高数易错点总结
高考数学常考的易错知识点归纳
高考数学常考的易错知识点归纳（经典版）编制人：__________________审核人：__________________审批人：__________________编制单位：__________________编制时间：____年____月____日序言下载提示：该文档是本店铺精心编制而成的，希望大家下载后，能够帮助大家解决实际问题。
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高考数学易错点及重要知识点归纳
高考数学易错点及重要知识点归纳高考数学是高中阶段各科中相对较难的一门科目，考试难度也相对较高，很容易让考生犯错，导致分数损失。
本文将总结高考数学易错点及重要知识点，并提供相应的解题技巧，希望考生能够避免犯错，取得好成绩。
一、易错点1.符号混淆这是数学中比较普遍的一个易错点，包括加减号、乘号、除号、左右括号等符号的混淆。
一旦出现符号混淆，就会直接导致答案错误或提高解题难度。
因此，考生在做题时要非常注意符号的正确使用。
2.大意误解有些考生在做题时，阅读理解出现失误，对题目的意思产生误解，从而造成答案错误。
所以一定要认真读题理解，分析问题。
尤其是碰到长篇阅读理解时，要先明确大意。
3.计算错误在数学中，很多题目难度相对较低，但往往因为一些简单的计算错误而导致错误答案。
这种错误需要我们在平时做题中多加注意和练习，对于那些需要计算的题目尤其重要。
4.公式错误在解决复杂问题时，我们往往会用到一些公式，不过使用公式时也有可能写错或理解不正确，导致答案错误。
因此，我们必须学会正确地运用公式。
5.转化错误在一些题目中，需要把题目中的信息转化为数学式子，但转化时有可能出现问题。
转化错误的解题方法很难想，因此，要认真仔细看题，并多加练习。
二、重要知识点1.根式根式是数学中常见的一类表达式，在高考数学中也经常出现。
根式的运算和化简需要考生细心认真对待。
2.平面几何平面几何中涉及到的知识点非常多，包括图形的基本性质、相邻角、对顶角、内角和、外角和、周长与面积等等。
考生需要熟记这些知识点，并掌握相应的解题技巧。
3.立体几何立体几何是高考数学中比较难的部分，需要考生掌握图形的三维空间形态，涉及到的知识点包括图形的表面积、体积、棱长、斜高等。
4.导数导数是高中数学中非常重要的一个概念，在高考数学中占有很大的分值和比重。
考生需要明确掌握导数的定义、运算法则等知识点，能够熟练地运用这些知识解决问题。
5.函数函数在高考数学中出现得非常频繁，考生需要掌握函数的概念、性质和运算法则，将它们应用到相应的问题中，解题思路要清晰、技巧到位。
2024年高考数学最易失分知识点总结
2024年高考数学最易失分知识点总结在____年的高考数学考试中，有一些知识点是考生容易失分的。
本文总结了一些最易失分的知识点，以帮助考生重点复习和弥补不足。
一、函数与方程1. 幂函数与指数函数的性质：考生容易混淆幂函数与指数函数的性质，例如幂函数的自变量和幂指数的关系、指数函数的定义域和值域等。
理解并区分这些性质对于解题至关重要。
2. 二次函数与一元二次方程：考生容易混淆二次函数和一元二次方程的相关性质，例如二次函数的图像和一元二次方程的解法、二次函数的顶点坐标和一元二次方程的根等。
弄清楚二次函数和一元二次方程之间的关系能够帮助考生更好地理解和解答相关题目。
3. 线性规划：线性规划是高考中的经典知识点，但考生在解决线性规划问题时常常出现误解。
容易出错的地方包括列出约束条件、确定目标函数、绘制解空间等。
因此，考生需要重点掌握线性规划的基本概念和解题方法。
二、数列与数列表达式1. 等差数列与等比数列：等差数列与等比数列是高考中常见的数学概念，但考生在解题过程中经常出现混淆或忽略的情况。
考生容易混淆等差数列的通项公式和前n项和公式，以及等比数列的通项公式和前n项和公式。
在解题过程中，考生要仔细区分这些概念并正确应用。
2. 递推数列与递归数列：递推数列和递归数列常常出现在高考中，但考生容易忽视或混淆它们之间的区别。
递推数列是指通过公式或规则来计算数列的下一项，而递归数列是指通过前一项或前几项计算数列的下一项。
考生需要清楚地了解递推数列和递归数列之间的关系，并能够正确应用。
三、平面几何与立体几何1. 向量的运算与性质：向量是几何中的重要工具，但考生常常在向量的运算和性质上出现困惑。
容易出错的地方包括向量的加法、减法和数量积的计算，以及向量的共线、垂直和平行性质的判断。
考生需要熟练掌握向量的运算规则和性质，以便准确地解答相关题目。
2. 图形的分析与判断：在平面几何和立体几何中，考生常常需要分析和判断图形的性质。
高三数学易错知识点大全
高三数学易错知识点大全一、函数与方程1. 定义域与值域的概念在函数的定义中，定义域是指使得函数有意义的输入值的集合，而值域则是函数所有可能的输出值的集合。
易错点在于混淆定义域和值域的概念，导致对函数的理解不准确。
2. 复合函数的求解复合函数是指由两个或多个函数组合而成的新函数。
在求解复合函数时，经常出现的错误是忘记正确地套用函数的定义，或者在计算中出现代数错误，导致最终结果错误。
3. 一元二次方程的解法一元二次方程是高中数学中的重点内容，容易在解题过程中出现错误。
常见的错误包括忘记正确的二次方程求解公式，代数计算错误以及在求解过程中舍去多余解或遗漏解。
二、几何与三角学1. 相似三角形的判定条件相似三角形地判定条件是重要的几何概念，错误的理解或使用条件会导致相似三角形的判定错误。
常见的错误包括忘记三个对应角相等的条件，或者错误地使用比例关系。
2. 平面几何图形的计算在计算平面几何图形的面积或周长时，容易忽略或误用相应公式，导致结果错误。
常见的错误包括计算三角形面积时使用错误的公式，或者计算多边形周长时未正确累加所有边长。
3. 三角函数的基本关系与计算三角函数是数学中的重要概念，涉及到角度与边长之间的关系。
易错点包括混淆正弦、余弦和正切的定义，以及在计算中使用错误的单位或角度制。
三、概率与统计1. 随机变量的概念与特性随机变量是概率与统计中的核心概念，容易混淆随机变量与事件的概念，导致对随机变量的理解不准确。
另外，容易忘记随机变量的均值和方差的计算公式，从而在计算中出现错误。
2. 概率的加法与乘法规则概率的加法规则适用于两个或多个互斥事件的计算，而乘法规则适用于两个或多个独立事件的计算。
易错点在于错误地使用加法或乘法规则，或者忘记考虑条件概率的影响。
3. 统计图表的正确读取与分析统计图表是展示数据分布和趋势的重要工具，容易在读取和分析图表时出现错误。
常见的错误包括读取图表时出现偏差，或者未能正确地解读图表中的趋势和关联。
高数易错知识点
1.y=arc sinx的定义域为《-1，1》，因为为y=sinx的反函数，定义域为值域。
2.f（1）的导数为03.∞/∞不好求导时，上下同时除以最高次项，直接得出1/x趋于04.求极限①0/0型去公因式（分母有理化、等价无穷小量的代换）洛必达法则②∞/∞型（有结论）有些根号里面可以开出的不能直接用结论，上下同时除以最高次洛必达法则③有规律型结合等差等比数列求和公式④∞-∞型根式-根式=除以有理化因式，化为0/0或者∞/∞再继续做⑤无穷小量乘以有界变量=无穷小量（cosx sinx 1/x的出现）sinx^2或者（sinx）^2或者cosx^2或者（cosx）^2都可以用等价无穷小量的代换⑥∞/∞型0/0型的反推极限存在而分母趋于0，则分子必趋于0，否则原式=无穷第一步：求分子极限趋于0第二步：用洛必达法则对整式求解（可以求出其中一个a/b）注意整式也要通分化为分数形式（本质：lima/b=c或者0或者无穷）⑦夹逼定理求极限：有规律但不可以通分相加分母后一个比前一个大一分子相加/最大的分母<=原式<=分子相加/最小的分母（通常前后极限相等）⑧等价无穷小量的代换求极限：只能乘除中用（三角函数中比较多）tanx-sinx=tanx（1-cosx）先化tanx这一个！！⑨两个重要极限：1的无穷（1+x）^1/x 只能是+，否则要换号，指数一起换！！可以根据+的x凑指数，指数先乘以1/x再乘以x5.无穷小量的分类：求极限0（高阶）无穷（低阶）1/c（同阶/等价）6.根号-根号=有理化7.间断点分类：在某点处无定义，间断点求在该点处的极限，=无穷（二类无穷间断点）=C（一类可去间断点）左右极限不相等（一类跳跃间断点）8.介值定理：证明存在一个实根→存在一个解→证明连续左端点连续（+）+右端点连续（-）由介值定理可知，在区间上存在一点使得原式成立。
1、求极限 011()1lim x x xe →-- 1．解：0001111()1(1)1lim lim lim x x x x x x x x x e x e x e x e e xe→→→----==---+ (+4分) 0122lim x x x x e e xe →==+ (+3分)2.求22212lim ()12n n n n n n→+∞++++++L 2.解：因22222(1)12122()12n n n n n n n n n n n n ++++=≤++++++++L L222212121122n n n n n n n n n +++++++≤=+++L L (+4分) 且 2(1)1lim ,2()2n n n n n →∞+=+ 11lim ,22n n n →∞+=根据夹逼定理知， 22212lim ()12n n n n n n →+∞++++++L =1.23.求不定积分2sin x xdx ⎰3.解：2222sin cos cos cos x xdx x x xdx d x x =-=-+⎰⎰⎰….…(+3分)22sin cos 2cos 2sin 2sin xd x x x x x x x xdx ==-+-+-⎰⎰2cos 2sin 2cos x x x x x C =-+++ …(4.求不定积分2x x dx e ⎰4．解：2x x dx e ⎰222x x x x e xe dx d x e ==-⎰⎰ (+3分)22222()(22)x x x x x x xde e d x e x e xe x e x x c =-=--=-++⎰⎰ (+4分)5.求不定积分：dx x e x ⎰2cos5. dx x e x e de x dx x e x x x x )2sin 2(2cos 2cos 2cos --==⎰⎰⎰ ----(3分) )2cos 22sin (22cos 2sin 22cos x e x e x e xde x e x x x x x ⎰⎰-+=+= -----（5分） 所以C x e x e dx x e x x x ++=⎰)2sin 22cos (512cos (用两次取等，上去换位置上去换位置)6．要做一个圆柱形油罐，体积为V ，问圆柱形油罐的半径r 与高h 应如何选取，使圆柱形油罐的表面积最小？6.解：设圆柱形油罐为半径r ，高为h 应，所以圆柱形油罐的体积为2V r h π=，面积为 222222V S r rh r r πππ=+=+， (+3分)224r V S r r π'=-，令0r S '=，则有r =，2h r =。
高考数学出错知识点
高考数学出错知识点近年来，随着高考数学难度的增加，考生对于数学出错知识点的关注也越来越高。
本文将详细介绍高考数学中常见的出错知识点，帮助广大考生避免犯错，取得好成绩。
一、函数知识点容易出错1.函数概念混淆：有些考生经常将函数的自变量和因变量搞混，这是一个常见的错误。
函数的自变量是指函数中的变量，而因变量则是由自变量决定的变量。
2.函数运算错误：在进行函数的加、减、乘、除等运算时，考生容易出错。
在进行函数运算时，需要正确对函数进行合并、分解等操作。
3.反函数的理解不准确：有关反函数的相关概念，考生容易混淆。
反函数是指一个函数f的逆函数，记为f的倒数。
考生在使用反函数时，需要注意区分正函数和反函数之间的关系。
二、概率与统计中容易出错的知识点1.概率的计算错误：在计算概率时，考生容易犯错。
计算概率时，需要根据事件的样本空间和样本点进行确定，而不是随意计算。
2.核心概念混淆：在统计学中，考生容易混淆样本均值和总体均值、样本方差和总体方差等概念。
考生需要明确这些概念的含义和计算方法。
3.抽样调查错误：在进行抽样调查时，考生经常犯错。
抽样调查需要满足一定的条件，而不是随意进行，否则会导致结果的不准确。
三、函数与方程中容易出错的知识点1.解方程错误：在解方程时，考生容易漏项、错项或者运算错误。
在解方程的过程中，要仔细检查每一步是否正确，保证解答的准确性。
2.函数的性质混淆：在讨论函数的增减性、单调性和最值等性质时，考生容易混淆。
对于函数的性质要有清晰的理解，并运用正确的方法来推导和分析。
3.函数图像认知错误：在绘制函数图像时，考生容易出错。
对于不同函数类型，考生应该熟悉其图像特点，并正确绘制。
四、几何中常见的出错知识点1.平行线与垂直线的判断错误：在判断平行线和垂直线时，考生容易混淆。
考生需要掌握判断平行线和垂直线的准确方法。
2.图形对称性分析错误：在分析图形的对称性时，考生容易出错。
对于不同类型的对称图形，考生需要准确判断其对称轴和对称点。
2024年历年高考数学易错知识点总结
2024年历年高考数学易错知识点总结2024年的高考数学考试易错知识点总结如下：
1. 函数与方程：易错点包括函数的定义域与值域、函数的奇偶性、解方程时的取值范围、解不等式时的符号变化等。
2. 三角函数与三角恒等式：易错点包括三角函数的定义、基本的三角恒等式的熟练掌握、解三角方程时的值域判断等。
3. 平面几何与立体几何：易错点包括平面图形的面积计算、立体图形的体积计算、立方体、正方体、圆锥体等几何体的计算等。
4. 概率与统计：易错点包括概率计算中的排列组合、事件的独立性与互斥性、统计数据的分析与解读等。
5. 导数与微分：易错点包括导数的定义与性质、函数的最值与最值点的求解、曲线的切线与法线方程的求解等。
6. 数列与数列极限：易错点包括数列的通项公式的求解、等差数列与等比数列的性质及求和公式、数列极限的判断与计算等。
7. 矩阵与行列式：易错点包括矩阵的加减乘除、对角矩阵、单位矩阵与逆矩阵的求解、行列式的性质与计算等。
8. 模型与实际问题：易错点包括问题的分析与建模、转化为数学问题的能力、解答实际问题时的合理性判断等。
以上是2024年高考数学考试易错知识点的总结，考生可以针对这些知识点进行有针对性的复习和备考，提高解题的准确性和效率。
高等数学易错知识点
1 ) n−2 n
=
+∞
．
即无限多个无穷小量的积是一个发散的数列．
有限个无穷小量的积是无穷小量，这性质同样不能推广到无限多个无穷小量的乘积上
去．这是因为每个无穷小量只是在变化的某个时刻后才任意小，而在这时刻之前变量可以有
较大的值．如果在构造这无穷多个无穷小量时，让其进入任意小的时刻构成一个趋于无穷大
例 ： f (x) = x −[x], g(x) = cos x. f (x)以1为周期，g(x)以2π为周期，而f (x) +
g(x) = x −[x] + cos x 却不是周期函数。
3. 有界函数与无界函数之积未必无界。
例 1：f (x) = 0, g(x) = x ，在区间 (−∞, +∞) 内 f (x) 有界，g(x) 无界，而 f (x)g(x) = 0 却在区间 (−∞, +∞) 内有界。 例 2： f (x) = e−x , g(x) = x ，在区间 (0, +∞) 内 f (x) < 1, 而 g(x) 是无界的， f (x)g(x) = xe−x ，因为 lim xe−x = 0 ，从而易见 f (x)g(x) 在区间 (0, +∞) 内是有界的。
因为对任给 ε > 0, 存在δ = ε , 对 a = 0 的δ 邻域内的任何一点 x,
若 x 为无理数,则 ϕ(x) − 0 = 0 − 0 = 0 < ε ; 若 x 为有理数 p , 其中 p,q 为互质整数,且 q>0, q
则 ϕ(x) − 0 = 1 ≤ p = x − 0 < δ = ε , 所以 limϕ(x) = 0 .
= n −1 + 1 =1 . nn
高数易错知识点整理
高数易错知识点整理1.连续求和与数列求和在高数中，经常会遇到连续求和与数列求和的问题。
连续求和是指连续相加的操作，而数列求和是指将一个数列中的数相加的操作。
在连续求和中，常见的公式有等差数列求和公式和等比数列求和公式。
等差数列求和公式如下所示：S_n = (a_1 + a_n) * n / 2其中，S_n表示前n项的和，a_1表示首项，a_n表示末项，n表示项数。
而等比数列求和公式如下所示：S_n = a_1 * (q^n - 1) / (q - 1)其中，S_n表示前n项的和，a_1表示首项，q表示公比，n表示项数。
在数列求和时，我们需要注意判断数列的性质（等差数列、等比数列等），并根据相应的求和公式计算。
2.极限与绝对值求函数的极限是高数中的重要知识点，而当函数中包含绝对值时，求极限会更加复杂。
对于绝对值函数f(x) = |x|，当x的取值趋近于0时，f(x)的极限是0。
因此，在求解包含绝对值的函数的极限时，我们可以将其拆分为两个部分，分别考虑x趋近于正0和负0的情况。
举例来说，求极限lim(x->0) (|x| / x)，我们可以分为两个部分：lim(x->0+) (|x| / x) = lim(x->0+) (x / x) = lim(x->0+) 1 = 1lim(x->0-) (|x| / x) = lim(x->0-) (-x / x) = lim(x->0-) -1 = -1因此，整个函数的极限是不存在的。
在求解涉及绝对值的极限时，我们需要仔细分析函数在极限点附近的性质，并结合数列极限的概念进行分析。
3.导数与微分在高数中，导数与微分是两个重要的概念。
导数表示函数在某一点的变化率，而微分则表示函数的微小变化。
对于一个函数f(x)，其导数可以通过求解极限来计算：f'(x) = lim(h->0) (f(x+h) - f(x)) / h其中，h表示无穷小的增量。
2024年历年高考数学易错知识点总结
2024年历年高考数学易错知识点总结1.函数与方程组的解法：在解函数与方程组的问题时，容易发生以下错误：- 求解过程的中间步骤错误：在计算过程中，容易出现计算错误、代入错误等，导致最终结果错误。
- 对特殊情况的处理错误：对于特殊情况需要进行特殊处理的问题，容易忽略或处理错误，导致最终结果错误。
- 求解思路错误：在解题思路上出现偏差或错误，导致最终结果错误。
2.立体几何的计算：在处理立体几何计算问题时，容易发生以下错误：- 图形的属性判断错误：在判断图形属性时，容易忽略或判断错误，导致最终结果错误。
- 参数的计算错误：在计算过程中，容易忽略或计算错误，导致最终结果错误。
- 提取关键信息错误：在题目中提取关键信息时，容易忽略或提取错误，导致最终结果错误。
3.概率与统计的计算：在处理概率与统计计算问题时，容易发生以下错误：- 事件之间的关系判断错误：在判断事件之间的关系时，容易忽略或判断错误，导致最终结果错误。
- 计算过程中的逻辑错误：在计算过程中，容易出现逻辑错误，导致最终结果错误。
- 概率计算的精度问题：在计算概率时，容易忽略或计算精度不够，导致最终结果错误。
4.平面几何的计算：在处理平面几何计算问题时，容易发生以下错误：- 图形的性质判断错误：在判断图形的性质时，容易忽略或判断错误，导致最终结果错误。
- 计算过程中的精度问题：在计算过程中，容易忽略或计算精度不够，导致最终结果错误。
- 坐标系的选择错误：在选择坐标系时，容易选择错误，导致最终结果错误。
5.数列与数学归纳法：在处理数列与数学归纳法问题时，容易发生以下错误：- 数列的性质判断错误：在判断数列的性质时，容易忽略或判断错误，导致最终结果错误。
- 数列的递推关系错误：在求解数列的递推关系时，容易忽略或求解错误，导致最终结果错误。
- 数学归纳法的应用错误：在应用数学归纳法时，容易出现推导或应用错误，导致最终结果错误。
6.导数与微分：在处理导数与微分问题时，容易发生以下错误：- 函数的求导错误：在求解函数的导数时，容易忽略或求解错误，导致最终结果错误。
2024年高考数学易错知识点总结
2024年高考数学易错知识点总结一、函数与导数1. 极限与连续- 对于函数极限的计算，要注意分母为0的情况，可以通过分子分母同时除以最高次的幂来进行化简- 对于无穷小与无穷大的计算，要掌握常用的等价无穷小，如lim(x→0)sinx/x=1，lim(x→+∞)x^n/Exp(x)=0- 判断函数的连续性时，要注意在函数定义域内是否有间断点，如分段函数、有理函数在分母为0时的情况等2. 函数及其性质- 函数的单调性判断，可以通过导数的正负来判断，但要注意导数为0的点，以及临界点的处理- 判断函数的最值时要分析临界点和区间端点处的函数值- 函数的奇偶性和周期性的判断，要利用函数与自身进行运算的性质，如f(-x)=f(x)为偶函数，f(x+T)=f(x)为周期函数3. 导数与应用- 导数的定义和计算要熟练，并注意在计算过程中的合并、分解、化简等操作- 对于复合函数的导数计算，要掌握链式法则和导出对应关系- 有关曲线的切线、法线等问题，要根据给定条件利用导数求解二、数列与数学归纳法1. 数列的概念和性质- 数列的概念和表示要清楚，包括通项公式、递推公式、前n 项和等- 数列的性质中，等差数列和等比数列的公式要熟记，并能根据给定条件求解未知量2. 数列极限- 数列极限的概念要清楚，与函数极限的差异也要明确- 数列极限的计算要根据给定条件选择合适的方法，如加减常数法、乘除常数法、夹逼定理等- 数列极限的存在性要搞清楚，在给定条件下是否收敛或发散3. 数学归纳法- 数学归纳法的基本思想要掌握，并能正确运用到具体问题中- 数学归纳法的证明步骤要清晰，包括验证基本步骤、假设n=k成立时推导出n=k+1成立等三、概率与统计1. 概率的计算- 简单事件与复合事件的计算，要注意乘法原理与加法原理的运用- 条件概率的计算要用到乘法定理，注意条件的约束关系- 事件的独立性要根据给定条件进行判断，注意独立事件与互不相容事件的区别2. 随机变量与概率分布- 随机变量的概念与分类要明确，包括离散型随机变量和连续型随机变量- 概率分布的计算要找出随机变量的取值范围和对应的概率，并计算期望、方差等相关指标3. 统计与抽样- 统计调查的基本概念和方法要掌握，包括调查对象、抽样方法等- 样本参数与总体参数的关系要明确，并能根据样本数据估计总体参数- 统计推断与假设检验的基本原理要理解，包括零假设、备择假设的设定、显著性水平等四、解析几何1. 平面与直线- 二维坐标系的建立和性质要掌握，包括斜率、距离等基本公式的运用- 直线的方程要能够根据给定条件写出，并能进行相交、平行等关系的判断2. 曲线与圆- 圆的方程要熟记，并能根据给定的条件求解未知量- 椭圆、双曲线等的方程和性质要了解，包括焦点、准线等概念3. 空间几何- 三维空间直角坐标系的建立和性质要掌握，包括点的坐标表示以及与直线、平面的关系等- 二次曲面的方程和性质要了解，包括球面、椭球面等的概念以上为2024年高考数学易错的知识点总结，建议同学们在备考过程中重点关注这些知识点，加强理解和巩固。
2024年高考数学最易失分知识点总结
2024年高考数学最易失分知识点总结随着高考科目数学的改革，考试内容和考试形式都在不断变化，但是总体来说，高考数学的出题思路和考查点并未发生太大变化。
根据近年高考数学试题的分析，我们可以总结出一些容易导致失分的知识点。
下面是2024年高考数学最易失分的知识点总结：一、函数与方程1. 函数的定义和性质在考试中，常常会涉及到对函数的定义、函数的性质、函数图像的绘制等问题，这是学生容易出错的一个知识点。
一些常见的错误包括对函数的定义不够准确、不理解函数的性质、绘制函数图像时不符合函数的定义域等。
2. 一次函数与二次函数的性质一次函数和二次函数是高考数学中最常见的函数类型，对于这两类函数的性质要熟悉掌握。
一次函数涉及到直线的斜率和截距，二次函数涉及到抛物线的顶点、焦点、对称轴等概念。
不理解这些性质会导致在解题过程中出现偏差。
3. 求解方程求解方程是高考数学中的基本题型，要掌握各种方法和技巧。
一些常见的错误包括未注意解析解的存在性、对方程的变形不熟练、未注意特殊解的存在等。
二、几何与向量1. 平面几何基本定理和性质平面几何基本定理和性质是高考数学中的重点，要牢记各种定理和性质，并能熟练应用到解题中。
一些常见的错误包括对基本定理的不理解、应用错误的定理、判断条件不准确等。
2. 向量的运算求向量数量积、向量叉积等是高考数学中的重要内容，要熟练掌握向量运算的定义和性质。
一些常见的错误包括计算错误、向量的表示方法不准确等。
3. 圆与圆的位置关系圆与圆的位置关系是高考数学中的难点，涉及到圆的切线、切点、相交、内切、外切等问题。
一些常见的错误包括判断不准确、对位置关系的认识不准确等。
三、数列与数学归纳法1. 数列的概念和性质数列是高考数学中的重点内容，要掌握数列的概念、数列的通项公式、数列的性质等。
一些常见的错误包括对数列的概念不理解、对数列的通项公式使用不熟练等。
2. 数列的求和数列的求和是高考数学中的常见问题，要熟练掌握各种求和方法和技巧。
高考数学66个易混易错点汇总
一、集合与函数1.进行集合的交、并、补运算时，不要忘了全集和空集的特殊情况，不要忘记了借助数轴和文氏图进行求解。
2.在应用条件时，易忽略是空集的情况3.你会用补集的思想解决有关问题吗?4.简单命题与复合命题有什么区别?四种命题之间的相互关系是什么?如何判断充分与必要条件?5.你知道“否命题”与“命题的否定形式”的区别。
6.求解与函数有关的问题易忽略定义域优先的原则。
7.判断函数奇偶性时，易忽略检验函数定义域是否关于原点对称。
8.求一个函数的解析式和一个函数的反函数时，易忽略标注该函数的定义域。
9.原函数在区间[-a，a]上单调递增，则一定存在反函数，且反函数也单调递增;但一个函数存在反函数，此函数不一定单调。
10.你熟练地掌握了函数单调性的证明方法吗?定义法(取值，作差，判正负)和导数法。
11.求函数单调性时，易错误地在多个单调区间之间添加符号“∪”和“或”;单调区间不能用集合或不等式表示。
12.求函数的值域必须先求函数的定义域。
13.如何应用函数的单调性与奇偶性解题?①比较函数值的大小;②解抽象函数不等式;③求参数的范围(恒成立问题)。
这几种基本应用你掌握了吗?14.解对数函数问题时，你注意到真数与底数的限制条件了吗?(真数大于零，底数大于零且不等于1)字母底数还需讨论15.三个二次(哪三个二次?)的关系及应用掌握了吗?如何利用二次函数求最值?16.用换元法解题时易忽略换元前后的等价性，易忽略参数的范围。
17.“实系数一元二次方程有实数解”转化时，你是否注意到：当时，“方程有解”不能转化为。
若原题中没有指出是二次方程，二次函数或二次不等式，你是否考虑到二次项系数可能为的零的情形?二、不等式18.利用均值不等式求最值时，你是否注意到：“一正;二定;三等”。
19.绝对值不等式的解法及其几何意义是什么?20.解分式不等式应注意什么问题?用“根轴法”解整式(分式)不等式的注意事项是什么?21.解含参数不等式的通法是“定义域为前提，函数的单调性为基础，分类讨论是关键”，注意解完之后要写上：“综上，原不等式的解集是……”。
高考数学108个易错点总结
⾼考数学108个易错点总结⼀定别忘了带圆规，直尺，按照顺序答，不要倒着答1.集合题看好给的范围，看清代表元素是什么！看清属于什么集合，是数集还是点集，是x还是y2.集合注意是∩还是∪，是集合数还是⼦集数，注意限制条件。
看清x是否属于N，或者属于Z,看清是N还是N*。
⼦集问题注意空集则3.看清是命题的否定还是否命题，命题的否定只否结论，存在任意互换4.A并B都假才假，A交B⼀假则假，前推后充分性，后推前必要性，⼩范围推导⼤范围5.复数:看清是复数还是共轭复数，虚部不带i6.7.复数:弄清实部和虚部（，虚部不带i）；看清求共轭复数（共轭复数是虚部为相反数）还是复数，注意z|z|－z8.对于复数的选择题要再三确认所求应为（1）原复数还是共轭（2）是否是实或虚部（3）表示模⻓，模⻓是数字9.函数的定义域优先，注意ln后括号中整体⼤于零10.指数函数注意值域，对数函数注意定义域11.导数算题之前⼀定要先写定义域12.导数在部分问题所求的解，是问题的充分不必要条件，要把所得答案带回原始证明必要性（端点效应）13.函数上下平移后对称中⼼的纵坐标也变14.使导函数为零的点不⼀定是极值点，求参后代回检验，求极值要证左右单调性15.导数讨论时不要忘记未知数等于边界的情况，不要⼤于⼩于讨论完就不管了16.单调函数和值域取值时是否可以反超17.导数使⽤切线放缩证明问题时，需要先证明灵魂不等式的成⽴18.利⽤导数求切线⽅程要注意“在某点处”还是“过某点”19.画导数图像时考虑原函数的范围20.求单调区间时结果应包含整个定义域，单调区间不能并21.考虑导数构造前后函数的奇偶性22.使⽤零点存在性定理是要先判断是否单调23.画图像注意考虑极限思想，渐近线，图像注意是否穿过x轴24.导数⼤题的第⼀问偶尔会出现考虑不周的情况，⼤题有时书写较乱也是扣分点之⼀25.（⽂科）求三棱锥体积，⾼要证明，证出⾼后要写⼀步XX即为三棱锥的⾼26.正（⻓）⽅体体对⻆线是2R27.异⾯直线所成⻆范围（0,π/2）28.三视图别把四棱锥看成三棱锥29.⽴体⼏何题⼲问是否存在～，使得～，要留空写存在或者不存在30.⽴体⼏何中注意平移直线找到平⾏⾯，注意特殊图形的特点（如菱形对⻆线垂直等）31.⽴体证明⾯⾯平⾏要先证明同⼀⾯上两条相交直线各⾃平⾏另⼀个⾯，线⾯垂直先证线与⾯内两相交直线垂直31.⽴体⼩题中注意补体思想32.球的体积⾯积公式不要弄混33.线⾯平⾏的证明要注意写出所证直线不在平⾯内。
高中数学易错知识梳理
高中数学易错知识梳理高中数学知识体系庞大，概念繁多，很多同学在学习过程中容易出现错误。
为了帮助同学们更好地掌握数学知识，提高解题能力，下面对高中数学中一些易错的知识点进行梳理。
一、集合与函数1、集合中的元素特性易错点：忽略集合中元素的互异性。
例如，集合{1，2，a}，若 a＝ 1 或 2 时，就不满足元素的互异性。
2、空集易错点：空集是任何集合的子集，但容易忽略空集是某些集合的真子集。
例如，若集合 A ＝｛x ｜ x² 2x ＋ 1 ＝ 0} ＝｛1}，则空集是集合 A 的真子集。
3、函数的定义域易错点：求函数定义域时，容易忽略分母不为零、偶次根式下被开方数非负、对数函数的真数大于零等条件。
例如，函数 f(x) ＝ 1 ／（x 1)，定义域为x ≠ 1。
4、函数的单调性易错点：对函数单调性的定义理解不透彻，错误地认为函数在某个区间内的导数值大于零就是单调递增，小于零就是单调递减。
实际上，还需要考虑导数值为零的点。
5、函数的奇偶性易错点：判断函数奇偶性时，忽略函数定义域关于原点对称这个前提条件。
例如，函数 f(x) ＝√（x ＋ 1) ，其定义域为x ≥ －1 ，不关于原点对称，所以该函数既不是奇函数也不是偶函数。
二、三角函数1、三角函数的定义易错点：在利用三角函数定义求角的三角函数值时，忽略角所在的象限，导致符号错误。
2、诱导公式易错点：记错诱导公式，导致化简或计算错误。
例如，sin(π α) ＝sinα ，cos(π ＋α) ＝cosα 等。
3、三角函数的图象和性质易错点：对三角函数的周期性、对称性、最值等性质理解不深入。
例如，函数 y ＝sin(ωx ＋φ) 的周期为 T ＝2π ／｜ω| ，对称轴为 x ＝（kπ ＋π ／2 φ) ／ω （k∈Z）。
4、解三角形易错点：在解三角形时，使用正弦定理或余弦定理时忽略角的范围，导致多解或漏解。
三、数列1、等差数列和等比数列的通项公式易错点：记错公式或者在运用公式时，忽略首项和公差（公比）的取值。
高数易错知识点
1.y=arc sinx的定义域为《-1，1》，因为为y=sinx的反函数，定义域为值域。
2.f（1）的导数为03.∞/∞不好求导时，上下同时除以最高次项，直接得出1/x趋于04.求极限①0/0型去公因式（分母有理化、等价无穷小量的代换）洛必达法则②∞/∞型（有结论）有些根号里面可以开出的不能直接用结论，上下同时除以最高次洛必达法则③有规律型结合等差等比数列求和公式④∞-∞型根式-根式=除以有理化因式，化为0/0或者∞/∞再继续做⑤无穷小量乘以有界变量=无穷小量（cosx sinx 1/x的出现）sinx^2或者（sinx）^2或者cosx^2或者（cosx）^2都可以用等价无穷小量的代换⑥∞/∞型0/0型的反推极限存在而分母趋于0，则分子必趋于0，否则原式=无穷第一步：求分子极限趋于0第二步：用洛必达法则对整式求解（可以求出其中一个a/b）注意整式也要通分化为分数形式（本质：lima/b=c或者0或者无穷）⑦夹逼定理求极限：有规律但不可以通分相加分母后一个比前一个大一分子相加/最大的分母<=原式<=分子相加/最小的分母（通常前后极限相等）⑧等价无穷小量的代换求极限：只能乘除中用（三角函数中比较多）tanx-sinx=tanx（1-cosx）先化tanx这一个！！⑨两个重要极限：1的无穷（1+x）^1/x 只能是+，否则要换号，指数一起换！！可以根据+的x凑指数，指数先乘以1/x再乘以x5.无穷小量的分类：求极限0（高阶）无穷（低阶）1/c（同阶/等价）6.根号-根号=有理化7.间断点分类：在某点处无定义，间断点求在该点处的极限，=无穷（二类无穷间断点）=C（一类可去间断点）左右极限不相等（一类跳跃间断点）8.介值定理：证明存在一个实根→存在一个解→证明连续左端点连续（+）+右端点连续（-）由介值定理可知，在区间上存在一点使得原式成立。
1、求极限 011()1lim x x xe →-- 1．解：0001111()1(1)1lim lim lim x x x x x x x x x e x e x e x e e xe→→→----==---+ (+4分) 0122lim x x x x e e xe →==+ (+3分)2.求22212lim ()12n n n n n n→+∞++++++L 2.解：因22222(1)12122()12n n n n n n n n n n n n ++++=≤++++++++L L222212121122n n n n n n n n n +++++++≤=+++L L (+4分) 且 2(1)1lim ,2()2n n n n n →∞+=+ 11lim ,22n n n →∞+=根据夹逼定理知， 22212lim ()12n n n n n n →+∞++++++L =1.23.求不定积分2sin x xdx ⎰3.解：2222sin cos cos cos x xdx x x xdx d x x =-=-+⎰⎰⎰….…(+3分)22sin cos 2cos 2sin 2sin xd x x x x x x x xdx ==-+-+-⎰⎰2cos 2sin 2cos x x x x x C =-+++ …(4.求不定积分2x x dx e ⎰4．解：2x x dx e ⎰222x x x x e xe dx d x e ==-⎰⎰ (+3分)22222()(22)x x x x x x xde e d x e x e xe x e x x c =-=--=-++⎰⎰ (+4分)5.求不定积分：dx x e x ⎰2cos5. dx x e x e de x dx x e x x x x )2sin 2(2cos 2cos 2cos --==⎰⎰⎰ ----(3分) )2cos 22sin (22cos 2sin 22cos x e x e x e xde x e x x x x x ⎰⎰-+=+= -----（5分） 所以C x e x e dx x e x x x ++=⎰)2sin 22cos (512cos (用两次取等，上去换位置上去换位置)6．要做一个圆柱形油罐，体积为V ，问圆柱形油罐的半径r 与高h 应如何选取，使圆柱形油罐的表面积最小？6.解：设圆柱形油罐为半径r ，高为h 应，所以圆柱形油罐的体积为2V r h π=，面积为 222222V S r rh r r πππ=+=+， (+3分)224r V S r r π'=-，令0r S '=，则有r =，2h r =。
高考数学18个易错知识点
高考数学18个易错知识点考试是每个考生都要面对的一场重要考试，而数学考试中总会有些易错的知识点让考生们头疼不已。
以下将介绍中的18个易错知识点，帮助考生们更好地备考和应对高考。
一、平方差公式平方差公式的应用非常广泛，但很多考生容易在运用时出错。
平方差公式的形式是：(a+b)(a-b)=a²-b²考生在运用平方差公式时，首先要将式子化简，再进行计算。
此外，还要注意运用平方差公式的时机和条件是否符合。
二、向量的坐标表示在向量的坐标表示中，很多考生容易出现弄反或漏写坐标的情况。
在使用向量的坐标表示时，要格外小心，确保坐标的正确性，避免计算错误。
三、三角函数的定义域和值域在求解三角函数的定义域和值域时，考生们往往会遗漏或混淆一些常见角度的范围。
因此在备考过程中，要重点掌握各个三角函数的定义域和值域，加强记忆和理解。
四、二次函数的图像二次函数的图像在中是重点和难点。
考生们容易在画图时弄错横坐标和纵坐标的方向，或者忽略关键点。
因此，在备考时，要细致入微地分析二次函数的特性和图像的绘制方法。
五、函数的奇偶性判断函数的奇偶性也是考试中的一道常见题型。
考生们容易在判断过程中出现计算错误或判断错误的情况。
因此，备考时要充分理解函数的奇偶性的定义和性质，多做例题进行巩固。
六、概率问题概率问题是高考中的常见题型，但很多考生在计算过程中容易出错。
在解决概率问题时，要注意列出概率空间和事件，并根据题目给出的条件进行计算，避免计算错误和逻辑错误。
七、直线的方程直线的方程是中的基本知识点，但很多考生在转换斜率和截距、利用已知点求方程等环节容易出错。
因此，在备考中要熟悉直线的各种方程形式，并能熟练地进行方程的转换和运算。
八、立体图形的体积和表面积立体图形的体积和表面积计算是中的重要内容，但很多考生容易计算错维度、忽略某些面或边等。
在备考过程中，要熟悉各种立体图形的计算公式，并注意问题的维度和条件。
九、逻辑推理与证明逻辑推理与证明是中的较难的内容，但也是容易得分的一部分。
高考数学易错知识点77条
高考数学易错知识点77条数学作为高考必考科目之一，是很多学生最头疼的科目之一。
在备考过程中，有些知识点常常容易出错，给学生带来很大的困扰。
本文总结了高考数学中的77个易错知识点，希望能够帮助同学们避免在考试中犯这些常见错误。
1. 几何中，不等式符号颠倒易错，例如：两个角度相等，结果却写成大于等于。
2. 不等式两边开根号时，符号方向要重新判断，不可直接套用。
3. 列方程时，变量的取值范围要根据实际情况来判断。
4. 对数运算中，底数小于等于1时，要特别注意题目给出的取值范围。
5. 使用二项式定理时，注意多项式的展开与合并，以及次数对应正确。
6. 高斯消元法的使用，要注意每一步运算的正确性，避免漏操作。
7. 复数运算时，虚数单位$i$的运算性质要熟练掌握，不能混淆。
8. 幂运算的注意力易集中在后面的指数运算上，前面的系数往往容易忘记运算。
9. 函数的最值问题，要考虑函数的定义域和导数的变化。
10. 斜率的计算中，经常容易将坐标差值写错，导致结果错误。
11. 弧长角度的转换问题，要根据圆周角等于360度的性质来计算。
12. 选用不同坐标系时，要小心坐标的转换和计算错误。
13. 有些二次函数问题中，关于对称轴和顶点的求解容易出错，需要重点关注。
14. 空间几何中的计算容易出现错误，要多进行图形辅助分析。
15. 根据题目给出的条件来选择有关三角函数的公式，不能一概而论。
16. 正弦定理和余弦定理的使用要谨慎，要注意选择正确的比例关系。
17. 分数的运算中，一定要注意约分和通分，避免结果不准确。
18. 在融合物理与数学的题目中，要注意单位的换算和计算。
19. 单位根的运算需要分类讨论，不能忽略各种情况的比较。
20. 复合函数求导时，要小心使用链式法则，不要漏掉中间步骤。
21. 不等式的证明题中，要明确所使用的定理，步骤合理且清晰。
22. 在几何变换中，不同变换的性质要熟记，不能搞混。
23. 数据统计中，要注意选择正确的统计指标和统计方法。
高中数学最易失分知识点汇总(高考必备)
高中数学最易失分知识点汇总（高考必备）1、an与Sn关系不清致误在数列问题中，数列的通项an与其前n项和Sn之间存在下列关系：an=S1，n=1，Sn-Sn-1，n≥2。
这个关系对任意数列都是成立的，但要注意的是这个关系式是分段的，在n=1和n≥2时这个关系式具有完全不同的表现形式，这也是解题中经常出错的一个地方，在使用这个关系式时要牢牢记住其“分段”的特点。
2、对数列的定义、性质理解错误等差数列的前n项和在公差不为零时是关于n的常数项为零的二次函数；一般地，有结论“若数列{an}的前n项和Sn=an2+bn+c(a，b，c∈R)，则数列{an}为等差数列的充要条件是c=0”；在等差数列中，Sm，S2m-Sm，S3m-S2m(m∈N*)是等差数列。
3、数列中的最值错误数列问题中其通项公式、前n项和公式都是关于正整数n的函数，要善于从函数的观点认识和理解数列问题。
数列的通项an与前n项和Sn的关系是高考的命题重点，解题时要注意把n=1和n≥2分开讨论，再看能不能统一。
在关于正整数n的二次函数中其取最值的点要根据正整数距离二次函数的对称轴的远近而定。
4、错位相减求和项处理不当致误错位相减求和法的适用条件：数列是由一个等差数列和一个等比数列对应项的乘积所组成的，求其前n项和。
基本方法是设这个和式为Sn，在这个和式两端同时乘以等比数列的公比得到另一个和式，这两个和式错一位相减，就把问题转化为以求一个等比数列的前n项和或前n-1项和为主的求和问题.这里最容易出现问题的就是错位相减后对剩余项的处理。
5、遗忘空集致误由于空集是任何非空集合的真子集，因此B=∅时也满足B⊆A。
解含有参数的集合问题时，要特别注意当参数在某个范围内取值时所给的集合可能是空集这种情况。
6、忽视集合元素的三性致误集合中的元素具有确定性、无序性、互异性，集合元素的三性中互异性对解题的影响最大，特别是带有字母参数的集合，实际上就隐含着对字母参数的一些要求。
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高数易错点总结1.在什么情况下导函数在x=a处的右极限等于函数在x=a处的右导数？答：当函数在x=a处右连续的情况下结论成立，用洛必达罗比达法则，根据导数的定义分子分母分别求导，就可以得到正确的结论，在一个分段点（该点是函数的第一类间断点，右间断）两边分别为斜率相同但截距不同的一次函数就是一个反例，如y=2x+1(x<=1)，y=2x+3(x>1),虽然导函数在x=1处的左右极限都存在且相等但函数在x=1处的右导数不存在。
对于导函数在x=a处的左极限等于函数在x=a处的左导数也有类似结论。
2对于E(|X-Y|)与E(X-Y)在X-Y>0的情况下是否相同？答：对于离散型随机变量成立，对于连续型随机变量最好不要下这样的结论，因为后者在负无穷到正无穷做二重积分时要用到积分区间的可加性，把区间分成y=x的上方与下方两部分进行积分运算，被积函数在y=x的上方为f(x,y)*(y-x),下方为f(x,y)* (x-y).同理根据方差公式D(X)=E(X的平方)-[E(X)]的平方，所以D(|X-Y|)与D(X-Y)在X-Y>0易知对于方差也是同样道理的。
且对于方差在X-Y 小于0的情况下也有类似结论。
对于Z=max(X,Y) 求E（Z）,也可用此方法显得简便，被积函数在y=x的上方为f(x,y)* x，下方为f(x,y)* y。
对Z=min(X,Y)同理可推。
避免了先求F Z(z)= F x(z)* F Y(z)和F Z(z)=1-(1- F x(z))* (1- F Y(z)),再对z求导的麻烦。
3为什么有第一类间断点的函数不存在原函数？并举一个有第二类间断点的且存在原函数的函数。
答：用反证法，假设f(x)存在原函数F(x),因为F(x)处处连续,所以F(x)在x=a 处的左极限=F(x)在x=a处的右极限= F(x)在间断点x=a处的函数值，又因为F(x)处处可导，所以F(x)在x=a处的左导数=F(x) 在x=a处的右导数= F(x)的导函数在x=a处的函数值，换句话说就是f(x)在x=a处的左极限= f(x)在x=a的右极限= f(x)在间断点x=a处的函数值，（因为F(x)连续，所以F(x) 在x=a处的左右导数等于它在x=a处导函数的左右极限），这样f(x)在x=a处连续，与题设条件矛盾，所以原命题正确。
考察分段函数f(x)=2x*sin(1/x)-cos(1/x) x不等于0, f(x)=0当x=0时，当x趋于0时f(x)的左右极限都不存在，所以x=0是f(x)的第二类间断点。
但f(x)有原函数F(x)=x平方* sin(1/x) x不等于0，F(x)= 0当x=0时。
4对于被积函数或微分符号内有两个变量x与y的定积分该如何积分？答：这是要把思路拓宽，想一想一张平面除四个象限，两根轴以外，还有什么。
对于最典型的一次函数有斜率与截距两个要素，这时就可以设参数t=y-ax （截距式参数）t=y除x (斜率式参数)，根据题设的已知等式或方程组或y与x 的函数关系确定y与x的取值范围，从而就可以算出t=y-ax或t=y除x的取值范围(a为一次函数的斜率)。
从而确定了积分的上下限，再把前面两个式子带入到被积函数或微分符号内，就化为一个简单的关于t的定积分。
从本题当中可以看出定积分的表达形式有三种，一是我们书本里经常看到的直角坐标，二是极坐标即r与角度（逆时针方向增大）的关系，第三种就是参数方程。
其中极坐标就是参数方程的特例。
5关于复合函数连续与可导的问题答：对于y=g(f(x)),只要u=f(x)在x=a处极限存在，y=g(u)在u=b {b=f(a)}处连续，则极限符号可以提到括号里面去，如果y=g(u)在u=b {b=f(a)}处可导，u=f(x)在x=a处不可导，则y=g(f(x)) )在x=a处可以可导也可以不可导。
如果y=g(u)在u=b{b=f(a)}处不可导，u=f(x)在x=a处不可导，则y=g(f(x)) )在x=a处可以可导。
比如内函数为u=f(x)=x+（x的绝对值），外函数为y=g(u)=u+（u的绝对值），虽然u=f(x)在x=0处不可导，y=g(u)在u=0处不可导,但是y=g(f(x))在x=0处可导。
6可积一定有界，但反过来不一定成立，举个反例答：狄利克雷函数，因为此函数当x趋于有理数时极限等于1，趋于无理数时极限等于0.在一个闭区域内有无穷多个有理数和无理数，所以该函数有无穷多个第一类间断点，与可积的条件有界连续或有有限个第一类间断点矛盾。
7如果一个函数在一个点x0处可导，能不能推出它在x0的某一领域内可导?答：不能，反例，f(x)=x平方，当x为无理数。
f(x)=0，当x为有理数，先考察在x=0处的可导性。
当函数从无理数趋于0时，导数为x平方除x，为x。
又x=0，所以导数为0。
当函数从有理数趋于0时，导数为0除x，为0。
所以函数在0处可导。
当x不为0处（设为x0处）的导数，分两种情况，一是在有理数处的导数，当函数从无理数趋于x0时，导数为x平方除x，为x，当函数从有理数趋于x0时，导数为0除x，为0，不相等所以不可导。
二是在无理数处的导数，当函数从无理数趋于x0时，导数为0除x，为0，当函数从有理数趋于x0时，导数为负x平方除x，为负x，不相等所以不可导。
8如何求两条异面直线的公垂线？答：思路一：根据给出的两条空间直线L1与L2的方程（可以是一般方程或是对称方程），求出它们的方向向量S1={m1,n1,p1}, S2={m2,n2,p2}.然后根据公式求出这两个向量的垂直向量S3={m3,n3,p3}，然后取包含S3的第一个平面上的一点（x,y,z）（任意一个未知的代数点）与L1上一已知点{a1,b1,c1},做向量S4={x-a1,y-b1,z-c1},根据S4, S1, S3三向量共面，混合积等于0，列出一个行列式，把它化为一个平面的一般方程。
同理取包含S3第二个平面上的一点（x,y,z）（任意一个未知的代数点）与L2上一已知点{a2,b2,c2},做向量S5={x-a2,y-b2,z-c2},根据S5, S2, S3三向量共面，混合积等于0，列出一个行列式，把它化为一个平面的一般方程。
联立这两个平面的一般方程，就得到了公垂线的一般方程。
思路二：设两个参数t与m, t为起始点的参数，m为步长参数，把L1先化为对称式方程，并设它等于t，然后写出x=x(t)，y=y(t),z=z(t)，再在L1上取一起始点A{ x(t), y(t), z(t)}然后根据公式求出这两个向量的垂直向量S3={a,b,c}，(a,b,c是三个具体的数)沿此向量取一步长m，,则A点沿公垂线平移的向量改变量为S={am,bm,cm},则终点为B{ x(t) -am, y(t) -bm, z(t)-cm},把它带入到L2的方程里去，便可求出参数t与m 的值，这样便可求出公垂线的方程。
9 注意第一类广义积分与上限或下限为0的第二类广义积分审敛法的区别分析：前者是无穷限积分，把函数与x分之一的p次方做比较，当p>1时，由审敛公式极限等于0或常数时，积分收敛。
当p<=1时, 由审敛公式极限等于常数或无穷大时，积分发散。
后者是在x=a处的被积函数为无界的积分，把函数与(x-a)分之一的p次方做比较，当p<1时, 由审敛公式极限等于常数或0时，积分收敛。
当p>=1时，由审敛公式极限等于无穷大或常数时，积分发散。
需要注意的是此时a=0，(x-a)分之一的p次方变成了x分之一的p次方，所以此处很容易出错，最重要的是要看一下被积函数在x=0处是否有界，有界属于前者，无界属于后者。
审敛时p的取值范围正好相反。
10 证明任何一个n阶排列都可以经过有限次对换变成自然排序，且变换次数与这个n阶排列具有相同的奇偶性。
证明：根据数学归纳法，设一个排列为k阶排列，先证明任何一个n阶排列都可以经过有限次对换变成自然排列。
当k=1时，结论显然成立。
假设当k=n-1时结论也成立，即j1j2到Jn-1可以变成123到n-1。
则对于k=n，当jn=n时，结论显然成立。
当jn不等于n时，则第一步先把jk(k为1到n-1的任意一个整数)它的值为n,与jn做对换，接下来的对换方法如同jn=n时，因为一个n阶排列可变为自然排列，所以自然排列也可以变为这个n阶排列，且变换次数相同，又因为自然排列是偶排列。
且一个偶排列经过奇数次对换变成奇排列，经过偶数次对换变成偶排列，所以命题得证。
11 隐函数求导的三大法则一等式两边对x求导二利用隐函数求导公式三等式两边取全微分12 关于二重积分的保向性的理解分析：因为积分区间相同，被积函数有大小比较关系，所以把两个积分相减，得到的式子大于零，就意味这两个曲顶柱体相减得到的一个上下面都是曲面的柱体，它在xoy面上方大于零，在xoy面下方小于零。
保向性在定积分与三重积分也成立。
对于不等式两边同时取极限也成立。
13 如果lim(n趋于无穷大)Xn*Yn=0,能不能说lim(n趋于无穷大)Xn=0,或lim(n趋于无穷大) Yn=0？答：不能，设数列{Xn}为0,1,0,2，0,3,0,4一直下去，其通项为1加上1的n 次方的和除以二再乘以n。
设数列{Yn}为1，0,2,0,3,0,4,0一直下去，其通项为1加上1的n-1次方的和除以二再乘以n。
这就是一个反例。
因为一个数列发散它可以有收敛的子数列。
14 关于幂级数逐项求导与逐项积分收敛区间不变，但收敛域的变化有什么规律?答：设幂级数逐项求导的收敛域为I1,原幂级数收敛域为I2，幂级数逐项积分的收敛域为I3，则I1< I2< I3,即幂级数逐项求导在端点（此处端点可分单侧和双侧两种，各针对这两种情况）处收敛，则原幂级数和幂级数逐项积分在端点处一定收敛，幂级数逐项积分在端点处发散，那么原幂级数和幂级数逐项求导在端点处一定发散。
幂级数逐项积分在端点处收敛，那么原幂级数和幂级数逐项求导在端点处可能收敛也可能发散，幂级数逐项求导在端点处发散，那么原幂级数和幂级数逐项积分在端点处可能收敛也可能发散。
15 “泰勒级数”与“泰勒展开式”是一个概念吗?答：不是，前者是要满足三个条件的后者，一是级数在展开点x0的某个领域内的任意一点的和的函数值S(x)必须等于这个函数f(x)在该点处的函数值，二是余项的极限要为零，三是级数在展开点的某个领域内的任意一点必须收敛。
16 注意div rot grad 的对象与结果分析：div是指散度，是把一个场A的分量P Q R分别对x,y,z求偏导，然后把三个结果相加。
应用主要是高斯公式，即先对空间一个场A，求出divA 对它在作用区域（注意该区域一定是体积封闭的）内的三重积分等于一个曲面微元点乘该点处的单位法向量，即把该点处的曲面微元向量化，变为(dydz, dxdz,dxdy),然后把场A的向量（P Q R）与(dydz, dxdz,dxdy)做点乘所得的结果再做第二类曲面积分,结果表示通量，是一个数。