二次函数与平行四边形
二次函数和平行四边形的结合解题思路
二次函数和平行四边形的结合解题思路二次函数和平行四边形的结合解题思路1. 引言二次函数和平行四边形是数学中的两个重要概念。
二次函数是一种具有关于自变量的平方项的函数形式，常用来描述抛物线的形状和性质。
而平行四边形是一种具有四个边都平行的四边形，具有特殊的几何性质。
本文将通过结合二次函数与平行四边形，探讨它们在解题中的有趣应用，深入理解二次函数和平行四边形的知识点与概念。
2. 二次函数与平行四边形的基本概念2.1 二次函数的基本形式二次函数通常以一般式y=ax^2+bx+c的形式出现，其中a、b、c分别是常数，a不等于0。
通过调整a、b、c的值，可以改变二次函数的图像特征，如顶点的位置、开口方向等。
2.2 平行四边形的定义平行四边形是一种四边形，它的四条边两两平行。
其中，对边相等，对角线互相平分且互相垂直。
3. 二次函数与平行四边形的关联3.1 求解二次函数与平行四边形的顶点二次函数的顶点是抛物线的最高点或最低点，它在函数图像上具有特殊的几何意义。
通过平行四边形的性质，可以推导出二次函数的顶点与对边的关联。
具体而言，可以建立一个平行四边形，其中顶边平行于x轴，底边与二次函数图像的切线重合，并垂直于x轴。
这样一来，平行四边形的高度就是二次函数的顶点坐标。
3.2 求解二次函数与平行四边形的根二次函数的根是方程y=0的解，也就是抛物线与x轴相交的点。
通过平行四边形的性质，可以将二次函数的零点与对边的关系进行探讨。
类似地，构建一个平行四边形，其中左边平行于y轴，右边与二次函数图像的另一条切线重合，并垂直于y轴。
这样一来，平行四边形的宽度就是二次函数的根的坐标。
4. 二次函数与平行四边形的解题思路4.1 平移变换与二次函数的关系平行四边形具有平移不变性，即保持所有边平行的同时可以移动。
我们可以利用平行四边形的特性，通过平移变换来研究二次函数的图像平移。
给定一个已知的抛物线y=x^2，在x轴上平移h个单位，得到新的抛物线y=(x-h)^2。
二次函数中平行四边形的通用解决方法
二次函数中平行四边形的通用解决方法要解决关于二次函数的平行四边形问题，我们需要了解二次函数的一般形式、平行四边形的性质以及如何将这两者结合起来解决问题。
首先，二次函数的一般形式可以写为f(x) = ax^2 + bx + c。
其中，a、b、c是常数，a不等于0。
接下来，我们需要了解平行四边形的性质。
平行四边形是一个有四个边，且对边平行的四边形。
根据平行四边形的性质，我们可以得到以下重要结论：1.对边平行：平行四边形的相对边是平行的，也就是说，如果ABCD是一个平行四边形，那么AB与CD平行，且AD与BC平行。
2.对角线互相平分：平行四边形的对角线互相平分，也就是说，对角线AC和BD相交于E，那么AE与CE的长度相等，BE与DE的长度也相等。
3.同底异位角相等：平行四边形的同底异位角相等，也就是说，对于平行四边形ABCD，∠A=∠C，且∠B=∠D。
现在我们来看一些具体问题，并探讨如何应用这些性质解决平行四边形问题。
问题1：已知二次函数f(x) = ax^2 + bx + c，其中a ≠ 0。
如何证明函数图像与y轴平行？解答：要证明函数图像与y轴平行，我们需要证明函数的导数为0。
导数表示了函数的斜率，如果导数为0，则对应的函数图像是水平的，即与y轴平行。
首先计算函数的导数f'(x) = 2ax + b。
要证明f'(x) = 0，我们可以解方程2ax + b = 0。
解这个方程可以得到x = -b/(2a)。
因此，当x=-b/(2a)时，函数的导数为0。
根据导数的意义，这意味着函数的图像与y轴平行。
问题2：已知二次函数f(x) = ax^2 + bx + c，其中a ≠ 0。
如何确定函数图像的顶点坐标？解答：要确定函数图像的顶点坐标，我们可以利用导数的信息。
对于二次函数来说，它的顶点坐标对应着导数为0的点。
首先计算函数的导数f'(x) = 2ax + b。
要求导数为0，我们可以解方程2ax + b = 0。
二次函数中平行四边形通用解决方法
二次函数中平行四边形通用解决方法要解决二次函数中的平行四边形问题，首先我们需要了解二次函数的一般形式以及平行四边形的定义。
二次函数的一般形式为：f(x) = ax^2 + bx + c其中，a，b，c是给定的实数。
平行四边形是指具有相同的边长和完全相等的内角的四边形。
这意味着平行四边形的对边是平行的，对边上的角度是相等的。
在求解二次函数中的平行四边形时，我们可以按照以下步骤进行：1.确定二次函数的一般形式。
根据题目所给的条件，确定函数的系数值a，b，c。
2.确定平行四边形的特点。
平行四边形的特点包括边长和内角的性质。
根据问题描述，确定平行四边形的边长和内角。
3.确定平行四边形的边长。
根据问题描述，可以使用勾股定理或其他几何方法来计算平行四边形的边长。
4.确定平行四边形的内角。
平行四边形的内角是相等的，可以使用三角函数或几何方法来计算平行四边形的内角。
5.绘制平行四边形的图形。
根据确定的边长和内角，绘制平行四边形的图形。
6.检验结果。
根据平行四边形的定义，检验所得图形是否满足平行四边形的特点，即对边是否平行，对角是否相等。
通过以上步骤，我们可以得到二次函数中平行四边形的通用解决方法。
下面，我们将通过一个具体的例子来演示这个过程。
例子：求解二次函数f(x)=2x^2-6x+4中的平行四边形。
解：根据给定的二次函数f(x)=2x^2-6x+4，我们可以确定函数的系数值为a=2，b=-6，c=4假设我们需要找到f(x)在x=1处的平行四边形。
第一步，确定二次函数的一般形式：f(x)=2x^2-6x+4第二步，确定平行四边形的特点：边长和内角相等。
第三步，确定平行四边形的边长：给定x=1，代入二次函数中，f(1)=2(1)^2-6(1)+4=2-6+4=0。
因此，平行四边形的边长为0。
第四步，确定平行四边形的内角：平行四边形的内角相等。
由于平行四边形的边长为0，我们可以认为结果是一个点，即平行四边形退化为一个点。
专题6二次函数与平行四边形存在性问题(解析版)
专题6 二次函数与平行四边形存在性问题以二次函数为载体的平行四边形存在性问题是中考的热点难点之一，其图形复杂，知识覆盖面广，综合性较强，对学生分析问题和解决问题的能力要求高.对这类题，常规解法是先画出平行四边形，再依据“平行四边形的一组对边平行且相等”或“平行四边形的对角线互相平分”来解决.由于先要画出草图，若考虑不周，很容易漏解.解决抛物线中的平行四边形存在性问题，常用的结论和方法有：线段中点坐标公式、平行四边形顶点坐标公式、画平行四边形.1. 平面直角坐标系中，点 A 的坐标是11(,)x y ，点B 的坐标是22(,)x y ，则线段AB 的中点坐标是1212(,)22x x y y ++. 2. 平行四边形ABCD 的顶点坐标分别为(,)A A x y 、(,)B B x y 、(,)C C x y 、(,)D D x y ，则A C B D x x x x +=+，A CB D y y y y +=+.3.已知不在同一直线上的三点A、B、C，在平面内找到一个点D，使以A、B、C、D为顶点的四边形是平行四边形，有三种情况：【例1】（2020•甘孜州）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝kx+3分别交x轴、y轴于A，B两点，经过A，B两点的抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴的正半轴相交于点C（1，0）．（1）求抛物线的解析式；（2）若P为线段AB上一点，∠APO＝∠ACB，求AP的长；（3）在（2）的条件下，设M是y轴上一点，试问：抛物线上是否存在点N，使得以A，P，M，N为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．【分析】（1）利用待定系数法解决问题即可．（2）求出AB ，OA ，AC ，利用相似三角形的性质求解即可．（3）分两种情形：①P A 为平行四边形的边时，点M 的横坐标可以为±2，求出点M 的坐标即可解决问题．②当AP 为平行四边形的对角线时，点M ″的横坐标为﹣4，求出点M ″的坐标即可解决问题．【解析】（1）∵直线y ＝kx +3分别交y 轴于B ，令x ＝0，得到y ＝3，∴B （0，3）由题意抛物线经过B （0，3），C （1，0），∴{c =3−1+b +c =0， 解得，{b =−2c =3， ∴抛物线的解析式为y ＝﹣x 2﹣2x +3；（2）对于抛物线y ＝﹣x 2﹣2x +3，令y ＝0，解得x ＝﹣3或1，∴A （﹣3，0），∵B （0，3），C （1，0），∴OA ＝OB ＝3，OC ＝1，AB ＝3√2，∵∠APO ＝∠ACB ，∠P AO ＝∠CAB ，∴△P AO ∽△CAB ，∴AP AC =AO AB ， ∴AP 4=3√2， ∴AP ＝2√2．（3）由（2）可知，P （﹣1，2），AP ＝2√2，①当AP 为平行四边形的边时，点N 的横坐标为2或﹣2，∴N （﹣2，3），N ′（2，﹣5），②当AP 为平行四边形的对角线时，点N ″的横坐标为﹣4，∴N ″（﹣4，﹣5），综上所述，满足条件的点N 的坐标为（﹣2，3）或（2，﹣5）或（﹣4，﹣5）．【点评】本题考查二次函数综合题，考查了待定系数法，相似三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．【例2】（2020•天水）如图所示，拋物线y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，且点A 的坐标为A （﹣2，0），点C 的坐标为C （0，6），对称轴为直线x ＝1．点D 是抛物线上一个动点，设点D 的横坐标为m （1＜m ＜4），连接AC ，BC ，DC ，DB ．（1）求抛物线的函数表达式；（2）当△BCD 的面积等于△AOC 的面积的34时，求m 的值； （3）在（2）的条件下，若点M 是x 轴上一动点，点N 是抛物线上一动点，试判断是否存在这样的点M ，使得以点B ，D ，M ，N 为顶点的四边形是平行四边形．若存在，请直接写出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．【分析】（1）由题意得出方程组，解方程组即可；（2）过点D 作DE ⊥x 轴于E ，交BC 于G ，过点C 作CF ⊥ED 交ED 的延长线于F ，求出点B 的坐标为（4，0），由待定系数法求出直线BC 的函数表达式为y =−32x +6，则点D 的坐标为（m ，−34m 2+32m +6），点G 的坐标为（m ，−32m +6），求出S △BCD =−32m 2+6m =92，解方程即可；（3）求出点D 的坐标为（3，154），分三种情况，①当DB 为对角线时，证出DN ∥x 轴，则点D 与点N关于直线x ＝1对称，得出N （﹣1，154）求出BM ＝4，即可得出答案；②当DM 为对角线时，由①得N （﹣1，154），DN ＝4，由平行四边形的性质得出DN ＝BM ＝4，进而得出答案； ③当DN 为对角线时，点D 与点N 的纵坐标互为相反数，N （1+√14，−154）或N （1−√14，−154），再分两种情况解答即可．【解析】（1）由题意得：{−b 2a =14a −2b +c =0c =6， 解得：{ a =−34b =32c =6， ∴抛物线的函数表达式为：y =−34x 2+32x +6； （2）过点D 作DE ⊥x 轴于E ，交BC 于G ，过点C 作CF ⊥ED 交ED 的延长线于F ，如图1所示： ∵点A 的坐标为（﹣2，0），点C 的坐标为（0，6），∴OA ＝2，OC ＝6，∴S △AOC =12OA •OC =12×2×6＝6，∴S △BCD =34S △AOC =34×6=92，当y ＝0时，−34x 2+32x +6＝0，解得：x 1＝﹣2，x 2＝4，∴点B 的坐标为（4，0），设直线BC 的函数表达式为：y ＝kx +n ，则{0=4k +n 6=n， 解得：{k =−32n =6， ∴直线BC 的函数表达式为：y =−32x +6，∵点D 的横坐标为m （1＜m ＜4），∴点D 的坐标为：（m ，−34m 2+32m +6），点G 的坐标为：（m ，−32m +6），∴DG =−34m 2+32m +6﹣（−32m +6）=−34m 2+3m ，CF ＝m ，BE ＝4﹣m ，∴S △BCD ＝S △CDG +S △BDG =12DG •CF +12DG •BE =12DG ×（CF +BE ）=12×（−34m 2+3m ）×（m +4﹣m ）=−32m 2+6m ，∴−32m 2+6m =92，解得：m 1＝1（不合题意舍去），m 2＝3，∴m 的值为3；（3）由（2）得：m ＝3，−34m 2+32m +6=−34×32+32×3+6=154， ∴点D 的坐标为：（3，154）， 分三种情况讨论：①当DB 为对角线时，如图2所示：∵四边形BDNM 是平行四边形，∴DN ∥BM ，∴DN ∥x 轴，∴点D 与点N 关于直线x ＝1对称，∴N （﹣1，154），∴DN ＝3﹣（﹣1）＝4，∴BM ＝4，∵B （4，0），∴M （8，0）；②当DM 为对角线时，如图3所示：由①得：N （﹣1，154），DN ＝4，∵四边形BDNM 是平行四边形，∴DN ＝BM ＝4，∵B （4，0），∴M （0，0）；③当DN 为对角线时，∵四边形BDNM 是平行四边形，∴DM ＝BN ，DM ∥BN ，∴∠DMB ＝∠MBN ，∴点D 与点N 的纵坐标互为相反数，∵点D （3，154），∴点N 的纵坐标为：−154， 将y =−154代入y =−34x 2+32x +6中， 得：−34x 2+32x +6=−154， 解得：x 1＝1+√14，x 2＝1−√14，当x ＝1+√14时，如图4所示：则N （1+√14，−154）， 分别过点D 、N 作x 轴的垂线，垂足分别为E 、Q ，在Rt △DEM 和Rt △NQB 中，{DM =BN DE =NQ， ∴Rt △DEM ≌Rt △NQB （HL ），∴BQ ＝EM ，∵BQ ＝1+√14−4=√14−3，∴EM=√14−3，∵E（3，0），∴M（√14，0）；当x＝1−√14时，如图5所示：则N（1−√14，−15 4），同理得点M（−√14，0）；综上所述，点M的坐标为（8，0）或（0，0）或（√14，0）或（−√14，0）．【点评】本题是二次函数综合题目，考查了待定系数法求函数的解析式、坐标与图形性质、平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质等知识；本题综合性强，有一定难度．【例3】（2020•青海）如图1（注：与图2完全相同）所示，抛物线y=−12x2+bx+c经过B、D两点，与x轴的另一个交点为A，与y轴相交于点C．（1）求抛物线的解析式．（2）设抛物线的顶点为M，求四边形ABMC的面积．（请在图1中探索）（3）设点Q在y轴上，点P在抛物线上．要使以点A、B、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，求所有满足条件的点P的坐标．（请在图2中探索）【分析】（1）用待定系数法解答便可；（2）求出抛物线与坐标轴的交点A、C坐标及抛物线顶点M的坐标，再将四边形ABMC的面积分为三角形的面积的和，进行计算便可；（3）分两种情况：AB为平行四边形的边；AB为平行四边形的对角线．分别解答便可．【解析】（1）把B （3，0）和D （﹣2，−52）代入抛物线的解析式得， {−92+3b +c =0−2−2b +c =−52， 解得，{b =1c =32， ∴抛物线的解析式为：y =−12x 2+x +32；（2）令x ＝0，得y =−12x 2+x +32=32， ∴C(0，32)，令y ＝0，得y =−12x 2+x +32=0， 解得，x ＝﹣1，或x ＝3，∴A （﹣1，0），∵y =−12x 2+x +32=−12(x −1)2+2， ∴M （1，2），∴S 四边形ABMC ＝S △AOC +S △COM +S △MOB=12OA ⋅OC +12OC ⋅x M +12OB ⋅y M=12×1×32+12×32×1+12×3×2=92；（3）设Q （0，n ），①当AB 为平行四边形的边时，有AB ∥PQ ，AB ＝PQ ， a ）．P 点在Q 点左边时，则P （﹣4，n ），把P （﹣4，n ）代入y =−12x 2+x +32，得n =−212，∴P （﹣4，−212）； ②当AB 为平行四边形的边时，有AB ∥PQ ，AB ＝PQ ， 当P 点在Q 点右边时，则P （4，n ）， 把P （4，n ）代入y =−12x 2+x +32，得 n =−52， ∴P （4，−52）；③当AB 为平行四边形的对角线时，如图2，AB 与PQ 交于点E ， 则E （1，0）， ∵PE ＝QE ， ∴P （2，﹣n ），把P （2，﹣n ）代入y =−12x 2+x +32，得 ﹣n =32， ∴n =−32， ∴P （2，32）．综上，满足条件的P 点坐标为：（﹣4，−212）或（4，−52）或（2，32）．【点评】本题是二次函数的综合题，主要考查了待定系数法，二次函数的图象与性质，四边形的面积计算，平行四边形的性质，第（2）题关键是把四边形分割成三角形进行解答，第（3）题关键是分情况讨论．【例4】（2020•玉林）如图，已知抛物线：y 1＝﹣x 2﹣2x +3与x 轴交于A ，B 两点（A 在B 的左侧），与y 轴交于点C ．（1）直接写出点A ，B ，C 的坐标；（2）将抛物线y1经过向右与向下平移，使得到的抛物线y2与x轴交于B，B'两点（B'在B的右侧），顶点D的对应点为点D'，若∠BD'B'＝90°，求点B'的坐标及抛物线y2的解析式；（3）在（2）的条件下，若点Q在x轴上，则在抛物线y1或y2上是否存在点P，使以B′，C，Q，P 为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，求出所有符合条件的点P的坐标；如果不存在，请说明理由．【分析】（1）令x＝0或y1＝0，解方程可得结论．（2）设平移后的抛物线的解析式为y2＝﹣（x﹣a）2+b，如图1中，过点D′作D′H⊥OB′于H．，连接BD′，B′D′．构建方程组解决问题即可．（3）观察图象可知，当点P的纵坐标为3或﹣3时，存在满足条件的平行四边形．分别令y1和y2等于3或﹣3，解方程即可解决问题．【解析】（1）对于y1＝﹣x2﹣2x+3，令y1＝0，得到﹣x2﹣2x+3＝0，解得x＝﹣3或1，∴A（﹣3，0），B（1，0），令x＝0，得到y1＝3，∴C（0，3）．（2）设平移后的抛物线的解析式为y2＝﹣（x﹣a）2+b，如图1中，过点D′作D′H⊥OB′于H，连接BD′．∵D′是抛物线的顶点，∴D′B＝D′B′，D′（a，b），∵∠BD′B′＝90°，D′H⊥BB′，∴BH＝HB′，∴D′H＝BH＝HB′＝b，∴a＝1+b，又∵y2＝﹣（x﹣a）2+b，经过B（1，0），∴b＝（1﹣a）2，解得a＝2或1（不合题意舍弃），b＝1，∴B′（3，0），y2＝﹣（x﹣2）2+1＝﹣x2+4x﹣3．（3）如图2中，观察图象可知，当点P的纵坐标为3或﹣3时，存在满足条件的平行四边形．对于y1＝﹣x2﹣2x+3，令y1＝3，x2+2x＝0，解得x＝0或﹣2，可得P1（﹣2，3），令y1＝﹣3，则x2+2x﹣6＝0，解得x＝﹣1±√7，可得P2（﹣1−√7，﹣3），P3（﹣1+√7，﹣3），对于y2＝﹣x2+4x﹣3，令y2＝3，方程无解，令y2＝﹣3，则x2﹣4x＝0，解得x＝0或4，可得P4（0，﹣3），P5（4，﹣3），综上所述，满足条件的点P的坐标为（﹣2，3）或（﹣1−√7，﹣3）或（﹣1+√7，﹣3）或（0，﹣3）或（4，﹣3）．【点评】本题属于二次函数综合题，考查了二次函数的性质，平行四边形的判定和性质，等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程组解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．【例5】（2020•绵阳）如图，抛物线过点A （0，1）和C ，顶点为D ，直线AC 与抛物线的对称轴BD 的交点为B （√3，0），平行于y 轴的直线EF 与抛物线交于点E ，与直线AC 交于点F ，点F 的横坐标为4√33，四边形BDEF 为平行四边形．（1）求点F 的坐标及抛物线的解析式；（2）若点P 为抛物线上的动点，且在直线AC 上方，当△P AB 面积最大时，求点P 的坐标及△P AB 面积的最大值；（3）在抛物线的对称轴上取一点Q ，同时在抛物线上取一点R ，使以AC 为一边且以A ，C ，Q ，R 为顶点的四边形为平行四边形，求点Q 和点R 的坐标．【分析】（1）由待定系数法求出直线AB 的解析式为y =−√33x +1，求出F 点的坐标，由平行四边形的性质得出﹣3a +1=163a ﹣8a +1﹣（−13），求出a 的值，则可得出答案； （2）设P （n ，﹣n 2+2√3n +1），作PP '⊥x 轴交AC 于点P '，则P '（n ，−√33n +1），得出PP '＝﹣n 2+73√3n ，由二次函数的性质可得出答案；（3）联立直线AC 和抛物线解析式求出C （73√3，−43），设Q （√3，m ），分两种情况：①当AQ 为对角线时，②当AR 为对角线时，分别求出点Q 和R 的坐标即可． 【解析】（1）设抛物线的解析式为y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）， ∵A （0，1），B （√3，0）， 设直线AB 的解析式为y ＝kx +m ， ∴{√3k +m =0m =1，解得{k =−√33m =1，∴直线AB 的解析式为y =−√33x +1，∵点F 的横坐标为4√33，∴F 点纵坐标为−√33×4√33+1=−13， ∴F 点的坐标为（43√3，−13）， 又∵点A 在抛物线上， ∴c ＝1，对称轴为：x =−b2a =√3， ∴b ＝﹣2√3a ，∴解析式化为：y ＝ax 2﹣2√3ax +1， ∵四边形DBFE 为平行四边形． ∴BD ＝EF ， ∴﹣3a +1=163a ﹣8a +1﹣（−13）， 解得a ＝﹣1，∴抛物线的解析式为y ＝﹣x 2+2√3x +1；（2）设P （n ，﹣n 2+2√3n +1），作PP '⊥x 轴交AC 于点P '，则P '（n ，−√33n +1）， ∴PP '＝﹣n 2+73√3n ，S △ABP =12OB •PP '=−√32n 2+72n =−√32(n −76√3)2+4924√3， ∴当n =76√3时，△ABP 的面积最大为4924√3，此时P （76√3，4712）． （3）∵{y =−√33x +1y =−x 2+2√3x +1，∴x ＝0或x =73√3， ∴C （73√3，−43）， 设Q （√3，m ）， ①当AQ 为对角线时， ∴R （−43√3，m +73），∵R 在抛物线y =−(x −√3)2+4上， ∴m +73=−(−43√3−√3)2+4，解得m =−443，∴Q (√3，−443)，R (−43√3，−373)； ②当AR 为对角线时， ∴R （103√3，m −73）， ∵R 在抛物线y =−(x −√3)2+4上， ∴m −73=−(103√3−√3)2+4， 解得m ＝﹣10， ∴Q （√3，﹣10），R （103√3，−373）．综上所述，Q (√3，−443)，R (−43√3，−373)；或Q （√3，﹣10），R （103√3，−373）．【点评】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法，二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，平行四边形的性质等知识，熟练掌握二次函数的性质及方程思想，分类讨论思想是解题的关键． 【例6】（2020•雅安）已知二次函数y ＝ax 2+2x +c （a ≠0）的图象与x 轴交于A 、B （1，0）两点，与y 轴交于点C （0，﹣3），（1）求二次函数的表达式及A 点坐标；（2）D 是二次函数图象上位于第三象限内的点，求点D 到直线AC 的距离取得最大值时点D 的坐标； （3）M 是二次函数图象对称轴上的点，在二次函数图象上是否存在点N ，使以M 、N 、B 、O 为顶点的四边形是平行四边形？若有，请写出点N 的坐标（不写求解过程）．【分析】（1）利用待定系数法解决问题即可．（2）如图1中连接AD ，CD ．由题意点D 到直线AC 的距离取得最大，推出此时△DAC 的面积最大．过点D 作x 轴的垂线交AC 于点G ，设点D 的坐标为（x ，x 2+2x ﹣3），则G （x ，﹣x ﹣3），推出DG ＝﹣x ﹣3﹣（x 2+2x ﹣3）＝﹣x ﹣3﹣x 2﹣2x +3＝﹣x 2﹣3x ，利用二次函数的性质求解即可． （3）分两种情形：OB 是平行四边形的边或对角线分别求解即可． 【解析】（1）把B （1，0），C （0，﹣3）代入y ＝ax 2+2x +c 则有{c =−3a +2+c =0，解得{a =1c =−3，∴二次函数的解析式为y ＝x 2+2x ﹣3，令y ＝0，得到x 2+2x ﹣3＝0，解得x ＝﹣3或1， ∴A （﹣3，0）．（2）如图1中连接AD ，CD ． ∵点D 到直线AC 的距离取得最大， ∴此时△DAC 的面积最大， 设直线AC 解析式为：y ＝kx +b ， ∵A （﹣3，0），C （0，﹣3）， ∴{b =−3−3k +b =0， 解得，{k =−1b =−3，∴直线AC 的解析式为y ＝﹣x ﹣3，过点D 作x 轴的垂线交AC 于点G ，设点D 的坐标为（x ，x 2+2x ﹣3），则G（x，﹣x﹣3），∵点D在第三象限，∴DG＝﹣x﹣3﹣（x2+2x﹣3）＝﹣x﹣3﹣x2﹣2x+3＝﹣x2﹣3x，∴S△ACD=12•DG•OA=12（﹣x2﹣3x）×3=−32x2−92x=−32（x+32）2+278，∴当x=−32时，S最大=278，点D（−32，−154），∴点D到直线AC的距离取得最大时，D（−32，−154）．（3）如图2中，当OB是平行四边形的边时，OB＝MN＝1，OB∥MN，可得N（﹣2，﹣3）或N′（0，﹣3），当OB为对角线时，点N″的横坐标为2，x＝2时，y＝4+4﹣3＝5，∴N″（2，5）．综上所述，满足条件的点N的坐标为（﹣2，﹣3）或（0，﹣3）或（2，5）．【点评】本题考查待定系数法求二次函数解析式、二次函数的性质、二次函数的最值，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质和数形结合的思想解答．1．（2020•齐齐哈尔）综合与探究在平面直角坐标系中，抛物线y=12x2+bx+c经过点A（﹣4，0），点M为抛物线的顶点，点B在y轴上，且OA＝OB，直线AB与抛物线在第一象限交于点C（2，6），如图①．（1）求抛物线的解析式；（2）直线AB的函数解析式为y＝x+4，点M的坐标为（﹣2，﹣2），cos∠ABO＝√22；连接OC，若过点O的直线交线段AC于点P，将△AOC的面积分成1：2的两部分，则点P的坐标为（﹣2，2）或（0，4）；（3）在y轴上找一点Q，使得△AMQ的周长最小．具体作法如图②，作点A关于y轴的对称点A'，连接MA'交y轴于点Q，连接AM、AQ，此时△AMQ的周长最小．请求出点Q的坐标；（4）在坐标平面内是否存在点N，使以点A、O、C、N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．【分析】（1）将点A 、C 的坐标代入抛物线表达式即可求解；（2）点A （﹣4，0），OB ＝OA ＝4，故点B （0，4），即可求出AB 的表达式；OP 将△AOC 的面积分成1：2的两部分，则AP =13AC 或23AC ，即可求解；（3）△AMQ 的周长＝AM +AQ +MQ ＝AM +A ′M 最小，即可求解； （4）分AC 是边、AC 是对角线两种情况，分别求解即可．【解析】（1）将点A 、C 的坐标代入抛物线表达式得：{12×16−4b +c =012×4+2b +c =6，解得{b =2c =0，故抛物线的表达式为：y =12x 2+2x ；（2）点A （﹣4，0），OB ＝OA ＝4，故点B （0，4）， 设直线AB 的解析式为y ＝kx +4， 将点A 坐标代入得，﹣4k +4＝0， ∴k ＝1．∴直线AB 的表达式为：y ＝x +4； 则∠ABO ＝45°，故cos ∠ABO =√22；对于y =12x 2+2x ，函数的对称轴为x ＝﹣2，故点M （﹣2，﹣2）； OP 将△AOC 的面积分成1：2的两部分，则AP =13AC 或23AC ，则y P y C=13或23，即y P 6=13或23，解得：y P ＝2或4，故点P （﹣2，2）或（0，4）； 故答案为：y ＝x +4；（﹣2，﹣2）；√22；（﹣2，2）或（0，4）；（3）△AMQ 的周长＝AM +AQ +MQ ＝AM +A ′M 最小， 点A ′（4，0），设直线A ′M 的表达式为：y ＝kx +b ，则{4k +b =0−2k +b =−2，解得{k =13b =−43， 故直线A ′M 的表达式为：y =13x −43，令x＝0，则y=−43，故点Q（0，−43）；（4）存在，理由：设点N（m，n），而点A、C、O的坐标分别为（﹣4，0）、（2，6）、（0，0），①当AC是边时，点A向右平移6个单位向上平移6个单位得到点C，同样点O（N）向右平移6个单位向上平移6个单位得到点N（O），即0±6＝m，0±6＝n，解得：m＝n＝±6，故点N（6，6）或（﹣6，﹣6）；②当AC是对角线时，由中点公式得：﹣4+2＝m+0，6+0＝n+0，解得：m＝﹣2，n＝6，故点N（﹣2，6）；综上，点N的坐标为（6，6）或（﹣6，﹣6）或（﹣2，6）．【点评】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数的性质、平行四边形的性质、图形的平移、面积的计算等，其中（4），要注意分类求解，避免遗漏．2．（2020•平顶山二模）如图，已知二次函数y=−38x2+bx+c的图象与x轴交于点A、C，与y轴交于点B，直线y=34x+3经过A、B两点．（1）求b、c的值．（2）若点P是直线AB上方抛物线上的一动点，过点P作PF⊥x轴于点F，交直线AB于点D，求线段PD的最大值．（3）在（2）的结论下，连接CD，点Q是抛物线对称轴上的一动点，在抛物线上是否存在点G，使得以C、D、G、Q为顶点的四边形是平行四边形，若存在，请直接写出点G的坐标；若不存在，请说明理由．【分析】（1）由直线AB 的解析式可求出点A ，B 的坐标，将A ，B 两点的坐标代入y =−38x 2+bx +c 可得出答案；（2）设点P （m ，−38m 2−34m +3），则D （m ，34m +3），可得出PD =−38m 2−32m ，由二次函数的性质可得出答案；（3）分类讨论，一是当CD 为平行四边形对角线时，二是当CD 为平行四边形一边时，利用中点坐标公式及平移规律即可求出点G 的坐标．【解析】（1）∵直线y =34x +3经过A 、B 两点． ∴当x ＝0时，y ＝3，当y ＝0时，x ＝﹣4，∴直线y =34x +3与坐标轴的交点坐标为A （﹣4，0），B （0，3）．分别将x ＝0，y ＝3，x ＝﹣4，y ＝0代入y =−38x 2+bx +c 得，{c =30=−38×(−4)2−4b +c ， 解得，b =−34，c ＝3，（2）由（1）得y =−38x 2−34x +3，设点P （m ，−38m 2−34m +3），则D （m ，34m +3），∴PD =−38m 2−34m +3−(34m +3)=−38m 2−32m =−38(m +2)2+32， ∴当m ＝﹣2时，PD 最大，最大值是32．（3）存在点G ，使得以C 、D 、G 、Q 为顶点的四边形是平行四边形，G 点的坐标为(1，158)或(3，−218)或(−5，−218)； ∵y =−38x 2−34x +3， ∴y ＝0时，x ＝﹣4或x ＝2， ∴C （2，0），由（2）可知D （﹣2，32），抛物线的对称轴为x ＝﹣1，设G （n ，−38n 2−34n +3），Q （﹣1，p ），CD 与y 轴交于点E ，E 为CD 的中点， ①当CD 为对角线时， n +（﹣1）＝0， ∴n ＝1， 此时G （1，158）．②当CD 为边时，若点G 在点Q 上边，则n +4＝﹣1，则n ＝﹣5，此时点G 的坐标为（﹣5，−218）． 若点G 在点Q 上边，则﹣1+4＝n ，则n ＝3，此时点G 的坐标为（3，−218）．综合以上可得使得以C 、D 、G 、Q 为顶点的四边形是平行四边形的G 点的坐标为(1，158)或(3，−218)或(−5，−218)；【点评】本题是二次函数综合题，考查了二次函数的有关性质、一次函数的性质、平行四边形的判定和性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．3．（2020•菏泽）如图，抛物线y ＝ax 2+bx ﹣6与x 轴相交于A ，B 两点，与y 轴相交于点C ，OA ＝2，OB ＝4，直线l 是抛物线的对称轴，在直线l 右侧的抛物线上有一动点D ，连接AD ，BD ，BC ，CD ． （1）求抛物线的函数表达式；（2）若点D 在x 轴的下方，当△BCD 的面积是92时，求△ABD 的面积；（3）在（2）的条件下，点M 是x 轴上一点，点N 是抛物线上一动点，是否存在点N ，使得以点B ，D ，M ，N 为顶点，以BD 为一边的四边形是平行四边形，若存在，求出点N 的坐标；若不存在，请说明理由．【分析】（1）根据OA ＝2，OB ＝4确定点A 和B 的坐标，代入抛物线的解析式列方程组解出即可； （2）如图1，过D 作DG ⊥x 轴于G ，交BC 于H ，利用待定系数法求直线BC 的解析式，设D （x ，34x 2−32x﹣6），则H （x ，32x ﹣6），表示DH 的长，根据△BCD 的面积是92，列方程可得x 的值，因为D 在对称轴的右侧，所以x ＝1不符合题意，舍去，利用三角形面积公式可得结论； （3）分两种情况：N 在x 轴的上方和下方，根据y =±154确定N 的坐标，并正确画图． 【解析】（1）∵OA ＝2，OB ＝4， ∴A （﹣2，0），B （4，0），把A （﹣2，0），B （4，0）代入抛物线y ＝ax 2+bx ﹣6中得：{4a −2b −6=016a +4b −6=0，∴抛物线的解析式为：y =34x 2−32x ﹣6；（2）如图1，过D 作DG ⊥x 轴于G ，交BC 于H ，当x ＝0时，y ＝﹣6， ∴C （0，﹣6），设BC 的解析式为：y ＝kx +n ，则{n =−64k +n =0，解得：{k =32n =−6， ∴BC 的解析式为：y =32x ﹣6，设D （x ，34x 2−32x ﹣6），则H （x ，32x ﹣6），∴DH =32x ﹣6﹣（34x 2−32x ﹣6）=−34x 2+3x ，∵△BCD 的面积是92，∴12DH ⋅OB =92，∴12×4×(−34x 2+3x)=92，解得：x ＝1或3，∵点D 在直线l 右侧的抛物线上， ∴D （3，−154），∴△ABD 的面积=12AB ⋅DG =12×6×154=454；（3）分两种情况：①如图2，N 在x 轴的上方时，四边形MNBD 是平行四边形，∵B （4，0），D （3，−154），且M 在x 轴上， ∴N 的纵坐标为154，当y =154时，即34x 2−32x ﹣6=154，解得：x ＝1+√14或1−√14， ∴N （1−√14，154）或（1+√14，154）；②如图3，点N 在x 轴的下方时，四边形BDNM 是平行四边形，此时M 与O 重合，∴N（﹣1，−15 4）；综上，点N的坐标为：（1−√14，154）或（1+√14，154）或（﹣1，−154）．【点评】此题主要考查二次函数的综合问题，会求函数与坐标轴的交点，会利用待定系数法求函数解析式，会利用数形结合的思想解决平行四边形的问题，并结合方程思想解决问题．4．（2020•东莞市校级一模）已知，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交点为A（﹣1，0）和点B，与y轴交点为C （0，﹣3），直线L：y＝kx﹣1与抛物线的交点为点A和点D．（1）求抛物线和直线L的解析式；（2）如图，点M为抛物线上一动点（不与A、D重合），当点M在直线L下方时，过点M作MN∥x轴交L于点N，求MN的最大值；（3）点M为抛物线上一动点（不与A、D重合），M'为直线AD上一动点，是否存在点M，使得以C、D、M、M′为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，请直接写出点M的坐标，如果不存在，请说明理由．【分析】（1）用待定系数法即可求解；（2）设点M的坐标为（m，m2﹣2m﹣3），则点N（﹣m2+2m+2，m2﹣2m﹣3），则MN＝﹣m2+m+2，进而求解；（3）分CD 为边、CD 为对角线两种情况，利用图象平移和中点公式求解即可． 【解析】（1）将点A 、C 的坐标代入抛物线表达式得{1−b +c =0c =−3，解得：{b =−2c =−3，故抛物线的表达式为：y ＝x 2﹣2x ﹣3①，将点A 的坐标代入直线L 的表达式得：0＝﹣k ﹣1，解得：k ＝﹣1， 故直线L 的表达式为：y ＝﹣x ﹣1②；（2）设点M 的坐标为（m ，m 2﹣2m ﹣3）， 点N 的纵坐标与点M 的纵坐标相同，将点N 的纵坐标代入y ＝﹣x ﹣1得：m 2﹣2m ﹣3＝﹣x ﹣1， 解得：x ＝﹣m 2+2m +2，故点N （﹣m 2+2m +2，m 2﹣2m ﹣3）， 则MN ＝﹣m 2+2m +2﹣m ＝﹣m 2+m +2，∵﹣1＜0，故MN 有最大值，当m =−b2a =12时，MN 的最大值为94；（3）设点M （m ，n ），则n ＝m 2﹣2m ﹣3③，点M ′（s ，﹣s ﹣1）， ①当CD 为边时，点C 向右平移2个单位得到D ，同样点M （M ′）向右平移2个单位得到M ′（M ）， 即m ±2＝s 且n ＝﹣s ﹣1④，联立③④并解得：m ＝0（舍去）或1或1±√172， 故点M 的坐标为（1，﹣4）或（1+√172，1−√172）或（1−√172，1+√172）； ②当CD 为对角线时，由中点公式得：12（0+2）=12（m +s ）且12（﹣3﹣3）=12（n ﹣s ﹣1）⑤，联立③⑤并解得：m ＝0（舍去）或﹣1，故点M （1，﹣4）； 综上，点M 的坐标为（1，﹣4）或（1+√172，1−√172）或（1−√172，1+√172）． 【点评】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数的性质、平行四边形的性质等，其中（3），要注意分类求解，避免遗漏．【题组二】5．（2020•雁塔区校级二模）已知抛物线L ：y ＝x 2+bx +c 经过点A （﹣1，0）和（1，﹣2）两点，抛物线L 关于原点O 的对称的为抛物线L ′，点A 的对应点为点A ′． （1）求抛物线L 和L ′的表达式；（2）是否在抛物线L 上存在一点P ，抛物线L ′上存在一点Q ，使得以AA ′为边，且以A 、A ′、P 、Q 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出P 点坐标；若不存在，请说明理由．【分析】（1）利用待定系数法可求抛物线L 解析式，由中心对称的性质可求抛物线L ′的表达式； （2）分两种情况讨论，由平行四边形的性质可求解．【解析】（1）∵抛物线L ：y ＝x 2+bx +c 经过点A （﹣1，0）和（1，﹣2）两点， ∴{0=1−b +c −2=1+b +c ， 解得：{b =−1c =−2，∴抛物线L 的解析式为：y ＝x 2﹣x ﹣2， ∵y ＝x 2﹣x ﹣2＝（x −12）2−94， ∴顶点坐标为（12，−94），∵抛物线L 关于原点O 的对称的为抛物线L ′， ∴抛物线L ′的解析式为：y ＝﹣（x +12）2+94； （2）∵点A 关于原点O 对应点为点A ′， ∴点A '（1，0）， ∴AA '＝2，∵以AA ′为边，且以A 、A ′、P 、Q 为顶点的四边形是平行四边形， ∴PQ ＝AA '＝2，PQ ∥AA '， 设点P （x ，x 2﹣x ﹣2）， 当点P 在点Q 的左侧， ∴点Q 的横坐标为x +2， ∴x 2﹣x ﹣2＝﹣（x +2+12）2+94， ∴x ＝﹣1，∴点P （﹣1，0）（不合题意舍去）；当点P在点Q的右侧，∴点Q的横坐标为x﹣2，∴x2﹣x﹣2＝﹣（x﹣2+12）2+94，∴x1=√2+1，x2=−√2+1，∴点P1（√2+1，√2），P2（−√2+1，−√2）．【点评】本题是二次函数综合题，考查了二次函数的性质，中心对称的性质，平行四边形的性质，灵活运用这些性质解决问题是本题的关键．6．（2020•怀化）如图所示，抛物线y＝x2﹣2x﹣3与x轴相交于A、B两点，与y轴相交于点C，点M为抛物线的顶点．（1）求点C及顶点M的坐标．（2）若点N是第四象限内抛物线上的一个动点，连接BN、CN，求△BCN面积的最大值及此时点N的坐标．（3）若点D是抛物线对称轴上的动点，点G是抛物线上的动点，是否存在以点B、C、D、G为顶点的四边形是平行四边形．若存在，求出点G的坐标；若不存在，试说明理由．（4）直线CM交x轴于点E，若点P是线段EM上的一个动点，是否存在以点P、E、O为顶点的三角形与△ABC相似．若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．【分析】（1）令抛物线解析式中x＝0即可求出C点坐标，写出抛物线顶点式，即可求出顶点M坐标；（2）过N点作x轴的垂线交直线BC于Q点，设N（n，n2﹣2n﹣3），求出BC解析式，进而得到Q点坐标，最后根据S△BCN＝S△NQC+S△NQB即可求解；（3）设D点坐标为（1，t），G点坐标为（m，m2﹣2m﹣3），然后分成①DG是对角线；②DB是对角线；③DC是对角线时三种情况进行讨论即可求解；（4）连接AC ，由CE ＝CB 可知∠EBC ＝∠E ，求出MC 的解析式，设P （x ，﹣x ﹣3），然后根据△PEO 相似△ABC ，分成EO BA=EP BC和EO BC=EP BA讨论即可求解．【解析】（1）令y ＝x 2﹣2x ﹣3中x ＝0，此时y ＝﹣3， 故C 点坐标为（0，﹣3）， 又∵y ＝x 2﹣2x ﹣3＝（x ﹣1）2﹣4， ∴抛物线的顶点M 的坐标为（1，﹣4）；（2）过N 点作x 轴的垂线交直线BC 于Q 点，连接BN ，CN ，如图1所示： 令y ＝x 2﹣2x ﹣3＝0， 解得：x ＝3或x ＝﹣1， ∴B （3，0），A （﹣1，0）， 设直线BC 的解析式为：y ＝ax +b ，将C （0，﹣3），B （3，0）代入直线BC 的解析式得：{−3=b 0=3a +b ，解得：{a =1b =−3，∴直线BC 的解析式为：y ＝x ﹣3，设N 点坐标为（n ，n 2﹣2n ﹣3），故Q 点坐标为（n ，n ﹣3），其中0＜n ＜3，则S △BCN =S △NQC +S △NQB =12⋅QN ⋅(x Q −x C )+12⋅QN ⋅(x B −x Q )=12⋅QN ⋅(x Q −x C +x B −x Q )=12⋅QN ⋅(x B −x C )，（其中x Q ，x C ，x B 分别表示Q ，C ，B 三点的横坐标），且QN ＝（n ﹣3）﹣（n 2﹣2n ﹣3）＝﹣n 2+3n ，x B ﹣x C ＝3，故S △BCN =12⋅(−n 2+3n)⋅3=−32n 2+92n =−32(n −32)2+278，其中0＜n ＜3， 当n =32时，S △BCN 有最大值为278，此时点N 的坐标为（32，−154），（3）设D 点坐标为（1，t ），G 点坐标为（m ，m 2﹣2m ﹣3），且B （3，0），C （0，﹣3） 分情况讨论：①当DG 为对角线时，则另一对角线是BC ，由中点坐标公式可知：线段DG 的中点坐标为(x D +x G 2，y D +y G 2)，即(1+m 2，t+m 2−2m−32)，线段BC 的中点坐标为(x B +x C 2，y B +y C 2)，即(3+02，0−32)，此时DG 的中点与BC 的中点为同一个点，∴{1+m 2=32t+m 2−2m−32=−32，解得{m =2t =0， 经检验，此时四边形DCGB 为平行四边形，此时G 坐标为（2，﹣3）；②当DB 为对角线时，则另一对角线是GC ，由中点坐标公式可知：线段DB 的中点坐标为(x D +x B 2，y D +y B 2)，即(1+32，t+02)， 线段GC 的中点坐标为(x G +x C 2，y G +y C 2)，即(m+02，m 2−2m−3−32)， 此时DB 的中点与GC 的中点为同一个点，∴{1+32=m+02t+02=m 2−2m−3−32，解得{m =4t =2， 经检验，此时四边形DCBG 为平行四边形，此时G 坐标为（4，5）；③当DC 为对角线时，则另一对角线是GB ，由中点坐标公式可知：线段DC 的中点坐标为(x D +x C 2，y D +y C 2)，即(1+02，t−32)， 线段GB 的中点坐标为(x G +x B 2，y G +y B 2)，即(m+32，m 2−2m−3+02)， 此时DC 的中点与GB 的中点为同一个点，∴{1+02=m+32t−32=m 2−2m−3+02，解得{m =−2t =8， 经检验，此时四边形DGCB 为平行四边形，此时G 坐标为（﹣2，5）；综上所述，G 点坐标存在，为（2，﹣3）或（4，5）或（﹣2，5）；（4）连接AC ，OP ，如图2所示：设MC 的解析式为：y ＝kx +m ，将C （0，﹣3），M （1，﹣4）代入MC 的解析式得：{−3=m −4=k +m， 解得：{k =−1m =−3∴MC 的解析式为：y ＝﹣x ﹣3，令y ＝0，则x ＝﹣3，∴E 点坐标为（﹣3，0），∴OE ＝OB ＝3，且OC ⊥BE ，∴CE ＝CB ，∴∠CBE ＝∠E ，设P （x ，﹣x ﹣3），又∵P 点在线段EM 上，∴﹣3＜x ＜1，则EP =√(x +3)2+(−x −3)2=√2(x +3)，BC =√32+32=3√2，由题意知：△PEO 相似于△ABC ，分情况讨论：①△PEO ∽△CBA ，∴EOBA=EP BC ， ∴34=√2(x+3)3√2， 解得x =−34，满足﹣3＜x ＜1，此时P 的坐标为(−34，−94)；②△PEO ∽△ABC ，∴EO BC =EP BA ， ∴3√2=√2(x+3)4， 解得x ＝﹣1，满足﹣3＜x ＜1，此时P 的坐标为（﹣1，﹣2）．综上所述，P 点的坐标为(−34，−94)或（﹣1，﹣2）．【点评】本题是二次函数综合题目，考查了二次函数的图象和性质、待定系数法求直线的解析式、平行四边形的性质、相似三角形的性质和判定、等腰三角形的判定与性质等知识；本题综合性较强，具有一定的难度，熟练掌握二次函数的图形和性质，学会用代数的方法求解几何问题．7．（2020•碑林区校级三模）在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线L：y＝ax2﹣4ax（a＞0）与x轴正半轴交于点A．抛物线L的顶点为M，对称轴与x轴交于点D．（1）求抛物线L的对称轴．（2）抛物线L：y＝ax2﹣4ax关于x轴对称的抛物线记为L'，抛物线L'的顶点为M'，若以O、M、A、M'为顶点的四边形是正方形，求L'的表达式．（3）在（2）的条件下，点P在抛物线L上，且位于第四象限，点Q在抛物线L'上，是否存在点P、点Q使得以O、D、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，若存在，求出点P坐标，若不存在，请说明理由．【分析】（1）根据抛物线的对称轴公式计算即可．（2）利用正方形的性质求出点M，M′的坐标即可解决问题．（3）分OD是平行四边形的边或对角线两种情形求解即可．【解析】（1）∵抛物线L：y＝ax2﹣4ax（a＞0），∴抛物线的对称轴x=−−4a2a=2．（2）如图1中，对于抛物线y＝ax2﹣4ax，令y＝0，得到ax2﹣4ax＝0，解得x＝0或4，∴A（4，0），∵四边形OMAM′是正方形，∴OD＝DA＝DM＝DM′＝2，∴M（（2，﹣2），M′（2，2）把M（2，﹣2）代入y＝ax2﹣4ax，可得﹣2＝4a﹣8a，∴a=1 2，∴抛物线L′的解析式为y=−12（x﹣2）2+2=−12x2+2x．（3）如图3中，由题意OD＝2．当OD 为平行四边形的边时，PQ ＝OD ＝2，设P （m ，12m 2﹣2m ），则Q [m ﹣2，−12（m ﹣2）2+2（m ﹣2）]或[m +2，−12（m +2）2+2（m +2）]，∵PQ ∥OD ，∴12m 2﹣2m =−12（m ﹣2）2+2（m ﹣2）或12m 2﹣2m =−12（m +2）2+2（m +2）， 解得m ＝3±√3或1±√3，∴P （3+√3，√3）或（3−√3，−√3）或（1−√3，√3）和（1+√3，−√3），当OD 是平行四边形的对角线时，点P 的横坐标为1，此时P （1，−32），∵点P 在第四象限，∴满足条件的点P 的坐标为（3−√3，−√3）或（1+√3，−√3）或（1，−32）．【点评】本题属于二次函数综合题，考查了二次函数的性质，正方形的性质，平行四边形的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，学会利用参数构建方程解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．8．（2020•泰安二模）如图①抛物线y ＝ax 2+bx +4（a ≠0）与x 轴，y 轴分别交于点A （﹣1，0），B （4，0），点C 三点．（1）试求抛物线解析式；（2）点D （3，m ）在第一象限的抛物线上，连接BC ，BD ．试问，在对称轴左侧的抛物线上是否存在一点P ，满足∠PBC ＝∠DBC ？如果存在，请求出点P 的坐标；如果不存在，请说明理由；（3）点N 在抛物线的对称轴上，点M 在抛物线上，当以M 、N 、B 、C 为顶点的四边形是平行四边形时，请直接写出点M 的坐标．【分析】（1）把已知点A 、B 代入抛物线y ＝ax 2+bx +4中即可求解；（2）将二次函数与方程、几何知识综合起来，先求点D 的坐标，再根据三角形全等证明∠PBC ＝∠DBC ，最后求出直线BP 解析式即可求出P 点坐标；（3）根据平行四边形的判定即可写出点M 的坐标．【解析】如图：（1）∵抛物线y ＝ax 2+bx +3（a ≠0）与x 轴，y 轴分别交于点A （﹣1，0），B （4，0），点C 三点． ∴{a −b +4=016a +4b +4=0， 解得{a =−1b =3． ∴抛物线的解析式为y ＝﹣x 2+3x +4．（2）存在．理由如下：y ＝﹣x 2+3x +4＝﹣（x ﹣1.5）2+6.25．∵点D （3，m ）在第一象限的抛物线上，∴m ＝4，∴D （3，4），∵C （0，4）∵OC ＝OB ，∴∠OBC ＝∠OCB ＝45°．连接CD ，∴CD ∥x 轴，∴∠DCB ＝∠OBC ＝45°，∴∠DCB ＝∠OCB ，在y 轴上取点G ，使CG ＝CD ＝3，再延长BG 交抛物线于点P ，。
二次函数与平行四边形综合
这一关系提供了许多解析几何和图形问
题的有用工具，例如寻找最小值、最大
值和对称性。
3
图像
通过绘制函数和平行四边形的图形，可 以应用这些概念进行可视化。
平行四边形和二次函数的图像
图像
绘制平行四边形和二次函数的图 像可以使它们之间的关系更加清 晰。
二次函数图像
二次函数的图像通常采用抛物线 形式呈现，具有对称性和顶点。
平行四边形图像
平行四边形的图像可以通过将其 边界显示为矩形来构建。
平行四边形和二次函数的应用Fra bibliotek1 应用
这些概念在解析几何、物理学、计算机图形 学和工程等领域中有许多实际应用。
2 示例
可以使用这些概念解决包括区域最小化、体 积最大化、场景生成和动画路径设计等问题。
平行四边形和二次函数的解析几何证明
证明
二次函数的定义和性质
定义
二次函数是一种形式为 y=ax^2+bx+c 的函数，其中 a、b 和 c 是常数，且 a ≠ 0。
性质
二次函数具有许多重要的性质，如顶点、对称轴、单调性和极限。
平行四边形与二次函数的关系
1
关系
二次函数的顶点是平行四边形的中心点，
性质
2
同时平行四边形的对角线是二次函数的 对称轴。
需要应用纯粹的解析几何和一些基本的代数知识来 证明二次函数和平行四边形之间的关系。
方法
关键在于了解二次函数和平行四边形的特点和性质， 并将它们进行运算和变形，以显示它们之间的关系。
总结和要点
总结
在本演示中，我们介绍了平行四边形的定义和 性质，二次函数的定义和性质，以及二者之间 的关系和应用。
要点
关键是要理解二次函数和平行四边形的特征和 性质，并能将它们相互关联。
二次函数与平行四边形
二次函数与平行四边形一、引言二次函数和平行四边形是高中数学中的重要概念和知识点。
二次函数是一种常见的函数形式，具有很多重要的特征和性质，而平行四边形是一种特殊的四边形，具有一些独特的性质和定理。
本文将分别介绍二次函数和平行四边形的相关内容，并探讨它们之间的关联。
二、二次函数1.定义二次函数是指具有形如y=ax²+bx+c的函数，其中a、b、c是实数且a≠0。
二次函数的图像通常是一个开口朝上或朝下的抛物线。
2.性质(1)对称性：二次函数的图像关于抛物线的对称轴对称。
(2)顶点：二次函数的图像的顶点是抛物线的最高点或最低点。
(3)零点：二次函数的图像与x轴相交的点称为零点，也就是函数的根。
(4)判别式：二次函数的判别式Δ=b²-4ac可以判断函数的图像与x 轴的交点情况，若Δ>0，则有两个不同的零点；若Δ=0，则有一个重根；若Δ<0，则无实根。
3.应用二次函数在现实生活中有着广泛的应用。
例如，抛物线的形状可以用来描述物体的抛射轨迹；二次函数的最优化问题可以用来求解最大值或最小值等。
三、平行四边形1.定义平行四边形是指具有两对对边分别平行的四边形。
平行四边形的对边长度相等，对角线互相平分，且对角线互相垂直。
2.性质(1)对边性质：平行四边形的对边长度相等。
(2)对角线性质：平行四边形的对角线互相平分，并且互相垂直。
(3)角性质：平行四边形的对角线将四个角分成两对互补的角。
3.定理平行四边形有若干重要的定理，如以下几个例子：(1)对角线分割定理：平行四边形的对角线将其分割成两个面积相等的三角形。
(2)对角线互相平分定理：平行四边形的对角线互相平分，即将其分成两个面积相等的三角形。
(3)平行四边形面积定理：平行四边形的面积等于底边长乘以高。
四、二次函数与平行四边形的关联1.关联性质二次函数的图像是一个抛物线，而平行四边形的形状可以近似为一个抛物线。
二次函数的顶点是抛物线的最高点或最低点，而平行四边形的对角线交点可以看作是其最高点或最低点。
二次函数求平行四边形坐标
二次函数求平行四边形坐标中的特定函数1. 函数的定义二次函数是一种具有形式为f(x)=ax2+bx+c的函数，其中a、b和c是实数且a≠0。
它是一个关于变量x的二次多项式函数，图像为抛物线。
在平行四边形坐标系中，我们可以利用二次函数来描述平行四边形的各个特征。
2. 函数的用途二次函数在数学和实际应用中都有广泛的应用。
在平行四边形坐标中，我们可以利用二次函数来描述平行四边形的形状、位置和性质。
通过求解特定的二次函数，我们可以得到平行四边形的各个参数，如顶点、焦点、对称轴、方程等。
3. 函数的工作方式为了理解二次函数在求解平行四边形中的应用，我们需要先了解一些基本概念：•顶点：二次函数图像的最高点或最低点被称为顶点。
对于一个一般形式的二次函数f(x)=ax2+bx+c，顶点坐标可以通过以下公式得到：(ℎ,k)，其中ℎ=−b和k=f(ℎ)。
2a•对称轴：二次函数图像的对称轴是通过顶点并垂直于x轴或y轴的一条直线。
对称轴的方程可以通过以下公式得到：x=ℎ。
•焦点：二次函数图像上离顶点最近的点被称为焦点。
焦点的坐标可以通过。
以下公式得到：(ℎ,k+p)，其中p=14a•平行四边形：平行四边形是一个具有相对边平行且相等长度的四边形。
在平行四边形坐标中，我们可以利用二次函数来描述平行四边形的各个特征。
现在我们开始讨论如何利用二次函数求解平行四边形坐标中的特定函数。
3.1 求解顶点坐标要求解平行四边形的顶点坐标，我们可以利用二次函数顶点公式(ℎ,k)，其中ℎ=−b和k=f(ℎ)。
首先，我们需要确定给定平行四边形所对应的二次函数。
例如，2a假设我们有一个具有顶点坐标为(3,4)的平行四边形，现在需要求解其对应的二次函数。
根据顶点公式，我们有ℎ=3。
为了求解k，我们需要知道顶点对应的函数值。
由于我们只知道顶点坐标，而不知道具体的函数值，因此无法直接求解。
但是，如果我们有其他已知点的坐标，那么就可以利用这些信息来求解。
九年级数学单元教案-二次函数与平行四边形
二次函数与平行四边形教学目标：通过本节课的学习，让学生了解二次函数与平行四边形结合的基本类型，使学生学会能熟练运用平行四边形的判定方法解决问题，在解题过程中渗透分类讨论的思想与一题多解的数学思想方法。
教学重，难点：教学重点：二次函数的求解，平行四边形的判定教学难点：当平行四边形定点不固定时如何进行分类讨论，尤其是涉及动点问题。
教学过程设计：例1：在平面直角坐标系中，已知抛物线2142y x x =+-与X 轴交于点A ，C ，与y 轴交于点B 。
1）求A,B,C 三点的坐标。
2）点 Q 是直线y x =-上的动点，判断有几个位置能够使得点A ，Q ，B ，O 为顶点的四边形为平行四边形，写出相应的点 Q 的坐标，并说明理由．3）在2）的条件下，若点P 是抛物线上的动点，判断又有几个位置能够使得点P ，Q ，B ，O 为顶点的四边形为平行四边形，直接写出相应的点 Q 的坐标。
解题过程：1）令y=o,即21402x x +-=，则124,2,x x =-=(4,0),(2,0)A C ∴- 令x=0，则y=-4，(0,4)B ∴- 2)要使点A ，Q ，B ，O 为顶点的四边形为平行四边形1.O B O B A QQ A -Q -a ∴以为边时，必须∥此时点与的横坐标相同为4，（4,4） 2.OB OA BQQ B -Q -b ∴以为对角线时，必须∥此时点与的纵坐标相同为4，（4,4） 综上所述，存在两个位置能够使得点A ，Q ，B ，O 为顶点的四边形为平行四边形分别为点1Q -（4,4），2Q -（4,4） 3）(4,4),(4,4),(22---+---+例2：已知：如图，在平面直角坐标系xOy 中，直线364y x =-+与x 轴、y 轴的交点分 别为A B 、，将OBA ∠对折，使点O 的对应点H 落在直线AB 上，折痕交x 轴于点.C（1）直接写出点C 的坐标，并求过A B C 、、三点的抛物线的解析式；（2）若抛物线的顶点为D ，在直线BC 上是否存在点P ，使得四边形ODAP 为平行四边形？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，说明理由；:解：（1）点C 的坐标为(3,0). ∵ 点A 、B 的坐标分别为(8,0),(0,6)A B ，∴ 可设过A 、B 、C 三点的抛物线的解析式为(3)(8)y a x x =--.将0,6x y ==代入抛物线的解析式，得14a =. ∴ 过A 、B 、C 三点的抛物线的解析式为2111644y x x =-+. （2）可得抛物线的对称轴为112x =，顶点D 的坐标为 1125(,)216-，设抛物线的对称轴与x 轴的交点为G . 直线BC 的解析式为26y x =-+.- - - - - - - - - - 4设点P 的坐标为(,26)x x -+. 解法一：如图8，作OP ∥AD 交直线BC 于点P ，连结AP ，作PM ⊥x 轴于点M.∵ OP ∥AD ，∴ ∠POM=∠GAD ，tan ∠POM=tan ∠GAD.∴ PM DG OM GA =，即2526161182x x -+=-. 解得167x =. 经检验167x =是原方程的解. 此时点P 的坐标为1610(,)77. 但此时四边形的对边OP 与AD 平行但不相等，∴ 直线BC 上不存在符合条件的点P.解法二：如图9，取OA 的中点E ，作点D 关于点E 的对称点P ，作PN ⊥x 轴于点N. 则∠PEO=∠DEA ，PE=DE.可得△PEN ≌△DEG ． 由42OA OE ==，可得E 点的坐标为(4,0). NE=EG=32， ON=OE －NE=52，NP=DG=2516. ∴ 点P 的坐标为525(,)216. ∵ x=52时，52526261216x -+=-⨯+=≠， ∴ 点P 不在直线BC 上. ∴ 直线BC 上不存在符合条件的点P .探究提高：平行四边形中的二次函数如图，在菱形ABCD 中，2AB cm =，60BAD ∠=︒，E 为CD 边中点，点P 从点A 开始沿AC方向以每秒的速度运动，同时，点Q 从点D 出发沿DB 方向以每秒1cm 的速度运动，当点P 到达点C 时，P Q ，同时停止运动，设运动的时间为x 秒．（1）当点P 在线段AO 上运动时．①请用含x 的代数式表示OP 的长度；②若记四边形PBEQ 的面积为y ，求y 关于x 的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）；（2）显然，当0x =时，四边形PBEQ 即梯形ABED ，请问，当P 在线段AC 的其他位置时，以P B E Q ，，，为顶点的四边形能否成为梯形？若能，求出所有满足条件的x 的值；若不能，请说明理由．小结：1.学生总结：通过本节课的学习你有什么收获？（数学知识，数学思想方法）2.教师小结：二次函数与平行四边形的结合比较常见，不仅在二次函数中某C A些动点的移动会产生平行四边形，而且在平行四边形中某些动点的移动也会产生一些图像的面积会是二次函数，但是解题的关键都是熟练掌握相关知识，学会将他们联系在一起。
二次函数与平行四边形有关的问题(解析版)
二次函数与平行四边形有关的问题【典例1】已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于A、B两点（点A在点B的左边），与y轴交于点C（0，﹣3），顶点D的坐标为（1，﹣4）．（1）求抛物线的解析式．（2）在y轴上找一点E，使得△EAC为等腰三角形，请直接写出点E的坐标．（3）点P是x轴上的动点，点Q是抛物线上的动点，是否存在点P、Q，使得以点P、Q、B、D为顶点，BD为一边的四边形是平行四边形？若存在，请求出点P、Q坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）yx2﹣2x﹣3；（2）满足条件的点E的坐标为（0，3）、（0，﹣10）、（0，﹣310）、（0，﹣43）；（3）存在，P（﹣2，0）、Q（2，4）或P（﹣1﹣2，0）、Q（1﹣2，4）．【解析】【分析】（1）根据抛物线的顶点坐标设出抛物线的解析式，再将点C坐标代入求解，即可得出结论；（2）先求出点A，C坐标，设出点E坐标，表示出AE，CE，AC，再分三种情况建立方程求解即可；（3）利用平移先确定出点Q的纵坐标，代入抛物线解析式求出点Q的横坐标，即可得出结论．【详解】解：（1）∵抛物线的顶点为（1，﹣4），∴设抛物线的解析式为y＝a（x﹣1）2﹣4，将点C（0，﹣3）代入抛物线y＝a（x﹣1）2﹣4中，得a﹣4＝﹣3，∴a＝1，∴抛物线的解析式为y＝a（x﹣1）2﹣4＝x2﹣2x﹣3；（2）由（1）知，抛物线的解析式为y＝x2﹣2x﹣3，令y＝0，则x2﹣2x﹣3＝0，∴x＝﹣1或x＝3，∴B（3，0），A（﹣1，0），令x＝0，则y＝﹣3，∴C（0，﹣3），∴AC，设点E（0，m），则AE CE＝|m+3|，∵△ACE是等腰三角形，∴①当AC＝AE∴m＝3或m＝﹣3（点C的纵坐标，舍去），∴E（3，0），②当AC＝CE＝|m+3|，∴m＝﹣3∴E（0，﹣）或（0，﹣3），③当AE＝CE|m+3|，∴m＝﹣43，∴E（0，﹣43），即满足条件的点E的坐标为（0，3）、（0，﹣）、（0，﹣3）、（0，﹣43）；（3）如图，存在，∵D（1，﹣4），∴将线段BD向上平移4个单位，再向右（或向左）平移适当的距离，使点B的对应点落在抛物线上，这样便存在点Q，此时点D的对应点就是点P，∴点Q的纵坐标为4，设Q（t，4），将点Q的坐标代入抛物线y＝x2﹣2x﹣3中得，t2﹣2t﹣3＝4，∴t ＝1+22或t ＝1﹣22， ∴Q （1+22，4）或（1﹣22，4），分别过点D ，Q 作x 轴的垂线，垂足分别为F ，G ，∵抛物线y ＝x 2﹣2x ﹣3与x 轴的右边的交点B 的坐标为（3，0），且D （1，﹣4）， ∴FB ＝PG ＝3﹣1＝2，∴点P 的横坐标为（1+22）﹣2＝﹣1+22或（1﹣22）﹣2＝﹣1﹣22， 即P （﹣1+22，0）、Q （1+22，4）或P （﹣1﹣22，0）、Q （1﹣22，4）．【典例2】如图，抛物线2y x bx c =-++与直线122y x =+交于,C D 两点，其中点C 在y 轴上，点D 的坐标为7(3,)2。
二次函数与平行四边形存在性问题专题讲义(对点法——一招制胜)
向右平移6个单位长度向上平移2个单位长度二次函数与平行四边形存在性问题专题讲义一、知识链接：点P（x,y）的平移方式平移后点的坐标规律沿x轴平移向右平移a个单位长度(x+a,y)左右平移，横坐标左减右加，纵坐标不变向左平移a个单位长度(x-a,y)沿y轴平移向上平移b 个单位长度(x,y+b)上下平移，横坐标不变，纵坐标上加下减向下平移b 个单位长度(x,y-b)例1：如下图，线段AB平移得到线段BA''，已知A（-2,2）,B（-3，-1）B'（3,1）则：点A'的坐标是例2.在平行四边形ABCD中，其中已知A (-1，0)，B (1，-2)， C (3，1)，则D点坐标？二、知识迁移例3：如图，在平面直角坐标系中，▱ABCD的顶点坐标分别为()11,yxA、()22,yxB、()33,yxC、()44,yxD，已知其中任意3个顶点的坐标，如何确定第4个顶点的坐标？∵AB∥CD,AB=CD∴边CD可看成由边BA向右、向上平移n个单位长度得到三、对点法即：平面直角坐标系中，平行四边形两组相对顶点的横坐标之和相等，纵坐标之和也相等.①若点A与点B相对，则点D与点C相对②若点A与点D相对，则点B与点C相对③若点A与点C相对，则点B与点D相对四、典型例题学习例4.如图,平面直角坐标系中,已知A(-1,0),B(1,-2),C(3,1)点D是平面内一动点,若以点A、B、C、D为顶点的四边形是平行四边形,则点D的坐标是五、小试牛刀1.抛物线中的平行四边形存在性问题（“三定一动”）例5.已知,抛物线2x y 2++-=x 与x 轴的交点为A 、B,与y 轴的交点为C,点M 是平面内一点,判断有几个位置能使以点M 、A 、B 、C 为顶点的四边形是平行四边形,请写出相应的坐标.思路点拨：先求出A （-1,0）B （2,0）C （0,2）设点M （x,y ）①点A 与点B 相对⎩⎨⎧+=++=+-y x 200021 ∴⎩⎨⎧-==21y x②点A 与点C 相对⎩⎨⎧+=++=+-y x 020201 ∴⎩⎨⎧=-=23y x③点A 与点M 相对⎩⎨⎧+=++=+-200021y x ∴⎩⎨⎧==23y x∴ M （1，-2）或（-3,2）或（3,2）2.抛物线中的平行四边形存在性问题（“两定两动”）例6.如图,平面直角坐标系中,x x +-=241y 与x 轴相交于点B(4,0),点Q 在抛物线的对称轴上,点P 在抛物线上,且以点O 、B 、Q 、P 为顶点的四边形是平行四边形,写出相应的点P 的坐标.思路点拨：此题与上一题方法一样，但需设出两动点坐标设点P （m ,m m +-241）, Q(2,a)下面请您自己列出方程并解答：变式题:1.如图,平面直角坐标系中,421y 2-+=x x 与y 轴相交于点B(0,-4),点P 是抛物线上的动点,点Q 是直线x y -=上的动点,判断有几个位置能使以点P 、Q 、B 、O 为顶点的四边形为平行四边形,写出相应的点Q 的坐标.变试题:2.如图,平面直角坐标中,32x y 2--=x 与x 轴相交于点A(-1,0),点C 的坐标是(2,-3),点P 抛物线上的动点,点Q 是x 轴上的动点,判断有几个位置能使以点A 、C 、P 、Q 为顶点的四边形为平行四边形,写出相应的点Q 的坐标.六、方法分享二次函数综合问题中，平行四边形的存在性问题，无论是“三定一动”，还是“两定两动”，甚至是“四动”问题，能够一招制胜的方法就是“对点法”，需要分三种情况，得出三个方程组求解。
“数形结合”在解题中的应用——二次函数与平行四边形
“数形结合”在解题中的应用——二次函数与平行四边形摘要：二次函数是初中数学教材中非常重要的内容之一，是中考的必考内容。
在中考考卷往往结合种数学容，将二次函数与四边形结合，提升思维综合度，使学生整个答卷在此出现分水岭，此题只要抓住解题要领对学生的解题能力起到了一定的锻炼作用。
数形结合思想是数学函数解题中的法宝，利用数形结合来实现学生对数学题的直观认知，提高解题效率。
本文首先阐述了数形结合在解题中的重要性，然后分析数形结合在解题中的应用，将二次函数与四边形进行有效结合，并进行解题思路的强调，点播学生进行解题，最后总结解题规律。
旨在能够利用数形结合的思维进行题目的分析，从而实现数学题的分析，达到解题的目的，同时也可以加强学生数学思维能力的提升。
关键词：数形结合；二次函数；平行四边形引言：数学家华罗庚说过：“数缺形时少直觉，形缺数时难入微”，数形结合是数学学习中解决函数问题常用方法。
解题中经常会出现二次函数与四边形同时出现的题型。
陕西中考中截止2020年前近10年考查了6次二次函数与特殊平行四边行，涉及平行四边形4次。
让学生在解题中摸不到头绪，通过数形结合方法可以有效解决此难题。
那么如何在初中数学解题中进行数形结合的应用呢，下面通过具体例题来进行分析和研究。
一、数形结合在解题中的重要性数形结合指的是数字与图形进行有效结合，能够实现数形之间的转化，通过图形的展示让学生在解题中更加具有直观性，可以直接看到解题要点，有效提高解题效率。
与此同时，通过数形结合思想还可以帮助学生打开数学解题思路，能够通过多种方法进行数学题目的运用，促进学习质量的提升[1]。
二、数形结合在解题中的应用分析陕西省中考对二次函数与平行四边形的考察非常重视，教师在教学的过程中可以通过对中考题目进行分析，在例题分析中对学生进行解题思维点拨，从而能够促进学生进行数学问题的思考，进而不断培养学生在处理二次函数与平行四边形的解题思路。
在最后的过程中还需要对类型的问题解决方法进行大总结，这样能够让学生在遇到类似的问题可以随机应变，提高学生的解题能力。
平行四边形跟二次函数结合在一起的公式
平行四边形跟二次函数结合在一起的公式平行四边形跟二次函数结合在一起的公式有很多种，具体是哪种公式需要根据问题和具体情况来确定。
以下是两种常见的公式：平行四边形的面积公式和二次函数的基本函数式设平行四边形的底边长为b，高度为h，其中b和h都是正数，则平行四边形的面积为：S = b*h。
假设二次函数y = ax^2 + bx + c，则平行四边形上底和下底上的点的纵坐标分别为y1 = ax1^2 + bx1 + c 和y2 = ax2^2 + bx2 + c，其中x1和x2是平行四边形底边上的两个点的横坐标，则平行四边形的高度为：h = |y2 - y1|。
综上所述，平行四边形面积与二次函数的基本函数式的关系可以表示为：S = b*|ax2^2 + bx2 + c - ax1^2 - bx1 - c|。
平行四边形的面积公式和二次函数的导函数式设平行四边形的两个邻边分别为a和b（其中a>b），夹角为θ，则平行四边形的面积为：S = a * b * sin(θ)。
假设二次函数y = ax^2 + bx + c，则y的导函数为y' = 2ax + b。
给定两个底端点x1和x2，假设y'在x1和x2处的函数值分别为k和m，则其中的夹角θ为：θ= arctan(|k-m| / (1+km))。
由于正切函数的分母不能为0，因此需要保证km不等于-1。
综上所述，平行四边形面积与二次函数的导函数式的关系可以表示为：S = (|2ax1 + b - 2ax2 - b|) * (|2ax1 + b + 2ax2 + b|) * sin(arctan(|2ax1 + b - 2ax2 - b| / (1+2ax1+b)(2a*x2+b))) / 2a。
二次函数中平行四边形通用与解决方法
二次函数中平行四边形通用与解决方法平行四边形是一种特殊的四边形，具有两组相对平行的边和相等的内角。
在二次函数中，我们可以通过确定二次函数的相关参数，来绘制出平行四边形。
一、二次函数的一般形式在二次函数中，一般形式可以表示为：$y = ax^2 + bx + c$其中，a表示二次函数的开口方向和大小，正数表示开口向上，负数表示开口向下；b表示二次函数的平移，正数表示向右平移，负数表示向左平移；c表示二次函数的平移，正数表示向上平移，负数表示向下平移。
二、平行四边形的定义平行四边形是指具有两组相对平行的边和相等的内角的四边形。
在二次函数图像中，我们可以通过调整参数来使函数图像具有平行四边形的特征。
三、绘制平行四边形的步骤1.确定平行四边形的基础线段平行四边形的相对平行边为基础线段。
通过确定基础线段的两个端点，可以确定平行四边形的位置。
2.确定平行四边形的高度平行四边形的高度决定了函数图像在y轴上的平移。
通过调整参数c的值可以改变二次函数的平移，从而确定平行四边形的高度。
3.确定平行四边形的宽度平行四边形的宽度是基础线段在x轴上的长度。
通过调整参数a和b的值可以改变二次函数的开口方向和大小，从而确定平行四边形的宽度。
4.绘制函数图像根据确定的基础线段、高度和宽度，我们可以得到平行四边形对应的二次函数图像。
使用坐标轴绘制出函数图像，可以得到平行四边形的形状。
四、解决方法1.已知平行四边形的形状，求解对应的二次函数表达式如果已知平行四边形的形状，可以通过观察其特征来确定对应的二次函数表达式。
根据平行四边形的基础线段、高度和宽度确定参数a、b和c的值，从而得到二次函数的表达式。
2.已知二次函数的表达式，求解对应平行四边形的形状如果已知二次函数的表达式，可以通过分析参数a、b和c的值来确定对应平行四边形的形状。
根据参数a的正负确定开口方向，根据参数b和c的值确定平移和缩放，从而确定平行四边形的形状。
3.图形推导法通过观察二次函数图像的特征，可以推导出对应平行四边形的形状。
二次函数中平行四边形与解决方法
二次函数中平行四边形与解决方法平行四边形是一个具有两对相对平行且相等长度的边的四边形。
二次函数是一个变量的平方的系数为非零的多项式。
在二次函数中，我们可以通过将函数转化为标准或一般形式来找到平行四边形的解决方法。
一、标准形式的二次函数标准形式的二次函数可以表示为 f(x) = ax^2 + bx + c，其中a、b和c都是实数且a不等于0。
通过这种形式，我们可以很容易地确定二次函数的顶点和x轴的交点。
要找到平行四边形的解决方法，我们可以首先计算二次函数的顶点坐标。
函数的顶点坐标可以通过公式x=-b/2a和y=f(x)来计算。
这对应于二次函数图像的顶点的横纵坐标。
然后，我们可以根据横坐标上的两个不同点来确定平行四边形的两条平行边。
这些点可以通过将x值替换为不同的值并计算出相应的y值得到。
最后，我们可以使用顶点坐标和平行边确定平行四边形的其他两条边。
根据平行四边形的性质，我们可以确定这两条边的长度等于顶点到平行边的垂直距离。
二、一般形式的二次函数一般形式的二次函数可以表示为 f(x) = ax^2 + bx + c，其中a、b和c都是实数且a不等于0。
通过这种形式，我们可以很容易地确定二次函数的根和顶点。
要找到平行四边形的解决方法，我们可以首先求解二次函数的根。
根可以通过将函数设置为0，然后使用求根公式或配方法来计算。
根对应于二次函数图像与x轴的交点。
然后，我们可以根据根来确定平行四边形的顶点。
顶点的横坐标为根的平均值，即x=(x1+x2)/2，其中x1和x2是根。
纵坐标可以通过将横坐标代入二次函数中计算得到，即y=f(x)。
接下来，我们可以通过将顶点坐标代入二次函数中，计算出对应的y 值，从而得到平行四边形的两条平行边。
最后，我们可以根据平行四边形的性质，使用顶点坐标和平行边确定另外两条边的长度。
三、实例示范为了更好地理解如何使用二次函数来解决平行四边形问题，我们来看一个具体的示例。
假设我们有一个二次函数f(x)=2x^2-4x+3、首先，我们可以将它转化为标准形式，以便更容易找到顶点和根。
二次函数中平行四边形
二次函数中平行四边形
二次函数中平行四边形的问题，通常是涉及到二次函数图像与坐标轴的交点以及平行四边形的性质。
首先，我们需要明确什么是二次函数。
二次函数是形如
f(x) = ax^2 + bx + c (a ≠ 0)的函数，其中a、b和c是常数，x是变量。
其次，我们需要知道平行四边形的性质。
平行四边形是一种特殊的四边形，它的对边相等且平行。
在二维坐标系中，平行四边形的四个顶点可以表示为(x1, y1), (x2, y2), (x3, y3), (x4, y4)。
接下来，我们来探讨二次函数图像与平行四边形的关系。
假设二次函数f(x) = ax^2 + bx + c的图像与x轴有两个交点A(x1, 0)和B(x2, 0)，那么这两个交点就是平行四边形的两个对角线的交点。
为了找到平行四边形的其他两个顶点，我们可以将二次函数f(x) = ax^2 + bx + c的图像向上或向下平移一定的距离，使得新的图像与x轴有两个交点C(x3, y3)和D(x4, y4)。
这样，我们就得到了一个以A、B、C、D为顶点的平行四边形ABCD。
最后，我们可以通过计算平行四边形的面积来验证我们的解答。
平行四边形的面积等于底乘以高，即S = |y3 - y4|
* |x3 - x4|。
由于C和D是二次函数f(x) = ax^2 + bx + c 的图像上的点，所以它们的纵坐标分别为f(x3)和f(x4)。
因此，平行四边形的面积可以表示为S = |f(x3) - f(x4)| * |x3 - x4|。
通过以上步骤，我们就可以解决二次函数中平行四边形的问题了。
专题08 二次函数与平行四边形(学生版)
专题08二次函数与平行四边形（专项训练）1．（2022•攀枝花）如图，二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴交于O（O为坐标原点），A两点，且二次函数的最小值为﹣1，点M（1，m）是其对称轴上一点，y轴上一点B（0，1）．（1）求二次函数的表达式；（2）在二次函数图象上是否存在点N，使得以A、B、M、N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出所有符合条件的点N的坐标，若不存在，请说明理由．2．（2022•内蒙古）如图，抛物线y＝ax2+x+c经过B（3，0），D（﹣2，﹣）两点，与x轴的另一个交点为A，与y轴相交于点C．（1）求抛物线的解析式和点C的坐标；（2）设点Q在y轴上，点P在抛物线上，要使以点A，B，P，Q为顶点的四边形是平行四边形，求所有满足条件的点P的坐标．（请在图2中探索）3．（2022•牡丹区三模）如图，直线y＝﹣x+4与x轴交于点C，与y轴交于点B，抛物线y＝ax2+x+c经过B，C两点．（1）求抛物线的解析式；（2）Q是抛物线对称轴上的动点，在抛物线上是否存在点P，使得以P，Q，B，C为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．4．（2022•东莞市校级一模）如图所示，抛物线y＝x2+bx+c交x轴于A、B两点（点A在点B的左侧），交y 轴于点C（0，﹣3），已知AB＝4，对称轴在y轴左侧．（1）求抛物线的表达式；（2）若点N在对称轴上，则抛物线上是否存在点M，使得点A、O、N、M构成平行四边形，若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由；5．（2022•毕节市）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，顶点为D（2，1），抛物线的对称轴交直线BC于点E．（1）求抛物线y＝﹣x2+bx+c的表达式；（2）把上述抛物线沿它的对称轴向下平移，平移的距离为h（h＞0），在平移过程中，该抛物线与直线BC始终有交点，求h的最大值；（3）M是（1）中抛物线上一点，N是直线BC上一点．是否存在以点D，E，M，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．6．（2022•娄底）如图，抛物线y＝x2﹣2x﹣6与x轴相交于点A、点B，与y轴相交于点C．（1）请直接写出点A，B，C的坐标；（2）点P（m，n）（0＜m＜6）在抛物线上，当m取何值时，△PBC的面积最大？并求出△PBC面积的最大值．（3）点F是抛物线上的动点，作FE∥AC交x轴于点E，是否存在点F，使得以A、C、E、F为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请写出所有符合条件的点F的坐标；若不存在，请说明理由．7．（2022•宜宾）如图，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于A（3，0）、B（﹣1，0）两点，与y轴交于点C（0，3），其顶点为点D，连结AC．（1）求这条抛物线所对应的二次函数的表达式及顶点D的坐标；（2）在抛物线的对称轴上取一点E，点F为抛物线上一动点，使得以点A、C、E、F为顶点、AC为边的四边形为平行四边形，求点F的坐标；8.（2022•重庆）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于点A（4，0），与y轴交于点B（0，3）．（1）求抛物线的函数表达式；（2）点P为直线AB上方抛物线上一动点，过点P作PQ⊥x轴于点Q，交AB于点M，求PM+AM的最大值及此时点P的坐标；（3）在（2）的条件下，点P′与点P关于抛物线y＝﹣x2+bx+c的对称轴对称．将抛物线y＝﹣x2+bx+c向右平移，使新抛物线的对称轴l经过点A．点C在新抛物线上，点D在l上，直接写出所有使得以点A、P′、C、D为顶点的四边形是平行四边形的点D的坐标，并把求其中一个点D的坐标的过程写出来．9.（2022•青羊区校级模拟）抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点A（﹣3，0），B（1，0）两点，与y轴交于点C（0，3），点P是抛物线上的一个动点．（1）求抛物线的函数表达式；（2）如图1，点P在线段AC上方的抛物线上运动（不与A，C重合），过点P作PD⊥AB，垂足为D，PD交AC于点E．作PF⊥AC，垂足为F，求△PEF的面积的最大值；（3）如图2，点Q是抛物线的对称轴l上的一个动点，在抛物线上，是否存在点P，使得以点A，P，C，Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，说明理由．10.（2022•九龙坡区自主招生）如图1，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点A，B分别位于原点的左右两侧，且BO＝3AO＝3．已知直线y＝kx+n过B，C两点．（1）求抛物线的表达式；（2）点P是抛物线上的一个动点．①如图1，若点P在第一象限内，连接PA，交直线BC于点D．记△PDC的面积为S1，△ADC的面积为S2，若S1：S2＝1：2，求点P的坐标；②如图2，抛物线的对称轴l与x轴交于点E，过点E作EF⊥BC，垂足为F．点Q是对称轴l上的一个动点，是否存在以点E，F，P，Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点P，Q的坐标；若不存在，请说明理由．11.（2022•鄂尔多斯）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+2经过A （，0），B（3，）两点，与y轴交于点C．（1）求抛物线的解析式；（2）点P在抛物线上，过P作PD⊥x轴，交直线BC于点D，若以P、D、O、C为顶点的四边形是平行四边形，求点P的横坐标；11。
二次函数中平行四边形的存在问题
二次函数与平行四边形存在性的问题一、三个定点，一个动点，探究平行四边形的存在性．例1：如图4，抛物线23y ax bx =+-与x 轴交于A B ，两点，与y 轴交于C 点，且经过点（2，3a -），对称轴是直线1x =，顶点是M ．（1） 求抛物线对应的函数表达式；（2） 经过C,M 两点作直线与x 轴交于点N ，在抛物线上是否存在这样的点P ，使以点P 、A 、C 、N 为顶点的四边形为平行四边形？图4练习： 已知抛物线22y x x a =-+（0a <）与y 轴相交于点A ，顶点为M .直线12y x a =-与y 轴相交于C 点，与直线AM 相交于点N ． (1) 填空：试用含a 的代数式分别表示点M 与N 的坐标，则()() ,M N ；(2) 如图6，在抛物线22y x x a =-+（0a <）上是否存在一点P ，使得以P A C N ，，，为顶点的四边形是平行四边形？图6 图7二、两个定点、两个动点，探究平行四边形的存在性。
例2 （2009抚顺） 已知：如图8，关于x 的抛物线2(0)y ax x c a =++≠与x 轴交于点(20)A -，、点(60)B ，，与y 轴交于点C ．（1）求出此抛物线的解析式，并写出顶点坐标；（2）在抛物线上有一点D ，使四边形ABDC 为等腰梯形，写出点D 的坐标，并求出直线AD 的解析式；（3）在（2）中的直线AD 交抛物线的对称轴于点M ，抛物线上有一动点P ，x 轴上有一动点Q ．是否存在以A M P Q 、、、为顶点的平行四边形？例3：（2009南平）如图12，已知抛物线：x x y 22121+-= （1）求抛物线1y 的顶点坐标．（2）将1y 向右平移2个单位，再向上平移1个单位，得到抛物线2y ，求2y 的解析式．（3）抛物线2y 的顶点为P ，x 轴上有一动点M ，在1y 、2y 这两条抛物线上是否存在点N ，使O 、P 、M 、N 四点构成以OP 为一边的平行四边形？图12练习：（浙江义乌）如图10，抛物线223y x x =--与x 轴交A 、B 两点（A 点在B 点左侧），直线l 与抛物线交于A 、C 两点，其中C 点的横坐标为2．（1）求A 、B 两点的坐标及直线AC 的函数表达式；（2）点G 是抛物线上的动点，在x 轴上是否存在点F ，使得以A 、C 、F 、G 这样四点为顶点的四边形是平行四边形？图10 图11变式练习： 图11，若已知Q (0,1)-，点G 是抛物线223y x x =--上的动点，在抛物线2112y x =-+上是否存在点F ，使得以Q 、C 、F 、G 四点为顶点的四边形是平行四边形？。
二次函数和平行四边形(中考复习)
x 专题二次函数和平行四边形一、已知三个定点，再找一个定点构成平行四边形（平面内有三个点满足）例1、已知抛物线baxaxy++-=22与x轴的一个交点为A(-1,0)，与y轴的正半轴交于点C。
⑴直接写出抛物线的对称轴，及抛物线与x轴的另一个交点B的坐标；⑵当点C在以AB为直径的⊙P上时，求抛物线的解析式；⑶坐标平面内是否存在点M,使得以点M和⑵中抛物线上的三点A、B、C为顶点的四边形是练习如图，对称轴为直线72x=的抛物线经过点A（6，0）和B（0，4）。
（1）求抛物线解析式及顶点坐标；（2）设点E（x，y）是抛物线上一动点，且位于第四象限，四边形OEAF是以OA为对角线的平行四边形。
求平行四边形OEAF的面积S与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；①当平行四边形OEAF的面积为24时，请判断平行四边形OEAF是否为菱形？②是否存在点E，使平行四边形OEAF为正方形？若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由。
二、平行四边形已知两个定点，再找两个点构成平行四边形（1）确定两定点连接的线段为平行四边形一边，则两动点连接的线段应和已知边平行且相等）例 已知，如图抛物线23(0)y ax ax c a =++>与y 轴交于C 点，与x 轴交于A 、B 两点，A 点在B 点左侧。
点B 的坐标为(1，0)，OC=30B 。
(1)求抛物线的解析式；(2)若点D 是线段AC 下方抛物线上的动点，求四边形ABCD 面积的最大值；(3)若点E 在x 轴上，点P 在抛物线上。
是否存在以A 、C 、E 、P 为顶点且以AC 为一边的平行四边形？若存在，求点P 的坐标，若不存在，请说明理由？练习 已知抛物线：x x y 22121+-= （1）求抛物线1y 的顶点坐标；（2）将抛物线1y 向右平移2个单位，再向上平移1个单位，得到抛物线2y ，求抛物线2y 的解析式；（3）如下图，抛物线2y 的顶点为P ，x 轴上有一动点M ，在1y 、2y 这两条抛物线上是否存在点N ，使O （原点）、P 、M 、N 四点构成以OP 为一边的平行四边形，若存在，求出N 点的坐标；若不存在，请说明理由。
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二次函数中构建平行四边形的存在性问题
已知三个定点，再找一个定点构成平行四边形（平面内有三个点满足）
1．如图，一次函数分别交y轴、x轴于A、B两点，抛物线y=﹣x2+bx+c过A、B两点．
（1）求这个抛物线的解析式；
（2）作垂直x轴的直线x=t，在第一象限交直线AB于M，交这个抛物线于N．求当t取何值时，MN有最大值？最大值是多少？
（3）在（2）的情况下，以A、M、N、D为顶点作平行四边形，求第四个顶点D的坐标．
2、如图，抛物线y=x2﹣2x+c的顶点A在直线l：y=x﹣5上．
（1）求抛物线顶点A的坐标；
（2）设抛物线与y轴交于点B，与x轴交于点C、D（C点在D点的左侧），试判断△ABD的形状；（3）在直线l上是否存在一点P，使以点P、A、B、D为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由．
3、如图，在平面直角坐标系中，抛物线y ＝x 2＋mx ＋n 经过点A (3，0)、B (0，－3)，点
P 是直线AB 上的动点，过点P 作x 轴的垂线交抛物线于点M ，设点P 的横坐标为t ． (1)分别求出直线AB 和这条抛物线的解析式．
(2)若点P 在第四象限，连接AM 、BM ，当线段PM 最长时，求△ABM 的面积． (3)是否存在这样的点P ，使得以点P 、M 、B 、O 为顶点的四边形为平行四边形？若
存在，请直接写出点P 的横坐标；若不存在，请说明理由．
（二）、已知两个定点，再找两个点构成平行四边形
①确定两定点连接的线段为一边，则两动点连接的线段应和已知边平行且相等） 1.如图甲，在平面直角坐标系中，A 、B 的坐标分别为（4，0）、（0，3），抛物线y=34
x 2
+bx+c 经过点B ，且对称轴是直线x=﹣
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． （1）求抛物线对应的函数解析式；
（2）将图甲中△ABO 沿x 轴向左平移到△DCE （如图乙），当四边形ABCD 是菱形时，请说明点C 和点D 都在该抛物线上．
（3）在（2）中，若点M 是抛物线上的一个动点（点M 不与点C 、D 重合），经过点M 作MN ∥y 轴交直线CD 于N ，设点M 的横坐标为t ，MN 的长度为l ，求l 与t 之间的函数解析式，并求当t 为何值时，以M 、N 、C 、E 为顶点的四边形是平行四边形．（参考公式：抛物线y=ax 2+bx+c （a≠0）的
顶点坐标为（b 2a -，24ac b 4a -），对称轴是直线x=b 2a
-．）
②两定点连接的线段没确定为平行四边形的边时，则这条线段可能为平行四边形的边或对角线 1.如图，在平面直角坐标系中有Rt △ABC ，∠A ＝90°，AB ＝AC ，A （－2，0）、 B （0，1）、C （d ，2）。
（1）求d 的值；
（2）将△ABC 沿x 轴的正方向平移，在第一象限内B 、C 两点的对应点B′、C′正好落在某反比例函
数图像上。
请求出这个反比例函数和此时的直线B′C′的解析式；
（3）在（2）的条件下，直线B′C′交y 轴于点G 。
问是否存在x 轴上的点M 和反比例函数图像上的
点P ，使得四边形PGMC′是平行四边形。
如果存在，请求出点M 和点P 的坐标；如果不存在，请说明理由。
2、如图，在直角梯形OABC 中，CB ∥OA ，90OAB ∠=
，点O 为坐标原点，点A 在x 轴的正半轴上，对角线OB ，AC 相交于点M ，4OA AB ==，2OA CB =． （1）线段OB 的长为 ，点C 的坐标为 ； （2）求△OCM 的面积；
（3）求过O ，A ，C 三点的抛物线的解析式； （4）若点E 在（3）的抛物线的对称轴上，点F 为该 抛物线上的点，且以A ，O ，F ，E 四点为顶点的四边形 为平行四边形，求点F 的坐标．
3、 如图，抛物线与x 轴交于A （1x ，0）、B （2x ，0）两点，且12x x <，与y 轴交于点()0,4C -，
其中12x x ，是方程24120x x --=的两个根。
（1）求抛物线的解析式；
（2）点M 是线段AB 上的一个动点，过点M 作MN ∥BC ，
交AC 于点N ，连接CM ，当CMN △的面积最大时，求点M 的坐标； （3）点()4,D k 在（1）中抛物线上，点E 为抛物线上一动点，
在x 轴上是否存在点F ，使以A D E F 、、、为顶点的四边形是平行四边形，如果存在，求出所有满足条件的点F 的坐标，若不存在，请说明理由。
如图，在坐标系xoy 中，△ABC 是等腰直角三角形，∠BAC = 90°，A (1,0)，B (0，2).抛物线22
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-+=
bx x y 的图象过C 点. (1)求抛物线的解析式;
(2)平移该抛物线的对称轴所在直线l ，当l 移动到何处时，恰好将△ABC 的面积分为相等的两部分?
(3)点P 是抛物线上一动点，是否存在点P ，使四边形P ACB 为平行四边形?若存在，求出P 点坐标，若不存在，说明理由.
（备用图）
3题图。