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平行四边形

【知识脉络】

【基础知识】

Ⅰ. 平行四边形

（1）平行四边形性质

1）平行四边形的定义：有两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形.

2）平行四边形的性质（包括边、角、对角线三方面） ： A

B D

O C

边：①平行四边形的两组对边分别平行； ②平行四边形的两组对边分别相等；

角：③平行四边形的两组对角分别相等；

对角线：④平行四边形的对角线互相平分.

【补充】平行四边形的邻角互补；平行四边形是中心对称图形，对称中心是对角线的交点.

（2）平行四边形判定

1）平行四边形的判定（包括边、角、对角线三方面）：

A B D

O C

A D

边：①两组对边分别平行的四边形是平行四边形；

②两组对边分别相等的四边形是平行四边形；

③一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；

角：④两组对角分别相等的四边形是平行四边形；

对角线：⑤对角线互相平分的四边形是平行四边形.

2）三角形中位线：连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线.

3）三角形中位线定理：三角形的中位线平行于三角形的第三边，且等于第三边的一半.

4）平行线间的距离：

两条平行线中，一条直线上的任意一点到另一条直线的距离，叫做这两条平行线间的距离。

两条平行线间的距离处处相等。

Ⅱ. 矩形

（1）矩形的性质

1）矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形.

2）矩形的性质：

①矩形具有平行四边形的所有性质；

②矩形的四个角都是直角；

③矩形的对角线相等；

④矩形既是轴对称图形，又是中心对称图形，有两条对称轴，对称中心是对角线的交点.

（2）矩形的判定

1）矩形的判定：

①有一个角是直角的平行四边形是矩形；

②对角线相等的平行四边形是矩形；

③有三个角是直角的四边形是矩形.

2）证明一个四边形是矩形的步骤：

方法一：先证明该四边形是平行四边形，再证一角为直角或对角线相等；

方法二：若一个四边形中的直角较多，则可证三个角为直角.

3）直角三角形斜边中线定理：（如右图）

直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.

Ⅲ. 菱形

（1）菱形的性质

1）菱形的定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.

2）菱形的性质：

①菱形具有平行四边形的所有性质； ②菱形的四条边都相等； ③菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角； ④菱形既是轴对称图形，又是中心对称图形，有两条对称轴，对称中心是对角线交点. 3）菱形的面积公式： 菱形的两条对角线的长分别为b a ，，则ab S 2

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菱形 （2）菱形的判定

1）菱形的判定：

①有一组邻边相等的平行四边形是菱形；

②对角线互相垂直的平行四边形是菱形；

③四条边都相等的四边形是菱形.

2）证明一个四边形是菱形的步骤：

方法一：先证明它是一个平行四边形，然后证明“一组邻边相等”或“对角线互相垂直”； 方法二：直接证明“四条边相等”.

Ⅳ. 正方形

（1）正方形的性质

1）正方形的定义：有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形.

2）正方形的性质：

正方形具有平行四边形、矩形、菱形的所有性质，即①正方形的四条边都相等；②四个角

都是直角；③对角线互相垂直平分且相等，并且每条对角线平分一组对角.

3）正方形既是轴对称图形，又是中心对称图形，它有四条对称轴，对角线的交点是对称中心.

（2）正方形的判定

1）正方形的判定：

①有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形是正方形；

②有一组邻边相等的矩形是正方形；

③对角线互相垂直的矩形是正方形；

④有一个角是直角的菱形是正方形；

⑤对角线相等的菱形是正方形；

⑥对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形.