变量与函数--教学设计

课题：19.1.1 变量与函数（第1课时）

教学设计

李新卫（湖北省武汉市经济技术开发区第四中学）

一、内容和内容解析

1. 内容

人教版《义务教育课程标准实验教科书数学》八年级下册：“19.1.1变量与函数”第1课时.

2. 内容解析

本节内容为《一次函数》第一课时. 在学生学习了二元一次方程和找规律的基础上，学生对变量和常量已有一些模糊的认识. 通过生活实例的感悟，由具体到抽象，抽象出量的意义，并对量进行分类得出变化的量和不变的量，归纳出变量与常量的概念. 同时在讨论问题过程中，引出变量间的单值对应关系，体会建模思想，为学习函数的定义、函数的表达方式、函数的取值范围及函数的应用做出铺垫，为《一次函数》全章的学习打下基础.

根据以上的分析，本节课的教学重点确定为：通过列举生活实例，理解量的意义，逐步形成常量与变量的概念，并能指出实际问题中的常量与变量.

二、目标和目标解析

1. 目标

（1）理解量的意义、常量与变量的概念，并能指出实际问题中的常量与变量；

（2）在实际问题的探究过程中，感受生活中变量间的对应关系，学会分辨不同表达方式中的变量与常量，经历从具体到抽象、从感性认识到理性分析的思维过程，体会函数与方程、数形结合和分类讨论的数学思想，提升数学抽象和数学建模的核心素养.

2. 目标解析

本节内容从学生熟悉的实际问题出发，让学生体会变量间的单值对应关系，感受一个变量随另一个变量的变化而变化，渗透自变量与函数的关系，从具体到抽象，通过表格、关系式及图象让学会生认识运动过程中的变量和常量概念，进而认识相关概念的联系和区别.

达成目标（1）的标志：在探究过程中，正确找到变量与常量，并找出变化规律；

达成目标（2）的标志：在练习和拓展中，找到图表中隐藏的变量与常量，能读取不同的数量关系和表达方式.

三、教学问题诊断分析

学生在字母表示数中，接触过当字母取值变化时，代数式的值随之变化，但学生对量的意义较为模糊.学生在生活中具有对两个量之间关联的体验，如气温随时间变化等，学生对变量与常量的定义理解困难不大，但是对变化中的单值对应关系及在变化过程中寻找变量与常量较难把握，特别是函数中的“唯一确定”仅局限于通过公式求出的唯一值，对不能用公式求出值的单值对应关系难以理解.

因此教学难点确定为：理解变化过程中的变量与常量，以及变量与常量的相对性.

四、教学支持条件分析

从学生学过的小学课文《秋天来了》，引导学生观察现实世界和日常生活中的变化现象，让学生会用“变”的眼光观察现实世界，会用数学思维思考现实世界，会用数学语言表达现实世界.以李强的活动情境为主线引出生活中的变化事例，发现生活中变化的量和不变的量，引出变量与常量，在事例中感悟一个量随另一个量的变化现象，为刻画变量间的依赖关系，形成函数概念做出铺垫.

以大量生活问题题材引导学生发现生活中变化的量和不变的量，以及变量间的单值对应关系，引导学生分析、分类、归纳出变量与常量的概念，结合式子、表格和图形给学生多种变量对应关系的呈现方式，帮助学生使用变量与常量准确地表述数学的研究对象，学会用数学的语言表达和交流数学问题，积累抽象思维的经验，提升数学抽象素养。体会数学建模思想，在学生生活经验的基础上，应用油价由固定到波动的实例，让学生认识变量与常量的相对性，用角度问题重新认识已学知识，拓展学生思维，完善学生知识体系.

五、教学过程设计

1.情景引入：

情境1（视频）：秋天来了，天气凉了，李强和同学们去养老院做义工送温暖。出门前，李强查了一下当天的气温，下图是当地一天的气温走势图，请同学们完成问题，并对李强的出行给出建议.

师生活动：小组合作完成并展示，小组补充并质疑.

（1）12时的温度是多少？几点钟的温度最高？几点钟的温度最低？

【设计意图】在图形中感悟两个量T 与t 间的单值对应关系及依赖关系. （2）哪一个时间段温度逐渐降低？哪一个时间段温度逐渐升高？

追问：气温随什么在变化呢？

【设计意图】感悟温度随时间的变化而变化，初步感悟一个量随另一个量的变化而变化，同时感受变量间的依赖关系可以用图形表示，为函数学习做出铺垫.

2.合作探究

情境2（视频）： 出门后，李强乘车去和同学们汇合.该车以60km/h 的速度匀速行驶，行驶的路程为S km ，行驶时间为t h ．这里有一个量随另一个量的变化而变化的现象，请完成他提出的问题并指出这种现象.

【设计意图】通过填表，让学生初步感悟量与量之间的单值对应关系和依赖

t /h T /℃ 图1

关系，这种关系可以用表格表示.同时，为避免学生只看表格而忽略了其中的速度60km/h,与学生一起读题，培养学生读题能力.

（2）该变化过程中，哪些数刻画相同的量？并指出有哪些量？

师生活动：学生作答，并互相补充.

【设计意图】通过对数值的分析与梳理，体会由数到量的抽象思维，体会量的意义. 通过对一个变化过程中量的识别，便于找到它们之间的联系.

师生活动：完成两个问题后学生展示，教师追问或学生互相质疑，教师引导学生发现并作答.

追问：你是如何发现的？

追问：当时间t的值确定后，能确定s的值？

【设计意图】初步感悟具有相关联的两个量，一个量随另一个量的变化而变化，感悟s与t的单值对应关系和变量间的依赖关系，为函数的“唯一对应”学习作出铺垫.

情境3（视频）：李强和同学们汇合后，准备帮养老院为老人买些毛毯，毛毯的单价为50元/张，他发现王若拿着15张，张可拿着25张，周妍拿着31张，这里也有一个量的变化随另一个量变化而变化，请帮李强计算三人的费用各是多少元？并小组内类比情境2提问并回答，指出一个量随另一个量的变化而变化的现象..

师生活动：小组展示并质疑，教师评价引导.

教师追问：

（1）三人的花费为什么不同？

【设计意图】通过计算，让学生体会费用与张数的单值对应关系．通过追问，让学生感悟费用与张数有关，即购买费用随购买张数的变化而变化.

（2）设购买x张毛毯，费用为y元，则x与y的关系为y= .

【设计意图】通过具体到抽象的思考与计算，感悟两量的依赖关系可用式子表示，进一步感悟具有相关联的两个变量，一个量随另一个量而变化，让学生感悟相关联的两个量的关系式，刻画的是两个量的对应关系.

前面三个变化事例中的量根据数值是否变化可以分为两类，而且它们之间的关系呈现方式各有不同，同学们，你发现了吗？

师生活动：学生合作探究，教师引导追问归纳.

归纳：在上述事例的变化过程中，有些是数值变化的量，如时间t，路程s，温度T（℃）；售出的票数x，票房收入y……，有些是数值始终不变的量，如速度30km/h，票价50元/张……．

【设计意图】经历发现并猜想的学习过程，通过对量的感悟后，对量进行对比，感悟出有些量的数值是不断变化的，有量的数值是始终不变的，为变量和常量的引出做出铺垫，同时也为后面的验证提供学习范例.

情境4（视频）：李强和同学们来到养老院，看到养老院前的湖泊泛着涟漪，这时院长走过来告诉他们，养老院准备在院里修建一个周长为40m的矩形水池喂养金鱼，供老人们观赏.请思考如下问题：

（1）圆形水波慢慢扩大的过程中，记圆的半径为r，圆的面积为S ，圆周长为C，圆周率为π.

（2）周长为40m的矩形水池，如果矩形的一边长为x m，它的邻边长为y m．请问上述两个事例中有变化的量和不变的量吗？能用式子表示它们之间的关系吗？