二次函数与平行四边形

二次函数中构建平行四边形的存在性问题

已知三个定点，再找一个定点构成平行四边形（平面内有三个点满足）

1．如图，一次函数分别交y轴、x轴于A、B两点，抛物线y=﹣x2+bx+c过A、B两点．

（1）求这个抛物线的解析式；

（2）作垂直x轴的直线x=t，在第一象限交直线AB于M，交这个抛物线于N．求当t取何值时，MN有最大值？最大值是多少？

（3）在（2）的情况下，以A、M、N、D为顶点作平行四边形，求第四个顶点D的坐标．

2、如图，抛物线y=x2﹣2x+c的顶点A在直线l：y=x﹣5上．

（1）求抛物线顶点A的坐标；

（2）设抛物线与y轴交于点B，与x轴交于点C、D（C点在D点的左侧），试判断△ABD的形状；（3）在直线l上是否存在一点P，使以点P、A、B、D为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由．

3、如图，在平面直角坐标系中，抛物线y ＝x 2＋mx ＋n 经过点A (3，0)、B (0，－3)，点

P 是直线AB 上的动点，过点P 作x 轴的垂线交抛物线于点M ，设点P 的横坐标为t ． (1)分别求出直线AB 和这条抛物线的解析式．

(2)若点P 在第四象限，连接AM 、BM ，当线段PM 最长时，求△ABM 的面积． (3)是否存在这样的点P ，使得以点P 、M 、B 、O 为顶点的四边形为平行四边形？若

存在，请直接写出点P 的横坐标；若不存在，请说明理由．

（二）、已知两个定点，再找两个点构成平行四边形

①确定两定点连接的线段为一边，则两动点连接的线段应和已知边平行且相等） 1.如图甲，在平面直角坐标系中，A 、B 的坐标分别为（4，0）、（0，3），抛物线y=34

x 2

+bx+c 经过点B ，且对称轴是直线x=﹣

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． （1）求抛物线对应的函数解析式；

（2）将图甲中△ABO 沿x 轴向左平移到△DCE （如图乙），当四边形ABCD 是菱形时，请说明点C 和点D 都在该抛物线上．

（3）在（2）中，若点M 是抛物线上的一个动点（点M 不与点C 、D 重合），经过点M 作MN ∥y 轴交直线CD 于N ，设点M 的横坐标为t ，MN 的长度为l ，求l 与t 之间的函数解析式，并求当t 为何值时，以M 、N 、C 、E 为顶点的四边形是平行四边形．（参考公式：抛物线y=ax 2+bx+c （a≠0）的

顶点坐标为（b 2a -，24ac b 4a -），对称轴是直线x=b 2a

-．）

②两定点连接的线段没确定为平行四边形的边时，则这条线段可能为平行四边形的边或对角线 1.如图，在平面直角坐标系中有Rt △ABC ，∠A ＝90°，AB ＝AC ，A （－2，0）、 B （0，1）、C （d ，2）。 （1）求d 的值；

（2）将△ABC 沿x 轴的正方向平移，在第一象限内B 、C 两点的对应点B′、C′正好落在某反比例函

数图像上。请求出这个反比例函数和此时的直线B′C′的解析式；

（3）在（2）的条件下，直线B′C′交y 轴于点G 。问是否存在x 轴上的点M 和反比例函数图像上的

点P ，使得四边形PGMC′是平行四边形。如果存在，请求出点M 和点P 的坐标；如果不存在，请说明理由。

2、如图，在直角梯形OABC 中，CB ∥OA ，90OAB ∠=

，点O 为坐标原点，点A 在x 轴的正半轴上，对角线OB ，AC 相交于点M ，4OA AB ==，2OA CB =． （1）线段OB 的长为 ，点C 的坐标为 ； （2）求△OCM 的面积；

（3）求过O ，A ，C 三点的抛物线的解析式； （4）若点E 在（3）的抛物线的对称轴上，点F 为该 抛物线上的点，且以A ，O ，F ，E 四点为顶点的四边形 为平行四边形，求点F 的坐标．

3、 如图，抛物线与x 轴交于A （1x ，0）、B （2x ，0）两点，且12x x <，与y 轴交于点()0,4C -，

其中12x x ，是方程24120x x --=的两个根。 （1）求抛物线的解析式；

（2）点M 是线段AB 上的一个动点，过点M 作MN ∥BC ，

交AC 于点N ，连接CM ，当CMN △的面积最大时，求点M 的坐标； （3）点()4,D k 在（1）中抛物线上，点E 为抛物线上一动点，

在x 轴上是否存在点F ，使以A D E F 、、、为顶点的四边形是平行四边形，如果存在，求出所有满足条件的点F 的坐标，若不存在，请说明理由。

如图，在坐标系xoy 中，△ABC 是等腰直角三角形，∠BAC = 90°，A (1,0)，B (0，2).抛物线22

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-+=

bx x y 的图象过C 点. (1)求抛物线的解析式;

(2)平移该抛物线的对称轴所在直线l ，当l 移动到何处时，恰好将△ABC 的面积分为相等的两部分?

(3)点P 是抛物线上一动点，是否存在点P ，使四边形P ACB 为平行四边形?若存在，求出P 点坐标，若不存在，说明理由.

（备用图）

3题图