最新高中数学-函数周期性总结

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函数周期性公式大总结

函数周期性公式大总结1.余弦函数的周期性公式余弦函数是最常见的周期性函数之一，它的周期为2π。

余弦函数的周期性公式为：cos(x + 2π) = cos(x)。

这意味着，在余弦函数中，如果将自变量增加2π，那么函数值将保持不变。

2.正弦函数的周期性公式正弦函数也是一个常见的周期性函数，它的周期也是2π。

正弦函数的周期性公式为：sin(x + 2π) = sin(x)。

这和余弦函数的周期性公式非常类似，只是函数的定义域和值域略有不同。

3.周期函数的性质周期函数有许多重要的性质。

首先，一个函数是否是周期函数可以通过其函数图像进行观察。

如果函数的图像在一个特定的区间内重复出现，那么它就是一个周期函数。

其次，如果一个函数是周期函数，那么它的周期不止一个，可以有无穷多个。

最后，对于周期函数f(x)，如果T是其一个周期，那么对任意整数n，T/n也是其周期。

4.指数函数的周期性公式指数函数通常不会具有显式的周期，因为它会以指数的速度增长或减小。

然而，当指数函数的自变量乘以一个虚数单位i时，它可以变成周期函数。

具体来说，e^(ix)是一个周期为2π的函数。

周期性公式为：e^(i(x + 2π)) = e^(ix)。

这个公式被称为欧拉公式，它在电子工程、信号处理等领域有广泛的应用。

5.对数函数的周期性公式对数函数也是一个常见的函数类型。

对数函数的周期性公式和指数函数非常相似，但具体形式有所不同。

对数函数的周期公式为：ln(x + e) = ln(x)。

这意味着，当自变量增加e时，对数函数的函数值保持不变。

6.周期函数的图像性质周期函数的图像通常具有一些特殊的性质。

首先，周期函数的图像可以在一个周期内进行平移，而不改变函数的形状。

其次，对于奇函数，其图像关于原点对称；对于偶函数，其图像关于y轴对称。

最后，周期函数的图像可以进行幅度的调整，即通过乘以一个常数来改变图像的振幅。

7.周期函数的应用周期函数在各个领域都有广泛的应用。

高中函数周期知识点总结

高中函数周期知识点总结一、函数的周期性1. 周期函数的概念在数学中，周期函数是指以某个值T为周期的函数。

如果对于函数f(x)，存在一个正数T，使得对于任意x∈R，有f(x+T)=f(x)，那么我们就称函数f(x)是周期函数，并且周期T称为f(x)的周期。

通常情况下，周期函数的图像在一定区间内重复出现相同的形状。

2. 周期函数的性质（1）周期函数的性质周期函数的基本性质包括：a. 周期函数在每一个周期内有相同的函数值。

b. 周期函数的图像可以在一个周期内被重复出现。

c. 若T为周期，则kT也是周期，其中k为非零的常数。

d. 若T1和T2都是周期，则它们的最小公倍数也是周期。

e. 三角函数sin(x)和cos(x)都是周期为2π的周期函数。

（2）求周期函数的周期当给定一个函数f(x)时，我们需要计算出它的周期。

求周期的方法主要有两种：a. 观察法：观察函数的图像，找出重复的模式，从而确定周期。

b. 利用公式法：若函数f(x)满足f(x+T)=f(x)，我们可以通过解方程来求出T。

3. 常见周期函数常见的周期函数主要有三种：a. 正弦函数sin(x)和余弦函数cos(x)：它们的周期都是2π。

b. 正切函数tan(x)和余切函数cot(x)：它们的周期都是π。

c. 任意形式的三角函数：假设f(x)是一个周期函数，那么af(bx+c)+d也是一个周期函数，其中a、b、c、d为常数。

4. 函数的不同周期有些函数可能有多个周期，称为多周期函数。

常见的多周期函数有正弦函数和余弦函数。

此外，有些函数可能存在最小正周期和最小整数周期不相等的现象，称为非自由振荡。

（见以下部分）5. 周期函数的应用周期函数在很多领域都有广泛应用，例如在物理学、工程学、生物学和经济学中。

在物理学中，振动系统的运动可以用周期函数来描述。

在经济学中，周期函数可以描述商品价格和经济增长等现象。

二、函数周期性的相关概念1. 最小正周期对于周期函数f(x)，如果存在一个最小正数T，使得对于任意x∈R，有f(x+T)=f(x)，那么我们称T为函数f(x)的最小正周期。

函数周期性公式大总结

函数周期性公式大总结首先，我们将讨论三角函数的周期性公式。

三角函数是周期函数的重要例子，其中最常见的是正弦函数和余弦函数。

正弦函数的周期为2π，可以表示为sin(x+2πn)，其中n为整数。

同样，余弦函数的周期也为2π，可以表示为cos(x+2πn)。

因此，正弦函数和余弦函数都以2π的周期性在函数图像上循环。

接下来，我们来讨论其他函数的周期性公式。

一些常见的周期函数包括矩形波、方波和三角波函数。

矩形波函数的周期为T，可以表示为rect(x/T)，其中rect为矩形波函数。

方波函数的周期也为T，可以表示为square(x/T)。

而三角波函数的周期为2T，可以表示为sawtooth(x/2T)。

除了这些常见的周期函数外，我们还可以通过对函数进行平移、伸缩和反转等操作来获得不同的周期性函数。

通过平移操作，我们可以将函数沿x轴平移k个单位，从而改变其周期。

例如，对于函数f(x)，如果我们将其平移k个单位，则新的函数可以表示为f(x+k)。

同样地，通过伸缩操作，我们可以改变函数的周期。

对于函数f(x)，如果我们将其沿x轴伸缩比例为a，则新的函数可以表示为f(ax)。

最后，通过反转操作，我们可以改变函数的周期。

对于函数f(x)，如果我们反转它的原点，则新的函数可以表示为f(-x)。

此外，还有一些特殊的周期函数，例如斜坡函数和周期单位脉冲函数。

斜坡函数的周期为T，可以表示为ramp(x/T)。

周期单位脉冲函数是由一系列重复的单位脉冲构成的周期函数，可以表示为p(x/T)，其中p为单位脉冲函数。

最后，我们需要注意的是，在实际应用中，函数的周期性可能不仅仅是简单的周期函数或方法所能描述的。

一些函数可能具有复杂的周期性，例如混沌函数和周期分形函数等。

这些函数的周期特性往往需要使用更高级的方法来进行分析。

总结起来，函数周期性公式是数学中非常重要的概念。

在本文中，我们总结了一些常见的函数周期性公式，包括三角函数的周期性、其他周期函数的周期性以及函数的平移、伸缩和反转等操作。

函数周期性总结

函数周期性总结1. 什么是函数周期性？函数周期性指的是函数在一定区间内具有重复的特点或性质。

在一个周期内，函数的值和特征会重复出现。

周期性可以用来描述很多现象，比如天气变化、心脏跳动等。

2. 函数周期性的判断条件要判断一个函数是否具有周期性，需要满足以下条件：- 函数必须在某个区间内有定义。

- 函数在该区间内必须是有界的。

- 函数必须满足 f(x + T) = f(x)，其中 T 是周期。

3. 常见的函数周期性类型3.1 周期函数周期函数是指具有周期性的函数。

常见的周期函数有正弦函数、余弦函数等。

它们在一个周期内的值会不断重复。

3.2 奇函数和偶函数奇函数和偶函数是特殊的周期函数。

- 奇函数满足 f(-x) = -f(x)，即关于原点对称。

- 偶函数满足 f(-x) = f(x)，即关于 y 轴对称。

3.3 周期为2π 的函数周期为2π 的函数在每个周期内的值是相同的。

它们是一类特殊的周期函数，包括正弦函数和余弦函数。

4. 为什么函数周期性重要？函数周期性在数学和工程等领域中具有广泛的应用。

- 在数学中，周期性是研究函数特征和行为的重要工具。

通过研究函数的周期性，可以得到函数的性质和规律。

- 在工程中，周期性可以用来描述循环和重复的现象。

例如，电流的周期性可以用来描述交流电信号。

5. 总结函数周期性是函数在一定区间内重复出现的特点。

判断函数周期性需要满足一定条件。

常见的函数周期性类型包括周期函数、奇函数和偶函数，以及周期为2π 的函数。

函数周期性在数学和工程领域中具有重要的应用价值。

高中数学函数的周期性

高中数学函数的周期性一、函数周期性的认识周期性是函数的一个重要性质，指的是函数在一定的时间间隔内重复出现的规律性。

在函数图像上，这种周期性表现为函数图像的重复形状或模式。

函数周期性的理解对于解决与函数相关的数学问题有着重要的意义。

二、函数周期性的判断判断函数是否具有周期性，可以通过以下步骤进行：1、观察函数的图像，看是否存在重复的模式或形状；2、计算函数值之间的差值，看是否存在固定的差值；3、确定函数的定义域，看是否具有周期性；4、根据函数的性质，确定函数的周期。

三、函数周期性的应用函数周期性在数学中有着广泛的应用。

例如，在三角函数中，正弦函数和余弦函数都是具有周期性的函数，它们的周期与角度有关。

函数周期性在信号处理、图像处理等领域也有着广泛的应用。

四、函数周期性的意义函数周期性是数学中一个重要的概念，它反映了函数变化的规律性。

通过对函数周期性的理解和应用，我们可以更好地理解函数的性质和变化规律，为解决与函数相关的数学问题提供帮助。

函数周期性的概念也渗透到了自然科学和社会科学的各个领域，对于这些领域的研究和发展也有着重要的意义。

高中数学函数的周期性是一个非常重要的概念，对于我们理解函数的性质和解决与函数相关的数学问题都有着重要的作用。

在未来的学习和研究中，我们还需要进一步深入理解和应用函数周期性的概念。

原函数与导函数周期性和奇偶性联系的探究标题：原函数与导函数周期性和奇偶性的探究一、引言在数学分析中，函数的周期性和奇偶性是两个非常重要的性质。

对于一个函数来说，如果其值在每隔一定的区间内重复出现，那么这个函数就被称为具有周期性。

而如果一个函数在与其原点的对称点处的值相等，那么这个函数就被称为具有奇偶性。

这两个性质在很多领域都有广泛的应用，包括物理学、工程学、经济学等。

对于周期函数和奇偶函数，其原函数和导函数之间存在一些有趣的和相互影响。

本文将对此进行深入的探究和分析。

二、原函数与导函数的周期性首先，我们观察一个函数与其导函数之间的周期性关系。

函数周期性结论总结

函数周期性结论总结在数学的广袤天地中，函数的周期性是一个非常重要的概念。

它不仅在数学理论中有着关键地位，还在解决实际问题时发挥着重要作用。

接下来，让我们深入探讨一下函数周期性的相关结论。

首先，我们来明确一下函数周期性的定义。

如果存在一个非零常数T，使得对于函数 f(x)定义域内的任意 x，都有 f(x ＋ T) ＝ f(x)，那么我们就称函数 f(x)是周期函数，T 称为这个函数的周期。

一个周期函数的周期通常不是唯一的。

如果 T 是函数 f(x)的周期，那么 kT（k 为非零整数）也是 f(x)的周期。

这是因为对于任意 x，f(x＋ kT) ＝ f(（x ＋（k 1)T) ＋ T) ＝ f(x ＋（k 1)T) ＝… ＝ f(x)。

但在所有周期中，存在一个最小的正数周期，我们称之为最小正周期。

不过，并不是所有的周期函数都有最小正周期，比如常函数 f(x) ＝ C（C 为常数），任意非零实数都是它的周期，但是没有最小正周期。

常见的周期函数有正弦函数 y ＝ sin x 和余弦函数 y ＝ cos x，它们的最小正周期都是2π。

正切函数 y ＝ tan x 的最小正周期是π。

对于一些复合函数，其周期性也有相应的规律。

例如，若函数 f(x)的周期是 T₁，函数 g(x)的周期是 T₂，那么函数 f(x) ＋ g(x)的周期是T₁和 T₂的最小公倍数。

但需要注意的是，这个结论并非在所有情况下都成立，还需要具体分析函数的性质。

再来看函数周期性的一些重要性质。

若函数 f(x)是周期函数，且周期为 T，那么 f(x ＋ nT) ＝ f(x)（n 为整数）。

这意味着，在周期函数的图像上，每隔一个周期，函数的图像就会重复出现。

如果函数 f(x)是周期函数，且周期为 T，那么函数 f(ax ＋ b)（a 不为 0）的周期为 T ／｜a|。

比如，函数 f(2x ＋ 3)的周期是函数 f(x)周期的 1/2。

周期性在解题中也有很多应用。

高中高考函数的周期性复习资料

函数的周期性一．知识点：1.周期函数的定义：对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T，使得定义域内任何值f(x+T)=f(x)，那么就称f(x)为周期函数，T为f(x)的周期。

2.周期函数的性质：（1）若T（≠0）是f（x）的周期，则-T也是f（x）的周期。

（2）若T（≠0）是f（x）的周期，则nT（n为任意非零整数）也是f（x）的周期。

（3）若T1与T2都是f（x）的周期，则T1±T2也是f（x）的周期。

（4）若f（x）有最小正周期T*，那么f（x）的任何正周期T一定是T*的正整数倍。

（5）若T1、T2是f（x）的两个周期，且T1/T2是无理数，则f（x）不存在最小正周期。

（6）周期函数f（x）的定义域M必定是至少一方无界的集合3.判定定理：定理1. 若f（x）是在数集M上以T*为最小正周期的周期函数，则K f（x）+C（K≠0）和1/ f（x）分别是集M和集{X/ f（x）≠0，X ∈M}上的以T*为最小正周期的周期函数。

定理2. 若f（x）是集M上以T*为最小正周期的周期函数，则f（ax+b）是集{x|ax+b∈M}上的以T/ a为最小正周期的周期函数，（其中a、b为常数）。

定理3. 设f（u）是定义在集M上的函数，u=g（x）是集M1上的周期函数，且当X∈M1时，g（x）∈M，则复合函数f（g（x））是M1上的周期函数。

定理4. 设f1（x）、f2（x）都是集合M上的周期函数，T1、T2分别是它们的周期，若T1/T2∈Q则它们的和差与积也是M上的周期函数，T1与T2的公倍数为它们的周期。

4.几个常见常考周期函数的关系式：（其中a≠0）（1）f(x+a)= -f(x) =>f(x+2a)=f(x)（2）f(x+a)=1/f(x) =>f(x+2a)=f(x)（3）f(x+a)= -1/f(x) =>f(x+2a)=f(x)（4）若奇函数f(x)的图像关于直线x=a对称，则f(x+4a)=f(x)（5）若偶函数f(x)的图像关于直线x=a对称，则f(x+2a)=f(x)二．典型例题（难）：例题1：已知定义在R上的奇函数f(x)的图像关于直线x=1对称，则f(1)+f(2)+…+f(2019)=_______例题2：已知定义在R上的函数f(x)满足f(x+2)=12f(x)且当x∈[0,2]时，f(x)= -2sinπ2x①若当x∈[ -4,-2]时，f(x)≥t➖9t恒成立，则t的取值范围为________②函数g(x)=f(x) ➖12log16X 零点的个数为________例题答案：例题一：0 例题二：t≤9或0＜t≤1 ； 5三．基础例题1.若函数f（x）=x2+bx+c对一切实数都有f（x+2）=f（2 -x）则有（）A．f（2）＜f（1）＜f（4）B．f（1）＜f（2）＜f（4）C．f（2）＜f（4）＜f（1）D．f（4）＜f（2）＜f（1）2.已知定义在R上的函数f（x）满足f（-x）= - f（x），f（3-x）=f(x)，则f（2019）=（）A．- 3 B.0 C.1 D.33.已知定义在R上的函数f（x）满足：y=f（x - 1）的图像关于点（1，0）对称，且当0≥0时恒有f（x）=f（x+2），当x∈[0,1]时，f（x）=ex – 1，则f（2016）+f（-2015）=（）A．1 – e B. e – 1 C. – 1 – e D.e+14.定义在R上奇函数f（x）满足f（x+2）= -f（x），且在[0，2）上单调递减，则下列结论正确的是（）A．0＜f（1）＜f（3） B. f（3）＜0＜f（1）C．f（1）＜0＜f（3） D. f（3）＜f（1）＜05.已知函数f（x）的图像关于点（- 3 ，2 ）对称，则函数h（x）=f（x+1）- 3的图像的对称中心是_______6.设f（x）是定义在R上的奇函数，且在( -∞，0 )上是减函数，f（-2）=0，则xf（x）＜0的解集为________7.已知f（x）,g（x）都是定义在R上的函数，且f（x）为奇函数，g（x）的图像关于直线x=1对称，则下列四个结论中错误的是（）A．y=g[f(x)+1]为偶函数 B.y=g[f(x)]为奇函数C.函数y=f[g(x)]的图像关于直线x=1对称D．y=f[g(x+1)]为偶函数8.定义在R上得函数f(x)满足f( - x)=f(x),且当x≥0时，f(x)={−x2+1，0≤x≤12−2x，x≥1若对任意得x∈[m,m+1]，不等式f（1-x）≤f（x+m）恒成立，则实数m的最大值是（）A．- 1 B.12C. - 13D.13答案：1. A由已知得：对称轴为x=2，由于抛物线开口向上，所以越靠近对称轴值越小2.B∵f（- x）= - f（x）,∴f（3 - x）= - f（x - 3），且f（0）=0.又∵f（3 - x）=f（x），∴f（x）= - f（x - 3），∵f（x - 3）= - f（x - 6）,∴f（x）=f（x - 6），∴f（x）是周期为6的函数，∴f（2019）=f（6×336+3）=f（3）=（0）=03.A∵y=f（x - 1）的图像关于点（1，0）对称，∴f（x）的图像关于远点对称，∵当x≥0时恒有f（x）=f（x+2），∴函数f（x）的周期为2∴f（2016）+f（- 2015）=f（0）- f（1）=1 – e4.C由函数f（x）时定义在R上的奇函数，得f（0）=0，由f（x+2）= - f（x），得f（x+4）= - f （x+2）=f（x），故函数f（x）是以4为周期的周期函数∴f（3）=f（- 1）又∵f（x）在[0,2）上单调递减，∴函数f（x）在（- 2，2 ）上单调递减∴f（-1）＞f（0）＞f（1）5.（- 4，- 1）函数h（x）=f（x+1）- 3的图象是由函数f（x）的图像向左平移1个单位，再向下平移1个单位，再向下平移3个单位得到的，又f（x）的图像关于点（- 3，2）对称，所以函数h（x）的图像的对称中心为（-4，-1）6．(-∞，-2]∪[0，2]（1）x=0时，xf（x）=0，满足要求；（2）x＜0时xf（x）≤0，所以，f（x）≥0f（x）在（-∞，0）上是减函数，f（-2）=0所以，x≤-2（3）x＞0时，xf（x）≤0，所以，f（x）≤0f（x）为R上的奇函数，且在（-∞，0）上是减函数，所以在（0，+∞）上是减函数，f（2）=0f（x）≤0，解得，0＜x≤2所以，不等式 xf（x）≤0 的解集为(-∞，-2]∪[0，2]7. B已知得f （- x ）= - f （x ），g （1 - x ）=g （1+x ）， ∵g[f(-x)+1]=g[ - f(x)+1]=g[f(x)+1]，∴y=g[f(x)+1]为偶函数∵f[g(x)]=f[g(2 - x)]∴y=f[g(x)]得图像关于直线x=1对称∵f[g( - x+1)]=f[g(x+1)]∴y=f[g(x+1)]为偶函数∵g[f( - x)]=g[ - f(x)]=g[2+f(x)]∴y=g[f(x)]不是基函数8. C由题知函数f(x)为偶函数，且当x ≥0时，函数f(x)为减函数，则当x ＜0时，函数f （x ）为增函数。

高一必修二数学周期函数知识点

高一必修二数学周期函数知识点一、引言周期函数是数学中的一个重要概念，它在数学和实际生活中都有广泛的应用。

本文将介绍高一必修二数学课程中的周期函数知识点，包括周期函数的定义、性质及常见的周期函数类型。

二、周期函数的定义与性质周期函数是指函数在某一段长度的自变量上有某种规律地重复出现的函数。

周期函数的周期是指最小正周期，即在一个完整周期内，函数值重复出现且函数值随自变量变化的规律相同。

周期函数具有以下性质：1. 周期函数的函数值在一个完整周期内重复出现；2. 周期函数的图像以某一点对称；3. 周期函数的奇偶性：如果一个周期函数满足 f(x+T)=f(x)，其中 T表示周期，那么函数是偶函数；如果一个周期函数满足 f(x+T)=-f(x)，那么函数是奇函数。

三、正弦函数与余弦函数正弦函数和余弦函数是最常见的周期函数类型。

在高一必修二的数学课程中，我们学习到了正弦函数和余弦函数的基本性质和图像特点。

1. 正弦函数正弦函数的基本形式为 y = A sin(Bx + C) + D，其中 A、B、C、D都是常数。

其中 A 表示振幅，B 表示频率，C 表示相位差，D 表示纵向平移。

正弦函数的图像呈现出波形，振幅决定了波浪的高度，频率决定了波浪的密度和间距，相位差和纵向平移决定了波浪在坐标系中的位置。

2. 余弦函数余弦函数的基本形式为 y = A cos(Bx + C) + D，其中 A、B、C、D都是常数。

余弦函数和正弦函数非常相似，只是在相位差上有所差异。

余弦函数的图像也呈现出波形，与正弦函数相比，余弦函数的波峰和波谷的位置与振幅决定的相位差有关。

四、切线方程与图像变换在周期函数中，切线方程和图像变换是我们经常需要处理的问题。

下面我们详细讨论一下这两个问题。

1. 切线方程在周期函数图像中，切线方程是确定切线斜率的关键。

对于任意一点 P(x,y)，切线的斜率等于函数在该点的导数值。

在函数 y = A sin(Bx + C) + D 中，求得的导数为 f'(x) = AB cos(Bx + C)，因此切线的斜率为 AB cos(Bx + C)。

函数周期性公式大总结

函数周期性公式大总结
高中函数对称性、周期性以及奇偶性最全总结
在高考时，有一类知识点是非常重要的。

数学老师在课上讲的内容是非常基础的，但是在高考时对于这部分内容的考察确实非常综合的，并且难度颇高。

这部分内容就是函数的性质，函数的性质包含的内容主要有：函数的定义域、值域、最大值最小值、单调性、对称性、奇偶性和周期。

当然，函数的图像也是函数的一个性质，函数的图像是我们解决很多函数题目的一个工具，比如说在导数大题中，就需要我们能够根据单调性简单的画出大概的图像。

再在圆锥曲线大题中，也需要画出其图像。

这一点需要大家牢记。

在这些性质里面，有几个是高考后几道选择题中最爱考的内容。

第一个，就是对称性。

对称性指的是函数的图像，其中包含有两部分知识：点对称和轴对称；
例如，y=sinx的图像是点对称的图像；
又如，y=cosx的图像是轴对称的图像；
第二个，就是周期性。

周期性是指：若T为非零常数，对于定义域内的任一x，使f(x)=f(x+T) 恒成立，则f(x)叫做周期函数。

T叫做这个函数的一个周期。

例如，y=sinx是一个周期函数，
它的周期是2π；
又如，y=cosx也是一个周期函数，
它的周期也是2π；
第三个，就是奇偶性。

奇函数和偶函数最重要的特性在于，奇函数：f(-x)=-f(x)，
例如正弦函数y=sinx；
偶函数：f(-x)=f(x)，
例如余弦函数y=cosx;。

高中数学函数周期知识点总结最新

高中数学函数周期知识点总结最新知识的确是天空中伟大的太阳，它那万道光芒投下了生命，投下了力量。

下面小编给大家分享一些高中数学函数周期知识点总结最新，希望能够帮助大家，欢迎阅读!高中数学函数周期知识点总结一、重要结论1、f(x+a)=f(x)，则y=f(x)是以T=a为周期的周期函数;2、若函数y=f(x)满足f(x+a)=-f(x)(a>0),则f(x)为周期函数且2a 是它的一个周期。

3、若函数f(x+a)=f(x-a)，则是以T=2a为周期的周期函数4、y=f(x)满足f(x+a)=1/f(x) (a>0),则f(x)为周期函数且2a是它的一个周期。

5、若函数y=f(x)满足f(x+a)= -1/f(x)(a>0),则f(x)为周期函数且2a是它的一个周期。

6、f(x+a)={1-f(x)}/{1+f(x)}，则是以T=2a为周期的周期函数。

7、f(x+a)={1-f(x)}/{1+f(x)}，则是以T=4a为周期的周期函数。

8、若函数y=f(x)满足f(x+a)={1-f(x)}/{1+f(x)}(x∈R，a>0),则f(x)为周期函数且4a是它的一个周期。

9、若函数y=f(x)的图像关于直线x=a,x=b(b>a)都对称,则f(x)为周期函数且2(b-a)是它的一个周期。

10、函数y=f(x)x∈R的图象关于两点A(a,y)、B(b,y),a<b都对称，则函数是以2(b-a)为周期的周期函数;< p="">11、函数y=f(x)(x∈R)的图象关于A(a,y)和直线x=b(a<b)都对称，则函数f(x) p="" 是以4(b-a)为周期的周期函数;12、若偶函数y=f(x)的图像关于直线x=a对称，则f(x)为周期函数且2a的绝对值是它的一个周期。

13、若奇函数y=f(x)的图像关于直线x=a对称，则f(x)为周期函数且4a的绝对值是它的一个周期。

函数周期性公式大总结

竭诚为您提供优质文档/双击可除函数周期性公式大总结篇一：函数周期性结论总结函数周期性结论总结①f(x+a)=-f(x)T=2a②f(x+a)=±1T=2af(x)③f(x+a)=f(x+b)T=|a-b|证明：令x=x-b得f(x-b+a)=f(x-b+b)f(x-b+a)=f(x)根据公式f(x)=f(x+T)=f(x+nT)得T=-b+a即a-b④f(x)为偶函数，且关于直线x=a对称，T=2a证明：f(x+2a)=f(-x)=f(x)证明：因为偶函数,所以f(-x)=f(x)因为关于x=a对称所以f(a+x)=f(a-x)(对称性质）设x=x+a所以f(x+2a)=f(x)所以周期T=2a)⑤f(x)为奇函数，且关于直线x=a对称，T=4a证明：f(x+2a)=f(-x)=-f(x)根据①可知T=2·2a=4a证明：由于图像关于直线x=a对称、所以f(a+x)=f(a-x)令x=x+a得：f(x+2a)=f(-x)又f(x)=-f(-x)故f(x)=-f(x+2a)代换x=x+2a得：f(x+2a)=-f(x+4a)即得f(x)=f(x+4a)于是函数f(x)的周期为4a⑥f(x)=f(x+a)+f(x-a)有三层函数，用递推的方法来证明。

f(x+a)=f(x+2a)+f(x)f(x+2a)=-f(x-a)换元：令x-a=t那么x=a+tf(t+3a)=-f(t)根据①可知T=6a⑦f(x)关于直线x=a,直线x=b对称，T=2|a-b|证明：f(a+x)=f(a-x)f(b+x)=f(b-x)f(2b-x)=f(x)假设a＞b(当然假设a＜b也可以同理证明出)T=2(a-b)现在只需证明f(x+2a-2b)=f(x)即可⑧f(x)的图像关于(a,0)(b,0)对称，T=2a-2b(a＞b)f(x+2a-2b)=f[a+(x+a-2b)]关于直线x=a对称=f[a-(x+a-2b)]关于直线x=b对称=f(2b-x)=f(x) 证明：根据奇函数对称中心可知：f(a+x)=-f(a-x)f(2b-x)=-f(x)f(x+2a-2b)=f[a+(x+a-2b)]=-f[a-(x+a-2b)]=-f(2b-x)=f(x)篇二：函数周期公式主要知识：1．周期函数：对于f(x)定义域内的每一个x，都存在非零常数T，使得f(x?T)?f(x)恒成立，则称函数f(x)具有周期性，T叫做f(x)的一个周期，则kT（k?Z,k?0）也是f(x)的周期，所有周期中的最小正数叫f(x)的最小正周期．2．几种特殊的抽象函数：具有周期性的抽象函数：函数y?f?x?满足对定义域内任一实数x（其中a为常数），(1)f?x??f?x?a?，则y?f?x?是以T?a为周期的周期函数；(2)f?x?af?x?，则f?x?是以T?2a为周期的周期函数；(3)f?x?a1，则f?x?是以T?2a为周期的周期函数；fx(4)f?x?a??f?x?b?，则f?x?是以T?a?b为周期的周期函数；以上（1）-（4）比较常见，其余几种题目中出现频率不如前四种高，并且经常以数形结合的方式求解。

高中数学函数对称性、周期性和奇偶性的规律总结大全

函数对称性、周期性和奇偶性规律一、同一函数的周期性、对称性问题(即函数自身)1、周期性：对于函数)(x f y =，如果存在一个不为零的常数T ，使得当x 取定义域内的每一个值时，都有)()(x f T x f =+都成立，那么就把函数)(x f y =叫做周期函数，不为零的常数T 叫做这个函数的周期。

如果所有的周期中存在着一个最小的正数，就把这个最小的正数叫做最小正周期。

2、对称性定义（略），请用图形来理解。

3、对称性：我们知道：偶函数关于y （即x=0）轴对称，偶函数有关系式)()(x f x f =-奇函数关于（0，0）对称，奇函数有关系式0)()(=-+x f x f上述关系式是否可以进行拓展？答案是肯定的探讨：（1）函数)(x f y =关于a x =对称⇔)()(x a f x a f -=+)()(x a f x a f -=+也可以写成)2()(x a f x f -= 或 )2()(x a f x f +=-简证：设点),(11y x 在)(x f y =上，通过)2()(x a f x f -=可知，)2()(111x a f x f y -==，即点)(),2(11x f y y x a =-也在上，而点),(11y x 与点),2(11y x a -关于x=a 对称。

得证。

若写成：)()(x b f x a f -=+，函数)(x f y =关于直线22)()(ba xb x a x +=-++=对称（2）函数)(x f y =关于点),(b a 对称⇔b x a f x a f 2)()(=-++b x f x a f 2)()2(=-++上述关系也可以写成或 b x f x a f 2)()2(=+-简证：设点),(11y x 在)(x f y =上，即)(11x f y =，通过b x f x a f 2)()2(=+-可知，b x f x a f 2)()2(11=+-，所以1112)(2)2(y b x f b x a f -=-=-，所以点)2,2(11y b x a --也在)(x f y =上，而点)2,2(11y b x a --与),(11y x 关于),(b a 对称。

高三数学周期性知识点归纳

高三数学周期性知识点归纳数学是一门需要不断积累和总结的学科，高三学生在备战高考时，需要理清各个知识点之间的联系和周期性规律。

本文将对高三数学中的周期性知识点进行归纳和总结，帮助同学们更好地理解和掌握相关内容。

一、三角函数的周期性1. 正弦函数：y = A*sin(Bx + C)- 周期：2π/B- 最大值：A- 最小值：-A2. 余弦函数：y = A*cos(Bx + C)- 周期：2π/B- 最大值：A- 最小值：-A3. 正切函数：y = A*tan(Bx + C)- 周期：π/B二、复数的周期性1. 复数的定义：z = a + bi，其中a为实部，b为虚部，i为虚数单位。

2. 欧拉公式：e^ix = cos(x) + isin(x)3. 指数函数的周期性：e^(ix+2kπ) = e^ix (k为整数)三、指数函数和对数函数的周期性1. 指数函数的定义：f(x) = a^x，其中a为底数，x为自变量。

- 当a>1时，函数递增且无周期- 当0<a<1时，函数递减且无周期2. 对数函数的定义：f(x) = loga(x)，其中a为底数，x为自变量。

- 当a>1时，函数递增且无周期- 当0<a<1时，函数递减且无周期四、三角函数和指数函数的关系1. 欧拉公式的推导： e^ix = cos(x) + isin(x)2. 指数函数与正弦函数的关系：- e^(ix) = cos(x) + isin(x)- e^(-ix) = cos(-x) + isin(-x) = cos(x) - isin(x) - e^(ix) + e^(-ix) = 2cos(x) (欧拉恒等式) 3. 指数函数与余弦函数的关系：- e^(ix) = cos(x) + isin(x)- e^(-ix) = cos(-x) + isin(-x) = cos(x) - isin(x) - e^(ix) - e^(-ix) = 2isin(x)五、三角函数的和差化积公式1. 正弦函数的和差化积公式：- sin(x + y) = sin(x)cos(y) + cos(x)sin(y)- sin(x - y) = sin(x)cos(y) - cos(x)sin(y)2. 余弦函数的和差化积公式：- cos(x + y) = cos(x)cos(y) - sin(x)sin(y)- cos(x - y) = cos(x)cos(y) + sin(x)sin(y)3. 正切函数的和差化积公式：- tan(x + y) = (tan(x) + tan(y)) / (1 - tan(x)tan(y))- tan(x - y) = (tan(x) - tan(y)) / (1 + tan(x)tan(y))六、高三数学中的周期性问题1. 求解三角函数的周期：- 以给定函数的参数作为周期2. 判断函数的周期性：- 基于函数表达式中的参数和三角函数的特点进行判断3. 应用周期性知识点解决问题：- 求解特定范围内的函数值- 证明两个函数或方程等价性- 推导出其他数学公式通过对高三数学中的周期性知识点进行整理和总结，同学们在备考高考时可以更好地理解和掌握这些知识点。

【高中数学函数专题】函数的周期性(解析版)

函数的周期专题六性1．周期函数的定义对于函数y ＝f (x )，如果存在一个非零常数T ，使得当x 取定义域内的任何值时，都有f (x ＋T )＝f (x )，那么就称函数y ＝f (x )为周期函数，称T 为这个函数的周期．如果T 是函数y ＝f (x )的周期，则kT (k ∈Z 且k ≠0)也是y ＝f (x )的周期，即f (x ＋kT )＝f (x )；如果在周期函数f (x )的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f (x )的最小正周期．2．函数周期性常用的结论结论1：若f (x ＋a )＝f (x －a )，则f (x )的一个周期为2a ；结论2：若f (x ＋a )＝－f (x )，则f (x )的一个周期为2a ；结论3：若f (x ＋a )＋f (x )＝c (a ≠0)，则f (x )的一个周期为2a ；结论4：若f (x )＝f (x ＋a )＋f (x －a )(a ≠0)，则f (x )的一个周期为6a ；结论5：若f (x ＋a )＝1f (x )，则f (x )的一个周期为2a ；结论6：若f (x ＋a )＝－1f (x )，则f (x )的一个周期为2a ；结论7：若函数f (x )关于直线x ＝a 与x ＝b 对称，则f (x )的一个周期为2|b －a |．结论8：若函数f (x )关于点(a ，0)对称，又关于点(b ，0)对称，则f (x )的一个周期为2|b －a |．结论9：若函数f (x )关于直线x ＝a 对称，又关于点(b ，0)对称，则f (x )的一个周期为4|b －a |．结论7—结论9的记忆：两次对称成周期，两轴两心二倍差，一轴一心四倍差．总规律：在函数的奇偶性、对称性、周期性中，知二断一．即这三条性质中，只要已知两条，则第三条一定成立．考点一已知函数的周期性(显性的)，求函数值【方法总结】利用函数的周期性，可将其他区间上的求值等问题，转化到已知区间上，进而解决问题．【例题选讲】[例1](1)若f (x )是R 上周期为2的函数，且满足f (1)＝1，f (2)＝2，则f (3)－f (4)＝__________．答案－1解析由f (x ＋2)＝f (x )可得f (3)－f (4)＝f (1)－f (2)＝1－2＝－1．(2)设f (x )是定义在R 上的周期为3的函数，当x ∈[－2，1)时，f (x )x 2－2，－2≤x ≤0，，0<x <1，则＝________．答案14解析由题意可得－2＝14，＝14．(3)设f (x )是定义在R 上且周期为2的函数，在区间[－1，1)上，f (x )＋a ，－1≤x <0，|25－x|，0≤x <1，其中a ∈R ．若5(2f -＝9(2f ，则f (5a )的值是________．答案－25解析：由题意可得5()2f -＝＝－12＋a，9()2f ＝|25－12|＝110，则－12＋a ＝110，a ＝35，故f (5a )＝f (3)＝f (－1)＝－1＋35＝－25．【高中数学函数专题】(4)函数f(x)满足f(x＋4)＝f(x)(x∈R)，且在区间(－2，2]上，f(x)cosπx2，0<x≤2，x＋12|，－2<x≤0，则f(f(15))的值为________．答案22解析由函数f(x)满足f(x＋4)＝f(x)(x∈R)，可知函数f(x)的周期是4，所以f(15)＝f(－1)＝|－1＋12|＝12，所以f(f(15))＝cosπ4＝22．(5)定义在R上的函数f(x)，满足f(x＋5)＝f(x)，当x∈(－3，0]时，f(x)＝－x－1，当x∈(0，2]时，f(x)＝log2x，则f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2019)的值等于()A．403B．405C．806D．809答案B解析定义在R上的函数f(x)，满足f(x＋5)＝f(x)，即函数f(x)的周期为5.又当x∈(0，2]时，f(x)＝log2x，所以f(1)＝log21＝0，f(2)＝log22＝1.当x∈(－3,0]时，f(x)＝－x－1，所以f(3)＝f(－2)＝1，f(4)＝f(－1)＝0，f(5)＝f(0)＝－1．故f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2019)＝403×[f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＋f(5)]＋f(2016)＋f(2017)＋f(2018)＋f(2019)＝403×1＋f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＝403＋0＋1＋1＋0＝405．【对点训练】1．已知f(x)是R上最小正周期为2的周期函数，且当0≤x<2时，f(x)＝x3－x，则函数y＝f(x)的图象在区间[0，6]上与x轴的交点个数为________．1．答案7解析因为当0≤x<2时，f(x)＝x3－x．又f(x)是R上最小正周期为2的周期函数，且f(0)＝0，则f(6)＝f(4)＝f(2)＝f(0)＝0．又f(1)＝0，∴f(3)＝f(5)＝f(1)＝0，故函数y＝f(x)的图象在区间[0，6]上与x轴的交点有7个．2．设f(x)是定义在R上且周期为2的函数，在区间[－1，1]上，f(x)1≤x<0，0≤x≤1，其中a，b∈R．若＝a＋3b的值为________．2．答案－10解析因为f(x)是定义在R上且周期为2的函数，所以f f(－1)＝f(1)，故＝，从而12b＋212＋1＝－12a＋1，即3a＋2b＝－2，①．由f(－1)＝f(1)，得－a＋1＝b＋22，即b＝－2a，②．由①②得a＝2，b＝－4，从而a＋3b＝－10．3．已知函数f(x)(1－x)，0≤x≤1，－1，1<x≤2，如果对任意的n∈N*，定义f n(x)＝{[()]}n ff f f x⋅⋅⋅个，那么f2019(2)的值为()A．0B．1C．2D．33．答案C解析∵f1(2)＝f(2)＝1，f2(2)＝f(1)＝0，f3(2)＝f(0)＝2，f4(2)＝f(2)＝1，∴f n(2)的值具有周期性，且周期为3，∴f2019(2)＝f3×673(2)＝f3(2)＝2，故选C．4．定义在R上的函数f(x)满足f(x＋6)＝f(x)．当－3≤x<－1时，f(x)＝－(x＋2)2；当－1≤x<3时，f(x)＝x.则f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2022)＝__________．4．答案337解析由f(x＋6)＝f(x)可知，函数f(x)的周期为6，由已知条件可得f(1)＝1，f(2)＝2，f(3)＝f(－3)＝－1，f(4)＝f(－2)＝0，f(5)＝f(－1)＝－1，f(6)＝f(0)＝0，所以在一个周期内有f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(6)＝1＋2－1＋0－1＋0＝1，所以f(1)＋f(2)＋…＋f(2022)＝337×1＝337．5．已知函数f(x)的定义域为R．当x<0时，f(x)＝x3－1；当－1≤x≤1时，f(－x)＝－f(x)；当x>12时，f(6)＝()A．－2B．－1C．0D．25．答案D解析当x>12时，由可得当x>0时，f(x)＝f(x＋1)，所以f(6)＝f(1)，而f(1)＝－f(－1)，f(－1)＝(－1)3－1＝－2，所以f(6)＝f(1)＝2，故选D．6．对任意的实数x都有f(x＋2)－f(x)＝2f(1)，若y＝f(x－1)的图象关于x＝1对称，且f(0)＝2，则f(2019)＋f(2020)＝()A．0B．2C．3D．46．答案B解析∵y＝f(x－1)的图象关于x＝1对称，则函数y＝f(x)的图象关于x＝0对称，即函数f(x)是偶函数．令x＝－1，则f(－1＋2)－f(－1)＝2f(1)，即f(1)－f(1)＝2f(1)＝0，即f(1)＝0．则f(x＋2)－f(x)＝2f(1)＝0，即f(x＋2)＝f(x)，即函数的周期是2，又f(0)＝2，则f(2019)＋f(2020)＝f(1)＋f(0)＝0＋2＝2，故选B．考点二已知函数的周期性(隐性1)，求函数值【方法总结】已知函数的周期性(隐性1)，可利用周期性的性质结论1到结论6，先明确了周期再将其他区间上的求值转化到已知区间上，进而解决问题．【例题选讲】[例2](1)已知定义在R上的函数f(x)满足f(x＋1)＝－f(x)，且f(x)，－1＜x≤0，1，0＜x≤1，则下列函数值为1的是()A．f(2.5)B．f(f(2.5))C．f(f(1.5))D．f(2)答案D解析由f(x＋1)＝－f(x)知f(x＋2)＝－f(x＋1)＝f(x)，于是f(x)是以2为周期的周期函数，从而f(2.5)＝f(0.5)＝－1，f(f(2.5))＝f(－1)＝f(1)＝－1，f(f(1.5))＝f(f(－0.5))＝f(1)＝－1，f(2)＝f(0)＝1，故选D．(2)已知定义在R上的函数f(x)，对任意x∈R，都有f(x＋4)＝f(x)＋f(2)成立，若函数y＝f(x＋1)的图象关于直线x＝－1对称，则f(2018)的值为()A．2018B．－2018C．0D．4答案C解析依题意得，函数y＝f(x)的图象关于直线x＝0对称，因此函数y＝f(x)是偶函数，且f(－2＋4)＝f(－2)＋f(2)，即f(2)＝f(2)＋f(2)，所以f(2)＝0，所以f(x＋4)＝f(x)，即函数y＝f(x)是以4为周期的函数，f(2018)＝f(4×504＋2)＝f(2)＝0．(3)已知f(x)是定义在R上的函数，并且f(x＋2)＝1f(x)，当2≤x≤3时，f(x)＝x，则f(2022)＝__________．答案2解析由f(x＋2)＝1f(x)得f(x＋4)＝1f(x＋2)＝f(x)，所以T＝4，f(2022)＝f(4×505＋2)＝f(2)＝2．(4)已知定义在R上的函数f(x)满足f(2)＝2－3，且对任意的x都有f(x＋2)＝1－f(x)，则f(2020)＝________．答案－2－3解析由f(x＋2)＝1－f(x)，得f(x＋4)＝1－f(x＋2)＝f(x)，所以函数f(x)的周期为4，所以f (2020)＝f (4)．因为f (2＋2)＝1－f (2)，所以f (4)＝－1f (2)＝－12－3＝－2－ 3.故f (2020)＝－2－3．(5)已知定义在R 上的函数满足f (x ＋2)＝－1f (x )，当x ∈(0，2]时，f (x )＝2x －1．则f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (2018)的值为________．答案1348解析∵f (x ＋2)＝－1f (x )，∴f (x ＋4)＝－1f (x ＋2)＝f (x )，∴函数y ＝f (x )的周期T ＝4．又x ∈(0，2]时，f (x )＝2x －1，∴f (1)＝1，f (2)＝3，f (3)＝－1f (1)＝－1，f (4)＝－1f (2)＝－13．∴f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (2018)＝504[f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)]＋f (504×4＋1)＋f (504×4＋2)＝＋3－11＋3＝1348．【对点训练】7．函数f (x )满足f (x ＋1)＝－f (x )，且当0≤x ≤1时，f (x )＝2x (1－x )，则5(2f 的值为()A ．12B ．14C ．－14D ．－127．答案A解析由f (x ＋1)＝－f (x )得f (x ＋2)＝f (x )，即函数f (x )的周期为2，则5()2f ＝2×12×＝12，故选A ．8．已知f (x )是定义在R 上的函数，且f (x ＋2)＝－f (x )．当x ∈(0，2)时，f (x )＝2x 2，则f (7)＝()A ．－2B ．2C ．－98D ．988．答案A解析由f (x ＋2)＝－f (x )，得f (7)＝－f (5)＝f (3)＝－f (1)＝－2．故选A ．9．已知定义在R 上的函数f (x )满足f (x )＝－f (x ＋2)，当x ∈(0，2]时，f (x )＝2x ＋log 2x ，则f (2019)＝()A ．5B ．12C ．2D ．－29．答案D解析由f (x )＝－f (x ＋2)，得f (x ＋4)＝f (x )，所以函数f (x )是周期为4的周期函数，所以f (2019)＝f (504×4＋3)＝f (3)＝f (1＋2)＝－f (1)＝－(2＋0)＝－2．10．已知函数f (x )对任意x ∈R ，都有f (x ＋6)＋f (x )＝0，y ＝f (x －1)的图象关于点(1，0)对称，且f (2)＝4，则f (2014)＝()A ．0B ．－4C ．－8D ．－1610．答案B解析由题意可知，函数f (x )对任意x ∈R ，都有f (x ＋6)＝－f (x )，∴f (x ＋12)＝f [(x ＋6)＋6]＝－f (x ＋6)＝f (x )，∴函数f (x )的周期T ＝12．把y ＝f (x －1)的图象向左平移1个单位得y ＝f (x －1＋1)＝f (x )的图象，关于点(0，0)对称，因此函数f (x )为奇函数，∴f (2014)＝f (167×12＋10)＝f (10)＝f (10－12)＝f (－2)＝－f (2)＝－4．故选B ．11．已知定义在R 上的函数f (x )满足f (4)＝2－3，且对任意的x 都有f (x ＋2)＝1－f (x )，则f (2018)＝()A ．－2－3B ．－2＋3C ．2－3D ．2＋311．答案A解析由f (x ＋2)＝1－f (x )得f (x ＋4)＝f (x )．所以函数f (x )的周期为4，所以f (2018)＝f (2)．又f (4)＝f (2＋2)＝1－f (2)＝2－3，所以－f (2)＝12－3＝2＋3，即f (2)＝－2－3，故选A ．12．已知f (x )是定义在R 上的函数，且满足f (x ＋2)＝－1f (x )，当2≤x ≤3时，f (x )＝x ，则________．12．答案52解析∵f (x ＋2)＝－1f (x )，∴f (x ＋4)＝f (x )，∴2≤x ≤3时，f (x )＝x ，∴＝52，∴＝52．考点三已知函数的周期性(隐性2)，求函数值【方法总结】已知函数的周期性(隐性2)，可利用周期性的性质结论7到结论9，先明确了周期再将其他区间上的求值转化到已知区间上，进而解决问题．【例题选讲】[例3](1)已知函数y ＝f (x )满足y ＝f (－x )和y ＝f (x ＋2)是偶函数，且f (1)＝π3，设F (x )＝f (x )＋f (－x )，则F (3)＝()A ．π3B ．2π3C ．πD ．4π3答案B解析由y ＝f (－x )和y ＝f (x ＋2)是偶函数知f (－x )＝f (x )，且f (x ＋2)＝f (－x ＋2)，则f (x ＋2)＝f (x －2)．∴f (x ＋4)＝f (x )，则y ＝f (x )的周期为4．所以F (3)＝f (3)＋f (－3)＝2f (3)＝2f (－1)＝2f (1)＝2π3．(2)函数f (x )的定义域为R ，且满足：f (x )是偶函数，f (x －1)是奇函数，若f (0.5)＝9，则f (8.5)等于()A ．－9B ．9C ．－3D ．0答案B解析因为f (x －1)是奇函数，所以f (－x －1)＝－f (x －1)，即f (－x )＝－f (x －2)．又因为f (x )是偶函数，所以f (x )＝－f (x －2)＝f (x －4)，故f (x )的周期为4，所以f (0.5)＝f (8.5)＝9．故选B ．(3)奇函数f (x )的定义域为R ，若f (x ＋1)为偶函数，且f (1)＝2，则f (4)＋f (5)的值为()A ．2B ．1C ．－1D ．－2解析：设g (x )＝f (x ＋1)，∵f (x ＋1)为偶函数，则g (－x )＝g (x )，即f (－x ＋1)＝f (x ＋1)．∵f (x )是奇函数，∴f (－x ＋1)＝f (x ＋1)＝－f (x －1)，∴f (x ＋2)＝－f (x )，f (x ＋4)＝f (x ＋2＋2)＝－f (x ＋2)＝f (x )，则f (4)＝f (0)＝0，f (5)＝f (1)＝2，∴f (4)＋f (5)＝0＋2＝2，故选A ．(4)已知f (x )是定义在R 上的奇函数，f (x ＋1)是偶函数，当x ∈(2，4)时，f (x )＝|x －3|，则f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)＋…＋f (2020)＝________．答案解析因为f (x )为奇函数，f (x ＋1)为偶函数，所以f (x ＋1)＝f (－x ＋1)＝－f (x －1)，所以f (x＋2)＝－f (x )，所以f (x ＋4)＝－f (x ＋2)＝f (x )，所以函数f (x )的周期为4，所以f (4)＝f (0)＝0，f (3)＝f (－1)＝－f (1)．在f (x ＋1)＝f (－x ＋1)中，令x ＝1，可得f (2)＝f (0)＝0，所以f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)＝0，所以f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)＋…＋f (2020)＝0．(5)设函数f (x )是定义在R 上的奇函数，对任意实数x 有33()()22f x f x +=--成立．若f (1)＝2，则f (2)＋f (3)＝________．答案－2解析由33()()22f x f x +=--，且f (－x )＝－f (x )，知f (3＋x )＝f 32＋－f 32－＝－f (－x )＝f (x )，所以y ＝f (x )是周期函数，且T ＝3是其一个周期．因为f (x )为定义在R 上的奇函数，所以f (0)＝0，且f (－1)＝－f (1)＝－2，又T ＝3是y ＝f (x )的一个周期，所以f (2)＋f (3)＝f (－1)＋f (0)＝－2＋0＝－2．(6)已知f (x )是定义域为(－∞，＋∞)的奇函数，满足f (1－x )＝f (1＋x )．若f (1)＝2，则f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f(50)等于()A．－50B．0C．2D．50答案C解析∵f(x)是奇函数，∴f(－x)＝－f(x)，∴f(1－x)＝－f(x－1)．∵f(1－x)＝f(1＋x)，∴－f(x －1)＝f(x＋1)，∴f(x＋2)＝－f(x)，∴f(x＋4)＝－f(x＋2)＝－[－f(x)]＝f(x)，∴函数f(x)是周期为4的周期函数．由f(x)为奇函数且定义域为R得f(0)＝0，又∵f(1－x)＝f(1＋x)，∴f(x)的图象关于直线x＝1对称，∴f(2)＝f(0)＝0，∴f(－2)＝0．又f(1)＝2，∴f(－1)＝－2，∴f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＝f(1)＋f(2)＋f(－1)＋f(0)＝2＋0－2＋0＝0，∴f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＋…＋f(49)＋f(50)＝0×12＋f(49)＋f(50)＝f(1)＋f(2)＝2＋0＝2，故选C．【对点训练】13．定义在R上的奇函数f(x)满足f(x＋1)是偶函数，且当x∈[0，1]时，f(x)＝x(3－2x)，则()A．12B．－12C．－1D．113．答案C解析∵y＝f(x)是定义在R上的奇函数，∴f(－x)＝－f(x)，∵函数y＝f(x＋1)是定义在R上的偶函数，∴f(－x＋1)＝f(x＋1)＝－f(x－1)，f(x＋2)＝－f(x)，可得f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，则f(x)的周期是4，∴f－12＝－＝－12·(3－1)＝－1，故选C．14．已知偶函数f(x)的定义域为R，若f(x－1)为奇函数，且f(2)＝3，则f(5)＋f(6)的值为() A．－3B．－2C．2D．314．答案D解析因为f(x－1)是奇函数，所以f(－x－1)＝－f(x－1)，即f(－x)＝－f(x－2)．又因为f(x)是偶函数，所以f(x)＝－f(x－2)＝f(x－4)，故f(x)的周期为4，所以f(5)＋f(6)＝f(1)＋f(2)＝0＋3＝3．选D．15．偶函数y＝f(x)的图象关于直线x＝2对称，f(3)＝3，则f(－1)＝________．15．答案3解析解析：因为f(x)的图象关于直线x＝2对称，所以f(x)＝f(4－x)，f(－x)＝f(4＋x)．又f(－x)＝f(x)，所以f(x)＝f(4＋x)，则f(－1)＝f(4－1)＝f(3)＝3．16．已知奇函数f(x)的图象关于直线x＝3对称，当x∈[0，3]时，f(x)＝－x，则f(－16)＝________．16．答案2解析根据题意，函数f(x)的图象关于直线x＝3对称，则有f(x)＝f(6－x)，又由函数为奇函数，则f(－x)＝－f(x)，则有f(x)＝－f(6－x)＝f(x－12)，则f(x)的最小正周期是12，故f(－16)＝f(－4)＝－f(4)＝－f(2)＝－(－2)＝2．17．已知f(x)是定义在R上的奇函数，满足f(1＋x)＝f(1－x)，且f(1)＝a，则f(2)＋f(3)＋f(4)＝() A．0B．－a C．a D．3a17．答案B解析因为函数f(x)满足f(1＋x)＝f(1－x)，所以f(x)关于直线x＝1对称，所以f(2)＝f(0)，f(3)＝f(－1)，又f(x)是定义在R上的奇函数，所以f(0)＝0，又由f(1＋x)＝f(1－x)可得f(x＋1)＝f(1－x)＝－f(x－1)，所以f(x＋2)＝－f(x)，故f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，因此，函数f(x)是以4为周期的周期函数，所以f(4)＝f(0)，又f(1)＝a，因此f(2)＋f(3)＋f(4)＝f(0)＋f(－1)＋f(0)＝－f(1)＝－a．故选B．18．函数y＝f(x)满足对任意x∈R都有f(x＋2)＝f(－x)成立，且函数y＝f(x－1)的图象关于点(1，0)对称，f(1)＝4，则f(2016)＋f(2017)＋f(2018)的值为________．18．答案4解析∵函数y＝f(x－1)的图象关于点(1，0)对称，∴f(x)是R上的奇函数，又f(x＋2)＝－f(x)，∴f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，故f(x)的周期为4，∴f(2017)＝f(504×4＋1)＝f(1)＝4，∴f(2016)＋f(2018)＝f(2016)＋f(2016＋2)＝f(2016)－f(2016)＝0，∴f(2016)＋f(2017)＋f(2018)＝4．。

高中函数周期性总结

1函数的周期性常见结论归类一.周期函数的定义：设函数()y f x =的定义域为D ，若存在常数T ≠0，使得对一切x ∈D ，且x+T ∈D 时都有()()f x T f x +=，则称()y f x =为D 上的周期函数，非零常数T 叫这个函数的周期。

二.常见结论 (约定a>0)（1）()()f x f x a =+，则()f x 的周期T a =；（2）()()f x a f x +=－，或()()f x a f x +=－a 或1()(()0)()f x a f x f x +=≠，或1()()f x a f x +=-(()0)f x ≠,则()f x 的周期2T a =； 1()()1()f x f x a f x -+=+，则()f x 是以2T a =为周期的周期函数.（3）1()()1()f x f x a f x -+=-+，则()f x 是以4T a =为周期的周期函数. （4）1()()1()f x f x a f x ++=-，则()f x 是以4T a =为周期的周期函数. （5）函数()y f x =满足()()f a x f a x +=-（0a >），若()f x 为奇函数，则其周期为4T a =，若()f x 为偶函数，则其周期为2T a =.（6）若()()f a x f a x +=--且f(x)是偶函数,则()y f x =是周期为4a 的周期函数；若f(x) 是奇函数,则()y f x =是周期为2a 的周期函数。

（7）若函数()x f 在R 上满足()x a f x a f -=+)(，且()x b f x b f -=+)(（其中b a ≠），则函数()x f y =以()b a -2为周期.（8）若函数()x f 在R 上满足()x a f x a f --=+)(，且()x b f x b f --=+)(（其中b a ≠），则函数()x f y =以()b a -2为周期.（9）若函数()x f 在R 上满足()x a f x a f -=+)(，且()x b f x b f --=+)(（其中b a ≠），则函数()x f y =以()b a -4为周期. (10)1()1(()0)()f x f x f x a =-≠+，则()f x 的周期3T a =； (11)121212()()()1()()f x f x f x x f x f x ++=-且1212()1(()()1,0||2)f a f x f x x x a =⋅≠<-<，或()()f x a f x +=-－a 则()f x 的周期T=4a ；（证明方法：令12,x x x a ==）(13)()()()f x a f x f x a +=-+，则()f x 的周期6T a =. (14)周期函数具有无数多个周期，如果它的周期存在着最小正值，就叫做它的最小正周期.并不是任何周期函数都有最小正周期，如常量函数()()f x a x R =∈；(15)周期函数的定义域是无界的；(16)若T 为()y f x =的周期，则(0)nT n Z n ∈≠且也是()y f x =的周期(17)若函数()f x 恒满足()()f x a f x b +=+，则()f x 是周期函数，2a b -是它的一个周期；推论：若函数()f x 恒满足()()f x a f x b +=-+()a b ≠，则()f x 是周期函数，2a b -是它的一个周期；。

高中数学函数周期性总结

（ 4） y f ( x 3) 与 y f (3 x) 的图象关于直线 x 3 对称。
其中正确命题的序号为
。
11、若 f ( x) 为定义在 R 上的函数，且 f (10 x) f (10 x) ， f (20 x) f (20 x) ，则 f ( x) 为（
）
A．奇函数且周期函数；
B.
奇函数且非周期函数；
f(x)=C(C 为常数 ) 是周期函数吗？有最小正周期吗？三、抽象函数的周期总结
1、 f ( x T ) f ( x)
y f (x) 的周期为 T
2、 f ( x a) f (b x) (a b)
y f (x) 的周期为 T b a
3、 f ( x a) f (x)
y f ( x) 的周期为 T 2a
(C)1
(D)2
4、定义在 R 上的函数 f ( x) ，给出下列四个命题：
（ 1）若 f ( x) 是偶函数，则 f ( x 3) 的图象关于直线 x 3 对称
（ 2）若 f ( x 3) f (3 x), 则 f (x) 的图象关于点 (3,0) 对称
（ 3）若 f ( x 3) = f (3 x) ，且 f (x 4) f (4 x) ，则 f ( x) 的一个周期为 2。
11 、 y f (x) 有两个对称中心 (a,0) 和 (b,0)
y f (x) 周期 T 2(b a)
12 、 y f (x) 有一条对称轴 x a 和一个对称中心 (b,0) y f (x) 周期 T 4(b a)
13 、奇函数 y f ( x) 满足 f (a x) f (a x)
y f ( x) 周期 T 4a 。
f (x)
f ( x)

2024年高二数学函数基本性质知识总结（2篇）

2024年高二数学函数基本性质知识总结____年高二数学函数基本性质知识总结（____字）一、函数的定义和基本性质函数是一种特殊的关系，每一个自变量只对应一个因变量。

函数的定义包括定义域、值域、对应关系和表达式。

函数的基本性质包括单调性、奇偶性、周期性和界值性。

1.1 定义域和值域函数的定义域是自变量的取值范围，值域是因变量的取值范围。

定义域可以通过解不等式或考察定义域的连续性来确定。

值域可以通过求导或考察函数的图像来确定。

1.2 对应关系函数的对应关系决定了自变量和因变量之间的对应关系。

函数可以用图像、显式表达式、隐式表达式或递推关系来表示。

对应关系可以用一一对应、多对一或一对多来描述。

1.3 单调性一个函数的单调性是指函数在定义域上的变化趋势。

函数可以是上下单调递增、上下单调递减、左右单调递增或左右单调递减。

单调性可以通过求导数或摸底函数的上下凸性来判断。

1.4 奇偶性一个函数的奇偶性是指函数在定义域上的对称性。

一个函数是奇函数，当且仅当对于任意x，f(-x)=-f(x)。

一个函数是偶函数，当且仅当对于任意x，f(-x)=f(x)。

奇偶性可以通过观察函数的对称性或通过代入-x来判断。

1.5 周期性一个函数的周期性是指函数具有重复出现的规律。

周期函数满足f(x+T)=f(x)，其中T为函数的周期。

周期性可以通过观察函数的周期性或通过解函数的方程来判断。

1.6 界值性一个函数的界值性是指函数在定义域或值域上的极大值或极小值。

界值性可以通过求导数或考察函数的图像来判断。

二、高中数学中常见的函数高中数学中常见的函数包括常函数、一次函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数和反三角函数等。

2.1 常函数常函数是一个常数，其函数图像是一条平行于x轴的直线。

常函数的定义域是整个实数集，值域是只有一个值的数集。

2.2 一次函数一次函数是一个一次多项式，函数表达式为f(x)=ax+b，其中a 和b为常数，a称为斜率，b称为截距。

函数周期性结论总结

函数周期性结论总结在数学的广阔天地中，函数周期性是一个十分重要的概念。

它不仅在数学理论中有着关键地位，还在解决实际问题中发挥着巨大作用。

接下来，咱们就一起来深入探讨一下函数周期性的相关结论。

首先，咱们得明白啥是函数的周期性。

简单说，如果存在一个非零常数 T ，使得对于函数 f(x)定义域内的任意 x ，都有 f(x ＋ T) ＝ f(x) ，那么就称函数 f(x) 是周期函数，T 就是它的一个周期。

常见的周期函数有正弦函数 y ＝ sin x 和余弦函数 y ＝ cos x 。

正弦函数的周期是2π ，余弦函数的周期也是2π 。

这两个函数在数学和物理学等领域都有着广泛的应用，比如描述振动、波动等现象。

对于周期函数，有几个重要的结论需要牢记。

结论一：若函数 f(x) 的周期为 T ，那么 kT （k 为整数且k ≠ 0 ）也是它的周期。

这很好理解，因为如果 f(x ＋ T) ＝ f(x) ，那么 f(x ＋ 2T) ＝ f(（x＋ T) ＋ T) ＝ f(x ＋ T) ＝ f(x) ，依此类推，f(x ＋ kT) ＝ f(x) 。

结论二：若函数 f(x) 满足 f(x ＋ a) ＝ f(x) ，则函数 f(x) 的周期为2a 。

咱们来证明一下。

由 f(x ＋ a) ＝ f(x) ，可得 f(x ＋ 2a) ＝ f(（x ＋ a) ＋ a) ＝ f(x ＋ a) ＝ f(x) ，所以周期为 2a 。

结论三：若函数 f(x) 满足 f(x ＋ a) ＝ 1/f(x) ，则函数 f(x) 的周期为2a 。

同样来证明一下。

因为 f(x ＋ a) ＝ 1/f(x) ，所以 f(x ＋ 2a) ＝ f(（x ＋ a) ＋ a) ＝ 1/f(x ＋ a) ＝ f(x) ，即周期为 2a 。

结论四：若函数 f(x) 满足 f(x ＋ a) ＝ f(x ＋ b) （a ≠ b），则函数f(x) 的周期为 T ＝｜a b| 。

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