(完整版)二次函数中平行四边形通用解决方法

●探究
（1）在图1中，已知线段AB，CD，其中点分别为E，F。

①若A（-1，0），B（3，0），则E点坐标为__________；
②若C（-2，2），D（-2，-1），则F点坐标为__________；
（2）在图2中，已知线段AB的端点坐标为A（a，b），B（c，d），求出图中AB中点D的坐标（用含a，b，c，d的代数式表示），并给出求解过程；
●归纳
无论线段AB处于直角坐标系中的哪个位置，
当其端点坐标为A（a，b），B（c，d），AB中点为D（x，y）时，x=_________，y=___________；（不必证明）
●运用
在图2中，一次函数y=x-2与反比例函数的图象交点为A，B。

①求出交点A，B的坐标；
②若以A，O，B，P为顶点的四边形是平行四边形，请利用上面的结论求出顶点P的坐标。

图 2 图 3 图1
以二次函数为载体的平行四边形存在性问题是近年来中考的热点，其图形复杂，知识覆盖面广，综合性较强，对学生分析问题和解决问题的能力要求高．对这类题，常规解法是先画出平行四边形，再依据“平行四边形的一组对边平行且相等”或“平行四边形的对角线互相平分”来解决．由于先要画出草图，若考虑不周，很容易漏解．为此，笔者另辟蹊径，借助探究平行四边形顶点坐标公式来解决这一类题．
1 两个结论，解题的切入点
数学课标，现行初中数学教材中没有线段的中点坐标公式，也没有平行四边形的顶点坐标公式，我们可帮助学生来探究，这可作为解题的切入点。

1.1 线段中点坐标公式
平面直角坐标系中，点A 坐标为(x 1,y 1)，点B 坐标为(x 2,y 2)，则线段AB 的中点坐标为(221x x +,2
21y y +). 证明 ： 如图1，设AB 中点P 的坐标为(x P ,y P ).由x P -x 1=x 2-x P ，得x P =
2
21x x +，同理y P =221y y +，所以线段AB 的中点坐标为(221x x +,221y y +).
1.2 平行四边形顶点坐标公式 □ABCD 的顶点坐标分别为A (x A ,y A )、B (x B ,y B )、C (x C ,y C )、D (x D ,y D )，则：x A +x C =x B +x D ；y A +y C =y B +y D .
证明： 如图2，连接AC 、BD ，相交于点E ．
∵点E 为AC 的中点，
∴E 点坐标为(2C A x x +,2
C A y y +). 又∵点E 为B
D 的中点， ∴
E 点坐标为(
2D B x x +,2D B y y +). ∴x A +x C =x B +x D ；y A +y C =y B +y D .
即平行四边形对角线两端点的横坐标、纵坐标之和分别相等．
2 一个基本事实，解题的预备知识
如图3，已知不在同一直线上的三点A 、B 、C ，在平面内另找一个点D ，使以A 、B 、C 、D 为顶点的四边形是平行四边形．答案有三种：以AB 为对角线的□ACBD 1，以AC 为对角线的□ABCD 2，以BC 为对角线的□ABD 3C ．
图4
3 两类存在性问题解题策略例析与反思
3.1 三个定点、一个动点，探究平行四边形的存在性问题
例1 已知抛物线y=x 2-2x+a (a ＜0）与y 轴相交于点A ，顶点为M .直线y=2
1x-a 分别与x 轴、y 轴相交于B 、C 两点，并且与直线AM 相交于点N .
(1)填空：试用含a 的代数式分别表示点M 与N 的坐标，则M ( ), N ( )；
(2)如图4，将△NAC 沿y 轴翻折，若点N 的对应点N ′恰好落在抛物线上，AN ′与x 轴交于点D ，连接CD ，求a 的值和四边形ADCN 的面积；
(3)在抛物线y=x 2-2x+a (a ＜0）上是否存在一点P ，使得以P 、A 、C 、N 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，试说明理由.
解：(1)M (1,a-1)，N (a 34,-a 3
1)；(2)a=-49；S 四边形ADCN =16189； (3)由已知条件易得A (0,a )、C (0,-a )、N (a 34,-a 3
1).设P (m ,m 2-2m +a ). ①当以AC 为对角线时，由平行四边形顶点坐标公式（解题时熟练推导出），得：
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧+-+-=-+=+a m m a a a m a 23134002,∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-==81525a m . ∴P 1(25,-8
5)； ②当以AN 为对角线时，得:
⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-+-=-+=+a m m a a a m a 23103402,∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==81525a m (不合题意，舍去). ③当以CN 为对角线时，得:
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧+-+=--+=+a m m a a a m a 23103402,∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=8321a m . ∴P 2(-21,8
7). ∴在抛物线上存在点P 1(
25,-85)和P 2(-21,87)，使得以P 、A 、C 、N 为顶点的四边形是平行四边形.
反思：已知三个定点的坐标，可设出抛物线上第四个顶点的坐标，运用平行四边形顶点坐标公式列方程（组）求解.这种题型由于三个定点构成的三条线段中哪条为对角线不清楚，往往要以这三条线段分别为对角线分类，分三种情况讨论.
图5
3.2 两个定点、两个动点，探究平行四边形存在性问题
例2 如图5，在平面直角坐标系中，抛物线A (-1,0),B (3,0),C (0,-1)三点.
（1）求该抛物线的表达式；
（2）点Q 在y 轴上，点P 在抛物线上，要使以点Q 、P 、A 、B 为
顶点的四边形是平行四边形，求所有满足条件点P 的坐标.
解 ：（1）易求抛物线的表达式为y=13
2312--x x ； (2)由题意知点Q 在y 轴上，设点Q 坐标为(0,t )；点P 在抛物线上，
设点P 坐标为(m ,132312--m m ). 尽管点Q 在y 轴上，也是个动点，但可理解成一个定点，这样就转化为三定一动了． ①当以AQ 为对角线时，由四个顶点的横坐标公式得：-1+0=3+m ，
∴m=-4，∴P 1(-4,7)；
②当以BQ 为对角线时，得：-1+m=3+0，∴m=4，∴P 2(4,3
5)； ③当以AB 为对角线时，得：-1+3=m+0，∴m=2，∴P 3(2,-1).
综上，满足条件的点P 为P 1(-4,7)、P 2(4,3
5)、P 3(2,-1). 反思：这种题型往往特殊，一个动点在抛物线上，另一个动点在x 轴（y 轴）或对称轴或某一定直线上．设出抛物线上的动点坐标，另一个动点若在x 轴上，纵坐标为0，则用平行四边形顶点纵坐标公式；若在y 轴上，横坐标为0，则用平行四边形顶点横坐标公式．该动点哪个坐标已知就用与该坐标有关的公式．本例中点Q 的纵坐标t 没有用上，可以不设．另外，把在定直线上的动点看成一个定点，这样就转化为三定一动了，分别以三个定点构成的三条线段为对角线分类，分三种情况讨论.
例3 如图6，在平面直角坐标系中，已知抛物线经过A (-4,0),B (0,-4),C (2,0)三点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点M 为第三象限内抛物线上一动点，点M 的横坐标为m ，△AMB 的面积为S ．求S 关于m 的函数关系式，并求出S 的最大值；
（3）若点P 是抛物线上的动点，点Q 是直线y =-x 上的动点，判断有几个位置能使以点P 、Q 、B 、O 为顶点的四边形为平行四边形，直接写出相应的点Q 的坐标．
解：（1）易求抛物线的解析式为y=2
1x 2+x-4； （2）s=-m 2-4m (-4<m <0)；s 最大=4（过程略）；
（3）尽管是直接写出点Q 的坐标，这里也写出过程．由题意知O (0,0)、B (0,-4). 由于点Q 是直线y=-x 上的动点，设Q (s ,-s )，把Q 看做定点；设P (m ,
2
1m 2+m -4). ①当以OQ 为对角线时，
⎪⎩⎪⎨⎧-++-=-+=+42140002m m s m s ∴s=-252±.
∴Q 1(-2+52,2-52)，Q 2(-2-52,2+52)；
②当以BQ 为对角线时，
⎪⎩
⎪⎨⎧--=-+++=+s m m s m 44210002 ∴s 1=-4，s 2=0(舍).
∴Q 3(-4,4)；
③当以OB 为对角线时，
⎪⎩
⎪⎨⎧-++-=-+=+42140002m m s m s ∴s 1=4，s 2=0(舍).
∴Q 4(4,-4).
综上，满足条件的点Q 为Q 1(-2+52,2-52)、Q 2(-2-52,2+52)、Q 3(-4,4)、Q 4(4,-4).
反思：该题中的点Q 是直线y =-x 上的动点，设动点Q 的坐标为(s ,-s )，把Q 看做定点，就可根据平行四边形顶点坐标公式列方程组了.
4 问题总结
这种题型，关键是合理有序分类：无论是三定一动，还是两定两动，统统把抛物线上的动点作为第四个动点，其余三个作为定点，分别以这三个定点构成的三条线段为对角线分类，分三种情况讨论，然后运用平行四边形顶点坐标公式转化为方程（组）．这种解法，不必画出平行四边形草图，只要合理分类，有序组合，从对角线入手不会漏解，条理清楚，而且适用范围广．其本质是用代数的方法解决几何问题，体现的是分类讨论思想、数形结合的思想.
如图，在平面直角坐标系中，已知Rt△AOB的两条直角边OA、OB分别在y轴和x轴上，并且OA、OB的长分别是方程x2—7x+12=0的两根(OA<0B)，动点P从点A开始在线段AO 上以每秒l个单位长度的速度向点O运动；同时，动点Q从点B开始在线段BA上以每秒2个单位长度的速度向点A运动，设点P、Q运动的时间为t秒．
(1)求A、B两点的坐标。

(2)求当t为何值时，△APQ与△AOB相似，并直接写出此时点Q的坐标．
(3)当t=2时，在坐标平面内，是否存在点M，使以A、P、Q、M为顶点的四边形是平行四边形?若存在，请直接写出M点的坐标；若不存在，请说明理由．
如图，抛物线经过A（﹣1，0），B（5，0），C（0，）三点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在抛物线的对称轴上有一点P，使PA+PC的值最小，求点P的坐标；
（3）点M为x轴上一动点，在抛物线上是否存在一点N，使以A，C，M，N四点构成的四边形为平行四边形？若存在，求点N的坐标；若不存在，请说明理由．
如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y=2x+4与y轴交于A点，与x轴交于B点，抛物线C1：y=﹣x2+bx+c过A、B两点，与x轴另一交点为C．
（1）求抛物线解析式及C点坐标．
（2）向右平移抛物线C1，使平移后的抛物线C2恰好经过△ABC的外心，抛物线C1、C2相交于点D，求四边形AOCD的面积．
（3）已知抛物线C2的顶点为M，设P为抛物线C1对称轴上一点，Q为抛物线C1上一点，是否存在以点M、Q、P、B为顶点的四边形为平行四边形？若存在，直接写出P点坐标；不存在，请说明理由．
如图，在平面直角坐标系中，直线y=﹣3x﹣3与x轴交于点A，与y轴交于点C．抛物线y=x2+bx+c经过A，C两点，且与x轴交于另一点B（点B在点A右侧）．
（1）求抛物线的解析式及点B坐标；
（2）若点M是线段BC上一动点，过点M的直线EF平行y轴交x轴于点F，交抛物线于点E．求ME长的最大值；
（3）试探究当ME取最大值时，在x轴下方抛物线上是否存在点P，使以M，F，B，P为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，试说明理由．。