第三章 水文统计方法ppt课件
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正态频率曲线在普通 格纸上为一条规则的S型曲线， 它在P=50%前后的曲线方向虽 然相反，但形状完全一样。
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P=50%
正态频率曲线
精品课件
累积频率
精品课件
第四节 水文频率分布线型
水文频率曲线：水文分析计算中使用的概率分布曲
线。
分为：经验频率曲线和理论频率曲线。
水文频率分布线型：指所采用的理论频率曲线
⒋ 偏态系数（Cs）:反映系列中各变量值在均 值 两边的对称程度。（衡量系列不对称程度 的 参数）
精品课件
样本系列统计参数计算
样本 系列
1
300
2
200
3
185
4
165
5
150
均值 200
均方差
变差系数
偏态系数
(xi-x)2 10000
0 225 1225 2500 2790 52.8 0.264102
对于连续型随机变量，无法研究个别的概率，只
能研究某个区间的概率，或是研究事件X ≥ x的概率（累 计概率），以及事件X ≤ x的概率。（水文统计中常用X ≥ x的概率及其分布）
设事件X ≥ x的概率用P(X≥x)来表示，它是随 机变量x取值而变化的。 P(X≥x)是x的函数，称为随机变 量x的分布函数，记为F(x):
则Q p＝1000(1+0.5*3.33)=2665m3/s
按公式
Qp kpQ
P=1％，Cv＝0.5， Cs＝3Cv查表得kP =
2.67
则Q p＝1000*2.67=2670m3/s
精品课件
三、频率与重现期的关系
水文上常用“重现期”来代替“频率” 1. 当研究暴雨或洪水时（一般P≤50%）
T1 例如，当某一洪水的频率P为P=1%时，则T=100年，称此洪
（频率函数）的形式，它的选择取决与大多数水文资料的
经验频率点据的配合情况。
频率计算两大内容：
1、分布线型的选择 2、 统计参数的估算
精品课件
一、经验频率曲线
1. 经验频率（P）:根据实测的水文资料（水位、流速、 流量、降雨量），按照从大到小的顺序排列，然后用
经验频率公式（数学期望公式）计算系列中各项的频 率，称为经验频率。 经验频率计算公式（数学期望公式）：
Cs 2Cv
xp
1219 1025 933 826 646 520 426 373 293
例：某站年径流系列符合P-Ⅲ型分布，已知该系列的 R=650mm， CV=0.25 ，CS=2Cv，试绘理论频率曲线。
解：当CS=2Cv 时，查附表2，得不同频率下的Kp，代入下式
求Xp： xpx(1Cvp)Kpx
Fra Baidu bibliotek
引入“变差系数”
精品课件
⒊ 变差系数（Cv）：反映系列中各变量值相对集 中或离散的程 度。 （值越小分布越集中）
例：
5， 10， 15
x=10 σ=4.08
Cv=0.48
995，100我0，国1降00水5 量与x径=1流00量0 的变σ差=系4.数08，一般
Cv=0.0048
是
南方小，北方大；沿海精品课小件 ，内陆大；平原小，
精品课件
650
皮尔逊Ⅲ型频率曲线计算表(实例）
频率
P (% ) 1 5 10 20 50 75 90 95 99
x 666.4
Cv 0.30
p
xKpp
2.75
1.83
1.80
1.54
1.33
1.40
0.80
1.24
-0.10
0.97
-0.72
0.78
-1.20
0.64
-1.45
0.56
-1.88 精品课件 0.44
点绘经验频率点据； （4）根据点群趋势绘出一精条品课平件 滑的曲线。
例题
年份
（1） 1961 1962 1963 1964 1965 1966 1967 1968 1969 1970
年最大洪峰流 量
（2） 720 1080 1030 1250 1440 1420 1120 2060 1370 2650
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三、概率
概率：反映随机事件出现的可能性大小的数量标准。 计算如下：
P(A)=k/n （1）k为有利于随机事件A的可能结果数；
（2）n为试验中所有可能出现的结果数。 概率公式只适用于古典概率事件，也就试验的所有可能结果 都是等可能的，且可能结果的总数是有限的。
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四、频率
设事件A在n次试验中出现了m次，则称为事件A在n次试验中出 现的频率。
精品课件
皮尔逊Ⅲ型频率曲线绘制步骤
在统计参数x , C v , C s
已知情况下，可按
以下步骤绘制皮尔逊Ⅲ型频率曲线：
（1）从 值(离散系数)表中选取若干个频率 P ； （2）由Cs值，查 值表得出不同 P 的 p 值；
（3）利用 x , C v 值，通过式
xp x(1pCv) (Kp=1+Φp*Cv) 模比系数
均情况。
模比系数：K i
xi x
11 ni n 1K i K 1K 2n K n
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⒉ 均方差：反映系列中各变量值绝对集中或离 散的程度。（均方差越小分布越集中）
例：5，10，15 σ = 4.08 1，10，19 σ = 7.35
均值相同时，均方差可以反映不同系列的离
散程度；但均值不同时，却无法比较-----因此，
意义：表明若水位为25m时对桥梁会有威胁，则高于25m的 水位对桥梁都会有威胁，其发生的可能性应为30％。
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第三节 随机变量及其概率分布
一、随机变量
随试验结果而发生变化的变量，用 X 表示，取值用 xi
表
示 。例: 水文特征值：年径流、洪峰流量。
随机变量分类： 1、离散型随机变量： 2、 连续型随机变量：水文特征值属连续型随机变量。
W(A)=m/n 当试验次数n不大时，事件频率很不稳定，具有随机性； 当试验次数n足够大时，事件频率与概率之差会达到任意小的
程度。
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五. 累计频率（P）：等量和超量值的频率之和（累计）。
精品课件
某桥位处测得40年最高水位资料如下表，求水位 ≥25m时的累积频率。
解：当水位H＝25m时，W=25% H＝30m（大于25m）时， W=5% P=25%+5%=30%
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二、总体和样本
总体：在统计数学上，把研究对象的全体称为总体。 样本：从总体中任意抽取的一部分叫做样本。
三、随机变量的概率分布
概率分布：随机变量可以取所有可能值中的任意一个值， 但是取某一可能值的机会（概率）是不同的，有的机会大， 有的机会小，随机变量的取值与其概率有一定的关系。
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1.离散型随机变量概率分布： 2.连续型随机变量概率分布：
水为百年一遇洪水，表示大于等于这样的洪水平均100年会遇 到一次。
2. 当研究枯水或年径流时（一般 P≥50%） T 1
例如:对于p=80%的枯水流1量 P，则 T=5 年，称作以五年一 遇枯水流量作为设计来水的标准。表示小于等于这样的流量 平均5年会遇到一次。说明具有精品8课0件%的可靠程度。
第三章 水文统计方法
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第一节 水文统计的意义
一、水文现象的随机性
水文现象：是指地球上的水受外部作用而产生的永无休止的
运动形式,即降雨，入渗，径流，蒸发等现象的统称。
水文现象的随机性：影响水文现象的因素众多，同时各种因 素本身及其组合在时间上、变化上也是错中复杂的，这使得 水文现象在发生时间和数值上不会完全重复，具有一定的偶 尔性和不确定性特点，即随机性。
求出于各种 P 相应的 x p 值。以 x 为纵坐标，P 为横坐
标，从而可绘出理论频率曲线。
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例题
年份 （1） 1961 1962 1963 1964 1965 1966 1967 1968 1969 1970
某河流年最高水位（m)
（2）
720
880
630
950
440
420
780
660
870
序号 由大到小排列
（3） 1 2 3 4 5 6 7 8 9
精1品0课件
（4） 2650 2060 1440 1420 1370 1250 1120 1080 1030 720
经验频率
（5） 9.1 18.2 27.3 36.4 45.5 54.5 63.6 72.7 81.8 90.9
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2.经验频率曲线存在的问题 ：
1.12
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五、正态分布
自然界中许多随机变量，如：水文测量误差、抽 样误差等，都服从或近似服从正态分布。
密度函数：
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密度曲线：
面积 99.7%
正态分布密度曲线三个特点： （1）单峰； （2）曲线关于均值对称，Cs=0
（3）曲线两端趋于±∞，并以x轴为渐近线。
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六、(海森)频率格纸（几率纸）选用
P
0.01 0.1
0.2 0.33 0.5
1
2
Kp
2.22 1.96 1.87 1.81 1.77 1.67 1.58
Xp
1443 1274 1215.5 1176.5 1150.5 1085.5 1027
P
10
20
50
75
90
95
99
Kp
1.33 1.2
0.98 0.82 0.7
0.63 0.52
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二、水文现象的统计规律
水文现象的统计规律：经过长期的水文观测，各种水文的随机 现象所呈现出来的规律。
三、水文统计及其任务
数学中研究随机现象统计规律的学科称为概率论。 而有随机现象的一部分试验资料去研究总体现象的数字特征和 规律的学科称为数理统计学。 水文统计：概率论与数理统计学应用到水文分析与计算上。
计规律选择一种数学方程式来加以描述，这种用
数学方法确定的适合实测经验频率点据分布规律
的频率曲线。
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所谓的“理论”并非从物理意义上得到的严 格证明，它只是水文现象总体情况的一种假想模型。
常用的数学模型： 1、皮尔逊III型曲线（P-III曲线) 2、对数皮尔逊III型曲线 3、耿贝尔型曲线 4、克里茨基一闵凯里曲线
F(x)= P(X≥x) 它代表随机变量X大于某一取值x的概率。
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分布曲线 （频率曲线）
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四、随机变量的统计参数
随机变量的分布参数（统计参数）：能说明随机 变量统计规律的某些特征数字。
水文计算中常用的统计参数有：均值、均方差、 变差系数和偏态系数、矩。
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⒈ 均值(x)：表示随机变量系列中各变量值 平
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水文统计任务就是研究和分析水文现象的统计变化，并以 此为基础对水文现象未来可能的长期变化作出在概率意义 下的定量预估。 基本方法和具体的内容有以下三点： （1）根据已有的资料进行频率计算，推求指定频率的水文 特征值。 （2）研究水文现象之间的统计关系，应用这种关系延长、 插补水文特征值和水文预报。 （3）根据误差理论，估计水文计算中的随机误差范围。
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第二节 概率的基本概念
一、随机试验
随机试验（E）：在概率论中，对随机现象的观测。
具有三个特点： （1）在相同条件下重复进行； （2）每次试验的可能结果不止一个，并且能事先明确试验的
所有可能结果； （3）进行一次试验，试验之前不能确定哪一个结果会出现。
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二、事件
事件：指在一定的条件组合下，随机试验的结果。 可以是数量性质也可以是属性性质。 事件可以分为三类： （1）必然事件； （2）不可能事件； （3）随机事件。（事件）
m:为某个水文变量的值（xm）的序号； n:为系列的总项数
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经验频率曲线绘制: 以水文变量x为纵 坐， 以经验频率P为横坐标，在频率格纸上点绘经验 频率点据，根据点群趋势绘出一条平滑的曲线。
（1）根据实测水文资料，按从大到小的顺序排列； （2）用经验频率公式计算系列中各项的频率; （3）以水文变量X为纵坐标，以经验频率P为横坐标，
Xp 864.5 780
637
533
455 409.5 338
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例题：设某水文站，
试
Q 1000m3 / s, cv 0.5, cs 1.5,
求此理论频率曲线及水文站附近某桥的设计洪峰流量Q1
％和Q 5％。 解：按公式
Q p Q(1 cv p )
P=1％，Cs＝1.5，查表得 P = 3.33
(xi-x)3 1000000
0 -3375 -42875 -125000 165750
1.12
Ki 1.5
1 0.925 0.825 0.75
Ki-1 0.5
0 -0.075 -0.175 -0.25
(Ki-1)3 0.125
0 -0.00042187 -0.00535938
-0.015625 0.10359375
经验频率曲线计算工作量小，绘制简单，查用 方 便，但受实测资料所限,往往难以满足设计上的需 要。
徒手对曲线两端外延是一种方法，但随意性很大。
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二、理论频率曲线
实际工作中，常常采用数理统计中已知
的频率曲线来拟合经验点据，这种曲线人们习惯
上称为理论频率曲线。
理论频率曲线：根据水文实测水文资料
的频率特征和统计参数，按照水文现象的一般统
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P=50%
正态频率曲线
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累积频率
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第四节 水文频率分布线型
水文频率曲线：水文分析计算中使用的概率分布曲
线。
分为：经验频率曲线和理论频率曲线。
水文频率分布线型：指所采用的理论频率曲线
⒋ 偏态系数（Cs）:反映系列中各变量值在均 值 两边的对称程度。（衡量系列不对称程度 的 参数）
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样本系列统计参数计算
样本 系列
1
300
2
200
3
185
4
165
5
150
均值 200
均方差
变差系数
偏态系数
(xi-x)2 10000
0 225 1225 2500 2790 52.8 0.264102
对于连续型随机变量，无法研究个别的概率，只
能研究某个区间的概率，或是研究事件X ≥ x的概率（累 计概率），以及事件X ≤ x的概率。（水文统计中常用X ≥ x的概率及其分布）
设事件X ≥ x的概率用P(X≥x)来表示，它是随 机变量x取值而变化的。 P(X≥x)是x的函数，称为随机变 量x的分布函数，记为F(x):
则Q p＝1000(1+0.5*3.33)=2665m3/s
按公式
Qp kpQ
P=1％，Cv＝0.5， Cs＝3Cv查表得kP =
2.67
则Q p＝1000*2.67=2670m3/s
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三、频率与重现期的关系
水文上常用“重现期”来代替“频率” 1. 当研究暴雨或洪水时（一般P≤50%）
T1 例如，当某一洪水的频率P为P=1%时，则T=100年，称此洪
（频率函数）的形式，它的选择取决与大多数水文资料的
经验频率点据的配合情况。
频率计算两大内容：
1、分布线型的选择 2、 统计参数的估算
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一、经验频率曲线
1. 经验频率（P）:根据实测的水文资料（水位、流速、 流量、降雨量），按照从大到小的顺序排列，然后用
经验频率公式（数学期望公式）计算系列中各项的频 率，称为经验频率。 经验频率计算公式（数学期望公式）：
Cs 2Cv
xp
1219 1025 933 826 646 520 426 373 293
例：某站年径流系列符合P-Ⅲ型分布，已知该系列的 R=650mm， CV=0.25 ，CS=2Cv，试绘理论频率曲线。
解：当CS=2Cv 时，查附表2，得不同频率下的Kp，代入下式
求Xp： xpx(1Cvp)Kpx
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引入“变差系数”
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⒊ 变差系数（Cv）：反映系列中各变量值相对集 中或离散的程 度。 （值越小分布越集中）
例：
5， 10， 15
x=10 σ=4.08
Cv=0.48
995，100我0，国1降00水5 量与x径=1流00量0 的变σ差=系4.数08，一般
Cv=0.0048
是
南方小，北方大；沿海精品课小件 ，内陆大；平原小，
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650
皮尔逊Ⅲ型频率曲线计算表(实例）
频率
P (% ) 1 5 10 20 50 75 90 95 99
x 666.4
Cv 0.30
p
xKpp
2.75
1.83
1.80
1.54
1.33
1.40
0.80
1.24
-0.10
0.97
-0.72
0.78
-1.20
0.64
-1.45
0.56
-1.88 精品课件 0.44
点绘经验频率点据； （4）根据点群趋势绘出一精条品课平件 滑的曲线。
例题
年份
（1） 1961 1962 1963 1964 1965 1966 1967 1968 1969 1970
年最大洪峰流 量
（2） 720 1080 1030 1250 1440 1420 1120 2060 1370 2650
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三、概率
概率：反映随机事件出现的可能性大小的数量标准。 计算如下：
P(A)=k/n （1）k为有利于随机事件A的可能结果数；
（2）n为试验中所有可能出现的结果数。 概率公式只适用于古典概率事件，也就试验的所有可能结果 都是等可能的，且可能结果的总数是有限的。
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四、频率
设事件A在n次试验中出现了m次，则称为事件A在n次试验中出 现的频率。
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皮尔逊Ⅲ型频率曲线绘制步骤
在统计参数x , C v , C s
已知情况下，可按
以下步骤绘制皮尔逊Ⅲ型频率曲线：
（1）从 值(离散系数)表中选取若干个频率 P ； （2）由Cs值，查 值表得出不同 P 的 p 值；
（3）利用 x , C v 值，通过式
xp x(1pCv) (Kp=1+Φp*Cv) 模比系数
均情况。
模比系数：K i
xi x
11 ni n 1K i K 1K 2n K n
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⒉ 均方差：反映系列中各变量值绝对集中或离 散的程度。（均方差越小分布越集中）
例：5，10，15 σ = 4.08 1，10，19 σ = 7.35
均值相同时，均方差可以反映不同系列的离
散程度；但均值不同时，却无法比较-----因此，
意义：表明若水位为25m时对桥梁会有威胁，则高于25m的 水位对桥梁都会有威胁，其发生的可能性应为30％。
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第三节 随机变量及其概率分布
一、随机变量
随试验结果而发生变化的变量，用 X 表示，取值用 xi
表
示 。例: 水文特征值：年径流、洪峰流量。
随机变量分类： 1、离散型随机变量： 2、 连续型随机变量：水文特征值属连续型随机变量。
W(A)=m/n 当试验次数n不大时，事件频率很不稳定，具有随机性； 当试验次数n足够大时，事件频率与概率之差会达到任意小的
程度。
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五. 累计频率（P）：等量和超量值的频率之和（累计）。
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某桥位处测得40年最高水位资料如下表，求水位 ≥25m时的累积频率。
解：当水位H＝25m时，W=25% H＝30m（大于25m）时， W=5% P=25%+5%=30%
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二、总体和样本
总体：在统计数学上，把研究对象的全体称为总体。 样本：从总体中任意抽取的一部分叫做样本。
三、随机变量的概率分布
概率分布：随机变量可以取所有可能值中的任意一个值， 但是取某一可能值的机会（概率）是不同的，有的机会大， 有的机会小，随机变量的取值与其概率有一定的关系。
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1.离散型随机变量概率分布： 2.连续型随机变量概率分布：
水为百年一遇洪水，表示大于等于这样的洪水平均100年会遇 到一次。
2. 当研究枯水或年径流时（一般 P≥50%） T 1
例如:对于p=80%的枯水流1量 P，则 T=5 年，称作以五年一 遇枯水流量作为设计来水的标准。表示小于等于这样的流量 平均5年会遇到一次。说明具有精品8课0件%的可靠程度。
第三章 水文统计方法
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第一节 水文统计的意义
一、水文现象的随机性
水文现象：是指地球上的水受外部作用而产生的永无休止的
运动形式,即降雨，入渗，径流，蒸发等现象的统称。
水文现象的随机性：影响水文现象的因素众多，同时各种因 素本身及其组合在时间上、变化上也是错中复杂的，这使得 水文现象在发生时间和数值上不会完全重复，具有一定的偶 尔性和不确定性特点，即随机性。
求出于各种 P 相应的 x p 值。以 x 为纵坐标，P 为横坐
标，从而可绘出理论频率曲线。
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例题
年份 （1） 1961 1962 1963 1964 1965 1966 1967 1968 1969 1970
某河流年最高水位（m)
（2）
720
880
630
950
440
420
780
660
870
序号 由大到小排列
（3） 1 2 3 4 5 6 7 8 9
精1品0课件
（4） 2650 2060 1440 1420 1370 1250 1120 1080 1030 720
经验频率
（5） 9.1 18.2 27.3 36.4 45.5 54.5 63.6 72.7 81.8 90.9
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2.经验频率曲线存在的问题 ：
1.12
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五、正态分布
自然界中许多随机变量，如：水文测量误差、抽 样误差等，都服从或近似服从正态分布。
密度函数：
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密度曲线：
面积 99.7%
正态分布密度曲线三个特点： （1）单峰； （2）曲线关于均值对称，Cs=0
（3）曲线两端趋于±∞，并以x轴为渐近线。
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六、(海森)频率格纸（几率纸）选用
P
0.01 0.1
0.2 0.33 0.5
1
2
Kp
2.22 1.96 1.87 1.81 1.77 1.67 1.58
Xp
1443 1274 1215.5 1176.5 1150.5 1085.5 1027
P
10
20
50
75
90
95
99
Kp
1.33 1.2
0.98 0.82 0.7
0.63 0.52
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二、水文现象的统计规律
水文现象的统计规律：经过长期的水文观测，各种水文的随机 现象所呈现出来的规律。
三、水文统计及其任务
数学中研究随机现象统计规律的学科称为概率论。 而有随机现象的一部分试验资料去研究总体现象的数字特征和 规律的学科称为数理统计学。 水文统计：概率论与数理统计学应用到水文分析与计算上。
计规律选择一种数学方程式来加以描述，这种用
数学方法确定的适合实测经验频率点据分布规律
的频率曲线。
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所谓的“理论”并非从物理意义上得到的严 格证明，它只是水文现象总体情况的一种假想模型。
常用的数学模型： 1、皮尔逊III型曲线（P-III曲线) 2、对数皮尔逊III型曲线 3、耿贝尔型曲线 4、克里茨基一闵凯里曲线
F(x)= P(X≥x) 它代表随机变量X大于某一取值x的概率。
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分布曲线 （频率曲线）
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四、随机变量的统计参数
随机变量的分布参数（统计参数）：能说明随机 变量统计规律的某些特征数字。
水文计算中常用的统计参数有：均值、均方差、 变差系数和偏态系数、矩。
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⒈ 均值(x)：表示随机变量系列中各变量值 平
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水文统计任务就是研究和分析水文现象的统计变化，并以 此为基础对水文现象未来可能的长期变化作出在概率意义 下的定量预估。 基本方法和具体的内容有以下三点： （1）根据已有的资料进行频率计算，推求指定频率的水文 特征值。 （2）研究水文现象之间的统计关系，应用这种关系延长、 插补水文特征值和水文预报。 （3）根据误差理论，估计水文计算中的随机误差范围。
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第二节 概率的基本概念
一、随机试验
随机试验（E）：在概率论中，对随机现象的观测。
具有三个特点： （1）在相同条件下重复进行； （2）每次试验的可能结果不止一个，并且能事先明确试验的
所有可能结果； （3）进行一次试验，试验之前不能确定哪一个结果会出现。
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二、事件
事件：指在一定的条件组合下，随机试验的结果。 可以是数量性质也可以是属性性质。 事件可以分为三类： （1）必然事件； （2）不可能事件； （3）随机事件。（事件）
m:为某个水文变量的值（xm）的序号； n:为系列的总项数
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经验频率曲线绘制: 以水文变量x为纵 坐， 以经验频率P为横坐标，在频率格纸上点绘经验 频率点据，根据点群趋势绘出一条平滑的曲线。
（1）根据实测水文资料，按从大到小的顺序排列； （2）用经验频率公式计算系列中各项的频率; （3）以水文变量X为纵坐标，以经验频率P为横坐标，
Xp 864.5 780
637
533
455 409.5 338
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例题：设某水文站，
试
Q 1000m3 / s, cv 0.5, cs 1.5,
求此理论频率曲线及水文站附近某桥的设计洪峰流量Q1
％和Q 5％。 解：按公式
Q p Q(1 cv p )
P=1％，Cs＝1.5，查表得 P = 3.33
(xi-x)3 1000000
0 -3375 -42875 -125000 165750
1.12
Ki 1.5
1 0.925 0.825 0.75
Ki-1 0.5
0 -0.075 -0.175 -0.25
(Ki-1)3 0.125
0 -0.00042187 -0.00535938
-0.015625 0.10359375
经验频率曲线计算工作量小，绘制简单，查用 方 便，但受实测资料所限,往往难以满足设计上的需 要。
徒手对曲线两端外延是一种方法，但随意性很大。
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二、理论频率曲线
实际工作中，常常采用数理统计中已知
的频率曲线来拟合经验点据，这种曲线人们习惯
上称为理论频率曲线。
理论频率曲线：根据水文实测水文资料
的频率特征和统计参数，按照水文现象的一般统