4.3 误差的传播
误差传播定律
测值中误差乘积的平方和的平方根。
例4：已知矩形的宽x=30m,其中误差mx=±0.005m,矩形的长y=50m, 其中误差my=±0.008m,计算矩形面积S及其中误差ms。
解：矩形面积 S=xy 由题意：求各观测值偏导数： f y
x
f x y
mz
(
f X 1
)2
m12
(
二、和或差的函数
设和或差函数为： z x y
即： mz
m
2 x
m
2 y
式中：Z为x、y的和或差的函数；x、y为独立观测值；mx、my为x、y的
中误差，mZ为Z的中误。
结论：两观测值代数和或差的函数中误差等于两观测值的中误差的 平方和的平方根。
z x1 x2 xn
即：
mz
(
f X 1
)2
m12
(
f X 2
)2
m
2 2
(
f X n
)2
m
2 n
式中:xi (i=1，2…n)为独立观测值；已知其中误差为mi(i=1 2…n)， mz为z的中误差；xf（i i=l，2…n）是函数对各个变量所取的偏导数。
结论：一般函数中误差等于按每个观测值所求的偏导数与相应观
阐述观测值中误差与观测值函数中误差之间关系的定律，就称为误差传播定律。
一、倍数函数
设倍数函数为：zm2 z kk x2mx2
即：mz kmx
式中：Z为观测值X的函数（也就是未知量的间接观测值）；K为常数；X为 直接观测值；mx为X的中误差；mZ为Z的中误差。
结论：倍数函数的中误差（观测值与常数乘积的中误差），等于 观测值中误差乘常数。
第五章 误差传播定律
第五章误差传播定律5.1误差的来源和分类（板书）经过前面几章的学习，我们掌握了测量的基本工作—测角、量距、测高差的理论和方法。
那么在这些工作中，我们通过测量得到的数据是否就是真实值呢？当然不是，因为在测量工作中，误差总是无处不在的。
在我们的每一次观测中，都包含多种误差存在，因此这一章我们来学习测量中误差的特点及其规律。
一、定义：观测值与真值之间的差值，记为：∆X=i-Lix为真值，即能代表某个客观事物真正大小的数值。
Li为观测值，即对某个客观事物观测得到的数值。
i∆为观测误差，即真误差。
二、误差的来源1、测量仪器一是仪器本身的精度是有限的，不论精度多高的仪器，观测结果总是达不到真值的。
二是仪器在装配、使用的过程中，仪器部件老化、松动或装配不到位使得仪器存在着自身的误差，如水准仪的水准管轴不平行视准轴，使得水准管气泡居中后，视线并不水平。
水准尺刻划不均匀使得读数不准确。
又如经纬仪的视准轴误差、横轴误差、竖盘指标差都是仪器本身的误差。
2、观测者是由于观测者自身的因素所带来的误差，如观测者的视力、观测者的经验甚至观测者的责任心都会影响到测量的结果。
如水准尺倾斜、气泡未严格居中、估读不准确、未精确瞄准目标都是观测误差。
3、外界条件测量工作都是在一定的外界环境下进行的。
例如温度、风力、大气折光、地球曲率、仪器下沉都会对观测结果带来影响。
上述三项合称为观测条件a.等精度观测：在若干次观测中，观测条件相同b.不等精度观测测量误差的分类根据测量误差表现形式不同，误差可分为系统误差、偶然误差和粗差。
1、系统误差定义：误差的符号和大小保持不变或者按一定规律变化，则称其为系统误差。
例：钢尺的尺长误差。
一把钢尺的名义长度为30m ，实际长度为30.005m ，那么用这把钢尺量距时每量一个整尺段距离就量短了5mm ，也就是会带来-5mm 的量距误差，而且量取的距离越长，尺长误差就会越大，因此系统误差具有累计性。
又如水准仪的i 角误差（画图），由于水准管轴与视准轴不平行，两者之间形成了夹角i ，使得中丝在水准尺上的读数不准确。
误差传播定律
误差传播定律在测量工作中一般采用中误差作为评定精度的指标。
误差传播定律：说明观测值中误差与其函数中误差之间关系的定律。
在间接观测量时使用误差传播定律:在实际测量工作中，往往会碰到有些未知量是不可能或者是不便于直接观测的,则：由直接观测的量，通过函数关系间接计算得出的量称为误差传播。
例如：用水准仪测量两点间的高差h，通过直接观测值后视读数a 和前视读数b 来求得的高差：h =a－b 。
间接观测量的误差：由于直接观测值(a、b)中都带有误差,因此间接观测量——函数(h)也必然受到影响而产生误差。
一、误差传播定律?设Z是独立观测量x1，x2，…，xn的函数（特定函数），即式中：x1，x2，…，xn为直接观测量，它们相应的观测值的中误差分别为m1，m 2，…，mn，则观测值的函数Z的中误差为:式中为函数Z分别对各变量 xi 的偏导数，并将观测值（xi=Li）代入偏导数后的值，故均为常数。
求任意函数中误差的方法和步骤如下：列出独立观测量的函数式：求出真误差关系式。
对函数式进行全微分，得求出中误差关系式。
只要把真误差换成中误差的平方，系数也平方，即可直接写出中误差关系式：表5-2 常用函数的中误差公式二、应用举例【例5-2】（满足倍数函数）在比例尺为1：500的地形图上，量得两点的长度为 d=23.4 mm，其中误差 md=±0.2 mm，求该两点的实际距离D及其中误差 mD 。
解：函数关系式：D=M d，属倍数函数，M=500是地形图比例尺分母。
两点的实际距离结果可写为：11.7 m±0.1 m。
【例5-3】水准测量中，已知后视读数a =1.734 m，前视读数b=0.476 m，中误差分别为ma=±0.002 m，mb=±0.003 m，试求两点的高差及其中误差。
解：函数关系式为h=a-b，属和差函数，得两点的高差结果可写为1.258 m±0.004 m。
4第四讲误差传播定律(精)
误差传播定律在实际工作中有许多未知量不能直接观测而求其值，需要由观测值间接计算岀来。
例如某未知点B的高程H B，是由起始点A 的高程比加上从A点到B点间进行了若干站水准測量而得来的观測高差h】……厲求和得出的。
这时未知点B的高程H。
是各独立观测值的函数。
那么如何根据观测值的中误差去求观测值函数的中课差呢？阐述观測值中谋莖与观测值函数中谋差之间关系的定律，称为误差传播定律。
1、和差函数设有函数：z=x±yZ 为x 、y 的和或差的函数，x 、y 为独立观测值，已知其中课差为 m& m y ,求Z 的中泯差mz 。
设x 、y^z 的真课差分别为亠、△舟亠则 A. =△、+△、, 若对x 、y 均观测了n 次，则(2 1,2……对将上式平方，得= A 2.… + △［讨 ±2A r A v ,(i = 1,2……n)由于亠、亠均为假然误差，其符号为正或负的机会相 同，因为Ay 为独立误差，它们出现的正・负号互不相 关，所以其乘积亠Ay 也具有正负机会相同的性质，在求 ［心］时其正值与负值有互相抵消的可能；当n 愈大时， 上式中最后一项［g ］ /n 将趋近于零，即 lim lA r A r l 1 - ^ = 0/? —>oo n将满足上式的误差A 禺为互相独立的误差，简称独立 误差，相应的观测值称为独立观測值。
对于独立观测值来说， 即使n 是有限量，由于 罰 式残存的值不大，一般就 观测值的函数求和，并除以n,得k J =忽视它的影响。
根据中谀療是义；得两观测值代数和的中谋差平方，等于两观测值中误差的平方之和。
当z是一组观测值X】、兀…％代数和（差）的函数时，即Z = X}±X2^^^±X n可以得出函数Z的中误差平方为7H：= 〃彳+加；+・・・+加［Z X| x2 xn结论：n个）WU值代数和（差）的中谋差平方，等于n个观灣值中误差平方之和。
第1章误差传播定律
本课程的主要任务是讲授测量平差的基本理 论和基本方法，为进一步学习和研究测量数据处 理奠定基础。
授课周数：1-14周 周学时 ：6学时 总学时 ：84学时 最后进行闭卷考试。
2018/10/27 第一章 观测误差及其传播 1
本课程的主要内容
1. 误差及误差传播理论（第一章） 2. 平差模型的建立、最小二乘原理（第二章） 3. 测量平差基本方法（第三、四、五章）包括条件平差、 间接平差、附有参数的条件平差、附有条件的间接平差、
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第一章 观测误差及其传播
§1-2 观测误差及其分类
在同一量的各观测值之间，或在各观测值与其理论上的应有值之间存在差异的现象 ，在测量工作中是普遍存在的，这是由于观测值中包含有观测误差的缘故。
一、观测误差产生的原因
1．测量仪器 2．观测者 3．外界条件： 测量仪器、观测者、外界条件三方面的因素是引起误差的主要来源。通常把 这三方面的因素合起来称为观测条件。 观测条件好---误差小----观测成果质量高。反之亦然。 如果观测条件相同，观测成果的质量也就可以说是相同的。 不管观测条件如何，测量中产生误差是不可避免的。
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第一章 观测误差及其传播
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学习方法
课程特点：
公式多、计算量大，所需数学知识多，比较枯燥 学习方法：
复习测量学、线性代数、高等数学、概率论及数 理统计等课程知识，
对本课程的知识要通过预习-----听课----复习----完 成作业---编写计算机程序 等步骤来掌握所学知识。
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第一章 观测误差及其传播
§1-2
四、测量平差的任务
11第十一讲 误差传播定律
因为 x
L1 n
L2 n
xX
…
Ln n
称为算术平均值，是 未知量的最或然值
m mx n
算术平均值的中误差为 1 观测值的中误差的 n 倍
二、误差传播定律及应用
1、算术平均值及其中误差
同精度观测值中误差公 式： m
观测值改正数为： vi x Li
n i Li X
函数名称 倍数函数 和差函数 函数式
z kx
函数的中误差
mz kmx
2 2 2 mz m1 m2 mn
z x1 x2 xn
线性函数 z k1x1 k2 x2 kn xn 一般函数
Z f ( x1 , x2 , xn )
1,2n)
k 2 2x (i 1,2n)
2 z
z k x (i 1,2n) i i
n n
(4 )转换为中误差关系式 即m 2 k 2 m 2 z x 观测值与常数乘积的中误差， m z km x 等于观测值中误差乘以常数
2、和或差的函数
应用倍数函数、和差函数的误差传播定律可得
2 2 2 2 2 2 2 m z k1 m1 k 2 m 2 k n m n
4、一般函数（非线性函数）
设有函数z=f( x1, x2, xn ) xi 为独立观测值
已知m xi m z ?
(1)求偏导真误差的关系式为：
f f f z x1 x2 xn x1 x 2 x n
令x x X
2
vv
2
n
n
x 2
x 2
绪论2误差传播定律
智能化技术应用
随着人工智能等技术的 发展，未来误差传播定 律的研究将更加注重智 能化技术的应用，如利 用机器学习等方法进行
误差预测和控制。
实验与理论相结合
未来研究将更加注重实 验与理论的相结合，通 过实验验证理论的正确 性和可靠性，推动误差 传播定律在实际应用中
误差控制
为了控制误差的累积和传播，提高测 量结果的准确性，需要研究和掌握误 差传播规律。
学科发展
随着测量科学和技术的不断发展，对 误差传播规律的研究逐渐深入，形成 了较为完善的理论体系。
02
误差传播定律数学表达式
单一观测值误差传播公式
误差传播定律描述了测量误差在数据处理过程中的传 递规律。对于单一观测值，其误差传播公式可表示为
缺乏统一的理论框架
目前，误差传播定律的研究缺乏统一的理论框架，不同领域和方法 之间的融合不够，限制了其应用范围和效果。
实验验证不足
误差传播定律的实验验证相对较少，缺乏充分的实验数据支持，使 得理论成果在实际应用中的可靠性受到质疑。
未来发展趋势及前景预测
第一季度
第二季度
第三季度
第四季度
跨学科融合研究
输标02入题
$$sigma_y = |f'(x)| cdot sigma_x$$
01
03
该公式表明，函数 $y$ 的误差与 $x$ 的测量误差及 函数在该点的导数有关。当 $|f'(x)|$ 较大时，即使
$sigma_x$ 很小，$sigma_y$ 也可能较大。
04
其中，$sigma_y$ 为函数 $y = f(x)$ 的误差，$f'(x)$ 为函数在点 $x$ 处的导数，程测量中，误差传播定律用 于评估测量结果的可靠性和精度， 指导测量方案的设计和实施。
误差传播定律
应用误差步骤
1.列出观测值函数的表达式 Z=f(x1,x2,...xn) 2.对函数Z进行全微分 Δz=(əf/əx1)Δx1+(əf/əx2)Δx2+...+(əf/əxn)Δxn 3.写出函数中误差与观测值中误差之间的关系式 mz^2=(əf/əX1)^2m1^2+(əf/əX2)^2m2^2+...+(əf/əXn)^2mn^2 4.计算观测值函数中误差
当只有一个独立的观测值时,和函数与倍数函数运用误差传播定律不会出现悖论;如果在测量工作中有多余的 直接观测值,就需用平差后的间接观测值按协方差传播律来计算,这样数学中相等的函数关系才能得到同样的函数 中误差结果 。
测量学误差
测量学误差传播定律是测绘科学基本的、简单的定律，但作用较大，比如测量规范中，水平角观测的限差确 定，导线闭合差的限差确定，水准测量线路的限差确定，等等，都可以利用误差传播定律做到。此外，研究误差 传播定律，还可以较好地解决一些测绘问题或解决较难的测绘问题，丰富和发展测量学教材误差理论，因此，尽 管我们在误差传播定律方面取得了可喜的成果，仍然需要进一步研究倍数函数：Z=KX 则有： 观测值与常数乘积的中误差，等于观测值中误差乘常数。 和(差)函数的中误差 和(差)函数：Z=X1±X2且X1、X2独立，则有mz^2=mx1^2+mx2^2 两观测值代数和的中误差平方，等于两观测值中误差的平方和。 当Z是一组观测值X1、X2……Xn代数和(差)的函数时，即Z=X1±X2±...±Xn Z的中误差的平方为mz^2=mx1^2+mx2^2+...+mxn^2 n个观测值代数和(差)的中误差平方，等于n个观测值中误差平方之和。 在同精度观测时，观测值代数和(差)的中误差，与观测值个数n的平方根成正比，即mz=m·（n）^1/2
测量误差的基本知识
m乙 =
=
= 4.3
n
6
12
二、相对误差
l 绝对误差 :真误差、中误差 l 相对误差: 在某些测量工作中，绝对误差不能完全
反映出观测的质量。 相对误差K—— 等于误差的绝对值与相应观测值的
比值。常用分子为1的分式表示，即：
相对误差
=
误差的绝对值 观测值
=1 T
13
l 相对中误差：当误差的绝对值为中误差m 的绝对值时， K称为～，即 k=1/m 。
3
1．系统误差
l 系统误差：在相同的观测条件下，对某一未知量进行一系列 观测，若误差的大小和符号保持不变，或按照一定的规律变 化，这种误差称为～ 。
l 系统误差产生的原因 ： 仪器工具上的某些缺陷；观测者的 某些习惯的影响；外界环境的影响。
l 系统误差的特点： 具有累积性
4
系统误差消减方法 ❖1、在观测方法和观测程序上采取一定的措施;
中误差、相对误差、极限误差和容许误差
10
一、中误差
在测量实践中观测次数不可能无限多，实际应用中，以 有限次观测个数n计算出标准差的估值定义为中误差m，作 为衡量精度的一种标准：
m = ±sˆ = ± [ ]
n
在测量工作中，普遍采用中误差来评定测量成果的精度。
11
l 有甲、乙两组各自用相同的条件观测了六个三角 形的内角，得三角形的闭合差（即三角形内角和 的真误差）分别为：
例：经纬仪的LL不垂直于VV对测角的影响
5
2．偶然误差 l 偶然误差：在相同的观测条件下，对某一未知量 进行一系列观测，如果观测误差的大小和符号没有 明显的规律性，即从表面上看，误差的大小和符号 均呈现偶然性，这种误差称为 ～。 l 产生偶然误差的原因： 主要是由于仪器或人的感 觉器官能力的限制，如观测者的估读误差、照准误 差等，以及环境中不能控制的因素(如不断变化着的 温度、风力等外界环境)所造成。
测量误差理论基本知识及事例
对流层的高度为40km 以下的大气底层,其大气密度比电离层更大,大气状态也更复杂。对流层与地面接触并从地面得到辐射热能,其温度随高度的增加而降低。GPS 信号通过对流层时,也使传播的路径发生弯曲,从而使测量距离产生偏差,这种现象称为对流层折射。减弱对流层折射的影响主要有3 种措施: ①采用对流层模型加以改正,其气象参数在测站直接测定。②引入描述对流层影响的附加待估参数,在数据处理中一并求得。③利用同步观测量求差。
4、GPS的主要误差源
GPS 测量是通过地面接收设备接收卫星传送来的信息，计算同一时刻地面接收设备到多颗卫星之间的伪距离，采用空间距离后方交会方法，来确定地面点的三维坐标。因此，对于GPS卫星、卫星信号传播过程和地面接收设备都会对GPS 测量产生误差。主要误差来源可分为:
4.1、与GPS卫星有关的误差;
1.2、误差
测量结果与被测量真值之差叫误差
1.3、精度
观测结果、计算值或估计值与真值（或被认为是真值）之间的接近程度。
1.4、中误差
带权残差平方和的平均数的平方根，作为在一定条件下衡量测量精度的一种数值指标。 为同精度观测误差。
中误差与观测值的比值来评定精度叫相对中误差， ，经常用到的有边长相对中误差。
（1）卫星星历误差
卫星星历误差是指卫星星历给出的卫星空间位置与卫控系统根据卫星测轨结果计算求得的,所以又称为卫星轨道误差。它是一种起始数据误差,其大小取决于卫星跟踪站的数量及空间分布、观测值的数量及精度、轨道计算时所用的轨道模型及定轨软件的完善程度等。星历误差是GPS 测量的重要误差来源.
5.2、外界条件引起的误差
外界条件引起的误差主要包括温度变化的影响、仪器和水准尺沉降的影响、大气垂直折光的影响等。温度变化的影响主要通过测前取出仪器一段时间，尽量使用太阳伞，相邻测站使用相反的观测程序等方法来消除或减弱这方面的影响。仪器和水准尺沉降的影响可以通过选择立尺和设置仪器的土壤，或采用尺垫的方法来减弱。大气折光影响可以通过观测时前后视距尽量相等、视线离开地面一定高度、选择有利观测时间等办法来减弱折光影响。在高精度水准测量时，严格按照相应的规范要求执行，采取的观测程序和方法就可以减弱这方面的影响。
误差传播定律
误差传播定律
一、误差传播定律（Error Backpropagation Law）
误差传播定律（Error Backpropagation Law）是一种重要的人工神经网络算法，它
最早在1986年被Rumelhart等人提出，并在子后学习过程中发挥着重要作用。
利用反向
传播技术，可以实现多层神经网络，也称为反向传播算法。
误差传播算法通过误差的反馈，以自动化的方式改善网络模型的预测结果。
该算法首
先确定一个初始的权重和偏差，然后根据实际情况，不断增加参数和权重，使它们能够更
好地适应训练样本数据。
针对网络输出结果，通过与预期输出比较，计算出一个误差值，
误差值把权重更新的任务传给神经元，得到一个新的权重，让神经元更加敏感的反应输入，以达到优化网络的效果。
误差传播算法是一种利用梯度下降法以及链式法则（Chain Rule）进行反向传播的数
学方法。
误差的反向传播是指，从神经网络的输出端开始，使用链式法则将误差向输入端
传播，并依次更新每个神经元的权重和偏差，以最大程度地减小输出层表示的网络误差。
该过程反复进行，不断减少最终误差，至最小时，说明模型参数已达到最优解。
综上所述，误差传播算法是一种重要的人工神经网络算法，它利用反向传播技术，以
自动化的方式改善网络模型的预测结果，实现多层神经网络，根据误差的反馈不断增加参
数和权重，进而最大程度减小最终误差，达到最优解。
由于该算法不仅比较简单，而且收
敛速度非常快，所以在现今的深度学习研究中具有重要地位。
误差传播定律
k1为,k2常,数kn ， 误差为
相x应1, x的2,观xn测值的中
m1, m2 ,mn
mz k12m12 k22m22 kn2mn2
3、 运用误差传播定律的步骤
求观测值函数中误差的步骤：
1）列出观测值函数的表达式：
Z f (x1, x2,xn )
注意：在误差传播定律的推导过程中，要求观 测值必须是独立观测值。
误差传播定的几个主要公式：
函数名称 倍数函数
函数式
z kx
函数的中误差
mz kmx
和差函数z x1 x2 xn
mz m12 m22 mn2
线性函数 z k1x1 k2x2 knxn mz k12m12 k22m22 kn2mn2
5 测量误差基本知识
一 测量误差来源 二 测量误差分类 三 评定精度的指标 四 误差传播定律
基础测量
四、误差传播定律
误差传播定律：阐述观测值的中误差与观测值 函数中误差的关系的定律。
函数形式
倍数函数 和差函数 线性函数 一般函数
1. 一般函数
设非线性函数的一般式为：
z f (x1, x2 ,x3,, xn )
mZ2
(
f x1
)2
m12
(x误f2 )差2 m传22 播定律 的(一xfn般)2 形mn2式
mZ
(
f x1
)2
m12
(
f x2
)2
m22
(
f xn
)
2
mn2
[例]已知：测量斜边D′=50.00±0.05m，测 得倾角α=15°00′00″±30″求：水平距 离D
解：1.函数式
第05章误差传播定律02
d
m
]2
[(cos 15 ) 0.05]2 [(50 sin 15 )
30
]2
mD 0.048(m)
二 .几种常用函数的中误差
1.倍数函数的中误差 设有函数式 Z Kx (x为观测值，K为x的系数) dZ Kdx 全微分 2 得中误差式 mZ K 2 mx Km x
改正数：
v1Lx l1 l1 v1
v2v Lx l2l2 2 vnv L l ln n x n
由上两式得 v i i
i vi L X
2
对上式取n项的平方和 n 2 v vv 其中: v nL l 0
1 1 dx 1 d d n l1 n l2 n d ln
中误差式 m x
1 n2
2 2 m12 n12 m2 n12 mn
由于等精度观测时， m1 m2 mn m ，代入上式： 得
mX 1 m 2 n 2 m n n
由此可知，算术平均值的中误差比观测值的中误 差缩小了 n 倍。
l nX l nX
由 两边除以n：
l nX l nX l l X X XL
n n n
n
当观测无限多次时：
lim
n
[]
[l ] L lim X) 0 lim (X n n n nn n
为独立观测值的中误差。
求函数的全微分，并用“Δ”替代“d”，得
f f f Z ( ) x1 ( ) x2 ( ) xn x1 x2 xn
函数的真误差和独立观测值的真误差之 间的关系式。
《误差传播定律》课件
汇报人：PPT
CONTENTS
PART ONE
PART TWO
误差传播定律是描述测量误差在测量过程中如何传播和放大的定律。
误差传播定律的核心思想是：测量误差在测量过程中会按照一定的规律进行传播和放大。
误差传播定律的数学表达式为：Δy = Δx * ∂y/∂x，其中Δy表示测量误差，Δx表示测量值，∂y/∂x表示测量值的 导数。
背景：在科学研究中，数据拟合是 常用的数据处理方法
分析：通过案例分析，了解误差传ห้องสมุดไป่ตู้播定律在实际中的应用
添加标题
添加标题
添加标题
添加标题
问题：数据拟合过程中，误差如何 传播和影响结果
结论：误差传播定律对于数据拟合 结果的准确性具有重要影响
控制系统：汽 车自动驾驶系
统
误差来源：传 感器误差、计 算误差、执行
PART THREE
添加标题
误差传播定律的基本公式：Δy = Δx * ∂y/∂x
添加标题
误差传播定律的误差传递系数：K = ∂y/∂x
添加标题
误差传播定律的扩展公式：Δy = Δx * ∂y/∂x + Δx * ∂y/∂x² + Δx * ∂y/∂x³ + ...
添加标题
误差传播定律的误差传递系数的平方：K² = (∂y/∂x)²
误差传播定律只适用于线性系统
误差传播定律无法处理随机误差
添加标题
添加标题
添加标题
添加标题
误差传播定律无法处理非线性系统 的误差传播
误差传播定律无法处理系统误差
非线性效应：在非线性系统中， 误差传播定律可能不再适用
4.3 误差的传播
绝对误差 e(*x ) 经过传播后增大或缩小的倍数.
y* 的相对误差为:
e
* r( y)
e(*y ) y
*
f '( x )
*
e(*x ) y*
x * * f '( x* ) er ( x ) y
*
x* f '( x ) 是 x* 对 y* 的相对误差增长因子, 系数 * y
* 它表示相对误差 er ( x ) 经传播后增大或缩小的倍数.
c x1 x2 a
c 1 109 x2 1 9 a x1 1 10
第二种算法有较好的数值稳定性.
数值计算中应注意以下几点:
(1) 选用数值稳定的计算方法, 避开不稳定的算式; (2) 简化计算步骤及公式, 减少运算次数；选用运 算次数少的算式;
x 255 . 如逐个相乘, 要用254次乘法， 例如, 计算
不增长的计算公式称为数值稳定的, 否则是不稳定.
例1 解方程
x 2 (109 1) x 109 0
解 由韦达定理，此方程的精确解为
x1 109 , x2 1
如果利用求根公式
x1,2
b b2 4ac 2a
在字长为8, 基底为10的计算机上运算, 这时
b 109 1 0.1 1010 0.00000000(01) 1010
第四章
第一节 第二节 第三节
误 差
误差及其来源 误差和有效数字 误差的传播
第三节
本节主要内容:
误差的传播
一. 误差估计的一般公式 二. 误差在算术运算中的传播 三. 数值计算必须注意的几个问题 四. 小结
一. 误差估计的一般公式
基于多传感器融合的误差校正算法
基于多传感器融合的误差校正算法一、多传感器融合技术概述在现代自动化和智能化系统中，多传感器融合技术扮演着至关重要的角色。
它通过集成来自不同传感器的数据，以提高系统的准确性、鲁棒性和可靠性。
多传感器融合的核心在于如何有效地结合来自不同传感器的信息，以克服单一传感器的局限性，并实现对环境的更全面理解。
1.1 多传感器融合技术的核心特性多传感器融合技术的核心特性主要体现在以下几个方面：- 数据互补性：不同的传感器可以提供关于同一目标或环境的不同信息，通过融合这些信息，可以弥补单一传感器的不足。
- 增强的鲁棒性：当一个传感器发生故障时，其他传感器的数据可以用来维持系统的稳定运行。
- 提高精度：通过融合多个传感器的数据，可以提高对目标或环境的测量精度。
- 降低成本：相比于使用单一的高精度传感器，多传感器融合可以在不牺牲性能的前提下降低成本。
1.2 多传感器融合技术的应用场景多传感器融合技术的应用场景非常广泛，包括但不限于以下几个方面：- 自动驾驶汽车：通过融合雷达、激光雷达、摄像头等多种传感器的数据，实现对周围环境的精确感知。
- 机器人导航：利用多种传感器数据，提高机器人在复杂环境中的导航能力。
- 工业自动化：在生产线上，通过融合视觉、触觉、力觉等多种传感器数据，提高自动化设备的精度和效率。
- 环境监测：通过融合气象站、水质监测器等多种传感器的数据，实现对环境状态的全面监测。
二、误差校正算法的制定在多传感器融合的过程中，误差校正是一个关键环节。
由于传感器自身的误差和环境因素的影响，传感器数据往往存在一定的偏差。
误差校正算法的目的是识别和修正这些偏差，以提高融合结果的准确性。
2.1 误差校正算法的基本原理误差校正算法的基本原理是通过对传感器数据进行统计分析，建立误差模型，并利用该模型对数据进行校正。
误差模型可以是线性的，也可以是非线性的，具体取决于传感器的特性和应用场景。
2.2 误差校正算法的关键技术误差校正算法的关键技术包括以下几个方面：- 误差识别：通过比较传感器数据与已知的参考值，识别出数据中的误差。
误差传播定律公式
误差传播定律公式误差传播定律是数学和统计学中的基本原理之一。
简单来说，这个定律是指当不同变量之间存在关系时，它们的测量误差会相互影响并传递给计算结果，从而引起最终结果的不确定性。
误差传播定律是一种非常重要的工具，可以用于评估和控制实验和计算的误差。
这个定律通常用于分析复杂的数学模型，但它同样适用于各种不同领域的实际问题。
从物理学、化学到生物学和社会科学，误差传播定律都有着广泛的应用。
误差传播定律的公式可以表示为：假设有n个变量x1，x2，…，xn，它们之间的关系可以表示为一个函数f(x1，x2，…，xn)。
若每个变量的误差是δxi，则f的误差为：δf = （∂f / ∂x1）δx1 + （∂f / ∂x2）δx2 + … + （∂f / ∂xn）δxn这个公式说明了f的误差是各个变量误差的加权和。
每个偏导数表示了f对应该变量的敏感度，即该变量产生误差时f的响应大小。
这个公式也表明，若某些变量对f的影响较小，则它们的误差对f的影响也会较小。
误差传播定律的应用可以帮助我们了解量化模型的误差来源，评估误差大小，以及推导出正确的结果范围。
例如，在生物学研究中，我们可能需要确定两种不同药物组合对细胞增殖的影响。
由于不同浓度的药物组合会对细胞产生不同的效应，我们需要通过误差传播定律计算出结果的可靠性，以便确定最优的治疗方案。
在计量经济学中，误差传播定律也具有重要的应用。
例如，我们可以使用它来估算某一市场变量（例如利率或通货膨胀率）的未来波动，并确定其他影响因素的权重。
这能够帮助我们更好地理解市场变化的趋势。
总之，误差传播定律在各个领域都具有广泛的应用，它可以帮助我们确定数据的可靠性、评估实验和计算的误差，从而帮助我们做出更明智的决策。
此定律的应用可以提高我们对复杂问题的理解，帮助我们更好地解决现实世界的问题。
误差传递公式范文
误差传递公式范文误差传递公式（Error Propagation Formula）是用于估计测量误差如何在一个或多个相关变量之间传播的公式。
这种误差传递公式通常使用在科学测量、实验设计和数据分析等领域中，以了解测量的可靠性和准确性。
误差传递公式基于线性近似和微分的原理，可用于估计函数的输入变量误差如何传递到函数的输出变量上。
假设有一个函数f(x1, x2, ..., xn)，其中x1, x2, ..., xn是输入变量，并且它们的误差为δx1,δx2, ..., δxn。
则输出变量f的误差可以通过以下公式进行估计：δf = √((∂f/∂x1)² * (δx1)² + (∂f/∂x2)² * (δx2)² + ... + (∂f/∂xn)² * (δxn)²)其中，δf表示输出变量f的误差，∂f/∂xi表示函数f对输入变量xi的偏导数，而δxi表示输入变量xi的误差。
这个公式的含义是，输出变量f的误差δf是输入变量的误差δx1, δx2, ..., δxn与函数对每个输入变量的敏感性（由偏导数∂f/∂xi表示）的乘积之和。
因此，误差传递公式可以帮助我们了解不同输入变量的误差如何影响输出变量的可靠性。
需要注意的是，误差传递公式只适用于线性近似和微小误差范围内。
在实际应用中，如果误差范围较大或存在非线性关系，则可能需要采取其他更复杂的方法来估计误差传递。
除了上述的简单误差传递公式，还存在一些其他的误差传递公式，如乘法误差传递公式和除法误差传递公式。
这些公式适用于特定的数学运算，并提供了更准确的误差传递估计。
乘法误差传递公式如下：δf/f = √((δx1/x1)² + (δx2/x2)² + ... + (δxn/xn)²)其中，δf/f表示输出变量f的相对误差，x1, x2, ..., xn表示输入变量，而δx1, δx2, ..., δxn表示输入变量的误差。
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x ( 2 1)6 ,
6
x 99 70 2,
1 1 x , 99 70 2 2 1
解 分别取 2 7 / 5 1.4 和 2 17 / 12 1.4166,
计算结果
序 号
绝对误差增长因子
* er ( y )
x* * * f '( x* ) er ( x ) y
相对误差增长因子
2. 误差在算术运算中的传播
(1) 和(或差)的误差等于误差的和(或差); (2) 误差限之和是和或差的误差限;
(3) 积的相对误差等于各因子相对误差之和; (4) 商的相对误差等于被除数的相对误差与除数 相对误差之差.
* * * * ( x1 x2 ) ( x1 x2 ) ( x1 x1 ) ( x2 x2 )
即和(或差)的误差等于误差的和(或差).
* * * * 但 ( x1 x2 ) ( x1 x2 ) x1 x1 x2 x2
所以误差限之和是和或差的误差限.
2. 乘除运算 * x 作为 x 的近似值的误差 e* x* x 可近似
看作 x 的微分
dx x* x
x 作为 x 的近似值的相对误差是
e x x dx d (ln x ) er x x x
它是 x 的对数的微分.
*
由微分公式
d (ln( x1 x2 )) d (ln x1 ) d (ln x2 )
不增长的计算公式称为数值稳定的, 否则是不稳定.
例1 解方程
x 2 (109 1) x 109 0
解 由韦达定理，此方程的精确解为
x1 109 , x2 1
如果利用求根公式
x1,2
b b2 4ac 2a
在字长为8, 基底为10的计算机上运算, 这时
b 109 1 0.1 1010 0.00000000(01) 1010
若写成
x 255 x x 2 x 4 x 8 x16 x 32 x 64 x 128
只需14次乘法即可.
(3) 合理安排运算顺序, 防止大数“吃掉”小数发生;
(4) 避免两近似数相减; (5) 绝对值太小的数不宜作为除数, 否则产生误差
过大, 甚至会在计算机中造成“溢出”错误.
3. 数值计算需注意的几个问题
选用数值稳定的算法;
简化计算步骤,减少运算次数;
防止大数“吃掉”小数;
避免两近似数相减;
绝对值太小的数不宜作为除数.
受计算机字长限制, 上式第二项最后两位数字“01” 在机器上表示不出来, 故
b 0.1 1010 0.00000000 1010 0.1 1010 109
b 4ac [(10 1)] 4 10 109
2 9 2 9
所以
b b2 4ac 109 109 9 x1 10 2a 2
(
1 0.16666667 6
12 6 ) 0.00501995 29
3 4
1 99 70 2
12 0.00504626 2378
由表可见, 近似值和算法的选定对计算结果的精
度影响很大. 通过误差估计和分析可知第4式计算 结果较好.
四. 小 结
1. 误差估计的一般公式
e(*y ) f '( x* ) e(*x )
* y* 是函数值 y 的近似值, 且 y f ( x ), 函数 f(x) 在
点 x* 处的泰勒展开为:
1 f ( x ) f ( x ) f '( x )( x x ) f ''( )( x x * )2 2
* * *
( x x* ) e(*x ) 一般是小量值, 忽略高阶的 ( x x* ),
上式可简化为 f ( x) f ( x* ) f '( x* ) e(*x )
因此, y* 绝对误差
e
* ( y)
y y f ( x) f ( x ) f '( x* ) e(*x )
* *
* 系数 f '( x ) 是 x* 对 y* 的绝对误差增长因子, 它表示
b b 4ac 10 10 x2 0 2a 2
2 9 9
上述方法求解方程是不稳定的.
结果失真
原因在于受机器字长限制, 在计算-b 时, 绝对值小 的数(1)被绝对值较大的数(109)”吃掉”了.
下面改进算法提高计算的数值稳定性 根 x1 109 是可靠的, 利用根与系数的关系
1 2
算式
2 7 / 5 1.4
6
2 17 / 12 1.4166
( 5 6 ) 0.00523278 12
( 2 1)
2 ( )6 0.0040960 5
99 70 2
( 1 2 1 )6
1
5 ( )6 0.00523278 12
1 0.00507614 197
绝对误差 e(*x ) 经过传播后增大或缩小的倍数.
y* 的相对误差为:
e
* r( y)
e(*y ) y
*
f '( x )
*
e(*x ) y*
x * * f '( x* ) er ( x ) y
*
x* f '( x ) 是 x* 对 y* 的相对误差增长因子, 系数 * y
* 它表示相对误差 er ( x ) 经传播后增大或缩小的倍数.
x1 d (ln( )) d (ln x1 ) d (ln x2 ) x2
上式表明, 近似值之积的相对误差等于各因子的 相对误差之和; 近似值之商的相对误差等于被除数的相对误差 与除数相对误差之差.
三. 数值计算必须注意的几个问题
对误差积累问题进行定量分析常常是很困难的,
因此进行定性分析就有重要意义. 运算过程舍入误差
误差增长因子的绝对值很大时,数据误差在运
算中传播后,可能会造成结果的很大误差.
原始数据 xi 的微小变化引起结果 y 很大变化的 这类问题称为病态问题或坏条件问题.
Hale Waihona Puke 二. 误差在算术运算中的传播
1. 加减运算 * * 设 x1 是 x1 的近似值, x2 是 x2 的近似值.
* * x1 x2 作为 x1 x2 的近似值, 其误差为 则
第四章
第一节 第二节 第三节
误 差
误差及其来源 误差和有效数字 误差的传播
第三节
本节主要内容:
误差的传播
一. 误差估计的一般公式 二. 误差在算术运算中的传播 三. 数值计算必须注意的几个问题 四. 小结
一. 误差估计的一般公式
对于一元函数 y f ( x ), 设 x* 是 x 的近似值,
c x1 x2 a
c 1 109 x2 1 9 a x1 1 10
第二种算法有较好的数值稳定性.
数值计算中应注意以下几点:
(1) 选用数值稳定的计算方法, 避开不稳定的算式; (2) 简化计算步骤及公式, 减少运算次数；选用运 算次数少的算式;
x 255 . 如逐个相乘, 要用254次乘法， 例如, 计算