高中数学选修2-3-条件概率
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记为 A I B (或 AB );
3.若 AB 为不可能事件,则说事件A与B互斥.
探究：
三张奖券中只有一张能中奖，现分别由三名同学 无放回的抽取，问最后一名同学抽到中奖奖券的概率 是否比前两名同学小。
思考1？
如果已经知道第一名同学没有抽到中奖奖券，那 么最后一名同学抽到中奖奖券的概率又是多少？
已知第一名同学的抽奖结果为什么会影响最 后一名同学抽到中奖奖券的概率呢？
（1）因为100 件产品中有 70 件一等品，P(B) 70 0.7 100
（2）方法1： 因为95 件合格品中有 70 件一等品，所以
Q B AAB B
P(B A) 70 0.7368
方法2：
95
P(B
A)
P( AB) P( A)
70 95
100 100
0.7368
（假定生男生女为等可能）
例3
设P(A|B)=P(B|A)=
1 2
,P(A)= 1 ,求P(B). 3
例4 盒中有球如表. 任取一球
玻璃
木质
总计
红
2
3
5
蓝
4
7
11
总计 6
10
16
若已知取得是蓝球,问该球是玻璃球的概率.
变式 :若已知取得是玻璃球,求取得是蓝球的概率.
例 5 一张储蓄卡的密码共有6位数字，每位数字都可从
练习 抛掷两颗均匀的骰子，已知第一颗骰子掷
出6点，问：掷出点数之和大于等于10的概率。
变式 ：抛掷两颗均匀的骰子，已知点数不同，求至少
有一个是6点的概率？
例 2 考虑恰有两个小孩的家庭.
（1）若已知 某一家有一个女孩，求这家另一个是男孩 的概率；
（2）若已知 某家第一个是男孩，求这家有两个男孩 （相当于第二个也是男孩）的概率
间缩小到只包含A的样本点 P(B | A) n( AB) 2 n( A) 3
B5
1 3
A
2
4,6
3. 设 100 件产品中有 70 件一等品，25 件二等品，
规定一、二等品为合格品．从中任取1 件，求 (1) 取得 一等品的概率；(2) 已知取得的是合格品，求它是一等 品的概率．
解 设B表示取得一等品，A表示取得合格品，则
⑵几何解释:
⑶可加性： 如果 B和C 互斥，
BA
那么 P (B U C ) | A P(B | A) P(C | A)
基本概念
3.概率 P(B|A)与P(AB)的区别与联系
P(AB) 表 示 在 样 本 空 间 中,计 算 AB发 生
的 概 率,而 P(B A) 表 示 在 缩 小 的 样 本 空 间A 中, 计 算 B 发 生 的 概 率.用 古 典 概 率 公 式,则
0—9中任选一个。某人在银行自动取款机上取钱时，忘记 了密码的最后一位数字，求：
（1）任意按最后一位数字，不超过2次就按对的概率； （2）如果他记得密码的最后一位是偶数，不超过2次就按
对的概率。
例 6 甲、乙两地都位于长江下游，根据一百多年的气象记
录，知道甲、乙两地一年中雨天占的比例分别为20%和18%， 两地同时下雨的比例为12%，问： （1）乙地为雨天时，甲地为雨天的概率为多少？ （2）甲地为雨天时，乙地也为雨天的概率为多少？
0.56 0.7
BA
P( A) P( A)
5
2.抛掷一颗骰子,观察出现的点数
B={出现的点数是奇数}＝｛１，３，５｝
A={出现的点数不超过3}＝｛１，２，３｝
若已知出现的点数不超过3，求出现的点数是奇数 的概率
解：即事件 A 已发生，求事件 B 的概率
也就是求：Ｐ（B｜A）
A B 都发生，但样本空
P(B
A)
AB 中 样 本 点 数 A 中 样 本 点 数,
P(AB)
百度文库
AB 中 样 本 点 数 中样本点数
一 般 来 说, P(B A)比 P(AB) 大.
例题讲解： 例1在5道题中有3道理科题和2道文科题，如果不放回
的依次抽取2道题 （1）第一次抽到理科题的概率 （2）第一次与第二次都抽到理科题的概率 （3）第一次抽到理科题的条件下，第二次抽到理科 题的概率.
n()
P(B |A)相当于把Ａ看作新的
基本事件空间求Ａ∩Ｂ发生的 概率
BA
基本概念
1.条件概率
对任意事件A和事件B，在已知事件A发生的 条件下事件B发生的条件概率”，叫做条件概率。 记作P(B |A).
2.条件概率计算公式:
P(B | A) P(AB) P( A)
注:⑴ 0 ≤ P(B | A) ≤1 ;
例 7一个箱子中装有2n 个白球和（2n-1）个黑球，
一次摸出个n球.
(1)求摸到的都是白球的概率；
(2)在已知它们的颜色相同的情况下，求该颜色是白色 的概率。
例 8 如图所示的正方形被平均分成9个部分，向大
正方形区域随机的投掷一个点（每次都能投中）， 设投中最左侧3个小正方形的事件记为A，投中最上 面3个小正方形或中间的1个小正方形的事件记为B， 求 P(A|B)。
2.2.1条件概率
复习引入：
我们知道求事件的概率有加法公式：
若事件A与B互斥，则. P( AU B) P(A) P(B)
那么怎么求A与B的积事件AB呢? 注: 1.事件A与B至少有一个发生的事件叫做A与B的
和事件,记为 A U B (或 A B );
2.事件A与B都发生的事件叫做A与B的积事件,
B 70 95A
5
4、5个乒乓球，其中3个新的，2个旧的，每次取一个，不
放回的取两次，求：
（1）第一次取到新球的概率； （2）第二次取到新球的概率； （3）在第一次取到新球的条件下第二次取到新球的概率。
5、一只口袋内装有2个白球和2个黑球，那么
（1）先摸出1个白球不放回，再摸出1个白球的概率是多少？ （2）先摸出1个白球后放回，再摸出1个白球的概率是多少？
一般地，在已知另一事件A发生的前提下，事件 B发生的可能性大小不一定再是P(B).
条件的附加意味着对样本空间进行压缩.
引例:
掷红、蓝两颗骰子。
设事件A=“蓝色骰子的点数为3或6” 事件B=“两颗骰子点数之和大于8” 求(1)P(A)，P(B)，P(AB)
(2)在“事件A已发生”的附加条件下事件Ｂ发 生 的概率？
1.某种动物出生之后活到20岁的概率为0.7， 活到25岁的概率为0.56，求现年为20岁的这种 动物活到25岁的概率。
解 设A表示“活到20岁”(即≥20)，B表示 “活到25岁” (即≥25)
则 P(A) 0.7, P(B) 0.56
由于B A故A I B B，
所求概率为
P(B A) P( AB) P(B) 0.8
(3)比较(2)中结果与P(B)的大小及三者概率之 间关系
思考2？
对于上面的事件A和事件B，P(B|A)与它们的概 率有什么关系呢？P(B |A)称为在已知事件A发生的条件
下事件B发生的条件概率
n( AB)
P(B | A) n( AB) n( A)
n() n( A)
P( AB) P( A)
3.若 AB 为不可能事件,则说事件A与B互斥.
探究：
三张奖券中只有一张能中奖，现分别由三名同学 无放回的抽取，问最后一名同学抽到中奖奖券的概率 是否比前两名同学小。
思考1？
如果已经知道第一名同学没有抽到中奖奖券，那 么最后一名同学抽到中奖奖券的概率又是多少？
已知第一名同学的抽奖结果为什么会影响最 后一名同学抽到中奖奖券的概率呢？
（1）因为100 件产品中有 70 件一等品，P(B) 70 0.7 100
（2）方法1： 因为95 件合格品中有 70 件一等品，所以
Q B AAB B
P(B A) 70 0.7368
方法2：
95
P(B
A)
P( AB) P( A)
70 95
100 100
0.7368
（假定生男生女为等可能）
例3
设P(A|B)=P(B|A)=
1 2
,P(A)= 1 ,求P(B). 3
例4 盒中有球如表. 任取一球
玻璃
木质
总计
红
2
3
5
蓝
4
7
11
总计 6
10
16
若已知取得是蓝球,问该球是玻璃球的概率.
变式 :若已知取得是玻璃球,求取得是蓝球的概率.
例 5 一张储蓄卡的密码共有6位数字，每位数字都可从
练习 抛掷两颗均匀的骰子，已知第一颗骰子掷
出6点，问：掷出点数之和大于等于10的概率。
变式 ：抛掷两颗均匀的骰子，已知点数不同，求至少
有一个是6点的概率？
例 2 考虑恰有两个小孩的家庭.
（1）若已知 某一家有一个女孩，求这家另一个是男孩 的概率；
（2）若已知 某家第一个是男孩，求这家有两个男孩 （相当于第二个也是男孩）的概率
间缩小到只包含A的样本点 P(B | A) n( AB) 2 n( A) 3
B5
1 3
A
2
4,6
3. 设 100 件产品中有 70 件一等品，25 件二等品，
规定一、二等品为合格品．从中任取1 件，求 (1) 取得 一等品的概率；(2) 已知取得的是合格品，求它是一等 品的概率．
解 设B表示取得一等品，A表示取得合格品，则
⑵几何解释:
⑶可加性： 如果 B和C 互斥，
BA
那么 P (B U C ) | A P(B | A) P(C | A)
基本概念
3.概率 P(B|A)与P(AB)的区别与联系
P(AB) 表 示 在 样 本 空 间 中,计 算 AB发 生
的 概 率,而 P(B A) 表 示 在 缩 小 的 样 本 空 间A 中, 计 算 B 发 生 的 概 率.用 古 典 概 率 公 式,则
0—9中任选一个。某人在银行自动取款机上取钱时，忘记 了密码的最后一位数字，求：
（1）任意按最后一位数字，不超过2次就按对的概率； （2）如果他记得密码的最后一位是偶数，不超过2次就按
对的概率。
例 6 甲、乙两地都位于长江下游，根据一百多年的气象记
录，知道甲、乙两地一年中雨天占的比例分别为20%和18%， 两地同时下雨的比例为12%，问： （1）乙地为雨天时，甲地为雨天的概率为多少？ （2）甲地为雨天时，乙地也为雨天的概率为多少？
0.56 0.7
BA
P( A) P( A)
5
2.抛掷一颗骰子,观察出现的点数
B={出现的点数是奇数}＝｛１，３，５｝
A={出现的点数不超过3}＝｛１，２，３｝
若已知出现的点数不超过3，求出现的点数是奇数 的概率
解：即事件 A 已发生，求事件 B 的概率
也就是求：Ｐ（B｜A）
A B 都发生，但样本空
P(B
A)
AB 中 样 本 点 数 A 中 样 本 点 数,
P(AB)
百度文库
AB 中 样 本 点 数 中样本点数
一 般 来 说, P(B A)比 P(AB) 大.
例题讲解： 例1在5道题中有3道理科题和2道文科题，如果不放回
的依次抽取2道题 （1）第一次抽到理科题的概率 （2）第一次与第二次都抽到理科题的概率 （3）第一次抽到理科题的条件下，第二次抽到理科 题的概率.
n()
P(B |A)相当于把Ａ看作新的
基本事件空间求Ａ∩Ｂ发生的 概率
BA
基本概念
1.条件概率
对任意事件A和事件B，在已知事件A发生的 条件下事件B发生的条件概率”，叫做条件概率。 记作P(B |A).
2.条件概率计算公式:
P(B | A) P(AB) P( A)
注:⑴ 0 ≤ P(B | A) ≤1 ;
例 7一个箱子中装有2n 个白球和（2n-1）个黑球，
一次摸出个n球.
(1)求摸到的都是白球的概率；
(2)在已知它们的颜色相同的情况下，求该颜色是白色 的概率。
例 8 如图所示的正方形被平均分成9个部分，向大
正方形区域随机的投掷一个点（每次都能投中）， 设投中最左侧3个小正方形的事件记为A，投中最上 面3个小正方形或中间的1个小正方形的事件记为B， 求 P(A|B)。
2.2.1条件概率
复习引入：
我们知道求事件的概率有加法公式：
若事件A与B互斥，则. P( AU B) P(A) P(B)
那么怎么求A与B的积事件AB呢? 注: 1.事件A与B至少有一个发生的事件叫做A与B的
和事件,记为 A U B (或 A B );
2.事件A与B都发生的事件叫做A与B的积事件,
B 70 95A
5
4、5个乒乓球，其中3个新的，2个旧的，每次取一个，不
放回的取两次，求：
（1）第一次取到新球的概率； （2）第二次取到新球的概率； （3）在第一次取到新球的条件下第二次取到新球的概率。
5、一只口袋内装有2个白球和2个黑球，那么
（1）先摸出1个白球不放回，再摸出1个白球的概率是多少？ （2）先摸出1个白球后放回，再摸出1个白球的概率是多少？
一般地，在已知另一事件A发生的前提下，事件 B发生的可能性大小不一定再是P(B).
条件的附加意味着对样本空间进行压缩.
引例:
掷红、蓝两颗骰子。
设事件A=“蓝色骰子的点数为3或6” 事件B=“两颗骰子点数之和大于8” 求(1)P(A)，P(B)，P(AB)
(2)在“事件A已发生”的附加条件下事件Ｂ发 生 的概率？
1.某种动物出生之后活到20岁的概率为0.7， 活到25岁的概率为0.56，求现年为20岁的这种 动物活到25岁的概率。
解 设A表示“活到20岁”(即≥20)，B表示 “活到25岁” (即≥25)
则 P(A) 0.7, P(B) 0.56
由于B A故A I B B，
所求概率为
P(B A) P( AB) P(B) 0.8
(3)比较(2)中结果与P(B)的大小及三者概率之 间关系
思考2？
对于上面的事件A和事件B，P(B|A)与它们的概 率有什么关系呢？P(B |A)称为在已知事件A发生的条件
下事件B发生的条件概率
n( AB)
P(B | A) n( AB) n( A)
n() n( A)
P( AB) P( A)