(完整)圆内接四边形拔高练习题
九上数学每日一练：圆内接四边形的性质练习题及答案_2020年压轴题版
九上数学每日一练：圆内接四边形的性质练习题及答案_2020年压轴题版答案解析答案解析2020年九上数学：图形的性质_圆_圆内接四边形的性质练习题1.(2019拱墅.九上期末) 如图，在△ABC 中，AB =AC ， 以AB 为直径的⊙O 分别交BC ， AC 于点D ， E ， 连结EB ，交OD 于点F ．（1） 求证：OD ⊥BE ．（2） 若DE = ，AB =6，求AE的长．（3） 若△CDE 的面积是△OBF 面积的 ，求线段BC 与AC 长度之间的等量关系，并说明理由．考点： 垂径定理;圆周角定理;圆内接四边形的性质;相似三角形的判定与性质;2.(2019鄞州.九上期末) 如图1，△ABC 是⊙O 的内接等腰三角形，点D 是AC 上异于A ，C 的一个动点，射线AD 交底边BC 所在的直线于点E ，连结BD 交AC 于点F ．（1） 求证：∠ADB=∠CDE ：（2） 若BD=7，CD=3，①求AD·DE 的值；②如图2，若AC ⊥BD ，求tan ∠ACB（3） 若tan ∠CDE= ，记AD=x ，△ABC 的面积和△DBC 面积的差为y ，直接写出y 关于x 的函数解析式．考点： 圆内接四边形的性质;相似三角形的判定与性质;3.(2019宁波.九上期中) 定义：有一个角是其对角一半的圆的内接四边形叫做圆美四边形，其中这个角叫做美角．（1） 如图1，若四边形ABCD 是圆美四边形，求美角∠A 的度数．（2） 在(1)的条件下，若⊙O 的半径为5．①求BD 的长．②如图2，在四边形ABCD 中，若CA 平分∠BCD ，则BC+CD 的最大值是．答案解析答案解析（3） 在(1)的条件下，如图3，若AC 是⊙O 的直径，请用等式表示线段AB ，BC ，CD之间的数量关系，并说明理由．考点：含30度角的直角三角形;圆内接四边形的性质;4.(2020昌平.九上期末) 如图，已知 ，.（1） 求证：是等边三角形；（2） 求 的度数．考点： 等边三角形的判定与性质;圆内接四边形的性质;5.(2020宁波.九上期末) 如图1，在平面直角坐标系中，已知⊙M 的半径为5，圆心M 的坐标为(3，0)，⊙M 交x 轴于点D ，交y 轴于A ，B 两点，点C 是 上的一点(不与点A 、D 、B 重合)，连结AC 并延长，连结BC ，CD ，AD 。
中考数学总复习 圆内接四边形专项练习题
中考数学总复习圆内接四边形专项练习题例题1：如图，已知四边形ABCD内接于⊙O，OC∥AD，∠DAB=60°，∠ADC=106°.求∠OCB及弧DC的度数.练：如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，AB∥DC，∠BAD的平分线交⊙O于点P，交DC的延长线于点E，若∠BAD=86°，则∠PCE= °，⌒ADC的度数为例题2，如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，弧AB=弧AD，∠BCD=120°，连接AC，DE⊥AC于点E，连接BE，若∠BED=150°，AC=37 ,求DE的长.练：如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，AB=BD,BM⊥AC于点M，已知AC=11,CD=7,求CM的长.例3.如图，在△ABC中，AB=AC,在△ABC的外侧作直线AP，点B与点D关于AP轴对称，连接BD，CD，CD与AP交于点E. 求证：∠1=∠2.练：如图，在△ABC内有一点D，使得DA=DB=DC,若∠DAB=20°，则∠ACB= °.例题2，如图，E是正方形ABCD的边AB上的一点，过点E作DE的垂线交∠ABC的外角平分线于点F.求证：EF=DE.练：如图，锐角△ABC中，BD，CE是高线，DG⊥CE于点G，EF⊥BD于点F.求证：FG∥BC6.如图，已知△ABC，∠C=90°，将△ABC绕点A顺时针旋转x度（α为锐角），得到△ADE，连接BE，CD，延长CD交BE于点F.（1）用含有x的代数式表示∠ACD的度数为；（2）求证：点B，C，A，F四点共圆.（3）求证：点F为BE的中点.7.如图，在△ABC中，∠BAC=45°，AD是BC边上的高，且BD=6，CD=2.求AD的长度，课后习题：1.如图，⊙O内接四边形ABCD中，点E在BC延长线上，∠A+∠BOD=150°，则∠DCE= °2.如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∠A与∠C的度数之比为2：3，且弧AD的度数为100°，则弧AB的度数°3,如图，∠DAE是⊙O的内接四边形ABCD的一个外角，且DB=DC.AC是直径，若∠ACB=52°，则∠DAE= °4.如图，在平行四边形ABCD中，AD=2，∠A=120°，CF⊥AB于F，连接DF交CB延长线于E，连接AE，则△AEF的面积为5.如图，已知P为长方形内一点，S△P AB=5, S△PBC=12, 则S△PBD=6.如图，在菱形ABCD中，∠A=110°，点E，F分别是边AB和BC的中点，EP⊥CD于点P，则∠FPC=（）7.已知如图，四边形ABCD中，AB∥CD，AB=AC=AD=5，BC=6，求BD的长.8.如图，已知△ABC中，AH是高线，AT是角平分线，且TD⊥AB于点D，TE⊥AC于点E.求证：∠AHD=∠AHE.。
初中数学：圆内接四边形练习(含答案)
初中数学：圆内接四边形练习（含答案）知识点 1 圆内接四边形的性质——圆内接四边形的对角互补1．2016·丽水如图3－6－1，四边形ABCD为⊙O的内接四边形．已知∠ BCD＝110°，则∠BAD＝_______ °.2．已知四边形ABCD内接于⊙ O，且∠ A∶∠C＝1∶2，则∠A＝_____ °.图3－6－23．如图3－6－2，四边形ABCD是⊙ O的内接四边形，且∠ ABC＝115°，那么∠ AOC＝4．如图3－6－3，AB是半圆O的直径，C，D 是AB上两点，∠ ADC＝120°，则∠ BAC＝图3－6－3图3－6－45．如图3－6－4，点A，B，C，D都在⊙ O上，∠ B＝90°，AD＝3，CD＝2，则⊙ O的直径是____ ．6．在圆内接四边形ABCD中，∠ A∶∠ B∶∠ C＝2∶3∶6，求∠ D的度数．CD.7．如图3－6－5，四边形ABCD内接于⊙ O，AD∥BC，求证：AB＝图3－6－5知识点 2 圆内接四边形的性质的推论——圆内接四边形的外角等于其内对角8．2017·嵊州市模拟如图3－6－6，点A，B，C，D在圆O上，点 E 在AD的延长线上，若∠ ABC＝60°，则∠ CDE的度数为( )A．30°B．45°C．60°D．70°9．如图3－6－7，四边形ABCD内接于⊙ O，点E在BC的延长线上，若∠ BOD＝120°，则∠DCE＝___ °.10．如图3－6－8 所示，已知A，B，C，D是⊙O上的四点，延长DC，AB相交于点 E. 若BC＝BE.求证：△ ADE是等腰三角形．图3－6－6图3－6－811．如图3－6－9，△ ABC 内接于⊙ O ，∠ OBC ＝40°，则∠ A 的度数为 ( ) A ．80° B ．100° C ．110° D ．130°12．如图 3－6－10，在平面直角坐标系中， ⊙C 过原点 O ，且与两坐标轴分别交于点 A ，B ， 点 A 的坐标为(0，3)，M 是O ︵B 上一点，且在第三象限内．若∠BMO ＝120°，则⊙C 的半径为 ()A ．6B ．5C ．3 2D ．313．如图 3－6－11，已知四边形 ABCD 内接于半径为 4的⊙O 中，且∠C ＝2∠A ，则 BD ＝图 3－ 6－ 11图 3－6－1014．如图3－6－12，在圆内接四边形ABCD中，AB＝AD，AC＝1，∠ACD＝60°，求四边形ABCD的面积．图3－6－1215．(1) 已知：如图3－6－13①，四边形ABCD内接于⊙ O，延长BC至点E，则∠A＋∠ BCD ＝180°，∠ DCE＝∠A.(2) 依已知条件和(1) 中的结论：如图②，若点 C 在⊙O外，且A，C两点分别在直线BD的两侧．试确定∠ A＋∠ BCD 与180°的大小关系；如图③，若点 C 在⊙O内，且A，C两点分别在直线BD的两侧．试确定∠ A＋∠ BCD与180°的大小关系．(3) 如图3－6－14，四边形ABCD内接于⊙ O，∠DAB＝130°，连结OC，P 是半径OC上任意一点，连结DP，BP，则∠ BPD的度数可能为_____ (写出一个即可)．图3－6－14详解详析1．702．60 ［解析］∵四边形ABCD内接于⊙ O，∴∠A＋∠C＝180°.又∵∠A∶∠C＝1∶2，∠A＝60°.3．130 ［解析］∵四边形ABCD是⊙ O的内接四边形，且∠ ABC＝115°，∴∠ ADC＝180 －∠ ABC＝180°－115°＝65°，∴∠AOC＝2∠ADC＝2×65°＝130°.4．305. 136．解：∵四边形ABCD是圆内接四边形，∴∠ A＋∠ C＝180°，∠ B＋∠D＝180°.∵∠ A∶∠ B∶∠ C＝2∶3∶6，设∠ A＝2α，∠ B＝3α，∠ C＝6α，则2α＋6α＝180°，∴α ＝22.5 °，∴∠ B＝3α ＝67.5 °，∴∠ D＝180°－∠ B＝112.5 °.7．证明：∵ AD∥BC，∴∠ A＋∠ B＝180°.∵四边形ABCD内接于⊙ O，∴∠ A＋∠ C＝180°，∴∠ B＝∠ C，∴ AC＝BD，∴AC－AD＝BD－AD，即AB＝CD，∴AB＝CD.8．C ［解析］∵四边形ABCD为圆O的内接四边形，∴∠ABC＋∠ADC＝180°.∵∠CDE＋∠ADC＝180°，∠ ABC＝60°，∴∠CDE＝∠ABC＝60°.故选 C.9．60 ［解析］∵∠BOD＝120°，∴∠BAD＝60°. 又∠ BAD＋∠ BCD＝180 ＝180°，∴∠ DCE＝∠ BAD＝60°.10．证明：∵ BC＝BE，∴∠ E＝∠ BCE.∵四边形ABCD是圆内接四边形，∴∠ A＋∠ DCB＝180°.∵∠BCE＋∠DCB＝180°，∴∠ A＝∠ BCE，则∠ A＝∠E，∴AD＝DE，∴△ ADE是等腰三角形．11．D ［解析］如图，连结OC.∵OB＝OC，∴∠OCB＝∠OBC＝40∴∠ BOC＝100∵∠ 1＋∠ BOC＝360°，，∠DCE＋∠ BCD∴∠ 1＝260°.1∵∠A＝2∠1，∴∠A＝130°.故选 D.12．D ［解析］∵四边形ABMO内接于⊙ C，∴∠BMO＋∠BAO＝180°. ∵∠ BMO＝120°，∴∠BAO＝60°.又∵AO⊥BO，A（0，3），∴AB＝2AO＝6，∴⊙C的半径为 3.故选 D.13．4 3 ［解析］连结OD，OB，过点O作OF⊥BD，垂足为F，∴DF＝BF，∠DOF＝∠BOF.∵ 四边形ABCD内接于⊙O，∴∠A＋∠C＝180°.∵∠C ＝2∠A，∴∠A＝60°，∴∠BOD ＝120°，∴∠ BOF＝60°. ∵OB＝4，∴ BF＝2 3，∴ BD＝2BF＝4 3.14．解：如图，过点A作AE⊥BC于点E，AF⊥CD于点 F.∵∠ADF＋∠ABC＝180°（圆内接四边形的对角互补），∠ ABE＋∠ ABC＝180∴∠ ADF＝∠ ABE.在△ AEB与△ AFD中，∠ABE＝∠ADF，∠AEB＝∠AFD，AB＝AD，∴△ AEB≌△ AFD，∴四边形ABCD的面积＝四边形AECF的面积，AE＝AF. 又∵∠ E＝∠AFC＝90°，AC＝AC，∴Rt△AEC≌Rt△AFC.∵∠ACD＝60°，∠AFC＝90°，∴∠ CAF＝30°.∵AC＝1，∴ CF＝21，AF＝23，15．解：(2) 如图①，连结DE.∵∠ A＋∠ BED＝180°，∠ BED>∠ BCD，∴∠ A＋∠ BCD<180°.如图②，延长DC交⊙ O于点E，连结BE.∵∠ A＋∠ E＝180°，∠ BCD>∠E，∴∠ A＋∠ BCD>180 (3) 答案不唯一，如80∴四边形ABCD的面积＝2S△ ACF＝12×21CF×AF＝11。
人教版九年级数学上册 24.1.4.2 圆内接四边形 同步练习题(含答案)
人教版九年级数学上册第24章24.1.4.2 圆内接四边形同步练习题一、选择题1．如图，四边形ABCD内接于⊙O，若∠A＝40°，则∠C＝(D)A．110° B．120° C．135° D．140°2．如图，四边形ABCD内接于⊙O，若∠BAD＝70°，则四边形ABCD的外角∠DCE的度数为(D)A．140° B．110° C．220° D．70°3．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB经过圆心，∠B＝3∠BAC，则∠ADC等于(B) A．100° B．112.5° C．120° D．135°4．如图，四边形ABCD内接于⊙O，DA＝DC，∠CBE＝50°，则∠DAC的大小为(C) A．130° B．100° C．65° D．50°5．如图，四边形ABCD 是半圆的内接四边形，AB 是直径，DC ︵＝CB ︵.若∠C ＝110°，则∠ABC 的度数等于(A)A ．55°B ．60°C ．65°D ．70°6．如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，四边形ABCO 是平行四边形，则∠ADC ＝(C)A ．45°B ．50°C ．60°D ．75°7．如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，F 是CD ︵上一点，且DF ︵＝BC ︵，连接CF 并延长交AD 的延长线于点E ，连接AC.若∠ABC ＝105°，∠BAC ＝25°，则∠E 的度数为(B)A ．45°B ．50°C ．55°D ．60°8．如图，四边形ABCD 是菱形，⊙O 经过点A ，C ，D ，与BC 相交于点E ，连接AC ，AE.若∠D ＝80°，则∠EAC 的度数为(C)A ．20°B ．25°C ．30°D ．35°9．如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，AE ⊥CB 交CB 的延长线于点E.若BA 平分∠DBE ，AD ＝5，CE＝13，则AE＝(D)A．3 B．3 2 C．4 3 D．2 310．如图，点O为线段BC的中点，点A，C，D到点O的距离相等．若∠ABC＝40°，则∠ADC 的度数是(B)A．130° B．140° C．150° D．160°二、填空题11．如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，已知∠C＝∠D，则AB与CD的位置关系是AB ∥CD．12．已知⊙O的弦AB的长等于⊙O的半径，则此弦AB所对的圆周角的度数为30°或150°．如图，在⊙O的内接四边形ABCD中，点E在DC的延长线上．若∠A＝50°，则∠BCE ＝50°．13．如图所示，圆内接四边形ABCD两组对边的延长线分别相交于点E，F，且∠A＝56°，∠E＝32°，则∠F＝36°．三、解答题14．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，点E是BC延长线上的一点，且CD平分∠ECA.求证：DA＝DB.证明：∵CD平分∠ECA，∴∠DCA＝∠DCE.∵∠DCE＋∠DCB＝180°，∠DCB＋∠BAD＝180°，∴∠DCE＝∠DAB.∵∠DCA＝∠DBA，∴∠DBA＝∠DAB.∴DA＝DB.15．如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠B＝50°，∠ACD＝25°，∠BAD＝65°.求证：(1)AD＝CD；(2)AB是⊙O的直径．证明：(1)∵四边形ABCD内接于⊙O，∴∠D＝180°－∠B＝130°.∵∠ACD＝25°，∴∠DAC＝180°－∠D－∠ACD＝180°－130°－25°＝25°.∴∠DAC＝∠ACD.∴AD＝CD.(2)∵∠BAC＝∠BAD－∠DAC＝65°－25°＝40°，∠B＝50°，∴∠ACB＝180°－∠B－∠BAC＝180°－50°－40°＝90°.∴AB是⊙O的直径．16．如图，⊙C经过坐标原点，且与两坐标轴分别交于点A与点B，点A的坐标为(0，4)，M 是圆上一点，∠BMO＝120°.求⊙C的半径．解：∵四边形ABMO内接于⊙C，∴∠BAO＋∠BMO＝180°.∵∠BMO＝120°，∴∠BAO＝60°.在Rt△ABO中，AO＝4，∠BAO＝60°，∴AB＝8.∵∠AOB＝90°，∴AB为⊙C的直径．∴⊙C的半径为4.17．如图，AB是⊙O的直径，D，E为⊙O上位于AB异侧的两点，连接BD并延长至点C，使得CD＝BD.连接AC交⊙O于点F，连接AE，DE，DF.(1)求证：∠E＝∠C；(2)若∠E＝55°，求∠BDF的度数．解：(1)证明：连接AD.∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，即AD⊥BC.∵CD＝BD，∴AD垂直平分BC.∴AB＝AC.∴∠B＝∠C.又∵∠B＝∠E，∴∠E＝∠C.(2)∵四边形AEDF是⊙O的内接四边形，∴∠AFD＝180°－∠E.又∵∠CFD＝180°－∠AFD，∴∠CFD＝∠E＝55°.∵∠E＝∠C＝55°，∴∠BDF＝∠C＋∠CFD＝110°.。
非学科数学学培训 圆内第四大定理之圆内接四边形(资料附答案)
自学资料一、圆内接四边形【知识探索】1．如果一个多边形的所有顶点都在同一个圆上，这个多边形叫做圆内接多边形．这个圆叫做这个多边形的外接圆．2．圆内接四边形的对角互补．【错题精练】例1．如图，四边形ABCD的对角线CA平分∠BCD且AD=AB，AE⊥CB于E，点O为四边形ABCD的外接圆的圆心，下列结论：①OA⊥DB；②CD+CB=2CE；③∠CBA−∠DAC=∠ACB；④若∠DAB= 90∘，则CD+CB=√3CA．其中正确的结论（）第1页共25页自学七招之日计划护体神功：每日计划安排好，自学规划效率高非学科培训A. ①③④；B. ①②④；C. ②③④；D. ①②③．【答案】D，例2．如图，等腰△ABC内接于⊙O，已知AB=AC，∠ABC=30∘，BD是⊙O的直径，如果CD=4√33则AD=．【答案】4．的值是例3．如图，正方形ABCD和正△AEF都内接于⊙O，EF与BC、CD分别相交于点G、H，则EFGH （）A. ；B. ；C. ；D. 2．【答案】C例4．如图，两正方形彼此相邻且内接于半圆，若小正方形的面积为16cm2，则该半圆的半径为第2页共25页自学七招之举一反三剑：总结归纳典型题，多种解法开脑洞非学科培训（）．A. cmB. 9 cmC. cmD. cm【解答】C【答案】C例5．如图，四边形ABCD内接于⊙O，BC=CD，∠C=2∠BAD．（1）求∠BOD的度数；（2）求证：四边形OBCD是菱形；（3）若⊙O的半径为r,∠ODA=45∘，求△ABD的面积（用含r的代数式表示）．【解答】（1）解：∠A+∠C=180，∠C=2∠A，∴∠A=60∘，∴∠BOD=2∠A=120∘（2）证明：连接OB，OC，OD，可以得出△BOC是等边三角形，∴OB=OC=OD=CD，∴四边形OBCD是菱形；（3）解：过D做DH⊥AB与H，∵DH=√62r，BH=√62r，AH=√22r，∴S△ABD=3+√34r2．第3页共25页自学七招之智慧树神拳：知识内容体系化，思维导图来助力非学科培训【答案】（1）∠BOD=2∠A=120∘；（2）略；（3）S△ABD=3+√3r2．4例6．如图，已知四边形ABCD内接于圆，对角线AC与BD相交于点E，F在AC上，AB=AD，∠BFC=∠BAD=2∠DFC．（1）若∠DFC=40∘，求∠CBF的度数；（2）求证：CD⊥DF．【解答】（1）解：∵∠ADB=∠ACB，∠BAD=∠BFC，∴∠ABD=∠FBC，又∵AB=AD，∴∠ABD=∠ADB，∴∠CBF=∠BCF，∵∠BFC=2∠DFC=80°，∴∠CBF=50∘；（2）证明：令∠CFD=α，则∠BAD=∠BFC=2α，∵四边形ABCD是圆的内接四边形，∴∠BAD+∠BCD=180°，即∠BCD=180∘−2α，又∵AB=AD，∴∠ACD=∠ACB，∴∠ACD=∠ACB=90∘−α，∴∠CFD+∠FCD=α+(90∘−α)=90°，∴∠CDF=90°，即CD⊥DF．【答案】（1）∠CBF=50∘；（2）CD⊥DF．例7．如图，在圆内接四边形ABCD中，CD为∠BCA的外角的平分线，F为弧AD上一点，BC=AF，延长DF与BA的延长线交于E．第4页共25页自学七招之举一反三剑：总结归纳典型题，多种解法开脑洞非学科培训（1）求证：△ABD为等腰三角形．（2）求证：AC⋅AF=DF⋅FE．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是圆O的内接四边形，∴∠DCB+∠DAB=180∘，∵∠MCD+∠DCB=180∘，∴∠MCD=∠DAB，∵CD为∠BCA的外角的平分线，∴∠MCD=∠ACD，∵∠DCA和∠DBA都对弧AFD，∴∠DCA=∠DBA，∴∠DAB=∠DBA，∴DB=DA，∴△ABD为等腰三角形．（2）证明：由（1）知AD=BD，BC=AF，则弧AFD=弧BCD，弧AF=弧BC，∴∠BDC=∠ADF，弧CD=弧DF，CD=DF①∴∠BDC+∠BDA=∠ADF+∠BDA，即∠CDA=∠BDF，而∠FAE+∠BAF=∠BDF+∠BAF=180∘，∴∠FAE=∠BDF=∠CDA，同理∠DCA=∠AFE∴在△CDA与△FAE中，∠CDA=∠FAE，∠DCA=∠AFE，∴△CDA∽△FAE，∴即CD⋅EF=AC⋅AF，又由①有AC⋅AF=DF⋅EF．【答案】（1）略；（2）略．例8．如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AC=BC，D为⊙O中弧AB上一点，延长DA至点E，使CE=CD．（1）求证：AE=BD；（2）若AC⊥BC，求证：AD+BD=CD．第5页共25页自学七招之智慧树神拳：知识内容体系化，思维导图来助力非学科培训【答案】例9．（1）已知：如图1，四边形ABCD内接于⊙O，延长BC至E．求证：∠A+∠BCD=180°，∠DCE=∠A．（2）依已知条件和（1）中的结论：①如图2，若点C在⊙O外，且A、C两点分别在直线BD的两侧．试确定∠A+∠BCD与180°的大小关系；②如图3，若点C在⊙O内，且A、C两点分别在直线BD的两侧．试确定∠A+∠BCD与180°的大小关系．第6页共25页自学七招之举一反三剑：总结归纳典型题，多种解法开脑洞非学科培训【解答】【答案】见解析例10．如图1，已知△ABC，AB=AC，以边AB为直径的⊙O交BC于点D，交AC于点E，连接DE．（1）求证：DE=DC．（2）如图2，连接OE，将∠EDC绕点D逆时针旋转，使∠EDC的两边分别交OE的延长线于点F，AC 的延长线于点G．试探究线段DF、DG的数量关系．【答案】（1）证明：∵四边形ABDE内接于⊙O，第7页共25页自学七招之智慧树神拳：知识内容体系化，思维导图来助力非学科培训第8页共25页自学七招之举一反三剑：总结归纳典型题，多种解法开脑洞非学科培训【解答】第9页共25页自学七招之智慧树神拳：知识内容体系化，思维导图来助力非学科培训第10页共25页自学七招之举一反三剑：总结归纳典型题，多种解法开脑洞非学科培训【答案】【举一反三】1．如图，四边形ABCD是菱形，⊙O经过点A、C、D，与BC相交于点E，连接AC、AE．若∠D=78∘，则∠EAC=度．【答案】27．2．如图，四边形ABCD是菱形，⊙O经过点A、C、D，与BC相交于点E，连接AC、AE，若∠D=78∘，则∠EAC=（）A. 37°；B. 32°；C. 21°；D. 18.5°．【答案】C．3．已知，如图：AB为⊙O的直径，AB=AC，BC交⊙O于点D，AC交⊙O于点E，∠BAC=45°．给出以下四个结论：①∠EBC=22.5°；②AE=2EC；③劣弧AE是劣弧DE的2倍；④DE=DC．其中不正确结论的序号是（）A. ①B. ④C. ③D. ②【解答】【答案】D4．如图，已知四边形ABEC内接于⊙O，点D在AC的延长线上，CE平分∠BCD交⊙O于点E，则下列结论中一定正确的是（）A. AB=AEB. AB=BEC. AE=BED. AB=AC【解答】【答案】C5．已知△ABC．（1）如图，AC⊥AB，点D为BC上一点，∠ABD=∠BAD，∠EAC=∠CAD，求证：AE∥BC．（2）如图，点P是BC上一点，且∠APC＜90°，以AP为一边作正方形APMN，若NC⊥BC，则∠ACB= °，并证明你的结论．【答案】6．已知如图，四边形ABCD内接于⊙O，直径AF⊥BC于点H，AD与BC的延长线交于点E，连接BD．（1）若BC=8，FH=2，求⊙O得半径长；（2）若∠EDC=70∘，求∠ADB的度数．【解答】（1）解：由垂径定理得BH=4，OH=r−2，由勾股得：r=5；（2）解：连接AC，由垂径定理得：AB=AC，∴∠ABC=∠ACB，∵∠EDC=70∘，∴∠ABC=∠ACB=70∘，∵∠ADB=∠ACB，∴∠ADB=70∘．【答案】（1）5；（2）70°．7．如图，在半径为5的扇形AOB中，∠AOB=90°，点C是弧AB上的一个动点（不与点A、B重合）OD⊥BC，OE⊥AC，垂足分别为D、E．（1）当BC=6时，求线段OD的长；（2）在△DOE中是否存在长度保持不变的边？如果存在，请指出并求其长度；如果不存在，请说明理由．【答案】8．如图，⊙M交x轴于B、C两点，交y轴于A，点M的纵坐标为2．B（-3，0），C（，0））（1）求⊙M的半径；（2）若CE⊥AB于H，交y轴于F，求证：EH=FH．（3）在（2）的条件下求AF的长．【答案】9．如图，△ABC中，E、F分别是AB、AC上的点．①AD平分∠BAC，②DE⊥AB，DF⊥AC，③AD⊥EF．以此三个中的两个为条件，另一个为结论，可构成三个命题，即：（1）试判断上述三个命题是否正确（直接作答）；（2）请证明你认为正确的命题．【解答】【答案】见解析10．已知△ABC中，AB=AC，以AB为直径的圆O交BC于D，交AC于E，（1）如图①，若AB=6，CD=2，求CE的长；（2）如图②，当∠A为锐角时，使判断∠BAC与∠CBE的关系，并证明你的结论；（3）若②中的边AB不动，边AC绕点A按逆时针旋转，当∠BAC为钝角时，如图③，CA的延长线与圆O相交于E．请问：∠BAC与∠CBE的关系是否与（2）中你得出的关系相同？若相同，请加以证明，若不同，请说明理由．【解答】【答案】见解析11．我们学过圆内接三角形，同样，四个顶点在圆上的四边形是圆内接四边形，下面我们来研究它的性质．（I）如图（1），连接AO、OC，则有．∴，同理∠BAD+∠BCD=180°，即圆内接四边形对角（相对的两个角）互补．（II）在图（2）中，∠ECD是圆内接四边形ABCD的一个外角，请你探究外角∠DCE与它的相邻内角的对角（简称内对角）∠A的关系，并证明∠DCE与∠A的关系．（III）应用：请你应用上述性质解答下题：如图（3）已知ABCD是圆内接四边形，F、E分别为BD、AD延长线上的点，如果DE平分∠FDC，求证：AB=AC．【解答】【答案】见解析1．如图，已知⊙O中，直径MN=10，正方形ABCD的四个顶点分别在半径OM、OP以及⊙O上，并且∠POM=45∘，试求AB的长．【解答】解：∵ABCD是正方形，∴∠DCO=90∘．∵∠POM=45∘，∴∠CDO=45∘．∴CD=CO．∴BO=BC+CO=BC+CD．∴BO=2AB．连接AO，∵MN=10，∴AO=5．在Rt△ABO中，AB2+BO2=AO2，AB2+(2AB)2=52，解得：AB=√5，则AB的长为√5．【答案】√5．2．如图所示，⊙O的直径AB长为6，弦AC长为2，∠ACB的平分线交⊙O于点D，求四边形ADBC的面积．【解答】解：∵AB是直径，∴∠ACB=∠ADB=90∘．在Rt△ABC中，AB=6，AC=2，∴BC=√AB2−AC2=√62−22=4√2．∵∠ACB的平分线交⊙O于点D，∴∠DCA=∠BCD．∴．∴AD=BD．∴在Rt△ABD中，AD=BD=3√2，AB=6．∴四边形ADBC的面积=S△ABC+S△ABD=12AC⋅BC+12AD⋅BD=12×2×4√2+12×3√2×3√2=9+4√2．故四边形ADBC的面积是9+4√2．【答案】9+4√2．3．（2015秋•嵊泗县期中）如图①、②、③，正三角形ABC、正方形ABCD、正五边形ABCDE分别是⊙O的内接三角形、内接四边形、内接五边形，点M、N分别从点B、C开始，以相同的速度在⊙O上逆时针运动．（1）求图①中∠APN的度数（写出解题过程）；（2）写出图②中∠APN的度数和图③中∠APN的度数；（3）试探索∠APN的度数与正多边形边数n的关系（直接写答案）【解答】【答案】。
浙教版九年级数学上册《3.6圆内接四边形》同步练习题带答案
浙教版九年级数学上册《3.6圆内接四边形》同步练习题带答案学校:___________班级：___________姓名：___________考号：___________一、单选题1．如图，四边形ABCD 内接于O ，E 是BC 延长线上一点，若110BAD ∠=︒，则DCE ∠的度数是（ ）A ．140︒B ．110︒C ．70︒D ．55︒2．在正方形网格中，以格点O 为圆心画圆，使该圆经过格点A ，B ，并在圆弧上取点C ，D ，连接AC BC AD BD ，，，，则ADB ∠的度数为（）A ．135︒B ．130︒C ．120︒D ．不确定3．如图，四边形ABCD 是O 的内接四边形142AOC ∠=︒，则ABC ∠的度数是（ ）A ．109︒B ．142︒C ．45︒D ．19︒4．如图，AB 是半圆O 的直径35BAC ∠=︒，则D ∠的度数为（ ）A ．110︒B ．115︒C ．120︒D ．125︒5．如图，点A ，B ，C 、D 四点均在O 上68AOD ∠=︒，AO DC ∥则B ∠的度数为（ ）A ．62︒B ．56︒C ．34︒D ．54︒6．如图，四边形ABCD 内接于O ，AB=BC ，连接OA ，OB ．若60AOB ∠=︒，则D ∠=（ ）A ．40︒B ．60︒C ．45︒D ．30︒7．如图，四边形ABCD 内接于O ，如果它的一个外角64DCE ∠=︒，那么BOD ∠=（ ）A ．128︒B ．100︒C ．120︒D ．132︒8．如图，四边形ABCD 内接于O ，点C 是BD 的中点40A ∠=︒，则CBD ∠的度数为（ ）A ．20︒B ．25︒C ．30°D ．35︒9．若等腰ABC 内接于O ，AB=AC ，100BOC ∠=︒则ABC 底角的度数为（ ） A ．65︒B ．25︒C ．65︒或25︒D ．65︒或35︒10．如图，AB 是O 的弦，OC AB ⊥交O 于点C ，点D 是O 上一点，连接BD ，CD ．若25CDB ∠=︒，则ACB ∠的度数为（ ）A ．100︒B ．155︒C ．130︒D ．125︒二、填空题11．如图，点A ，B ，C 在O 上，若128AOB ∠=︒，则C ∠= ．12．如图，点A ，B ，C ，D 在O 上，若25CAD ∠=︒，55ABD ∠=︒则ADC ∠= 度．13．已知半径为2的O 中，弦2AB =，则弦AB 所对的圆周角P ∠= ．14．如图，在O 中，AB 为直径，点C 为圆上一点，将劣弧沿弦AC 翻折交AB 于点D ，连接CD ．如果6AD =，2DB =则AC 的长为 ．15．如图，O 过四边形ABCD 的四个顶点，已知90ABC ∠=︒，BD 平分ABC ∠，1,2AB BC ==则BD = ．三、解答题16．如图，在O 的内接四边形ABCD 中AB CD = AB CD ∥． 求证：四边形ABCD 是矩形．17．（1）如图1，在等边三角形ABC 中，AB=6，点D 是线段BC 上的一点，CD=4，连接AD ，将线段AD 绕点A 逆时针旋转60︒后得到AE ，连接CE 、DE ．求CE 的长（2）如图2，ABC 是等边三角形，且点A ，B ，C 三点都在O 上，点D 是BC 上任一点，求证：DB DC DA +=．18．O 的半径OA ⊥弦BC ，点D 在O 上（不与点A 、B 、C 重合） 70AOC ∠=︒．(1)如图，当点D 在优弧BC 上时，求ADB ∠的度数；(2)若点D 在劣弧BC 上，则ADB ∠的度数为________．19．如图，在ABC 中90A B α∠=︒∠=，，点D ，E 分别在AB ，BC 上，线段DE 绕点D 顺时针旋转得到DF ，其中旋转角1802EDF α∠=︒-，此时点F 恰好落在AC 上，过点D ，E ，F 的圆交BC 于点G ，连接GF ．(1)若35α=︒，求BGF ∠的度数； (2)求证：BE GF =．题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 BAADB BAACC11．116︒ 12．100 13．30︒或150︒ 14．14153216证明：⊥AB CD = AB CD ∥⊥四边形ABCD 是平行四边形 180A D ∠+∠=︒ ⊥AD BC ∥ ⊥180A B ∠+∠=︒ ⊥B D ∠=∠⊥四边形ABCD 是O 的内接四边形 ⊥180B D ∠+∠=︒ ⊥90B D ∠=∠=︒⊥平行四边形ABCD 是矩形．17．解：（1）在等边ABC 中，AB=6，点D 是线段BC 上的一点，CD=4 ⊥6AC BC AB === 60BAC ∠=︒⊥642BD BC CD =-=-=将AD 绕点A 逆时针旋转60︒后得到AE ⊥AD AE = 60DAE ∠=︒ ⊥BAD DAC DAC CAE ∠+∠=∠+∠ ⊥BAD CAE ∠=∠ 在ABD △和ACE △中AD AE BAD CAE AB AC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩⊥()SAS ABD ACE ≌ ⊥2CE BD ==；（2）证明：如图，将ACD 绕点A 顺时针旋转60︒得到ABE⊥ACD ABE ∠=∠ DC BE = ⊥180ACD ABD ∠+∠=︒ ⊥180ABE ABD ∠+∠=︒ ⊥D 、B 、E 三点共线由旋转得：60DAE ∠=︒ AD AE = ⊥ADE 是等边三角形 ⊥AD DE = ⊥DE BD BE =+ ⊥DB DC DA +=． 18．（1）解：连接OB⊥半径OA ⊥弦BC ⊥AB AC =⊥70AOB AOC ∠=∠=︒ ⊥1352ADB AOB ∠=∠=︒ （2）解：当点D 在AB 上时由（1）知⊥135AD B ∠=︒⊥四边形1ADBD 是圆的内接四边形 ⊥1180145ADB AD B ∠=︒-∠=︒ 当点D 在AC 上时则1352ADB AOB ∠=∠=︒综上，ADB ∠的度数为145︒或35︒． 故答案为：145︒或35︒． 19．（1）解：⊥35α=︒ ⊥()180235110EDF ∠=-⨯︒=︒⊥18070BGF EDF ∠=︒-∠=︒； （2）证明：连接DG⊥()1802EDF α∠=-︒ ⊥1802EGF EDF α∠=︒-∠= ⊥DE DF = ⊥DE DF =⊥12EGD FGD EGF α∠=∠=∠=⊥B α∠= ⊥B FGD ∠=∠⊥180GED GFD ∠+∠=︒ 又⊥180GED BED ∠+∠=︒ ⊥GFD BED ∠=∠ ⊥()AAS BDE GDF ≌ ⊥BE GF =．。
数学人教A版选修4-1课后训练：第二讲二圆内接四边形的
圆内接四边形的性质与判定定理练习1下列说法正确的有( )①圆的内接四边形的任何一个外角等于它的内角的对角；②圆内接四边形的对角相等；③圆内接四边形不能是梯形；④在圆的内部的四边形叫圆内接四边形．A．0个 B．1个 C．2个 D．3个2圆内接平行四边形的对角线( )A．互相垂直 B．互相垂直平分C．互相平分且相等 D．相等且平分每组对角3如图，四边形ABCD是O的内接四边形，E为AB的延长线上一点，∠CBE＝40°，则∠AOC等于( )A．20° B．40°C．80° D．100°4如图，四边形ABCD是O的内接四边形，AH⊥CD，如果∠HAD＝30°，那么∠B＝( )A．90° B．120°C．135° D．150°5如图，在O中，弦AB的长等于半径，∠DAE＝80°，则∠ACD＝( )A．30° B．45°C．50° D．60°6如图，四边形ABCD是圆O的内接四边形，延长AB和DC相交于点P，若13PBPD，则BCAD的值为______．7如图，两圆相交于A，B两点，过点A的直线交两圆于点C，D，过点B的直线交两圆于点E，F，连接CE，DF，若∠C＝95°，则∠D＝__________.8(能力拔高题)已知圆内接四边形ABCD的边长分别是AB＝2，BC＝6，CD＝DA＝4，则四边形ABCD的面积等于__________．9如图，四边形ABCD是圆的内接四边形，过点C作DB的平行线交AB的延长线于E点，求证：BE·AD＝BC·C D．10(探究题)如图，已知P为正方形ABCD的对角线BD上一点，通过P作正方形的边的垂线，垂足分别为点E，F，G，H.你能判断出点E，F，G，H是否在同一个圆上吗？试说明你的猜想．参考答案1 答案：B ①是圆内接四边形的性质定理2，则①正确；圆内接四边形的对角互补，但不一定相等，则②不正确；圆的内接四边形可以是梯形，则③不正确；顶点在同一个圆上的四边形叫圆内接四边形，则④不正确.2 答案：C 圆内接平行四边形必为矩形，故其对角线互相平分且相等.3 答案：C ∵四边形ABCD 是O 的内接四边形，且∠CBE ＝40°，由圆内接四边形的性质，知∠D ＝∠CBE ＝40°，又由圆周角定理知∠AOC ＝2∠D ＝80°.4 答案：B ∵AH ⊥CD ，∴∠AHD ＝90°.∵∠HAD ＝30°，∴∠D ＝90°－∠HAD ＝60°. 又四边形ABCD 内接于圆， ∴∠B ＝180°－∠D ＝120°.5答案：C ∵四边形ABCD 内接于圆O ， ∴∠DAE ＝∠BCD ＝80°. ∵弦AB 的长等于半径， ∴弦AB 所对圆心角为60°.∴∠ACB ＝12×60°＝30°. ∴∠ACD ＝∠BCD －∠ACB ＝80°－30°＝50°.6 答案：13由于∠PBC ＝∠PDA ，∠P ＝∠P ， 则△PAD ∽△PCB ，故13PB BC PD AD ==. 7 答案：85°8 答案：由于四点共圆，∴∠B ＋∠D ＝180°. ∴cos B ＝－cos D .根据余弦定理，得AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB ×BC ×cos B ，AC 2＝AD 2＋DC 2－2AD ×DC ×cos D ，∴有AC 2＝22＋62－2×2×6×cos B ＝22＋62＋2×2×6×cos D ， AC 2＝42＋42－2×4×4×cos D ，∴cos D ＝17-，sin D ＝sin B∴四边形ABCD 的面积＝0.5×AB ×BC ×sin B ＋0.5×AD ×DC ×sin D ＝9 答案：分析：转化为证明△ADC ∽△CBE .证明：如图，连接AC ，∵四边形ABCD 为圆内接四边形， ∴∠ADC ＝∠EBC . 又BD ∥EC ，∴∠CEB ＝∠DBA . ∵∠ACD ＝∠DBA ，∴∠CEB＝∠ACD. ∴△ADC∽△CBE.∴AD BCDC BE，即BE·AD＝BC·CD.10答案：分析：根据正方形的对称性，可以猜想，此四个点应当在以O为圆心的圆上，于是连接线段OE，OF，OG，OH，再设法证明这四条线段相等.解：猜想：E，F，G，H四个点在以O为圆心的圆上.证明如下：如图，连接线段OE，OF，OG，OH.在△OBE，△OBF，△OCG，△OAH中，OB＝OC＝OA.∵PEBF为正方形，∴BE＝BF＝CG＝AH，∠OBE＝∠OBF＝∠OCG＝∠OAH＝45°.∴△OBE≌△OBF≌△OCG≌△OAH.∴OE＝OF＝OG＝OH.由圆的定义，可知E，F，G，H四个点在以O为圆心的圆上.。
浙教版数学(九上)同步提高 第3章 3.6 圆内接四边形(原卷版)有答案
如果别人思考数学的真理像我一样深入持久，他也会找到我的发现。
——高斯圆内接四边形知识讲解1.圆的内接四边形如果一个四边形的各个顶点在同一个圆上，那么这个四边形叫做圆的内接四边形，这个圆叫做四边形的外接圆．2.圆内接四边形的性质定理圆内接四边形的对角互补．典型例题例1：如图，点A、B、C、D在⊙O上，点O在⊙D的内部，四边形OABC为平行四边形，求⊙OAD＋⊙OCD的度数．同步练习一、选择题1．【甘肃兰州中考】如图，四边形ABCD内接于⊙O，若⊙A＝40°，则⊙C＝( )A．110° B．120° C．135° D．140°2．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，若⊙BOD＝88°，则⊙BCD的度数是()A．88° B．92° C．106° D．136°3．如图，已知四边形ABCD 是⊙O 的内接四边形，且AB ＝CD ＝5，AC ＝7，BE ＝3，则下列命题错误的是（ ）A ．⊙ABE⊙⊙DCEB ．⊙BDA ＝45°C ．S 四边形ABCD ＝24.5 D ．图中全等的三角形共有2对 4. 如图，四边形ABCD 是⊙O 的内接四边形，若⊙A ＝70°，则⊙C 的度数是( )A ．100°B ．110°C ．120°D ．130°5．[2018·苏州]如图，AB 是半圆的直径，O 为圆心，C 是半圆上的点，D 是AC ︵上的点．若⊙BOC ＝40°，则⊙D 的度数为( )A. 100°B. 110°C. 120°D. 130°6．[2018·邵阳]如图所示，四边形ABCD 为⊙O 的内接四边形，⊙BCD ＝120°，则⊙BOD 的大小是( )A ．80°B ．120°C ．100°D ．90°7. [2018·港南区三模]如图，四边形ABCD 为⊙O 的内接四边形，延长AB 与DC 相交于点G ，AO⊙CD ，垂足为E ， 连结BD ，⊙GBC ＝50°，则⊙ABD 的度数为( )A ．50°B ．60°C ．80°D ．90°8．【湖北十堰中考】如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，AE⊙CB 交CB 的延长线于点E ，若BA 平分⊙DBE ，AD ＝5，CE ＝13，则AE ＝( )A ．3B ．3 2C ．4 3D ．239．如图，两圆相交于A ，B 两点，小圆经过大圆的圆心O ，点C ，D 分别在两圆上．若⊙ADB ＝110°，则⊙ACB 的度数为( A )A. 35°B. 40°C. 50°D. 80°10．如图，⊙C 过原点，且与两坐标轴分别相交于点A ，B ，点A 的坐标为(0，3)，M 是第三象限内OB ︵上一点， ⊙BMO ＝120°，则⊙C 的半径为( )A. 6B. 5C. 3D. 32二、填空题1. 【浙江台州中考】如图，AC 是圆内接四边形ABCD 的一条对角线，点D 关于AC 的对称点E 在边BC 上，连结AE.若⊙ABC ＝64°，则⊙BAE 的度数为________.2．如图，扇形OAB的圆心角为122°，C是弧AB上一点，则⊙ACB＝____°.3．如图，点A，B，C，D在⊙O上，点O在⊙D的内部，四边形OABC为平行四边形，则⊙OAD＋⊙OCD＝______°.4．[2017·淮安]如图，在圆内接四边形ABCD中，若⊙A，⊙B，⊙C的度数之比为4⊙3⊙5，则⊙D的度数是____．5．[2018·曲靖]如图，四边形ABCD内接于⊙O，E为BC延长线上一点，若⊙A＝n°，则⊙DCE＝___．6．[2018·扬州]如图，已知⊙O的半径为2，⊙ABC内接于⊙O，⊙ACB＝135°，则AB＝____．三、解答题1. 如图，四边形ABCD内接于圆，AD，BC的延长线交于点E，F是BD延长线上任意一点，AB＝AC．求证：(1)DE平分⊙CDF；(2)⊙ACD＝⊙E.2. 如图，⊙O的内接四边形ABCD两组对边的延长线分别相交于点E，F.(1)若⊙E＝⊙F时，求证：⊙ADC＝⊙ABC；(2)若⊙E＝⊙F＝42°，求⊙A的度数；(3)若⊙E＝α，⊙F＝β，且α≠β，请你用含有α，β的代数式表示⊙A的大小．3．如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，并且AD 是⊙O 的直径，C 是BD ︵的中点，AB 和DC 的延长线交⊙O 外一点E.求证：BC ＝EC.4. 如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，点E 在对角线AC 上． (1)若BC ＝DC ，⊙CBD ＝39°，求⊙BCD 的度数；(2)若在AC 上有一点E ，且EC ＝BC ＝DC ，求证：⊙1＝⊙2.5．如图，已知四边形ABCD 内接于圆，对角线AC 与BD 相交于点E ，F 在AC 上，AB ＝AD ，⊙BFC ＝⊙BAD ＝2⊙DFC ．(1)若⊙DFC ＝40°，求⊙CBF 的度数； (2)求证：CD⊙DF.6．如图，⊙ABC 内接于⊙O ，AD⊙BC ，OE⊙BC ，OE ＝12BC ．(1)求⊙BAC 的度数；(2)将⊙ACD 沿AC 折叠为⊙ACF ，将⊙ABD 沿AB 折叠为⊙ABG ，延长FC 和GB 相交于点H.求证：四边形AFHG 是正方形；(3)若BD ＝6，CD ＝4，求AD 的长．7. 如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，F是CD延长线上的一点，且AD平分⊙BDF，AE⊙CD于点E.(1)求证：AB＝AC.(2)若BD＝11，DE＝2，求CD的长．。
(完整)初中数学专题训练--圆--圆的内接四边形
例 圆内接四边形ABCD 中，∠A 、∠B 、∠C 的度数的比是3﹕2﹕7，求四边形各内角度数． 解：设∠A 、∠B 、∠C 的度数分别为3x 、2x 、7x ．∵ABCD 是圆内接四边形．∴∠A +∠C=180°即3x+7x=180°，∴x=18°，∴∠A=3x=54°，∠B=2x=36°，∠C=7x=126°， 又∵∠B+∠D=180°，∴∠D=180°一36°＝144°．说明：①巩固性质；②方程思想的应用．例 （2001厦门市，教材P101中17题）如图，已知AD 是△ABC 的外角∠EAC 的平分线，AD 与三角形ABC 的外接圆相交于D ．求证：DB=DC ．分析：要证DB=DC ，只要证∠BCD=∠CBD ，充分利用条件和圆周角的定理以及圆内接四边形的性质，即可解决．证明：∵AD 平分∠EAC ，∴∠EAD =∠DAC ， ∵∠EAD 为圆内接四边形ABCD 的外角，∴∠BCD=∠EAD ，又∠CBD=∠DAC ，∴∠BCD=∠CBD ，∴DB=DC ．说明：角相等的灵活转换，利用圆内接四边形的性质作桥梁．例 如图，△ABC 是等边三角形，D 是上任一点，求证：DB+DC=DA ．分析：要证明一条线段等于两条线段的和，往往可以“截长”和“补短”法，本题两种方法都可以证明．证明： 延长DB 至点E ，使BE=DC ，连AE ． 在△AEB 和△ADC 中，BE=DC ．△ABC 是等边三角形．∴AB=AC ．∵ 四边形ABDC 是⊙O 的内接四边形， ∴∠ABE=∠ACD ．∴△AEB ≌△ADC ． ∴∠AEB=∠ADC=∠ABC ． ∵∠ADE=∠ACB ，又 ∵∠ABC=∠ACB ＝60°， ∴∠AEB=∠ADE=60°．∴△AED 是等边三角形，∴AD=DE=DB+BE ． ∵BE=DC ，∴DB+DC=DA ．说明：本例利用“截长”和“补短”法证明．培养学生“角相等的灵活转换”能力．在圆中，圆心角、圆周角、圆内接四边形的性质构成了角度相当转换的一个体系，应重视．典型例题四例 如图，ABCD 是⊙O 的内接四边形，CD AH ⊥，如果︒=∠30HAD ，那么=∠B （ ）A ．90°B ．120°C ．135°D ．150°解：,90,30︒=∠︒=∠AHD HADABCD EAB C DEO︒=∠∴60D ，由圆内接四边形的对角和是180°，得︒=∠120B ，故选B. 说明：“圆的内接四边形的对角互补，并且任何一个外角都等于它的内对角.”这个定理很重要，要正确运用.典型例题五例 如图，已知：⊙1O 与⊙2O 相交于点A 、B ，P 是⊙1O 上任意一点，P A 、PB 的延长线交⊙2O 于点C 、D ，⊙1O 的直径PE 的延长线交CD 于点M .求证：CD PM ⊥.分析：要证CD PM ⊥，即证︒=∠+∠90D DPM ，连结公共弦AB 及EB ，即得证.证明：连结AB 、EB ，在⊙中，PEB PAB ∠=∠.∵ABCD 为⊙2O 的内接四边形..,D PEB D PAB ∠=∠∠=∠∴∵PE 为⊙1O 的直径..90︒=∠PBE.90.90.90︒=∠∴︒=∠+∠︒=∠+∠∴DMP D DPM PEB DPM即CD PM ⊥.说明：连接AB 就构造出圆内接四边形性质定理的基本图形.典型例题六例 如图，AD 是ABC ∆外角EAC ∠的平分线，AD 与ABC ∆外接⊙O 交于点D ，N 为BC 延长线上一点，且DN CD CN ,=交⊙O 于点M .求证：（1）DC DB =；（2）.2DN CM DC ⋅=分析：（1）由于DB 与DC 是同一三角形的两边，要证二者相等就应先证明它们的对角相等，这可由圆周角定理与圆内接四边形的基本性质得到：（2）欲证乘积式.2DN CM DC ⋅=，只须证比例式DC CM DN DC =，也即CNCMDN DC =，这只须要证明DCM ∆∽DNC ∆即可. 证明 （1）连结DC.∵AD 平分EAC ∠，∴.DBC DAC EAD ∠=∠=∠ 又ABCD 内接于⊙O ， ∴.DCB EAD ∠=∠ 故.DCB DBC ∠=∠ .DC DB =∴（2）.,180180NDC CDM DCN DCB DBC DMC ∠=∠∠=∠-︒=∠-︒=∠Θ ∴DMC ∆∽DCN ∆，故DNCMCN CM DN DC ==. ∴.2DN CM DC ⋅=说明：本题重在考查圆周角与圆内接四边形的基本性质和利用相似三角形证明比例线段的基本思维方法.本题曾是1996年南昌市中考试题.典型例题七例 如图，已知四边形ABCD 是圆内接四边形，EB 是⊙O 的直径，且AD EB ⊥，AD 与BC 的延长线相交于.F 求证：DCBCFD AB =. 证明 连结AC .∵ EB AD ⊥. ∴.∴ DAB ACB ∠=∠.∵ 四边形ABCD 是圆内接四边形，∴ .,ABC FDC DAB FCD ∠=∠∠=∠∴ FCD ACB ∠=∠. ∴ ABC ∆∽FDC ∆.∴DCBCFD AB =. 说明：本题考查圆内接四边形性质的应用，解题关键是辅助线构造ABC ∆，再证ABC ∆∽FDC ∆.易错点是不易想到证ACB FCD ∠=∠而使解题陷入困境或出现错误.典型例题八例 如图，已知四边形ABCD 内接于半圆O ，AB 是直径，DC AD =，分别延长BA ，CD 交于点E ，EC BF ⊥，交EC 的延长线于F ，若12,==BC AO EA ，求CF 的长.解 连结OD ，BD .∵DC AD =，的度数AOD ∠=.∴.//BC OD∴EBEOBC OD =. .24,16.8.3212,12,==∴=∴=∴===EB AB OD OD BCBOAO EA ΘABCD Θ内接于⊙O ，∴.EBC EDA ∠=∠又 E ∠公用，∴EDA ∆∽EBC ∆. ∴EBEDEC EA BC AD ==. 设y ED x DC AD ===,，则有yx y x +==82412. ∴24=x . ∴24=AD .AB Θ为⊙O 的直径，∴.90︒=∠=∠F ADB 又.FCB DAB ∠=∠ ∴Rt ADB ∆∽Rt .CFB ∆∴.BCABCF AD =即.121624=CF ∴.23=CF 说明 本题主要考查圆内接四边形的性质，解题关键是作出辅助线.典型例题九例 （海南省，2000） 如图，AB 是⊙O 的直径，弦（非直径）AB CD ⊥，P 是⊙O 上不同于D C ,的任一点.（1）当点P 在劣弧CD 上运动时，APC ∠与APD ∠的关系如何？请证明你的结论；（2）当点P 在优弧CD 上运动时，APC ∠与APD ∠的关系如何？请证明你的结论（不要讨论P 点与A 点重合的情形）分析：利用在同圆中，圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系定理来解决.解 ∵弦AB CD ⊥，AB 是直径，∴∴（1）.APD APC ∠=∠（2）.180︒=∠+∠APD APC（如图中虚线所示）.选择题1．在圆的内接四边形ABCD 中，A ∠和它的对角C ∠的度数的比为1：2，那么A ∠为（ ）A．30°B．60°C．90°C．120°2．四边形ABCD内接于圆，A∠、B∠、C∠、D∠的度数依次可以是（）A．1：2：3：4 B．6：7：8：9 C．4：1：3：2 D．14：3：1：123.四边形ABCD内接于圆，A∠、B∠、C∠、D∠的度数比依次可以是（）A．4:3:2:1B．1:3:2:4C．2:1:3:4D．2:3:1:44.如图，四边形ABCD内接于⊙O，︒=∠110BOD，那么BCD∠的度数为（）A．︒125B．︒110C．︒55D．︒705. 如图，⊙1O与⊙2O交于A、B两点，且⊙2O过⊙1O的圆心1O，若︒=∠40M，则N∠等于（）A．︒40B．︒80C．︒100D．︒706. 圆内接平行四边形一定是（）（A）矩形（B）正方形（C）菱形（D）梯形7．已知AB、CD是⊙O的两条直径，则四边形ADBC一定是（）A．矩形B．菱形C．正方形D．等腰梯形8、四边形ABCD内接于圆，则∠A、∠B、∠C、∠D的度数比可以是( )（A）1﹕2﹕3﹕4 （B）7﹕5﹕10﹕8（C）13﹕1﹕5﹕17 （D）1﹕3﹕2﹕49、若ABCD为圆内接四边形，AE⊥CD于E，∠ABC=130°，则∠DAE为（）（A）50°（B）40°（C）30°（D）20°10、如图，圆内接四边形ABCD的一组对边AD、BC的延长线相交于P，对角线AC和BD相交于点Q，则图中共有相似的三角形( )（A）4对（B）3对（C）2对（D）1对11．如图，在ABC∆，AD是高，ABC∆的外接圆直径AE交BC边于点G，有下列四个结论：（1）CDBDAD⋅=2；（2）AEEGBE⋅=2；（3）ACABADAE⋅=⋅；（4）CGBGEGAG⋅=⋅.其中正确的结论的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个12．已知：如图，劣弧，那么DB∠+∠的度数是（）ACDPQA ．320°B ．160°C ．150°D ．200° 13．钝角三角形的外心在（ ）A ．三角形内B ．三角形外C ．三角形的边上D ．上述三种情况都有可能 14．圆内接平行四边形的对角线（ ）A ．互相垂直B ．互相垂直平分C ．相等D ．相等且平分每组对角 15．如图，已知四边形ABCD 是⊙O 的内接四边形，且3,7,5====BE AC CD AB ，下列命题错误的是（ ）A ．DCE ABE ∆≅∆B ．︒=∠45BDAC ．5.24=ABCD S 四边形 D ．图中全等的三角形共有2对答案：1．B 2．D 3.C 4. A 5. D 6、A ；7．A 8、C ； 9、B ； 10、A. 11．B 12．B 13．B 14．D 15．D.填空题1. 已知ABCD 是圆内接四边形，若∠A 与∠C 的度数之比是1﹕2，则∠A 的度数是 度．2. 若A ，B ，C ，D 四点共圆，且∠ACD 为36°，则所对的圆心角的度数是 度．3. 圆内接四边形相邻三个内角的比是2﹕1﹕7，则这个四边形的最大角的度数为 度．4. 圆上四点A 、B 、C 、D ，分圆周为四段弧，且=4:3:2:1，则圆内接四边形ABCD 的最大角是_________5. 圆内接四边形ABCD 中，若EBC ∠是ABC ∠相邻的一个外角，且︒=∠105EBC ，︒=∠93C ，则______=∠D ，______=∠A ，若3:2:1::=∠∠∠C B A ，则______=∠D ，______=∠A6. 四边形ABCD 内接于圆，A ∠、C ∠的度数之比是4:5，B ∠比D ∠大︒30，则______=∠A ，______=∠D7. 圆内接梯形是________梯形，圆内接平行四边形是_________8．圆内接四边形ABCD 中，如果4:3:2::=∠∠∠C B A ，那么______=∠D 度. 9．在圆内接四边形ABCD 中，5:3:4::=∠∠∠C B A ，则______=∠D .10．如图，在圆内接四边形ABCD 中，α=︒=∠=ACBADADAB,30,，则四边形ABCD的面积为________.11．如图，把正三角形ABC的外接圆对折，使点A落在的中点A'，若5=BC，则折痕在ABC∆内的部分DE长为_______.答案：1. 60°；2. 72°；3.160°;4. ︒126 5. ︒105，︒87，︒90，︒45;6. ︒100，︒757. 等腰，矩形.8．90 9．120°10．243a11．310.判断题1. 顶点在圆上的角叫做圆周角；（）2. 相等的圆周角所对的弧相等；（）3. 直角所对的弦是直径；（）4. 在圆中，同一弦上的两个圆周角相等或互补；（）5. 弓形含的圆周角为︒120，则弓形弧也为︒120；（）6. 四边形的对角互补.（）答案:1. ×2. ×3. ×4. √5. ×6. ×.解答题1、如图，已知：ABCD为圆内接四边形，（1）若DB∥CE，求证：AD﹕BC=CD﹕BE；（2）若AD﹕BC=CD﹕BE，求证：DB∥CE ．2、已知：⊙O中，直径AB垂直弦CD于H，E是CD延长线上一点，AE交⊙O于F．求证：∠AFC=∠DFE．3．如图，已知四边形ABCD内接于圆，DC、AB的延长线相交于E，且DBACBE∠=∠，求证：BDECBEAD⋅=⋅BCDO4．如图，点A 、D 在⊙O 上，以点A 为圆心的⊙A 交⊙O 于B 、C 两点，AD 交⊙A 于点E ，交BC 于点F ，求证：AD AF AE ⋅=25．已知圆内接四边形，ABCD 中，4:5:2::=∠∠∠C B A ，求最小的角。
圆的内接四边形(拔高训练)(有答案)
第3课时圆内接四边形重点：圆内接四边形对角互补。
习题精练1、下列关于圆内接四边形叙述正确的有（）①在圆内部的四边形叫圆内接四边形；②圆内接四边形的对角相等；③圆内接四边形中不相邻的两个内角互补；④圆内接四边形的一个外角等于它的相邻内角的对角。
A、1个B、2个C、3个D、4个2、如图所示，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，∠BCD=120°，则∠BOD的大小是（）A、80°B、120°C、100°D、90°3、四边形ABCD内接于⊙O，则∠A:∠B:∠C:∠D的值可以是（）A、1:2:3:4B、1:3:2:4C、1:4:2:3D、1:2:4:34、如图，四边形ABCD内接于⊙O，DA=DC，∠CBE=50°,则∠DAC的大小为（）A、130°B、100°C、65°D、50°5、如图，A、B、C在⊙O上，∠AOB=22.5°，则∠ACB的度数是_________.6、如图，正方形ABCD 的四个顶点分别在⊙O 上，点P 为CD⌒ 上不同于点C 、D 的任意一点，则∠DPC 的度数是_________.7、如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，∠DAE 是四边形ABCD 的一个外角，且AD 平分∠CAE 。
求证：DB=DC 。
拓展提升8、如图，四边形ABCD 为⊙O 的内接四边形，延长AB 与DC 相交于点G ，AO ⊥CD ，垂足为E ，连接BD ，∠GBC=50°，则∠DBC 的度数为（ ）A 、50°B 、60°C 、80°D 、90°第8题 第9题9、如图，在△ABC 中，∠ACB=90°，过B 、C 两点的⊙O 交AC 于点D ，交AB 于点E ，连接EO 并延长交⊙O 于点F ，连接BF ，CF ，若∠EDC=135°，22=CF ,则22BE AB +的值为（ ）A 、8B 、12C 、16D 、2010、如图，在⊙O 的内接五边形ABCDE 中，∠CAD=35°，则∠B+∠E=_______°.11、如图，AB ，CD 是⊙O 的弦，AB ⊥CD ，BE 是⊙O 的直径，若AC=3，则DE=________.12、如图，正方形ABCD 内接于⊙O ，在劣弧AB 上取一点E ，连接DE ，BE ，过点D 作DF//BE 交⊙O 于点F ，连接BF ，AF ，且AF 与DE 相交于点G ，求证：（1）四边形EBFD 是矩形；（2）DG=BE 。
九年级数学上册3.6圆内接四边形同步练习(新版)浙教版【含解析】
3.6 圆内接四边形一、选择题（共10小题；共50分）1. 下列四个图中，∠x是圆周角的是 ( )A. B.C. D.2. 如图所示，圆周角有 ( )A. 9个B. 10个C. 11个D. 12个3. 如图，AB是⊙O的直径，AB垂直于弦CD，∠BOC=70∘，则∠ABD= ( )A. 20∘B. 46∘C. 55∘D. \70°\）4. 如图，小华同学设计了一个圆直径的测量器，把标有刻度的尺子OA，OB在O点钉在一起，并使它们保持互相垂直．在测直径时，把O点靠在圆周上，读得刻度OE=4个单位，OF=3个单位，则圆的直径为 ( )A. 7个单位B. 6个单位C. 5个单位D. 4个单位5. 如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，若∠BOD=88∘，则∠BCD的度数是 ( )A. 88∘B. 92∘C. 106∘D. 136∘6. 如图所示，AB是⊙O的直径，AD=DE，AE与BD交于点C，则图中与∠BCE相等的角有 ( )．A. 2个B. 3个C. 4个D. 5个7. 如图所示，小华同学设计了一个圆直径的测量器，标有刻度的尺子OA，OB在O点钉在一起，并使它们保持垂直，在测直径时，把O点靠在圆周上，读得刻度OE=8，OF=6，则圆的直径为 ( )A. 12B. 10C. 4D. 158. 如图，有一圆形展厅，在其圆形边缘上的点A处安装了一台监视器，它的监控角度是55∘，为了监控整个展厅，最少需在圆形边缘上安装这样的监视器 ( )A. 2台B. 3台C. 4台D. 5台9. 如图，△ABC内接于⊙O，∠OBC=40∘，则∠A的度数为 ( )A. 80∘B. 100∘C. 110∘D. 130∘10. 如图，已知AB是半径为1的圆O的一条弦，且AB=a<1，以AB为一边在圆O内作正△ABC，点D为圆O上不同于点A的一点，且DB=AB=a，DC的延长线交圆O于点E，则AE的长为 ( )A. √52a B. 1 C. √32D. a二、填空题（共10小题；共50分）11. 如图，AB为⊙O的直径，点C,D在⊙O上，∠BAC=50∘，则∠ADC=．12. 如图，点A，B，C是⊙O上的点，OA=AB，则∠C的度数为．13. 将量角器按如图所示的方式放置在三角形纸板上，使点C在半圆上．点A，B的读数分别为86∘，30∘，则∠ACB=．14. 如图，AB是⊙O的直径，点D在⊙O上，∠BOD=130∘，AC∥OD交⊙O于点C，连接BC，则∠B=度．15. 已知△ABC的边BC=4 cm，⊙O是其外接圆，且半径也为4 cm，则∠A的度数是．16. 如图，圆内接四边形ABCD中两组对边的延长线分别相交于点E，F，且∠A=55∘，∠E=30∘，则∠F=．17. 如图，OB是⊙O的半径，弦AB=OB，直径CD⊥AB．若点P是线段OD上的动点，连接PA，则∠PAB的度数可以是∘（写出一个即可）．18. 如图，一块直角三角板ABC的斜边AB与量角器的直径恰好重合，点D对应的刻度是58∘，则∠ACD的度数为∘．19. 已知，如图：AB为⊙O的直径，AB=AC，BC交⊙O于点D，AC交⊙O于点E，∠BAC=45∘．给出以下五个结论：① ∠EBC=22.5∘；② BD=DC；③ AE=2EC；④ 劣弧AE⏜是劣⏜的2倍；⑤ DE=DC．其中正确结论有．弧DE20. 如图，AB是⊙O的直径，AB=AC，BC交⊙O于点D，AC交⊙O于点E，∠BAC=45∘，给出下列五个结论：① ∠EBC=22.5∘；② BD=DC；③ AE=2EC；④劣弧AE是劣孤DE 的2倍；⑤ AE=BC．其中正确结论的序号是．三、解答题（共3小题；共39分）21. 已知：如图，在⊙O中，弦AB、CD交于点E，AD=CB．求证：AE=CE．22. 如图，∠DAE是⊙O的内接四边形ABCD的一个外角，且∠DAE=∠DAC．求证：DB=DC．23. 在平面直角坐标系xOy中，半径为1的⊙O与x轴负半轴交于点A，点M在⊙O上，将点M绕点A顺时针旋转60∘得到点Q．点N为x轴上一动点（N不与A重合），将点M绕点N顺时针旋转60∘得到点P．PQ与x轴所夹锐角为α．Ⅰ如图 1，若点M的横坐标为1，点N与点O重合，则α=∘；2Ⅱ若点M、点Q的位置如图 2 所示，请在x轴上任取一点N，画出直线PQ，并求α的度数；Ⅲ当直线PQ与⊙O相切时，点M的坐标为．答案第一部分1. C2. D3. C4. C5. D6. D7. B8. C9. D 10. B第二部分11. 40∘12. 30∘13. 28∘14. 4015. 30∘16. 40∘17. 65（答案不唯一）18. 6119. ①②④⑤20. ①②④第三部分21. 连接AC．∵AD=BC，⏜=BC⏜，∴AD∴∠ACD=∠CAB，∴AE=CE．22. ∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∴∠BAD+∠BCD=180∘．∵∠BAD+∠DAE=180∘，∴∠BCD=∠DAE．∵∠DAE=∠DAC，又∠DAC=∠DBC，∴∠BCD=∠DBC，∴DB=DC．23. （1）60（2）连接MQ，MP．记MQ，PQ分别交x轴于E，F．∵将点M绕点A顺时针旋转60∘得到点Q，将点M绕点N顺时针旋转60∘得到点P，∴△MAQ和△MNP均为等边三角形．∴MA=MQ，MN=MP，∠AMQ=∠NMP=60∘．∴∠AMN=∠QMP．∴△MAN≌△MQP．∴∠MAN=∠MQP．∵∠AEM=∠QEF，∴∠QFE=∠AMQ=60∘．∴α=60∘．（3）(√32,12)或(−√32,−12)。
3.6 圆内接四边形 浙教版数学九年级上册同步自主提升训练(含解析)
2022-2023学年浙教版九年级数学上册《3.6圆内接四边形》同步自主提升训练一．选择题1．如图，四边形ABCD内接于⊙O，DE是⊙O的直径，连接BD．若∠BCD＝2∠BAD，则∠BDE的度数是（ ）A．25°B．30°C．32.5°D．35°2．如图，⊙O的内接四边形ABCD中，∠D＝50°，则∠B为（ ）A．140°B．130°C．120°D．100°3．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，若∠BCD＝121°，则∠BOD的度数为（ ）A．138°B．121°C．118°D．112°4．如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠ADC＝120°，BD平分∠ABC交AC于点E，若BA ＝BE，则∠ADB的大小为（ ）A．35°B．30°C．40°D．45°5．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，点E为边CD上任意一点（不与点C，点D 重合），连接BE，若∠A＝60°，则∠BED的度数可以是（ ）A．110°B．115°C．120°D．125°6．如图，四边形ABCD内接于⊙O，已知∠BCD＝80°，AB＝AD，且∠ADC＝110°，若点E为的中点，连接AE，则∠BAE的大小是（ ）A．25°B．30°C．35°D．40°7．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，⊙O的半径为2，∠B＝60°，点D为弧AC 上的动点，点M、N、P分别是AD、DC、CB的中点，则PN+MN的最大值为（ ）A．1+B．1+2C．2+2D．2+8．如图，圆内接四边形ABCD的两组对边的延长线分别相交于点E，F，若∠E＝30°，∠F＝40°，则∠A＝（ ）A．25°B．30°C．40°D．55°二．填空题9．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，BE是⊙O的直径，连接AE、BD．若∠BCD ＝115°，则∠EBD的大小为 ．10．如图，∠DCE是⊙O内接四边形ABCD的一个外角，若∠DCE＝72°，那么∠BOD的度数为 ．11．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，AD与BC的延长线交于点E，BA与CD的延长线交于点F，若∠DCE＝75°，∠F＝20°，则∠E的度数为 ．12．如图，四边形ABCD是半径为2的⊙O的内接四边形，连接OA，OC．若∠AOC：∠ABC＝4：3，则的长为 ．13．在四边形ABCD中，∠ABC＝120°，∠ADC＝60°，AB＝BC＝3，则CD的最大值＝ ．14．定义：有一组邻边相等且对角互补的四边形叫做等补四边形．例：如图1，四边形内接于⊙O，AB＝AD．则四边形ABCD是等补四边形．探究与运用：如图2，在等补四边形ABCD中，AB＝AD，其外角∠EAD的平分线交CD 的延长线于点F，若CD＝10，AF＝5，则DF的长为 ．15．在圆内接四边形ABCD中，∠D﹣∠B＝40°，则∠D的度数为 ．16．如图，四边形ABCD内接于⊙O，F是上一点，且，连接CF并延长交AD的延长线于点E，连接AC．若∠ABC＝105°，∠BAC＝30°，则∠E的度数为 度．17．如图，五边形ABCDE的顶点B，C、D、E在⊙O上，顶点A在⊙O外，且AB＝AE．若∠A＝100°，则∠CBA+∠CDE＝ °．18．圆的内接四边形中，∠A：∠B：∠C＝2：3：4，则∠D的度数为 ．19．如图，⊙C过原点，且与两坐标轴分别交于点A，点B，点A的坐标为（0，3），M是第三象限内弧OB上一点，∠BMO＝120°，则⊙C的半径为 ．20．如图，四边形ABCD是⊙O内接四边形，，∠BCD＝120°，连接AC，DE⊥AC于点E，连接BE，若∠BED＝150°，AC＝，则DE的长为 ．三．解答题21．如图，四边形ABCD内接于⊙O，BD为直径，AC平分∠BCD．（1）若BC＝5cm，CD＝12cm，求AB的长；（2）求证：BC+CD＝AC．22．定义：三角形一个内角的平分线和与另一个内角相邻的外角平分线相交所成的锐角称为该三角形第三个内角的遥望角．如图1，∠E是△ABC中∠A的遥望角，如图2，四边形ABCD内接于⊙O，＝，四边形ABCD的外角平分线DF交⊙O于点F，连接BF并延长交CD的延长线于点E．求证：∠BEC是△ABC中∠BAC的遥望角．23．如图，四边形ABCD内接于⊙O，F是上一点，且，连接CF并延长交AD的延长于点E，连接AC．（1）若∠ABC＝105°，∠BAC＝25°，求∠E的度数；（2）若⊙O的半径为4，且∠B＝2∠ADC，求AC的长．24．已知四边形ABCD内接于⊙O，∠DAB＝90°．（1）如图1，连接BD，若⊙O的半径为6，AD＝AB，求AB的长；（2）如图2，连接AC，若AD＝5，AB＝3，对角线AC平分∠DAB，求AC的长．参考答案一．选择题1．解：连接BE，∵四边形ABCD内接于⊙O，∴∠BCD+∠BAD＝180°，∵∠BCD＝2∠BAD，∴∠BAD＝60°，由圆周角定理得：∠BED＝∠BAD＝60°，∵DE是⊙O的直径，∴∠EBD＝90°，∴∠BDE＝90°﹣60°＝30°，故选：B．2．解：∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∴∠D+∠B＝180°，∵∠D＝50°，∴∠B＝180°﹣50°＝130°，故选：B．3．解：∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∴∠A+∠BCD＝180°，∴∠A＝180°﹣121°＝59°，∴∠BOD＝2∠A＝2×59°＝118°，故选：C．4．解：∵四边形ABCD内接于⊙O，∴∠ABC+∠ADC＝180°，∵∠ADC＝120°，∴∠ABC＝60°，∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝30°，∵BA＝BE，∴∠BAE＝∠BEA＝（180°﹣∠ABD）＝×（180°﹣30°）＝75°，∴∠ACB＝180°﹣∠BAC﹣∠ABC＝180°﹣75°﹣60°＝45°，∴∠ADB＝∠ACB＝45°，故选：D．5．解：∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∴∠A+∠C＝180°，∵∠A＝60°，∴∠C＝120°，∵∠BED＝∠C+∠CBE，∴∠BED＞120°，∴∠BED可能为125°．故选：D．6．解：如图，连接AC，由题意可得：∠BAD＝180°﹣∠BCD＝110°，∠ABC＝180°﹣∠ADC＝70°，∵AB＝AD，∴，∴∠ACB＝∠ACD＝＝40°，∴∠BAC＝180°﹣70°﹣40°＝70°，∵点E为的中点，∴∠BAE＝∠BAC＝35°．故选：C．7．解：连接OC、OA、BD，作OH⊥AC于H．∴∠AOC＝2∠ABC＝120°，∵OA＝OC，OH⊥AC，∴∠COH＝∠AOH＝60°，CH＝AH，∴CH＝AH＝OC•sin60°＝，∴AC＝2，∵CN＝DN，DM＝AM，∴MN＝AC＝，∵CP＝PB，CN＝DN，∴PN＝BD，当BD是直径时，PN的值最大，最大值为2，∴PM+MN的最大值为2+．故选：D．8．解：∵四边形ABCD内接于⊙O，∴∠ADC＝∠FBC，∵∠ADC＝180°﹣∠A﹣∠F，∠FBC＝∠A+∠E，∴180°﹣∠A﹣∠F＝∠A+∠E，则2∠A＝180°﹣（∠F+∠E）＝110°，解得，∠A＝55°，故选：D．二．填空题9．解：∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∴∠BAD+∠BCD＝180°，∵∠BCD＝115°，∴∠BAD＝65°，∵BE是直径，∴∠BAE＝90°，∴∠EBD＝∠DAE＝25°．故答案为：25°．10．解：∵∠DCE＝72°，∴∠BCD＝180°﹣∠DCE＝108°，∵四边形ABCD内接于⊙O，∴∠A＝180°﹣∠BCD＝72°，由圆周角定理，得∠BOD＝2∠A＝144°，故答案为：144°．11．解：∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∴∠EAB+∠DCB＝180°，∵∠ECD+∠DCB＝180°，∴∠EAB＝∠ECD＝75°，∵∠ECD是△FCB的外角，∴∠ABE＝∠ECD﹣∠F＝75°﹣20°＝55°，∴∠E＝180°﹣∠EAB﹣∠ABE＝50°，故答案为：50°．12．解：由于∠AOC：∠ABC＝4：3，可设∠AOC＝4x，则∠ABC＝3x，∴∠ADC＝∠AOC＝2x，∵四边形ABCD是圆内接四边形，∴∠ADC+∠ABC＝180°，即2x+3x＝180°，∴x＝36°，∴∠AOC＝4x＝144°，∴则的长为＝，故答案为：．13．解：∵∠ABC＝120°，∠ADC＝60°，∴∠ABC+∠ADC＝180°，∴四边形ABCD是圆内接四边形，∴当CD是直径时，CD达到最大值，连接OA，OB，∵OA＝OD，∠ADC＝60°，∴△AOD是等边三角形，∴∠AOD＝60°，∵∠ABC＝120°，AB＝BC＝3，∴∠AOB＝∠BOC＝60°，∵OA＝OB＝OC，∴△AOB和△BOC都是等边三角形，∴OC＝BC＝3，∴CD＝2OC＝6，故答案为：6．14．解：如图所示，连接AC，∵四边形ABCD是等补四边形，∴∠BAD+∠BCD＝180°，又∠BAD+∠EAD＝180°，∴∠EAD＝∠BCD，∵AF平分∠EAD，∴∠FAD＝∠EAD，∵四边形ABCD是等补四边形，∴A，B，C，D四点共圆，∵AB＝AD，∴＝，∴∠ACD＝∠ACB，∴∠FCA＝∠BCD，∴∠FCA＝∠FAD，又∠AFC＝∠DFA，∴DF＝5﹣5．故答案为：5﹣5．15．解：∵四边形ABCD为圆内接四边形，∴∠D+∠B＝180°，则，解得：，故答案为：110°．16．解：∵＝，∠BAC＝30°，∴∠DCF＝∠BAC＝30°，∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∴∠ADC+∠ABC＝180°，∵∠ABC＝105°，∴∠ADC＝75°，∴∠E＝∠ADC﹣∠DCF＝75°﹣30°＝45°，故答案为：45．17．解：连接BE，∵AB＝AE．∠A＝100°，∴∠ABE＝∠AEB＝（180°﹣∠A）＝40°，∵∠CDE+∠CBE＝180°，∴∠CBA+∠CDE＝∠CDE+∠CBE+∠ABE＝180°+40°＝220°，故答案为：220．18．解：设∠A、∠B、∠C分别为2x、3x、4x，∵四边形ABCD为圆内接四边形，∴∠A+∠C＝180°，即2x+4x＝180°，解得，x＝30°，∴∠B＝3x＝90°，∴∠D＝180°﹣∠B＝90°，故答案为：90°．19．解：∵点A的坐标为（0，3），∴OA＝3，∵四边形ABMO是圆内接四边形，∴∠BMO+∠A＝180°，又∠BMO＝120°，∴∠A＝60°，则∠ABO＝30°，∴AB＝2OA＝6，则则⊙C的半径为3，故答案为：3．20．解：连接BD，∵，∴AB＝AD，∵∠BCD＝120°，∴∠BAD＝60°，∴△ABD是等边三角形，∴AB＝BD，∠ABD＝∠ADB＝60°，∴∠ACD＝∠ABD＝60°，∴∠CDE＝30°，∴CD＝2CE，∵DE⊥AC，∴∠AED＝∠CED＝90°，∵∠BED＝150°，∴∠AEB＝120°，在△ABE与△DBC中，，∴△ABE≌△DBC（AAS），∴AE＝CD，∴AE＝2CE，∵AC＝，∴AE＝2，CE＝，∴CD＝AE＝2，∴DE＝＝，故答案为：．三．解答题21．（1）解：∵BD为直径，∴∠BAD＝∠BCD＝90°，在Rt△BCD中，BD＝＝＝13（cm），∵AC平分∠BCD，∴∠ACB＝∠ACD，∴AB＝AD，∴△ABD为等腰直角三角形，∴AB＝BD＝cm；（2）证明：把△ABC绕点A逆时针旋转90°得到△ADE，如图，则∠CAE＝∠BAD＝90°，CA＝CE，BC＝DE，∠ABC＝∠ADE，∵∠ABC+∠ADC＝180°，∴∠ADE+∠ADC＝180°，∴E点在CD的延长线上，∴△ACE为等腰直角三角形，∴CE＝AC，而CE＝CD+DE＝CD+CB，∴BC+CD＝AC．22．证明：如图2，延长BC到点T，∵四边形FBCD内接于⊙O，∴∠FDC+∠FBC＝180°，∵∠FDE+∠FDC＝180°，∴∠FDE＝∠FBC，∵DF平分∠ADE，∴∠ADF＝∠FDE，∵∠ADF＝∠ABF，∴∠ABF＝∠FBC，∴BE是∠ABC的平分线，∵＝，∴∠ACD＝∠BFD，∵∠BFD+∠BCD＝180°，∠DCT+∠BCD＝180°，∴∠DCT＝∠BFD，∴∠ACD＝∠DCT，∴CE是△ABC的外角平分线，∴∠BEC是△ABC中∠BAC的遥望角．23．解：（1）∵∴∠DCF＝∠BAC＝25°，∵四边形ABCD内接于⊙O，∴∠B+∠ADC＝180°，∴∠ADC＝180°﹣∠B＝75°，又∵∠ADC＝∠DCE+∠E，∴∠E＝∠ADC﹣∠DCE＝50°；（2）∵四边形ABCD内接于⊙O，∴∠B+∠ADC＝180°，∵∠B＝2∠ADC，∴∠B＝120°，∠ADC＝60°，连接OA、OC，过点O作OM⊥AC于点M，∵，∴∠AOD＝2∠ADC＝120°，∵OA＝OC，OM⊥AC，∴，∠AOM＝60°，∴，∴．24．解：（1）∵∠DAB＝90°∴BD是直径，∴BD＝12，∴2AB2＝144，∴AB＝；（2）如图2，连接BD，∵∠DAB＝90°，AD＝5，AB＝3，∴BD＝，∵AC平分∠DAB，∴∠DAC＝∠CAB，∴＝，∴DC＝CB，∵四边形ABCD内接于⊙O，∵∠DAB＝90°，∴∠DCB＝90°，∴BC＝，作BH⊥AC，∵∠CAB＝45°，∴AH＝BH＝，CH＝，∴AC＝．。
(完整)九年级下册圆形拔高习题(较难及难题)(含解析)
(完满)九年级下册圆形拔高习题(较难及难题)(含解析)合肥德优教育九年级下册圆形拔高习题〔中等及较难〕一、选择题1、如图， Rt△ABC 中， AB⊥BC， AB=6， BC=4， P 是△ ABC内部的一个动点，且满足∠PAB=∠PBC，那么线段CP长的最小值为( )A. B.2 C. D.2、如图，⊙O 是△ ABC的外接圆，∠ BOC=3∠AOB，假设∠ ACB=20°，那么∠ BAC的度数是()°°°°3、如图， AB为⊙O的直径，点C在⊙O 上，假设∠ OCA=50°， AB=4，那么的长为()A .πB .πC .πD .π4、以以下图， AB是⊙O 的直径，点 C为⊙O 外一点， CA， CD是⊙O 的切线， A，D 为切点，连接 BD，AD．假设∠ ACD=30°，那么∠ DBA的大小是 ( )°°°°5、如图，圆 O是 Rt△ABC的外接圆，∠ ACB=90°，∠ A=25°，过点 C 作圆 O的切线，交 AB的延长线于点 D，那么∠D 的度数是( )°°°°6、如图，在⊙O 中， AB是直径，点 D是⊙O 上一点，点 C 是弧 AD的中点，弦 CE⊥AB 于点 E，过点 D 的切线交 EC的延长线于点G，连接 AD，分别交 CE、 CB于点 P、 Q，连接 AC．给出以下结论：①∠ BAD=∠ABC；② AD=CB；③点 P 是△ ACQ的外心；④G P=GD；⑤ CB∥GD．其中正确结论的序号是〔〕A．①②④B．②③⑤C．③④D．②⑤试卷第 1/37 页7、一个直角三角形的斜边长为8，内切圆半径为1，那么这个三角形的周长等于( )A .21B .20C .19D .188、如图，△ ABC 是圆 O的内接三角形，且AB≠AC，∠ ABC 和∠ ACB的均分线，分别交圆O于点 D， E，且 BD=CE，那么∠A 等于〔〕A．90°B．60°C．45°D．30°9、如图，半径为 5 的⊙O中，弦 AB， CD所对的圆心角分别是∠ AOB，∠ COD．AB=8，∠ AOB+∠COD=180°，那么弦CD的弦心距等于〔〕B．3D． 4A．C．10、如图， AB是半圆 O的直径， AC为弦， OD⊥AC 于 D，过点 O作 OE∥AC交半圆 O于点 E，过点 E 作 EF⊥AB 于 F，假设AC=4，那么 OF的长为 ( )A.1B.11、如图，正方形ABCD的边长为1，将长为 1 的线段 QR的两端放在正方形相邻的两边上同时滑动．若是点Q从点 A 出发，按 A→B→C→D→A的方向滑动到 A 停止，同时点R 从点 B 出发，按B→C→D→A→B的方向滑动到 B 停止，在这个过程中，线段 QR的中点 M所经过的路线围成的图形面积为〔〕B． 4- πC．πA．D．二、填空题12、如图，点C在以 AB为直径的半圆上，AB=4，∠ CBA=30°，点D在 AO上运动，点 E 与点 D 关于 AC对称： DF⊥DE 于点D，并交 EC的延长线于点F，以下结论：①C E=CF；②线段 EF 的最小值为；③当 AD=1时， EF与半圆相切；④当点 D 从点 A 运动到点 O时，线段EF 扫过的面积是4．其中正确的序号是__________．13、如图， P 是等边三角形ABC内一点，将线段那么四边形 APBQ的面积为 __________.AP绕点A 顺时针旋转60°获取线段AQ，连接BQ．假设PA=6， PB=8， PC=10，14、正三角形的面积是cm，那么正三角形外接圆的半径是__________cm．15、如图，四边形ABCD为⊙O 的内接四边形，∠ C=∠D，那么AB与 CD的地址关系是__________ ．16、如图，四边形ABCD内接于⊙ O， AB是直径，过C 点的切线与AB 的延长线交于P 点，假设∠ P=40°，那么∠D的度数为__________.三、解答题17、如图，圆心角∠ AOB=120°，弦AB=2cm．（1〕求⊙O 的半径 r ；（2〕求劣弧的长〔结果保存π〕．18、在△ ABC中， CE， BD分别是边AB， AC上的高， F 是 BC边上的中点．（1〕指出图中的一个等腰三角形，并说明原由．（2〕假设∠ A=x°，求∠ EFD 的度数〔用含 x 的代数式表达〕．（3〕猜想∠ ABC 和∠ EDA的数量关系，并证明．19、如图，直线A B经过⊙O 上的点 C，直线 AO与⊙O交于点 E 和点 D， OB与 OD交于点 F，连接 DF，DC． OA=OB，试卷第 3/37 页CA=CB， DE=10， DF=6．（1〕求证：①直线 AB是⊙O的切线；②∠ FDC=∠EDC；（2〕求 CD的长 .20、如图， AB是⊙O 的直径，点 C、D在⊙O 上，∠ A=2∠BCD，点 E 在 AB的延长线上，∠ AED=∠ABC〔 1〕求证： DE与⊙O 相切；〔 2〕假设 BF=2，DF=，求⊙O 的半径．21、如图，在△ ABC 中，∠ C=90°，∠ BAC 的均分线交 BC于点 D，点 O在 AB 上，以点 O为圆心， OA为半径的圆恰好经过点 D，分别交 AC， AB于点 E， F．（1〕试判断直线 BC与⊙O的地址关系，并说明原由；（2〕假设 BD=2，BF=2，求阴影局部的面积〔结果保存π〕．22、如图 1，在△ ABC中，点 D 在边 BC上，∠ ABC：∠ ACB：∠ ADB=1:2:3，⊙O是△ ABD的外接圆．（1〕求证： AC是⊙O 的切线（2〕当 BD是⊙O的直径时〔如图 2〕，求∠ CAD 的度数．23、如图， AB为⊙O 的直径，点 E 在⊙O上， C 为的中点，过点 C 作直线CD⊥AE 于D，连接AC，BC.〔 1〕试判断直线CD与⊙O的地址关系，并说明原由；〔 2〕假设 AD=2，AC=，求AB的长。
2020-2021备战中考数学(圆的综合提高练习题)压轴题训练含详细答案
2020-2021备战中考数学(圆的综合提高练习题)压轴题训练含详细答案一、圆的综合1．定义：有一个角是其邻角一半的圆内接四边形叫做圆内倍角四边形．（1）如图1，四边形ABCD内接于⊙O，∠DCB﹣∠ADC=∠A，求证：四边形ABCD为圆内接倍角四边形；（2）在（1）的条件下，⊙O半径为5．①若AD为直径，且sinA=45，求BC的长；②若四边形ABCD中有一个角为60°，且BC=CD，则四边形ABCD的面积是；（3）在（1）的条件下，记AB=a，BC=b，CD=c，AD=d，求证：d2﹣b2=ab+cd．【答案】（1）见解析；（2）①BC＝6，②7534或754；（3）见解析【解析】【分析】（1）先判断出∠ADC=180°﹣2∠A．进而判断出∠ABC=2∠A，即可得出结论；（2）①先用锐角三角函数求出BD，进而得出AB，由（1）得出∠ADB=∠BDC，即可得出结论；②分两种情况：利用面积和差即可得出结论；（3）先得出BE=BC=b，DE=DA=b，进而得出CE=d﹣c，再判断出△EBC∽△EDA，即可得出结论．【详解】（1）设∠A=α，则∠DCB=180°﹣α．∵∠DCB﹣∠ADC=∠A，∴∠ADC=∠DCB﹣∠A=180°﹣α﹣α=180°﹣2α，∴∠ABC=180°﹣∠ADC=2α=2∠A，∴四边形ABCD是⊙O内接倍角四边形；（2）①连接BD．∵AD是⊙O的直径，∴∠ABD=90°．在Rt△ABD中，AD=2×5=10，sin∠A=45，∴BD=8，根据勾股定理得：AB=6，设∠A=α，∴∠ADB=90°﹣α．由（1）知，∠ADC=180°﹣2α，∴∠BDC=90°﹣α，∴∠ADB=∠BDC，∴BC=AB=6；②若∠ADC=60°时．∵四边形ABCD是圆内接倍角四边形，∴∠BCD=120°或∠BAD=30°．Ⅰ、当∠BCD=120°时，如图3，连接OA，OB，OC，OD．∵BC=CD，∴∠BOC=∠COD，∴∠OCD=∠OCB=12∠BCD=60°，∴∠CDO=60°，∴AD是⊙O 的直径，（为了说明AD是直径，点O没有画在AD上）∴∠ADC+∠BCD=180°，∴BC∥AD，∴AB=CD．∵BC=CD，∴AB=BC=CD，∴△OAB，△BOC，△COD是全等的等边三角形，∴S四边形ABCD=3S△AOB=3×34×52=7534．Ⅱ、当∠BAD=30°时，如图4，连接OA，OB，OC，OD．∵四边形ABCD是圆内接四边形，∴∠BCD=180°﹣∠BAD=150°．∵BC=CD，∴∠BOC=∠COD，∴∠BCO=∠DCO=12∠BCD=75°，∴∠BOC=∠DOC=30°，∴∠OBA=45°，∴∠AOB=90°．连接AC，∴∠DAC=12∠BAD=15°．∵∠ADO=∠OAB﹣∠BAD=15°，∴∠DAC=∠ADO，∴OD∥AC，∴S△OAD=S△OCD．过点C作CH⊥OB于H．在Rt△OCH中，CH=12OC=52，∴S四边形ABCD=S△COD+S△BOC+S△AOB﹣S△AOD=S△BOC+S△AOB=1522×5+12×5×5=754．故答案为：753或754；（3）延长DC ，AB 交于点E ．∵四边形ABCD 是⊙O 的内接四边形，∴∠BCE =∠A =12∠ABC ． ∵∠ABC =∠BCE +∠A ，∴∠E =∠BCE =∠A ，∴BE =BC =b ，DE =DA =b ，∴CE =d ﹣c ． ∵∠BCE =∠A ，∠E =∠E ，∴△EBC ∽△EDA ，∴CE BC AE AD =，∴d c ba b d-=+，∴d 2﹣b 2=ab +cd ．【点睛】本题是圆的综合题，主要考查了圆的内接四边形的性质，新定义，相似三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，正确作出辅助线是解答本题的关键．2．如图，CD 为⊙O 的直径，点B 在⊙O 上，连接BC 、BD ，过点B 的切线AE 与CD 的延长线交于点A ，AEO C =∠∠，OE 交BC 于点F . （1）求证：OE ∥BD ；（2）当⊙O 的半径为5，2sin 5DBA ∠=时，求EF 的长.【答案】（1）证明见解析；（2）EF 的长为212【解析】试题分析：（1）连接OB ，利用已知条件和切线的性质证明； （2）根据锐角三角函数和相似三角形的性质，直接求解即可.试题解析：（1）连接OB ， ∵CD 为⊙O 的直径 ， ∴ 90CBD CBO OBD ∠=∠+∠=︒. ∵AE 是⊙O 的切线，∴ 90ABO ABD OBD ∠=∠+∠=︒. ∴ ABD CBO ∠=∠. ∵OB 、OC 是⊙O 的半径，∴OB=OC . ∴C CBO ∠=∠. ∴C ABD ∠=∠. ∵E C ∠=∠，∴E ABD ∠=∠. ∴ OE ∥BD .（2）由（1）可得sin ∠C = ∠DBA=25，在Rt △OBE 中, sin ∠C =25BD CD =,OC =5， 4BD =∴90CBD EBO ∠=∠=︒∵E C ∠=∠，∴△CBD ∽△EBO . ∴BD CDBO EO= ∴252EO =.∵OE ∥BD ，CO =OD ， ∴CF =FB . ∴122OF BD ==. ∴212EF OE OF =-=3．如图，已知⊙O 的半径为1，PQ 是⊙O 的直径，n 个相同的正三角形沿PQ 排成一列，所有正三角形都关于PQ 对称，其中第一个△A 1B 1C 1的顶点A 1与点P 重合，第二个△A 2B 2C 2的顶点A 2是B 1C 1与PQ 的交点，…，最后一个△A n B n C n 的顶点B n 、C n 在圆上．如图1，当n=1时，正三角形的边长a 1=_____；如图2，当n=2时，正三角形的边长a 2=_____；如图3，正三角形的边长a n =_____（用含n 的代数式表示）．3831343n 【解析】分析：（1）设PQ 与11B C 交于点D ，连接1B O ，得出OD=1A D -O 1A ，用含1a 的代数式表示OD ，在△O 1B D 中，根据勾股定理求出正三角形的边长1a ；（2）设PQ 与2B 2C 交于点E ，连接2B O ，得出OE=1A E-O 1A ，用含2a 的代数式表示OE ，在△O 2B E 中，根据勾股定理求出正三角形的边长2a ；（3）设PQ 与n B n C 交于点F ，连接n B O ，得出OF=1A F-O 1A ，用含an 的代数式表示OF ，在△O n B F 中，根据勾股定理求出正三角形的边长an ． 本题解析：(1)易知△A 1B 1C 1的高为323∴a1＝3.(2)设△A1B1C1的高为h，则A2O＝1－h，连结B2O，设B2C2与PQ交于点F，则有OF＝2h－1.∵B2O2＝OF2＋B2F2，∴1＝(2h－1)2＋2212a⎛⎫ ⎪⎝⎭.∵h＝32a2，∴1＝(3a2－1)2＋14a22，解得a2＝83.(3)同(2)，连结B n O，设B n C n与PQ交于点F，则有B n O2＝OF2＋B n F2，即1＝(nh－1)2＋2 12na⎛⎫ ⎪⎝⎭.∵h＝3a n，∴1＝14a n2＋2312nna⎛⎫-⎪⎪⎝⎭，解得a n＝43n.4．等腰Rt△ABC和⊙O如图放置，已知AB=BC=1，∠ABC=90°，⊙O的半径为1，圆心O 与直线AB的距离为5．（1）若△ABC以每秒2个单位的速度向右移动，⊙O不动，则经过多少时间△ABC的边与圆第一次相切？（2）若两个图形同时向右移动，△ABC的速度为每秒2个单位，⊙O的速度为每秒1个单位，则经过多少时间△ABC的边与圆第一次相切？（3）若两个图形同时向右移动，△ABC的速度为每秒2个单位，⊙O的速度为每秒1个单位，同时△ABC的边长AB、BC都以每秒0.5个单位沿BA、BC方向增大．△ABC的边与圆第一次相切时，点B运动了多少距离？【答案】（152-；（2）52；（32042-【解析】分析：（1）分析易得，第一次相切时，与斜边相切，假设此时，△ABC移至△A′B′C′处，A′C′与⊙O切于点E，连OE并延长，交B′C′于F．由切线长定理易得CC′的长，进而由三角形运动的速度可得答案；（2）设运动的时间为t 秒，根据题意得：CC′=2t ，DD′=t ，则C′D′=CD+DD′-CC′=4+t -2t=4-t ，由第（1）的结论列式得出结果；（3）求出相切的时间，进而得出B 点移动的距离． 详解：（1）假设第一次相切时，△ABC 移至△A′B′C′处， 如图1，A′C′与⊙O 切于点E ，连接OE 并延长，交B′C′于F ，设⊙O 与直线l 切于点D ，连接OD ，则OE ⊥A′C′，OD ⊥直线l ， 由切线长定理可知C′E=C′D ， 设C′D=x ，则C′E=x ， ∵△ABC 是等腰直角三角形， ∴∠A=∠ACB=45°， ∴∠A′C′B′=∠ACB=45°， ∴△EFC′是等腰直角三角形， ∴C′F=2x ，∠OFD=45°， ∴△OFD 也是等腰直角三角形， ∴OD=DF ， ∴2x+x=1，则x=2-1，∴CC′=BD -BC-C′D=5-1-（2-1）=5-2， ∴点C 运动的时间为52-； 则经过522-秒，△ABC 的边与圆第一次相切； （2）如图2，设经过t 秒△ABC 的边与圆第一次相切，△ABC 移至△A′B′C′处，⊙O 与BC 所在直线的切点D 移至D′处，A′C′与⊙O 切于点E ，连OE 并延长，交B′C′于F ， ∵CC′=2t ，DD′=t ，∴C′D′=CD+DD′-CC′=4+t -2t=4-t ， 由切线长定理得C′E=C′D′=4-t ， 由（1）得：4-t=2-1， 解得：t=5-2，答：经过5-2秒△ABC 的边与圆第一次相切； （3）由（2）得CC′=（2+0.5）t=2.5t ，DD′=t ， 则C′D′=CD+DD′-CC′=4+t -2.5t=4-1.5t ， 由切线长定理得C′E=C′D′=4-1.5t ， 由（1）得：4-1.5t=2-1， 解得：t=10223-， ∴点B 运动的距离为2×10223-=20423-．点睛：本题要求学生熟练掌握圆与直线的位置关系，并结合动点问题进行综合分析，比较复杂，难度较大，考查了学生数形结合的分析能力．5．矩形ABCD 中，点C （3，8），E 、F 为AB 、CD 边上的中点，如图1，点A 在原点处，点B 在y 轴正半轴上，点C 在第一象限，若点A 从原点出发，沿x 轴向右以每秒1个单位长度的速度运动，点B 随之沿y 轴下滑，并带动矩形ABCD 在平面内滑动，如图2，设运动时间表示为t 秒，当点B 到达原点时停止运动． （1）当t =0时，点F 的坐标为 ； （2）当t =4时，求OE 的长及点B 下滑的距离； （3）求运动过程中，点F 到点O 的最大距离；（4）当以点F 为圆心，FA 为半径的圆与坐标轴相切时，求t 的值．【答案】（1）F （3，4）；（2）8-43；（3）7；（4）t 的值为245或325. 【解析】试题分析：（1）先确定出DF ，进而得出点F 的坐标； （2）利用直角三角形的性质得出∠ABO =30°，即可得出结论；（3）当O 、E 、F 三点共线时，点F 到点O 的距离最大，即可得出结论； （4）分两种情况，利用相似三角形的性质建立方程求解即可．试题解析：解：（1）当t =0时．∵AB =CD =8，F 为CD 中点，∴DF =4，∴F （3，4）； （2）当t =4时，OA =4．在Rt △ABO 中，AB =8，∠AOB =90°， ∴∠ABO =30°，点E 是AB 的中点，OE =12AB =4，BO =43，∴点B 下滑的距离为843-．（3）当O 、E 、F 三点共线时，点F 到点O 的距离最大，∴FO=OE+EF=7．（4）在Rt △ADF 中，FD 2+AD 2=AF 2，∴AF 22FD AD +，①设AO =t 1时，⊙F 与x 轴相切，点A 为切点，∴FA ⊥OA ，∴∠OAB +∠FAB =90°．∵∠FAD +∠FAB =90°，∴∠BAO =∠FAD ．∵∠BOA =∠D =90°，∴Rt △FAE ∽Rt △ABO ，∴AB AO FA FE =，∴1853t=，∴t 1=245，②设AO =t 2时，⊙F 与y 轴相切，B 为切点，同理可得，t 2=325．综上所述：当以点F为圆心，FA为半径的圆与坐标轴相切时，t的值为245或325．点睛：本题是圆的综合题，主要考查了矩形的性质，直角三角形的性质，中点的意义，勾股定理，相似三角形的判定和性质，切线的性质，解（2）的关键是得出∠ABO=30°，解（3）的关键是判断出当O、E、F三点共线时，点F到点O的距离最大，解（4）的关键是判断出Rt△FAE∽Rt△ABD，是一道中等难度的中考常考题．6．某居民小区的一处圆柱形的输水管道破裂，维修人员为更换管道，需要确定管道圆形截面的半径．如图，若这个输水管道有水部分的水面宽AB=16cm，水最深的地方的高度为4cm，求这个圆形截面的半径．【答案】10cm【解析】分析：先过圆心O作半径CO⊥AB，交AB于点D设半径为r，得出AD、OD的长，在Rt△AOD中，根据勾股定理求出这个圆形截面的半径．详解：解：过点O作OC⊥AB于D，交⊙O于C，连接OB，∵OC⊥AB∴BD=12AB=12×16=8cm由题意可知，CD=4cm∴设半径为xcm，则OD=（x﹣4）cm在Rt△BOD中，由勾股定理得：OD2+BD2=OB2（x﹣4）2+82=x2解得：x=10．答：这个圆形截面的半径为10cm．点睛：此题考查了垂经定理和勾股定理，关键是根据题意画出图形，再根据勾股定理进行求解．7．阅读：圆是最完美的图形，它具有一些特殊的性质：同弧或等弧所对的圆周角相等，一条弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半……先构造“辅助圆”，再利用圆的性质将问题进行转化，往往能化隐为显、化难为易。
圆内接四边形练习一
圆内接四边形练习题一1、如图，AD 为ABC ∆外接圆的直径，AD BC ⊥，垂足为点F ，ABC ∠的平分线交AD 于点E ，连接BD ，CD . (1) 求证：BD CD =；(2) 请判断B ，E ，C 三点是否在以D 为圆心，以DB 为半径的圆上？并说明理由.2、如图（d ）， 以B 点为原点，AB 所在的直线为x 轴，建立平面直角坐标系，∠DCA =∠CBA =60°，连结BD ，过C 点作CE ∥DB ，求证：四边形CDBE 为平行四边形；（2分）ABCEFD(第1题)3、（本小题10分）已知⊙O 的直径为10，点A 、点B 、点C 是在⊙O 上，∠CAB 的平分线交⊙O 于点D . （Ⅰ）如图①，若BC 为⊙O 的直径，AB ＝6，求AC 、BD 、CD 的长； （Ⅱ）如图②，若∠CAB ＝60°，求BD 的长.4、(10) 如图,正△ABC内接于⊙O,P 是劣弧BC 上任意一点，PA 与BC交于点E ，：求证 PA PB PC =+;图①图②D5、已知在O中，弦AB AC ⊥，且6AB AC ==，点D 在O上，连接AD 、BD 、CD ， （1） 如图①， 若AD 经过圆心，求BD 、CD 的长； （2）如图② 若2BAD DAC ∠=∠，求BD 、CD 的长6、 如图，在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，AC=5，CB=12，AD 是△ABC 的角平分线。
过A 、D 、C 三点的圆与斜边AB 交于点E ，连接DE 。
（1）求证：AC=AE（2）求△ACD 的外接圆的半径。
ABC DE7、已知O中，弦AB=AC ，点P 是BAC ∠所对弧上一动点，连接PB 、PA. ( 1 ) 如图①，把ABP ∆绕点A 逆时针旋转到ACQ ∆，求证 点P 、C 、Q 三点在同一直线上。
（ 2 ）如图②，若060BAC ∠=，探究 PA 、PB 、PC 之间的关系，并注明你的结论。
24.1-5 圆内接四边形(解析版)
24.1-4圆内接四边形建议用时：45分钟总分50分一选择题（每小题3分，共18分）1．（2020•上城区二模）如图，四边形ABCD内接于⊙O，E为BC延长线上一点，若∠A＝n°，则∠DCE＝（）A．（180﹣n）°B．n°C．（90﹣n）°D．（90+n）°【答案】B【解析】∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∴∠DCE＝∠A＝n°，故选：B．2.（2020•石景山区二模）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∠A＝125°，则∠BOD 的度数为（）A．55°B．55°C．110°D．125°【答案】C【解析】∵四边形ABCD为⊙O的内接四边形，∠A＝125°，∴∠C＝180°﹣∠A＝55°，∴∠BOD＝2∠A＝110°，故选：C．̂的中点，∠A＝50°，则3．（2020•吴江区二模）如图，四边形ABCD内接于⊙O，点C是BD∠CBD的度数为（）A．20°B．25°C．30°D．35°【答案】B【解析】∵四边形ABCD内接于⊙O，∠A＝50°，∴∠BCD＝180°﹣∠A＝180°﹣50°＝130°，∵点C是BD̂的中点，∴CD̂=CB̂，∴CD＝CB，∴∠CDB＝∠CBD=12×（180°﹣130°）＝25°，故选：B．4．（2020•李沧区一模）如图，四边形ABCD内接于圆，并有AB̂：BĈ：CD̂：DÂ=4：5：6：5，则∠B的度数为（）A．90°B．95°C．99°D．100°【答案】C【解析】连接OA、OB、OC、OD，∵AB̂：BĈ：CD̂：DÂ=4：5：6：5，∴∠AOB：∠BOC：∠COD：∠DOA＝4：5：6：5，设∠AOB、∠BOC、∠COD、∠DOA的度数分别为4x、5x、6x、5x，则4x+5x+6x+5x＝360°，解得，x＝18°，∴∠COD的度数+∠AOD的度数＝6×18°+5×18°＝198°，∴∠B的度数为198°×12=99°，故选：C．5．（2020•诸暨市期末）如图，AC是圆内接四边形ABCD的一条对角线，点D关于AC的对称点E在边BC上，连接AE．若∠ABC＝64°，则∠AEC的度数为（）A．106°B．116°C．126°D．136°【答案】B【解析】∵圆内接四边形ABCD，∴∠D＝180°﹣∠ABC＝116°，∵点D关于AC的对称点E在边BC上，∴∠D＝∠AEC＝116°，故选：B．6．（2020•洛阳期末）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，AD与BC的延长线交于点E，BA与CD的延长线交于点F，∠DCE＝85°，∠F＝28°，则∠E的度数为（）A．38°B．48°C．58°D．68°【答案】A【解析】∠B＝∠DCE﹣∠F＝57°，∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∴∠EDC＝∠B＝57°，∴∠E＝180°﹣∠DCE﹣∠EDC＝38°，故选：A．二、填空题（每小题3分，共9分）7．（2020•鼓楼区二模）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AC平分∠BAD．若∠BDC＝40°，则∠BCD的度数为．【答案】100°【解析】∵∠BDC＝40°，∴∠BAC＝40°，∵AC平分∠BAD，∴∠BAD＝2∠BAC＝80°，∵四边形ABCD内接于⊙O，∴∠BCD+∠BAD＝180°；∴∠BCD的度数为100°，故答案为：100°．8．（2020•禅城区二模）如图，A，B，C，D是圆O上的四个点，点B是弧AC的中点，如果∠ABC＝72°，那么∠ADB＝．【答案】54°【解析】∵四边形ABCD内接于⊙O，∴∠ABC+∠ADC＝180°，∴∠ADC＝180°﹣72°＝108°．∵点B是AĈ的中点，∴AB̂=BĈ．∴∠ADB＝∠BDC．∴∠ADB=12∠ADC=12×108°＝54°．故答案为：54°．9．（2020•包河区期末）如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠1+∠2＝64°，∠3+∠4＝．【答案】64°【解析】如图，∵四边形ABCD内接于⊙O，∴∠DAB+∠DCB＝180°，∠B+∠D＝180°，又∵△AOC为等腰三角形，∴∠5＝∠OCA，∴∠1+∠2+∠3+∠4+2∠5＝180°，∵∠1+∠2＝64°，∴∠3+∠4＝180°﹣64°﹣2∠5＝116°﹣2∠5，∵∠1+∠2+∠B＝180°，∠B+∠D＝180°，∴∠D＝∠1+∠2＝64°，∴∠O＝2∠D＝128，在等腰三角形AOC中，2∠5＝180°﹣∠O＝180°﹣128°＝52°，∴∠3+∠4＝116°﹣52°＝64°，故答案为64．三、解答题（7+8+8=23分）10．（2020•武汉模拟）已知A，B，C，D是⊙O上的四点，延长DC，AB相交于点E，若BC＝BE．求证：△ADE是等腰三角形．证明：∵A，B，C，D是⊙O上的四点，∴∠A＝∠BCE，∵BC＝BE，∴∠E＝∠BCE，∴∠A＝∠E，∴DA＝DE，即△ADE是等腰三角形．11．（2019秋•沂源县期末）如图，⊙O的内接四边形ABCD两组对边的延长线分别相交于点E，F．（1）若∠E＝∠F时，求证：∠ADC＝∠ABC；（2）若∠E＝∠F＝42°时，求∠A的度数．（1）证明：由三角形的外角性质可知，∠ADC＝∠E+∠DCE，∠ABC＝∠BCF+∠F，∵∠E＝∠F，∠DCE＝∠BCF，∴∠ADC＝∠ABC；（2）解：由（1）知∠ADC＝∠ABC，∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∴∠EDC＝∠ABC，∴∠EDC＝∠ADC，∴∠ADC＝90°，∴∠A＝90°﹣42°＝48°．̂的中点，延12．（2020•永嘉县模拟）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB是直径，C为BD长AD，BC交于P，连结AC．（1）求证：AB＝AP；（2）当AB＝10，DP＝2时，求线段CP的长．̂的中点，（1）证明：∵C为BD∴∠BAC＝∠CAP，∵AB是直径，∴∠ACB＝∠ACP＝90°，∵∠ABC+∠BAC＝90°，∠P+∠CAP＝90°，∴∠ABC＝∠P，∴AB＝AP．（2）解：如图，连接BD．∵AB是直径，∴∠ADB＝∠BDP＝90°，∵AB＝AP＝10，DP＝2，∴AD＝10﹣2＝8，∴BD=2−AD2=√102−82=6，∴PB=√BD2+PD2=√62+22=2√10，∵AB＝AP，AC⊥BP，∴BC＝PC=12PB=√10，∴PC=√10．。
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圆内接四边形
一．选择题
1．如图，AB是半圆的直径，O是圆心，C是半圆外一点，CA、CB分别交半圆于点D，E 若△CDE的面积与四边形ABED的面积相等，则∠C等于（）
A．30°B．40°C．45°D．60°
二．填空题
2．如图，四边形ABCD中，AB=AC=AD，若∠CAD=76°，则∠CBD=_________度．
3．如图，在圆内接四边形ABCD中，AB=AD，AC=1，∠ACD=60°，则四边形的面积为_________．
三．解答题
4．已知：⊙O的直径AB和弦CD，且AB⊥CD于E，F为DC延长线上一点，连接AF交⊙O于M．求证：∠AMD=∠FMC．
5．如图1，已知△ABC，AB=AC，以边AB为直径的⊙O交BC于点D，交AC于点E，连接DE．
（1）求证：DE=DC．
（2）如图2，连接OE，将∠EDC绕点D逆时针旋转，使∠EDC的两边分别交OE的延长线于点F，AC的延长线于点G．试探究线段DF、DG的数量关系．
6．设MN是圆O外一直线，过O作OA⊥MN于A，自A引圆的两条直线，交圆于B、C 及D、E，直线EB及CD分别交MN于P、Q．
求证：AP=AQ．
7．已知：如图1，四边形ABCD内接于⊙O，AC⊥BD于点P，OE⊥AB于点E，F为BC 延长线上一点．
（1）求证：∠DCF=∠DAB；
（2）求证：；
（3）当图1中点P运动到圆外时，即AC、BD的延长线交于点P，且∠P=90°时（如图2所示），（2）中的结论是否成立？如果成立请给出你的证明，如果不成立请说明理由．
8．如图，已知ABCD是圆O的内接四边形，AB=BD，BM⊥AC于M，求证：AM=DC+CM．
9．如图，圆内接四边形ABCD的两组对边延长线分别交于E、F，∠AEB、∠AFD的平分线交于P点．求证：PE⊥PF．
10．如图，P是等边△ABC外接圆上任意一点，求证：PA=PB+PC．。