天体运动物理竞赛讲义

3.0 105 km / s .
解： 此恒星和行星均绕两者组成的系统的质心作圆周运动，设其轨道半径为 R 和
r ，则由质心的定义有：
MR mr
依题述应有
中学物理竞赛讲义
L 2R
对于恒星，其作圆周运动的向心力就是行星对它的万有引力，故有
GMm
R r
由以上三式解得：
2
M
4 2 RLeabharlann T2r 1.738 103 km 。
⑴ 试计算 16 小时轨道的半长轴 a 和半短轴 b 的长度，以及椭圆偏心率 e 。
椭圆半长轴 a 等于近地点和远地点之间距离的一半， 亦即近地点与远地点矢径长度 （皆指卫 星到地心的距离） rn 与 rf 的算术平均值，即有
a
1 1 1 Hn Hf R r n rf H n R H f R 2 2 2
随后，为了使卫星离地越来越远，星载发动机先在远地点点火，使卫星进入新轨 道(如图中曲线 2 所示)，以抬高近地点。后来又连续三次在抬高以后的近地点点 火，使卫星加速和变轨，抬高远地点，相继进入 24 小时轨道、48 小时轨道和地 月转移轨道(分别如图中曲线 3、4、5 所示)。已知卫星质量 m 2.350 103 kg ，地 球 半 径 R6 . 3 7 ， 地 面 重 力 加 速 度 g 9.81m / s2 ， 月 球 半 径 8 3 1 k0 m
m M 1 m
这就是行星质量 m 所应满足的方程 上面方程又可写成：
2

2 L
2GT 2
3
2 L M 2 1 m M 2GMT 2
由喷气前后动量守恒得： mv0 m v A u m m v A
gR 2 1 1 m 2 gR 2 Rh R h 2 R h m v0 v A m 得 u u m gR 2 2R 1 28.5kg u Rh 2R h
GM m m 2π mrm ( ) 2 2 rm Tm
这里 rm r H m 是卫星绕月轨道半径， M m 是月球质量。可得
Mm
3 4 π 2 rm M 2 gR 2Tm
代入有关数据得
Mm 0.0124 M
【第 27 届第二题】 （20 分）距离我们为 L 处有一恒星，其质量为 M ，观测发现其位置呈 周期性摆动，周期为T ，摆动范围的最大张角为 若L ．假设该星体的周期性摆动是由于有一 颗围绕它作圆周运动的行星引起的，试给出这颗行星的质量 m 所满足的方程．
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2 un
4 r u u2 T
2. 一颗陨石在飞向质量为 M 的行星途中(沿着通过行星中心的直线)碰到绕此 行星沿半径为及的圆周轨道运行的自动宇宙站。站的质量为陨石质量的 10 倍， 碰撞使得陨石陷入站内，宇宙站过渡到与行星最近距离为 R / 2 的新轨道上。求 碰撞前陨石的速度 u 。
代入相关数据得： t 1.5 102 s ⑶ 试根据题给数据计算卫星在 16 小时轨道的实际运行周期。 当卫星沿椭圆轨道运行时， 以 r 表示它所在处矢径的大小， v 表示其速度的大小，
表示矢径与速度的夹角，则卫星的角动量的大小 L mvr sin 2m
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1 其中 rv sin ，是卫星矢径在单位时间内扫过的面积，即卫星的面积速度 . 2
rES 1.50 1011 m 1AU ，木星到太阳距离 rJS 5.02 AU ，火星到太阳距离 rMS 1.52 AU 。万有
引力常数 G 6.67 10 11 N m2 kg 2
1. 一卫星在半径为 r 的圆形轨道上运动．运动周期为T 。如果给卫星一个附加 的径向速度 un 或一个附加的切向速度 u ，卫星都将沿一个椭圆轨道运动。（设 加速后卫星机械能仍满足 E
1.7m / s 2 。
由万有引力提供向心力得：
2 GMm mv0 r2 r
得： v0
gR 2 Rh
由机械能守恒得：
1 2 GMm GMm mvA 2 Rh 2R h
GM gR2
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1 1 解得： vA 2 gR 2 R h 2R h
由于角动量是守恒的，故 是恒量。利用远地点处的角动量，得
rf v f
又因为卫星运行一周扫过的椭圆的面积为
S ab
1 2
所以卫星沿轨道运动的周期
T
S


2 ab 5.678 104 s rf v f
127 分
⑷ 卫星最后进入绕月圆形轨道，距月面高度 H m 约为 200km，周期Tm 钟，试据此估算月球质量与地球质量之比值。 在绕月圆形轨道上，根据万有引力定律和牛顿定律有
喷气，喷气的相对速度 u
1.0 104 m / s ，喷气后飞船在 A 点的速度减为 v A ，
于是飞船将沿新的椭圆轨道运行。为使飞船能在图中的 B 点着陆(A、B 连线通过 月球中心，即 A、B 点分别是椭圆轨道的远月点和近月点)，试问喷气时需消耗多 少燃料？已知月球半径 R
1700km ，月球表面的重力加速度 g
0）
(1)确定在这两种情况中卫星的运动周期。 (2)径向速度 un 及切向速度 u 必须满足什么关系才能使卫星运动周期相等? （1）当附加的是径向速度时，由机械能守恒定律知：
1 GMm 1 2 GMm 2 2 m v0 un mv 2 r 2 R
由角动量守恒知： mv0 r mvR
11 GM 11m 11 2 GM 11m 2 2 vn m v1 mv 2 R 2 R2
R v 由角动量守恒有： v1
R 2
联立解得： u
58GM R
3. 从地球表面向火星发射火星探测器，设地球和火星都在同一平面上绕太阳做 圆周运动，火星轨道半径 RM 为地球半径 R0 的 1.50 倍，简单而又比较节省能量 的发射过程可分为两步进行：第一步，在地球表面用火箭对探测器进行加速，使 之获得足够的动能，从而脱离地球引力作用成为一个沿地球轨道运行的人造卫 星。 第二步是在适当的时刻点燃与探测器连在一起的火箭发动机，在短时间内对 探测器沿原方向加速， 使其速度数值增加到适当值，从而使得探测器沿着一个与 地球轨道及火星轨道分别在长轴两端相切的半个椭圆轨道正好射到火星上， 如图 所示。 (1)为使探测器成为沿地球轨道运行的人造卫星，必须加速探测器，使之在地面 附近获得多大的速度(相对于地球)? (2)当探测器脱离地球并沿地球公转轨道稳定运行后，在某年 3 月 1 日零时测得 探测器与火星之间的角距离为 60°，如图所示。问应在何年何月何日(时间计算
10 光年，T
10 年，
M 3 毫角秒，
M S （ M S 为太阳质量） ，则此行星
的质量和它运动的轨道半径 r 各为多少？分别用太阳质量 M S 和国际单位 AU（平均日地距 离）作为单位，只保留一位有效数字．已知 1 毫角秒 =
1 1 角秒， 1 角秒 = 度， 1000 3600
1AU
1.5 108 km ,光速 c
H f H f 5.0930 104 km
6.00 10 km 。由式，可求得卫星在新轨道远地点处的速度为 但新轨道近地点高度 H n
2
vf 1.230km / s
卫星动量的增加量等于卫星所受推力 F 的冲量，设发动机点火时间为 t ，有
m vf v f F t
GMm v2 由牛顿第二定律知： 2 m r r
两式联立解得： R1 R2
2 2v0 r 2a 2 2 v0 un
4 r 2 解得周期 Tn T 2 2 2 4 r un T
当附加的是切向速度时，由机械能守恒定律知：
1 GMm 1 2 GMm 2 m v0 u mv 2 r 2 R
F 490N ，要把近地点抬高到 600km，问点火时间应持续多长？
解：当卫星在 16 小时轨道上运行时，以 vn 和 v f 分别表示它在近地点和远地点的 速度，根据能量守恒，卫星在近地点和远地点能量相等，有
1 2 GMm 1 2 GMm mvn mv f 2 rn 2 rf
式中 M 是地球质量， G 是万有引力常量。因卫星在近地点和远地点的速度都与 卫星到地心的连线垂直，根据角动量守恒，有
mvn rn mv f rf
由黄金代换可知： GM gR2 解得：
vn
rf
r r 2g 2g R R ， v f n vn n rf rf rf rn rn rf rn
当卫星沿 16 小时轨道运行时，根据题给的数据有
rn R H n ， rf R H f
代入相关数据，解得 v f 1.198km / s 依题意，在远地点星载发动机点火，对卫星作短时间加速，加速度的方向与卫星 速度方向相同，加速后长轴方向没有改变，故加速结束时，卫星的速度与新轨道 的长轴垂直，卫星所在处将是新轨道的远地点.所以新轨道远地点高度
天体运动（二）
姓名：_____________班级：_________________ 本讲前半题目是考频率最高的题目，相对来说没什么新意。后一段散射、潮汐等会更实际 一 些 ， 有 意 义 一 点 。 本 讲 可 能 用 到 的 参 数 ： 地 球 质 量 M E 5.98 1024 kg ， 月 球 质 量
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仅需精确到日)点燃探测器上的火箭发动机方能使探测器恰好落在火星表面?(已 知地球半径为 R0 6.4 106 m ，取重力加速度 g 9.8m / s 2 )
4. 如图所示，登月飞船以速度 v0 绕月球做圆周运动。已知飞船质量