数据结构3(树形结构)

递归定义 二叉树是由“根节点”、“左子树”和“右子树” 三部分构成，则遍历二叉树的操作可分解 为“访问根节点”、“遍历左子树”和“遍历右 子树”三个子操作。 因此，不难得到三种遍历的递归定义：
– 先序遍历：访问根节点；先序遍历左子树；先序遍历 右子树； – 中序遍历：中序遍历左子树；访问根节点；中序遍历 右子树； – 后序遍历：后序遍历左子树；后序遍历右子树；访问 根节点。
二叉树的存储结构：链式存储结构（1）
typedef struct BiTNode { Lchild data Rchild ElemType data; struct BiTNode *Lchild, *Rchild; // 左、右孩子指针 } *BiTree;
二叉树的存储结构：链式存储结构（2） 上面链式结构只能从根向下找，无法直接获 得节点的父节点
– 启示：给定任意两种遍历序列，唯一确定这棵树。
先序遍历：递归伪代码
template<class T> void BinaryTree<T>::PreOrder(BinaryTreeNode<T>*root)｛ if(root!=NULL){ Visit(root); //访问根节点 PreOrder(root->leftchild()); //访问左子树 PreOrder(root->rightchild());//访问右子树 } ｝ 注：Visit(root)是个抽象操作，实际上，“访问”可以在该节点 上做任何操作。
中序遍历：递归伪代码
template<class T> void BinaryTree<T>::PreOrder(BinaryTreeNode<T>*root)｛ if(root!=NULL){ PreOrder(root->leftchild()); //访问左子树 Visit(root); //访问根节点 PreOrder(root->rightchild());//访问右子树 } ｝
完全二叉树编号的规律
有n个节点的二叉树，根节点标为0，即：0≤i≤n-1，对 编号为i的节点，我们有：
– – – – – 若：i=0，则该节点为根节点； 若：节点i有左后继，那么，该左后继节点编号为2i+1； 若：节点i有右后继，那么，该右后继节点编号为2i+2； 若：节点i有父节点，那么，该父节点编号为i/2-1； 不做理论证明，请通过右下角图验证。
树的基本概念（3）
节点的层次：从根开始定义起，根为第0层， 根的子节点为第1层，以此类推； 树的高度：二叉树中层数最大的叶节点的层数加1； 树的深度：二叉树中层数最大的叶节点的层数； 只有一个根节点的二叉树的高度为1，深度为0。
提醒：《数据结构》课程中树和图结构中的顶点称 为“节点”； 而《计算机网络》课程中的点称为 “结点”，希望同学们不要写错别字！
三种遍历的例子
先序遍历：ABDCEGFHI 中序遍历：DBAEGCHFI 后序遍历：DBGEHIFCA
题型：给定两个遍历序列，求树或第三个遍历序列
已知7 个节点的二叉树的先根遍历是1 2 4 5 6 3 7（数字为节点的编号，以下同），后根遍历 是4 6 5 2 7 3 1，画出这棵树(或问，该树的中 序遍历结果是什么？)
二叉树的五种基本形态
(a)空
(b)独根
(c)空右
(d)空左
(e)左右都不空
二叉树的特性
在二叉树的第i层上至多有2i个节点(i≥0,根为0层)。 深度为k的二叉树中至多含有2k+1-1 个节点(k≥0)。
– 用数学归纳法不难证明。
任何二叉树，度为0的节点比度为2的节点多一个
证明：设有n个节点的二叉树的度为0、1、2的节点数 分别为=n0，n1，n2，则 n = n 0 + n1 + n2 设边数为e。因为除根以外，每个节点都有一条边进入，故 n = e + 1。由于这些边是有度为1和2的的节点射出的， 因此e = n1+ 2·2，于是 n n = e + 1= n1 + 2·2 + 1 n 因此由公式（1）（2）得 n0 + n1 + n2 = n1 + 2·2 + 1 n 即 n 0 = n2 + 1
满二叉树 满二叉树：若二叉树中所有的分支节点的度 数都为2，且叶子节点都在同一层次上。
– 中国定义，我们以此为准。 – 隐含意思：每层都放满。
美国国家标准与技术研究院给出的定义是： 如果一颗二叉树上任何节点，或者是树叶， 或者恰有两颗非空子树，此二叉树就为满二 叉树。
– 国际上却参照此定义。 – 隐含意思：不存在仅含一颗子树的节点。
非递归实现：先序遍历伪代码
注意：先将右 子树推进栈
非递归实现：中序遍历 思想
– 遇到一个节点，就把它推入栈中，并去遍历它的左子 树；注意：此时不访问 – 遍历完左子树后，从栈顶托出这个节点并访问之，然 后按照它的右链接指示的地址再去遍历该节点的右子 树。
节点扩展标记位 在二叉树node结构里增加1个标记位tag记录该 节点状态，初始时：tag=0。
– tag=1，表示左子树已经访问，该访问右子树了；
– tag=2，表示左右子树均已经访问，该访问自己了。
非递归实现：后序遍历伪代码
树遍历非递归算法总结 非递归算法的写法有很多种，我们只是用统 一的框架来描述了这三种遍历
– 进栈出栈操作，出栈过程，我们根据需要设置标记位来 表明该节点的左(或右)子树是否被遍历。 – 希望同学们理解并熟记该框架，很多应用问题只需要改 变Visit(p)操作就可以实现。
– 根节点放到SqBiTree[0]，按照左后继、右后继依次存储； – 定位按照前面所述编号规律来进行，方便快捷； – 如果该树不是完全二叉树，将浪费存储空间。
const MAXSIZE = 100; // 暂定二叉树中节点数的最大值为100 typedef struct { ElemType *data; // 存储空间基址(初始化时分配空间) int nodeNum; // 二叉树中节点数 } SqBiTree; // 二叉树的顺序存储结构
– “正好”的含义：当且仅当(if and only if)
遍历一棵二叉树的过程实际上就是把二叉 树的节点放入一个线性序列的过程，或者 说把二叉树进行线性化。
– 树的遍历、图的遍历，是数据结构中最重要的议题。
三种遍历策略 先序遍历 中序遍历 后序遍历
同样重要，各有用处，有关树的90%的试题都是围绕 三种遍历展开。
树遍历的非递归实现 递归实现树遍历固然一目了然，但是，很多 应用问题难以用递归方法来解决；
非递归实现树遍历便于我们更精细的控制遍 历过程，灵活实现很多看似复杂的应用问题。
栈是实现递归最常用的结构，非递归实现需 要用到栈。
非递归实现：先序遍历
思想
– 遇到一个节点，就访问该节点，并把此节点推入栈中， 然后下降去遍历它的左子树； – 遍历完它的左子树后，从栈顶托出这个节点，并按照 它的右链接指示的地址再去周游该节点的右子树结构。
– tag=0，表示左子树未访问； – tag=1，表示左子树已经访问，该访问自己了。
typedef struct BiTNode { ElemType data; struct BiTNode *Lchild, *Rchild; // 左、右孩子指针 int tag=0; } *BiTree; Lchild data Rchild tag
提纲 二叉树 哈夫曼树 堆
二叉树
二叉树由节点的有限集合构成:
– 或者为空集 – 或者由一个根节点及两棵不相交的、分别称作这个根的左子
树和右子树的二叉树(它们也是节点的集合)组成
这是个递归的定义。二叉树可以是空集合，因 此根可以有空的左子树或右子树，或者左右子 树皆为空。
– 注：在二叉树中必须指明儿子节点是“左后继”还是“右后 继”，即便该节点只有一个后继。
0
1
2
3 7 8 9
4
5
6
上述推导的本质是等比数列通项和求和，很多 试题都围绕这些内容展开。
很多教材从1开始编号，即：根的层次为1，根 节点编号为1，上述特性和规律将发生细微变化。
请同学们课后仔细推导！
二叉树的存储结构 顺序存储结构 链式存储结构
二叉树的存储结构：顺序存储结构 用一组地址连续的存储单元存储二叉树中的 数据元素，这种方法仅适用于完全二叉树。
后序遍历：递归伪代码
template<class T> void BinaryTree<T>::PreOrder(BinaryTreeNode<T>*root)｛ if(root!=NULL){ PreOrder(root->leftchild()); //访问左子树 PreOrder(root->rightchild());//访问右子树 Visit(root); //访问根节点 } ｝
– 我们当然能够增加1个指向父节点的指针。
typedef struct TriTNode { ElemType data; struct BiTNode *Lchild, *Rchild; // 左、右孩子指针 struct BiTNode *parent; // 双亲指针 } *TriTree;
二叉树的遍历 遍历(周游)：系统地访问数据结构中的节点。 每个节点都正好被访问到一次。
二叉树遍历应用举例(1) 统计二叉树中叶子节点的数量
– 容易想到，实现这个操作只要对二叉树"遍历"一遍，并 在遍历过程中对"叶子节点计数"即可。显然这个遍历的次 序可以随意，即先序或中序或后序均可，只是为了在遍历 的同时进行计数，需要在算法的参数中设一个"计数器"。