高中数列求和的几种方法

高中数列求和的几种方法

包括累加法累乘法倒序相加法什么的,请告诉我所有的方法的内容及适用范围以及例题.

1.公式法：

等差数列求和公式:

Sn=n(a1+an)/2=na1+n(n-1)d/2

等比数列求和公式：

Sn=na1(q=1) Sn=a1(1-q^n)/(1-q)=(a1-an×q)/(1-q) (q≠1) 其他

1+2^2+3^2+4^2+.+n^2=n(n+1)(2n+1)/6

1+2^3+3^3+4^3+.+n^3=[n(n+1)/2]^2

2.错位相减法

适用题型：适用于通项公式为等差的一次函数乘以等比的数列形式和等差等比数列相乘 { an }、{ bn }分别是等差数列和等比数列.Sn=a1b1+a2b2+a3b3+...+anbn

例如：

an=a1+(n-1)d

bn=b1·q^(n-1)

Cn=anbn

Tn=a1b1+a2b2+a3b3+a4b4.+anbn

qTn= a1b2+a2b3+a3b4+...+a(n-1)bn+anb(n+1)

Tn-qTn= a1b1+b2(a2-a1)+b3(a3-a2)+...bn[an-a(n-1)]-anb(n+1)

Tn(1-q)=a1b1-anb(n+1)+d(b2+b3+b4+...bn) ______①

=a1b1-an·b1·q^n+d·b2[1-q^(n-1)]/(1-q)

=a1b1-(a1+nd-d)·b1q^n+d·b2[1-q^(n-1)]/(1-q)

Tn=上述式子/(1-q)

此外.①式可变形为

Tn(1-q)=a1b1-anb(n+1)+d(Sn-b1) Sn为{bn}的前n项和.

此形式更理解也好记

3.倒序相加法

这是推导等差数列的前n项和公式时所用的方法,就是将一个数列倒过来排列（反序）,再把它与原数列相加,就可以得到n个(a1+an) Sn =a1+ a2+ a3+.+an

Sn =an+ a(n-1)+a(n-2).+a1

上下相加得到2Sn 即 Sn= （a1+an)n/2

4.分组法

有一类数列,既不是等差数列,也不是等比数列,若将这类数列适当拆开,可分为几个等差、等比或常见的数列,然后分别求和,再将其合并即可. 例如：an=2^n+n-1

5.裂项法

适用于分式形式的通项公式,把一项拆成两个或多个的差的形式,即an=f(n+1)－f(n),然后累加时抵消中间的许多项.

常用公式：

（1）1/n(n+1)=1/n-1/(n+1) ,1/（n-1）-1/n