平行四边形知识点总结附解析

合集下载

平行四边形的判定知识点小结

平行四边形的判定知识点小结

平行四边形的判定知识点小结一、平行四边形的判定方法。

1. 定义判定。

- 两组对边分别平行的四边形是平行四边形。

- 用符号语言表示:如果AB∥CD,AD∥BC,那么四边形ABCD是平行四边形。

这是平行四边形最基本的判定方法,它是从平行四边形的定义直接得出的。

2. 边的判定。

- 两组对边分别相等的四边形是平行四边形。

- 符号语言:若AB = CD,AD = BC,则四边形ABCD是平行四边形。

- 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。

- 符号语言:若AB∥CD且AB = CD(或者AD∥BC且AD = BC),则四边形ABCD 是平行四边形。

3. 角的判定。

- 两组对角分别相等的四边形是平行四边形。

- 符号语言:若∠A = ∠C,∠B = ∠D,则四边形ABCD是平行四边形。

4. 对角线的判定。

- 对角线互相平分的四边形是平行四边形。

- 符号语言:若OA = OC,OB = OD(其中O为对角线AC、BD的交点),则四边形ABCD是平行四边形。

二、平行四边形判定方法的证明思路。

1. 定义法证明。

- 一般通过已知条件中的平行关系,如角相等推出直线平行(同位角、内错角相等,两直线平行)等方法来证明两组对边分别平行。

- 例如:已知∠1 = ∠2,∠3 = ∠4,可推出AD∥BC,AB∥CD,从而证明四边形ABCD是平行四边形。

2. 边的判定证明。

- 对于两组对边分别相等的判定方法,通常利用三角形全等的知识来证明。

- 例如:连接AC,在△ABC和△CDA中,已知AB = CD,BC = DA,AC = CA(公共边),通过SSS(边 - 边 - 边)全等判定定理证明△ABC≌△CDA,进而得出∠1 = ∠2,∠3 = ∠4,所以AD∥BC,AB∥CD,四边形ABCD是平行四边形。

- 对于一组对边平行且相等的判定方法,可通过平移线段构造平行四边形或者利用三角形全等和平行线的判定来证明。

- 例如:已知AB∥CD且AB = CD,延长AB到E,使BE = CD,连接CE,可证明四边形BECD是平行四边形,从而得出BD∥CE,再结合已知条件证明四边形ABCD是平行四边形。

平行四边形知识点总结及对应例题.

平行四边形知识点总结及对应例题.

平行四边形、矩形、菱形、正方形知识点总结定义:两组对边分别平行的四边形是平行四边形平行四边形的性质:(1):平行四边形对边相等(即:AB=CD,AD=BC);(2):平行四边形对边平行(即:AB//CD,AD//BC);(3):平行四边形对角相等(即:∠A=∠C,∠B=∠D);(4):平行四边形对角线互相平分(即:O A=OC,OB=OD);判定方法:1. 两组对边分别平行的四边形是平行四边形(定义判定法);2. 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形;3. 两组对边分别相等的四边形是平行四边形;4. 对角线互相平分的四边形是平行四边形;5.两组对角分别相等的四边形是平行四边形;考点1 特殊的平行四边形的性质与判定1.矩形的定义、性质与判定(1)矩形的定义:有一个角是直角的平行四边形是矩形。

(2)矩形的性质:矩形的对角线_________;矩形的四个角都是________角。

矩形具有________的一切性质。

矩形是轴对称图形,对称轴有_____________条,矩形也是中心对称图形,对称中心为_____________的交点。

矩形被对角线分成了____________个等腰三角形。

(3)矩形的判定有一个是直角的平行四边形是矩形;有三个角是_____________的四边形是矩形;对角线_____的平行四边形是矩形。

温馨提示:矩形的对角线是矩形比较常用的性质,当对角线的夹角中,有一个角为60度时,则构成一个等边三角形;在判定矩形时,要注意利用定义或对角线来判定时,必须先证明此四边形为平行四边形,然后再请一个角为直角或对角线相等。

很多同学容易忽视这个问题。

2.菱形的定义、性质与判定(1)菱形的定义:有一组邻边相等的平行四边形是菱形。

(2)菱形的性质菱形的_______都相等;菱形的对角线互相_______,并且每一条对角线______一组对角;菱形也具有平行四边形的一切性质。

菱形即是轴对称图形,对称轴有____条。

平行四边形及特殊平行四边形知识点总结

平行四边形及特殊平行四边形知识点总结

平行四边形及特殊平行四边形知识点总结平行四边形、矩形、菱形、正方形的共同性质是:对边平行且相等,对角线相等。

其中,矩形还有一个特殊性质是有一个角为直角,菱形还有一个特殊性质是四条边相等,正方形则同时满足矩形和菱形的特殊性质。

2.判定方法小结:1)判定平行四边形的方法:①两组对边分别平行;②两组对边分别相等;③两组对角分别相等;④对角线互相平分;⑤一组对边平行且相等。

2)判定矩形的方法:①有一个角是直角;②对角线相等;③有三个角是直角;④对角线相等且互相平分。

3)判定菱形的方法:①有一组邻边相等;②对角线互相垂直;③四边都相等;④对角线互相垂直平分。

4)判定正方形的方法:①有一组邻边相等且有一个角是直角;②对角线互相垂直且相等;③对角线互相垂直平分且相等。

3.基础达标训练:1)两条对角线的四边形是平行四边形;2)两条对角线的四边形是矩形;3)两条对角线的四边形是菱形;4)两条对角线的四边形是正方形;5)两条对角线的平行四边形是矩形;6)两条对角线的平行四边形是菱形;7)两条对角线的平行四边形是正方形;8)两条对角线的矩形是正方形;9)两条对角线的菱形是正方形。

1.以不在同一直线上的三个点为顶点作平行四边形,最多能作1个。

2.若平行四边形的一边长为10cm,则它的两条对角线的长度可以是8cm和12cm。

3.在平行四边形ABCD中,直线通过两对角线交点O,分别与BC和AD相交于点E和F。

已知BC=7,CD=5,OE=2,则四边形ABEF的周长为多少?答案:C。

16解析:根据平行四边形的性质,AE=CD=5,BF=BC=7.由于OE=2,因此EF=BC-OE=5.所以ABEF是一个边长分别为5和7的矩形,周长为2(5+7)=16.4.如图,在矩形ABCD中,对角线AC、BD相交于点O,CE∥BD,DE∥AC,若AC=4,则四边形CODE的周长为多少?答案:B。

6解析:由于CE∥BD,DE∥AC,因此三角形AOD和BOC相似,三角形COE和DOE相似。

平行四边形专题详解

平行四边形专题详解

平行四边形专题详解18.1 平行四边形知识框架{基础知识点{ 平行四边形的定义平行四边形的性质平行四边形的判定定理三角形中位线定理典型题型{利用平行线的性质求角度平行线间距离的运用平行四边形的证明难点题型{平行四边形间距离的应用平行四边形有关的计算平行四边形的有关证明一、基础知识点知识点1 平行四边形的定义1)平行四边形的定义:两组对边分别平行的四边形。

平行四边形用“▱”表示,平行四边形ABCD 表示为“▱ABCD ”,读作“平行四边形ABCD ”注:只要满足对边平行的四边形都是平行四边形。

矩形、菱形、正方形都是特殊的平行四边形 2)平行四边形的高:一条边上任取一点作另一边的垂线,该垂线的长度称作平行四边形在该边上的高。

3)两条平行线之间的距离:一条直线上任一点到另一直线的距离。

平行线间距离处处相等。

例1.如图,AB ∥EG ,EF ∥BC ,AC ∥FG ,A ,B ,C 分别在EF ,EG 上,则图中有 个平行四边形,可分别记作 。

例2.如图,▱ABCD 中,DE ⊥AB ,BF ⊥CD ,垂足分别为E ,F .求证:BE=DF 。

例3.如图,a∥b,AB∥CD,CE⊥b,FG⊥b,点E,G为垂足,则下列说法错误的是()A.AB=CDB.CE=FGC.直线a,b之间的距离是线段AB的长D.直线a,b之间的距离是线段CE的长知识点2 平行四边形的性质平行四边形的性质,主要讨论:边、角、对角线,有时还会涉及对称性。

如下图,四边形ABCD是平行四边形:1)性质1(边):①对边相等;②,即:AB=CD,AD=BC;AB∥CD,AD∥BC2)性质2(角):对角相等,即:∠BAD=∠BCD,∠ABC=∠ADC3)性质3(对角线):对角线相互平分,即:AO=OC,BO=OD注:①平行四边形仅对角线相互平分,对角线不相等,即AC≠BD(矩形的对角线才相等);②平行四边形对角相等,但对角线不平分角,即∠DAO≠∠BAO(菱形对角线才平分角)4)性质4(对称性):平行四边形不是轴对称图形,是中心对称图形。

平行四边形知识点总结及分类练习题

平行四边形知识点总结及分类练习题

平行四边形知识点总结及分类练习题一、知识点总结平行四边形是几何学中一个重要的概念,其性质和判定方法对于理解几何学中的其他问题有着至关重要的作用。

以下是对平行四边形知识点的总结:1、定义:平行四边形是一个四边形,其中相对的两边平行且相等。

可以用符号“▭”表示。

2、性质:1)对边平行:平行四边形的对边平行且相等。

2)对角相等:平行四边形的对角相等,邻角互补。

3)平行四边形的面积等于其底乘高。

3.判定方法:1)两组对边分别平行的四边形是平行四边形。

2)两组对边分别相等的四边形是平行四边形。

3)一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。

4)对角线互相平分的四边形是平行四边形。

5)邻角互补的四边形是平行四边形。

4.特殊平行四边形:矩形、菱形和正方形都是特殊的平行四边形,它们分别具有以下性质:1)矩形:对角线相等,四个角都是直角。

2)菱形:对角线垂直且平分,四边相等。

3)正方形:对角线垂直且相等,四个角都是直角。

二、分类练习题1、选择题:1)下列哪个条件可以判定一个四边形为平行四边形?A.一组对边相等,一组对角相等B.一组对边平行,另一组对边相等C.一组对角相等,另一组对边平行D.一组对角相等,一组邻角互补答案:(C)一组对角相等,另一组对边平行。

因为一组对角相等,另一组对边平行的四边形可以由一组对边平行,另一组对边相等的四边形经过平移得到,因此选项C正确。

其他选项都不满足平行四边形的定义或判定方法。

2)下列哪个条件可以判定一个四边形为矩形?A.三个内角都是直角B.对角线相等且互相平分C.对角线互相垂直且平分D.一组对边平行且相等,一组邻角互补答案:(B)对角线相等且互相平分的四边形是矩形。

因为矩形的定义是对角线相等的平行四边形,而对角线相等且互相平分的四边形是平行四边形,因此选项B正确。

其他选项分别是矩形的定义或判定方法的一部分,但不足以单独判定一个四边形为矩形。

特殊平行四边形知识点总结及题型一、平行四边形的性质:1、平行四边形的对边平行且相等;2、平行四边形的对角相等;3、平行四边形的对角线互相平分。

平行四边形和梯形的知识点总结PPT

平行四边形和梯形的知识点总结PPT

矩形

定义
两组对边分别平行且相等的四边形是 矩形。
性质
判定
有三个角是直角的四边形是矩形;对 角线相等的平行四边形是矩形;有一 个角是直角的平行四边形是矩形。
矩形的四个角都是直角,对角线相等 且互相平分。
菱形
定义
四边都相等的四边形是菱形,或有一组邻边 相等的平行四边形是菱形。
性质
菱形的四条边都相等,对角线互相垂直且平 分每一组对角。
梯形中常见辅助线作法及解题思路
过梯形上底的一个顶点作下底的垂线,将梯 形划分为一个矩形和两个三角形,从而利用 矩形和三角形的性质求解问题。
过梯形对角线的交点作上下底的垂线,将梯 形划分为四个三角形,然后利用相似三角形 的性质求解问题。
延长梯形的两腰使之相交于一点,构造出一 个大的等腰三角形,然后利用等腰三角形的 性质求解问题。
05
典型例题解析与练习
例题一:平行四边形相关证明题
知识点
平行四边形的性质与判定
解析
通过已知条件,利用平行四边形的性质和判定定 理进行证明。
练习
给定一个四边形,证明它是平行四边形。
例题二:矩形、菱形、正方形综合题
01
02
03
知识点
矩形、菱形、正方形的性 质与判定
解析
结合已知条件,运用矩形 、菱形、正方形的性质和 判定定理进行综合分析和 解答。
梯形的表示方法
在平面直角坐标系中,可以通过三个顶点坐标确定一个梯形。一般形式为:梯形ABCD, 其中A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3),D(x4,y4)。需要注意的是,梯形的对角线不平行。
应用场景
利用平面直角坐标系表示平行四边形和梯形,可以方便地进行图形变换、求解面积等问题 。

平行四边形知识点总结

平行四边形知识点总结
且 DE 1 BC 。 2
③应用:在已知两边中点的条件下,证明线段的平行关系及线段的倍分关系。
特殊的平行四边形
知识点 1:矩形
1、矩形的定义: (1)定义:有一个角是直角的平行四边形叫做矩形,也就是长方形。 (2)两要素:四边形是平行四边形;有一个角是直角。两者缺一不可。 (3)矩形的对称性: ①矩形是轴对称图形,有两条对称轴且对复印件轴都是过对边中点的直线。 ②矩形是中心对称图形,对角线的交点为对称中心。
用三角形的面积公式可推得,菱形的面积等于它的对角线之积的一半。
知识点 3 正方形
1、正方形的定义:四条边都相等,四个角都是直角的四边形是正方形,所以,正方形既是矩形,又是 菱形。 2、正方形的性质:正方形既有矩形的性质,又有菱形的性质。 3、正方形的判定方法及应用
(1)正方形的判定 正方形的判定可以概括为以下五条: ①平行四边形+一组邻边相等+一个角为直角=正方形; ②矩形+一组邻边相等=正方形; ③矩形+对角线互相垂直=正方形; ④菱形+一个角为直角=正方形; ⑤菱形+对角线相等=正方形。
(1)性质:平行四边形的两组对角分别相等,邻角互补。 (2)符号语言:∵四边形 ABCD 是平行四边形,∴∠BAD=∠BCD,∠ABC=∠ADC;
∠ABC+∠BAD=180 ,∠ADC+∠BAD=180
2、对角线
(1)、性质:平行四边形的对角线互相平分。
(2)、符号语言:∵四边形 ABCD 是平行四边形,∴ OA OC 1 AC, OB OD 1 BD 。
矩形
四 两组对边 边 形 分别平形
平行四 边形
有一组邻边相等并且有一个角是直角 菱形
正方形

平行四边形知识点总结

平行四边形知识点总结

平行四边形知识点总结平行四边形是基础几何概念之一,在学习几何学的过程中扮演着重要的角色。

本文将对平行四边形的定义、特性以及相关定理进行总结。

希望通过本文的阅读,你能够对平行四边形有更深入的了解。

一、定义平行四边形是指具有两组对边分别平行的四边形。

这两组对边分别被称为“对边”,而共享一个顶点的对边称为“相邻边”。

平行四边形的特点是相对的边是平行的,对边长度相等,对角线互相平分。

二、性质1. 相对边平行:平行四边形的两组相对边都互相平行,即AB || CD,AD || BC。

2. 对边相等:平行四边形的对边长度相等,即AB = CD,AD = BC。

3. 内角和为180度:平行四边形的内角和等于180度,即∠A +∠B + ∠C + ∠D = 180度。

4. 对角线互相平分:平行四边形的对角线互相平分,即AC平分BD,BD平分AC。

5. 对角线长度关系:平行四边形的对角线长度满足AC²+BD²=2(AB²+BC²)。

三、定理1. 平行四边形的性质定理:如果一个四边形的两组对边分别平行,则它是一个平行四边形。

2. 平行四边形的性质定理的逆定理:如果一个四边形的两组对边长度相等且对边互相平行,则它是一个平行四边形。

3. 平行四边形的对角线定理:平行四边形的对角线互相平分,对角线长度满足AC²+BD²=2(AB²+BC²)。

4. 平行四边形的对角线长度定理:平行四边形的对角线长度满足AC=√(AB²+BC²),BD=√(AB²+CD²)。

四、实例分析例题1:已知ABCD为平行四边形,AB=6cm,BC=8cm,BD=10cm,求AC的长度。

解析:根据平行四边形的对角线长度定理,可以得到AC=√(AB²+BC²)=√(6²+8²)=√(36+64)=√100=10cm。

平行四边形的性质与运算知识点总结

平行四边形的性质与运算知识点总结

平行四边形的性质与运算知识点总结平行四边形是几何形状中的一种特殊形式,具有一些独特的性质和运算特点。

本文将对平行四边形的性质和相关的运算知识点进行总结。

一、平行四边形的定义和性质1. 定义:平行四边形是具有两对对边分别平行的四边形。

2. 性质:a) 对边平行性质:平行四边形的对边是平行的,即如果一对对边平行,则另一对对边也必定平行。

b) 对角线性质:平行四边形的对角线相交于一点,且对角线互相平分。

c) 对边长度性质:平行四边形的对边长度相等。

d) 内角和性质:平行四边形的内角和为180度。

e) 对顶角性质:平行四边形的对顶角相等,即相邻的内角互补。

二、平行四边形的运算知识点1. 周长计算:平行四边形的周长等于各边长度的和。

如果已知平行四边形的一边长度和对角线长度,可以通过相应的运算公式计算周长。

2. 面积计算:平行四边形的面积可以通过底边长度和高的乘积来计算。

即面积 = 底边长度 ×高,其中高是垂直于底边且与底边的长度相等。

3. 直角条件:当平行四边形的对边相等时,可以推断出该平行四边形是矩形,即具有四个直角。

4. 平方差公式:平行四边形的平方差公式表示了平行四边形各边长度平方的差等于对角线长度平方的差。

如若平行四边形的一对对边平行,其对角线长度分别为d1和d2,对边长度分别为a和b,则有 a^2 -b^2 = d1^2 - d2^2。

5. 平行四边形的判定:判定一个四边形是否是平行四边形的一种方法是通过判定其对边是否平行。

若对边平行,则可以得出该四边形为平行四边形。

综上所述,平行四边形具有对边平行、对角线互相平分、对边长度相等、内角和为180度、对顶角相等等性质。

在运算方面,可以通过周长计算、面积计算、直角条件、平方差公式等方式进行运算和判定。

平行四边形是几何学中常见的形状,对于解决几何问题具有重要的意义。

此外,学习平行四边形的性质和运算,还可以扩展到其他几何形状的学习中,提高几何推理和问题解决的能力。

平行四边形知识点总结

平行四边形知识点总结

平行四边形知识点总结平行四边形是一种特殊的四边形,具有许多独特的性质和规律。

本文将对平行四边形的定义、性质以及相关定理进行总结和论述,以加深对平行四边形的理解。

一、定义平行四边形是指具有两组平行的对边的四边形。

它的特点是四条边两两平行。

二、性质1. 对角线性质:平行四边形的对角线互相平分,即对角线交点处是对角线的中点。

2. 边性质:平行四边形的相对边长相等,即对边对应边长相等。

3. 角性质:平行四边形的对角线所夹的两个内角互补,即它们的和为180度。

4. 对边关系:平行四边形的对边互为补角,即相邻内角的和为180度。

5. 直角性质:如果平行四边形的一个角为直角,则它的所有角均为直角。

三、常见定理1. 平行四边形的对边平行定理:平行四边形的对边互相平行。

2. 平行四边形的对边等长定理:平行四边形对边的长度相等。

3. 平行四边形的对角线互相平分定理:平行四边形的对角线互相平分,交点是对角线的中点。

4. 平行四边形的内角和定理:平行四边形的相邻内角和为180度。

5. 平行四边形的补角关系定理:平行四边形的对边互为补角。

四、推论1. 平行四边形的一组对边平行,则另一组对边也平行。

2. 平行四边形的一组对边等长,则另一组对边也等长。

3. 平行四边形的一组对边互相垂直,则另一组对边也互相垂直。

五、例题解析1. 已知ABCD是平行四边形,AC的中点为E,连接BE,证明BE 平分CD。

解析:由平行四边形的对角线互相平分定理可知,BE平分CD。

2. 在平行四边形ABCD中,已知AD=BC,AC的中点为E,连接BE,证明BE平行AD。

解析:由平行四边形的对边等长定理可知,AD=BC,而AC的中点为E,连接BE,则BE平行AD。

3. 平行四边形ABCD中,角A的补角为20度,求角C的度数。

解析:平行四边形的补角关系定理告诉我们,平行四边形的对边互为补角,所以角C的补角也为20度,角C的度数为180度减去20度,得160度。

(完整版)平行四边形知识点总结,推荐文档

(完整版)平行四边形知识点总结,推荐文档

① 有一组邻边相等 且有一个直角 的平行四边形
② 有一组邻边相等 的矩形;
③ 对角线互相垂直 的矩形.
④ 有一个角是直角 的菱形
⑤ 对角线相等 的菱形;
(4)等腰梯形的判定:满足下列条件之一的梯形是等腰梯形
① 同一底两个底角相等的梯形;
② 对角线相等的梯形.
4.几种特殊四边形的常用说理方法与解题思路分析 (1)识别矩形的常用方法 ① 先说明四边形 ABCD 为平行四边形,再说明平行四边形 ABCD 的任意一个角为直角. ② 先说明四边形 ABCD 为平行四边形,再说明平行四边形 ABCD 的对角线相等. ③ 说明四边形 ABCD 的三个角是直角. (2)识别菱形的常用方法 ① 先说明四边形 ABCD 为平行四边形,再说明平行四边形 ABCD 的任一组邻边相等. ② 先说明四边形 ABCD 为平行四边形,再说明对角线互相垂直. ③ 说明四边形 ABCD 的四条相等. (3)识别正方形的常用方法 ① 先说明四边形 ABCD 为平行四边形,再说明平行四边形 ABCD 的一个角为直角且有一组邻边相等. ② 先说明四边形 ABCD 为平行四边形,再说明对角线互相垂直且相等. ③ 先说明四边形 ABCD 为矩形,再说明矩形的一组邻边相等. ④ 先说明四边形 ABCD 为菱形,再说明菱形 ABCD 的一个角为直角. (4)识别等腰梯形的常用方法 ① 先说明四边形 ABCD 为梯形,再说明两腰相等. ② 先说明四边形 ABCD 为梯形,再说明同一底上的两个内角相等. ③ 先说明四边形 ABCD 为梯形,再说明对角线相等. 5.几种特殊四边形的面积问题 ① 设矩形 ABCD 的两邻边长分别为 a,b,则 S 矩形=ab.
2
平行四边形
矩形
菱形
正方形

(完整版)第十八章平行四边形知识点总结

(完整版)第十八章平行四边形知识点总结

第1页 共4页 ◎ 第2页 共4页}第十八章 平行四边形知识点总结考点题型分析:证明线段相等:①证明线段所在的两个三角形全等;②在同一个三角形中,利用等角对等边;一.平行四边形1.(1)定义:两组对边分别平行的四边形是平行四边形.(2)表示方法:,平行四边形ABCD 记作,读作“平行四边形ABCD ”.2.性质:(1)角:平行四边形的邻角互补,对角相等;(2)边:两组对边分别平行且相等;(3)对角线:对角线互相平分;(4)面积:①S ==⨯底高ah ;②对角线将四边形分成4个面积相等的三角形. 3.平行四边形的判别及证明四边形是平行四边形:方法有(5种)①定义:两组对边分别平行 ②方法1:两组对角分别相等③方法2:两组对边分别相等 的四边形是平行四边形 ④方法3:对角线互相平分⑤方法4:一组对边平行且相等二、矩形:(1)定义:有一个角是直角 的平行四边形 是矩形。

注意条件:① 平行四边形; ② 一个角是直角,两者缺一不可.(2)矩形性质:①边:对边平行且相等; ②角:对角相等、邻角互补;③对角线:对角线互相平分且相等;④对称性:轴对称图形(对边中点连线所在直线,2条). (3)矩形的判定及证明四边形是矩形:方法有(3种)①有一个角是直角的平行四边形;②对角线相等的平行四边形; ③四个角都相等三、菱形:(1)菱形的定义:有一组邻边相等 的平行四边形 是菱形。

注意把握:① 平行四边形;② 一组邻边相等,两者缺一不可. (2)菱形:①边:四条边都相等;②角:对角相等、邻角互补;③对角线:对角线互相垂直平分且每条对角线平分每组对角; ④对称性:轴对称图形(对角线所在直线,2条).(2)(2)菱形的判定及证明四边形是菱形:方法有(3种)①有一组邻边相等的平行四边形; ②对角线互相垂直的平行四边形; ③四条边都相等.四、正方形:(1)定义:有一组邻边相等且有一个直角 的平行四边形 叫做正方形。

它既是平行四边形,还是菱形,也是矩形,它兼有这三者的特征,是一种非常完美的图形.(2)正方形性质:①边:四条边都相等; ②角:四角相等;③对角线:对角线互相垂直平分且相等,对角线与边的夹角为450; ④对称性:轴对称图形(4条).(3)正方形的判定及证明四边形是正方形:方法有(5种)① 有一组邻边相等 且有一个直角 的平行四边形 ② 有一组邻边相等 的矩形;③ 对角线互相垂直 的矩形. ④ 有一个角是直角 的菱形 ⑤ 对角线相等 的菱形;2.几种特殊四边形的面积问题① 设矩形ABCD 的两邻边长分别为a,b ,则S 矩形=ab .② 设菱形ABCD 的一边长为a ,高为h ,则S 菱形=ah ;若菱形的两对角线的长分别为a,b ,则S 菱形=12ab . ③ 设正方形ABCD 的一边长为a ,则S 正方形=2a ;若正方形的对角线的长为a ,则S 正方形=212a . ④ 设梯形ABCD 的上底为a ,下底为b ,高为h ,则S 梯形=1()2a b h +. 五、梯形:(选学)(1)定义:一组对边平行而另一组对边不平行的四边形叫做梯形。

中考数学平行四边形知识归纳总结附解析

中考数学平行四边形知识归纳总结附解析

中考数学平行四边形知识归纳总结附解析一、选择题1.如图,正方形ABCD 的对角线AC ,BD 相交于点O ,E 是AC 上的一点,且AB=AE ,过点A 作AF ⊥BE ,垂足为F ,交BD 于点G ,点H 在AD 上,且EH ∥AF.若正方形ABCD 的边长为2,下列结论:①OE=OG ;②EH=BE ;③AH=222-,其中正确的有( )A .0个B .1个C .2个D .3个2.如图,已知△ABC 中,∠ACB =90°,AC =BC =2,将直角边AC 绕A 点逆时针旋转至AC ′,连接BC ′,E 为BC ′的中点,连接CE ,则CE 的最大值为( ).A .5B .21+C .21+D .512+ 3.如图,正方形ABCD 和正方形CEFG 中,..BC E 三点在同一直线上,点D 在CG 上.1,3BC CE ==,连接,AF H 是AF 的中点,连接CH ,那么CH 的长是( )A 5B .5C 32D .424.如图,正方形ABCD 的边长为1,顺次连接正方形ABCD 四边的中点得到第一个正方形1111D C B A ,又顺次连接正方形1111D C B A 四边中点得到第二个正方形2222A B C D ,……,以此类推,则第六个正方形6666A B C D 的面积是( )A .164B .116C .132D .185.如图,正方形ABCD 的边长为5,4AG CH ==,3BG DH ==,连接GH ,则线段GH 的长为( )A .435B .75 C .2 D .52-6.如图,四边形ABCD 是平行四边形,点E 是边CD 上一点,且BC =EC ,CF ⊥BE 交AB 于点F ,P 是EB 延长线上一点,下列结论:①BE 平分∠CBF ;②CF 平分∠DCB ;③BC =FB ;④PF =PC .其中正确结论的个数为( )A .1B .2C .3D .47.如图,平行四边形ABCD 中,AB=18,BC =12,∠DAB =60°,E 在AB 上,且AE :EB =1:2,F 是BC 的中点,过D 分别作DP ⊥AF 于P ,DQ ⊥CE 于Q ,则下列结论正确的个数是( )(1)CE 平分∠BCD ;(2)AF=CE ;(3)连接DE 、DF ,则ADF CDE SS ∆=;(4)DP :DQ=313A .4个B .3个C .2个D .1个8.如图所示,在四边形ABCD 中,AD BC =,E 、F 分别是AB 、CD 的中点,AD 、BC 的延长线分别与EF 的延长线交于点H 、G ,则( )A .AHE BGE ∠>∠B .AHE BGE ∠=∠C .AHE BGE ∠<∠D .AHE ∠与BGE ∠的大小关系不确定9.如图,矩形ABCD 的对角线AC 、BD 交于点O ,点P 在边AD 上从点A 到点D 运动,过点P 作PE ⊥AC 于点E ,作PF ⊥BD 于点F ,已知AB=3,AD=4,随着点P 的运动,关于PE+PF 的值,下面说法正确的是( )A .先增大,后减小B .先减小,后增大C .始终等于2.4D .始终等于310.如图,在平行四边形ABCD 中,对角线AC ,BD 交于点O ,2BD AD =,点E ,F ,G 分别是OA ,OB ,CD 的中点,EG 交FD 于点H ,下列4个结论中说法正确的有( )①ED CA ⊥;②EF EG =;③12FH FD =;④12EFD ACD S S =△△.A .①②B .①②③C .①③④D .①②③④二、填空题11.如图,四边形ABCD ,四边形EBFG ,四边形HMPN 均是正方形,点E 、F 、P 、N 分别在边AB 、BC 、CD 、AD 上,点H 、G 、M 在AC 上,阴影部分的面积依次记为1S ,2S ,则12:S S 等于__________.12.如图,ABC ∆是边长为1的等边三角形,取BC 边中点E ,作//ED AB ,//EF AC ,得到四边形EDAF ,它的周长记作1C ;取BE 中点1E ,作11//E D FB ,11//E F EF ,得到四边形111E D FF ,它的周长记作2C .照此规律作下去,则2020C =______.13.如图,在菱形ABCD 中,AB 的垂直平分线EF 交对角线AC 于点F ,垂足为点E ,若27CDF ∠=︒,则DAB ∠的度数为____________.14.如图正方形 ABCD 中,E 是 BC 边的中点,将△ABE 沿 AE 对折至△AFE ,延长 EF 交 CD 于 G ,接 CF ,AG .下列结论:① AE ∥FC ; ②∠EAG = 45°,且BE + DG = EG ;③ABCD 19CEF S S ∆=正方形;④ AD = 3DG ,正确是_______ (填序号).15.如图,四边形纸片ABCD 中,AB BC =, 90ABC ADC ∠=∠=︒.若该纸片的面积为10 cm 2,则对角线BD =______cm .16.如图,有一张矩形纸条ABCD,AB=10cm,BC=3cm,点M,N分别在边AB,CD上,CN=1cm.现将四边形BCNM沿MN折叠,使点B,C分别落在点B',C'上.在点M从点A运动到点B的过程中,若边MB'与边CD交于点E,则点E相应运动的路径长为_____cm.17.如图,直线1l,2l分别经过点(1,0)和(4,0)且平行于y轴.OABC的顶点A,C 分别在直线1l和2l上,O是坐标原点,则对角线OB长的最小值为_________.18.如图,在Rt△ABC中,∠BAC=90°,AB=8,AC=6,以BC为一边作正方形BDEC设正方形的对称中心为O,连接AO,则AO=_____.19.定理:直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半,即:如图1,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,若点D是斜边AB的中点,则CD=12AB,运用:如图2,△ABC中,∠BAC=90°,AB=2,AC=3,点D是BC的中点,将△ABD沿AD翻折得到△AED连接BE,CE,DE,则CE的长为_____.20.如图,在△ABC中,AB=AC,E,F分别是BC,AC的中点,以AC为斜边作Rt△ADC,若∠CAD=∠BAC=45°,则下列结论:①CD∥EF;②EF=DF;③DE平分∠CDF;④∠DEC=30°;⑤AB=2CD;其中正确的是_____(填序号)三、解答题21.已知,四边形ABCD是正方形,点E是正方形ABCD所在平面内一动点(不与点D重合),AB=AE,过点B作DE的垂线交DE所在直线于F,连接CF.提出问题:当点E运动时,线段CF与线段DE之间的数量关系是否发生改变?探究问题:(1)首先考察点E的一个特殊位置:当点E与点B重合(如图①)时,点F与点B也重合.用等式表示线段CF与线段DE之间的数量关系:;(2)然后考察点E的一般位置,分两种情况:情况1:当点E是正方形ABCD内部一点(如图②)时;情况2:当点E是正方形ABCD外部一点(如图③)时.在情况1或情况2下,线段CF与线段DE之间的数量关系与(1)中的结论是否相同?如果都相同,请选择一种情况证明;如果只在一种情况下相同或在两种情况下都不相同,请说明理由;拓展问题:(3)连接AF,用等式表示线段AF、CF、DF三者之间的数量关系:.22.如图,在Rt ABC中,∠B=90°,AC=60cm,∠A=60°,点D从点C出发沿CA方向以4cm/s的速度向点A匀速运动.同时点E从点A出发沿AB方向以2cm/秒的速度向点B 匀速运动,当其中一个点到达终点时,另一个点也随之停止运动.设点D、E运动的时间是ts(0<t≤15).过点D作DF⊥BC于点F,连接DE,EF.(1)求证:AE=DF;(2)四边形AEFD能够成为菱形吗?如果能,求出相应的t值,如果不能,说明理由;(3)当t为何值时,DEF为直角三角形?请说明理由.23.如图,在菱形ABCD中,AB=2cm,∠ADC=120°.动点E、F分别从点B、D同时出发,都以0.5cm/s的速度向点A、C运动,连接AF、CE,分别取AF、CE的中点G、H.设运动的时间为ts (0<t<4).(1)求证:AF∥CE;(2)当t为何值时,△ADF的面积为32cm2;(3)连接GE、FH.当t为何值时,四边形EHFG为菱形.24.如图1,已知四边形ABCD 是正方形,E 是对角线BD 上的一点,连接AE ,CE .(1)求证:AE =CE ;(2)如图2,点P 是边CD 上的一点,且PE ⊥BD 于E ,连接BP ,O 为BP 的中点,连接EO .若∠PBC =30°,求∠POE 的度数;(3)在(2)的条件下,若OE =2,求CE 的长.25.我们知道平行四边形有很多性质,现在如果我们把平行四边形沿着它的一条对角线翻折,会发现这其中还有更多的结论.(发现与证明..)ABCD 中,AB BC ≠,将ABC ∆沿AC 翻折至'AB C ∆,连结'B D . 结论1:'AB C ∆与ABCD 重叠部分的图形是等腰三角形;结论2:'B D AC .试证明以上结论.(应用与探究)在ABCD 中,已知2BC =,45B ∠=,将ABC ∆沿AC 翻折至'AB C ∆,连结'B D .若以A 、C 、D 、'B 为顶点的四边形是正方形,求AC 的长.(要求画出图形)26.如图①,已知正方形ABCD 中,E ,F 分别是边AD ,CD 上的点(点E ,F 不与端点重合),且AE=DF ,BE ,AF 交于点P ,过点C 作CH ⊥BE 交BE 于点H .(1)求证:AF ∥CH ;(2)若AB=23 ,AE=2,试求线段PH 的长;(3)如图②,连结CP 并延长交AD 于点Q ,若点H 是BP 的中点,试求 CP PQ的值. 27.矩形ABCD 中,AB =3,BC =4.点E ,F 在对角线AC 上,点M ,N 分别在边AD ,BC 上.(1)如图1,若AE =CF =1,M ,N 分别是AD ,BC 的中点.求证:四边形EMFN 为矩形. (2)如图2,若AE =CF =0.5,02AM CN x x ==<<(),且四边形EMFN 为矩形,求x 的值.28.已知,如图,在三角形ABC ∆中,20AB AC cm ==,BD AC ⊥于D ,且16BD cm =.点M 从点A 出发,沿AC 方向匀速运动,速度为4/cm s ;同时点P 由B 点出发,沿BA 方向匀速运动,速度为1/cm s ,过点P 的动直线//PQ AC ,交BC 于点Q ,连结PM ,设运动时间为()t s ()05t <<,解答下列问题:(1)线段AD =_________cm ;(2)求证:PB PQ =;(3)当t 为何值时,以P Q D M 、、、为顶点的四边形为平行四边形?29.如图,ABC ADC ∆≅∆,90,ABC ADC AB BC ︒∠=∠==,点F 在边AB 上,点E 在边AD 的延长线上,且,DE BF BG CF =⊥,垂足为H ,BH 的延长线交AC 于点G .(1)若10AB =,求四边形AECF 的面积;(2)若CG CB =,求证:2BG FH CE +=.30.如图,在四边形OABC 是边长为4的正方形点P 为OA 边上任意一点(与点O A 、不重合),连接CP ,过点P 作PM CP ⊥,且PM CP =,过点M 作MN AO ∥,交BO 于点,N 联结BM CN 、,设OP x =.(1)当1x =时,点M 的坐标为( , )(2)设CNMB S y =四形边,求出y 与x 的函数关系式,写出函数的自变量的取值范围.(3)在x 轴正半轴上存在点Q ,使得QMN 是等腰三角形,请直接写出不少于4个符合条件的点Q 的坐标(用x 的式子表示)【参考答案】***试卷处理标记,请不要删除一、选择题1.D解析:D【分析】根据正方形的性质及全等三角形的判定与性质即可分别求证判断.【详解】在正方形ABCD 中,AO=BO ,∠AOG=∠BOE ,AC ⊥BD∵AF ⊥BE ,∴∠EAF+∠BEO=∠BEO+∠OBE=90°,∴∠OAG=∠OBE ,∴△OAG ≌△OBE ,故OE=OG ,①正确;∵AB=AE,∴∠ABE=∠AEB ,∵EH ∥AF ∴HE ⊥BE ,∴∠AEF+∠AEH=∠ABE+∠CBE,∴∠AEH=∠CBE又∵AE=AB=CB,∠HAE=∠ECB=45°,∴△AEH ≌△CBE ,∴EH=BE ,②正确;∵△AEH ≌△=∴AH=CE=AC-AE=,③正确.故选D【点睛】此题主要考查正方形的性质与线段的证明,解题的关键是熟知正方形的性质定理及全等三角形的判定与性质.2.B解析:B【分析】取AB 的中点M ,连接CM ,EM ,当CE =CM +EM 时,CE 的值最大,根据旋转的性质得到AC ′=AC =2,由三角形的中位线的性质得到EM 12=AC ′=1,根据勾股定理得到AB =,即可得到结论.【详解】取AB 的中点M ,连接CM ,EM ,∴当CE =CM +EM 时,CE 的值最大.∵将直角边AC 绕A 点逆时针旋转至AC ′,∴AC ′=AC =2.∵E 为BC ′的中点,∴EM 12=AC ′=1. ∵∠ACB =90°,AC =BC =2,∴AB =,∴CM 12=AB =CE =CM +EM 1=. 故选B .【点睛】本题考查了旋转的性质,直角三角形的性质,三角形的中位线的性质,正确的作出辅助线是解题的关键.3.A解析:A【分析】如下图,根据点H是AF的中点和HM∥FE,可得HP是△ANF的中位线,四边形MPNE是矩形,再根据中位线的性质和矩形的性质,可推导求得HM、CM的长,在Rt△HCM中求CH 即可【详解】如下图,过点H作BE的垂线,交BE于点M,延长AD交FE于点N,交HM于点P∵四边形ABCD、CEFG是正方形,∴AD⊥EF,∠E=90°∵HM⊥BE∴四边形PMEN是矩形∵BC=1,CE=3∴NE=1,∴FN=2,PM=1∵HM⊥BE,FE⊥BE,点H是AF的中点∴HM是△ANF的中位线∴HP=12EF=1,AP=PN=2∴CM=1∴在Rt△CHM 中,CH=5 故选:A 【点睛】 本题考查正方形的性质和三角形中位线定理,解题关键是将梯形ABEF 分割成矩形和三角形的形式,然后才可利用三角形中位线定理. 4.A解析:A【分析】计算前三个正方形的面积从而得出一般规律求解.【详解】顺次连接正方形ABCD 四边的中点得到第一个正方形1111D C B A则正方形1111D C B A 的面积为11122⨯= 正方形2222A B C D 的面积为111224⨯= 正方形3333A B C D 的面积为11112228⨯⨯= 正方形n n n n A B C D 的面积为11()22n n= 根据规律可得,第六个正方形6666A B C D 的面积为66111()2264== 【点睛】 本题考查了特殊正方形中的面积计算,解题的关键在于找出规律,根据规律求解.5.C解析:C【分析】延长BG 交CH 于点E ,根据正方形的性质证明△ABG ≌△CDH ≌△BCE ,可得GE=BE-BG=1,HE=CH-CE=1,∠HEG=90°,由勾股定理可得GH 的长.【详解】解:如图,延长BG 交CH 于点E ,在△ABG 和△CDH 中,AB CD AG CH BG DH =⎧⎪=⎨⎪=⎩,∴△ABG ≌△CDH (SSS ),AG 2+BG 2=AB 2,∴∠1=∠5,∠2=∠6,∠AGB=∠CHD=90°,∴∠1+∠2=90°,∠5+∠6=90°,又∵∠2+∠3=90°,∠4+∠5=90°,∴∠1=∠3=∠5,∠2=∠4=∠6,在△ABG 和△BCE 中,1324AB BC ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩,∴△ABG ≌△BCE (ASA ),∴BE=AG=4,CE=BG=3,∠BEC=∠AGB=90°,∴GE=BE -BG=4-3=1,同理可得:HE=1,在Rt △GHE 中,GH=2222112GE EH +=+=,故选:C.【点睛】本题主要考查正方形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理及其逆定理的综合运用,通过证三角形全等得出△GHE 为等腰直角三角形是解题的关键.6.D解析:D【分析】分别利用平行线的性质结合线段垂直平分线的性质以及等腰三角形的性质分别判断得出答案.【详解】证明:如图:∵BC =EC ,∴∠CEB =∠CBE ,∵四边形ABCD 是平行四边形,∴∠CEB =∠EBF ,∴∠CBE =∠EBF ,∴①BE 平分∠CBF ,正确;∵BC =EC ,CF ⊥BE ,∴∠ECF =∠BCF ,∴②CF 平分∠DCB ,正确;∵DC ∥AB ,∴∠DCF =∠CFB ,∵∠ECF =∠BCF ,∴∠CFB =∠BCF ,∴BF =BC ,∴③正确;∵FB =BC ,CF ⊥BE ,∴B 点一定在FC 的垂直平分线上,即PB 垂直平分FC ,∴PF =PC ,故④正确.故选:D .【点睛】此题主要考查了平行四边形的性质以及线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质等知识,正确应用等腰三角形的性质是解题关键.7.B解析:B【分析】由平行四边形ABCD 中,AB=18,BC =12,AE :EB =1:2,得EB= BC ,结合AB ∥CD ,即可判断(1);过点F 作FM ⊥AB 交AB 的延长线于点M ,在Rt ∆AMF 中,利用勾股定理求出AF=∆BCE 中,求出CE 的值,即可判断(2);由12A DF BCD A S S =,12A DE BCD C S S =,即可判断(3);由1122AF DP CE DQ ⋅=⋅,即可判断(4). 【详解】 ∵平行四边形ABCD 中,AB=18,BC =12,AE :EB =1:2,∴EB= BC =12,∴∠BEC=∠BCE ,∵AB ∥CD ,∴∠BEC=∠DCE ,∴∠BCE=∠DCE ,∴CE 平分∠BCD ,∴(1)正确;过点F 作FM ⊥AB 交AB 的延长线于点M ,∴∠CBM=∠DAB =60°,∠BFM=30°,∵F 是BC 的中点,∴BF=12BC=6, ∴BM=12BF=3,FM=3BM=33, ∴AM=18+3=21, ∴AF=222221(33)613AM FM +=+=,∵EB= BC =12,∠ABC=180°-60°=120°,∴CE=3×BC=123,∴AF ≠CE ,∴(2)错误;∵在平行四边形ABCD 中,12A DF BCD A SS =,12A DE BCD C S S =, ∴ADF CDE S S ∆=,∴(3)正确; ∵DP ⊥AF ,DQ ⊥CE ,ADF CDE SS ∆= ∴1122AF DP CE DQ ⋅=⋅, ∴DP :DQ=CE :AF=23:13,∴(4)正确.故答案是:B .【点睛】本题主要考查平行四边形的性质,含30°角的直角三角形的性质以及勾股定理,添加辅助线构造直角三角形,是解题的关键.8.B解析:B【分析】连接BD ,取中点I ,连接IE ,IF ,根据三角形中位线定理得IE =122AD ,且平行AD ,IF =12BC 且平行BC ,再利用 AD >BC 和 IE ∥AD ,求证∠AHE =∠IEF ,同理 可证∠BGE =∠IFE ,再利用IE >IF 和∠AHE =∠IEF ,∠BGE =∠IFE 即可得出结论.【详解】连接BD ,取中点I ,连接IE ,IF∵E ,F 分别是AB ,CD 的中点,∴IE ,IF 分别是△ABD ,△BDC 的中位线,∴IE =122AD ,且平行AD ,IF =12BC 且平行BC , ∵AD >BC , ∴IE >IF ,∵IE ∥AD ,∴∠AHE =∠IEF ,同理∠BGE =∠IFE ,∵在△IEF 中,IE >IF ,∴∠IFE >∠IEF ,∵∠AHE =∠IEF ,∠BGE =∠IFE ,∴∠BGE >∠AHE .故选:C .【点睛】此题主要考查学生对三角形中位线定理和三角形三边关系等知识点的理解和掌握,有一定的拔高难度,属于难题.9.C解析:C【分析】在矩形ABCD 中,由矩形边长,可得矩形面积是12,进而得134AOD ABCDS S ==矩形,由矩形对角线相等且互相平分得AO OC =,OB OD =,AC BD =,利用勾股定理可解得5AC =,则52OA OD ==,111()3222AOD AOP DOP S S S OA PE OD PF OA PE PF =+=+=+==,即可求出PE+PF 的值.【详解】解:连接PO ,如下图:∵在矩形ABCD 中,AB=3,AD=4,∴12ABCD S AB BC ==矩形,AO OC =,OB OD =,AC BD =,225AC AB +BC , ∴1112344AOD ABCD S S ==⨯=矩形, 52OA OD ==, 11115()()322222AOD AOP DOP S S S OA PE OD PF OA PE PF PE PF =+=+=+=⨯+=, ∴12 2.45PE PF +==; 故选C .【点睛】本题主要考查了矩形的性质,利用等积法间接求三角形的高线长及用勾股定理求直角三角形的斜边;利用面积法求解,是本题的解题突破点. 10.B解析:B【分析】由等腰三角形“三线合一”得ED ⊥CA ,根据三角形中位线定理可得EF=12AB ;由直角三角形斜边上中线等于斜边一半可得EG=12CD ,即可得EF=EG ;连接FG ,可证四边形DEFG 是平行四边形,即可得FH=12FD ,由三角形中位线定理可证得S △OEF =14S △AOB ,进而可得S △EFD =S △OEF +S △ODE =316S ▱ABCD ,而S △ACD =12S ▱ABCD ,推出S △EFD 12≠S △ACD ,即可得出结论. 【详解】连接FG ,如图所示:∵四边形ABCD是平行四边形,∴OA=OC,OB=OD,AD=BC,AD∥BC,AB=CD,AB∥CD,∵BD=2AD,∴OD=AD,∵点E为OA中点,∴ED⊥CA,故①正确;∵E、F、G分别是OA、OB、CD的中点,∴EF∥AB,EF=12 AB,∵∠CED=90°,G是CD的中点,∴EG=12 CD,∴EF=EG,故②正确;∵EF∥AB,AB∥CD,∴EF∥CD,EF=EG=DG,∴四边形DEFG是平行四边形,∴FH=DH,即FH=12FD,故③正确;∵△OEF∽△OAB,∴S△OEF=14S△AOB,∵S△AOB=S△AOD=14S▱ABCD,S△ACD=12S▱ABCD,∴S△OEF=116S▱ABCD,∵AE=OE,∴S△ODE=12S△AOD=18S▱ABCD,∴S△EFD=S△OEF+S△ODE=116S▱ABCD+18S▱ABCD316=S▱ABCD,∵12S△ACD14=S▱ABCD,∴S △EFD 12≠S △ACD ,故④错误; 综上,①②③正确;故选:B .【点睛】 本题考查了平行四边形性质和判定,三角形中位线定理,三角形面积,直角三角形斜边上中线性质,等腰三角形性质等知识;熟练运用三角形中位线定理、等腰三角形的性质是解题关键.二、填空题11.4:9【分析】设DP =DN =m ,则PN m ,PC =2m ,AD =CD =3m ,再求出FG=CF=12BC=32m ,分别求出两个阴影部分的面积即可解决问题.【详解】根据图形的特点设DP =DN =m ,则PN m ,∴m=MC ,,∴BC =CD =PC+DP=3m ,∵四边形HMPN 是正方形,∴GF ⊥BC∵∠ACB =45︒,∴△FGC 是等腰直角三角形,∴FG=CF=12BC=32m , ∴S 1=12DN×DP=12m 2,S 2=12FG×CF=98m 2, ∴12:S S =12m 2: 98m 2=4:9, 故答案为4:9.【点睛】本题考查正方形的性质,勾股定理等知识,解题的关键是学会利用参数解决问题,属于中考常考题型.12.201812【分析】根据几何图形特征,先求出1C 、2C 、3C ,根据求出的结果,找出规律,从而得出2020C .【详解】∵点E 是BC 的中点,ED ∥AB ,EF ∥AC∴DE 、EF 是△ABC 的中位线∵等边△ABC 的边长为1∴AD=DE=EF=AF =12 则1C =1422⨯= 同理可求得:2C =1,3C =12发现规律:规律为依次缩小为原来的12 ∴2020C =201812故答案为:201812.【点睛】 本题考查找规律和中位线的性质,解题关键是求解出几组数据,根据求解的数据寻找规律.13.102︒【分析】根据菱形的性质求出∠DAB=2∠DAC ,AD=CD ;再根据垂直平分线的性质得出AF=DF ,利用三角形内角和定理可以求得3∠CAD+∠CDF=180°,从而得到∠DAB 的度数.【详解】连接BD ,BF ,∵四边形ABCD 是菱形,∴AD=CD ,∴∠DAC=∠DCA .∵EF 垂直平分AB ,AC 垂直平分BD ,∴AF=BF ,BF=DF ,∴AF=DF ,∴∠FAD=∠FDA ,∴∠DAC+∠FDA+∠DCA+∠CDF=180°,即3∠DAC+∠CDF=180°,∵∠CDF=27°,∴3∠DAC+27°=180°,则∠DAC=51°,∴∠DAB=2∠DAC=102°.故答案为:102°.【点睛】本题主要考查了线段的垂直平分线的性质,三角形内角和定理的应用以及菱形的性质,有一定的难度,解答本题时注意先先连接BD ,BF ,这是解答本题的突破口.14.①②④【分析】①根据折叠得△ABE ≌△AFE ,证明△EFC 是等腰三角形,得到∠EFC=∠ECF ,根据∠BEF=∠EFC+∠FEC ,得出∠BEA=∠AEF=∠EFC=∠ECF ,即可证明AE ∥FC ,故①正确;②根据四边形ABCD 是正方形,且△ABE ≌△AFE ,证明Rt △AFG ≌Rt △ADG ,得出∠FAG=∠GAD ,根据∠BAF+∠FAD=90°,推出∠EAF+∠FAG=45°,可得∠EAG=45°,根据全等得:BE=FE ,DG=FG ,即可得BE+DG=EF+GF=EG ,故②正确;③先求出S △ECG ,根据EF :FG=2a :3a =3:2,得出S △EFC :S △FCG =3:2,即S △EFC =2110a ,再根据S ABCD =a 2,得出S △CEF :S △ABCD =2110a :2a ,即S △CEF =110S ABCD ,故③错误;④设正方形的边长为a ,根据勾股定理得2a ,设DG=x ,则CG=a-x ,FG=x ,EG=2a +x ,再根据勾股定理求出x ,即可得出结论,故④正确.【详解】解:①由折叠可得△ABE ≌△AFE ,∴∠BEA=∠AEF ,BE=EF ,∵E 是BC 中点,∴BE=CE=EF ,∴△EFC 是等腰三角形,∴∠EFC=∠ECF ,∵∠BEF=∠EFC+∠FEC ,∴∠BEA=∠AEF=∠EFC=∠ECF ,∴AE ∥FC ,故①正确;②∵四边形ABCD 是正方形,且△ABE ≌△AFE ,∴AB=AF=AD ,∠B=∠D=∠AFG ,∴△AFG 和△ADG 是直角三角形,∴在Rt △AFG 和Rt △ADG 中 AF AD AG AG ==⎧⎨⎩, ∴Rt △AFG ≌Rt △ADG (HL ),∴∠FAG=∠GAD ,又∵∠BAF+∠FAD=90°,∴2∠EAF+2∠FAG=90°,即∠EAF+∠FAG=45°,∴∠EAG=45°,由全等得:BE=FE ,DG=FG ,∴BE+DG=EF+GF=EG ,故②正确;③对于Rt △ECG ,S △ECG =12×EC ×CG=12×2a ×23a =216a , ∵EF :FG=2a :3a =3:2, 则S △EFC :S △FCG =3:2,即S △EFC =2110a , 又∵S ABCD =a 2,则S △CEF :S △ABCD =2110a :2a ,即S △CEF =110S ABCD ,故③错误; ④设正方形的边长为a , ∴AB=AD=AF=a ,BE=EF=2a =EC ,由勾股定理得, 设DG=x ,则CG=a-x ,FG=x , EG=2a +x , ∴EG 2=EC 2+CG 2,即(2a +x )2=(2a )2+(a-x )2, 解得x=3a ,CG=23a , 即AD=3DG 成立,故④正确.【点睛】本题考查了正方形的折叠问题,等腰三角形的判定和性质,平行线的判定,全等三角形的判定和性质,勾股定理,掌握这些知识点灵活运用是解题关键.15.【分析】作BE ⊥AD 于E ,BF ⊥CD 于F ,则四边形BEDF 是矩形,证明△ABE ≌△CBF (AAS ),得出BE=BF ,△ABE 的面积=△CBF 的面积,则四边形BEDF 是正方形,四边形ABCD 的面积=正方形BEDF 的面积,求出,即可求得BD 的长.【详解】解:作BE ⊥AD 交DA 延长线于E ,BF ⊥CD 于F ,如图所示:则∠BEA=∠BFC=90°,∵∠ADC=90°,∴四边形BEDF 是矩形,∴∠EBF=90°,∵∠ABC=90°,∴∠EBF=∠ABC=90°,∴∠ABE=∠CBF ,在△ABE 和△CBF 中,BEA BFC ABE CBF AB CB ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩,∴△ABE ≌△CBF (AAS ),∴BE=BF ,△ABE 的面积=△CBF 的面积,∴四边形BEDF 是正方形,四边形ABCD 的面积=正方形BEDF 的面积,∴BE=DE ,BE 2=10 cm 2,∴10(cm),∴25.故答案为:5【点睛】本题考查了正方形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、矩形的判定与性质等知识;熟练掌握正方形的判定与性质,证明三角形全等是解题的关键.16101【分析】探究点E 的运动轨迹,寻找特殊位置解决问题即可.【详解】如图1中,当点M 与A 重合时,AE =EN ,设AE =EN =xcm ,在Rt △ADE 中,则有x 2=32+(9﹣x )2,解得x =5,∴DE =10﹣1-5=4(cm ),如图2中,当点M 运动到MB ′⊥AB 时,DE ′的值最大,DE ′=10﹣1﹣3=6(cm ),如图3中,当点M 运动到点B ′落在CD 时, 22221310NB C N C B ''''=+=+=DB ′(即DE ″)=10﹣1﹣10=(9﹣10)(cm ),∴点E 的运动轨迹E →E ′→E ″,运动路径=EE ′+E ′B ′=6﹣4+6﹣(910101)(cm ).101.【点睛】本题考查翻折变换,矩形的性质,解直角三角形等知识,解题的关键是理解题意,灵活运用所学知识解决问题,属于中考填空题中的压轴题.17.5【分析】过点B 作BD ⊥l 2,交直线l 2于点D ,过点B 作BE ⊥x 轴,交x 轴于点E .则22OE BE +OABC 是平行四边形,所以OA=BC ,又由平行四边形的性质可推得∠OAF=∠BCD ,则可证明△OAF ≌△BCD ,所以OE 的长固定不变,当BE 最小时,OB 取得最小值,从而可求.【详解】解:过点B 作BD ⊥l 2,交直线x=4于点D ,过点B 作BE ⊥x 轴,交x 轴于点E ,直线l 1与OC 交于点M ,与x 轴交于点F ,直线l 2与AB 交于点N .∵四边形OABC 是平行四边形,∴∠OAB=∠BCO ,OC ∥AB ,OA=BC ,∵直线l 1与直线l 2均垂直于x 轴,∴AM ∥CN ,∴四边形ANCM 是平行四边形,∴∠MAN=∠NCM ,∴∠OAF=∠BCD ,∵∠OFA=∠BDC=90°,∴∠FOA=∠DBC ,在△OAF 和△BCD 中,FOA DBC OA BCOAF BCD ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩, ∴△OAF ≌△BCD (ASA ),∴BD=OF=1,∴OE=4+1=5,∴OB=22OE BE +.由于OE 的长不变,所以当BE 最小时(即B 点在x 轴上),OB 取得最小值,最小值为OB=OE=5.故答案为:5.【点睛】本题考查了平行四边形的性质、坐标与图形性质、全等三角形的判定与性质,以及勾股定理等知识;熟练掌握平行四边形的性质,证明三角形全等是解决问题的关键. 18.2【分析】连接AO 、BO 、CO ,过O 作FO ⊥AO ,交AB 的延长线于F ,判定△AOC ≌△FOB (ASA ),即可得出AO=FO ,FB=AC=6,进而得到AF=8+6=14,∠FAO=45°,根据AO=AF×cos45°进行计算即可.【详解】解:连接AO 、BO 、CO ,过O 作FO ⊥AO ,交AB 的延长线于F ,∵O 是正方形DBCE 的对称中心,∴BO=CO ,∠BOC=90°,∵FO ⊥AO ,∴∠AOF=90°,∴∠BOC=∠AOF ,即∠AOC+∠BOA=∠FBO+∠BOA ,∴∠AOC=∠FBO ,∵∠BAC=90°,∴在四边形ABOC 中,∠ACO+∠ABO=180°,∵∠FBO+∠ABO=180°,∴∠ACO=∠FBO ,在△AOC 和△FOB 中,AOC FOB AO FOACO FBO ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩, ∴△AOC ≌△FOB (ASA ),∴AO=FO ,FB=FC=6,∴AF=8+6=14,∠FAO=∠OFA=45°,∴AO=AF×cos45°=14×22=2 故答案为2.【点睛】本题考查了正方形的性质和全等三角形的判定与性质.本题的关键是通过作辅助线来构建全等三角形,然后将已知和所求线段转化到直角三角形中进行计算. 19513 【分析】根据12•BC •AH =12•AB •AC ,可得AH =613,根据 12AD •BO =12BD •AH ,得OB =613,再根据BE =2OB =1213,运用勾股定理可得EC . 【详解】设BE 交AD 于O ,作AH ⊥BC 于H .在Rt △ABC 中,∠BAC =90°,AB =2,AC =3,由勾股定理得:BC =13,∵点D 是BC 的中点,∴AD =DC =DB =132, ∵12•BC •AH =12•AB •AC , ∴AH =613, ∵AE =AB ,DE =DB ,∴点A 在BE 的垂直平分线上,点D 在BE 的垂直平分线上,∴AD 垂直平分线段BE ,∵12AD •BO =12BD •AH , ∴OB =613, ∴BE =2OB =1213, ∵DE =DB=CD , ∴∠DBE=∠DEB ,∠DEC=∠DCE ,∴∠DEB+∠DEC=12×180°=90°,即:∠BEC=90°, ∴在Rt △BCE 中,EC =22BC BE - =221213(13)()13-=51313. 故答案为:51313. 【点睛】本题主要考查直角三角形的性质,勾股定理以及翻折的性质,掌握“直角三角形斜边长的中线等于斜边的一半”以及面积法求三角形的高,是解题的关键.20.①②③⑤【分析】根据三角形中位线定理得到EF=12AB,EF∥AB,根据直角三角形的性质得到DF=12AC,根据三角形内角和定理、勾股定理计算即可判断.【详解】∵E,F分别是BC,AC的中点,∴EF=12AB,EF∥AB,∵∠ADC=90°,∠CAD=45°,∴∠ACD=45°,∴∠BAC=∠ACD,∴AB∥CD,∴EF∥CD,故①正确;∵∠ADC=90°,F是AC的中点,∴DF=CF=12 AC,∵AB=AC,EF=12 AB,∴EF=DF,故②正确;∵∠CAD=∠ACD=45°,点F是AC中点,∴△ACD是等腰直角三角形,DF⊥AC,∠FDC=45°,∴∠DFC=90°,∵EF//AB,∴∠EFC=∠BAC=45°,∠FEC=∠B=67.5°,∴∠EFD=∠EFC+∠DFC=135°,∴∠FED=∠FDE=22.5°,∵∠FDC=45°,∴∠CDE=∠FDC-∠FDE=22.5°,∴∠FDE=∠CDE,∴DE平分∠FDC,故③正确;∵AB=AC,∠CAB=45°,∴∠B=∠ACB=67.5°,∴∠DEC=∠FEC﹣∠FED=45°,故④错误;∵△ACD是等腰直角三角形,∴AC2=2CD2,∴CD,∵AB=AC,∴AB CD ,故⑤正确;故答案为:①②③⑤.【点睛】本题考查的是三角形中位线定理,等腰三角形的判定与性质,直角三角形的性质,平行线的性质,勾股定理等知识.掌握三角形的中位线平行于第三边,并且等于第三边的一半是解题的关键.三、解答题21.(1)DE CF ;(2)在情况1与情况2下都相同,详见解析;(3)AF +CF =DF 或|AF -CF |【分析】(1)易证△BCD 是等腰直角三角形,得出CB ,即可得出结果;(2)情况1:过点C 作CG ⊥CF ,交DF 于G ,设BC 交DF 于P ,由ASA 证得△CDG ≌△CBF ,得出DG=FB ,CG=CF ,则△GCF 是等腰直角三角形,CF ,连接BE ,设∠CDG=α,则∠CBF=α,∠DEA=∠ADE=90°-α,求出∠DAE=2α,则∠EAB=90°-2α,∠BEA=∠ABE=12(180°-∠EAB )=45°+α,∠CBE=45°-α,推出∠FBE=45°,得出△BEF 是等腰直角三角形,则EF=BF ,推出EF=DG ,DE=FG ,得出CF ;情况2:过点C 作CG ⊥CF 交DF 延长线于G ,连接BE ,设CD 交BF 于P ,由ASA 证得△CDG ≌△CBF ,得出DG=FB ,CG=CF ,则△GCF 是等腰直角三角形,得CF ,设∠CDG=α,则∠CBF=α,证明△BEF 是等腰直角三角形,得出EF=BF ,推出DE=FG ,得出CF ;(3)①当F 在BC 的右侧时,作HD ⊥DF 交FA 延长线于H ,由(2)得△BEF 是等腰直角三角形,EF=BF ,由SSS 证得△ABF ≌△AEF ,得出∠EFA=∠BFA=12∠BFE=45°,则△HDF 是等腰直角三角形,得DF ,DH=DF ,∵∠HDF=∠ADC=90°,由SAS 证得△HDA ≌△FDC ,得CF=HA ,即可得出;②当F 在AB 的下方时,作DH ⊥DE ,交FC 延长线于H ,在DF 上取点N ,使CN=CD ,连接BN ,证明△BFN 是等腰直角三角形,得BF=NF ,由SSS 证得△CNF ≌△CBF ,得∠NFC=∠BFC=12∠BFD=45°,则△DFH 是等腰直角三角形,得,DF=DH ,由SAS证得△ADF ≌△CDH ,得出CH=AF ,即可得出DF ;③当F 在DC 的上方时,连接BE ,作HD ⊥DF ,交AF 于H ,由(2)得△BEF 是等腰直角三角形,EF=BF ,由SSS 证得△ABF ≌△AEF ,得∠EFA=∠BFA=12∠BFE=45°,则△HDF 是等腰直角三角形,得出DF ,DH=DF ,由SAS 证得△ADC ≌△HDF ,得出AH=CF ,即可得出;④当F在AD左侧时,作HD⊥DF交AF的延长线于H,连接BE,设AD交BF于P,证明△BFE是等腰直角三角形,得EF=BF,由SSS证得△ABF≌△AEF,得∠EFA=∠BFA=12∠BFE=45°,则∠DFH=∠EFA=45°,△HDF是等腰直角三角形,得DH=DF,HF=2DF,由SAS证得△HDA≌△FDC,得出AF=CF,即可得出CF-AF=2DF.【详解】解:(1)∵四边形ABCD是正方形,∴CD=CB,∠BCD=90°,∴△BCD是等腰直角三角形,∴DB=2CB,当点E、F与点B重合时,则DE=2CF,故答案为:DE=2CF;(2)在情况1或情况2下,线段CF与线段DE之间的数量关系与(1)中结论相同;理由如下:情况1:∵四边形ABCD是正方形,∴CD=CB=AD=AB=AE,∠BCD=∠DAB=∠ABC=90°,过点C作CG⊥CF,交DF于G,如图②所示:则∠BCD=∠GCF=90°,∴∠DCG=∠BCF,设BC交DF于P,∵BF⊥DE,∴∠BFD=∠BCD=90°,∵∠DPC=∠FPB,∴∠CDP=∠FBP,在△CDG和△CBF中,DCG BCFCD CBCDG CBF∠∠⎧⎪⎨⎪∠∠⎩===,∴△CDG≌△CBF(ASA),∴DG=FB,CG=CF,∴△GCF是等腰直角三角形,∴2,连接BE,设∠CDG=α,则∠CBF=α,∠ADE=90°-α,∵AD=AE,∴∠DEA=∠ADE=90°-α,∴∠DAE=180°-2(90°-α)=2α,∴∠EAB=90°-2α,∵AB=AE,∴∠BEA=∠ABE=1 2(180°-∠EAB)=12(180°-90°+2α)=45°+α,∴∠CBE=90°-(45°+α)=45°-α,∴∠FBE=∠CBE+∠CBF=45°-α+α=45°,∵BF⊥DE,∴△BEF是等腰直角三角形,∴EF=BF,∴EF=DG,∴EF+EG=DG+EG,即DE=FG,∴DE=2CF;情况2:过点C作CG⊥CF交DF延长线于G,连接BE,设CD交BF于P,如图③所示:∵∠GCF=∠BCD=90°,∴∠DCG=∠BCF,∵∠FPD=∠BPC,∴∠FDP=∠PBC,在△CDG和△CBF中,DCG BCFCD CBCDG CBF∠∠⎧⎪⎨⎪∠∠⎩===,∴△CDG≌△CBF(ASA),∴DG=FB,CG=CF,∴△GCF是等腰直角三角形,∴FG=2CF ,设∠CDG=α,则∠CBF=α,同理可知:∠DEA=∠ADE=90°-α,∠DAE=2α,∴∠EAB=90°+2α,∵AB=AE ,∴∠BEA=∠ABE=45°-α,∴∠FEB=∠DEA-∠AEB=90°-α-(45°-α)=45°,∵BF ⊥DE ,∴△BEF 是等腰直角三角形,∴EF=BF ,∴EF=DG ,∴DE=FG ,∴DE=2CF ;(3)①当F 在BC 的右侧时,作HD ⊥DF 交FA 延长线于H ,如图④所示:由(2)得:△BEF 是等腰直角三角形,EF=BF ,在△ABF 和△AEF 中,AB AE AF AF BF EF ⎧⎪⎨⎪⎩===,∴△ABF ≌△AEF (SSS ),∴∠EFA=∠BFA=12∠BFE=45°, ∴△HDF 是等腰直角三角形,∴2,DH=DF ,∵∠HDF=∠ADC=90°,∴∠HDA=∠FDC ,在△HDA 和△FDC 中,DH DF HDA FDC DA DC ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩===,∴△HDA ≌△FDC (SAS ),∴CF=HA , ∴2DF=HF=HA+AF=CF+AF ,即AF+CF=2DF ;②当F 在AB 的下方时,作DH ⊥DE ,交FC 延长线于H ,在DF 上取点N ,使CN=CD ,连接BN ,如图⑤所示:设∠DAE=α,则∠CDN=∠CND=90°-α,∴∠DCN=2α,∴∠NCB=90°-2α,∵CN=CD=CB ,∴∠CNB=∠CBN=12(180°-∠NCB )=12(180°-90°+2α)=45°+α, ∵∠CNE=180°-∠CND=180°-(90°-α)=90°+α,∴∠FNB=90°+α-(45°+α)=45°,∴△BFN 是等腰直角三角形,∴BF=NF , 在△CNF 和△CBF 中,CN CB CF CF NF BF ⎧⎪⎨⎪⎩===,∴△CNF ≌△CBF (SSS ),∴∠NFC=∠BFC=12∠BFD=45°, ∴△DFH 是等腰直角三角形,∴2,DF=DH ,∵∠ADC=∠HDE=90°,∴∠ADF=∠CDH ,在△ADF 和△CDH 中,AD CD ADF CDH DF DH ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩===,∴△ADF ≌△CDH (SAS ),∴CH=AF ,∴FH=CH+CF=AF+CF ,∴AF+CF=2DF ;③当F 在DC 的上方时,连接BE ,作HD ⊥DF ,交AF 于H ,如图⑥所示:由(2)得:△BEF 是等腰直角三角形,EF=BF ,在△ABF 和△AEF 中,AB AE AF AF BF EF ⎧⎪⎨⎪⎩===,∴△ABF ≌△AEF (SSS ), ∴∠EFA=∠BFA=12∠BFE=45°, ∴△HDF 是等腰直角三角形,∴2,DH=DF ,∵∠ADC=∠HDF=90°,∴∠ADH=∠CDF ,在△ADC 和△HDF 中,AD CD ADH CDF DH DF ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩===,∴△ADC ≌△HDF (SAS ),∴AH=CF ,∴HF=AF-AH=AF-CF ,∴2DF ;④当F 在AD 左侧时,作HD ⊥DF 交AF 的延长线于H ,连接BE ,设AD 交BF 于P ,如图⑦所示:∵AB=AE=AD ,∴∠AED=∠ADE ,∵∠PFD=∠PAB=90°,∠FPD=∠BPA ,∴∠ABP=∠FDP ,∴∠FEA=∠FBA ,∵AB=AE ,∴∠AEB=∠ABE ,∴∠FEB=∠FBE ,∴△BFE 是等腰直角三角形,∴EF=BF ,在△ABF 和△AEF 中,AB AE AF AF BF EF ⎧⎪⎨⎪⎩===,∴△ABF ≌△AEF (SSS ),∴∠EFA=∠BFA=12∠BFE=45°, ∴∠DFH=∠EFA=45°,∴△HDF 是等腰直角三角形,∴DH=DF ,2DF ,∵∠HDF=∠CDA=90°,∴∠HDA=∠FDC ,在△HDA 和△FDC 中,DH DF HDA FDC AD CD ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩===,∴△HDA ≌△FDC (SAS ),∴AF=CF ,∴AH-AF=CF-AF=HF,∴DF,综上所述,线段AF、CF、DF三者之间的数量关系:DF或DF,故答案为:DF或DF.【点睛】本题是四边形综合题,主要考查了正方形的性质、等腰直角三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、三角形内角和定理、等腰三角形的性质等知识;熟练掌握全等三角形的判定与性质和等腰直角三角形的判定与性质是解题的关键.22.(1)证明见解析;(2)能,10;(3)152,理由见解析;【分析】(1)利用题中所给的关系式,列出CD,DF,AE的式子,即可证明.(2)由题意知,四边形AEFD是平行四边形,令AD=DF,求解即可得出t值.(3)由题意可知,当DE∥BC时,△DEF为直角三角形,利用AD+CD=AC的等量关系,代入式子求值即可.【详解】(1)由题意知:三角形CFD是直角三角形∵∠B=90°,∠A=60°∴∠C=30°,CD=2DF,又∵由题意知CD=4t,AE=2t,∴CD=2AE∴AE=DF.(2)能,理由如下;由(1)知AE=DF又∵DF⊥BC,∠B=90°∴AE∥DF∴四边形AEFD是平行四边形.当AD=DF时,平行四边形AEFD是菱形∵AC=60cm,DF=12CD,CD=4t,∴AD=60-4t,DF=2t,∴60-4t=2t∴t=10.(3)当t为152时,△DEF为直角三角形,理由如下;由题意知:四边形AEFD是平行四边形,DF⊥BC,AE∥DF,∴当DE∥BC时,DF⊥DE∴∠FDE=∠DEA=90°在△AED中,。

数学平行四边形知识点总结附解析

数学平行四边形知识点总结附解析

数学平行四边形知识点总结附解析一、解答题1.如图,在Rt ABC 中,∠B =90°,AC =60cm ,∠A =60°,点D 从点C 出发沿CA 方向以4cm/s 的速度向点A 匀速运动.同时点E 从点A 出发沿AB 方向以2cm/秒的速度向点B 匀速运动,当其中一个点到达终点时,另一个点也随之停止运动.设点D 、E 运动的时间是ts (0<t≤15).过点D 作DF ⊥BC 于点F ,连接DE ,EF .(1)求证:AE =DF ;(2)四边形AEFD 能够成为菱形吗?如果能,求出相应的t 值,如果不能,说明理由; (3)当t 为何值时,DEF 为直角三角形?请说明理由.2.综合与探究如图1,在ABC ∆中,ACB ∠为锐角,点D 为射线BC 上一点,连接AD ,以AD 为一边且在AD 的右侧作正方形ADEF ,解答下列问题:(1)研究发现:如果AB AC =,90BAC ∠=︒①如图2,当点D 在线段BC 上时(与点B 不重合),线段CF 、BD 之间的数量关系为______,位置关系为_______.②如图3,当点D 在线段BC 的延长线上时,①中的结论是否仍成立并说明理由. (2)拓展发现:如果AB AC ≠,点D 在线段BC 上,点F 在ABC ∆的外部,则当ACB =∠_______时,CF BD ⊥.3.在矩形ABCD 中,AE ⊥BD 于点E ,点P 是边AD 上一点,PF ⊥BD 于点F ,PA =PF . (1)试判断四边形AGFP 的形状,并说明理由.(2)若AB =1,BC =2,求四边形AGFP 的周长.4.如图,四边形OABC 中,BC ∥AO ,A (4,0),B (3,4),C (0,4).点M 从O 出发以每秒2个单位长度的速度向A 运动;点N 从B 同时出发,以每秒1个单位长度的速度向C 运动.其中一个动点到达终点时,另一个动点也随之停止运动.过点N 作NP 垂直x 轴于点P ,连结AC 交NP 于Q ,连结MQ .(1)当t 为何值时,四边形BNMP 为平行四边形?(2)设四边形BNPA 的面积为y ,求y 与t 之间的函数关系式.(3)是否存在点M ,使得△AQM 为直角三角形?若存在,求出点M 的坐标;若不存在,请说明理由.5.如图1,在正方形ABCD 和正方形BEFG 中,点,,A B E 在同一条直线上,P 是线段DF 的中点,连接,PG PC .(1)求证:,PG PC PG PC ⊥=.简析:由Р是线段DF 的中点,//DC CF ,不妨延长GP 交DC 于点M ,从而构造出一对全等的三角形,即_______≅________.由全等三角形的性质,易证CMG 是_______三角形,进而得出结论;(2)如图2,将原问题中的正方形ABCD 和正方形BEFG 换成菱形ABCD 和菱形BEFG ,且60ABC BEF ∠=∠=︒,探究PG 与PC 的位置关系及PG PC的值,写出你的猜想并加以证明;(3)当6,2AB BE ==时,菱形ABCD 和菱形BEFG 的顶点都按逆时针排列,且60ABC BEF ∠=∠=︒.若点A B E 、、在一条直线上,如图2,则CP =________;若点A B G 、、在一条直线上,如图3,则CP =________.6.在矩形ABCD 中,将矩形折叠,使点B 落在边AD (含端点)上,落点记为E ,这时折痕与边BC 或者边CD (含端点)交于点F (如图1和图2),然后展开铺平,连接BE ,EF . (1)操作发现:①在矩形ABCD 中,任意折叠所得的△BEF 是一个 三角形;②当折痕经过点A 时,BE 与AE 的数量关系为 .(2)深入探究:在矩形ABCD 中,AB =3,BC =23.①当△BEF 是等边三角形时,求出BF 的长;②△BEF 的面积是否存在最大值,若存在,求出此时EF 的长;若不存在,请说明理由.7.已知在ABC 和ADE 中, 180ACB AED ∠+∠=︒,CA CB =,EA ED =,3AB =.(1)如图1,若90ACB ∠=︒,B 、A 、D 三点共线,连接CE :①若52CE =BD 长度;②如图2,若点F 是BD 中点,连接CF ,EF ,求证:2CE EF =; (2)如图3,若点D 在线段BC 上,且2CAB EAD ∠=∠,试直接写出AED 面积的最小值.8.阅读下列材料,并解决问题: 如图1,在Rt ABC ∆中,90C ∠=︒,8AC =,6BC =,点D 为AC 边上的动点(不与A 、C 重合),以AD ,BD 为边构造ADBE ,求对角线DE 的最小值及此时AD AC的值是多少.在解决这个问题时,小红画出了一个以AD ,BD 为边的ADBE (如图2),设平行四边形对角线的交点为O ,则有AO BO =.于是得出当OD AC ⊥时,OD 最短,此时DE 取最小值,得出DE 的最小值为6.参考小红的做法,解决以下问题:(1)继续完成阅读材料中的问题:当DE 的长度最小时,AD AC =_______; (2)如图3,延长DA 到点F ,使AF DA =.以DF ,DB 为边作FDBE ,求对角线DE 的最小值及此时AD AC的值.9.已知:如图,在ABC 中,直线PQ 垂直平分AC ,与边AB 交于点E ,连接CE ,过点C 作//CF BA 交PQ 于点F ,连接AF .(1)求证:四边形AECF 是菱形;(2)若8AC =,AE=5,则求菱形AECF 的面积.10.已知,矩形ABCD 中,4,8AB cm BC cm ==,AC 的垂直平分EF 线分别交AD BC 、于点E F 、,垂足为O .(1)如图1,连接AF CE 、,求证:四边形AFCE 为菱形;(2)如图2,动点P Q 、分别从A C 、两点同时出发,沿AFB △和CDE △各边匀速运动一周,即点P 自A F B A →→→停止,点O 自C D E C →→→停止.在运动过程中,①已知点P 的速度为每秒5cm ,点Q 的速度为每秒4cm ,运动时间为t 秒,当A C P Q 、、、四点为顶点的四边形是平行四边形时,则t =____________.②若点P Q 、的运动路程分别为a b 、 (单位:,0cm ab ),已知AC P Q 、、、四点为顶点的四边形是平行四边形,则a 与b 满足的数量关系式为____________.【参考答案】***试卷处理标记,请不要删除一、解答题1.(1)证明见解析;(2)能,10;(3)152,理由见解析; 【分析】(1)利用题中所给的关系式,列出CD ,DF ,AE 的式子,即可证明.(2)由题意知,四边形AEFD 是平行四边形,令AD=DF ,求解即可得出t 值.(3)由题意可知,当DE ∥BC 时,△DEF 为直角三角形,利用AD+CD=AC 的等量关系,代入式子求值即可.【详解】(1)由题意知:三角形CFD 是直角三角形∵∠B =90°,∠A =60°∴∠C=30°,CD=2DF ,又∵由题意知CD=4t ,AE=2t ,∴CD=2AE∴AE=DF .(2)能,理由如下;由(1)知AE=DF又∵DF ⊥BC ,∠B =90°∴AE ∥DF∴四边形AEFD 是平行四边形.当AD=DF 时,平行四边形AEFD 是菱形∵AC =60cm ,DF=12CD ,CD=4t , ∴AD=60-4t ,DF=2t ,∴60-4t=2t∴t=10.(3)当t 为152时,△DEF 为直角三角形,理由如下;由题意知:四边形AEFD 是平行四边形,DF ⊥BC ,AE ∥DF ,∴当DE ∥BC 时,DF ⊥DE∴∠FDE=∠DEA=90°在△AED 中,∵∠DEA=90°,∠A =60°,AE=2t∴AD=4t ,又∵AC =60cm ,CD=4t ,∴AD+CD=AC ,8t=60,∴t=152. 即t=152时,∠FDE=∠DEA=90°,△DEF 为直角三角形. 【点睛】 本题主要考查了三角形、平行四边形及菱形的性质,正确掌握三角形、平行四边形及菱形的性质是解题的关键.2.(1)①=CF BD ,CF BD ⊥;②当点D 在BC 的延长线上时①中结论仍成立,详见解析;(2)45︒【分析】(1)①结论:CF 与BD 位置关系是垂直、数量关系是相等; 只要证明△BAD ≌△CAF,即可解决问题;②当点D 在BC 的延长线上时①的结论仍成立.证明方法类似;(2)过点A 作AG ⊥AC 交BC 于点G,理由(1)中的结论即可解决问题.【详解】解:(1)①相等(或=CF BD ),互相重直(或CF BD ⊥)理由如下:∵AB=AC,∠BAC=90︒,∴∠ABC=∠ACB=45︒,∵∠BAC=∠DAF,∴∠BAD=∠CAF,在△BAD 和△CAF 中,BA CA BAD CAF DA FA ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩=== , ∴△BAD ≌△CAF (SAS ),∴BD=CF,∠ABD=∠ACF=45︒,∵∠ACB=45︒,∴∠FCB=90︒,∴CF⊥BD,CF=BD,故答案为CF⊥BD,CF=BD.②当点D在BC的延长线上时①的结论仍成立.理由:由正方形ADEF得 AD=AF,∠DAF=90︒.∵∠BAC=90︒,∴∠DAF=∠BAC,∴∠DAB=∠FAC,又AB=AC,∴△DAB≌△FAC(SAS),∴CF=BD,∠ACF=∠ABD,∵∠BAC=90︒,AB=AC,∴∠ABC=45︒,∴∠ACF=45︒,∴∠BCF=∠ACB+∠ACF=90︒.即 CF⊥BD.(2)结论:当∠ACB=45︒时,CF⊥BD.理由:过点A作AG⊥AC交BC于点G,∴AC=AG,由(1)可知:△GAD≌△CAF,∴∠ACF=∠AGD=45︒,∴∠BCF=∠ACB+∠ACF=90︒,即CF⊥BD.故答案为45︒.【点睛】本题考查四边形综合题、全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质、正方形的性质等知识,解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题,学会添加辅助线,构造全等三角形解决问题,属于中考压轴题.3.(1)四边形AGFP是菱形,理由见解析;(2)四边形AGFP的周长为:2【分析】(1)根据矩形的性质和菱形的判定解答即可;(2)根据全等三角形的判定和性质,以及利用勾股定理解答即可.【详解】解:(1)四边形AGFP是菱形,理由如下:∵四边形ABCD是矩形,∴∠BAP=90°,∵PF⊥BD,PA=PF,∴∠PBA=∠PBF,∵AE⊥BD,∴∠PBF+∠BGE=90°,∵∠BAP=90°,∴∠PBA+∠APB=90°,∴∠APB=∠BGE,∵∠AGP=∠BGE,∴∠APB=∠AGP,∴AP=AG,∵PA=PF,∴AG=PF,∵AE⊥BD,PF⊥BD,∴AE∥PF,∴四边形AGFP是平行四边形,∵PA=PF,∴平行四边形AGFP是菱形;(2)在Rt△ABP和Rt△FBP中,∵PB=PB,PA=PF,∴Rt△ABP≌Rt△FBP(HL),∴AB=FB=1,∵四边形ABCD是矩形,∴AD=BC=2,∴BD=设PA=x,则PF=x,PD=2﹣x,PF1,在Rt△DPF中,DF2+PF2=PD2,∴2221)(2)x x +=-解得:x =12,∴四边形AGFP 的周长为:4x =4×122=. 【点睛】 此题考查矩形的性质,菱形的判定,全等三角形的判定和性质和勾股定理,解题的关键是熟练掌握所学的知识定理进行解题.4.(1)34;(2)y =4t +2;(3)存在,点M 的坐标为(1,0)或(2,0). 【分析】(1)因为BN ∥MP ,故当BN=MP 时,四边形BNMP 为平行四边形,此时点M 在点P 的左侧,求解即可;(2)y =12(BN +PA )•OC ,即可求解; (3)①当∠MQA 为直角时,则△MAQ 为等腰直角三角形,则PA =PM ,即可求解;②当∠QMA 为直角时,则NB +OM =BC =3,即可求解.【详解】(1)∵BN ∥MP ,故当BN =MP 时,四边形BNMP 为平行四边形.此时点M 在点P 的左侧时,即0≤t <1时,MP =OP ﹣OM =3﹣t ﹣2t =3﹣3t ,BN =t ,即3﹣3t =t ,解得:t =34; (2)由题意得:由点C 的坐标知,OC =4,BN =t ,NC =PO =3﹣t ,PA =4﹣OP =4﹣(3﹣t )=t +1,则y =12(BN +PA )•OC =12(t +t +1)×4=4t +2; (3)由点A 、C 的坐标知,OA =OC =4,则△COA 为等腰直角三角形,故∠OCA =∠OAC =45°,①当∠MQA 为直角时,∵∠OAC =45°,故△MAQ 为等腰直角三角形,则PA =PM ,而PA =4﹣(3﹣t )=t +1,PM =OP ﹣OM =(3﹣t )﹣2t =3﹣3t ,故t +1=3﹣3t ,解得:t =12,则OM =2t =1, 故点M (1,0);②当∠QMA 为直角时,则点M 、P 重合,则NB +OM =BC =3,即2t +t =3,解得:t =1,故OM=OP=2t=2,故点M(2,0);综上,点M的坐标为(1,0)或(2,0).【点睛】本题是四边形综合题,涉及坐标与图形、平行四边形的性质、等腰直角三角形的判定和性质、图形的面积计算等,复杂度较高,难度较大,其中(3)要分类求解,避免遗漏.5.(1)ΔDPM,ΔFPG;等腰直角;(2)线段PG与PC的位置关系是PG⊥PC;PG PC=;(3)2【分析】(1)延长GP交DC于点M,由Р是线段DF的中点,//DC CF,可得∠MDP=∠GFP,DP=FP,利用ASA可证明△DPM≌△FPG;可得DM=GF,MP=GP,根据正方形的性质可得CM=CG,即可证明△CMG是等腰直角三角形,即可得答案;(2)如图,延长GP交DC于点H,利用ASA可证明△GFP≌△HDP,可得GP=HP,GF=HD,进而根据菱形的性质可证明△CHG是等腰三角形,根据等腰三角形“三线合一”的性质可得PG⊥PC,∠HCP=∠GCP,由∠ABC=60°可得∠HCG=120°,进而可得∠CGP=30°,根据含30°角的直角三角形的性质及勾股定理即可得答案;(3)利用线段的和差关系可求出图2中CG的长,由(2)可知∠CGP=30°,根据含30°角的直角三角形的性质即可求出CP的长;在图3中,延长GP到N,使GP=PN,连接DN、CN、CG,过N作NK⊥CD,交CD延长线于K,利用SAS可证明△FGP≌△DNP,可得GF=DN,∠GFP=∠NDP,根据角的和差关系可得∠CDN=120°,根据平角的定义可得∠GBC=120°,利用菱形的性质及等量代换可得DN=GB,利用SAS可证明△NDC≌△GBC,可得CN=CG,∠DCN=∠BCG,根据等腰三角形的性质可得PC⊥GN,根据角的和差关系可得∠NCG=120°,进而可得出∠CNP=30°,可得PC=12CG,根据平角的定义可得∠KDN=60°,即可得出∠KND=30°,根据含30°角的直角三角形的性质可得得出KD的长,利用勾股定理可求出KN的长,再利用勾股定理可求出CN的长,根据含30°角的直角三角形的性质即可得出PC的长.【详解】(1)如图,延长GP交DC于点M,∵Р是线段DF的中点,四边形ABCD、BEFG是正方形,点,,A B E在同一条直线上,∴//DC CF,DP=FP,CD=BC,FG=BG,在△DPM和△FPG中,MDP GFPDP FPDPM FPG∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩,∴△DPM≌△FPG,∴DM=FG,KP=GP,∴CD-DM=BC-BC,即CM=CG,∴△CMG 是等腰直角三角形,∴PG ⊥PC ,PG=PC .故答案为:ΔDPM ,ΔFPG ;等腰直角(2)猜想:线段PG 与PC 的位置关系是PG ⊥PC ;PG PC 3. 如图,延长GP 交DC 于点H ,∵P 是线段DF 的中点,∴FP =DP ,∵四边形ABCD 和四边形BEFG 是菱形,∴CD//AB ,CF//BE ,CD =CB ,GF=GB ,∵点A B E 、、在一条直线上,∴DC ∥GF ,∴∠GFP =∠HDP , 在△GFP 和△HDP 中,GFP HDP FP DP GPF HPD ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩,∴△GFP ≌△HDP ,∴GP =HP ,GF =HD ,∴CD-DH =CB-GB ,即CG =CH ,∴△CHG 是等腰三角形.∴PG ⊥PC ,(三线合一),∠HCP=∠GCP ,∵∠ABC =∠BEF =60°,∴∠HCG=120°,∴∠CGP=12(180°-120°)=30°, ∴CG=2PC ,∴2222(2)3CG PC PC PC PC -=-=, ∴PG PC 3(3)如图2,∵AB=6,BE=2,∴CG=AB-BE=4,由(2)可知∠CGP=30°,PG⊥PC,∴PC=12CG=2,如图3,延长GP到N,使GP=PN,连接DN、CN、CG,过N作NK⊥CD,交CD延长线于K,在△DNP和△FGP中,DP FPNPD GPF PN PG=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩,∴△DNP≌△FGP,∴DN=GF=BG=BE=2,∠NDP=∠GFP,∵四边形ABCD和四边形BEFG是菱形,∴CD//AB,EF//BC,∵点A、B、G在一条直线上,∴DC∥EF,∴∠CDP=∠EFP,∵∠ABC=∠BEF=60°,∴∠EFG=∠CBG=120°,∴∠NDP+CDP=∠GFP+∠EFP=∠EFG=120°,即∠NDC=120°,∴∠KDN=60°,∠KND=30°,∴KD=12DN=1,223DN KD-=,∴CK=CD+KD=7,∴22CK NK+213在△CDN和△CBG中,CD BCCDN CBG ND BG=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩,∴CN=CG,∠DCN=∠BCG,∴PC⊥GN,∠DCN+∠NCB=∠BCG+∠NCB=∠DCB=120°,即∠NCG=120°,∴∠CNP=12(180°-∠NCG)=30°,∴PC=12CN=13.故答案为:213【点睛】本题考查正方形的性质、菱形的性质、等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质、含30°角的直角三角形的性质及勾股定理,正确作出辅助线、熟记30°角所对的直角边等于斜边的一半的性质及全等三角形的判定定理是解题关键.6.(1)①等腰;②2BE ;(2)①2;②存在,351 2【分析】(1)①由折叠的性质得EF=BF,即可得出结论;②当折痕经过点A时,由折叠的性质得AF垂直平分BE,由线段垂直平分线的性质得AE=BE,证出ABE是等腰直角三角形,即可得出BE2AE;(2)①由等边三角形的性质得BF=BE,∠EBF=60°,则∠ABE=30°,由直角三角形的性质得BE=2AE,AB33,则AE=1,BE=2,得BF=2即可;②当点F在边BC上时,得S△BEF≤12S矩形ABCD,即当点F与点C重合时S△BEF最大,由折叠的性质得CE=CB=3EF=3当点F在边CD上时,过点F作FH∥BC交AB于点H,交BE于点K,则S△EKF=1 2KF•AH≤12HF•AH=12S矩形AHFD,S△BKF=12KF•BH≤12HF•BH=12S矩形BCFH,得S△BEF≤12S矩形ABCD =3,即当点F为CD的中点时,BEF的面积最大,此时,DF=12CD=32,点E与点A重合,由勾股定理求出EF即可.【详解】解:(1)①由折叠的性质得:EF=BF,∴BEF是等腰三角形;故答案为:等腰;②当折痕经过点A时,由折叠的性质得:AF垂直平分BE,∴AE=BE,∵四边形ABCD是矩形,∴∠ABC=∠A=90°,∴ABE是等腰直角三角形,∴BE=2AE;故答案为:BE=2AE;(2)①当BEF是等边三角形时,BF=BE,∠EBF=60°,∴∠ABE=90°﹣60°=30°,∵∠A=90°,∴BE=2AE,AB=3AE=3,∴AE=1,BE=2,∴BF=2;②存在,理由如下:∵矩形ABCD中,CD=AB=3,BC=23,∴矩形ABCD的面积=AB×BC=3×23=6,第一种情况:当点F在边BC上时,如图1所示:此时可得:S△BEF≤12S矩形ABCD,即当点F与点C重合时S△BEF最大,此时S△BEF=3,由折叠的性质得:CE=CB=23,即EF=23;第二种情况:当点F在边CD上时,过点F作FH∥BC交AB于点H,交BE于点K,如图2所示:∵S△EKF=12KF•AH≤12HF•AH=12S矩形AHFD,S△BKF=12KF•BH≤12HF•BH=12S矩形BCFH,∴S△BEF=S△EKF+S△BKF≤12S矩形ABCD=3,即当点F为CD的中点时,BEF的面积最大,此时,DF=12CD=32,点E与点A重合,BEF的面积为3,∴EF=22AD DF+=512;综上所述,BEF的面积存在最大值,此时EF的长为23或512.【点睛】此题考查的是矩形与折叠问题,此题难度较大,掌握矩形的性质、折叠的性质、等边三角形的性质和勾股定理是解决此题的关键.7.(1)①7;②证明见解析;(2)93,理由见解析【分析】(1)①如图1中,延长BC交DE的延长线于T,过点T作TH⊥BD于H,设BD=2x.证明△BDT是等腰直角三角形,四边形ACTE是矩形,进而利用勾股定理构建方程求解即可;②如图2中,延长BC交DE的延长线于T,连接TF,进而利用全等三角形的性质证明△CEF是等腰直角三角形即可解决问题;(2)如图3中,根据题意设∠EAD=x,则∠BAC=2x.证明△ABC是等边三角形,再根据垂线段最短即可解决问题.【详解】解:(1)①如图1中,延长BC交DE的延长线于T,过点T作TH⊥BD于H,设BD=2x.∵∠ACB=90°,∠ACB+∠AED=180°,∴∠AED=90°,∵CA=CB,EA=ED,∴∠B=∠D=45°,∴∠BTD=90°,∵∠TCA=∠CTE=∠TEA=90°,∴四边形ACTE是矩形,∴52 EC AT==∵TH⊥BD,∴BH=HD=x,∴TH=HB=HD=x ,∵AB=3,∴AH=x-3,在Rt △ATH 中,则有22252(())3x x =-+, 解得:72x =或12-(不符合题意舍弃), ∴BD=2x=7.②证明:如图2中,延长BC 交DE 的延长线于T ,连接TF .∵∠B=∠D=45°,∴TB=TD ,∵∠BTD=90°,BF=DF ,∴TF ⊥BD ,∠FTE=∠BTF=45°,∴TF=BF ,∠BFT=90°,∵四边形ACTE 是矩形,∴TE=AC ,∴AC=BC ,∴BC=TE ,∵∠B=∠FTE=45°,∴△FBC ≌△FTE (SAS ),∴FC=EF ,∠BFC=∠TFE ,∴∠CFE=∠BFT=90°,∴△CFE 是等腰直角三角形,∴2EF .(2)如图3中,设∠EAD=x ,则∠BAC=2x .∵EA=ED,∴∠EAD=∠EDA=x,∴2x+∠AED=180°,∵∠ACB+∠AED=180°,∴∠ACB=2x,∵CB=CA,∴∠B=∠CAB=2x,∴∠C=∠B=∠CAB,∴△ABC是等边三角形,∴∠CAB=60°,∠EAD=30°,当AD⊥BC时,△ADE的面积最小,∵AB=BC=AC=3,∴322 AD=,∴S△ADE的最小值132393 24==.【点睛】本题属于三角形综合题,考查等腰直角三角形的判定和性质,等边三角形的判定和性质,矩形的判定和性质,全等三角形的判定和性质等知识,解题的关键是学会添加常用辅助线,构造全等三角形解决问题,属于中考压轴题.8.(1)12;(2)13ADAC=.【分析】(1)易证四边形CDEB是矩形,由条件“四边形ADBE是平行四边形可得AD=EB=DC,从而得到ADAC的值.(2)由题可知当DE AC⊥时,DE最短,可以证到四边形DCBE是矩形.从而可以得到各边关系从而求出ADAC的值.【详解】解:(1)∵四边形ADBE是平行四边形,∴AD ∥BE ,AD =BE .∵DE ⊥AC ,∠ACB =90°,∴∠ADE =∠C =90°.∴DE ∥BC .∵DC ∥BE ,DE ∥BC ,∠C =90°,∴四边形DCBE 是矩形.∴EB =DC .∴AD =DC . ∴AD AC ==12. 故答案为:12.(2)如图,由题可知当DE AC ⊥时,DE 最短.最小值是6.∵四边形FDBE 是平行四边形,∴//DF BE ,DF BE =.∵DE AC ⊥,90C ∠=︒,∴90ADE C ∠=∠=︒.∴//DE BC .∴四边形CDEB 是平行四边形,又∵90C ∠=︒,∴四边形CDEB 是矩形.∴BE CD =,6DE BC ==.∴DF CD =.∵AF AD =,∴2DC DF AD ==.∴3AC AD DC AD =+=. ∴13AD AC =. 【点睛】 本题考查了平行线之间的距离、平行线的判定、矩形的判定与性质、平行四边形的性质等知识,具有一定的综合性;本题还考查了阅读能力,体现了自主探究与合作交流相结合的新课程理念,是一道好题.9.(1)答案见解析;(2)24【分析】(1) 首先利用ASA 证明△CDF ≌△ADE ,进而得到AE=CF ,于是得四边形AECF 是平行四边形,再根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形即可得到结论;(2)首先利用勾股定理求出DE 的长,再利用对角线乘积的一半求出菱形的面积.【详解】(1)∵CF// AB ,∴∠DCF= ∠DAE ,∵PQ 垂直平分AC ,∴CD= AD ,在△CDF 和△ADE 中,DCF DAE CD ADCDF ADE ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩, ∴△CDF ≌△ADE ,∴CF=AE,∵CF ∥AE ,∴四边形AECF 是平行四边形,∵PQ 垂直平分AC ,∴AE=CE ,∴四边形AECF 是菱形;(2)∵四边形AECF 是菱形,∴△ADE 是直角三角形,∵AD=142AC ,AE=5 , ∴3==,∴EF= 2DE=6, ∴菱形AECF 的面积为11862422AC EF ⋅=⨯⨯=.【点睛】此题考查菱形的判定及性质定理,三角形全等的判定定理,线段垂直平分线的性质定理,勾股定理,正确掌握菱形的判定及性质定理是解题的关键.10.(1)见解析;(2)①43t =;②12a b += 【分析】(1)先证明四边形AFCE 为平行四边形,再根据对角线互相垂直平分的平行四边形是菱形作出判定;(2)①分情况讨论可知,当P 点在BF 上、Q 点在ED 上时,才能构成平行四边形,根据平行四边形的性质列出方程求解即可;②分三种情况讨论可知a 与b 满足的数量关系式.【详解】(1)证明:∵四边形ABCD 是矩形,∴AD BC ∥∴,CAD ACB AEF CEF ∠=∠∠=∠,∵EF 垂直平分AC ,垂足为O ,∴OA OC =,∴AOE COF △≌△,∴OE OF =,∴四边形AFCE 为平行四边形,又∵EF OF ⊥∴四边形AFCE 为菱形,(2)①43t =秒. 显然当P 点在AF 上时,Q 点在CD 上,此时AC P Q 、、、四点不可能构成平行四边形;同理P 点在AB 上时,Q 点在DE 或CE 上,也不能构成平行四边形.因此只有当P 点在BF 上、Q 点在ED 上时,才能构成平行四边形.∴以AC P Q 、、、四点为顶点的四边形是平行四边形时,PC QA = ∴点P 的速度为每秒5cm ,点Q 的速度为每秒4cm ,运动时间为t 秒,∴5,4124PC t QA CD AD t t ==+-=-,∴5124t t =-,解得43t = ∴以AC P Q 、、、四点为顶点的四边形是平行四边形时,43t =秒. ②a 与b 满足的数量关系式是12a b +=, 由题意得,以AC P Q 、、、四点为顶点的四边形是平行四边形时, 点P Q 、在互相平行的对应边上,分三种情况:i )如图1,当P 点在AF 上、Q 点在CE 上时,AP CP =,即12a b =-,得12a b +=.ii )如图2,当P 点在B 上、Q 点在DE 上时,AQ CP =,即12b a -=,得12a b +=. iii )如图3,当P 点在AB 上、Q 点在CD 上时,AQ CP =,即12a b -=,得12a b +=.综上所述,a 与b 满足的数量关系式是()120a b ab +=≠.【点睛】此题考查线段垂直平分线的性质,菱形的判定及性质,勾股定理,全等三角形的判定及性质,平行四边形的判定及性质,解题中注意分类讨论的思想.。

人教版八年级数学下册第18章平行四边形 知识要点总结

人教版八年级数学下册第18章平行四边形 知识要点总结

人教版八年级数学下册第18章平行四边形知识要点总结第18章平行四边形复习平行四边形知识点一、平行四边形定义:二、平行四边形的性质边:1.两组对边互相平行且相等;符号语言:角:2.两组对角分别相等;符号语言:对角线:3.对角线互相平分。

符号语言:对称性:中心对称图形但不一定是轴对称图形平行线之间的距离:平行线间的距离都相等符号语言:∵AE∥BF且AB⊥BF,CD⊥BF,EF⊥BF∴AB=CD=EF三、平行四边形的判定边:1. 两组对边分别平行.....的四边形是平行四边形;符号语言:2. 两组对边分别相等......的四边形是平行四边形;符号语言:3. 一组对边平行且相等......的四边形是平行四边形;符号语言:角:4. 两组对角分别相等......的四边形是平行四边形;符号语言:对角线:5.对角线互相平分的四边形是平行四边形;符号语言:四、平行四边形的面积公式S□ABCD=ah(a是边,h是这个边的高);五、与三角形有关的知识点1.三角形中位线定义:连接三角形两边中点的线段..叫做三角形的中位线。

2.三角形的中位线定理:三角形的中位线平行于第三边,并且等于第三边的一半符号语言:3.取值范围:利用三角形的性质:两边之和大于第三边;两边之差小于第三边 如:已知□ABCD 两对角线的长分别为6和8,则较短边长x 的取值范围为1<x<7.4.直角三角形性质定理(1)直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.符号语言:∵在Rt △ABC 中,且AD =CD∴ BD=AD=CD(2)直角三角形中,30°角所对应的直角边等于斜边的一半.符号语言:∵在Rt △ABC 中,且∠A=30°∴BC=12AC 或 2BC=AC特殊的平行四边形知识点—矩形一、矩形的定义:二、矩形的性质1.矩形具有平行四边形的所有性质;2.矩形的四个角都是直角; 符号语言:3.矩形的对角线平分且相等。

符号语言:三、矩形判定1.有一个角是直角的平行四边形.....叫做矩形。

(完整版)平行四边形全章知识点总结

(完整版)平行四边形全章知识点总结

平行四边形【知识脉络】【基础知识】Ⅰ. 平行四边形(1)平行四边形性质1)平行四边形的定义:有两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形.2)平行四边形的性质(包括边、角、对角线三方面) : AB DO C边:①平行四边形的两组对边分别平行; ②平行四边形的两组对边分别相等;角:③平行四边形的两组对角分别相等;对角线:④平行四边形的对角线互相平分.【补充】平行四边形的邻角互补;平行四边形是中心对称图形,对称中心是对角线的交点.(2)平行四边形判定1)平行四边形的判定(包括边、角、对角线三方面):A B DO CD 边:①两组对边分别平行的四边形是平行四边形; ②两组对边分别相等的四边形是平行四边形; ③一组对边平行且相等的四边形是平行四边形; 角:④两组对角分别相等的四边形是平行四边形; 对角线:⑤对角线互相平分的四边形是平行四边形.2)三角形中位线:连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线.3)三角形中位线定理:三角形的中位线平行于三角形的第三边,且等于第三边的一半.4)平行线间的距离:两条平行线中,一条直线上的任意一点到另一条直线的距离,叫做这两条平行线间的距离。

两条平行线间的距离处处相等。

Ⅱ. 矩形(1)矩形的性质1)矩形的定义:有一个角是直角的平行四边形叫做矩形.2)矩形的性质:①矩形具有平行四边形的所有性质;②矩形的四个角都是直角;③矩形的对角线相等;④矩形既是轴对称图形,又是中心对称图形,有两条对称轴,对称中心是对角线的交点.(2)矩形的判定1)矩形的判定:①有一个角是直角的平行四边形是矩形;②对角线相等的平行四边形是矩形;③有三个角是直角的四边形是矩形.2)证明一个四边形是矩形的步骤:方法一:先证明该四边形是平行四边形,再证一角为直角或对角线相等;方法二:若一个四边形中的直角较多,则可证三个角为直角. 3)直角三角形斜边中线定理:(如右图)直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.Ⅲ. 菱形(1)菱形的性质 1)菱形的定义:有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形. 2)菱形的性质: ①菱形具有平行四边形的所有性质; ②菱形的四条边都相等; ③菱形的两条对角线互相垂直,并且每一条对角线平分一组对角; ④菱形既是轴对称图形,又是中心对称图形,有两条对称轴,对称中心是对角线交点. 3)菱形的面积公式:菱形的两条对角线的长分别为b a ,,则ab S 21菱形 (2)菱形的判定1)菱形的判定:①有一组邻边相等的平行四边形是菱形;②对角线互相垂直的平行四边形是菱形;③四条边都相等的四边形是菱形.2)证明一个四边形是菱形的步骤:方法一:先证明它是一个平行四边形,然后证明“一组邻边相等”或“对角线互相垂直”; 方法二:直接证明“四条边相等”.Ⅳ. 正方形(1)正方形的性质1)正方形的定义:有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形.2)正方形的性质:正方形具有平行四边形、矩形、菱形的所有性质,即①正方形的四条边都相等;②四个角都是直角;③对角线互相垂直平分且相等,并且每条对角线平分一组对角.3)正方形既是轴对称图形,又是中心对称图形,它有四条对称轴,对角线的交点是对称中心.(2)正方形的判定1)正方形的判定:①有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形是正方形;②有一组邻边相等的矩形是正方形;③对角线互相垂直的矩形是正方形;④有一个角是直角的菱形是正方形;⑤对角线相等的菱形是正方形;⑥对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形.中点四边形1、顺次连接四边形各边中点所围成四边形是平行四边形2、顺次连接菱形各边中点所围成四边形是矩形3、顺次连接矩形各边中点所围成四边形是菱形4、顺次连接等腰梯形各边中点所围成四边形是菱形5、顺次连接正方形各边中点所围成四边形是正方形例:如果顺次连接一个四边形各边中点所得新的四边形是菱形,那么对这个四边形的形状描述最准确的是()A.矩形B.等腰梯形C.菱形D.对角线相等的四边形解:矩形,等腰梯形均能得到菱形但不够全面,菱形无法得到菱形,即只要对角线相等不管是什么形状均可,故选D.。

初二平行四边形所有知识点总结和常考题提高难题压轴题练习(含答案解析)

初二平行四边形所有知识点总结和常考题提高难题压轴题练习(含答案解析)

A C BD 初二平行四边形所有知识点总结和常考题知识点:1、平行四边形定义:有两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。

2、平行四边形的性质:⑴平行四边形的对边相等;⑵平行四边形的对角相等:⑶平行四边形的对角线互相平分。

3平行四边形的判定:⑴.两组对边分别相等的四边形是平行四边形; ⑵对角线互相平分的四边形是平行四边形;⑶两组对角分别相等的四边形是平行四边形; ⑷一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。

4、矩形的定义:有一个角是直角的平行四边形。

5、矩形的性质:⑴矩形的四个角都是直角;⑵矩形的对角线相等。

6、矩形判定定理:⑴ 有三个角是直角的四边形是矩形;⑵对角线相等的平行四边形是矩形。

7、中位线定理:三角形的中位线平行于三角形的第三边,且等于第三边的一半。

直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。

(连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。

)8、菱形的定义 :有一组邻边相等的平行四边形。

9、菱形的性质:⑴菱形的四条边都相等;⑵菱形的两条对角线互相垂直,并且每一条对角线平分一组对角。

S 菱形=1/2×ab (a 、b 为两条对角线长)10、菱形的判定定理:⑴四条边相等的四边形是菱形。

⑵对角线互相垂直的平行四边形是菱形。

11、正方形定义:一个角是直角的菱形或邻边相等的矩形。

12正方形判定定理:⑴ 邻边相等的矩形是正方形。

⑵有一个角是直角的菱形是正方形。

(矩形+菱形=正方形)常考题:一.选择题(共14小题)1.矩形具有而菱形不具有的性质是( )A .两组对边分别平行B .对角线相等C .对角线互相平分D .两组对角分别相等2.平行四边形ABCD 中,AC 、BD 是两条对角线,如果添加一个条件,即可推出平行四边形ABCD 是矩形,那么这个条件是( )A.AB=BC B.AC=BD C.AC⊥BD D.AB⊥BD3.如图,已知四边形ABCD是平行四边形,下列结论中不正确的是()A.当AB=BC时,它是菱形B.当AC⊥BD时,它是菱形C.当∠ABC=90°时,它是矩形D.当AC=BD时,它是正方形4.顺次连接任意四边形四边中点所得的四边形一定是()A.平行四边形B.矩形C.菱形D.正方形5.在平面直角坐标系中,平行四边形ABCD的顶点A,B,D的坐标分别是(0,0),(5,0),(2,3),则顶点C的坐标是()A.(3,7) B.(5,3) C.(7,3) D.(8,2)6.如图,▱ABCD的对角线AC与BD相交于点O,AB⊥AC,若AB=4,AC=6,则BD的长是()A.8 B.9 C.10 D.117.如图,把矩形ABCD沿EF翻折,点B恰好落在AD边的B′处,若AE=2,DE=6,∠EFB=60°,则矩形ABCD的面积是()A.12 B.24 C.12D.168.如图,在菱形ABCD中,∠BAD=80°,AB的垂直平分线交对角线AC于点F,垂足为E,连接DF,则∠CDF等于()A.50°B.60°C.70°D.80°9.如图,在▱ABCD中,用直尺和圆规作∠BAD的平分线AG交BC于点E.若BF=6,AB=5,则AE的长为()A.4 B.6 C.8 D.1010.如图,菱形ABCD中,∠B=60°,AB=4,则以AC为边长的正方形ACEF的周长为()A.14 B.15 C.16 D.1711.如图,在平行四边形ABCD中,AB=4,∠BAD的平分线与BC的延长线交于点E,与DC交于点F,且点F为边DC的中点,DG⊥AE,垂足为G,若DG=1,则AE的边长为()A.2 B.4 C.4 D.812.如图,边长为6的大正方形中有两个小正方形,若两个小正方形的面积分别为S1,S2,则S1+S2的值为()A.16 B.17 C.18 D.1913.如图,正方形ABCD的边长为4,点E在对角线BD上,且∠BAE=22.5°,EF ⊥AB,垂足为F,则EF的长为()A.1 B.C.4﹣2D.3﹣414.如图,在正方形ABCD的外侧,作等边三角形ADE,AC、BE相交于点F,则∠BFC为()A.45°B.55°C.60°D.75°二.填空题(共13小题)15.已知菱形的两对角线长分别为6cm和8cm,则菱形的面积为cm2.16.如图,在▱ABCD中,BE平分∠ABC,BC=6,DE=2,则▱ABCD的周长等于.17.如图,▱ABCD的对角线AC,BD相交于点O,点E,F分别是线段AO,BO 的中点,若AC+BD=24厘米,△OAB的周长是18厘米,则EF=厘米.18.如图,矩形ABCD的对角线AC和BD相交于点O,过点O的直线分别交AD 和BC于点E、F,AB=2,BC=3,则图中阴影部分的面积为.19.如图,在平面直角坐标系xOy中,若菱形ABCD的顶点A,B的坐标分别为(﹣3,0),(2,0),点D在y轴上,则点C的坐标是.20.如图,在正方形ABCD中,点F为CD上一点,BF与AC交于点E.若∠CBF=20°,则∠AED等于度.21.如图,▱ABCD中,∠ABC=60°,E、F分别在CD和BC的延长线上,AE∥BD,EF⊥BC,EF=,则AB的长是.22.如图所示,菱形ABCD的边长为4,且AE⊥BC于E,AF⊥CD于F,∠B=60°,则菱形的面积为.23.如图,D是△ABC内一点,BD⊥CD,AD=6,BD=4,CD=3,E、F、G、H分别是AB、AC、CD、BD的中点,则四边形EFGH的周长是.24.如图,在平面直角坐标系中,O为坐标原点,矩形OABC中,A(10,0),C (0,4),D为OA的中点,P为BC边上一点.若△POD为等腰三角形,则所有满足条件的点P的坐标为.25.如图,已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A(﹣2,0),B(﹣1,2),C(2,0).请直接写出以A,B,C为顶点的平行四边形的第四个顶点D的坐标.26.如图,在菱形ABCD中,AB=4cm,∠ADC=120°,点E、F同时由A、C两点出发,分别沿AB、CB方向向点B匀速移动(到点B为止),点E的速度为1cm/s,点F的速度为2cm/s,经过t秒△DEF为等边三角形,则t的值为.27.如图,四边形ABCD中,∠A=90°,AB=3,AD=3,点M,N分别为线段BC,AB上的动点(含端点,但点M不与点B重合),点E,F分别为DM,MN的中点,则EF长度的最大值为.三.解答题(共13小题)28.如图,已知:AB∥CD,BE⊥AD,垂足为点E,CF⊥AD,垂足为点F,并且AE=DF.求证:四边形BECF是平行四边形.29.已知:如图,在△ABC中,AB=AC,AD⊥BC,垂足为点D,AN是△ABC外角∠CAM的平分线,CE⊥AN,垂足为点E,(1)求证:四边形ADCE为矩形;(2)当△ABC满足什么条件时,四边形ADCE是一个正方形?并给出证明.30.如图,分别以Rt△ABC的直角边AC及斜边AB向外作等边△ACD及等边△ABE.已知∠BAC=30°,EF⊥AB,垂足为F,连接DF.(1)试说明AC=EF;(2)求证:四边形ADFE是平行四边形.31.如图,矩形ABCD中,AC与BD交于点O,BE⊥AC,CF⊥BD,垂足分别为E,F.求证:BE=CF.32.如图,在△ABC中,D是BC边上的一点,E是AD的中点,过A点作BC的平行线交CE的延长线于点F,且AF=BD,连接BF.(1)线段BD与CD有什么数量关系,并说明理由;(2)当△ABC满足什么条件时,四边形AFBD是矩形?并说明理由.33.如图,在△ABC中,D、E分别是AB、AC的中点,BE=2DE,延长DE到点F,使得EF=BE,连接CF.(1)求证:四边形BCFE是菱形;(2)若CE=4,∠BCF=120°,求菱形BCFE的面积.34.如图,在正方形ABCD中,E是AB上一点,F是AD延长线上一点,且DF=BE.(1)求证:CE=CF;(2)若点G在AD上,且∠GCE=45°,则GE=BE+GD成立吗?为什么?35.如图,在△ABC中,点O是AC边上的一个动点,过点O作直线MN∥BC,设MN交∠BCA的角平分线于点E,交∠BCA的外角平分线于点F.(1)求证:EO=FO;(2)当点O运动到何处时,四边形AECF是矩形?并证明你的结论.36.如图,已知:在平行四边形ABCD中,点E、F、G、H分别在边AB、BC、CD、DA上,AE=CG,AH=CF,且EG平分∠HEF.求证:(1)△AEH≌△CGF;(2)四边形EFGH是菱形.37.如图,四边形ABCD中,AD∥BC,BA⊥AD,BC=DC,BE⊥CD于点E.(1)求证:△ABD≌△EBD;(2)过点E作EF∥DA,交BD于点F,连接AF.求证:四边形AFED是菱形.38.如图①,在正方形ABCD中,P是对角线AC上的一点,点E在BC的延长线上,且PE=PB.(1)求证:△BCP≌△DCP;(2)求证:∠DPE=∠ABC;(3)把正方形ABCD改为菱形,其它条件不变(如图②),若∠ABC=58°,则∠DPE=度.39.在数学活动课中,小辉将边长为和3的两个正方形放置在直线l上,如图1,他连结AD、CF,经测量发现AD=CF.(1)他将正方形ODEF绕O点逆时针旋转一定的角度,如图2,试判断AD与CF还相等吗?说明你的理由;(2)他将正方形ODEF绕O点逆时针旋转,使点E旋转至直线l上,如图3,请你求出CF的长.40.数学课上,张老师出示了问题:如图1,四边形ABCD是正方形,点E是边BC的中点.∠AEF=90°,且EF交正方形外角∠DCG的平分线CF于点F,求证:AE=EF.经过思考,小明展示了一种正确的解题思路:取AB的中点M,连接ME,则AM=EC,易证△AME≌△ECF,所以AE=EF.在此基础上,同学们作了进一步的研究:(1)小颖提出:如图2,如果把“点E是边BC的中点”改为“点E是边BC上(除B,C外)的任意一点”,其它条件不变,那么结论“AE=EF”仍然成立,你认为小颖的观点正确吗?如果正确,写出证明过程;如果不正确,请说明理由;(2)小华提出:如图3,点E是BC的延长线上(除C点外)的任意一点,其他条件不变,结论“AE=EF”仍然成立.你认为小华的观点正确吗?如果正确,写出证明过程;如果不正确,请说明理由.初二平行四边形所有知识点总结和常考题提高难题压轴题练习(含答案解析)参考答案与试题解析一.选择题(共14小题)1.(2013•宜宾)矩形具有而菱形不具有的性质是()A.两组对边分别平行B.对角线相等C.对角线互相平分 D.两组对角分别相等【分析】根据矩形与菱形的性质对各选项分析判断后利用排除法求解.【解答】解:A、矩形与菱形的两组对边都分别平行,故本选项错误;B、矩形的对角线相等,菱形的对角线不相等,故本选项正确;C、矩形与菱形的对角线都互相平分,故本选项错误;D、矩形与菱形的两组对角都分别相等,故本选项错误.故选B.【点评】本题考查了矩形的性质,菱形的性质,熟记两图形的性质是解题的关键.2.(2014•河池)平行四边形ABCD中,AC、BD是两条对角线,如果添加一个条件,即可推出平行四边形ABCD是矩形,那么这个条件是()A.AB=BC B.AC=BD C.AC⊥BD D.AB⊥BD【分析】根据对角线相等的平行四边形是矩形判断.【解答】解:A、是邻边相等,可得到平行四边形ABCD是菱形,故不正确;B、是对角线相等,可推出平行四边形ABCD是矩形,故正确;C、是对角线互相垂直,可得到平行四边形ABCD是菱形,故不正确;D、无法判断.故选B.【点评】本题主要考查的是矩形的判定定理.但需要注意的是本题的知识点是关于各个图形的性质以及判定.3.(2008•扬州)如图,已知四边形ABCD是平行四边形,下列结论中不正确的是()A.当AB=BC时,它是菱形B.当AC⊥BD时,它是菱形C.当∠ABC=90°时,它是矩形D.当AC=BD时,它是正方形【分析】根据邻边相等的平行四边形是菱形;根据所给条件可以证出邻边相等;根据有一个角是直角的平行四边形是矩形;根据对角线相等的平行四边形是矩形.【解答】解:A、根据邻边相等的平行四边形是菱形可知:四边形ABCD是平行四边形,当AB=BC时,它是菱形,故A选项正确;B、∵四边形ABCD是平行四边形,∴BO=OD,∵AC⊥BD,∴AB2=BO2+AO2,AD2=DO2+AO2,∴AB=AD,∴四边形ABCD是菱形,故B选项正确;C、有一个角是直角的平行四边形是矩形,故C选项正确;D、根据对角线相等的平行四边形是矩形可知当AC=BD时,它是矩形,不是正方形,故D选项错误;综上所述,符合题意是D选项;故选:D.【点评】此题主要考查学生对正方形的判定、平行四边形的性质、菱形的判定和矩形的判定的理解和掌握,此题涉及到的知识点较多,学生答题时容易出错.4.(2011•张家界)顺次连接任意四边形四边中点所得的四边形一定是()A.平行四边形B.矩形C.菱形D.正方形【分析】顺次连接任意四边形四边中点所得的四边形,一组对边平行并且等于原来四边形某一对角线的一半,说明新四边形的对边平行且相等.所以是平行四边形.【解答】解:连接BD,已知任意四边形ABCD,E、F、G、H分别是各边中点.∵在△ABD中,E、H是AB、AD中点,∴EH∥BD,EH=BD.∵在△BCD中,G、F是DC、BC中点,∴GF∥BD,GF=BD,∴EH=GF,EH∥GF,∴四边形EFGH为平行四边形.故选:A.【点评】本题三角形的中位线的性质考查了平行四边形的判定:三角形的中位线平行于第三边,且等于第三边的一半.5.(2006•南京)在平面直角坐标系中,平行四边形ABCD的顶点A,B,D的坐标分别是(0,0),(5,0),(2,3),则顶点C的坐标是()A.(3,7) B.(5,3) C.(7,3) D.(8,2)【分析】因为D点坐标为(2,3),由平行四边形的性质,可知C点的纵坐标一定是3,又由D点相对于A点横坐标移动了2,故可得C点横坐标为2+5=7,即顶点C的坐标(7,3).【解答】解:已知A,B,D三点的坐标分别是(0,0),(5,0),(2,3),∵AB在x轴上,∴点C与点D的纵坐标相等,都为3,又∵D点相对于A点横坐标移动了2﹣0=2,∴C点横坐标为2+5=7,∴即顶点C的坐标(7,3).故选:C.【点评】本题主要是对平行四边形的性质与点的坐标的表示及平行线的性质和互为余(补)角的等知识的直接考查.同时考查了数形结合思想,题目的条件既有数又有形,解决问题的方法也要既依托数也依托形,体现了数形的紧密结合,但本题对学生能力的要求并不高.6.(2014•河南)如图,▱ABCD的对角线AC与BD相交于点O,AB⊥AC,若AB=4,AC=6,则BD的长是()A.8 B.9 C.10 D.11【分析】利用平行四边形的性质和勾股定理易求BO的长,进而可求出BD的长.【解答】解:∵▱ABCD的对角线AC与BD相交于点O,∴BO=DO,AO=CO,∵AB⊥AC,AB=4,AC=6,∴BO==5,∴BD=2BO=10,故选:C.【点评】本题考查了平行四边形的性质以及勾股定理的运用,是中考常见题型,比较简单.7.(2013•南充)如图,把矩形ABCD沿EF翻折,点B恰好落在AD边的B′处,若AE=2,DE=6,∠EFB=60°,则矩形ABCD的面积是()A.12 B.24 C.12D.16【分析】在矩形ABCD中根据AD∥BC得出∠DEF=∠EFB=60°,由于把矩形ABCD 沿EF翻折点B恰好落在AD边的B′处,所以∠EFB=∠DEF=60°,∠B=∠A′B′F=90°,∠A=∠A′=90°,AE=A′E=2,AB=A′B′,在△EFB′中可知∠DEF=∠EFB=∠EB′F=60°故△EFB′是等边三角形,由此可得出∠A′B′E=90°﹣60°=30°,根据直角三角形的性质得出A′B′=AB=2,然后根据矩形的面积公式列式计算即可得解.【解答】解:在矩形ABCD中,∵AD∥BC,∴∠DEF=∠EFB=60°,∵把矩形ABCD沿EF翻折点B恰好落在AD边的B′处,∴∠DEF=∠EFB=60°,∠B=∠A′B′F=90°,∠A=∠A′=90°,AE=A′E=2,AB=A′B′,在△EFB′中,∵∠DEF=∠EFB=∠EB′F=60°∴△EFB′是等边三角形,Rt△A′EB′中,∵∠A′B′E=90°﹣60°=30°,∴B′E=2A′E,而A′E=2,∴B′E=4,∴A′B′=2,即AB=2,∵AE=2,DE=6,∴AD=AE+DE=2+6=8,∴矩形ABCD的面积=AB•AD=2×8=16.故选D.【点评】本题考查了矩形的性质,翻折变换的性质,两直线平行,同旁内角互补,两直线平行,内错角相等的性质,解直角三角形,作辅助线构造直角三角形并熟记性质是解题的关键.8.(2013•扬州)如图,在菱形ABCD中,∠BAD=80°,AB的垂直平分线交对角线AC于点F,垂足为E,连接DF,则∠CDF等于()A.50°B.60°C.70°D.80°【分析】连接BF,根据菱形的对角线平分一组对角求出∠BAC,∠BCF=∠DCF,四条边都相等可得BC=DC,再根据菱形的邻角互补求出∠ABC,然后根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得AF=BF,根据等边对等角求出∠ABF=∠BAC,从而求出∠CBF,再利用“边角边”证明△BCF和△DCF全等,根据全等三角形对应角相等可得∠CDF=∠CBF.【解答】解:如图,连接BF,在菱形ABCD中,∠BAC=∠BAD=×80°=40°,∠BCF=∠DCF,BC=DC,∠ABC=180°﹣∠BAD=180°﹣80°=100°,∵EF是线段AB的垂直平分线,∴AF=BF,∠ABF=∠BAC=40°,∴∠CBF=∠ABC﹣∠ABF=100°﹣40°=60°,∵在△BCF和△DCF中,,∴△BCF≌△DCF(SAS),∴∠CDF=∠CBF=60°.故选:B.【点评】本题考查了菱形的性质,全等三角形的判定与性质,线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质,综合性强,但难度不大,熟记各性质是解题的关键.9.(2015•河南)如图,在▱ABCD中,用直尺和圆规作∠BAD的平分线AG交BC 于点E.若BF=6,AB=5,则AE的长为()A.4 B.6 C.8 D.10【分析】由基本作图得到AB=AF,加上AO平分∠BAD,则根据等腰三角形的性质得到AO⊥BF,BO=FO=BF=3,再根据平行四边形的性质得AF∥BE,所以∠1=∠3,于是得到∠2=∠3,根据等腰三角形的判定得AB=EB,然后再根据等腰三角形的性质得到AO=OE,最后利用勾股定理计算出AO,从而得到AE的长.【解答】解:连结EF,AE与BF交于点O,如图,∵AB=AF,AO平分∠BAD,∴AO⊥BF,BO=FO=BF=3,∵四边形ABCD为平行四边形,∴AF∥BE,∴∠1=∠3,∴∠2=∠3,∴AB=EB,而BO⊥AE,∴AO=OE,在Rt△AOB中,AO===4,∴AE=2AO=8.故选C.【点评】本题考查了平行四边形的性质:平行四边形的对边相等;平行四边形的对角相等;平行四边形的对角线互相平分.也考查了等腰三角形的判定与性质和基本作图.10.(2013•凉山州)如图,菱形ABCD中,∠B=60°,AB=4,则以AC为边长的正方形ACEF的周长为()A.14 B.15 C.16 D.17【分析】根据菱形得出AB=BC,得出等边三角形ABC,求出AC,长,根据正方形的性质得出AF=EF=EC=AC=4,求出即可.【解答】解:∵四边形ABCD是菱形,∴AB=BC,∵∠B=60°,∴△ABC是等边三角形,∴AC=AB=4,∴正方形ACEF的周长是AC+CE+EF+AF=4×4=16,故选C.【点评】本题考查了菱形性质,正方形性质,等边三角形的性质和判定的应用,关键是求出AC的长.11.(2013•泰安)如图,在平行四边形ABCD中,AB=4,∠BAD的平分线与BC 的延长线交于点E,与DC交于点F,且点F为边DC的中点,DG⊥AE,垂足为G,若DG=1,则AE的边长为()A.2 B.4 C.4 D.8【分析】由AE为角平分线,得到一对角相等,再由ABCD为平行四边形,得到AD与BE平行,利用两直线平行内错角相等得到一对角相等,等量代换及等角对等边得到AD=DF,由F为DC中点,AB=CD,求出AD与DF的长,得出三角形ADF 为等腰三角形,根据三线合一得到G为AF中点,在直角三角形ADG中,由AD 与DG的长,利用勾股定理求出AG的长,进而求出AF的长,再由三角形ADF 与三角形ECF全等,得出AF=EF,即可求出AE的长.【解答】解:∵AE为∠DAB的平分线,∴∠DAE=∠BAE,∵DC∥AB,∴∠BAE=∠DFA,∴∠DAE=∠DFA,∴AD=FD,又F为DC的中点,∴DF=CF,∴AD=DF=DC=AB=2,在Rt△ADG中,根据勾股定理得:AG=,则AF=2AG=2,∵平行四边形ABCD,∴AD∥BC,∴∠DAF=∠E,∠ADF=∠ECF,在△ADF和△ECF中,,∴△ADF≌△ECF(AAS),∴AF=EF,则AE=2AF=4.故选:B【点评】此题考查了平行四边形的性质,全等三角形的判定与性质,勾股定理,等腰三角形的判定与性质,熟练掌握平行四边形的判定与性质是解本题的关键.12.(2013•菏泽)如图,边长为6的大正方形中有两个小正方形,若两个小正方形的面积分别为S1,S2,则S1+S2的值为()A.16 B.17 C.18 D.19【分析】由图可得,S1的边长为3,由AC=BC,BC=CE=CD,可得AC=2CD,CD=2,EC=;然后,分别算出S1、S2的面积,即可解答.【解答】解:如图,设正方形S2的边长为x,根据等腰直角三角形的性质知,AC=x,x=CD,∴AC=2CD,CD==2,∴EC2=22+22,即EC=;∴S2的面积为EC2==8;∵S1的边长为3,S1的面积为3×3=9,∴S1+S2=8+9=17.故选:B.【点评】本题考查了正方形的性质和等腰直角三角形的性质,考查了学生的读图能力.13.(2013•连云港)如图,正方形ABCD的边长为4,点E在对角线BD上,且∠BAE=22.5°,EF⊥AB,垂足为F,则EF的长为()A.1 B.C.4﹣2D.3﹣4【分析】根据正方形的对角线平分一组对角可得∠ABD=∠ADB=45°,再求出∠DAE 的度数,根据三角形的内角和定理求∠AED,从而得到∠DAE=∠AED,再根据等角对等边的性质得到AD=DE,然后求出正方形的对角线BD,再求出BE,最后根据等腰直角三角形的直角边等于斜边的倍计算即可得解.【解答】解:在正方形ABCD中,∠ABD=∠ADB=45°,∵∠BAE=22.5°,∴∠DAE=90°﹣∠BAE=90°﹣22.5°=67.5°,在△ADE中,∠AED=180°﹣45°﹣67.5°=67.5°,∴∠DAE=∠AED,∴AD=DE=4,∵正方形的边长为4,∴BD=4,∴BE=BD﹣DE=4﹣4,∵EF⊥AB,∠ABD=45°,∴△BEF是等腰直角三角形,∴EF=BE=×(4﹣4)=4﹣2.故选:C.【点评】本题考查了正方形的性质,主要利用了正方形的对角线平分一组对角,等角对等边的性质,正方形的对角线与边长的关系,等腰直角三角形的判定与性质,根据角的度数的相等求出相等的角,再求出DE=AD是解题的关键,也是本题的难点.14.(2014•福州)如图,在正方形ABCD的外侧,作等边三角形ADE,AC、BE 相交于点F,则∠BFC为()A.45°B.55°C.60°D.75°【分析】根据正方形的性质及全等三角形的性质求出∠ABE=15°,∠BAC=45°,再求∠BFC.【解答】解:∵四边形ABCD是正方形,∴AB=AD,又∵△ADE是等边三角形,∴AE=AD=DE,∠DAE=60°,∴AB=AE,∴∠ABE=∠AEB,∠BAE=90°+60°=150°,∴∠ABE=(180°﹣150°)÷2=15°,又∵∠BAC=45°,∴∠BFC=45°+15°=60°.故选:C.【点评】本题主要是考查正方形的性质和等边三角形的性质,本题的关键是求出∠ABE=15°.二.填空题(共13小题)15.(2008•恩施州)已知菱形的两对角线长分别为6cm和8cm,则菱形的面积为24cm2.【分析】根据菱形的面积等于两对角线乘积的一半求得其面积即可.【解答】解:由已知得,菱形的面积等于两对角线乘积的一半即:6×8÷2=24cm2.故答案为:24.【点评】此题主要考查菱形的面积等于两条对角线的积的一半.16.(2015•梅州)如图,在▱ABCD中,BE平分∠ABC,BC=6,DE=2,则▱ABCD 的周长等于20.【分析】根据四边形ABCD为平行四边形可得AE∥BC,根据平行线的性质和角平分线的性质可得出∠ABE=∠AEB,继而可得AB=AE,然后根据已知可求得结果.【解答】解:∵四边形ABCD为平行四边形,∴AE∥BC,AD=BC,AB=CD,∴∠AEB=∠EBC,∵BE平分∠ABC,∴∠ABE=∠EBC,∴∠ABE=∠AEB,∴AB=AE,∴AE+DE=AD=BC=6,∴AE+2=6,∴AE=4,∴AB=CD=4,∴▱ABCD的周长=4+4+6+6=20,故答案为:20.【点评】本题考查了平行四边形的性质,解答本题的关键是根据平行线的性质和角平分线的性质得出∠ABE=∠AEB.17.(2013•厦门)如图,▱ABCD的对角线AC,BD相交于点O,点E,F分别是线段AO,BO的中点,若AC+BD=24厘米,△OAB的周长是18厘米,则EF=3厘米.【分析】根据AC+BD=24厘米,可得出出OA+OB=12cm,继而求出AB,判断EF 是△OAB的中位线即可得出EF的长度.【解答】解:∵四边形ABCD是平行四边形,∴OA=OC,OB=OD,又∵AC+BD=24厘米,∴OA+OB=12cm,∵△OAB的周长是18厘米,∴AB=6cm,∵点E,F分别是线段AO,BO的中点,∴EF是△OAB的中位线,∴EF=AB=3cm.故答案为:3.【点评】本题考查了三角形的中位线定理,解答本题需要用到:平行四边形的对角线互相平分,三角形中位线的判定定理及性质.18.(2007•临夏州)如图,矩形ABCD的对角线AC和BD相交于点O,过点O 的直线分别交AD和BC于点E、F,AB=2,BC=3,则图中阴影部分的面积为3.【分析】根据矩形是中心对称图形寻找思路:△AOE≌△COF,图中阴影部分的面积就是△BCD的面积.【解答】解:∵四边形ABCD是矩形,∴OA=OC,∠AEO=∠CFO;又∵∠AOE=∠COF,在△AOE和△COF中,,∴△AOE≌△COF,∴S△AOE =S△COF,∴图中阴影部分的面积就是△BCD的面积.S△BCD=BC×CD=×2×3=3.故答案为:3.【点评】此题主要考查了矩形的性质以及全等三角形的判定和性质,能够根据三角形全等,从而将阴影部分的面积转化为矩形面积的一半,是解决问题的关键.19.(2014•宿迁)如图,在平面直角坐标系xOy中,若菱形ABCD的顶点A,B 的坐标分别为(﹣3,0),(2,0),点D在y轴上,则点C的坐标是(5,4).【分析】利用菱形的性质以及勾股定理得出DO的长,进而求出C点坐标.【解答】解:∵菱形ABCD的顶点A,B的坐标分别为(﹣3,0),(2,0),点D 在y轴上,∴AB=5,∴DO=4,∴点C的坐标是:(5,4).故答案为:(5,4).【点评】此题主要考查了菱形的性质以及坐标与图形的性质,得出DO的长是解题关键.20.(2015•黄冈)如图,在正方形ABCD中,点F为CD上一点,BF与AC交于点E.若∠CBF=20°,则∠AED等于65度.【分析】根据正方形的性质得出∠BAE=∠DAE,再利用SAS证明△ABE与△ADE 全等,再利用三角形的内角和解答即可.【解答】解:∵正方形ABCD,∴AB=AD,∠BAE=∠DAE,在△ABE与△ADE中,,∴△ABE≌△ADE(SAS),∴∠AEB=∠AED,∠ABE=∠ADE,∵∠CBF=20°,∴∠ABE=70°,∴∠AED=∠AEB=180°﹣45°﹣70°=65°,故答案为:65【点评】此题考查正方形的性质,关键是根据正方形的性质得出∠BAE=∠DAE,再利用全等三角形的判定和性质解答.21.(2013•十堰)如图,▱ABCD中,∠ABC=60°,E、F分别在CD和BC的延长线上,AE∥BD,EF⊥BC,EF=,则AB的长是1.【分析】根据平行四边形性质推出AB=CD,AB∥CD,得出平行四边形ABDE,推出DE=DC=AB,根据直角三角形性质求出CE长,即可求出AB的长.【解答】解:∵四边形ABCD是平行四边形,∴AB∥DC,AB=CD,∵AE∥BD,∴四边形ABDE是平行四边形,∴AB=DE=CD,即D为CE中点,∵EF⊥BC,∴∠EFC=90°,∵AB∥CD,∴∠DCF=∠ABC=60°,∴∠CEF=30°,∵EF=,∴CE==2,∴AB=1,故答案为:1.【点评】本题考查了平行四边形的性质和判定,平行线性质,勾股定理,直角三角形斜边上中线性质,含30度角的直角三角形性质等知识点的应用,此题综合性比较强,是一道比较好的题目.22.(2013•黔西南州)如图所示,菱形ABCD的边长为4,且AE⊥BC于E,AF ⊥CD于F,∠B=60°,则菱形的面积为.【分析】根据已知条件解直角三角形ABE可求出AE的长,再由菱形的面积等于底×高计算即可.【解答】解:∵菱形ABCD的边长为4,∴AB=BC=4,∵AE⊥BC于E,∠B=60°,∴sinB==,∴AE=2,∴菱形的面积=4×2=8,故答案为8.【点评】本题考查了菱形的性质:四边相等以及特殊角的三角函数值和菱形面积公式的运用.23.(2013•鞍山)如图,D是△ABC内一点,BD⊥CD,AD=6,BD=4,CD=3,E、F、G、H分别是AB、AC、CD、BD的中点,则四边形EFGH的周长是11.【分析】利用勾股定理列式求出BC的长,再根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半求出EH=FG=AD,EF=GH=BC,然后代入数据进行计算即可得解.【解答】解:∵BD⊥CD,BD=4,CD=3,∴BC===5,∵E、F、G、H分别是AB、AC、CD、BD的中点,∴EH=FG=AD,EF=GH=BC,∴四边形EFGH的周长=EH+GH+FG+EF=AD+BC,又∵AD=6,∴四边形EFGH的周长=6+5=11.故答案为:11.【点评】本题考查了三角形的中位线定理,勾股定理的应用,熟记三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半是解题的关键.24.(2015•攀枝花)如图,在平面直角坐标系中,O为坐标原点,矩形OABC中,A(10,0),C(0,4),D为OA的中点,P为BC边上一点.若△POD为等腰三角形,则所有满足条件的点P的坐标为(2.5,4),或(3,4),或(2,4),或(8,4).【分析】由矩形的性质得出∠OCB=90°,OC=4,BC=OA=10,求出OD=AD=5,分情况讨论:①当PO=PD时;②当OP=OD时;③当DP=DO时;根据线段垂直平分线的性质或勾股定理即可求出点P的坐标.【解答】解:∵四边形OABC是矩形,∴∠OCB=90°,OC=4,BC=OA=10,∵D为OA的中点,∴OD=AD=5,①当PO=PD时,点P在OD得垂直平分线上,∴点P的坐标为:(2.5,4);②当OP=OD时,如图1所示:则OP=OD=5,PC==3,∴点P的坐标为:(3,4);③当DP=DO时,作PE⊥OA于E,则∠PED=90°,DE==3;分两种情况:当E在D的左侧时,如图2所示:OE=5﹣3=2,∴点P的坐标为:(2,4);当E在D的右侧时,如图3所示:OE=5+3=8,∴点P的坐标为:(8,4);综上所述:点P的坐标为:(2.5,4),或(3,4),或(2,4),或(8,4);故答案为:(2.5,4),或(3,4),或(2,4),或(8,4).【点评】本题考查了矩形的性质、坐标与图形性质、等腰三角形的判定、勾股定理;本题有一定难度,需要进行分类讨论才能得出结果.25.(2013•阜新)如图,已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A(﹣2,0),B(﹣1,2),C(2,0).请直接写出以A,B,C为顶点的平行四边形的第四个顶点D 的坐标(3,2),(﹣5,2),(1,﹣2).【分析】首先根据题意画出图形,分别以BC,AB,AC为对角线作平行四边形,即可求得答案.【解答】解:如图:以A,B,C为顶点的平行四边形的第四个顶点D的坐标分别为:(3,2),(﹣5,2),(1,﹣2).故答案为:(3,2),(﹣5,2),(1,﹣2).【点评】此题考查了平行四边形的性质.注意坐标与图形的关系.26.(2014•丹东)如图,在菱形ABCD中,AB=4cm,∠ADC=120°,点E、F同时由A、C两点出发,分别沿AB、CB方向向点B匀速移动(到点B为止),点E的速度为1cm/s,点F的速度为2cm/s,经过t秒△DEF为等边三角形,则t的值为.【分析】延长AB至M,使BM=AE,连接FM,证出△DAE≌EMF,得到△BMF 是等边三角形,再利用菱形的边长为4求出时间t的值.。

初中数学—平行四边形—史上最全

初中数学—平行四边形—史上最全

.初中数学—平行四边形一、【知识点汇总】1.平行四边形的判定和性质:性质①平行四边形对边平行;②平行四边形对边相等;③平行四边形对角相等;④平行四边形邻角互补;⑤平行四边形对角线互相平分.①行四边形的面积S a h( h 是 a边上的高)a a②行四边形是中心对称图形,其对称中心是对角线交点注意:判定①两组对边分别平行的四边形;②两组对边分别相等的四边形;③一组对边平行且相等的四边形;④两组对角分别相等的四边形;⑤对角线互相平分的四边形.1 .平行四边形的面积:平行四边形的面积等于它的底和该底上的高的积.如图 1 ,2.拓展:同底 (等底 )同高 (等高 ) 的平行四边形面积相等.如图2,3.平行四边对角线分得的四个三角形面积相等。

2.矩形的判定和性质判定性质①矩形具备平行四边形的性质.①有一个角是直角的平行四边形是矩②矩形四个角都是直角.形.③矩形两条对角线相等.②有三个角是直角的四边形是矩形.④矩形是中心对称图形,又是轴对称图形,它有③对角线相等的平行四边形是矩形.两条对称轴.⑤矩形面积 S= ab(a 、b 分别表示矩形的长和宽 ) .3.菱形的判定和性质判定性质①菱形具备平行四边形的性质.②菱形四边都相等.①一组邻边相等的平行四边形是菱③菱形两条对角线互相垂直且每条对角线平分一形.组对角.②四条边都相等的四边形是菱形.④菱形既是中心对称图形,又是轴对称图形,它③对角线互相垂直的平行四边形是菱有两条对称轴.形.⑤菱形面积 S a h a 1l1 l 2( l1、l 2分别表示菱24.正方形的判定和性质判定①有一个角是直角且一组邻边相等的平行四边形是正方形.②一组邻边相等的矩形是正方形.形两对角线的长).性质② 方形具备平行四边形性质.②正方形既具备矩形特殊性质,又具备菱形特殊.①个角是直角的菱形是正方形.②角线相等且互相垂直的平行四边形是正方形.5.梯形的判定和性质类别判定一组对边平行而另一组对边不平行梯形的四边形是梯形对角线互相垂直平分且相等,每条对角线平分一组对角;既是中心对称图形,又是轴对称图形,它有 4 条对称轴.③面积 S= a2( a 表示正方形的边长).性质①梯形一组对边平行而另一组对边不平行.②梯形中位线平行于两底且等于两底和的一半.梯形面积 S1(a+b)h mh(a、b ③2是梯形的上下底, h 是高,m是中位线).①两腰相等的梯形是等腰梯形.等腰②同一底上两角相等的梯形是等腰梯形梯形.③对角线相等的梯形是等腰梯形.①等腰梯形具有一般梯形的性质.②等腰梯形两腰相等.③等腰梯形同一底上两角相等.④ 腰梯形对角线相等.⑤腰梯形是轴对称图形.直角有一个角是直角的梯形是直角梯② 角梯形具有一般梯形的性质.梯形形.②直角梯形的一腰垂直于底边.6.梯形中的常用辅助线:7. 平行线等分线段定理( 1)如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等,那么在其它直线上所截得的线段也相等.(2)经过三角形一边中点且与另一边平行的直线必平分第三边.(3)经过梯形一腰中点且与底边平行的直线必平分另一腰.8.三角形中位线定理:三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半.梯形的中位线平行于两底且等于两底和的一半..初二考法平行四边形【题型一】边长,面积,周长1、如图, E 、 F 分别是ABCD 的边 AB 、 CD 上的点, AF 与 DE 相交于点 P , BF 与 CE 相交于 AE B点 Q ,若 S △ APD 15 cm 2 , S △BQCcm 2 ,PQ则阴影部分的面积为。

  1. 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性,平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
  2. 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
  3. 3、如文档侵犯您的权益,请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间:9:00-18:30)。

平行四边形知识点总结附解析一、解答题1.如图,在Rt ABC 中,∠B =90°,AC =60cm ,∠A =60°,点D 从点C 出发沿CA 方向以4cm/s 的速度向点A 匀速运动.同时点E 从点A 出发沿AB 方向以2cm/秒的速度向点B 匀速运动,当其中一个点到达终点时,另一个点也随之停止运动.设点D 、E 运动的时间是ts (0<t≤15).过点D 作DF ⊥BC 于点F ,连接DE ,EF .(1)求证:AE =DF ;(2)四边形AEFD 能够成为菱形吗?如果能,求出相应的t 值,如果不能,说明理由; (3)当t 为何值时,DEF 为直角三角形?请说明理由.2.如图,在Rt ABC ∆中,90ABC ∠=︒,30C ∠=︒,12AC cm =,点E 从点A 出发沿AB 以每秒1cm 的速度向点B 运动,同时点D 从点C 出发沿CA 以每秒2cm 的速度向点A 运动,运动时间为t 秒(06t <<),过点D 作DF BC ⊥于点F .(1)试用含t 的式子表示AE 、AD 、DF 的长;(2)如图①,连接EF ,求证四边形AEFD 是平行四边形;(3)如图②,连接DE ,当t 为何值时,四边形EBFD 是矩形?并说明理由.3.在矩形ABCD 中,AE ⊥BD 于点E ,点P 是边AD 上一点,PF ⊥BD 于点F ,PA =PF . (1)试判断四边形AGFP 的形状,并说明理由.(2)若AB =1,BC =2,求四边形AGFP 的周长.4.已知正方形ABCD .(1)点P 为正方形ABCD 外一点,且点P 在AB 的左侧,45APB ∠=︒.①如图(1),若点P 在DA 的延长线上时,求证:四边形APBC 为平行四边形.②如图(2),若点P 在直线AD 和BC 之间,以AP ,AD 为邻边作APQD □,连结AQ .求∠PAQ 的度数.(2)如图(3),点F 在正方形ABCD 内且满足BC=CF ,连接BF 并延长交AD 边于点E ,过点E 作EH ⊥AD 交CF 于点H ,若EH=3,FH=1,当13AE CF =时.请直接写出HC 的长________.5.如图,点P 是正方形ABCD 内的一点,连接,CP 将线段CP 绕点C 顺时针旋转90,︒得到线段,CQ 连接,BP DQ . ()1如图甲,求证:CBP CDQ ∠=∠;()2如图乙,延长BP 交直线DQ 于点E .求证:BE DQ ⊥;()3如图丙,若BCP 为等边三角形,探索线段,PD PE 之间的数量关系,并说明理由.6.猜想与证明:如图①摆放矩形纸片ABCD 与矩形纸片ECGF ,使B ,C ,G 三点在一条直线上,CE 在边CD 上.连结AF ,若M 为AF 的中点,连结DM ,ME ,试猜想DM 与ME 的数量关系,并证明你的结论.拓展与延伸:(1)若将“猜想与证明”中的纸片换成正方形纸片ABCD 与正方形纸片ECGF ,其他条件不变,则DM 和ME 的关系为__________________;(2)如图②摆放正方形纸片ABCD 与正方形纸片ECGF ,使点F 在边CD 上,点M 仍为AF 的中点,试证明(1)中的结论仍然成立.[提示:直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半]① ②7.已知,如图,在三角形ABC ∆中,20AB AC cm ==,BD AC ⊥于D ,且16BD cm =.点M 从点A 出发,沿AC 方向匀速运动,速度为4/cm s ;同时点P 由B 点出发,沿BA 方向匀速运动,速度为1/cm s ,过点P 的动直线//PQ AC ,交BC 于点Q ,连结PM ,设运动时间为()t s ()05t <<,解答下列问题:(1)线段AD =_________cm ;(2)求证:PB PQ =;(3)当t 为何值时,以P Q D M 、、、为顶点的四边形为平行四边形?8.如图,在正方形ABCD 中,点E 是BC 边所在直线上一动点(不与点B 、C 重合),过点B 作BF ⊥DE ,交射线DE 于点F ,连接CF .(1)如图,当点E 在线段BC 上时,∠BDF=α.①按要求补全图形;②∠EBF =______________(用含α的式子表示);③判断线段 BF ,CF ,DF 之间的数量关系,并证明.(2)当点E 在直线BC 上时,直接写出线段BF ,CF ,DF 之间的数量关系,不需证明.9.已知:如下图,ABC 和BCD 中,90BAC BDC ∠=∠=,E 为BC 的中点,连接DE AE 、.若DC AE ,在DC 上取一点F ,使得DF DE =,连接EF 交AD 于O . (1)求证:EF DA ⊥. (2)若4,23BC AD ==,求EF 的长.10.如图,在矩形ABCD 中,AB a ,BC b =,点F 在DC 的延长线上,点E 在AD 上,且有12CBE ABF ∠=∠.(1)如图1,当a b =时,若60CBE ∠=︒,求证:BE BF =;(2)如图2,当32b a =时, ①请直接写出ABE ∠与BFC ∠的数量关系:_________;②当点E 是AD 中点时,求证:2CF BF a +=;③在②的条件下,请直接写出:BCF ABCD S S ∆矩形的值.【参考答案】***试卷处理标记,请不要删除一、解答题1.(1)证明见解析;(2)能,10;(3)152,理由见解析; 【分析】(1)利用题中所给的关系式,列出CD ,DF ,AE 的式子,即可证明.(2)由题意知,四边形AEFD 是平行四边形,令AD=DF ,求解即可得出t 值.(3)由题意可知,当DE ∥BC 时,△DEF 为直角三角形,利用AD+CD=AC 的等量关系,代入式子求值即可.【详解】(1)由题意知:三角形CFD 是直角三角形∵∠B =90°,∠A =60°∴∠C=30°,CD=2DF ,又∵由题意知CD=4t ,AE=2t ,∴CD=2AE∴AE=DF .(2)能,理由如下;由(1)知AE=DF又∵DF ⊥BC ,∠B =90°∴AE ∥DF∴四边形AEFD 是平行四边形.当AD=DF 时,平行四边形AEFD 是菱形∵AC =60cm ,DF=12CD ,CD=4t , ∴AD=60-4t ,DF=2t ,∴60-4t=2t∴t=10.(3)当t 为152时,△DEF 为直角三角形,理由如下; 由题意知:四边形AEFD 是平行四边形,DF ⊥BC ,AE ∥DF ,∴当DE ∥BC 时,DF ⊥DE∴∠FDE=∠DEA=90°在△AED 中,∵∠DEA=90°,∠A =60°,AE=2t∴AD=4t ,又∵AC =60cm ,CD=4t ,∴AD+CD=AC ,8t=60,∴t=152. 即t=152时,∠FDE=∠DEA=90°,△DEF 为直角三角形. 【点睛】 本题主要考查了三角形、平行四边形及菱形的性质,正确掌握三角形、平行四边形及菱形的性质是解题的关键.2.(1)AE t =;122AD t =-;DF t =;(2)证明见解析;(3)3t =;理由见解析.【分析】(1)根据题意用含t 的式子表示AE 、CD ,结合图形表示出AD ,根据直角三角形的性质表示出DF ;(2)根据对边平行且相等的四边形是平行四边形证明;(3)根据矩形的定义列出方程,解方程即可.【详解】解:(1)由题意得,AE t =,2CD t =,则122AD AC CD t =-=-,∵DF BC ⊥,30C ∠=︒,∴12DF CD t == (2)∵90ABC ∠=︒,DF BC ⊥,∴AB DF , ∵AE t =,DF t =,∴AE DF =,∴四边形AEFD 是平行四边形;(3)当3t =时,四边形EBFD 是矩形,理由如下:∵90ABC ∠=︒,30C ∠=︒, ∴162BC AC cm ==, ∵BE DF ∥, ∴BE DF =时,四边形EBFD 是平行四边形,即6t t -=,解得,3t =,∵90ABC ∠=︒,∴四边形EBFD 是矩形,∴3t =时,四边形EBFD 是矩形.【点睛】本题考查的是直角三角形的性质、平行四边形的判定、矩形的判定,掌握平行四边形、矩形的判定定理是解题的关键.3.(1)四边形AGFP 是菱形,理由见解析;(2)四边形AGFP 的周长为:2(1)根据矩形的性质和菱形的判定解答即可;(2)根据全等三角形的判定和性质,以及利用勾股定理解答即可.【详解】解:(1)四边形AGFP 是菱形,理由如下:∵四边形ABCD 是矩形,∴∠BAP =90°,∵PF ⊥BD ,PA =PF ,∴∠PBA =∠PBF ,∵AE ⊥BD ,∴∠PBF+∠BGE =90°,∵∠BAP =90°,∴∠PBA+∠APB =90°,∴∠APB =∠BGE ,∵∠AGP =∠BGE ,∴∠APB =∠AGP ,∴AP =AG ,∵PA =PF ,∴AG =PF ,∵AE ⊥BD ,PF ⊥BD ,∴AE ∥PF ,∴四边形AGFP 是平行四边形,∵PA =PF ,∴平行四边形AGFP 是菱形;(2)在Rt △ABP 和Rt △FBP 中,∵PB =PB ,PA =PF ,∴Rt △ABP ≌Rt △FBP (HL ),∴AB =FB =1,∵四边形ABCD 是矩形,∴AD =BC =2,∴BD =设PA =x ,则PF =x ,PD =2﹣x ,PF 1,在Rt △DPF 中,DF 2+PF 2=PD 2,∴2221)(2)x x +=-解得:x =12,∴四边形AGFP 的周长为:4x =42=.此题考查矩形的性质,菱形的判定,全等三角形的判定和性质和勾股定理,解题的关键是熟练掌握所学的知识定理进行解题.4.(1)①证明见详解;②45PAQ ∠=︒,见解析;(2)5.【分析】(1)①只要证明//PB AC 即可解决问题;②如图2中,连接QC ,作DT DQ ⊥交QC 的延长线于T ,利用全等三角形的性质解决问题即可;(2)如图3中,延长EH 交BC 于点G ,设AE=x ,由题意易得AB=BC=CF=EG=3x ,然后可得CG=2x ,HG=3x-3,CH=3x-1,利用勾股定理求解即可.【详解】(1)①证明:四边形ABCD 是正方形,∴//B DP C ,45DAC ∠=︒,∴135PAC ∠=︒45APB ∠=︒,∴+180APB PAC ∠∠=︒,∴//PB AC∴四边形APBC 是平行四边形; ②四边形PADQ 是平行四边形,∴DQ//,//,AP AD PQ AD PQ BC ==,AD//B C ,∴,//PQ BC PQ BC =,∴四边形PQCB 是平行四边形,∴QC//BP ,∴45APQ DQC ∠=∠=︒,90ADC QDT ∠=∠=︒,∴DQ=DT ,45,T DQT ADQ CDT ∠=∠=︒∠=∠,AD=DC ,∴ADQ CDT ≌,∴45AQD T ∠=∠=︒,AP//DQ ,∴45PAQ DQA ∠=∠=︒;(3)CH=5,理由如下:如图3所示:延长EH 交BC 于点G ;四边形ABCD 是正方形,∴AB=BC ,90D ∠=︒, 又EH=3,FH=1,EH ⊥AD ,∴EH//CD ,∴90HGC ∠=︒设AE=x ,1,3AE CF BC CF ==,∴AB=BC=CF=EG=3x , ∴CG=2x ,HG=3x-3,CH=3x-1 在Rt HGC △中,()()22222243331CG HG CH x x x +=+-=-即,解得121,2x x ==当x=1时,AB=3(不符合题意,舍去);当x=2时,AB=6,∴CH=5.故答案为5.【点睛】本题主要考查正方形的综合问题、三角形全等及勾股定理,关键是利用已知条件及四边形的性质得到它们之间的联系,然后利用勾股定理求解线段的长即可.5.(1)证明见试题解析;(2)证明见试题解析;(3)△DEP 为等腰直角三角形,理由见试题解析.【分析】(1)根据正方形性质得出BC =DC ,根据旋转图形的性质得出CP =CQ 以及∠PCB =∠QCD ,从而得出三角形全等来得出结论;(2)由(1)知∠PBC =∠QBC ,BE 和CD 交点为F ,根据对顶角得出∠DFE =∠BFC ,从而说明BE ⊥QD ;(3)根据等边三角形的性质得出PB =PC =BC ,∠PBC =∠BPC =∠PCB =60°,则∠PCD =30°,根据BC =DC ,CP =CQ 得出△PCD 为等腰三角形,然后根据△DCQ 为等边三角形,从而得出∠DEP =90°,从而得出答案.【详解】(1)证明∵四边形ABCD 是正方形,∴BC =DC ,又∵将线段CP 绕点C 顺时针旋90°得到线段CQ ,∴CP =CQ ,∠PCQ =90°,∴∠PCD +∠QCD =90°,又∵∠PCB +∠PCD =90°,∴∠PCB =∠QCD在△BCP 和△DCQ 中,BC =DC ,CP =CQ ,∠PCB =∠QCD ,∴△BCP ≌△DCQ ,∴∠CBP =∠CDQ ;(2)证明:∵△BCP ≌△DCQ ,∴∠PBC =∠QDC ,∴∠DFE =∠BFC ,∠FED =∠FCB =90°,∴BE ⊥QD ;(3)△DEP为等腰直角三角形,理由如下:∵△BPC为等边三角形,∴PB=PC=BC,∠PBC=∠BPC=∠PCB=60°,∴∠PCD=90°-60°=30°,∴∠DCQ=90°-30°=60°,又∵BC=DC,CP=CQ,∴PC=DC,DC=CQ,∴△PCD是等腰三角形,△DCQ是等边三角形,∴∠CPD=∠CDP=75°,∠CDQ=60°,∴∠EPD=180°-75°-60°=45°,∠EDP=180°-75°-60°=45°,∴∠EPD=∠EDP,PE=DE,∴∠DEP=180°-45°-45°=90°,∴△DEP是等腰直角三形.【点睛】本题考查了正方形的性质、三角形全等的判定和性质以及旋转的性质,掌握正方形的四条边相等、四个角都是直角,旋转的性质证明三角形全等是解题的关键.6.猜想与证明:猜想DM与ME的数量关系是:DM=ME,证明见解析;拓展与延伸:(1)DM=ME,DM⊥ME;(2)证明见解析【分析】猜想:延长EM交AD于点H,利用△FME≌△AMH,得出HM=EM,再利用直角三角形中,斜边的中线等于斜边的一半证明.(1)延长EM交AD于点H,利用△FME≌△AMH,得出HM=EM,再利用直角三角形中,斜边的中线等于斜边的一半证明,(2)连接AC,AC和EC在同一条直线上,再利用直角三角形中,斜边的中线等于斜边的一半证明,【详解】解:猜想与证明:猜想DM与ME的数量关系是:DM=ME.证明:如图①,延长EM交AD于点H.①∵四边形ABCD、四边形ECGF都是矩形,∴AD∥BG,EF∥BG,∠HDE=90°.∴AD∥EF.∴∠AHM=∠FEM.又∵AM=FM,∠AMH=∠FME,∴△AMH ≌△FME.∴HM =EM.又∵∠HDE =90°,∴DM =12EH =ME ; (1)∵四边形ABCD 和CEFG 是正方形,∴AD ∥EF ,∴∠EFM=∠HAM ,又∵∠FME=∠AMH ,FM=AM ,在△FME 和△AMH 中,EFM HAM FM AMFME AMH ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩, ∴△FME ≌△AMH (ASA )∴HM=EM ,在RT △HDE 中,HM=EM ,∴DM=HM=ME ,∴DM=ME .∵四边形ABCD 和CEFG 是正方形,∴AD=CD ,CE=EF ,∵△FME ≌△AMH ,∴EF=AH ,∴DH=DE ,∴△DEH 是等腰直角三角形,又∵MH=ME ,故答案为:DM =ME ,DM ⊥ME ;(2)证明:如图②,连结AC.②∵四边形ABCD 、四边形ECGF 都是正方形,∴∠DCA =∠DCE =∠CFE =45°,∴点E 在AC 上.∴∠AEF =∠FEC =90°.又∵点M 是AF 的中点,∴ME =12AF.∵∠ADC=90°,点M是AF的中点,∴DM=12 AF.∴DM=ME.∵ME=12AF=FM,DM=12AF=FM,∴∠DFM=12(180°-∠DMF),∠MFE=12(180°-∠FME),∴∠DFM+∠MFE=12(180°-∠DMF)+12(180°-∠FME)=180°-12(∠DMF+∠FME)=180°-12∠DME.∵∠DFM+∠MFE=180°-∠CFE=180°-45°=135°,∴180°-12∠DME=135°.∴∠DME=90°.∴DM⊥ME.【点睛】本题主要考查四边形的综合题,解题的关键是利用正方形的性质及直角三角形的中线与斜边的关系找出相等的线段.7.(1)12;(2)证明见详解;(3)125t s=或t=4s.【分析】(1)由勾股定理求出AD即可;(2)由等腰三角形的性质和平行线的性质得出∠PBQ=∠PQB,再由等腰三角形的判定定理即可得出结论;(3)分两种情况:①当点M在点D的上方时,根据题意得:PQ=BP=t,AM=4t,AD=12,得出MD=AD-AM=12-4t,由PQ∥MD,当PQ=MD时,四边形PQDM是平行四边形,得出方程,解方程即可;②当点M在点D的下方时,根据题意得:PQ=BP=t,AM=4t,AD=12,得出MD=AM-AD=4t-12,由PQ∥MD,当PQ=MD时,四边形PQDM是平行四边形,得出方程,解方程即可.【详解】(1)解:∵BD⊥AC,∴∠ADB=90°,∴12AD===(cm),(2)如图所示:∵AB=AC,∴∠ABC=∠C,即∠PBQ=∠C,∵PQ∥AC,∴∠PQB=∠C,∴∠PBQ=∠PQB,∴PB=PQ;(3)分两种情况:①当点M在点D的上方时,如图2所示:根据题意得:PQ=BP=t,AM=4t,AD=12,∴MD=AD-AM=12-4t,∵PQ∥AC,∴PQ∥MD,∴当PQ=MD时,四边形PQDM是平行四边形,即:当t=12-4t,时,四边形PQDM是平行四边形,解得:125t (s);②当点M在点D的下方时,如图3所示:根据题意得:PQ=BP=t,AM=4t,AD=12,∴MD=AM-AD=4t-12,∵PQ∥AC,∴PQ∥MD,∴当PQ=MD时,四边形PQDM是平行四边形,即:当t=4t-12时,四边形PQDM是平行四边形,解得:t=4(s);综上所述,当125t s=或t=4s时,以P、Q、D、M为顶点的四边形为平行四边形.【点睛】本题是四边形综合题目,考查了平行四边形的判定、等腰三角形的判定与性质、勾股定理以及分类讨论等知识;本题综合性强,熟练掌握平行四边形的判定方法,进行分类讨论是解决问题(3)的关键.8.(1)①详见解析;②45°-α;③DF BF=+,详见解析;(2)DF BF=,或BF DF=,或BF DF+=【分析】(1)①由题意补全图形即可;②由正方形的性质得出1452DBE ABC∠=∠=,由三角形的外角性质得出45BEF DBE BDFα∠=∠+∠=+,由直角三角形的性质得出9045EBF BEFα∠=-∠=-即可;③在DF上截取DM=BF,连接CM,证明△CDM≌△CBF,得出CM=CF,∠DCM=∠BCF,得出即可得出结论;(2)分三种情况:①当点E在线段BC上时,,理由同(1)③;②当点E在线段BC的延长线上时,,在BF_上截取BM=DF,连接CM.同(1)③得△CBM≌△CDF得出CM=CF,∠BCM=∠DCF,证明△CMF是等腰直角三角形,得出,即可得出结论;③当点E在线段CB的延长线上时,,在DF上截取DM=BF,连接CM,同(1) ③得:ACDM≌△CBF得出CM=CF,∠DCM=∠BCF,证明△CMF是等腰直角三角形,得出,即可得出结论.【详解】解:(1)①如图,②∵四边形ABCD 是正方形,∴∠ABC=90°,1452DBE ABC ∠=∠=, ∴45BEF DBE BDF α∠=∠+∠=+,∵BF ⊥DE,∴∠BFE=90°,∴9045EBF BEF α∠=-∠=-,故答案为:45°-α;③线段BF ,CF ,DF 之间的数量关系是2DF BF CF =+.证明如下:在DF 上截取DM =BF ,连接CM .如图2所示,∵ 正方形ABCD ,∴ BC =CD ,∠BDC =∠DBC =45°,∠BCD =90°∴∠CDM =∠CBF =45°-α,∴△CDM ≌△CBF (SAS ).∴ DM =BF , CM =CF ,∠DCM =∠BCF .∴ ∠MCF =∠BCF+∠MCE=∠DCM+∠MCE=∠BCD =90°,∴ MF 2CF . ∴2.DF DM MF BF CF =+=+(2)分三种情况:①当点E 在线段BC 上时,2CF ,理由同(1)③; ②当点E 在线段BC 的延长线上时,2CF ,理由如下:在BF 上截取BM=DF ,连接CM ,如图3所示,同(1) ③,得:△CBM ≌△CDF (SAS),∴CM=CF , ∠BCM=∠DCF .∴∠MCF=∠DCF+∠MCD=∠BCM+∠MCD= ∠ BCD=90°,∴△CMF 是等腰直角三角形,∴2CF ,∴2CF ;③当点E 在线段CB 的延长线上时,2CF ;理由如下:在DF 上截取DM=BF ,连接CM ,如图4所示,同(1)③得:△CDM ≌△CBF ,∴CM=CF ,∠DCM=∠BCF ,∴∠MCF=∠DCF+ ∠MCD= ∠DCF+∠BCF=∠BCD=90°,∴△CMF 是等腰直角三 角形,∴MF=2CF , 即DM+DF=2CF ,∴BF+DF=2CF ;综上所述,当点E 在直线BC 上时,线段BF ,CF ,DF 之间的数导关系为:2DF BF CF =+,或2BF DF CF =+,或2BF DF CF +=.【点睛】此题是四边形的一道综合题,考查正方形的性质,等腰直角三角形的判定及性质,全等三角形的判定及性质,注意解题中分情况讨论避免漏解.9.(1)见解析;(2)2【分析】(1)由ABC 和BCD 中,90BAC BDC ∠=∠=︒,E 为BC 的中点,得到12DE AE BC ==,从而EDA EAD ∠=∠,根据//DC AE 得到ADC EDA ∠=∠,再根据等腰三角形的性质得到EF DA ⊥;(2)由4BC =求出DE=AE=2,根据EF DA ⊥,得到12DO AD ==理求出EO ,由此得到22EF EO ==.【详解】(1)∵ABC 和BCD 中,90BAC BDC ∠=∠=︒,E 为BC 的中点 ∴12DE AE BC == ∴EDA EAD ∠=∠∵//DC AE∴ADC EAD ∠=∠∴ADC EDA ∠=∠∵DF DE =∴EF DA ⊥.(2)∵4BC =, ∴122DE BC ==∵DE AE =, ,EF DA AD ⊥=∴12DO AD ==Rt DEO 中,1EO =∵DF DE =∴22EF EO ==【点睛】此题考查直角三角形的性质,等腰三角形的性质,勾股定理的运用.(1)中点的运用很关键,确定边相等,利用等边对等角求得角的相等关系;(2)在证明中利用(1)的结论求得12DO AD ==是解题的关键. 10.(1)见解析;(2)①2ABE BFC ∠=∠;②见解析;③732 【分析】(1)证明()BAE BCF ASA ∆≅∆可得结论.(2)①结论:2ABE BFC ∠=∠.如图2中,设EBC x ∠=,BFC y ∠=,则2ABF x ∠=,利用三角形内角和定理结合已知条件即可解决问题.②将ABE ∆绕BE 翻折得到BEH ∆,延长BH 交CD 于T ,连接ET .设2AB CD k ==,则3AD BC k ==,利用全等三角形的性质解决问题即可.③求出CF ,利用三角形的面积公式,矩形的面积公式即可解决问题.【详解】解:(1)证明:如图1中,四边形ABCD 是矩形,90ABC BCD BCF ∴∠=∠=∠=︒,60EBC =︒∠,12CBE ABF ∠=∠, 120ABF ∴∠=︒,906030ABE ︒∴-︒∠==︒,1209030CBF ∠=︒-︒=︒,ABE CBF ∴∠=∠,AB BC =,()BAE BCF ASA ∴∆≅∆,BE BF ∴=.(2)①结论:290EBC BFC ∠+∠=︒.理由:如图2中,设EBC x ∠=,BFC y ∠=,则2ABF x ∠=,90BCF ∠=︒,90FBC y ∴∠=︒-,=2ABE FBC ABF EBC x x x ∠+∠=∠-∠-=,(90)ABE x y ∴∠=-︒-,90ABE EBC ∠+∠=︒,(90)90x y x ∴-︒-+=︒,2180x y ∴+=︒,2180EBC BFC ∴∠+∠=︒,()290180ABE BFC ∴︒-∠+∠=︒,2ABE BFC ∴∠=∠.②证明:将ABE ∆绕BE 翻折得到BEH ∆,延长BH 交CD 于T ,连接ET .设2AB CD k==,则3AD BC k==,ABE EBH ∠=∠,1 2EBC ABF∠=∠,FBC CBT∴∠=∠,90FBC F CBT BTC∠+∠=∠+∠=︒,F BTC∴∠=∠,BF BT∴=,CT CF=,DE AE EH==,ET ET=,90D EHT∠=∠=︒,Rt ETD Rt ETH(HL)∴∆≅∆,DT TH∴=,在Rt BCT∆中,则有222(2)(3)(2)k x k k x+=+-,解得98x k=,2BF CF BT CT BH TH CT BH TD TC BH CD AB∴+=+=++=++=+=.③由②可知,3BC k=,97288CF CR k k k==-=,∴2173728632BCFABCDk kSS k∆⋅⋅==矩形.【点睛】本题属于四边形综合题,考查了矩形的性质,全等三角形的判定和性质等知识,解题的关键是学会添加常用辅助线,构造全等三角形解决问题,学会利用参数解决问题,属于中考压轴题.。

相关文档
最新文档