4第四讲误差传播定律

3、线性函救
设有线性函数：
z k1 x1 k 2 x2 k n xn
则有
m 2 z (k1mx1 ) 2 (k2 mx 2 ) 2 (kn mx n ) 2
4 9 1 z x1 x 2 x3 14 14 14
例5 设有线性函救
mx1=mx2=mxn=m则为
mz m n
来自百度文库
在同精度观测时，观测值代数和（差）的中误差，与观 测值个数n的平方根成正比。
例1：设用长为L的卷尺量距，共丈量了n个尺段，已知每尺 段量距的中误差都为m，求全长S的中误差ms。 解：因为全长S=L＋L＋……＋L（式中共有n个L）。而L 的中误差为m。
mS m n
2 z 2 2 s 2
2
二、一般函数的中误差 求观测值函数的精度时，可归纳为如下三步： 1）按问题的要求写出函数式：
z f x1 , x2 xn
2）对函数式全微分，得出函数的真误差与观测值 真误差之间的关系式： z f x f x f xn x x x 1 2 n
l l
1 2 n ) 1 n
l
l i
i 1
n
在相同条件下对某段长度进行两组丈量： • 第一组： • 第二组：
l l
1,
2 ,
l
4
l l
5,
6 ,
l
,
10
算术平均值分别为
L
1
L
2
1 1 4 L1 4 (l1 l 2 l 4) 4 l i i 1
即hAB=HB-HA=h1+h2+…..+hn
mhAB n m站
结论：水准测量高差的中误差，与测站数n的平方根成正比
2、倍数函数
设有函数：
z kx
z k x
(i 1,2 n)
Z为观测值的函数，K为常数，X为观测值，已知其中误差 为mx，求Z的中误差mZ。 设x和z的真误差分别为△x和△z则
x n l l l
1 n 1 1 n 2
l
1 n n
mX
m n
误差传播定律的应用
例1：要求三角形最大闭合差m15，问用DJ6 经纬仪观测三角形每个内角时须用几个测回？ 解：由题意：2m= 15,则 m= 7.5 每个角的测角中误差：
1
2
3
由于DJ6一测回角度中误差为：
ƒ=(1+2+3)-180
m 6" 2 8.5"
由角度测量n测回取平均值的中误差公式：
8.5" mx , 即4.3" , n n
m
8.52 n 4测回 2 4.3
用DJ6经纬仪观测三角形内角时，每个内角观 测4个测回取平均，可使得三角形闭合差m15 。
1 2 3 4
i
解: (1)周长 S 4l , 全微分: dS 4dl
周长的中误差为 面积 ,
A l2
mS 4ml
全微分: dA 2ldl
mA 2lml
面积的中误差为
S =l1 l2 l3 l4
（2）
ms ml1 ml2 ml3 ml4
2 2 2 2
观测量的中误差分别为， m1 3mm, m2 2mm, m3 6mm 求Z的中误差
4 9 1 m z 3 2 6 1.6mm 14 14 14
2
2
2
4、一般函数
z f x1 , x2 xn
1 2






f 式中， 是用观测值代入求得的值。 x i
3）写出函数中误差与观测值中误差之间的关系式：
m
2 z
f f 2 f 2 m 1 m 2 x x x1 2 n
2
2
2 m n
m mD ( K cos ) m ( Kl sin 2 )
2 2 2 l 2 2
误差传播定律的应用
例2：试用中误差传播定律分析视距测量的精度。 解: (2)测量高差的精度基本公式： 求全微分：
1 h Kl sin 2 2
D D d d 2 dD dl K cos dl (2 Kl sin cos ) l
例4 在1：500比例尺地形图上，量得A、 B两点间的距离 SAB=23.4mm，其中误差msab=土0.2mm，求A、B间的实 地距离SAB及其中误差msAB。 解： SAB=500
× Sab=500
× 23.4=11700mm=11.7m
±
得 msAB＝500 ×mSab＝500× （士0.2） =土100mm＝ 0.1m 最后答案为SAB=11.7m士0.1m
lim n
0
x y
n
将满足上式的误差Δx 、Δy 称为互相独立的误差，简称独立
误差，相应的观测值称为独立观测值。对于独立观测值来说， 即使n是有限量，由于
lim n
0 式残存的值不大，一般就
x y
忽视它的影响。根据中误差定义，得
2 2 mz2 mx m y
若对x 共观测了n次，则
将上式平方，得
zi k xi

2
zi
k
2
2
2
xi
(i 1,2 n)
2 2
求和，并除以n，得
k
z x
n
n
mz
n 2 x mx n

2 z

m
2
z
k m
2
2 x
m z kmx
结论：观测值与常数乘积的中误差，等于观测值中误差乘常数。
其中：
( 206265 )
高差中误差：
1 2 2 m mh K sin 2 ml ( Kl cos 2 ) 2
2 2
误差传播定律的应用
例3:(1)用钢尺丈量某正方形一条边长为 l ml 求该正方形的周长S和面积A的中误差. (2)用钢尺丈量某正方形四条边的边长为 li ml 其中: l1 l2 l3 l4 l 且 ml ml ml ml ml 求该正方形的周长S和面积A的中误差.
误差传播定律的应用
例2：试用中误差传播定律分析视距测量的精度。 解:(1)测量水平距离的精度基本公式：
D Kl cos2
求全微分：
D D d d 2 dD dl K cos dl (2 Kl sin cos ) l
其中： ( 206265 ) 水平距离中误差：
1 1 10 L2 6 (l 5 l 6 l10) 6 l j j 5
xn
f 式中 （i=l，2…n）是函数对各个变量所取的偏导 x i
数，以观测值代人所算出的数值，它们是常数，因此
上式是线性函数可为：
m
2
z
f 2 f x m 1 x 1 2
2
f 2 m 2 x n
2
2 m n
2
例 6 设有某函数z=S· sinα
式 中 S=150.11m ， 其 中 误 差 ms= 士 005m ； α=119°45′00″，其中误差mα=士20.6″；求z的中误 差mz。 解：因为z=S· sinα，所以z是S及a的一般函数。
m m sin m s cos m z 44mm
2
观测值函数中误差公式汇总
函数式
一般函数
函数的中误差
F 2 F F 2 mZ m12 m2 mn x x x 1 2 n
2 mZ K 2 mx Kmx
2 2 2
2
ms 2 4m2 ms 2m
A l1 l2 mA2 l2 m12 l1m2 2 m A 2m
2 2
m A 2m
§3－5 加权平均值及其精度评定
一、不等精度观测及观测值的权
• 如果对某个未知量进行n次同精度观测，则其 最或然值即为n次观测量的算术平均值：
1 X ( n
一、观测值的函数
1、和差函数 设有函数：
z x y
Z为x、y的和或差的函数，x、y为独立观测值，已知其中误差为 mx、my，求Z的中误差mZ。 设x、y和z的真误差分别为△x、△y和△z则 若对x、y 均观测了n次，则
z x y
将上式平方，得

2
zi

2
xi

2
yi
2 x i yi
(i 1,2 n)
求和，并除以n，得
2
2 z 2 x 2 y x y
n
n
n
n
由于Δx 、Δy 均为偶然误差，其符号为正或负的机会相 同，因为Δx 、Δy 为独立误差，它们出现的正、负号互不相 关，所以其乘积ΔxΔy 也具有正负机会相同的性质，在求 ［ΔxΔy］时其正值与负值有互相抵消的可能；当n愈大时， 上式中最后一项［ΔxΔy］/n将趋近于零，即
结论：量距的中误差与丈量段数n的平方根成正比。
例2：如以 30m长的钢尺丈量 90m的距离，当每尺段量距的 中误差为±5mm时，全长的中误差为：
m90 5 3 8.7mm
当使用量距的钢尺长度相等，每尺段的量距中误差都为 mL，则每公里长度的量距中误差mKm也是相等的。当对长 度为S公里的距离丈量时，全长的真误差将是S个一公里丈 量真误差的代数和，于是S公里的中误差为：
式中xi(i=1，2…n)为独立观测值，已知其中误差为mi(i=1 2…n)，求z的中误差。 当xi具有真误差Δ时，函数Z相应地产生真误差Δz。这些 真误差都是一个小值，由数学分析可知，变量的误差与函 数的误差之间的关系，可以近似地用函数的全微分来表达。
f f f z x x1 x x2 x 1 2 n
ms s mks
式中，S的单位是公里。
结论：在距离丈量中，距离S的量距中误差与长度S的平方根
成正比。
例3 为了求得A、B两水准点间的高差，今自A点开始进行 水准测量，经n站后测完。已知每站高差的中误差均为m 站， 求A、B两点间高差的中误差。 解：因为A、B两点间高差hAB 等于各站的观测高差hi （i=l， 2…n）之和，
Z F ( x1 , x2 ,, xn )
倍数函数
Z Kx
和差函数
Z x1 x2 xn
线性函数
mZ m n
Z k1 x1 k2 x2 kn xn
2 2 2 2 mZ k12 m12 k2 m2 kn mn
算术平均值
§3-4
误差传播定律
在实际工作中有许多未知量不能直接观测而求其值， 需要由观测值间接计算出来。例如某未知点B的高程HB， 是由起始点A的高程HA加上从A点到B点间进行了若干站水 准测量而得来的观测高差h1……hn求和得出的。 这时未知点B的高程H。是各独立观测值的函数。那么 如何根据观测值的中误差去求观测值函数的中误差呢？阐 述观测值中误差与观测值函数中误差之间关系的定律，称 为误差传播定律。
n
两观测值代数和的中误差平方，等于两观测值中误差的平方 之和。 当z是一组观测值X1、X2…Xn代数和（差）的函数时，即
z x1 x2 xn
可以得出函数Z的中误差平方为
m m m m
2 z 2 x1 2 x2
2 xn
式中mxi是观测值xi的中误差。 结论：n个观测值代数和（差）的中误差平方，等于n个观测值 中误差平方之和。 当诸观测值xi为同精度观测值时，设其中误差为m，即