，可得＝1，②当点F′是CD的中点时，由BE＝EC，DF′＝CF′，推出EF′＝BD＝2，满足条件，【解答】解：如图，连接AC、BD交于点O．∵四边形ABCD是菱形，∠ABC＝60°，AB＝4，∴易知△ABC，△ADC都是等边三角形，∴AC＝AB＝4，OB＝OD＝2，∴BD＝4，①当点F与A重合时，易知EF＝2，此时DF＝DC＝4，∴＝1，②当点F′是CD的中点时，∵BE＝EC，DF′＝CF′，∴EF′＝BD＝2，满足条件，此时DF′＝2，DC＝4，∴＝，故答案为1或．【点评】本题考查菱形的性质、等边三角形的判定和性质、三角形的中位线定理等知识，解题的关键是学会用分讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．8．（5分）在菱形ABCD中，M是BC边上的点（不与B，C两点重合），AB＝AM，点B关于直线AM对称的点是N，连接DN，设∠ABC．∠CDN的度数分别为x，y，则y关于x的函数解析式是y＝．【分析】①当x＝72°时，如图1中，易知点N在CD上，此时y＝0；②当72°＜x＜90°时，如图2中，根据菱形的邻角互补，构建方程求解；③当0＜x ＜72°，如图3中，同法可得；【解答】解：①当x＝72°时，如图1中，易知点N在CD上，此时y＝0．②当72°＜x＜90°时，如图2中，∵AB＝AM＝AN＝AD，∴∠ABM＝∠AMB＝∠AMN＝∠ANM＝x，∠ADN＝∠AND＝x﹣y，∵∠B+∠BAD＝180°，∴x+（360°﹣4x）+[180°﹣2（x﹣y）]＝180°，∴y＝x﹣180°．③当0＜x＜72°，如图3中，同法可得：x+（360°﹣4x）+[180°﹣2（x+y）]＝180°，∴y＝180°﹣x．综上所述，y＝．故答案为y＝．【点评】本题考查菱形的性质、轴对称的性质、三角形内角和定理等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．9．（5分）如图，菱形ABCD和菱形BEFG的边长分别是5和2，∠A＝60°，连结DF，则DF的长为．【分析】延长FG交AD于点M，过点D作DH⊥AB交AB于点H，交GF的延长线于点N，由菱形的性质和勾股定理再结合已知条件可求出NF，DN的长，在直角三角形DNF中，再利用勾股定理即可求出DF的长．【解答】解：延长FG交AD于点M，过点D作DH⊥AB交AB于点H，交GF的延长线于点N，∵四边形ABCD和四边形BEFG都是菱形，∴GF∥BE，EF∥AM，∴四边形AMFE是平行四边形，∴AM＝EF＝2，MF＝AE＝AB+BE＝5+2＝7，∴DM＝AD﹣AM＝5﹣2＝3，∵∠A＝60°，∴∠DAH＝30°，∴MN＝DM＝，∴DN＝＝，NF＝MF﹣MN＝，在Rt△DNF中，DF＝＝，故答案为：．【点评】本题考查了菱形的性质、平行四边形的判定和性质、含30°直角三角形的性质以及勾股定理的运用，正确作出图形的辅助线是解题的关键．10．（5分）如图，在菱形ABCD中，∠B＝60°，对角线AC平分角∠BAD，点P是△ABC内一点，连接P A、PB、PC，若P A＝6，PB＝8，PC＝10，则菱形ABCD的面积等于50．【分析】将线段AP绕点A顺时针旋转60°得到线段AM，连接PM，想办法证明∠APH＝30°，利用勾股定理求出AB的平方即可解决问题．【解答】解：将线段AP绕点A顺时针旋转60°得到线段AM，连接PM，作AH ⊥BP于H．∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝BC，∵∠ABC＝60°，∴△ABC是等边三角形，∵AM＝AP，∠MAP＝60°，∴△AMP是等边三角形，∵∠MAP＝∠BAC，∴∠MAB＝∠P AC，∴△MAB≌△P AC，∴BM＝PC＝10，∵PM2+PB2＝100，BM2＝100，∴PM2+PB2＝BM2，∴∠MPB＝90°，∵∠APM＝60°，∴∠APB＝150°，∠APH＝30°，∴AH＝P A＝3，PH＝3，BH＝8+3，∴AB2＝AH2+BH2＝100+48，∴菱形ABCD的面积＝2•△ABC的面积＝2××AB2＝50+72，故答案为50+72．【点评】本题考查菱形的性质、等边三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理的逆定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型．三、解答题（本大题共5小题，共50.0分）11．（10分）菱形ABCD中，∠ABC＝60°，点E在AD上，连接BE，点F、H 在BE上，△AFH为等边三角形．（1）如图1，若CE⊥AD，BE＝，求菱形ABCD的面积；（2）如图2，点G在AC上，连接FG，HC，若FG∥AH，HC＝2AH，求证：AG＝GC．【分析】（1）首先证明△ABC，△ADC都是等边三角形，由CE⊥AD，推出AE ＝DE，BC⊥CE，设AE＝DE＝m，则AD＝BC＝2m，CE＝m，在Rt△BCE 中，根据BE2＝CE2+BC2，构建方程求出m即可解决问题；（2）作CK∥AH交BE于点K．想办法证明FH＝FK，利用平行线分线段成比例定理即可解决问题；【解答】（1）解：如图1中，∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝BC＝CD＝AD，∠ABC＝∠D＝60°，AD∥BC∴△ABC，△ADC都是等边三角形，∵CE⊥AD，∴AE＝DE，BC⊥CE，设AE＝DE＝m，则AD＝BC＝2m，CE＝m，在Rt△BCE中，∵BE2＝CE2+BC2，∴4m2+3m2＝63，∴m＝±3，∵m＞0，∴m＝3，∴BC＝6，EC＝3，∴S＝BC•CE＝18．菱形ABCD（2）作CK∥AH交BE于点K．∵△AFH是等边三角形，∴∠AHF＝∠AFH＝60°，∵AH∥CK，∴∠AHF＝∠CKE＝60°，∴∠AFB＝∠BKC＝120°，∵∠ABF+∠CBK＝60°，∠CBK+∠BCK＝60°，∴∠ABF＝∠BCK，∵AB＝BC，∴△ABF≌△BCK（AAS），∴BK＝AF，∵∠BAC＝∠F AH＝60°，∴∠BAF＝∠CAH，∵BA＝AC，AF＝AH，∴△BAF≌△CAH（SAS），∴BF＝CH，∵CH＝2AH，AH＝AF＝FH＝BK，∴BK＝FK＝FH，∵AH∥FG∥CK，FH＝FK，∴AG＝CG．【点评】本题考查菱形的性质、等边三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、平行线分线段成比例定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型．12．（10分）如图，在菱形ABCD中，∠B＝60°．（1）如图①，若点E、F分别在边AB、AD上，且BE＝AF．求证：△CEF是等边三角形；（2）小明发现若点E、F分别在边AB、AD上，且∠CEF＝60°时△CEF也是等边三角形，并通过画图验证了猜想；小丽通过探索，认为应该以CE＝EF 为突破口构造两个三角形全等；小倩受到小丽的启发，尝试在BC上截取BM ＝BE，连接ME，如图②，很快就证明了△CEF是等边三角形，请你根据小倩的方法，写出完整的证明过程．【分析】（1）想办法证明△BEC≌△AFC（SAS），即可解决问题；（2）想办法证明△ECM≌△FEA（ASA），即可解决问题；【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝BC＝CD＝AD，∵∠B＝60°，∴△ABC，△ADC都是等边三角形，∴∠B＝∠CAF＝∠ACB＝60°，∵BC＝AC，BE＝AF，∴△BEC≌△AFC（SAS），∴CE＝CF，∠BCE＝∠ACF，∴∠ECF＝∠BCA＝60°，∴△ECF是等边三角形．（2）证明：∵BE＝BM，∠B＝60°，∴△BEM是等边三角形，∴∠EMB＝∠BEM＝60°，∠EMC＝∠AEM＝120°，∵AB＝BC，∠EAF＝120°，∴AE＝CM，∠EAF＝∠EMC，∵∠FEC＝60°，∴∠AEF+∠CEM＝60°，∵∠CEM+∠ECM＝60°，∴∠AEF＝∠ECM，∴△ECM≌△FEA（ASA），∴EF＝EC，∵∠FEC＝60°，∴△EFC是等边三角形．【点评】本题考查菱形的性质、等边三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题．13．（10分）在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，E是对角线AC上任意一点，F 是线段BC延长线上一点，且CF＝AE，连接BE、EF．（1）如图1，当E是线段AC的中点时，求证：BE＝EF．（2）如图2，当点E不是线段AC的中点，其它条件不变时，请你判断（1）中的结论是否成立？若成立，请证明；若不成立，说明理由．【分析】（1）由菱形的性质和已知条件得出△ABC是等边三角形，得出∠BCA ＝60°，由等边三角形的性质和已知条件得出CE＝CF，由等腰三角形的性质和三角形的外角性质得出∠CBE＝∠F，即可得出结论；（2）过点E作EG∥BC交AB延长线于点G，先证明△ABC是等边三角形，得出AB＝AC，∠ACB＝60°，再证明△AGE是等边三角形，得出AG＝AE＝GE，∠AGE＝60°，然后证明△BGE≌△ECF，即可得出结论；【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝BC，∵∠ABC＝60°，∴△ABC是等边三角形，∴∠BCA＝60°，∵E是线段AC的中点，∴∠CBE＝∠ABE＝30°，AE＝CE，∵CF＝AE，∴CE＝CF，∴∠F＝∠CEF＝∠BCA＝30°，∴∠CBE＝∠F＝30°，∴BE＝EF；（2）解：结论成立；理由如下：过点E作EG∥BC交AB于点G，如图2所示：∵四边形ABCD为菱形，∴AB＝BC，∠BCD＝120°，AB∥CD，∴∠ACD＝60°，∠DCF＝∠ABC＝60°，∴∠ECF＝120°，又∵∠ABC＝60°，∴△ABC是等边三角形，∴AB＝AC，∠ACB＝60°，又∵EG∥BC，∴∠AGE＝∠ABC＝60°，又∵∠BAC＝60°，∴△AGE是等边三角形，∴AG＝AE＝GE，∠AGE＝60°，∴BG＝CE，∠BGE＝120°＝∠ECF，又∵CF＝AE，∴GE＝CF，在△BGE和△CEF中，，∴△BGE≌△ECF（SAS），∴BE＝EF．【点评】本题考查了菱形的性质、全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质；熟练掌握菱形的性质，证明三角形全等和等边三角形是解决问题的关键．14．（10分）如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，延长AC到E，使CE＝CO，连接EB，ED．（1）求证：EB＝ED；（2）过点A作AF⊥AD，交BC于点G，交BE于点F，若∠AEB＝45°，①试判断△ABF的形状，并加以证明；②设CE＝m，求EF的长（用含m的式子表示）．【分析】（1）只要证明AE垂直平分线段BD即可；（2）①想办法证明∠ABF＝∠AFB即可；②作EH⊥AF交AF的延长线于H．想办法求出FH、EH即可解决问题；【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，∴EA⊥BD，OB＝OD，∴EB＝ED（2）解：①结论：△ABF是等腰三角形（AB＝AF）；理由：∵∠AEB＝45°，EO⊥OB，∴△BOE是等腰直角三角形，∴∠OBE＝∠OEB＝45°，∵AG⊥BC，∴∠AGB＝∠BOC＝90°，∴∠GAC+∠ACB＝90°，∠ACB+∠OBC＝90°，∴∠CAG＝∠CBO＝∠ABO，∵∠ABF＝∠ABO+∠OBE＝∠ABO+45°，∠AFB＝∠CAG+∠AEB＝∠CAG+45°，∴∠AFB＝∠ABF，∴AB＝AF，∴△ABF是等腰三角形．②作EH⊥AF交AF的延长线于H．由题意CE＝OC＝OA＝m，OB＝AC═OD＝2m，AE＝3m，AB＝AF＝m，tan∠CBO＝tan∠CAG＝＝，∴EH＝m，AH＝m，∴FH＝AH﹣AF＝m，在Rt△EFH中，EF＝＝＝m．【点评】本题考查菱形的性质、全等三角形的判定和性质、解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．15．（10分）已知：如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于O，点E，F分别是AD，DC的中点，已知OE＝，EF＝3，求菱形ABCD的周长和面积．【分析】首先由菱形ABCD的对角线AC，BD相交于O，点E，F分别是AD，DC的中点，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可求得AB的长，由三角形中位线定理可求得AC的长，进而可求出菱形的周长，再求出AC的长即可求出菱形的面积．【解答】解：∵菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，∴AC⊥BD，OA＝OC，OB＝OD，∵点E，F分别是AD，DC的中点，∴OE＝AB，EF＝AC，∵OE＝2.5，EF＝3，∴AB＝5，AC＝6，∴菱形ABCD的周长为：4×5＝20；∵AO＝AC＝3，AB＝5，∴BO＝＝4，∴BD＝2BO＝8，∴菱形ABCD的面积＝AC•BD＝24．【点评】此题考查了菱形的性质、三角形中位线的性质、勾股定理以及直角三角形的性质．注意根据题意求得AC与AB的长是解此题的关键．。