八年级暑假辅导第六讲 直线型几何综合题

第六讲 直线型几何综合题

一、学习指引

1.知识要点：

三角形及四边形的基本性质，特殊三角形、特殊四边形、全等三角形的判定和性质，轴对称、平移、旋转、相似等变换的性质，一次函数图象和性质。

2.方法指导：

（1）解决动态几何型问题的策略：化“动”为“静”——利用运动中特殊点的位置将图形分类；“静”中求“动”——针对各类图形，分别解决动态问题。

（2）解决图形分割问题的思维方式是：从具体问题出发→观察猜想→实验操作→形成方案→严密计算与论证；图形分割问题的解题策略：比较原图形与分割后图形在边、角、面积等方面的变化是解决图形分割问题的着手点；

（3）新概念性几何题解题策略：正确理解问题中的“新概念”，然后抓住 “新概念”的特征，结合相关的数学知识综合解决问题。

二、典型例题

例1．如图，在矩形ABCD 中，AB=2，BC=1，动点P 从点B 出发，沿路线B→C→D 作匀速运动，那么△ABP 的面积S 与点P 运动的路程x 之间的函数图象大致是（ ）

例2．如

图，在矩形

ABCD 中，BC =20cm ，

P ，Q ，M ，N 分别从A ，B ，C ，D 出发沿AD ，BC ，CB ，DA 方向在矩形的边上同时运动，当有一个点先

到达所在运动边的另一个端点时，运动即停止．已知在相同时间内，若BQ =x cm(0x )，则AP =2x cm

，CM =3x cm ，DN =x 2cm ．

（1）当x 为何值时，以PQ ，MN 为两边,以矩形的边（AD 或BC ）的一部分为第三边构成一个三角形； （2）当x 为何值时，以P ，Q ，M ，N 为顶点的四边形是平行四边形；

（3）以P ，Q ，M ，N 为顶点的四边形能否为等腰梯形?如果能，求x 的值；如果不能，请说明理由．

例3．三张形状、大小完全相同的平行四边形透明纸片，分别放在方格纸中，方格纸中的每个小正方

形的边长均为1，并且平行四边形纸片的每个顶点与小正方形的顶点重合（如图1、图2、图3）．分别在图1、图2、图3中，经过平行四边形纸片的任意一个顶点画一条裁剪线，沿此裁剪线将平行四边形纸片裁成两部分，并把这两部分重新拼成符合下列要求的几何图形．要求如下：

（1）在左边的平行四边形纸片中画一条裁剪线，然后在右边相对应的方格纸中，按实际大小画出所拼成的符合要求的几何图形；

（2）裁成的两部分在拼成几何图形时要互不重叠且不留空隙； （3）所画出的几何图形的各顶点必须与小正方形的顶点重合．

O x y

311

3O x y

311

O x y

33O

x y

312

（A ） A

B

D

C

P

Q M

N

例4．如图，两个边长分别为4和3的正方形，请用线段将它们进行适当分割，剪拼成一个大正方形，

请在下图中分别画出两种不同的拼法，并将剪拼前、后的相同区域用相同数字序号标出．

例5．如图，在梯形OABC 中，O 为直角坐标系的原点，A 、B 、C 的坐标分别为(14，0)，(14，3)，(4，3)．点P 、Q 同时从原点出发，分别做匀速运动，其中点P 沿OA 向终点A 运动，速度为每秒1个单位，点Q 沿OC 、CB 向终点B 运动．当这两点中有一点到达自己的终点时，另一点也停止运动．

（1）设从出

发起运动了x 秒，如果点Q 的速度为每秒2个单位，试分别写出这时点Q 在OC 上或CB 上时的坐标(用含x

的代数式表示，不要求写出x 的取值范围)；

（2）设从出发起运动了x 秒，如果点P 与点Q 所经过的路程之和恰好为梯形OABC 的周长的一半． ①试用含x 的代数式表示这时点Q 所经过的路程和它的速度；

②试问：这时直线PQ 是否可能同时把梯形OABC 的面积也分成相等的两部分？如果有可能，求出相应的x 的值和P 、Q 的坐标，如不可能，请说明理由．

图1

矩形（非正方形）

图

2

正方形

图

3

有一个角是135°的三角形

（例3图）

拼法二 备用图二 备用图一 拼法一

P

D

C

M

B

（

N）A

P

D C

例6．如图，在等腰梯形ABCD中，AB∥DC，∠A=45°，AB=10cm，CD=4cm，等腰直角三角形PMN的斜边MN=10cm，A点与N点重合，MN和AB在一条直线上，设等腰梯形ABCD不动，等腰直角三角形PMN沿AB 所在直线以1cm/s的速度向右移动，直到点N与点B重合为止。

（1）等腰直角三角形PMN在整个移动过程中与等腰梯形ABCD重叠部分的形状由________形变化为___________形；

（2）设当等腰直角△PMN移动x（s）时，等腰直角△PMN与等腰梯形ABCD重叠部分的面积为y（cm2）。

①当x=6时，求y的值；

②当6＜x≤10时，求y与x的函数关系。

例7．边形一条对角线所在直线上的点，如果到这条对角线的两端点的距离不相等，但到另一对角线的两个端点的距离相等，则称这点为这个四边形的准等距点．如图l，点P为四边形ABCD对角线AC所在直线上的一点，PD=PB，PA≠PC，则点P为四边形ABCD的准等距点． (1)如图2，画出菱形ABCD的一个准等距点． (2)如图3，作出四边形ABCD的一个准等距点(尺规作图，保留作图痕迹，不要求写作法)． (3)如图4，在四边形ABCD中，P是AC上的点，P A≠PC，延长BP交CD于点E，延长DP交BC于点F，且∠CDF=∠CBE，CE=CF．求证：点P是四边形AB CD的准等距点． (4)试研究四边形的准等距点个数的情况(说出相应四边形的特征及准等距点的个数，不必证明)．