同济-高等数学-第三版(10.1)第一节常数项级数的概念与性质)资料
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第十一章 第1节 常数项级数的概念和性质
ຫໍສະໝຸດ 由图知xSn
1 1 1
A1
2
A2
n
An
n1 1dx ln(1 n) 1x
A1 A2
An
级数发散.
14
二. 无穷级数的基本性质
性质1. 若级数 un 收敛于 S , 即 S un , 则各项乘
n1
n1
以常数 c 所得级数 c un 也收敛 , 其和为 c S .
因此
Sn
a, 0,
n 为奇数 n 为偶数
从而
lim
n
Sn
不存在
,
因此级数发散.
综合 1)、2)可知, q 1 时, 等比级数收敛 ;
q 1 时, 等比级数发散 .
7
例2. 判别下列级数的敛散性.
n 1
(1) ln ;
解: (1)
n1 n
1
( 2)
.
n1 n(n 1)
lim
n
1 (1 2
1) 2n 1
1, 2
级数收敛, 和为 1 . 2
11
例4 设数列{nan}收敛,级数 n(an an1)收敛,
n2
证明级数 an也收敛.
n1
证 明:
记
lim
n
nan
A,
n(an an1) S,
n2
n 1
k (ak ak1)
解: 1) 若 q 1 ,则部分和
Sn a a q a q2 a qn1 a a qn
1 q
当
q
1 时,
1 1 1
A1
2
A2
n
An
n1 1dx ln(1 n) 1x
A1 A2
An
级数发散.
14
二. 无穷级数的基本性质
性质1. 若级数 un 收敛于 S , 即 S un , 则各项乘
n1
n1
以常数 c 所得级数 c un 也收敛 , 其和为 c S .
因此
Sn
a, 0,
n 为奇数 n 为偶数
从而
lim
n
Sn
不存在
,
因此级数发散.
综合 1)、2)可知, q 1 时, 等比级数收敛 ;
q 1 时, 等比级数发散 .
7
例2. 判别下列级数的敛散性.
n 1
(1) ln ;
解: (1)
n1 n
1
( 2)
.
n1 n(n 1)
lim
n
1 (1 2
1) 2n 1
1, 2
级数收敛, 和为 1 . 2
11
例4 设数列{nan}收敛,级数 n(an an1)收敛,
n2
证明级数 an也收敛.
n1
证 明:
记
lim
n
nan
A,
n(an an1) S,
n2
n 1
k (ak ak1)
解: 1) 若 q 1 ,则部分和
Sn a a q a q2 a qn1 a a qn
1 q
当
q
1 时,
第一部分常数项级数的概念与质教学课件
即 lim n
Sn
S，则称级数收敛，此时称S为该级数的和，
记为
S u1 u2 un
如果部分和数列的极限不存在，则称级数发散。
定义3：当级数
un
n 1
收敛时，其部分和Sn是级
数的和S的近似值，它们的差
rn S Sn un1 un2
称为级数的余项。
例1 判断几何级数（等比级数） aqn 的敛散性
n 1
(un vn ) un vn
n1
n1
n1
性质2 如果级数 un 收敛，则对任意常数C，
n 1
级数 Cun也收敛，且有 Cun C u限项，不改变其 敛散性。
性质4 在收敛级数的项中任意加括号后所得级 数仍收敛，且与原级数的和相同。
Sn a a a na (n ) 此时级数发散。
当 q 1 时
Sn
a a
(1)n a
a, 0，
n为 奇 数 n为 偶 数
当 n 时，Sn的极限不存在，故级数发散。
综上，几何级数 aqn当| q | 1时收敛，其和为
a
n0
1 q ；当| q | 1时，级数发散。
例2
判断级数 n 1
1 n(n
1)
的敛散性。
解：由于
1 n(n 1)
1 n
1, n 1
因此部分和
11
1
Sn
1 2
23
n(n 1)
(1 1 ) (1 1) ( 1 1 ) 1 1
2 23
n n1
n 1
从而
lim
n
Sn
lim (1
n
1) n 1
1,
所以级数收敛于1。
111常数项级数的概念与性质-37页PPT文档资料
收敛于原级数的和.
证 设收敛级数 s un ,若按某一规律加括弧,
n1
例如
则新级数的部分和数列
为原级数部分
和数列 sn(n1,2, )的一个子数列, 因此必有
s.
23
11.1 常数项级数的概念与性质
定理11.5
若级数un收敛,则
n1
ln im un
0
证 设 s un , 即 ln im sns, 则 un snsn1
也算不完, 那么如何计算?
称无穷级数(1)的 前n项和 n
s n u 1 u 2 u n u i 为级数(1)的部分和.
i1
这样, 级数(1)对应一个部分和数列:
s1 u1, s2u1u2, s3u1u2u3,,
snu 1u 2 u n,
从无限到有限, 再从有限(近似)到无限(精确)
3
lim
n
1
1 1
n
n
3 e
0
26
11.1 常数项级数的概念与性质
( 3 )
n1
1 3n
lnn 3 3n
解 因调和级数
1 发散, 由性质11.1知,
1
n1 n
n 1 3 n 发散.
而级数
n
1
ln n 3n
3
是以
r
ln 3 3
若两级数都发散,
不一定发散.
例 111, ( 1)( 1)( 1) , 都发散. 但
[1(1)][1(1)]
0 0 0 0 级数收敛.
20
证 设收敛级数 s un ,若按某一规律加括弧,
n1
例如
则新级数的部分和数列
为原级数部分
和数列 sn(n1,2, )的一个子数列, 因此必有
s.
23
11.1 常数项级数的概念与性质
定理11.5
若级数un收敛,则
n1
ln im un
0
证 设 s un , 即 ln im sns, 则 un snsn1
也算不完, 那么如何计算?
称无穷级数(1)的 前n项和 n
s n u 1 u 2 u n u i 为级数(1)的部分和.
i1
这样, 级数(1)对应一个部分和数列:
s1 u1, s2u1u2, s3u1u2u3,,
snu 1u 2 u n,
从无限到有限, 再从有限(近似)到无限(精确)
3
lim
n
1
1 1
n
n
3 e
0
26
11.1 常数项级数的概念与性质
( 3 )
n1
1 3n
lnn 3 3n
解 因调和级数
1 发散, 由性质11.1知,
1
n1 n
n 1 3 n 发散.
而级数
n
1
ln n 3n
3
是以
r
ln 3 3
若两级数都发散,
不一定发散.
例 111, ( 1)( 1)( 1) , 都发散. 但
[1(1)][1(1)]
0 0 0 0 级数收敛.
20
常数项级数的概念及性质ppt课件
n
1 0，
n
n n2 n n 2
所以级数 ( n2 n n)发散.
n1
30
实际上 un 0. 的速度越快， un 收敛的可能性越大
n1
例8：判断级数
n ln
n1
n n1
的敛散性.
解答：由于 lim n ln n lim ln（ n ）n
n n 1 n n 1
1 lim ln
n1
但若二级数都发散 ,
不一定发散.
例如, 取 un (1)2n , vn (1)2n1 ,
即 收敛+收敛=收敛，收敛+发散=发散， 发散+发散就不一定发散
如 求级数 ( 5 1 )的和.
n1 n(n 1) 2n
5
1
,
n1 n(n 1)
2n 19
n1
例 6
求级数
n1
5 n(n
1 1. 1 x x2 xn
1 x
( x ＜1)
2. 3 3 3 3 1
10 100 1000
10n
3
1
0.33333
第九章 无穷级数
主要研究无限个量相加的问题，包括 无限个数和无限个函数相加的问题 。
常数项级数 无穷级数
幂级数
3
第一节
第九章
常数项级数的概念和性质
乘以常数 c 所得级数
也收敛 , 其和为 c s .
n
n
证:
令
S n
u, k
则 n
c
u k
c
S n
,
k 1
k 1
lim n n
cs
这说明
c
u n
第1节常数项级数的概念与性质
也收敛,且有 （ unvn) un vn.
n1
n1
n1
2020/1/28
14
说明：
( 1 )不 能 由 (u n v n )收 敛 推 出 u n、 v n收 敛 ；
n 1
n 1 n 1
(2) 若 un 收敛,而 vn 发散,则 (un vn ) 必发散.
的时间为100010,0在这段时间里,乌龟又爬了v10010米 0,
10v v
v
阿基里斯为跑完这段路又花费时间10010,此时乌龟又在他前面 10v v
10米处,……,依次类推,阿基里斯需要追赶的全部路程为
10 1 00 0 10 0
这 是 一 个 公 比 为 q 1 1 的 几 何 级 数 , 易 求 得 它 的 和 为 10
1 (1
1
)1 (n) ,
2 2n1 2
级数收 , 且敛和1为 .
2020/1/28
2
11
例3 讨 论 级 数ln1(1)的 敛 散 性 .
n1
n
解
un
ln(1
1) n
lnn(1)lnn,
所以
S n l2 n l1 n l3 n l2 n ln n 1 ) l (n n
1111处 追 1上 并 超 过 乌 龟 . 9
2020/1/28
10
例2
讨论无穷级数
11
1
1335 (2n1)(2n1)
的收敛性. 解 un(2n1)1(2n1)12(2n112n11),
11
1
S n1335(2n1)(2n1)
高等数学同济大学版10.1 常数项级数的概念和性质
为(常数项)无穷级数, 简称为级数. 其中un 称为级数的 一般项
或通项. 级数(1)的前n 项的和
n
sn u1 u2 un ui
(2)
i 1
称为级数(1)的前n项部分和. 当 n依次取1,2,3 时, 它们构
成一个新的数列 {sn }, 即
它们构成一个新的数列{sn }, 即 s1 u1, s2 u1 u2 , , sn u1 u2 un ,
完
例1
讨论级数
1 1 2
1 23
...
1 n(n
1)
...
ห้องสมุดไป่ตู้的收敛性.
解
sn
1 1 2
1 23
...
1 n(n
1)
un
1 n(n 1)
1
1 2
1 2
1 3
...
1 n
n
1
1
1 1 n n1
1
n
1
1.
所以
lim
n
sn
lim 1 n
n
1
1
1
即题设级数收敛，其和为1.
技巧: 利用 “拆项相消” 求和 完
)
.
若 q 1, 有 lim qn 0, n
则
lim
n
sn
1
a
q
.
若 q 1,
有
lim qn ,
n
则
lim
n
sn
.
若 q 1,
有 sn na,
则
lim
n
sn
.
例 4 讨论等比级数(又称为几何级数)
aqn a aq aq2 ... aqn ...(a 0) 的收敛性.
或通项. 级数(1)的前n 项的和
n
sn u1 u2 un ui
(2)
i 1
称为级数(1)的前n项部分和. 当 n依次取1,2,3 时, 它们构
成一个新的数列 {sn }, 即
它们构成一个新的数列{sn }, 即 s1 u1, s2 u1 u2 , , sn u1 u2 un ,
完
例1
讨论级数
1 1 2
1 23
...
1 n(n
1)
...
ห้องสมุดไป่ตู้的收敛性.
解
sn
1 1 2
1 23
...
1 n(n
1)
un
1 n(n 1)
1
1 2
1 2
1 3
...
1 n
n
1
1
1 1 n n1
1
n
1
1.
所以
lim
n
sn
lim 1 n
n
1
1
1
即题设级数收敛，其和为1.
技巧: 利用 “拆项相消” 求和 完
)
.
若 q 1, 有 lim qn 0, n
则
lim
n
sn
1
a
q
.
若 q 1,
有
lim qn ,
n
则
lim
n
sn
.
若 q 1,
有 sn na,
则
lim
n
sn
.
例 4 讨论等比级数(又称为几何级数)
aqn a aq aq2 ... aqn ...(a 0) 的收敛性.
常数项级数的概念与性质课件
n
a 当q 1时, 因为 lim q 0, 所以 lim sn , n n 1 q 级数收敛;
n
9
a aqn sn 1 q 1 q
当q 1时, 因为 lim q n , 所以 lim sn ,
n
n
级数发散;
n n aq a aq aq ( a 0) 如果 q 1时,
n 1
例如 则新级数的部分和数列 为原级数部分
和数列 sn ( n 1,2, ) 的一个子数列, 因此必有
s.
22
定理12.5 若级数 un收敛, 则 lim un 0 证 设 s un , 即 lim sn s, 则 un sn sn1
n 1
n 1
13
1 1 n n 1 n 2 sn n 2 n 1 n 1 2 2 2 1 2 1 n 故 s lim sn lim( 2 n1 n ) 2 n n 2 2
所以, 此级数收敛, 且其和为 2.
n n 2 n 1
14
二、收敛级数的基本性质 性质12.1 设常数 k 0, 则 un与 kun
解题思路 级数收敛的必要条件 lim un 0,
n
常用判别级数发散.
24
n 3 2n 5 (1) n1 ( 2n 1)( 2n 1)( 2n 3)
解 由于
发散
n 3 2n 5 1 lim un lim 0 n ( 2n 1)( 2n 1)( 2n 3) n 8
常数项级数的概念
收敛级数的基本性质
柯西审敛原理
小结 思考题
第12章 无穷级数 2
a 当q 1时, 因为 lim q 0, 所以 lim sn , n n 1 q 级数收敛;
n
9
a aqn sn 1 q 1 q
当q 1时, 因为 lim q n , 所以 lim sn ,
n
n
级数发散;
n n aq a aq aq ( a 0) 如果 q 1时,
n 1
例如 则新级数的部分和数列 为原级数部分
和数列 sn ( n 1,2, ) 的一个子数列, 因此必有
s.
22
定理12.5 若级数 un收敛, 则 lim un 0 证 设 s un , 即 lim sn s, 则 un sn sn1
n 1
n 1
13
1 1 n n 1 n 2 sn n 2 n 1 n 1 2 2 2 1 2 1 n 故 s lim sn lim( 2 n1 n ) 2 n n 2 2
所以, 此级数收敛, 且其和为 2.
n n 2 n 1
14
二、收敛级数的基本性质 性质12.1 设常数 k 0, 则 un与 kun
解题思路 级数收敛的必要条件 lim un 0,
n
常用判别级数发散.
24
n 3 2n 5 (1) n1 ( 2n 1)( 2n 1)( 2n 3)
解 由于
发散
n 3 2n 5 1 lim un lim 0 n ( 2n 1)( 2n 1)( 2n 3) n 8
常数项级数的概念
收敛级数的基本性质
柯西审敛原理
小结 思考题
第12章 无穷级数 2
10.1 常数项级数的概念与性质
巩固练习
习题10－1 1（奇数题）；2（偶数题）；3； 4
2017年4月24日星期一 14
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思考与练习
1. 若级数 un 与 vn 都发散时， 级数 (un vn ) 的敛
n 1 n 1 n 1
散性如何？若其中一个收敛，一个发散，那么，级数
(u
1 1 1 3 32 3n 1 由于 1 2 n 1 与 1 2 n 1 解： 4 4 4 2 2 2 都是公比小于 1 的等比级数， 所以它们都收敛， 且其和分别为 2 和 4，由性质 2 知所给级数收敛，其和为
2 1 3n 1 1 3 1 3 (1 1) 2 2 n 1 n 1 4 4 2 4 2 2 2 n 1 1 1 1 3 3 3 1 2 n 1 1 n 1 2 2 2 2 4 4 4 2 4 6
称为级数的部分和. 若 lim S n S 存在, 则称无穷级数
n
n
k 1
2017年4月24日星期一
3
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收敛 , 并称 S 为级数的和, 记作
S
n 1
n
un
若 lim S n 不存在 , 则称无穷级数发散 .
当级数收敛时, 称差值
rn S S n u n 1 un 2
2017年4月24日星期一
10
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性质3 在级数前面加上或去掉有限项, 不会影响级数 的敛散性. 性质4 收敛级数加括弧后所成的级数仍收敛于原级数 用反证法可证 的和. 推论: 若加括弧后的级数发散, 则原级数必发散. 注意: 收敛级数去括弧后所成的级数不一定收敛. 例如， (1 1) (1 1) 0 , 但 1 1 1 1 发散.
常数项级数的概念和性质解析ppt课件
1 (1 1 ), 2 2n 1
lim
n
sn
lim 1 (1 n 2
1) 2n 1
1, 2
级数收敛, 和为 1 . 2
例4. 讨论等比级数 (又称几何级数)
( q 称为公比 ) 的敛散性.
解: 1) 若
则部分和
因此级数收敛
,
其和为
a 1q
;
因此级数发散 .
aa qn 1q
从而 lim Sn
一、常数项级数的概念 二、收敛级数的基本性质
一、常数项级数的概念
引例1. 用圆内接正多边形面积逼近圆面积.
依次作圆内接正 内接正三角形面积, ak 表示边数 增加时增加的面积, 则圆内接正
边形, 设 a0 表示
这个和逼近于圆的面积 A . 即
引例2. 计算棒长.
一尺之棰,日取其半, 万世不竭. 棰长形成一个无穷数列
1 1
1
的收敛性.
13 35
(2n 1) (2n 1)
解
un
(2n
1 1)(2n
1)
1( 1 2 2n
1
1 2n
), 1
sn
1 1
1
13 35
(2n 1) (2n 1)
1 (1 1) 1 (1 1) 1 ( 1 1 )
2 3 23 5
2 2n 1 2n 1
[(
1 9
)n1
A1
]}
A1
3
1 9
A1
3 4 (1)2 9
A1
3 4n2
(
1 9
)n1
A1
A1{1
[
1 3
1(4) 39
1 (4)2 39
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由于大多数初等函数不能直接计算函数值，这使得 函数的应用存在根本性的困难。
多项式函数是能够直接计算函数值的函数形式，于 是产生讨论由多项式函数表示一般函数的问题。由对函 数值问题的精确求解便形成了“无穷多项式”的概念， 即由无穷级数讨论一般函数的方法和理论。
引例：半径为 r 的圆面积 A 的计算问题。 圆是曲边图形，用初等数学的方法不能直接精
f x un x ?
n1
如果是，un( x )= ?
从实际问题的讨论可知，无穷和的概念实 际有两个，一个是由无穷多个常数的和去确定 某个特定的数。另一个是由无穷多个函数的和 去计算或表达某个函数及函数值。由此便产生 了常数项无穷和与函数项无穷和的概念。
显然，常数项无穷和是讨论无穷和形式的 基础。因此可先研究常数项无穷和。
a1 a2 an an A ?
n1
对于一个函数列{ an( r)}，是否总有
a1 r a2 r an r an r Ar ?
n1
• 一般的函数是否总可表为无穷和形式？
进一步的问题是，如果
an r Ar , 即 Ar an r ,
n1
n1
则对于给定的函数 f( x )，是否总有
正多边形面积可无限逼近圆面积。 从数值计算角度看，就是通过对内接正多边形的边
数 n 取极限 n → ，最终可求得圆面积 A 的精确值，即
n
ai n A .
i 1
(2) 问题的提出
• 无穷和形式是否总可表达某个确定的数或函数？
从理论角度考虑，自然会提出这样的问题，即对于
一个数列{ an }，是否总有
数的敛散性由其“尾部”决定的，而与级数前面的有限
项无关。
收敛级数的几何特征是“虎头蛇尾”
n
r n S Sn un un un1 un2 un 0 .
n1
k 1
k n1
• 余项可作为误差估计式
若 | r n | = | S n - S |<< 1，可有 近似计算式 S n S ．
判别级数收敛的一种方法。这种方法的优 点是在判别级数收敛的同时也求出了无 穷级数的和，但根据定义判别级数的 收敛性需计算无穷和的极限，其过程 一般比较困难。
(1) 级数余项的概念
级数 un 收敛时，其部分和 S n 是级数和 S 的近似 n1
值，即 S S n ，记：r n = S - S n，称 r n 为级数的余项。
S qn
设有数列{ un }:u1,u2,…,un,… ，则式子
un
u1 u2
un
，称为常数项无穷级数。
n1
需注意的是，在定义中，记号“+”
仅是连接号，并不直接具有加法意义，
只有当级数收敛时，它才是通常意义
上的加法运算。
(1) 级数前 n 项部分和及部分和数列的概念
设有级数
un，其前
n
项之和
S
n
以更精确地确定级数的敛散性。
根据级数通项及余项性质讨论级数Fra bibliotek散性1 qn.
n0
所论级数的通项为 un = q n，由幂函数的性质知，
q = 1 是通项 un 性质的一个临界转折点。因此可就 q 的
不同取值对该级数的敛散性进行讨论。
• 当 | q |< 1 时，
n
Sn qk 1q q2
k 0
此时级数收敛，且
u
n．因此有
n1
Sn 11 un
n1
(1) 级数收敛的定义
如果级数
un的部分和数列{
S
n
}有极限，即
n1
lim Sn S，则称无穷级数 un 收敛，此时极限值 S 称
n
这个级数的和，并写成
S
n1
= u1
+
u
2
+
…
+
u
n
+
…
．
如果部分和数列{ Sn }的极限不存在，
则称无穷级
u
n
发散。
n1
(2) 无穷级数的研究任务 无穷级数的研究任务可分为三个方面： 一是判别级数的收敛性及研究收敛级数的性质； 二是研究如何将函数表示为无穷级数； 三是研究级数的求和法。 值得一提的是，级数收敛的定义也是
=
u1
+
u2
+
…
+
un
n1
称为该级数的前 n 项部分和。
级数的前 n 项部分和也可构成一个数列{ Sn}，称
此数列为原级数的前 n 项部分和数列。
(2) 讨论部分和数列的意义
级数前 n 项部分和数列和原级数间可建立“1-1对 应”关系，利用这种关系可方便地由熟悉的数列理论来
研究级数，从而可化无穷和讨论为有限形式的讨论。
确计算其面积。 在微积分创立之前，人们通过
如下方法将其转化为直边图形 来研究，即用圆的内接正多边 形面积近似逼近圆面积。
(1) 用内接正多边形作逼近 • 内接正六边形面积
作圆的内接正六边形。 设其面积为 a1，则有 A a1 ．
• 内接正十二边形面积 再作圆的内接正十二边形。 在实际计算中，圆的内接正十二边形只需在内接正
六边形基础上补上六个小等腰三角形得到。 设补上的六个小等腰三角形的总面积为 a2，则有 A a1 + a2．
• 不断增加内接正多边形边数 上述作圆的内接正多边形的过程可不断进行下去，
由此可求得圆面积的越来越精确的近似值： A a1 + a2 + a3 + … + an．
• 精确计算圆面积 让圆的内接正多边形的边数无限增大，则相应内接
例：试讨论下列级数的敛散性
1 q n,
n0
2
n0
1 n
.
由级数收敛的定义，所论级数
的敛散性取决于其部分和数列{ Sn }是
否有极限，而部分和数列的性质实际取
决于通项 u n 及余项 rn 的性质。
由于通项 u n 的形式相对简单，故
考察级数敛散性首先应注意考察通项性质。若通过通项
的考察尚不能确定级数敛散性，则可进一步分析余项，
(2) 级数余项的性质
un 收敛
n1
lim Sn S
n
lim Sn S lim rn 0 .
n
n
余项的讨论指出了研究级数收敛的一种途径，这一
点可从两个方面来认识：
• 余项反映了级数收敛的内在本质
rn → 0 ( n )实际是判别级数是否收敛的充要条 件。这一结果同时它也说明了级数某种内在本质，即级
设有级数
u
n，则由
n1
S 1 = u1，S 2 = u1 + u2,…, Sn = u1 + u2 + … + un，
可唯一地确定其部分和数列{ Sn }．
反之，若给定一个数列{ Sn }，则由关系式
u1 = S1，u2 = S 2 - S1 ,…，u n = S n - S n-1，
也可唯一确定相应的级数
多项式函数是能够直接计算函数值的函数形式，于 是产生讨论由多项式函数表示一般函数的问题。由对函 数值问题的精确求解便形成了“无穷多项式”的概念， 即由无穷级数讨论一般函数的方法和理论。
引例：半径为 r 的圆面积 A 的计算问题。 圆是曲边图形，用初等数学的方法不能直接精
f x un x ?
n1
如果是，un( x )= ?
从实际问题的讨论可知，无穷和的概念实 际有两个，一个是由无穷多个常数的和去确定 某个特定的数。另一个是由无穷多个函数的和 去计算或表达某个函数及函数值。由此便产生 了常数项无穷和与函数项无穷和的概念。
显然，常数项无穷和是讨论无穷和形式的 基础。因此可先研究常数项无穷和。
a1 a2 an an A ?
n1
对于一个函数列{ an( r)}，是否总有
a1 r a2 r an r an r Ar ?
n1
• 一般的函数是否总可表为无穷和形式？
进一步的问题是，如果
an r Ar , 即 Ar an r ,
n1
n1
则对于给定的函数 f( x )，是否总有
正多边形面积可无限逼近圆面积。 从数值计算角度看，就是通过对内接正多边形的边
数 n 取极限 n → ，最终可求得圆面积 A 的精确值，即
n
ai n A .
i 1
(2) 问题的提出
• 无穷和形式是否总可表达某个确定的数或函数？
从理论角度考虑，自然会提出这样的问题，即对于
一个数列{ an }，是否总有
数的敛散性由其“尾部”决定的，而与级数前面的有限
项无关。
收敛级数的几何特征是“虎头蛇尾”
n
r n S Sn un un un1 un2 un 0 .
n1
k 1
k n1
• 余项可作为误差估计式
若 | r n | = | S n - S |<< 1，可有 近似计算式 S n S ．
判别级数收敛的一种方法。这种方法的优 点是在判别级数收敛的同时也求出了无 穷级数的和，但根据定义判别级数的 收敛性需计算无穷和的极限，其过程 一般比较困难。
(1) 级数余项的概念
级数 un 收敛时，其部分和 S n 是级数和 S 的近似 n1
值，即 S S n ，记：r n = S - S n，称 r n 为级数的余项。
S qn
设有数列{ un }:u1,u2,…,un,… ，则式子
un
u1 u2
un
，称为常数项无穷级数。
n1
需注意的是，在定义中，记号“+”
仅是连接号，并不直接具有加法意义，
只有当级数收敛时，它才是通常意义
上的加法运算。
(1) 级数前 n 项部分和及部分和数列的概念
设有级数
un，其前
n
项之和
S
n
以更精确地确定级数的敛散性。
根据级数通项及余项性质讨论级数Fra bibliotek散性1 qn.
n0
所论级数的通项为 un = q n，由幂函数的性质知，
q = 1 是通项 un 性质的一个临界转折点。因此可就 q 的
不同取值对该级数的敛散性进行讨论。
• 当 | q |< 1 时，
n
Sn qk 1q q2
k 0
此时级数收敛，且
u
n．因此有
n1
Sn 11 un
n1
(1) 级数收敛的定义
如果级数
un的部分和数列{
S
n
}有极限，即
n1
lim Sn S，则称无穷级数 un 收敛，此时极限值 S 称
n
这个级数的和，并写成
S
n1
= u1
+
u
2
+
…
+
u
n
+
…
．
如果部分和数列{ Sn }的极限不存在，
则称无穷级
u
n
发散。
n1
(2) 无穷级数的研究任务 无穷级数的研究任务可分为三个方面： 一是判别级数的收敛性及研究收敛级数的性质； 二是研究如何将函数表示为无穷级数； 三是研究级数的求和法。 值得一提的是，级数收敛的定义也是
=
u1
+
u2
+
…
+
un
n1
称为该级数的前 n 项部分和。
级数的前 n 项部分和也可构成一个数列{ Sn}，称
此数列为原级数的前 n 项部分和数列。
(2) 讨论部分和数列的意义
级数前 n 项部分和数列和原级数间可建立“1-1对 应”关系，利用这种关系可方便地由熟悉的数列理论来
研究级数，从而可化无穷和讨论为有限形式的讨论。
确计算其面积。 在微积分创立之前，人们通过
如下方法将其转化为直边图形 来研究，即用圆的内接正多边 形面积近似逼近圆面积。
(1) 用内接正多边形作逼近 • 内接正六边形面积
作圆的内接正六边形。 设其面积为 a1，则有 A a1 ．
• 内接正十二边形面积 再作圆的内接正十二边形。 在实际计算中，圆的内接正十二边形只需在内接正
六边形基础上补上六个小等腰三角形得到。 设补上的六个小等腰三角形的总面积为 a2，则有 A a1 + a2．
• 不断增加内接正多边形边数 上述作圆的内接正多边形的过程可不断进行下去，
由此可求得圆面积的越来越精确的近似值： A a1 + a2 + a3 + … + an．
• 精确计算圆面积 让圆的内接正多边形的边数无限增大，则相应内接
例：试讨论下列级数的敛散性
1 q n,
n0
2
n0
1 n
.
由级数收敛的定义，所论级数
的敛散性取决于其部分和数列{ Sn }是
否有极限，而部分和数列的性质实际取
决于通项 u n 及余项 rn 的性质。
由于通项 u n 的形式相对简单，故
考察级数敛散性首先应注意考察通项性质。若通过通项
的考察尚不能确定级数敛散性，则可进一步分析余项，
(2) 级数余项的性质
un 收敛
n1
lim Sn S
n
lim Sn S lim rn 0 .
n
n
余项的讨论指出了研究级数收敛的一种途径，这一
点可从两个方面来认识：
• 余项反映了级数收敛的内在本质
rn → 0 ( n )实际是判别级数是否收敛的充要条 件。这一结果同时它也说明了级数某种内在本质，即级
设有级数
u
n，则由
n1
S 1 = u1，S 2 = u1 + u2,…, Sn = u1 + u2 + … + un，
可唯一地确定其部分和数列{ Sn }．
反之，若给定一个数列{ Sn }，则由关系式
u1 = S1，u2 = S 2 - S1 ,…，u n = S n - S n-1，
也可唯一确定相应的级数