新利息理论教案第2章
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第 2 章:等额年金
第 2.1 节:年金的含义
本节内容:
一、年金的含义(annuity )
年金是指一系列的付款(或收款)。
年金最原始的含义是指一年付款一次,每次支付相等的金额的一系列款项。但现在被广泛应用到其他更一般的情形,时期和金额都可以变化。 二、年金的分类
1、确定年金和风险年金。
2、定期年金和永续年金。
3、多期支付一次、每期支付一次、每期支付多次年金和连续年金。
4、期初付年金和期末付年金。
5、即期年金和延期年金。
6、等额年金和变额年金。 本节重点:
年金的定义。 本节难点:
年金的分类。
第 2.2 节:年金的现值
年金现值是一系列款项在期初的价值。 本节内容:
2.2.1 期末付定期年金的现值
假设年金支付期限为n 个时期,每个时期末支付1元,那么这种年金就是期末付定期年金。其现值一般用符号n i a
表示。在不引起混淆的情况下,通常简
记为
n
a 。
n
a
的计算过程图(略)
一、公式
23...n n
v v v v a
=++++
(1)11n n
v v v v i
--=
=-
二、理解
1n n v ia +=
三、例题
1、现在向银行存入一笔钱,希望在以后的5年中每年末得到4000元,如果年实际利率为8%,现在应该存入多少钱?
解:应用期末付年金现值公式:
4000 58%a
=4000×3.9927=15971
说明:
58%a
的具体数值可以通过年金现值表查到
2、一笔年金在20年内每年末支付4,另一笔年金在10年内每年末支付5。如果年实际利率为i ,则这两笔年金的现值相等。若另一笔款项n 年内以利率i 投资可以翻番,求n 。
解:
20
1045a
a =
20101145
v v i i
--=
100.25v =
i=0.148698
2.2.2 期初付定期年金的现值
假设年金支付期限为n 个时期,每个时期初支付1元,那么这种年金就是期初付定期年金。其现值一般用符号n i
a
&&表示。在不引起混淆的情况下,通常简记为
n
a
&&。n
a &&的计算过程图(略) 一、公式
231
1...n n
v v v v a -=+++++&& (1)11n n
v v v d
--=
=-
二、
n
a
与
n
a &&的关系 1、(1)n n
i a a =+&&(可用公式展开证明) 2、1
1n n a a -=+&& (可用图形讲述) 三、例题
1、某企业租用了一间仓库,一次性支付50000元的租金后可以使用8年,假设年实际利率为6%,试计算如果每年初支付租金,该仓库的年租金应该为多少?
解:设仓库的年租金为A ,可以建立
50000=A
8
a
&&,A=7596
2.2.3 期末付永续年金的现值
永续年金是指无限期支付下去的年金。因此,其现值等于定期年金的现值当支付期限n 趋于无限大时的极限。若用a ∞表示期末付永续年金的现值,则有
1
lim n n i a a ∞→∞==
2.2.4 期初付永续年金的现值 一、公式
若用
a
∞
&&表示期初付永续年金的现值,则有 1lim n n d
a a ∞→∞==&&&&
二、a ∞与a ∞&&的关系 (1)i a a ∞
∞
=+&& 三、例题
1、某企业租用了一间仓库,一次性支付50000元的租金后可以使用8年,假设年实际利率为6%,试计算如果每年初支付租金,该仓库的年租金应该为多少?
解:设仓库的年租金为A ,可以建立
50000=A
8
a
&&,A=7596 2、一笔10000元的贷款,期限为10年。如果年利率为6%,比较下述三种
还款方式,那种支付的利息多。(1)在10年末一次性偿付所有本息;(2)每年末支付利息,在第10年末再偿付本金;(3)10年内每年末偿付相等的金额,在10年末刚好付清。
解:(1)这笔款项在第10年末的累计值为
1010000(10.06)17909+=
因此支付的利息总额为:17909-10000=7909元 (2)每年末支付的利息为100000.06600⨯= 因此支付的利息总额为:6000元 (3)设每年末偿付的金额为A 则1010000Aa =
A=1359
因此支付的利息总额为:135********⨯=
3、A 留下一笔十万元遗产。这笔财产头10年的利息付给收益人B ,第2个10年利息付给收益人C ,此后的均给慈善机构D 。若此项财产的年实际利率为7%,试确定B 、C 、D 在此项财产中的分额。
解:此项财产实际上为100000×0.007=7000元其末付永续年金。
B :7000
10
a
=7000×7.0236=49165