量子力学——隧道效应、一维谐振子、氢原子理论1

2 k2
2m (U 0 − E ) = h2
通解： 通解：
特解： 特解：
Φ 1 ( x ) = Ae + Be − k2 x + k2 x Φ 2 ( x )= Ce + De Φ2 ( x → ∞) = 0 D=0
+ ik1 x
− ik1 x
+ik1x −ik1x 振动解） Φ1 ( x) = Ae + Be (E>U＝0,振动解） > ＝ 振动解 −k2 x 衰减解） （E<U＝U0,衰减解） < ＝ Φ2 ( x) = Ce
hν = En − Ek ( n = 1,2,3L)
2）定态是这样的状态，电子绕核公转的角动 ）定态是这样的状态， 量只能取分立值，即必须满足量子化条件： 量只能取分立值，即必须满足量子化条件：
L = nh r r r L = r × mv
( n = 1, 2,3L)
根据玻尔假设， 根据玻尔假设，从经典电磁理论和牛顿定律 即可计算出氢原子的定态能量， 即可计算出氢原子的定态能量，从而得出氢原子 所发的光的频率。 所发的光的频率。 若电子绕核作圆周运动，半径为 速度为 若电子绕核作圆周运动，半径为r ,速度为 v ，则 电子受核吸引的库仑力为 e 2 4πε 0 r 2 由牛顿定律： 由牛顿定律：
§ 20.4 隧道效应
二. 一维散射问题 1．梯形势
0, x<0 U ( x) = U0 , x≥0
薛定谔方程： 薛定谔方程：
x < 0:
x ≥ 0:
2 Φ′′( x ) + k1 Φ 1 ( x ) = 0 1 2mE 2 k1 = 2 h 2 Φ′2′ ( x ) − k 2 Φ 2 ( x ) = 0
玻尔理论得到的里德伯 玻尔理论得到的里德伯 常数和光谱实验得到的 常数和光谱实验得到的 里德伯常数完全符合。 里德伯常数完全符合。
所以，氢原子中的电子，可按一系列轨道运动， 所以，氢原子中的电子，可按一系列轨道运动， 轨道半径愈大，原子能量愈大。 轨道半径愈大，原子能量愈大。当电子从外层轨道 跃迁到内层轨道，即从高能级跃迁到低能级时， 跃迁到内层轨道，即从高能级跃迁到低能级时，就 发射出相应的光子。反之，氢原子吸收上述光子后， 发射出相应的光子。反之，氢原子吸收上述光子后， 就能做相反的跃迁。 就能做相反的跃迁。 实际上玻尔理论并不是完全的量子化， 实际上玻尔理论并不是完全的量子化，它是以 经典物理为基础，加上一些量子化的条件限制。 经典物理为基础，加上一些量子化的条件限制。所 以玻尔理论能解释的原子现象也是有限的， 以玻尔理论能解释的原子现象也是有限的，它对于 谱线强度、多电子问题等都没有原则方法来解决。 谱线强度、多电子问题等都没有原则方法来解决。 所以就需要一个自洽的、 所以就需要一个自洽的、能解释众多微观现象的新 理论，这就是量子力学 对具有波粒二象性的电子， 量子力学。 理论，这就是量子力学。对具有波粒二象性的电子， 只有应用量子力学才能正确地描述它的运动。 只有应用量子力学才能正确地描述它的运动。
• 电子逸出金属表面的模型 2.隧道效应 隧道效应（ 2.隧道效应（势垒贯穿）
穿透概率
T ≈e
−
2a 2m(U − E ) 0 h
能量低的粒子能穿透有一定宽度的高势垒，这现象称为隧道效应 隧道效应。 能量低的粒子能穿透有一定宽度的高势垒，这现象称为隧道效应。
三.扫描隧道显微镜 隧道电流I与样品和针 隧道电流 与样品和针 尖间距离S和样品表面 尖间距离 和样品表面 平均势垒的高度 φ 的 关系
2、氢原子光谱 、 每种原子的辐射都具有一定的频率成 分构成的特征光谱 特征光谱， 分构成的特征光谱，它们是一条离散的谱 称为线状光谱 线状光谱。 线，称为线状光谱。这种光谱只决定于原 子自身，而与温度和压力等外界条件无关， 子自身，而与温度和压力等外界条件无关， 且不同的原子，辐射不同的光谱， 且不同的原子，辐射不同的光谱，因此这 称为原子光谱 原子光谱。 称为原子光谱。 巴尔末公式： 巴尔末公式：
me 4 1 1 hν = E n − E k = ( 2− 2) 2 2 n 8ε 0 h k
~ = 1 = ν = me ( 1 − 1 ) ν λ c 8ε 0 2 h 3c k 2 n 2
4
对巴尔末系： 对巴尔末系：
~ = R( 1 − 1 ) ν 22 n2
me 4 R∞ = 2 3 8ε 0 h c = 34 × 10 7 m −1
4861.3
4340.5
6562.8
~ = R( 1 − 1 ) ν 22 n2 ~ = 1 为波数 ν
n = 3 ,4 ,5 L
红
蓝
紫
λ
其中R称为里德伯常数。 其中 称为里德伯常数。 称为里德伯常数
氢原子光谱公式： 氢原子光谱公式：
~ = R( 1 − 1 ) ν m 2 n2 m = 1 , n = m + 1 , m + 2 L 赖曼系（紫外） 赖曼系（紫外） 巴尔末系（可见光） m = 2 , n = m + 1 , m + 2 L 巴尔末系（可见光） m = 3 , n = m + 1 , m + 2 L 帕邢系（红外） 帕邢系（红外）
二.哈密顿量
h2 d 2 1 2 2 ˆ =− H 2 + mω x 2m dx 2 三.定态薛定谔方程
2m 1 2 2 Φ′′( x) + 2 ( E − mω x )Φ( x) = 0 2 h
1.能量本征值 1.能量本征值
1 1 En = (n + )hω = (n + )hν 2 2
(n = 0,1,2,L)
4πε 0 h 2 rn = n 2 me 2 n = 1, 2 , 3L
4πε 0 h 2 n = 1时 , r1 = = 0.0529nm ⇒ 玻尔半径 2 me
相应的定态时氢原子的能量： 相应的定态时氢原子的能量： 氢原子的能量
1 me 4 1 En = − =− 2 2 2 2 2 2 2 32π ε 0 h n 8ε 0 h n me 4 (n = 1, 2, 3L)
2
2.符合玻尔对应原理
n →∞ •
量子概率分布→ 量子概率分布→经典概率分布
• 能量量子化→能量取连续值 能量量子化→
§20.6
氢原子的量子理论(1) 氢原子的量子理论(1)
玻尔的量子论
一．原子结构和原子光谱 1．原子的核式结构 ．
1895年，伦琴发现了X射线； 年 伦琴发现了X射线； 1896年，发现了天然放射性； 天然放射性； 年 发现了天然放射性 1897年，J.J.汤姆逊从实验上确认了电子的存在。 年 汤姆逊从实验上确认了电子的存在 汤姆逊从实验上确认了电子的存在。 电子和放射性的发现揭示出，原子不再是物 电子和放射性的发现揭示出， 质组成的永恒不变的最小单位. 质组成的永恒不变的最小单位 1911年，卢瑟福提出了原子的有核模型或原子的 年 卢瑟福提出了原子的有核模型或原子的 核式结构。 核式结构。 按经典力学，原子是不稳定的。 按经典力学，原子是不稳定的。但现实世界中的 大量原子却稳定地存在着，因此， 大量原子却稳定地存在着，因此，经典物理学无 法解释原子的稳定性问题。 法解释原子的稳定性问题。
I ∝ Ue
− A ΦS
48 个 Fe 原 子 形 成 “ 量 子围栏”，围栏中的 电子形成驻波. 电子形成驻波.
§20.5 一维谐振子 一.势函数
1 2 1 2 2 U ( x ) = kx = mω x 2 2 m—振子质量，ω—固有频率，x—位移 振子质量， 固有频率， 位移 振子质量 固有频率
E1 = −13.6eV
氢原子基态能量
me 4 1 En = − 2 2 8ε 0 h2 n
氢原子能量是分立的， 称为主量子数， 愈大 愈大， 氢原子能量是分立的，n称为主量子数，n愈大， 其定态的能量E 愈大，且能级间隔越小， 趋近于 其定态的能量 n愈大，且能级间隔越小，当n趋近于 无穷大时，能级就连续了。 无穷大时，能级就连续了。 电子跃迁时，发射光子，其频率为： 电子跃迁时，发射光子，其频率为：
• 能量量子化 • 能量间隔 hν
1 • 最低能量(零点能) E0 = hω > 0 最低能量(零点能) 2 2．本征函数和概率密度 n = 2的本征函数 的本征函数
Φ2(x) x
四.与经典谐振子的比较 1.基态位置概率分布 1.基态位置概率分布
• 量子：在 x =0 处概率最大 量子：
α −α 2 x 2 W0 ( x ) = Φ 0 ( x ) = e π
里兹并合原理： 里兹并合原理：任一条谱线的波数都等于该元素 所固有的许多光谱项T中的两项之差 中的两项之差。 所固有的许多光谱项 中的两项之差。
~ ν = T( m )−T( n )
R 氢原子的光谱项： 氢原子的光谱项： T ( n ) = 2 n
3、玻尔的量子理论 、 玻尔假定： 玻尔假定： 1）原子有一系列具有一定能量的稳定状态， ）原子有一系列具有一定能量的稳定状态， 简称定态 定态中的电子，虽做加速运动， 定态。 简称定态。定态中的电子，虽做加速运动， 但不辐射能量。 但不辐射能量。仅当原子从能量大的定态跃 迁到能量小的定态时，才发射光子， 迁到能量小的定态时，才发射光子，且发出 的光子能量为： 的光子能量为：
v2 =m 2 4πε 0 r r e2
① ② ③
1 2 e2 e2 =− 原子的总能量： 原子的总能量： E = mv − 2 4πε 0 r 8πε 0 r
由玻尔的量子化条件： 由玻尔的量子化条件：
L = mvr = nh
由上三式， 由上三式，可得氢原子绕核运动的轨道半径和能量
氢原子的轨道半径： 氢原子的轨道半径： 轨道半径