二元一次方程应用归纳
二元一次方程应用题分类复习(整理)
- 1 -二元一次方程应用题分类复习日期: 2月 8日1、知道用方程组解决实际问题的一般步骤2、读懂并能找出实际问题中的各种形式表达的数量关系，列出方程组,得出问题的解答.列二元一次方程组解应用题（1)列二元一次方程组解应用题的一般步骤 ①设出题中的两个未知数； ②找出题中的两个等量关系;③根据等量关系列出需要的代数式,进而列出两个方程,并组成方程组； ④解这个方程组,求出未知数的值；⑤检验所得结果的正确性及合理性并写出答案． (２)用方程解决实际问题的几个注意事项①先弄清题意,找出相等关系,再按照相等关系来选择未知数和列代数式，比先设未知数,再找出含有未知数的代数式,再找相等关系更为合理．②“文字”与“图表”转换:有的应用题,用文字语言表达较难，就可以用表格或图形来分析，这样既直观，也易理解题意．③所列方程两边的代数式的意义必须一致,单位要统一，数量关系一定要相等. ④要养成“验”的好习惯,即所求结果要使实际问题有意义． ⑤不要漏写“答”，“设”和“答”都不要丢掉单位名称. ⑥分析过程可以只写在草稿纸上，但一定要认真．⑦对于可解的应用题，一般来说,有几个未知数,就应找出几个等量关系，从而列出几个方程,即未知数的个数应与方程组中方程的个数相等.例1:配套问题1． 某厂共有120名生产工人,每个工人每天可生产螺栓２5个或螺母２0个，如果一个螺栓与两个螺母配成一套,那么每天安排多名工人生产螺栓，多少名工人生产螺母，才能使每天生产出来的产品配成最多套分析:要使生产出来的产品配成最多套，只须生产出来的螺栓和螺母全部配上套，根据题意，每天生产的螺栓与螺母应满足关系式：每天生产的螺栓数×2＝每天生产的螺母数×1．因此，设安排x 人生产螺栓，ｙ人生产螺母,则每天可生产螺栓２５x 个,螺母20ｙ个，依题意,得120502201x y x y +=⎧⎨⨯=⨯⎩,解之,得20100x y =⎧⎨=⎩． 故应安排20人生产螺栓,1００人生产螺母．点评：产品配套是工厂生产中基本原则之一,如何分配生产力,使生产出来的产品恰好配套- 2 -成为主管生产人员常见的问题,解决配套问题的关键是利用配套本身所存在的相等关系,其中两种最常见的配套问题的等量关系是:(1)“二合一”问题:如果a 件甲产品和b 件乙产品配成一套,那么甲产品数的b 倍等于乙产品数的ａ倍,即a b=甲产品数乙产品数； (2)“三合一”问题:如果甲产品a 件,乙产品ｂ件,丙产品c 件配成一套,那么各种产品数应满足的相等关系式是：a b c==甲产品数乙产品数丙产品数．跟踪练习１、木工厂有28个工人,每个工人一天加工桌子数与加工椅子数的比是9：２0,现在如何安排劳动力，使生产的一张桌子与4只椅子配套？2、某车间有90名工人,每人每天平均能生产螺栓１5个或螺帽24个,要使一个螺栓配套两个螺帽,应如何分配工人才能使螺栓和螺帽刚好配套？3、现有1９0张铁皮做盒子，每张铁皮可做８个盒身或22个盒底,一个盒身与两个盒底配成一个完整的盒子,用多少张铁皮做盒身,多少张铁皮做盒底可以使盒身与盒底正好配套？ 例２、数字问题2.一个两位数,比它十位上的数与个位上的数的和大９;如果交换十位上的数与个位上的数,所得两位数比原两位数大2７，求这个两位数．分析:设这个两位数十位上的数为x ，个位上的数为ｙ,则这个两位数及新两位数及其之间的关系可用下表表示：十位上的数个位上的数对应的两位数相等关系 原两位数xｙ１0x ＋y１0ｘ+ｙ＝x ＋ｙ+９- 3 -解方程组109101027x y x y y x x y +=++⎧⎨+=++⎩,得14x y =⎧⎨=⎩,因此，所求的两位数是1４．点评：由于受一元一次方程先入为主的影响,不少同学习惯于只设一元,然后列一元一次方程求解,虽然这种方法十有八九可以奏效,但对有些问题是无能为力的,象本题,如果直接设这个两位数为x,或只设十位上的数为x,那将很难或根本就想象不出关于x 的方程．一般地,与数位上的数字有关的求数问题，一般应设各个数位上的数为“元”,然后列多元方程组解之.跟踪练习1、一个两位数，比它十位上的数与个位上的数的和大9;如果交换十位上的数与个位上的数,所得两位数比原两位数大2７，求这个两位数.２、一个两位数,十位上的数字比个位上的数字大５，如果把十位上的数字与个位上的数字交换位置,那么得到的新两位数比原来的两位数的一半还少９,求这个两位数.某校环保小组成员收集废电池，第一天收集１号电池４节，5号电池５节,总重量为46０克,第二天收集1号电池2节,５号电池３节,总重量为240克，试问１号电池和５号电池每节分别重多少克?2、某船的载重量为300吨,容积为12０0立方米，现有甲、乙两种货物要运,其中甲种货物每吨体积为6立方米，乙种货物每吨的体积为２立方米，要充分利用这艘船的载重和容积,甲、乙两重货物应各装多少吨？- 4 -3、学校总务处和教务处各领了同样数量的信封和信笺,总务处每发一封信都只用一张信笺,教务处每发出一封信都用3张信笺，结果,总务处用掉了所有的信封,但余下50张信笺,而教务处用掉所有的信笺但余下５0个信封，则两处各领的信笺张数,信封个数分别为多少个?4、为迎接２0０8年奥运会,•某工艺厂准备生产奥运会标志“中国印”和奥运会吉祥物“福娃”.该厂主要用甲、乙两种原料，•已知生产一套奥运会标志需要甲原料和乙原料分别为４盒和3盒,•生产一套奥运会吉祥物需要甲原料和乙原料分别为5盒和1０盒.该厂购进甲、乙原料的量分别为２0００0盒和3０000盒，如果所进原料全部用完,求该厂能生产奥运会标志和奥运会吉祥物各多少套？１．在某条高速公路上依次排列着A 、B 、C 三个加油站，A 到Ｂ的距离为１2０千米，Ｂ到C 的距离也是120千米．分别在A 、C 两个加油站实施抢劫的两个犯罪团伙作案后同时以相同的速度驾车沿高速公路逃离现场,正在Ｂ站待命的两辆巡逻车接到指挥中心的命令后立即以相同的速度分别往A 、Ｃ两个加油站驶去,结果往B 站驶来的团伙在1小时后就被其中一辆迎面而上的巡逻车堵截住,而另一团伙经过3小时后才被另一辆巡逻车追赶上．问巡逻车和犯罪团伙的车的速度各是多少?【研析】设巡逻车、犯罪团伙的车的速度分别为x 、y 千米／时,则()3120120x y x y -=⎧⎪⎨+=⎪⎩,整理,得40120x y x y -=⎧⎨+=⎩,解得8040x y =⎧⎨=⎩, 因此,巡逻车的速度是80千米／时,犯罪团伙的车的速度是40千米／时．点评:“相向而遇”和“同向追及”是行程问题中最常见的两种题型，在这两种题型中都存在着一个相等关系，这个关系涉及到两者的速度、原来的距离以及行走的时间,具体表现在：“相向而遇”时，两者所走的路程之和等于它们原来的距离；“同向追及”时，快者所走的路程减去慢者所走的路程等于它们原来的距离．2．某服装厂接到生产一种工作服的订货任务，要求在规定期限内完成，按照这个服装厂原来的生产能力,每天可生产这种服装1５0套,按这样的生产进度在客户要求的期限内只能完成订货的45;现在工厂改进了人员组织结构和生产流程,每天可生产这种工作服２0０套，这样不仅比规定时间少用1天,而且比订货量多生产2５套，求订做的工作服是几套?要求的期限是几天?分析:设订做的工作服是x 套，要求的期限是y 天，依题意,得- 5 -()41505200125y x y x ⎧=⎪⎨⎪-=+⎩，解得337518x y =⎧⎨=⎩. 点评:工程问题与行程问题相类似，关键要抓好三个基本量的关系,即“工作量＝工作时间×工作效率”以及它们的变式“工作时间＝工作量÷工作效率，工作效率=工作量÷工作时间”.其次注意当题目与工作量大小、多少无关时，通常用“1”表示总工作量．跟踪练习１、甲、乙二人相距6ｋm,二人同向而行,甲３小时可追上乙；相向而行,１小时相遇。
二元一次方程的应用
二元一次方程的应用二元一次方程是一个包含两个未知数的方程，其中每个未知数的最高次数为1，例如：ax + by = c。
它是代数学中非常重要的概念，具有广泛的应用。
一、几何问题中的二元一次方程在几何问题中，二元一次方程经常用于描述不同几何元素之间的关系。
例如，考虑一个长方形的周长和面积问题。
设长方形的长为x，宽为y，根据长方形周长的定义可以得到方程2x + 2y = P，其中P表示周长。
同样地，根据长方形面积的定义可以得到方程xy = A，其中A表示面积。
通过这两个方程可以解得长和宽的值，并得到具体的长方形形状。
二、物理问题中的二元一次方程在物理学中，二元一次方程常常被用于描述物体的运动。
例如，如果一个物体以恒定的速度向下运动，下落的时间为t秒，下落的距离为h米，我们可以建立如下的方程：h = 0.5gt^2，其中g表示重力加速度。
通过解这个方程，我们可以求解出物体下落的时间和下落的距离。
三、经济问题中的二元一次方程在经济学中，二元一次方程经常被用于描述供求关系。
例如，考虑一个简单的市场模型，假设市场上某商品的售价为p元，需求量为d件，供应量为s件。
我们可以建立如下的方程：p = a - b*d，p = c + d*s，其中a、b、c和d表示常数。
通过解这个方程组，我们可以确定市场的售价和商品的供求平衡。
四、工程问题中的二元一次方程在工程问题中，二元一次方程经常用于描述工程变量之间的相互关系。
例如，考虑一个简单的电路问题，电路中的电流I和电压V之间满足V = RI，其中R表示电阻。
如果给定电路中的电压和电阻，我们可以通过解这个方程求解出电流的值，从而了解电路工作状况。
总结：二元一次方程在几何问题、物理问题、经济问题和工程问题中都有广泛的应用。
它们帮助我们描述和解决各种实际问题，从而提高问题求解的准确性和效率。
掌握和理解二元一次方程的应用，对于数学和实际问题的解决都具有重要意义。
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二元一次方程的实际应用
二元一次方程组实际应用题中行程问题的种类较多，比如相遇问题、追及问题、流水行船问题、顺风逆风问题、火车过桥问题等，解这类问题抓住路程、时间、速度三者之间的关系：路程=速度×时间。
古代问题在方程组中也比较常见，一般虽然是古文，但是题目中一般都会有相应的解释，关键还是需要找到等量关系式。
销售问题中常见的量有：售价、成本价、利润、利润率等，利润=售价-进价、利润率=利润/成本价、总利润=单件利润×销售量。
二元一次方程的介绍
二元一次方程：如果一个方程含有两个未知数，并且未知数的指数是1那么这个整式方程就叫做二元一次方程，有无穷个解。
二元一次方程的一般形式：ax+by=0(a,b不为0）。
二元一次方程组：把两个共含有两个未知数的一次方程合在一起就组成一个二元一次方程组。
二元一次方程的解：使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解。
二元一次方程组的解：二元一次方程组的两个公共解，叫做二元一次方程组的解。
消元：将方程组中的未知数个数由多化少，逐一解决的想法，叫做消元思想。
消元的方法有两种：代入消元法。
加减消元法。
二元一次方程的应用
二元一次方程的应用在数学中，二元一次方程是一种包含两个未知数的一次方程。
它的一般形式可以表示为ax + by = c，其中a、b和c是已知系数，x、y是未知数。
二元一次方程在各个领域有着广泛的应用，本文将探讨其中几个常见的应用场景。
一、几何问题二元一次方程在解决几何问题中起着重要的作用。
例如，我们可以通过二元一次方程解决与线段相关的问题。
假设有一条线段长为x，另一条线段长为y，它们的和为c。
我们可以列出以下方程来表示这个问题：x + y = c其中c是已知的值。
通过解这个方程，我们可以得知线段的长度，从而解决几何问题。
二、商业应用二元一次方程在商业中也有广泛的应用。
例如，我们可以通过二元一次方程来解决成本与收入相关的问题。
假设某个产品的生产成本为每个单位的固定成本a加上每个单位的变动成本b，而销售收入为每个单位的价格p乘以销售数量x。
我们可以建立以下方程来表示成本与收入之间的关系：ax + bx = px这个方程可以帮助我们计算产品的销售数量x，从而使得成本与收入达到平衡。
三、物理学应用在物理学中，二元一次方程也有着重要的应用。
例如，通过一个简单的物理实验，我们可以得到物体运动的加速度和初始速度的关系。
假设一个物体的加速度是a，初始速度是v，时间是t，我们可以列出以下方程：v + at = s其中s表示物体的位移。
通过解这个方程，我们可以计算出物体在给定时间内的位移，从而对物体运动进行分析。
四、工程问题二元一次方程在工程问题中也有广泛的应用。
例如，在电路工程中，我们可以通过二元一次方程来解决电流和电压之间的关系。
假设一个电路中的电流为i，电阻为r，电压为v，我们可以建立以下方程：v = ir通过解这个方程，我们可以通过已知的电流和电阻计算出电压，或者通过已知的电压和电阻计算出电流，从而解决电路工程中的问题。
结论：综上所述，二元一次方程在几何、商业、物理学和工程等领域中都有着重要的应用。
它们帮助我们解决各种与未知数相关的问题，提供了解决方案和分析工具。
二元一次方程的应用
二元一次方程的应用二元一次方程是指含有两个未知数的一次方程，其一般形式为：ax + by = c，其中a、b、c为已知数且a、b不同时为0。
在数学中，二元一次方程是一种常见的代数方程，它在现实生活中有着广泛的应用。
本文将探讨二元一次方程在几个实际问题中的应用。
1. 二元一次方程在几何问题中的应用几何问题中常常涉及到两个未知数的关系。
例如，当我们已知一个平行四边形的两条对角线的长度分别为x和y时，我们想要求这个平行四边形的面积。
设平行四边形的两条对角线的交点为O，对角线AC 的长度为x，对角线BD的长度为y。
根据平行四边形的性质，可以得出AO与CO互相平分对角线BD，从而可以推出AO = 0.5y。
同理，根据平行四边形的性质，可以得出BO与DO互相平分对角线AC，可以推出BO = 0.5x。
根据平行四边形的面积公式S = base * height，取底边为AC，高为BO，即可得到S = 0.5x * 0.5y = 0.25xy。
因此，平行四边形的面积与对角线的长度存在一个二元一次方程的关系。
2. 二元一次方程在物理问题中的应用物理问题中常常涉及到多个物理量之间的关系。
例如，当一个物体在匀速直线运动中，已知它的初速度为v0，加速度为a，运动时间为t 时，我们想要求出它的位移。
假设物体的位移为s，则根据匀加速直线运动的位移公式s = v0t + 0.5at^2，可以列出一个二元一次方程：s = v0t + 0.5at^2。
在这个方程中，s和t为未知数，而v0和a为已知数。
通过解这个二元一次方程，我们可以得到物体的位移。
3. 二元一次方程在经济问题中的应用经济问题中常常涉及到成本、收入和利润等多个变量之间的关系。
例如，一个企业生产某种产品，已知每单位产品的生产成本为x，每单位产品的售价为y，已知该企业的总成本为C，总收入为R，我们想要求出每单位产品的生产成本和售价。
根据题意，可以列出一个二元一次方程组：Cx = R，表示总成本等于总收入；x = C/y，表示每单位产品的生产成本等于总成本除以产品的数量。
二元一次方程组的12种应用题型归纳(可编辑修改word版)
二元一次方程组的 12 种应用题型归纳类型一：行程问题【例 1】甲、乙两人相距 36 千米，相向而行，如果甲比乙先走 2 小时，那么他们在乙出发2.5 小时后相遇；如果乙比甲先走 2 小时，那么他们在甲出发 3 小时后相遇，甲、乙两人每小时各走多少千米？解：设甲的速度为 x 千米/时，乙的速度为 y 千米/时。
(2.5 + 2)x + 2.5y = 36 3x + (3 + 2)y = 36 x = 6 y = 3.6答：甲的速度为 6 千米/时，乙的速度为 3.6 千米/时。
【例 2】两地相距 280 千米，一艘船在其间航行，顺流用 14 小时，逆流用 20 小时，求这艘船在静水中的速度和水流速度。
解：设这艘船在静水中的速度为 x 千米/时，水流速度为 y 千米/时。
14(x + y ) = 280 20(x ‒ y ) = 280 x = 17 y = 3答：这艘船在静水中的速度为 17 千米/时，水流速度为 3 千米/时。
类型二：工程问题【例】小明家准备装修一套新住房，若甲、乙两个装饰公司合作 6 周完成，需工钱 5.2 万元；若甲公司单独做 4 周后，剩下的由乙公司来做，还需 9 周完成，需工钱 4.8 万元。
若只选一个公司单独完成，从节约开支的角度考虑，小明家应选甲公司还是乙公司？请你说明理由。
{解得{ {解得{{ y = { b = 解：设甲公司每周的工作效率为 x ，乙公司每周的工作效率为 y 。
x = 1 6x + 6y = 1 4x + 9y = 110 1 解得 151 1 ∴1÷10=10(周) 1÷15=15(周)∴甲公司单独完成这项工程需 10 周，乙公司单独完成这项工程需 15 周。
设甲公司每周的工钱为 a 万元，乙公司每周的工钱为 b 万元。
a = 3 6a + 6b = 5.2 4a + 9b = 4.8 5 4 解得 15此时 10a=6(万元) 15b=4(万元) 6>4答：从节约开支的角度考虑，小明家应选择乙公司。
二元一次方程组的应用
二元一次方程组的应用一、简介二元一次方程组是由两个未知数和两个方程组成的方程集合。
在数学中，二元一次方程组广泛应用于解决各种实际问题。
本文将探讨二元一次方程组在实际应用中的一些例子，并说明其在解决问题中的重要性。
二、线性方程组的应用1. 计算问题：二元一次方程组常被用于计算相关问题。
例如，设想你在购买书籍和笔记本时共花费了100元，已知一本书的价格是10元，一台笔记本的价格是20元，那么用二元一次方程组可以表示为：x + y = 10010x + 20y = 100通过求解以上方程组，我们可以得到书籍和笔记本的具体数量。
2. 几何问题：二元一次方程组也可以应用于几何问题。
例如，在平面上给定两个直线的斜率和截距，我们可以用二元一次方程组表示这两条直线，并通过求解方程组确定两条直线的交点坐标。
三、应用案例分析1. 混合液体问题：假设有一瓶含有某种化学物质的溶液，溶液中物质的含量为x，另有一瓶纯净的溶液，其中物质的含量为y。
我们需要将两种溶液混合，使得混合后的溶液物质的含量为k。
根据物质守恒定律，可以得到以下方程组：x + y = kCx + Dy = E其中C、D、E为给定的常数。
通过求解该方程组，我们可以确定混合液体的比例，从而达到所需的物质含量。
2. 财务问题：考虑以下情境：张三和李四各自投资了一笔钱到同一项业务中，两人最终收益相等。
已知张三投资的金额为x，收益率为p，李四投资的金额为y，收益率为q。
我们可以列出以下方程组：x(1 + p) = y(1 + q)x + y = T其中T为总投资金额。
通过求解该方程组，我们可以确定张三和李四的具体投资金额，从而平衡他们的收益。
四、总结通过以上例子可以看出，二元一次方程组在实际问题中的应用非常广泛。
无论是计算问题、几何问题还是财务问题，二元一次方程组都能提供简洁而有效的数学解决方案。
因此，掌握二元一次方程组的求解方法对于解决实际应用问题非常重要。
总之，二元一次方程组在数学和实际问题中都具有重要的应用价值。
二元一次方程组应用题经典题解析版----例题
实际问题与二元一次方程组题型归纳知识点一：列方程组解应用题的根本思想列方程组解应用题是把"未知〞转化为"〞的重要方法，它的关键是把量和未知量联系起来，找出题目中的相等关系. 一般来说，有几个未知数就列出几个方程，所列方程必须满足：(1)方程两边表示的是同类量；(2)同类量的单位要统一；(3)方程两边的数值要相等.知识点二：列方程组解应用题中常用的根本等量关系1.行程问题：(1)追击问题：追击问题是行程问题中很重要的一种，它的特点是同向而行.这类问题比拟直观，画线段,用图便于理解与分析.其等量关系式是:两者的行程差＝开场时两者相距的路程；；；(2)相遇问题:相遇问题也是行程问题中很重要的一种，它的特点是相向而行.这类问题也比拟直观，因而也画线段图帮助理解与分析.这类问题的等量关系是：双方所走的路程之和＝总路程.(3)航行问题：①船在静水中的速度＋水速＝船的顺水速度；②船在静水中的速度－水速＝船的逆水速度；③顺水速度－逆水速度＝2×水速.注意：飞机航行问题同样会出现顺风航行和逆风航行，解题方法与船顺水航行、逆水航行问题类似.2．工程问题：工作效率×工作时间=工作量.3．商品销售利润问题：(1)利润＝售价－本钱(进价)；(2)；(3)利润＝本钱〔进价〕×利润率；(4)标价＝本钱(进价)×(1＋利润率)；(5)实际售价＝标价×打折率；注意："商品利润＝售价－本钱〞中的右边为正时，是盈利；为负时，就是亏损.打几折就是按标价的十分之几或百分之几十销售.〔例如八折就是按标价的十分之八即五分之四或者百分之八十〕4．储蓄问题：(1)根本概念①本金：顾客存入银行的钱叫做本金.②利息：银行付给顾客的酬金叫做利息.③本息和：本金与利息的和叫做本息和.④期数：存入银行的时间叫做期数.⑤利率：每个期数的利息与本金的比叫做利率.⑥利息税：利息的税款叫做利息税.(2)根本关系式①利息＝本金×利率×期数②本息和＝本金＋利息＝本金＋本金×利率×期数＝本金× (1＋利率×期数)③利息税＝利息×利息税率＝本金×利率×期数×利息税率.④税后利息＝利息× (1－利息税率) ⑤年利率＝月利率×12 ⑥月利率=年利率1 12 .注意：免税利息=利息5．配套问题：解这类问题的根本等量关系是：总量各局部之间的比例=每一套各局部之间的比例.6．增长率问题：解这类问题的根本等量关系式是：原量×(1＋增长率)＝增长后的量；原量×(1－减少率)＝减少后的量.7．和差倍分问题：解这类问题的根本等量关系是：较大量＝较小量＋多余量，总量＝倍数×倍量.8．数字问题：解决这类问题，首先要正确掌握自然数、奇数、偶数等有关概念、特征及其表示.如当n 为整数时，奇数可表示为2n+1(或2n-1)，偶数可表示为2n等，有关两位数的根本等量关系式为：两位数=十位数字10+个位数字9．浓度问题：溶液质量×浓度=溶质质量.10．几何问题：解决这类问题的根本关系式有关几何图形的性质、周长、面积等计算公式11．年龄问题：解决这类问题的关键是抓住两人年龄的增长数是相等，两人的年龄差是永远不会变的12．优化方案问题：在解决问题时，常常需合理安排.需要从几种方案中，选择最正确方案，如网络的使用、到不同旅行社购票等，一般都要运用方程解答，得出最正确方案.注意：方案选择题的题目较长，有时方案不止一种，阅读时应抓住重点,比拟几种方案得出最正确方案.知识点三：列二元一次方程组解应用题的一般步骤利用二元一次方程组探究实际问题时，一般可分为以下六个步骤：1．审题:弄清题意及题目中的数量关系；2．设未知数:可直接设元，也可间接设元；3．找出题目中的等量关系；4．列出方程组:根据题目中能表示全部含义的等量关系列出方程，并组成方程组；5．解所列的方程组，并检验解的正确性；6．写出答案.要点诠释：(1)解实际应用问题必须写"答〞，而且在写答案前要根据应用题的实际意义，检查求得的结果是否合理，不符合题意的解应该舍去；(2)"设〞、"答〞两步，都要写清单位名称；(3)一般来说，设几个未知数就应该列出几个方程并组成方程组.(4)列方程组解应用题应注意的问题①弄清各种题型中根本量之间的关系； ②审题时，注意从文字，图表中获得有关信息； ③注意用方程组解应用题的过程中单位的书写，设未知数和写答案都要带单位，列 方程组与解方程组时，不要带单位；④正确书写速度单位，防止与路程单位混淆； ⑤在寻找等量关系时，应注意挖掘隐含的条件； ⑥列方程组解应用题一定要注意检验.类型一：列二元一次方程组解决——行程问题1．甲、乙两地相距160千米，一辆汽车和一辆拖拉机同时由甲、乙两地相向而行，1小时20分相遇. 相遇后，拖拉机继续前进，汽车在相遇处停留1小时后调转车头原速返回，在汽车再次出发半小时后追上了拖拉机. 这时，汽车、拖拉机各自行驶了多少千米？思路点拨：画直线型示意图理解题意：(1)这里有两个未知数：①汽车的行程；②拖拉机的行程.(2)有两个等量关系： ①相向而行：汽车行驶113小时的路程＋拖拉机行驶113小时的路程＝160千米; ②同向而行：汽车行驶12小时的路程＝拖拉机行驶112⎛⎫+ ⎪⎝⎭小时的路程. 解：设汽车的速度为每小时行千米，拖拉机的速度为每小时千米.根据题意，列方程组()4160,311122x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎛⎫⎪=+ ⎪⎪⎝⎭⎩ 解这个方程组，得: 90,30x y =⎧⎨=⎩ 1111901165,3011853232⎛⎫⎛⎫⨯+=⨯+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.答：汽车行驶了165千米，拖拉机行驶了85千米.总结升华：根据题意画出示意图，再根据路程、时间和速度的关系找出等量关系，是行程问题的常用的解决策略.类型二：列二元一次方程组解决——工程问题2．一家商店要进展装修，假设请甲、乙两个装修组同时施工，8天可以完成，需付两组费用共3520元；假设先请甲组单独做6天，再请乙组单独做12天可完成，需付两组费用共3480元，问：(1)甲、乙两组工作一天，商店应各付多少元？(2)甲组单独做需12天完成，乙组单独做需24天完成，单独请哪组，商店所付费用最少？思路点拨：此题有两层含义，各自隐含两个等式，第一层含义：假设请甲、乙两个装修组同时施工，8天可以完成，需付两组费用共3520元；第二层含义：假设先请甲组单独做6天，再请乙组单独做12天可完成，需付两组费用共3480元.设甲组单独做一天商店应付*元，乙组单独做一天商店应付y元，由第一层含义可得方程8〔*+y〕=3520,由第二层含义可得方程6*+12y=3480.解：(1)设甲组单独做一天商店应付*元，乙组单独做一天商店应付y元，依题意得：解得答：甲组单独做一天商店应付300元，乙组单独做一天商店应付140元.(2)单独请甲组做，需付款300×12＝3600元，单独请乙组做，需付款24×140＝3360元，故请乙组单独做费用最少.答：请乙组单独做费用最少.总结升华：工作效率是单位时间里完成的工作量，同一题目中时间单位必须统一，一般地，将工作总量设为1，也可设为a，需根据题目的特点合理选用；工程问题也经常利用线段图或列表法进展分析.类型三：列二元一次方程组解决——商品销售利润问题3．有甲、乙两件商品，甲商品的利润率为5%,乙商品的利润率为4%,共可获利46元.价风格整后，甲商品的利润率为4%，乙商品的利润率为5%，共可获利44元，则两件商品的进价分别是多少元？思路点拨：做此题的关键要知道：利润＝进价×利润率解：甲商品的进价为*元，乙商品的进价为y元，由题意得：，解得：答：两件商品的进价分别为600元和400元.类型四：列二元一次方程组解决——银行储蓄问题4．小明的妈妈为了准备小明一年后上高中的费用，现在以两种方式在银行共存了2000元钱，一种是年利率为2.25％的教育储蓄，另一种是年利率为2.25％的一年定期存款，一年后可取出2042.75元，问这两种储蓄各存了多少钱？〔利息所得税＝利息金额×20%，教育储蓄没有利息所得税〕思路点拨：设教育储蓄存了*元，一年定期存了y元，我们可以根据题意可列出表格：教育储蓄一年定期合计现在x y一年后 2.25%+⨯ 2.25%80%x x+⨯⨯2042.75y y解：设存一年教育储蓄的钱为*元，存一年定期存款的钱为y元，则列方程：，解得：答：存教育储蓄的钱为1500元，存一年定期的钱为500元.总结升华: 我们在解一些涉及到行程、收入、支出、增长率等的实际问题时，有时候不容易找出其等量关系，这时候我们可以借助图表法分析具体问题中蕴涵的数量关系，题目中的相等关系随之浮现出来.类型五：列二元一次方程组解决——生产中的配套问题5．*服装厂生产一批*种款式的秋装，每2米的*种布料可做上衣的衣身3个或衣袖5只. 现方案用132米这种布料生产这批秋装(不考虑布料的损耗)，应分别用多少布料才能使做的衣身和衣袖恰好配套？思路点拨：此题的第一个相等关系比拟容易得出：衣身、衣袖所用布料的和为132米；第二个相等关系的得出要弄清一整件衣服是怎么样配套的，即衣袖的数量等于衣身的数量的2倍(注意：别把2倍的关系写反了).解：设用米布料做衣身，用米布料做衣袖才能使衣身和衣袖恰好配套，根据题意，得：答：用60米布料做衣身，用72米布料做衣袖才能使做的衣身和衣袖恰好配套.总结升华：生产中的配套问题很多，如螺钉和螺母的配套、盒身与盒底的配套、桌面与桌腿的配套、衣身与衣袖的配套等. 各种配套都有数量比例，依次设未知数，用未知数可把它们之间的数量关系表示出来，从而得到方程组，使问题得以解决，确定等量关系是解题的关键.类型六：列二元一次方程组解决——增长率问题 6. *工厂去年的利润〔总产值—总支出〕为200万元，今年总产值比去年增加了20%，总支出比去年减少了10%，今年的利润为780万元，去年的总产值、总支出各是多少万元？思路点拨：设去年的总产值为*万元，总支出为y 万元，则有总产值〔万元〕 总支出〔万元〕 利润〔万元〕 去年* y 200 今年 120%* 90%y 780 根据题意知道去年的利润和今年的利润，由利润=总产值—总支出和表格里的量和未知量，可以列出两个等式.解：设去年的总产值为*万元，总支出为y 万元，根据题意得： ，解之得：答：去年的总产值为2000万元，总支出为1800万元总结升华：当题的条件较多时，可以借助图表或图形进展分析.类型七：列二元一次方程组解决——和差倍分问题7.〔2011年丰台区中考一摸试题〕"爱心〞帐篷厂和"温暖〞帐篷厂原方案每周生产帐篷共9千顶，现*地震灾区急需帐篷14千顶，两厂决定在一周赶制出这批帐篷．为此，全体职工加班加点，"爱心〞帐篷厂和"温暖〞帐篷厂一周制作的帐篷数分别到达了原来的1.6倍、1.5倍，恰好按时完成了这项任务．求在赶制帐篷的一周，"爱心〞帐篷厂和"温暖〞帐篷厂各生产帐篷多少千顶？思路点拨：找出量和未知量，根据题意知未知量有两个，所以列两个方程，根据方案前后，倍数关系由量和未知量列出两个等式，即是两个方程组成的方程组.解：设原方案"爱心〞帐篷厂生产帐篷*千顶,"温暖〞帐篷厂生产帐篷y 千顶，由题意得：9,1.6 1.514x y x y +=⎧⎨+=⎩， 解得：5,4x y =⎧⎨=⎩所以：1.6*=1.65=8, 1.5y =1.54=6答："爱心〞帐篷厂生产帐篷8千顶,"温暖〞帐篷厂生产帐篷6千顶.类型八：列二元一次方程组解决——数字问题8. 两个两位数的和是68，在较大的两位数的右边接着写较小的两位数，得到一个四位数；在较大的两位数的左边写上较小的两位数，也得到一个四位数，前一个四位数比后一个四位数大2178，求这两个两位数.思路点拨：设较大的两位数为*，较小的两位数为y.问题1：在较大的两位数的右边写上较小的两位数，所写的数可表示为：100*＋y 问题2：在较大数的左边写上较小的数，所写的数可表示为： 100y ＋*解：设较大的两位数为*，较小的两位数为y.依题意可得：，解得：答：这两个两位数分别为45，23.类型九：列二元一次方程组解决——浓度问题9．现有两种酒精溶液，甲种酒精溶液的酒精与水的比是3∶7，乙种酒精溶液的酒精与水的比是4∶1，今要得到酒精与水的比为3∶2的酒精溶液50kg ，问甲、乙两种酒精溶液应各取多少？思路点拨：此题欲求两个未知量，可直接设出两个未知数，然后列出二元一次方程组解决，题中有以下几个相等关系：〔1〕甲种酒精溶液与乙种酒精溶液的质量之和＝50；〔2〕混合前两种溶液所含纯酒精质量之和＝混合后的溶液所含纯酒精的质量；〔3〕混合前两种溶液所含水的质量之和＝混合后溶液所含水的质量；〔4〕混合前两种溶液所含纯酒精之和与水之和的比＝混合后溶液所含纯酒精与水的比.解：法一：设甲、乙两种酒精溶液分别取*kg , ykg.依题意得：，答：甲取20kg，乙取30kg法二：设甲、乙两种酒精溶液分别取10*kg和5ykg，则甲种酒精溶液含水7*kg，乙种酒精溶液含水ykg，根据题意得：，所以 10*=20,5y=30.答：甲取20kg，乙取30kg总结升华：此题的第〔1〕个相等关系比拟明显，关键是正确找到另外一个相等关系，解这类问题常用的相等关系是：混合前后所含溶质相等或混合前后所含溶剂相等.用它们来联系各量之间的关系，列方程组时就显得容易多了.列方程组解应用题，首先要设未知数，多数题目可以直接设未知数，但并不是千篇一律的，问什么就设什么.有时候需要设间接未知数，有时候需要设辅助未知数.类型十：列二元一次方程组解决——几何问题10．如图，用8块一样的长方形地砖拼成一个长方形，每块长方形地砖的长和宽分别是多少？思路点拨：初看这道题目中没有提供任何相等关系，但是题目提供的图形隐含着矩形两条宽相等，两条长相等，我们设每个小长方形的长为*，宽为y，就可以列出关于*、y的二元一次方程组.解：设长方形地砖的长*cm,宽ycm，由题意得：，答：每块长方形地砖的长为45cm、宽为15cm.总结升华：几何应用题的相等关系一般隐藏在*些图形的性质中，解答这类问题时应注意认真分析图形特点，找出图形的位置关系和数量关系，再列出方程求解.类型十一：列二元一次方程组解决——年龄问题11．今年父亲的年龄是儿子的5倍，6年后父亲的年龄是儿子的3倍，求现在父亲和儿子的年龄各是多少？思路点拨：解此题的关键是理解"6年后〞这几个字的含义，即6年后父子俩都长了6岁.今年父亲的年龄是儿子的5倍，6年后父亲的年龄是儿子的3倍，根据这两个相等关系列方程.解：设现在父亲*岁，儿子y岁，根据题意得：，答：父亲现在30岁，儿子6岁.总结升华：解决年龄问题，要注意一点：一个人的年龄变化〔增大、减小〕了，其他人也一样增大或减小，并且增大〔或减小〕的岁数是一样的〔一样的时间〕.类型十二：列二元一次方程组解决——优化方案问题：12．*地生产一种绿色蔬菜，假设在市场上直接销售，每吨利润为1000元；经粗加工后销售，每吨利润可达4500元；经精加工后销售，每吨利润涨至7500元. 当地一家农工商公司收获这种蔬菜140吨，该公司加工厂的生产能力是：如果对蔬菜进展粗加工，每天可以加工16吨；如果进展细加工，每天可加工6吨. 但两种加工方式不能同时进展. 受季节条件的限制，公司必须在15天之将这批蔬菜全部销售或加工完毕，为此公司研制了三种加工方案方案一：将蔬菜全部进展粗加工；方案二：尽可能多的对蔬菜进展精加工，没来得及加工的蔬菜在市场上直接销售；方案三：将局部蔬菜进展精加工，其余蔬菜进展粗加工，并恰好在15天完成你认为选择哪种方案获利最多？为什么？思路点拨：如何对蔬菜进展加工，获利最大，是生产经营者一直思考的问题. 此题正是基于这一点，对绿色蔬菜的精、粗加工制定了三种可行方案，供同学们自助探索，互相交流，尝试解决，并在探索和解决问题的过程中，体会应用数学知识解决实际问题的乐趣.解：方案一获利为：4500×140=630000(元).方案二获利为：7500×(6×15)+1000×(140－6×15)=675000+50000=725000(元).方案三获利如下：设将吨蔬菜进展精加工，吨蔬菜进展粗加工，则根据题意，得：，解得：所以方案三获利为：7500×60+4500×80=810000(元).因为630000＜725000＜810000，所以选择方案三获利最多答：方案三获利最多，最多为810000元.总结升华：优化方案问题首先要列举出所有可能的方案，再按题的要求分别求出每个方案的具体结果，再进展比拟从中选择最优方案.。
二元一次方程组的应用题,总结了十个题型,学透很容易!
初学二元一次方程组的应用，好多同学会遇到会解不会列的尴尬局面。
为此，特把二元一次方程组应用中常见的题型整理出来，希望能对同学们有所帮助。
类型一：行程问题例：甲、乙两人从相距36千米的两地相向而行．如果甲比乙先走2小时，那么他们在乙出发2.5小时后相遇；如果乙比甲先走2小时，那么他们在甲出发3小时后相遇．问甲、乙两人每小时各走多少千米？【分析】设甲，乙速度分别为x，y千米/时，根据甲乙两人从相距36千米的两地相向而行．如果甲比乙先走2小时，那么在乙出发后2.5小时相遇；如果乙比甲先走2小时，那么在甲出发后3小时相遇可列方程求解。
类型二：工程问题例：小明家准备装修一套新住房，若甲、乙两个装饰公司，合做需6周完成，需工钱5.2万元；若甲公司单独做4周后，剩下的由乙公司来做，还需9周才能完成，需工钱4.8万元，若只选一个公司单独完成，从节约开支角度考虑，小明家是选甲公司、还是乙公司请你说明理由．分析：需先算出甲乙两公司独做完成的周数．等量关系为：甲6周的工作量+乙6周的工作量=1；甲4周的工作量+乙9周的工作量=1；还需算出甲乙两公司独做需付的费用．等量关系为：甲做6周所需钱数+乙做6周所需钱数=5.2；甲做4周所需钱数+乙做9周所需钱数=4.8类型三：商品销售利润问题例：李大叔去年承包了10亩地种植甲、乙两种蔬菜，共获利18000元，其中甲种蔬菜每亩获利2000元，乙种蔬菜每亩获利1500元，李大叔去年甲、乙两种蔬菜各种植了多少亩？分析：由题意得出两个相等关系为：甲、乙两种蔬菜共10亩和共获利18000元，依次列方程组求解类型四：银行储蓄问题例：小明的爸爸为了给他筹备上高中的费用，在银行同时用两种方式共存了4000元钱．第一种，一年期存取，共反复存了3次，每次存款数都相同，这种存款银行利率为年息2.25%；第二种，三年期存取，这种存款银行利率为年息2.70%．三年后同时取出共得利息303.75元．问小明的爸爸两种存款各存入了多少元？分析：利用两种方式共计存了4000元钱以及两笔存款三年内共得利息303.75元得出等式求出即可类型五：生产配套问题例：现用190张铁皮做盒，一张可以做8个盒身或22个盒底，1个盒身与2个盒底配一个盒子，问用多少张铁皮制盒身、多少张铁皮制盒底，可制成一批完整的盒子？分析：本题的等量关系是：制盒身的铁皮+制盒底的铁皮=190张；盒底的数量=盒身数量的2倍．据此可列方程组求解类型六：增长率问题例：某城市现有人口42万人．计划一年后城镇人口增加0.8%，农村人中增加1.1%，这样全市人口得增加1%，求这个城市现有城镇人口和农村人口分别是多少人？分析：根据题意可得出的等量关系为：现有的城镇人口+现有的农村人口=42万，计划一年后城镇人口增加的数量+农村人口的增加的数量=全市人口增加的数量，然后列出方程组求解类型七：数字问题例：一个两位数的十位数字与个位数字和为6，十位数字比个位数字大4，求这个两位数字．分析：设这个两位数十位上的数字为x，个位上的数字为y，根据十位数字与个位数字和为6，十位数字比个位数字大4，列方程组求解类型八：几何问题用长48厘米的铁丝弯成一个矩形，若将此矩形的长边分别折3厘米，补较短边上去，则得到一个正方形，求正方形的面积比矩形面积大多少？分析：设矩形的长为x，宽为y，则可得x-3=y+3，再由矩形的周长为48，可得出2（x+y）=48，联立方程组求解即可类型九：年龄问题例：今年，小李的年龄是他爷爷的1/5,小李发现，12年后，他的年龄变成爷爷的1/3,求今年小李的年龄．分析：通过理解题意可知本题的等量关系，12年之后他爷爷的年龄x1/3=12年之后小李的年龄．根据这两个等量关系，可列出方程，再求解类型十：方案优化问题例：某商场计划拨款9万元从厂家购进50台电视机，已知该厂家生产三种不同类型的电视机，出厂价分别为：甲种每台1500元，乙种每台2100元，丙种每台2500元．（1）若商场用9万元同时购进甲、乙两种不同型号的电视机共50台，求应购进甲、乙两种电视机各多少台？（2）若商场销售一台甲种电视机可获利150元，销售一台乙种电视机可获利200元，销售一台丙种电视机可获利250元．试问：同时购进两种不同型号电视机的方案可以有几种（每种方案必须刚好用完9万元）？为使销售时获利最多，应选择哪种进货方案？并说明理由．分析：（1）本题的等量关系是：甲乙两种电视的台数和=50台，买甲乙两种电视花去的费用=9万元．依此列出方程求出正确的方案；（2）根据（1）得出的方案，分别计算出各方案的利润，然后判断出获利最多的方。
二元一次方程应用题常见12种经典练习题汇总(经典)
列二元一次方程----解决实际问题列方程(组)解应用题的一般步骤1、审：有什么，求什么，干什么；2、设：设未知数，并注意单位；3、列：找等量关系；用数学语言表达出来；4、解：解方程(组)．5、验：检查和反思解题过程，检验答案的正确性以及是否符合题意．6、答：完整写出答案(包括单位)．一、工程问题三个基本量的关系：工作总量＝工作时间×工作效率；甲的工作量＋乙的工作量＝甲乙合作的工作总量，注：当工作总量未给出具体数量时，常设总工作量为“1”。
例：一家商店要进行装修，若请甲、乙两个装修组同时施工，8天可以完成，需付两组费用共3520元；若先请甲组单独做6天，再请乙组单独做12天可完成，需付两组费用共3480元，问：(1)甲、乙两组工作一天，商店应各付多少元？(2)已知甲组单独做需12天完成，乙组单独做需24天完成，单独请哪组，商店所付费用最少？【变式】小明家准备装修一套新住房，若甲、乙两个装饰公司合作6周完成需工钱5.2万元；若甲公司单独做4周后，剩下的由乙公司来做，还需9周完成，需工钱4.8万元.若只选一个公司单独完成，从节约开支的角度考虑，小明家应选甲公司还是乙公司？请你说明理由.二、行程问题例：甲、乙两地相距160千米，一辆汽车和一辆拖拉机同时由甲、乙两地相向而行，1小时20分相遇. 相遇后，拖拉机继续前进，汽车在相遇处停留1小时后调转车头原速返回，在汽车再次出发半小时后追上了拖拉机. 这时，汽车、拖拉机各自行驶了多少千米？【变式】1、甲、乙两人相距8 km，二人同时出发，同向而行，甲2.5 h可追上乙；相向而行，1 h相遇，二人的速度各是多少？2、两地相距280千米，一艘船在其间航行，顺流用14小时，逆流用20小时，求船在静水中的速度和水流速度。
三：商品销售利润问题利润问题：利润=售价—进价，利润率=（售价—进价）÷进价×100%例：有甲、乙两件商品，甲商品的利润率为5%,乙商品的利润率为4%,共可获利46元。
二元一次方程的应用
二元一次方程的应用一、引言二元一次方程是初中数学中一个重要的概念，它可以用来解决许多实际问题。
本文将探讨二元一次方程的应用，展示它在解决实际问题中的作用。
二、经典案例：鸡兔同笼鸡兔同笼问题是一个经典的二元一次方程应用案例。
假设一只笼子里关着鸡和兔，共有35个头、94只脚，请问笼中鸡兔各有多少只？我们设鸡的数量为x，兔的数量为y，根据题意，可以列出以下两个方程：x + y = 35 （1）2x + 4y = 94 （2）通过解这个方程组，可以得到x=23，y=12，即笼中有23只鸡和12只兔。
三、实际应用：线性消费函数线性消费函数是经济学中一个重要的概念，它描述了消费与收入之间的关系。
假设一个人的消费是他的收入的30%加上500元，请问他的收入是多少？设该人的收入为x元，消费为y元，根据题意，可以列出以下方程：y = 0.3x + 500 （3）通过解这个方程，可以得到x=2000，即该人的收入为2000元。
四、实际应用：混合液体的配制混合液体的配制问题是二元一次方程在化学实验中的一个应用。
假设有两种含有不同浓度的液体A和液体B，现需混合得到100升浓度为30%的溶液，请问液体A和液体B各需多少升？设液体A的体积为x升，液体B的体积为y升，根据题意，可以列出以下两个方程：x + y = 100 （4）0.3x + 0.2y = 0.3 × 100 （5）通过解这个方程组，可以得到x=40，y=60，即液体A需40升，液体B需60升。
五、实际应用：行程时间与速度行程时间与速度之间的关系是实际生活中的一个常见问题。
假设一个人驾驶汽车从A地到B地，全程100公里，如果速度为60公里/小时，则需要多长时间到达目的地？设行程时间为x小时，根据题意，可以列出以下方程：60x = 100 （6）通过解这个方程，可以得到x=5/3，即需要1小时40分钟到达目的地。
六、实际应用：数学竞赛得分数学竞赛得分问题是二元一次方程在教育领域的一个应用。
专题11 二元一次方程实际应用的三种考法(解析版)(北师大版)
专题11二元一次方程实际应用的三种考法类型一、方案问题例．某手机经销商计划同时购进甲乙两种型号手机，若购进2部甲型号手机和5部乙型号手机，共需要资金6000元；若购进3部甲型号手机和2部乙型号手机，共需要资金4600元．(1)求甲、乙型号手机每部进价各为多少元；(2)该店预计用不少于1.78万元且不多于1.92万元的资金购进这两种型号手机共20部，请问有多少种进货方案？(3)若甲型号手机的售价为1500元，乙型号手机的售价为1450元，为了促销，公司决定每售出一台乙型号手机．返还顾客现金a 元，甲型号手机售价不变，要使（2）中购进的手机全部售完，每种方案获利相同，求a 的值．【答案】(1)甲型号手机每部进价为1000元，乙型号手机每部进价为800元．(2)8种(3)a 的值为150．【分析】（1）设未知数列二元一次方程组解方程即可；（2）设未知数列不等式，解不等式，考虑实际问题中取整得到解的可能情况；（3）用（2）中未知数和a 列出利润计算式，根据m 的值不影响利润结果得到含m 的项系数为0，求出a 即可．【详解】（1）设甲型号手机每部进价为x 元，乙型号手机每部进价为y 元．依题意，得256000324600x y x y +=⎧⎨+=⎩．解得1000800x y =⎧⎨=⎩．答：甲型号手机每部进价为1000元，乙型号手机每部进价为800元．（2）设购进甲型号手机m 部，则购进乙型号手机()20m -部．依题意，得178001000800(20)19200m m ≤+-≤，解得916m ≤≤．又m 为整数，m 可以为9，10，11，12，13，14，15，16．∴有8种进货方案．（3）设20部手机全部销售完后获得的总利润相等，则()()()()150010001450800201501300020m a m a m a-+---=-+-．（2）中每种方案获利相同，∴利润计算式中不能有含m 的项，1500a ∴-=．150a ∴=．答：a 的值为150．【点睛】本题考查二元一次方程组的实际应用，一元一次不等式的实际应用，及定值问题．注意定值问题中一个式子的值与m 无关，则含有m 的项中，m 的系数为0．【变式训练1】某商店出售普通练习本和精装练习本，150本普通练习本和100本精装练习本销售总额为1450元；200本普通练习本和50本精装练习本销售总额为1100元．(1)求普通练习本和精装练习本的销售单价分别是多少？(2)该商店计划再次购进500本练习本，普通练习本的数量不低于精装练习本数量的3倍，已知普通练习本的进价为2元/个，精装练习本的进价为7元/个，设购买普通练习本x 个，获得的利润为W 元；①求W 关于x 的函数关系式②该商店应如何进货才能使销售总利润最大？并求出最大利润．【答案】(1)普通练习本：3元；精装练习本：10元(2)21500w x =-+①；②普通练习本进375本，精装练习本进125本，利润最大，最大为750元【分析】（1）设普通练习本的销售单价为m 元，精装练习本的销售单价为n 元，根据等量关系式：150本普通练习本销售总额100＋精装练习本销售额1450=元；200本普通练习本销售额50+精装练习本销售额1100=元，列出方程，解方程即可；（2）①购买普通练习本x 个，则购买精装练习本()500x -个，根据总利润=普通练习本获得的利润+精装练习本获得的利润，列出关系式即可；②先求出x 的取值范围，根据一次函数的增减性，即可得出答案．【详解】（1）解：设普通练习本的销售单价为m 元，精装练习本的销售单价为n 元，根据题意得：1501001450200501100m n m n +=⎧⎨+=⎩，【答案】12.6/3125/635【分析】设姐姐，弟弟的步行速度为根据姐姐步行路程加上爸爸一个人骑车路程等于弟弟坐车路程，路程等于6.6km列方程，可求出x12k ∴<，312k ∴≤<，当3k =时，811239x y +-=，解得13x y =⎧⎨=⎩，满足2y x ≥+和17x ≤≤，39y ≤≤，符合题意，当4k =时，811252x y +-=，此方程无符合题意的x ，y 的正整数解，当5k =时，811265x y +-=，此方程无符合题意的x ，y 的正整数解，当6k =时，811278x y +-=，此方程无符合题意的x ，y 的正整数解，当7k =时，811291x y +-=，解得：27x y =⎧⎨=⎩，满足2y x ≥+和17x ≤≤，39y ≤≤，符合题意，当8k =时，8112104x y +-=，解得：56x y =⎧⎨=⎩，不满足2y x ≥+，不符合题意，当9k =时，8112117x y +-=，此方程无符合题意的x ，y 的正整数解，当10k =时，8112130x y +-=，解得：114x y =⎧⎨=⎩，不满足17x ≤≤，不符合题意，当11k =时，8112143x y +-=，解得143x y =⎧⎨=⎩，不满足17x ≤≤，不符合题意，13x y =⎧∴⎨=⎩或27x y =⎧⎨=⎩，130m ∴=或273m =，()F m ∴的值为4或12，()F m ∴的最大值是12，故答案位：8，12．【点睛】本题考查整式的加减，涉及新定义，解题的关键是读懂题意，求出使8112x y +-是13的倍数的正整数x ，y 的值．4．“红缬退风花著子，绿针浮水稻抽秧”这是宋朝诗人姚孝锡所作．诗中咏诵的“水稻”是我国种植的重要经济作物．某村在政府的扶持下建起了水稻种植基地，准备种植甲，乙两种水稻，若种植20亩甲种水稻和30亩乙种水稻，共需投入22万元；若种植30亩甲种水稻和20亩乙种水稻，共需投入23万元．(1)种植甲，乙两种水稻，每亩各需投入多少万元？（2）由题意可知：0.40.220a b +=，∴1002(1045)b a a =-≤≤；（3）当1030a ≤<时，此时4080b <≤，∴200.812(1002)0.8960w a a a =+⨯-=+，∵0.80>，∴w 随a 的增大而增大，∴当10a =时，w 有最小值，此时0.810960968w =⨯+=；当3035a ≤≤时，此时3040b ≤≤，∴0.9200.812(1002) 1.2960w a a a =⨯+⨯-=-+，∵ 1.20-<，∴w 随a 的增大而减小，∴当35a =时，w 有最小值，此时918w =；当3545a <≤时，此时1030b <≤，∴0.92012(1002)61200w a a a =⨯+-=-+，∵60-<，∴w 随a 的增大而减小，当45a =时，w 有最小值，此时6451200930w =-⨯+=．答：选购A 型号机器人35台时，总费用w 最少，此时需要918万元．【点睛】此题主要考查了二元一次方程组和一次函数的应用，正确找出题中的等量关系并熟练掌握一次函数的性质是解题的关键．。
二元一次方程组的应用
二元一次方程组的应用二元一次方程组是数学中常见的问题形式，可以通过解方程组来求解未知数的取值。
在实际生活和工作中，二元一次方程组有着广泛的应用。
本文将讨论二元一次方程组的一些常见应用场景。
一、消费问题在购物中，我们常常需要计算多个商品的总价。
假设商品A的价格为x元，商品B的价格为y元，购买A商品m件，B商品n件，总花费为p元。
此时可以列出如下二元一次方程组：mx + ny = p (1)m + n = t (2)其中，t为商品的总件数，p为总花费金额。
通过求解方程组，可以得到商品A和商品B的价格。
二、速度问题在物理学中，速度问题通常为二元一次方程组的典型应用。
设一个物体的速度恒定不变，物体在t秒内运动了s米，根据匀速运动的定义，可以得到如下方程组：vt - s = 0 (3)v' - v = 0 (4)其中，v为物体的速度，s为物体的位移，v'为物体的平均速度。
通过解方程组，可以求解物体的速度和位移。
三、投资问题在投资领域，经常需要计算不同投资项目的收益率。
假设我们有两个投资项目A和B，投资A的金额为x元，投资B的金额为y元，A项目的收益率为r1，B项目的收益率为r2，可以列出如下方程组：rx = r1x + r2y (5)x + y = t (6)其中，t为总投资金额。
通过求解方程组，可以得到投资项目A和B的收益率。
四、运动员的成绩在体育竞技中，运动员的成绩常常可以用二元一次方程组来表示。
假设运动员A和运动员B分别参加了两个项目，A在第一个项目中获得了x分，在第二个项目中获得了y分，B在第一个项目中获得了p分，在第二个项目中获得了q分。
根据成绩的计算方法，可以列出如下方程组：x + y = t (7)p + q = t (8)其中，t为满分。
通过解方程组，可以得到运动员A和运动员B在两个项目中的得分情况。
五、人员分配问题在人员分配和调度问题中，可以利用二元一次方程组来求解不同人数的分配。
二元一次方程组应用题类型大全
根据题意, 得 x+y =22
2×1200x=2000y
解得 x=10
Y =12
所以为了使每天生产的产品刚好配套,应安排10人生产螺 钉,12人生产螺母
例2.某工地需雪派48人去挖土和运土,如果 每人每天平均挖土5方或运土3方,那么应该 怎样安排人员,正好能使挖的土能及时运走?
每天挖的土等于每天运的土
分析题意：1、有鲜奶9吨,
2.若在市场上直接销售鲜奶,每吨可获利润500元,
3.若制成酸奶销售,每吨可获利润1200元,
4.若制成奶片销售,每吨可获利润2000元.
5.每天可加工3吨酸奶或1吨奶片, 两种方式不能同时进行.
6.受季节的限制,这批牛奶必须在4天内加工并销售完毕.
方案二:将一部分制成奶片,其余制成酸奶销售,并恰好4天完成。
例：某牛奶加工厂现有鲜奶9吨,若在市场上直接 销售鲜奶,每吨可获利润500元,若制成酸奶销售, 每吨可获利润1200元,若制成奶片销售,每吨可获 利润2000元.该厂生产能力如下:每天可加工3吨酸 奶或1吨奶片,受人员和季节的限制,两种方式不能 同时进行.受季节的限制,这批牛奶必须在4天内加 工并销售完毕,为此该厂制定了两套方案:
160千米 甲
汽车行驶1小时20分的路程
汽车行驶半小时的路程
乙 拖拉机行驶1小时 20分的路程
拖拉机行驶1个半小时 行驶的路程
1、同时同地相向而行第一次相遇（相当 于相遇问题）：
甲的路程 + 乙的路程 ＝ 跑道一圈长
2、同时同地同向而行第一次相遇（相当于 追击问题）：
快者的路程 － 慢者的路程 ＝ 跑道一圈长
解之得
X=77 Y=8
答:这批零件有77个,按计划需8 小时完成
二元一次方程的实际应用
二元一次方程的实际应用二元一次方程是高中数学中的重要内容，它在实际生活中有着广泛的应用。
本文将探讨二元一次方程的实际应用，并从不同领域中选择几个具体案例进行介绍。
一、经济领域中的应用在经济学中，二元一次方程可以用来描述供求关系。
假设某商品的需求量与价格成反比，而供应量与价格成正比，那么可以建立以下二元一次方程来表示供求平衡：需求量 = a - b * 价格供应量 = c + d * 价格其中a、b、c、d为常数，代表了价格对需求量和供应量的影响程度。
通过求解该方程组，可以得到市场均衡价格和数量，对于经济政策的制定和市场预测具有重要意义。
二、物理学中的应用在物理学中，二元一次方程可以用来描述物体的运动轨迹。
例如，假设某个物体在匀速直线运动，其初始位置为x0，速度为v，运动时间为t，那么可以建立以下二元一次方程来表示物体的位置与时间的关系：位置 = x0 + v * 时间通过解这个方程，可以计算出物体在任意时刻的位置，从而研究物体的运动规律，预测未来的位置，为工程设计和运输规划提供依据。
三、工程领域中的应用在工程领域中，二元一次方程可以用来解决实际问题。
例如，假设某个工程项目需要两种材料A和B，材料A的价格为x元/吨，材料B的价格为y元/吨，而工程项目需要的总重量为m吨，总成本为C元，那么可以建立以下二元一次方程来表示成本与材料价格和重量的关系：成本 = x * 重量A + y * 重量B重量A + 重量B = m通过求解这个方程组，可以得到材料A和B的重量，从而确定最小成本的方案，为工程项目的实施提供经济效益分析和决策依据。
四、生活中的应用二元一次方程还可以应用于日常生活中的实际问题。
例如，假设某人去超市购买苹果和橙子，苹果的单价为x元/个，橙子的单价为y 元/个，苹果的数量为a个，橙子的数量为b个，总花费为C元，那么可以建立以下二元一次方程来表示花费与商品价格和数量的关系：花费 = x * 苹果数量 + y * 橙子数量苹果数量 + 橙子数量 = 总数量通过求解这个方程组，可以得到苹果和橙子的数量，从而确定购买方案，帮助人们合理安排消费和控制预算。
二元一次方程组应用题最全归纳
二元一次方程组解应用题之典型题题型一配套问题1．某服装厂生产一批某种款式的秋装，已知每2米的某种布料可做上衣的衣身3个或衣袖5只. 现计划用132米这种布料生产这批秋装(不考虑布料的损耗)，应分别用多少布料才能使做的衣身和衣袖恰好配套？题型二调配问题2.某校师生到甲、乙两个工厂参加劳动，如果从甲厂抽9人到乙厂，则两厂的人数相同；如果从乙厂抽5人到甲厂，则甲厂的人数是乙厂的2倍，到两个工厂的人数各是多少？题型三工程问题3．某城市为了缓解缺水状况，实施了一项饮水工程，就是把200千米以外的的一条大河的水引到城市中来，把这个工程交给了甲乙两个施工队，工期为50天，甲、乙两队合作了30天后，乙队因另有任务需要离开10天，于是甲队加快速度，每天多修了0.6千米，10天后乙队回来，为了保证工期，甲队保持现在的速度不变，乙队也比原来多修0.4千米，结果如期完成。
问甲乙两队原计划每天各修多少千米？题型四方案决策问题1．某商场计划拨款9万元从厂家购进50台电视机，已知该厂家生产三种不同型号的电视机，出厂价分别是：甲种电视机每台1500元，乙种电视机每台2100元，丙种电视机每台2500元．（1）若商场同时购进其中两种不同型号的电视机共50台，用去9万元，请你研究一下商场的进货方案，（2）若商场销售一台甲种电视机可获利150元，销售一台乙种电视机可获利200元，销售一台丙种电视机可获利250元．在同时购进两种不同型号电视机的方案中，为使销售进获利最多，你会选择哪种进货方案？（3）若商场准备用9万元同时购进三种不同型号的电视机50台，请你设计进货方案．9．某地生产的一种绿色蔬菜，若在市场上直接销售，每吨利润为1000元，经粗加工后销售，每吨利润可达4500元，经精加工后销售，每吨利润涨至7500元．当地一家农工商公司收获这种蔬菜140吨．该公司加工厂的生产能力是：如果对蔬菜进行粗加工，每天可加工16吨；如果进行精加工，每天可加工6吨，但两种加工方式不能同时进行．受季节等条件限制，公司必须在15天之内将这批蔬菜全部销售或加工完毕．为此，公司研制了三种加工方案：方案一：将蔬菜全部进行粗加工．方案二：尽可能多地对蔬菜进行精加工，没来得及进行加工的蔬菜在市场上直接销售．方案三：将部分蔬菜进行精加工，其余蔬菜进行粗加工，并恰好用15天完成．你认为选择哪种方案获利最多？为什么？。
初一数学：二元一次方程组实际应用：调配问题汇总
1. 工程问题等量关系：工作效率×工作时间=工作总量说明：这一类型题目中往往会出现两种工作效率，两种工作时间，以及两种工作总量，根据题意列出两个等式即可解决问题。
2. 浓度问题等量关系：溶质=溶液×浓度溶液=溶质+溶剂题型：（1）稀释问题（2）浓缩问题（3）不同浓度的液体混合后求混合后液体的浓度注意：稀释后液体质量会增大，溶解在液体中的物质质量不变浓缩后液体质量会减小，溶解在液体中的物质质量不变3. 调运问题等量关系：A车数目×A车费用+B车数目×B车费用=总费用A车数目×A车运货量×运货次数+B车数目×B车运货量×运货次数=货物总量说明：这类问题以运货的形式出现，用轮船或卡车运货，题目中会出现不同的运输工具，不同的运货总量，不同的运货时间和费用。
4. 配套问题（1）这类问题涉及的产品一般由A、B两个部件构成，而为了配套，这两个部件必须满足一个比例关系。
例如：生产一件商品需要2个部件A，3个部件B，那么我们生产部件A和部件B的总数之比就是2：3，才能保证生产出的产品配套。
（2）另一方面涉及一种材料做成不同部件的数目不同。
例如：一张铁皮可以做10个部件A或30个部件B。
我们要根据1和2两方面来找等量关系，从而列出两个等式来解决问题。
例题1 有两种药水，一种浓度为60％，另一种浓度为90％，现要配制浓度为70％的药水300克，问每种药水各需多少克？解析：根据两种药水共300克及配置前后溶质的质量不变，可以列出两个方程。
答案：解：设浓度为60％的药水x 克，浓度为90％的药水y 克。
由题意，得609030073000x y x y ⎧⎨+=⨯+=⎩％％％解得：200100x y =⎧⎨=⎩ 答：浓度为60％的药水200克，浓度为90％的药水100克.点拨：抓住浓度问题中的等量关系是解题的关键。
例题2 小兰在玩具厂劳动，做4个小狗、7个小汽车用去3小时42分，做5个小狗、6个小汽车用去3小时37分。
中考重点二元一次方程组的应用
中考重点二元一次方程组的应用二元一次方程组是中考数学中的重点内容，它在实际问题中的应用十分广泛。
本文将从不同应用的角度，介绍二元一次方程组的应用。
一、商业应用在商业运作中，二元一次方程组经常用于描述商品的定价和销售情况。
例如，某商店销售价格为x元的商品，销量为y件。
根据市场调查，当商品售价为20元时，销量为1000件；当商品售价为30元时，销量为800件。
可以通过以下方程组来表示这个问题：x = 20, y = 1000x = 30, y = 800通过求解这个方程组，可以得到商品的定价和销量之间的关系，从而制定合理的销售策略。
二、几何应用二元一次方程组在几何中的应用十分重要。
例如，在平面几何中考虑直线和圆的交点问题，就可以建立二元一次方程组来求解。
假设有一条直线表示为y = ax + b，一个圆的方程为x^2 + y^2 = r^2。
要求解直线与圆的交点坐标，可以建立以下方程组：y = ax + bx^2 + y^2 = r^2通过求解这个方程组，可以得到直线与圆的交点坐标，从而解决直线与圆的几何关系问题。
三、物理应用二元一次方程组在物理学中的应用也非常常见。
例如，考虑一个抛体运动问题，假设物体从一定高度自由落体，同时以一定初速度水平抛出。
可以建立以下方程组来描述物体的运动：y = gt^2/2 + v0t + h0x = vt其中，y表示物体的高度，x表示物体的水平位移，g表示重力加速度，t表示时间，v0表示初速度，h0表示初始高度。
通过求解这个方程组，可以得到物体的高度和水平位移与时间的关系，从而解决抛体运动问题。
四、经济应用二元一次方程组还常用于经济学中的供求分析和消费模型等问题。
例如，考虑市场上的供需平衡问题，可以建立以下方程组来描述供求关系：p = a - bqp = c + dq其中，p表示商品的价格，q表示商品的需求量，a、b、c、d为常数。
通过求解这个方程组，可以得到商品价格与需求量的关系，从而分析市场供求平衡情况，从宏观和微观层面了解经济运行状况。
二元一次方程的应用
二元一次方程的应用一、直线的方程在数学中，直线可以用一元一次方程的形式表示，即y = kx + b，其中k和b是常数。
但是，在某些情况下，我们需要通过另外一种形式来表示直线的方程，即二元一次方程的形式。
二元一次方程的一般形式为Ax + By + C = 0，其中A、B和C都是常数，且A和B至少有一个不为0。
这种形式的方程可以用来表示平面直线的方程。
下面将介绍两种常见的二元一次方程应用情况。
二、解析几何中的直线方程在解析几何中，我们经常会遇到需要求解直线方程的问题。
例如，已知直线上的两个点P(x1, y1)和Q(x2, y2)，我们可以通过这两个点的坐标来确定直线的方程。
假设直线的方程为Ax + By + C = 0，需要求解出A、B和C的值。
根据点P和Q的坐标，我们可以得到两个方程：x1A + y1B + C = 0和x2A + y2B + C = 0。
通过解这个方程组，我们可以求解出A、B和C的值，从而确定直线的方程。
三、物理学中的运动方程二元一次方程还经常出现在物理学的问题中，特别是与运动相关的问题。
例如，当我们需要描述一个质点的运动轨迹时，可以通过建立质点的运动方程来解决问题。
假设质点的运动方程为Ax + By + C = 0，其中A和B分别表示质点在x轴和y轴上的速度，C表示初始位置与时间的关系。
通过解二元一次方程，我们可以得到质点的运动方程，从而确定其位置与时间的关系。
四、经济学中的供求关系在经济学中，供求关系是一个重要的研究领域。
二元一次方程可以被广泛应用于供求关系的建立和分析过程中。
假设供求关系的方程为Ax + By + C = 0，其中A表示需求的变化系数，B表示供给的变化系数，C表示供求关系的平衡点。
通过解二元一次方程，我们可以确定供给和需求两者的平衡点，从而分析市场的供求状况。
总结：二元一次方程在数学、物理学、经济学等领域都有广泛的应用。
无论是解析几何中的直线方程、物理学中的运动方程还是经济学中的供求关系，二元一次方程都能提供有效的数学工具来解决实际问题。
二元一次方程组的12种应用题型归纳
二元一次方程组的12种应用题型归纳类型一：行程问题【例1】甲、乙两人相距36千米，相向而行，如果甲比乙先走2小时，那么他们在乙出发2.5小时后相遇；如果乙比甲先走2小时，那么他们在甲出发3小时后相遇，甲、乙两人每小时各走多少千米？解：设甲的速度为x千米/时，乙的速度为y千米/时。
解得答：甲的速度为6千米/时，乙的速度为3.6千米/时。
【例2】两地相距280千米，一艘船在其间航行，顺流用14小时，逆流用20小时，求这艘船在静水中的速度和水流速度。
解：设这艘船在静水中的速度为x千米/时，水流速度为y千米/时。
解得答：这艘船在静水中的速度为17千米/时，水流速度为3千米/时。
类型二：工程问题【例】小明家准备装修一套新住房，若甲、乙两个装饰公司合作6周完成，需工钱5.2万元；若甲公司单独做4周后，剩下的由乙公司来做，还需9周完成，需工钱4.8万元。
若只选一个公司单独完成，从节约开支的角度考虑，小明家应选甲公司还是乙公司？请你说明理由。
解：设甲公司每周的工作效率为x，乙公司每周的工作效率为y。
解得∴1÷=10(周) 1÷=15(周)∴甲公司单独完成这项工程需10周，乙公司单独完成这项工程需15周。
设甲公司每周的工钱为a万元，乙公司每周的工钱为b万元。
解得此时10a=6(万元) 15b=4(万元) 6>4答：从节约开支的角度考虑，小明家应选择乙公司。
类型三：商品销售利润问题【例1】李大叔去年承包了10亩地种植甲、乙两种蔬菜，共获利18000元，其中甲种蔬菜每亩获利2000元，乙种蔬菜每亩获利1500元，李大叔去年种植甲、乙蔬菜各多少亩？解：设李大叔去年种植甲蔬菜x亩，乙蔬菜y亩。
解得答：李大叔去年种植甲蔬菜x亩，乙蔬菜y亩。
【例2】某商场用36万元购进A、B两种商品，销售完后共获利6万元，其进价和售价如下表，求该商场购进A、B两种商品各多少件。
A B进价(元/件) 1200 1000售价(元/件) 1380 1200注：获利= 售价-进价解：设该商场购进A商品x件，B商品y件。
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二元一次方程应用----知识点归纳总结重点：列方程解应用题知识要点梳理：知识点一：列二元一次方程解应用题的方法和一般步骤列方程解实际应用题的关键是从问题中找出一个相等关系，然后恰当地设出未知数，把相等关系中的各个量用含有已知数和未知数的代数式表示，这样就可列出方程，这一过程可以简单表述为：问题方程解答．在设未知数和解答时，应注意量的单位．综上所述，列方程解应用题的方法步骤可概括为：（1）审题，分析题中已知什么，未知什么，明确各量之间的关系，寻找等量关系．（2）设未知数，一般求什么就设什么为x，但有时也可以间接设未知数．（3）列方程，把相等关系左右两边的量用含有未知数的代数式表示出来，列出方程．（4）解方程．（5）检验，看方程的解是否符合题意．（6）写出答案．注意：①设未知数和写答案时，单位要写清楚．②列方程时，方程两边所表示的量应该相同，并且各项的单位要一致．③对于求得的方程的解，还要看它是否符合题意．知识点二：常见的一些等量关系1. 销售中的盈亏问题：（1）（2）标价＝成本(或进价)×(1＋利润率)；（3）实际售价＝标价×打折率；（4）利润＝售价－成本(或进价)＝成本×利润率；注意：“商品利润＝售价－成本”中的右边为正时，是盈利；当右边为负时，就是亏损。
打几折就是按标价的十分之几或百分之几十销售。
2. 积分问题：积分问题多出现在球赛和知识竞赛中，赛事的规则不同，得分也不一样，一般地，球赛总得分＝胜场得分＋平场得分＋负场得分；知识竞赛得分＝对题得分＋错题得分＋不做题得分。
注意：从比赛的规则入手正确找出相等关系是列方程的关键。
3．行程问题：（1）路程=速度×时间（2）相遇路程=速度和×相遇时间（3）追及路程=速度差×追及时间（4）顺流速度=静水速度+水流速度（5）逆流速度=静水速度－水流速度（6）顺水速度－逆水速度＝2×水速。
4．形积变化中的方程(1)相关公式①长方体体积＝长×宽×高。
②圆柱体体积＝底面积×高。
③长方形面积＝长×宽；长方形周长＝2×(长＋宽)。
④圆的面积＝π×半径2；圆的周长＝直径×π。
(2)“等积变形”中常见的情况①形状发生了变化，而体积没变。
②形状、面积发生了变化，而周长没变。
③形状、体积发生了变化，但根据题意能找出体积之间的关系，把这个关系作为等量关系。
④形状、周长发生了变化，但概括题意能找出周长之间的关系，求面积。
(3)形积变化问题形积变化，即图形的形状改变时，面积也随之发生变化。
注意：在形积变化时，图形的形状和面积都发生了变化，应注意在已知题目中找出不变的，也就是找出等量关系列出方程。
5．工程问题：如果题目没有明确指明总工作量，一般把总工作量设为1．基本关系式：（1）总工作量=工作效率×工作时间；（2）总工作量=各单位工作量之和．6．银行存贷款问题：（1）利息=本金×利率×期数（2）实得利息=利息-利息税（3）利息税=利息×利息税率（4）年利率＝月利率×12（5）本息和（本利和）＝本金＋利息＝本金＋本金×利率×期数＝本金×(1＋利率×期数)7．数字问题：已知各数位上的数字。
写出两位数，三位数等这类问题一般设间接未知数，例如：a，b分别为一个两位数的个位上，十位上的数字，则这个两位数可以表示为10b+a．8．调配问题：从调配后的数量关系中找等量关系，注意弄清调配对象流动的方向和数量．9．浓度问题：溶液质量=溶质质量+溶剂质量浓度=溶质质量=溶液质量×浓度．知识点三：设计方案的选择问题选择设计方案的一般步骤：（1）运用二元一次方程解应用题的方法求解两种方案值相等的情况．（2）用特殊值试探法选择方案，取小于（或大于）一元一次方程解的值，比较两种方案的优劣性后下结论．经典例题类型一：销售中的盈亏问题1、某商品的进价是2000元，标价为3000元，商店要求以利润率等于5%的售价打折出售，售货员应该打几折出售此商品?思路：根据利润率=，利润=售价－进价，若设售货员可以打x折出售此商品，则售价为，利润为元，解：设售货员最低可以打x折出售此商品，得，。
总结升华：打1折就是乘，打2折就是乘，打折就是乘。
因为打x折出售，即售价。
列方程解应用题主要有两方面的困难：一是找不到等量关系；二是找出等量关系后不会列方程，找等量关系要充分利用题目给出的已知条件，着重分析已知量与未知量之间的数量关系，列出含有未知量的具有等量关系的两个不同的代数式，用“＝”号连接两个代数式，从而得到方程。
类型二：积分问题2、阳光中学在兴办的足球比赛中规定：胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分。
某班足球队参加了12场比赛，一共得22分，已知这支球队只输了2场，那么这支球队胜几场？平几场？解：设这支球队胜x场，那么平了场数为[(12-2)－x)]=10-x，根据题意，得3x＋(10－x)×1＝22，解方程得x＝6，所以10－x＝10－6＝4总结升华：题中的等量关系是：球队得分＝胜场得分＋平场得分，把球赛与方程联系起来，培养运用方程知识解答和分析实际问题的能力。
类型三：行程问题3、A、B两码头相距150km，甲、乙两船分别从两码头开始相向而行，2. 5 h相遇，已知甲的速度是乙的速度的1.5倍，问甲、乙两船的速度各为多少?思路：这是行程问题中的相遇问题，设乙的速度为x km／h，则甲的速度1.5x km／h，相遇时，甲、乙各自的行程分别为2.5×1.5x km、2.5x km，它们的和等于总路程．解：设乙船速度为x km／h，甲船速度为1.5x km／h．由题意得2.5×1.5x + 2.5x=150，解得x=24．总结升华：相遇问题等量关系：甲路程+乙路程=总路程。
相遇路程=速度和×相遇时间类型四：形积变化中的方程4、用直径是20mm的圆钢1米，能拉成直径是2mm的圆钢多少米？思路：本题是等积变形问题。
等量关系是拉伸前的体积＝拉伸后的体积。
涉及公式是圆柱体的体积V＝πr2h。
解：设能拉成xmm，依题意得π·×1000＝π··x，解得x＝100000,100000mm＝100m。
答：能拉成直径是2mm的圆钢100m。
总结升华：解应用题时单位应统一，比如本题如果没有统一单位。
设能拉成圆钢x米，列方程π··1＝π·x，解得x＝100。
尽管结果是对的，但是所列方程是错误的，与实际生活不符。
类型五：工程问题5、一项工程，甲单独做要8天完成，乙单独做要12天完成，丙单独做要24天完成，现在甲、乙合作3天后，甲因事离去，由乙、丙合作，问乙、丙还要做几天才完成这项工程?思路：这是一道多人合作的工程问题，本题明显的等量关系是甲、乙合作的工量+乙、丙合作的工作量=总工作量，设还需x天完成，那么甲、乙合作的工作量为。
乙、丙合作的工作量为，由上面等量关系可列方程。
解：设还需x天完成，由题意列方程得，解得x=3．答：乙、丙还要做3天才能完成这项工程．总结升华：弄清关系式：总工作量=各单位工作量之和；并且没有告诉总工作量的工程，总工作量都看作“1”。
类型六：银行存贷款问题6、小张在银行存了一笔钱，月利率为2%，利息税为20%，5个月后，他一共取出了本息1080元，问它存入的本金是多少元？思路：这是一个实际生活中常见的问题，这里利息税是指把利息的20%上缴国家，本息则指本金与利息的和。
解：设小张存入的本金为x元，则5个月后的利息为2%×x×5即0.1x元，这些利息需交利息税0.1x×20%即0.02x元由题意得：x+0.1x-0.02x=1080∴x=1000答：他存入银行的本金为1000元。
类型七：数字问题7、一个三位数，十位上的数是百位上的数的2倍，百位、个位上的数和比十位上的数大2，又个位、十位、百位上的数的和是14，求这个三位数。
思路：本题要求一个三位数，即要求出个、十、百位上的数字，根据第一个条件，设百位上的数为x更好一些，此时，十位上的数为2x，个位数字可由第三个条件得到14-2x-x，再由第二个条件列出方程。
解：设百位上的数为x，则十位上的数为2x，个位上的数为14-2x-x由题意得：x+14-2x-x=2x+2∴x=3∴这个三位数为365类型八：调配问题8、现有甲、乙两项工程，甲的工作量是乙的2倍，第一组有19人，第二组有14人（假设人均工作效率相同），怎样调配两组的人数，才能使两项工程同时开工，又同时完成呢?思路：因为甲工程的工作量是乙工程的工作量的2倍，且人均工作效率相同，所以甲工程需要的人数是乙工程需要的人数的2倍．解法一：设从第二组抽调x人去第一组，则抽调后第一组人数(19+x)人，第二组为(14-x)人，由题意得：19+x=2(14- x)，解得x = 3．答：从第二组抽调3人去第一组，由第一组去做甲工程，第二组去做乙工程．解法二：设第一组调出y人去第二组，由第二组做甲工程，得，解得。
答：从第一组抽调8人去第二组，由第一组去做乙工程，第二组去做甲工程．总结升华：解题关键从工作量的关系推出所需人数的关系。
类型九：方案选择9、为了准备小颖6年后上大学的学费5000元，她的父母现在就参加了教育储蓄，下面有两种储蓄方式：（1）先存一个3年期的，3年后将本息和自动转存下一个3年期；（2）直接存一个6年期．参照下图，你认为哪种储蓄方式开始存入的本金比较少?思路：利用本息计算公式、利息计算公式：本息和=本金+利息，利息=本金×利率×期数，可分别算出两种储蓄方式的本金．解：设开始存入x元．如果按照第一种储蓄方式有x (1+3.24%×3)(1+3.24%×3)=5000，解这个方程，得x≈4153；如果按照第二种储蓄方式有，解这个方程得x≈4112．所以，第一种储蓄方式开始存入的本金约需4153元，第二种储蓄方式开始存入的本金约需4112元．因为4153>4112，因此，按第二种储蓄方式开始存人的本金少．。