二次函数与平行四边形综合

第十八讲二次函数与平行四边形综合

一、教学内容

1.二次函数的表示 , 二次函数图像与性质；

2.平行四边形的性质和判定；

3.函数图像与平行四边形的综合应用，典型应用、图像题；

二、例题细看

【例 1】已知：如图，在平面直角坐标系

将OBA 对折，使点O的对应点xOy 中，直线 y

3

与 x 轴、y轴的交点分别为 A、B ，

x 6

4

H 落在直线 AB 上，折痕交x 轴于点C.

（ 1）直接写出点 C 的坐标，并求过A、B、C 三点的抛物线的解析式；

（ 2）若抛物线的顶点为 D ，在直线BC上是否存在点P ，使得四边形ODAP 为平行四边形？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，说明理由；

（ 3）设抛物线的对称轴与直线BC的交点为 T ，Q 为线段BT上一点，直接写出 QA QO 的取值范围 .

【考点分析】二次函数综合题

y

B

H

1

O1 C

A x

D

T

【PEC分析】（ 1）点 A 的坐标是纵坐标为 0，得横坐标为 8，所以点 A 的坐标为（ 8， 0）；

点B 的坐标是横坐标为 0，解得纵坐标为 6，所以点 B 的坐标为（ 0， 6）；

由题意得： BC是∠ ABO的角平分线，所以OC=CH， BH=OB=6

∵AB=10，∴ AH=4，设 OC=x，则 AC=8-x 由勾股定理得： x=3

∴点 C 的坐标为（ 3， 0）将此三点代入二次函数一般式，列的方程组即可求得；

（ 3）如图，由对称性可知QO=QH，|QA-QO|=|QA-QH| ．当点 Q与点 B 重合时， Q、 H、 A 三点共线，|QA-QO|取得最大值4（即为 AH的长）；设线段OA的垂直平分线与直线 BC的交点为 K，当点 Q与点 K 重合时， |QA-QO|取得最小值 0．

【跟踪练习】例 1.(浙江义乌市 ) 如图，抛物线y x22x 3与x轴交A、B两点（A点在B点左侧），直线 l 与抛物线交于A、C两点，其中C点的横坐标为2．

（ 1）求 A 、 B 两点的坐标及直线AC 的函数表达式；

（ 2）P 是线段 AC 上的一个动点，过 P 点作 y 轴的平行线交抛物线于 E 点，求线段 PE 长度的最大值；

（ 3）点 G 是抛物线上的动点，在x 轴上是否存在点F，使 A 、C、 F、 G 这样的四个点为顶点的四边

形是平行四边形？如果存在，求出所有满足条件的 F 点坐标；如果不存在，请说明理由．

A

【例 2】如图，点O是坐标原点，点A(n ，0) 是 x 轴上一动点(n 0) .以 AO 为一边作矩形AOBC ，点C在第二象限，且OB 2OA ．矩形AOBC 绕点 A 逆时针旋转90 得矩形AGDE ．过点 A 的直线

y kx m ( k 0) 交y轴于点F，FB FA ．抛物线y ax 2bx c 过点E、F、G且和直线AF 交于点 H ，过点 H 作 HM x 轴，垂足为点M ．

⑴求 k 的值；

⑵点 A 位置改变时，AMH 的面积和矩形AOBC的面积的比值是否改变？说明你的理由．

y

C B

D

G

M

F

E A O

x

H

【 PEC分析】（ 1 ）由题意知O B=2OA=2n，在直角三角形AEO 中， OF=OB-BF=-2n-AF，因此可用勾股定理求出AF 的表达式，也就求出了FB 的长，由于 F 的坐标为（ 0 ， m ）据此可求出m ， n 的关系式，可用 n 替换掉一次函数中m 的值，然后将 A 点的坐标代入即可求出k 的值．

（ 2 ）思路同（ 1）一样，先用n 表示出 E、 F、 G 的坐标，然后代入抛物线的解析式中，得出 a ，b ， c 与n 的函数关系式，然后用n 表示出二次函数的解析式，进而可用n 表示出 H 点的坐标，然后求出△AMH

【跟踪练习】 （ 1）在图 1，2， 3 中，给出平行四边形 ABCD 的顶点 A ，B ，D 的坐标（如图所示），写

出图 1， 2， 3 中的顶点 C 的坐标，它们分别是 (5，2) ， ，

；

y

y

y

y

Bc(，d)

C

B (12)，

B(c ， d )

B (c ， d )

C

C

C

D( e ， f )

A(a ，b)

D( e ， b)

x

x

O

( A)

D(4，0)

O (A)

O

x

D (e ，0)

A(a ，b)

图 1

图 2

图 3

x

A ，

B ，D

O

（ 2）在图 4 中，给出平行四边形 ABCD

的顶点 的坐标（如图所示） ，求出顶点 C 图 4

的坐标（ C 点

坐标用含 a ， b ， c ， d ， e ， f 的代数式表示）；

归纳与发现

（ 3）通过对图 1， 2， 3， 4 的观察和顶点 C 的坐标的探究，你会发现：无论平行四边形

ABCD 处于直角

坐标系中哪个位置，当其顶点坐标为 A(a ， b)，B(c ， d )， C (m ， n)， D (e ，f ) （如图 4）时，则四个顶

点的横坐标 a ， c ， m ， e 之间的等量关系为 ；纵坐标 b ， d ，n ，f 之间的等量关系为

运用与推广

（ 4）在同一直角坐标系中有抛物线

y x 2

1 5 1 9

(5c 3)x c 和三个点 G

c ， c ， S

2

c ， c ，

2

2

2

H (2c ，0) （其中 c 0 ）．问当 c 为何值时，该抛物线上存在点

P ，使得以 G ， S ，H ，P 为顶点的四边形

是平行四边形？并求出所有符合条件的

P 点坐标．