中点坐标法解决二次函数中平行四边形存在性问题

图 2 图 3 图1 另辟蹊径 解决二次函数中平行四边形存在性问题

以二次函数为载体的平行四边形存在性问题是近年来中考的热点，其图形复杂，知识覆盖面广，综合性较强，对学生分析问题和解决问题的能力要求高．对这类题，常规解法是先画出平行四边形，再依据“平行四边形的一组对边平行且相等”或“平行四边形的对角线互相平分”来解决．由于先要画出草图，若考虑不周，很容易漏解．为此，笔者另辟蹊径，借助探究平行四边形顶点坐标公式来解决这一类题．

1 两个结论，解题的切入点

数学课标，现行初中数学教材中没有线段的中点坐标公式，也没有平行四边形的顶点坐标公式，我们可帮助学生来探究，这可作为解题的切入点。

1.1 线段中点坐标公式

平面直角坐标系中，点A 坐标为(x 1,y 1)，点B 坐标为(x 2,y 2)，则线段AB 的中点坐标为(2

21x x +,221y y +). 证明 ： 如图1，设AB 中点P 的坐标为(x P ,y P ).由x P -x 1=x 2-x P ，得x P =2

21x x +，同理y P =221y y +，所以线段AB 的中点坐标为(2

21x x +,221y y +).

1.2 平行四边形顶点坐标公式 □ABCD 的顶点坐标分别为A (x A ,y A )、B (x B ,y B )、C (x C ,y C )、D (x D ,y D )，则：x A +x C =x B +x D ；y A +y C =y B +y D .

证明： 如图2，连接AC 、BD ，相交于点E ．

∵点E 为AC 的中点，

∴E 点坐标为(2

C A x x +,2C A y y +). 又∵点E 为B

D 的中点， ∴

E 点坐标为(

2D B x x +,2D B y y +). ∴x A +x C =x B +x D ；y A +y C =y B +y D .

即平行四边形对角线两端点的横坐标、纵坐标之和分别相等．

2 一个基本事实，解题的预备知识

如图3，已知不在同一直线上的三点A 、B 、C ，在平面内另找一个点D ，使以A 、B 、C 、D 为顶点的四边形是平行四边形．答案有三种：以AB 为对角线的□ACBD 1，以AC 为对角线的□ABCD 2，以BC 为对角线的□ABD 3C ．

3 两类存在性问题解题策略例析与反思

3.1 三个定点、一个动点，探究平行四边形的存在性问题

例1 已知抛物线y=x 2-2x+a (a ＜0）与y 轴相交于点A ，顶点为M .直线y=2

1x-a 分别与x 轴、y 轴相交于B 、C 两点，并且与直线AM 相交于点N .

(1)填空：试用含a 的代数式分别表示点M 与N 的坐标，则M ( ), N ( )；

图 4

图5

(2)如图4，将△NAC 沿y 轴翻折，若点N 的对应点N ′恰好落在抛物线上，AN ′与x 轴交于点D ，连接CD ，求a 的值和四边形ADCN 的面积；

(3)在抛物线y=x 2-2x+a (a ＜0）上是否存在一点P ，使得以P 、A 、C 、N 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，试说明理由.

解：(1)M (1,a-1)，N (a 34,-a 31)；(2)a=-49；S 四边形ADCN =16

189； (3)由已知条件易得A (0,a )、C (0,-a )、N (a 34,-a 3

1).设P (m ,m 2-2m +a ). ①当以AC 为对角线时，由平行四边形顶点坐标公式（解题时熟练推导出），得：

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨⎧+-+-=-+=+a m m a a a m a 23134002,∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-==81525a m . ∴P 1(25,-8

5)； ②当以AN 为对角线时，得:

⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-+-=-+=+a m m a a a m a 23103402,∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==81525a m (不合题意，舍去). ③当以CN 为对角线时，得:

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨⎧+-+=--+=+a m m a a a m a 23103402,∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=8321a m . ∴P 2(-21,8

7). ∴在抛物线上存在点P 1(

25,-85)和P 2(-21,87)，使得以P 、A 、C 、N 为顶点的四边形是平行四边形.

反思：已知三个定点的坐标，可设出抛物线上第四个顶点的坐标，运用平行四边形顶点坐标公式列方程（组）求解.这种题型由于三个定点构成的三条线段中哪条为对角线不清楚，往往要以这三条线段分别为对角线分类，分三种情况讨论.

3.2 两个定点、两个动点，探究平行四边形存在性问题

例2 如图5，在平面直角坐标系中，抛物线A (-1,0),B (3,0),C (0,-1)三点.

（1）求该抛物线的表达式；

（2）点Q 在y 轴上，点P 在抛物线上，要使以点Q 、P 、A 、B 为

顶点的四边形是平行四边形，求所有满足条件点P 的坐标.

解 ：（1）易求抛物线的表达式为y=13

2312--x x ； (2)由题意知点Q 在y 轴上，设点Q 坐标为(0,t )；点P 在抛物线上，

设点P 坐标为(m ,132312--m m ). 尽管点Q 在y 轴上，也是个动点，但可理解成一个定点，这样就转化为三定一动了．

图 6

①当以AQ 为对角线时，由四个顶点的横坐标公式得：-1+0=3+m ，

∴m=-4，∴P 1(-4,7)；

②当以BQ 为对角线时，得：-1+m=3+0，∴m=4，∴P 2(4,3

5)； ③当以AB 为对角线时，得：-1+3=m+0，∴m=2，∴P 3(2,-1).

综上，满足条件的点P 为P 1(-4,7)、P 2(4,3

5)、P 3(2,-1). 反思：这种题型往往特殊，一个动点在抛物线上，另一个动点在x 轴（y 轴）或对称轴或某一定直线上．设出抛物线上的动点坐标，另一个动点若在x 轴上，纵坐标为0，则用平行四边形顶点纵坐标公式；若在y 轴上，横坐标为0，则用平行四边形顶点横坐标公式．该动点哪个坐标已知就用与该坐标有关的公式．本例中点Q 的纵坐标t 没有用上，可以不设．另外，把在定直线上的动点看成一个定点，这样就转化为三定一动了，分别以三个定点构成的三条线段为对角线分类，分三种情况讨论.

例3 如图6，在平面直角坐标系中，已知抛物线经过A (-4,0),B (0,-4),C (2,0)三点．

（1）求抛物线的解析式；

（2）若点M 为第三象限内抛物线上一动点，点M 的横坐标为m ，△AMB 的面积为S ．求S 关于m 的函数关系式，并求出S 的最大值；

（3）若点P 是抛物线上的动点，点Q 是直线y =-x 上的动点，判断有几个位置能使以点P 、Q 、B 、O 为顶点的四边形为平行四边形，直接写出相应的点Q 的坐标．

解：（1）易求抛物线的解析式为y=

2

1x 2+x-4； （2）s=-m 2-4m (-4

由于点Q 是直线y=-x 上的动点，设Q (s ,-s )，把Q 看做定点；设P (m ,

2

1m 2+m -4). ①当以OQ 为对角线时，

⎪⎩⎪⎨⎧-++-=-+=+42140002m m s m s ∴s=-252±.

∴Q 1(-2+52,2-52)，Q 2(-2-52,2+52)；

②当以BQ 为对角线时，

⎪⎩⎪⎨⎧--=-+++=+s m m s m 44210002 ∴s 1=-4，s 2=0(舍).

∴Q 3(-4,4)；

③当以OB 为对角线时，

⎪⎩

⎪⎨⎧-++-=-+=+42140002m m s m s ∴s 1=4，s 2=0(舍).