平行四边形知识点总结附解析

平行四边形知识点总结附解析

一、解答题

1．如图，在Rt ABC 中，∠B ＝90°，AC ＝60cm ，∠A ＝60°，点D 从点C 出发沿CA 方向以4cm/s 的速度向点A 匀速运动．同时点E 从点A 出发沿AB 方向以2cm/秒的速度向点B 匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点D 、E 运动的时间是ts （0＜t≤15）．过点D 作DF ⊥BC 于点F ，连接DE ，EF ．

（1）求证：AE ＝DF ；

（2）四边形AEFD 能够成为菱形吗？如果能，求出相应的t 值，如果不能，说明理由； （3）当t 为何值时，DEF 为直角三角形？请说明理由．

2．如图，在Rt ABC ∆中，90ABC ∠=︒，30C ∠=︒，12AC cm =，点E 从点A 出发沿AB 以每秒1cm 的速度向点B 运动，同时点D 从点C 出发沿CA 以每秒2cm 的速度向点A 运动，运动时间为t 秒（06t <<），过点D 作DF BC ⊥于点F ．

（1）试用含t 的式子表示AE 、AD 、DF 的长；

（2）如图①，连接EF ，求证四边形AEFD 是平行四边形；

（3）如图②，连接DE ，当t 为何值时，四边形EBFD 是矩形？并说明理由．

3．在矩形ABCD 中，AE ⊥BD 于点E ，点P 是边AD 上一点，PF ⊥BD 于点F ，PA ＝PF ． （1）试判断四边形AGFP 的形状，并说明理由．

（2）若AB ＝1，BC ＝2，求四边形AGFP 的周长．

4．已知正方形ABCD ．

（1）点P 为正方形ABCD 外一点，且点P 在AB 的左侧，45APB ∠=︒．

①如图（1），若点P 在DA 的延长线上时，求证：四边形APBC 为平行四边形．

②如图（2），若点P 在直线AD 和BC 之间，以AP ，AD 为邻边作APQD □，连结AQ ．求∠PAQ 的度数．

（2）如图（3），点F 在正方形ABCD 内且满足BC=CF ，连接BF 并延长交AD 边于点E ，过点E 作EH ⊥AD 交CF 于点H ，若EH=3，FH=1，当13

AE CF =时．请直接写出HC 的长________．

5．如图，点P 是正方形ABCD 内的一点，连接,CP 将线段CP 绕点C 顺时针旋转90,︒得到线段,CQ 连接,BP DQ . ()1如图甲，求证：CBP CDQ ∠=∠；

()2如图乙，延长BP 交直线DQ 于点E .求证：BE DQ ⊥；

()3如图丙，若BCP 为等边三角形，探索线段,PD PE 之间的数量关系，并说明理由.

6．猜想与证明：如图①摆放矩形纸片ABCD 与矩形纸片ECGF ，使B ，C ，G 三点在一条直线上，CE 在边CD 上．连结AF ，若M 为AF 的中点，连结DM ，ME ，试猜想DM 与ME 的数量关系，并证明你的结论．

拓展与延伸：

(1)若将“猜想与证明”中的纸片换成正方形纸片ABCD 与正方形纸片ECGF ，其他条件不变，则DM 和ME 的关系为__________________；

(2)如图②摆放正方形纸片ABCD 与正方形纸片ECGF ，使点F 在边CD 上，点M 仍为AF 的中点，试证明(1)中的结论仍然成立．[提示：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半]

① ②

7．已知，如图，在三角形ABC ∆中，20AB AC cm ==，BD AC ⊥于D ，且16BD cm =．点M 从点A 出发，沿AC 方向匀速运动，速度为4/cm s ；同时点P 由B 点出发，沿BA 方向匀速运动，速度为1/cm s ，过点P 的动直线//PQ AC ，交BC 于点Q ，连结PM ，设运动时间为()t s ()05t <<，解答下列问题：

（1）线段AD =_________cm ；

（2）求证：PB PQ =；

（3）当t 为何值时，以P Q D M 、、、为顶点的四边形为平行四边形？

8．如图，在正方形ABCD 中，点E 是BC 边所在直线上一动点（不与点B 、C 重合），过点B 作BF ⊥DE ，交射线DE 于点F ，连接CF ．

（1）如图，当点E 在线段BC 上时，∠BDF=α．

①按要求补全图形；

②∠EBF =______________（用含α的式子表示）；

③判断线段 BF ，CF ，DF 之间的数量关系，并证明．

（2）当点E 在直线BC 上时，直接写出线段BF ，CF ，DF 之间的数量关系，不需证明．

9．已知：如下图，ABC 和BCD 中，90BAC BDC ∠=∠=，E 为BC 的中点，连接DE AE 、.若DC AE ，在DC 上取一点F ，使得DF DE =，连接EF 交AD 于O . （1）求证：EF DA ⊥. （2）若4,23BC AD ==，求EF 的长.

10．如图，在矩形ABCD 中，AB a ，BC b =，点F 在DC 的延长线上，点E 在AD 上，且有12

CBE ABF ∠=∠．

（1）如图1，当a b =时，若60CBE ∠=︒，求证：BE BF =；

（2）如图2，当32

b a =

时， ①请直接写出ABE ∠与BFC ∠的数量关系：_________；

②当点E 是AD 中点时，求证：2CF BF a +=；

③在②的条件下，请直接写出:BCF ABCD S S ∆矩形的值．

【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除

一、解答题

1．（1）证明见解析；（2）能，10；（3）

152，理由见解析； 【分析】

（1）利用题中所给的关系式，列出CD ，DF ，AE 的式子，即可证明．

（2）由题意知，四边形AEFD 是平行四边形，令AD=DF ，求解即可得出t 值．

（3）由题意可知，当DE ∥BC 时，△DEF 为直角三角形，利用AD+CD=AC 的等量关系，代入式子求值即可．

【详解】

（1）由题意知：三角形CFD 是直角三角形

∵∠B ＝90°，∠A ＝60°

∴∠C=30°，CD=2DF ，

又∵由题意知CD=4t ，AE=2t ，

∴CD=2AE

∴AE=DF ．

（2）能，理由如下；

由（1）知AE=DF

又∵DF ⊥BC ，∠B ＝90°

∴AE ∥DF

∴四边形AEFD 是平行四边形．

当AD=DF 时，平行四边形AEFD 是菱形

∵AC ＝60cm ，DF=12

CD ，CD=4t ， ∴AD=60-4t ，DF=2t ，

∴60-4t=2t

∴t=10．

（3）当t 为152

时，△DEF 为直角三角形，理由如下； 由题意知：四边形AEFD 是平行四边形，DF ⊥BC ，AE ∥DF ，

∴当DE ∥BC 时，DF ⊥DE

∴∠FDE=∠DEA=90°

在△AED 中，