流体力学第十章 相似原理和因次分析

例如： 粘滞力相似：由 Re m Re p 得
vmlm
m

v pl p
m p
p
vm l p 1 v p lm l
重力相似：由 Frm Frp 得
vm g m lm vp g pl p
gm g p
lp vm 1 vp lm l
由此可以看出，有时要想做到完全相似是不可能 的，只能考虑主要因素做近似模型实验。
Fm mVm vm tm 3 1 2 2 l v t l v Fp pVp v p t p
也可写成：
F 1 2 2 l v
令：
F
l v
2 2
Ne
Ne称为牛顿数， 它是作用力与 惯性力的比值。
Ne称为牛顿数，它是某种作用力与惯性 力的比值，是无量纲数。由此可知，模型 与原型的流场动力相似，它们的牛顿数必 相等。
qv g H f
f const 2 时， 2
当重力加速度 g 不变时，三角堰流量与堰
顶水头 H 的关系为：
qv CH ~ H
5 2 5 2
其中 c 只能用实验方法或其他方法确定。
【例】 不可压缩粘性流体在粗糙管内定常流动时，沿管道 的压强降 p 与管道长度 L ，内径 d ，绝对粗糙度 ，流体的平均 流速 v ，密度 和动力粘度 有关。试用瑞利法导出压强降的表 达式。 【解】 按照瑞利法可以写出压强降 p kLa d a a v a a a （b）
第三节
动力相似的准则(模型率)
一.相似准则的提出
相似原理说明两个流动系统相似必须在几何相似、 运动相似和动力相似三个方面都得到满足。 但实际应用中，并不能用定义来检验流动是否相 似，因为通常原型的流动是未知的。这就产生一个问
题：有什么其它办法能保证两个流动相似呢？
二.相似准则的推导
流体的运动必须符合牛顿第二律 F ma ，对模型和原型 流场中的流体微团应用牛顿第二定律，并根据动力相似， 各种力大小的比例相等，可得：
注： 作用在流体微团上的力有各种性质的力， 如重力、粘滞力、压力、弹性力等。但不论何 种性质的力，要保证两种流场的动力相似，它 们都要服从牛顿相似准则。由此可导出单项力 相似的准则。
1.粘滞力相似准则
在粘滞力作用下相似的流动，其粘滞力场相似。 F m m dvm d ym Am F v l F p p dv p d yp Ap
-3
表面张力：dim =MT -1 -2 体积模量：dim K =ML T -1 -1 动力粘度：dim =ML T 2 -2 -1 比定压热容：dim c L T 2 -2 -1 比定容热容：dim c L T 2 -2 -1 气体常数：dim R = L T
p
v
-2
2、方程因此一致性
E它的相似准则数
①弹性力相似准则
对于可压缩流体的模型试验，由压缩引起的弹 性力场相似。（Ca——柯西数 Ma——马赫数， 惯性力与弹性力的比值）。
②非定常相似准则
对于非定常流动的模型试验，模型与原型的 流动随时间的变化必相似。（Sr—— 斯特劳哈尔 数，当地惯性力与迁移惯性力的比值）。
F 1 代入 2 2 l v

l g
v
12
1
vp vm Fr 12 12 g mlm g pl p
Fr-弗劳得数，惯性力与重力的比值。
想一想 设模型比例尺为1:100，符合重力相似准则， 如果模型流量为100 cm3/s ，则原型流量为 多少 cm3/s ? A：0.01 C：10 答案: c B：1000 D：10000
L v 2 p d 2
h f p 令
g ，则得单位重量流体的沿程损失为
L v2 hf d 2g
这就是计算沿程损失的达西-魏斯巴赫 （Darcy-Weisbach） 公式。
三、 定理： 定理可以解决瑞利中方程的 个数等于待定系数的缺点.内容如下 (一)内容
1. 2.
③ 表面力相似准则
在表面张力作用下相似的流动，其表面张力 分布相似。（We——韦伯数，惯性力与张力 的比值）。
三.完全相似和不完全相似
动力相似可以用相似准则数表示，若原型和 模型流动动力相似，各同名相似准数应均相等， 如果满足则称为完全的动力相似。但是事实上， 不是所有的相似准数之间都是相容的，满足了 甲，不一定就能满足乙。所以通常考虑主要因 素忽略次要因素，只能做近似的模型实验。
量纲分析法
选取影响流动的 n 个物理量写出下述函数关 系如 F ( x1 x2 .....xn ) 0 (1) 选择 m 个独立变量，原则是要既相互独立， 又包含三个基本量纲. 一般选 : 几何尺度 xn L l 速度 xn 1 LT 1 v 质量 xn 2 ML3
第九章
量纲分析及相似理论
概述
一.相似理论的提出
1.对流动规律的试验结果的推广
对于大多数粘性流体流动的工程问题难以用 微分方程加以描述，或者即使能够建立微分方程 式，由于初始条件和边界条件不能用数学方法给 定，目前还不能求得精确解，只能作出一些假设 和推断求得近似解，这些近似解是否合理，只能 依靠试验验证。但这些结果只能应用于与试验条 件相同的流动现象，有很大的局限性。
Vp
二.运动相似（时间相似）
运动相似是指：模型与原型的流场所有对应点上对 应时刻的流速方向相同，且对应流速的大小的比例 相等，即它们速度场相似。
速度场相似
速度比例系数：
un1 un 2 v vm1 vm 2
l 时间比例系数： t v v l v2 加速度比例系数： 2 a t t l


代入

kF
2 2 l v
1
v l v l vm l m v p l p Re 1 m p Re－雷诺数，惯性力与粘滞力的比值。
u
算一算：
如果模型比例尺为1:20，考虑粘滞力 相似，采用模型中流体与原型中相同， 模型中流速为50m/s，则原型中流速 为多少？
1 2 3 4 5 6
如果用基本量纲表示方程中的各物理量，则有
ML1T 2 La1 La2 La3 LT 1

ML ML
a4 3 a5
1
T 1

a6
根据物理方程量纲一致性原则有 1 a1 a 2 a3 a 4 3a5 a6 对L 对T 对M
2 a 4 a6
2.流体力学的模型实验
随着工业的发展，涉及流体动力学的整机和部件都 很 大，很复杂。比如，飞机的设计，大坝的设计 等。这些设计方法都要依赖于试验，但这些试验又 无法在实物上进行只能通过模型试验进行。
飞机图例 大坝图例
思考：
如何做模型试验？
二.模型试验要解决的问题 1.如何根据实物正确的设计和布置模 型实验，例如：模型尺寸如何确定？介 质如何选取?
1 a5 a 6
六个指数有三个代数方程，只有三个指数是独立的、待定的。例 如取 a1 , a 3 和 a6 为待定指数，联立求解，可得
a 4 2 a 6 , a5 1 a6 , a 2 a1 a 3 a 6
代入式（b） ，可得
1 3 L v 2 p k d d vd
一个合理的物理方程等号两端的量纲必须相同。
1 2 s V0t at 2
L L LT 1T L LT 2 T 2 L
-----方程两端具有相同量纲
量纲式中各基本量纲指数均为零-----无量纲量。
二、因次分析法 （一）瑞利法
1.定义： 根据量纲量一致性原则，确定相关 量的函数关系。 假定物理量y是x1、x2等的函数。则
vp vm Fr 12 12 g mlm g pl p
3.压力相似准则
在压力作用下相似的流动，其压力场相似。 Fpm Pm Am F p l2 Fpp Pp Ap
代入
F 1 2 2 l v
p 1 2 v
pp pm Eu 2 2 m vm p v p
a a a y kx1a1 x2 2 x3 3 ......xn n
关键的问题是怎么根据量纲一致性原则确 定各个x的指数。
2. 举例：
【例】 已知三角堰流的流量 qv 主要与堰顶水头 H 、三角堰 堰角 、流体密度 和重力加速度 g 有关，试用瑞利法导出三 角堰流量的表达式。
三角堰
【解】 按照瑞利法可以写出体积流量
第四节 因此分析法
一、因次分析的概念和原理
1、 因次 因次是物理量的性质和类别，是同一物理量各种不同单位 的集中抽象。单位除表示物理量的性质外还表示物理量的 大小。因次又称为量纲。 如： s单位：km，m，cm，mm 等 t单位：hour，min，second 等 s-----具有长度的量纲[L] V-----具有速度的量纲 t-----具有时间的量纲[T] [L] [V] [T]
解：由粘滞力相似准则知模型与原型中的雷诺数 应相等： Re m Re p
由题意知：
vmlm
m

v pl p
m p
p
vm l p 1 v p lm kl
因为： 所以：
l 1 20
vm 50m / s
v p 2.5m / s
2.重力相似准则
在重力作用下相似的流动，其重力场相似。 Fgm mVm g m F l3g Fgp pV p g p
２.怎样整理模型试验的结果并将整理 的结果还原到实物，并进行应用推广？
第一节 力学相似的原理
两流动的相似是指： 一个流动某点的运动参数由另一个流动相应