求古典概型概率的答题模板
《古典概型的概率计算公式》典型例题剖析
《古典概型的概率计算公式》典型例题剖析题型1 古典概型的判断例1 （1）“在区间[0,10]上任取一个数，这个数恰为5的概率是多少？”这个概率模型是古典概型吗？（2）若一次试验的结果所包含的样本点的个数为有限个，则该试验是古典概型吗？解析（1）不是古典概型，因为在区间[0,10]上任取一个数，其试验结果有无限个，故其样本点有无限个，所以不是古典概型.（2）不一定是古典概型.还必须满足每个样本点出现的可能性相等才是古典概型.答案（1）不是古典概型（2）不一定是古典概型方法技巧判断随机试验是否为古典概型，关键是抓住古典概型的两个特征—有限性和等可能性，二者缺一不可.变式训练1 下列试验是古典概型的为_________（填序号）.①求从5个数学学习小组中选出甲、乙两个小组代表学校参加数学竞赛的概率；②掷一枚均匀的硬币3次，求有2次正面向上的概率；③播下10粒种子，求有5粒发芽的概率；④一周中7人每天值班1天，求甲、乙相邻的概率.答案①②④.点拨①②④是古典概型，因为符合古典概型的定义和特征.③不是古典概型，因为不符合等可能性，每一粒种子发芽的概率一般是不相等的.题型2 古典概型概率的计算例2 某儿童乐园在“六一”儿童节推出了一项趣味活动.参加活动的儿童需转动如图所示的转盘两次，每次转动后，待转盘停止转动时，记录指针所指区域中的数.设两次记录的数分别为,x y.奖励规则如下：①若3xy，则奖励玩具一个；②若8xy，则奖励水杯一个；③其余情况奖励饮料一瓶.假设转盘质地均匀，四个区域划分均匀.小亮准备参加此项活动.（1）求小亮获得玩具的概率；（2）请比较小亮获得水杯与获得饮料的概率的大小，并说明理由解析写出试验的样本空间，计算随机事件的样本点个数，应用古典概型的概率计算公式计算概率.答案用数对(,)x y表示儿童参加活动先后记录的数，则样本空间Ω与点集{(,),,14,14}S x y x y x y=∈∈N N∣一一对应.因为S中元素的个数是4416⨯=，所以样本点总数16n=.（1）记“3xy”为事件A，则事件A包含的样本点有5个，即{(1,1),(1,2),(1,3),(2,1),(3,1)}A=.所以5()16P A=，即小亮获得玩具的概率为516.（2）记“8xy”为事件B，“38xy<<”为事件C，则事件B包含的样本点有6个，即{(2,4),(3, 3) ,(3,4),(4,2),(4,3),(4,4)}B=，所以63 ()168 P B==.事件C包含的样本点有5个，即{(1,4),(2,2),(2,3),(3,2),(4,1)}C=，所以5()16P C=.因为35816>， 所以小亮获得水杯的概率大于获得饮料的概率.规律方法 解古典概型问题时，要牢牢抓住它的两个特征和其计算公式.但是这类问题的解法多样，技巧性强，在解决此类题时需要注意以下两个问题：（1）试验必须具有古典概型的两个特征一有限性和等可能性；（2）计算样本点的个数时，须做到不重不漏，常借助坐标系、表格及树状图等列出所有样本点.变式训练2 一个口袋内装有形状、大小相同，编号为123,,a a a 的3个白球和1个黑球b .（1）从中一次性摸出2个球，求摸出2个白球的概率；（2）从中连续取两次，每次取一球后放回，求取出的两个球中恰好有1个黑球的概率.答案 （1）一次性摸出2个球，此试验的样本空间为()()()()()(){}121323123,,,,,,,,,,,a a a a a a a b a b a b Ω=.Ω由6个样本点组成，而且这些样本点的出现是等可能的.用A 表示“摸出2个白球”这一事件，则({)()()}121323,,,,,A a a a a a a =. 事件A 由3个样本点组成，因而31()62P A ==. 有放回地连续取两次，此试验的样本空间为()()()()(){()()()()1112131212223231,,,,,,,,,,,,,,,,,,a a a a a a a b a a a a a a a b a a Ω=()()()()()()}32333123,,,,,,,,,,,,(,)a a a a a b b a b a b a b b .其中小括号左边的字母表示第1次取出的球，右边的字母表示第2次取出的球，Ω由16个样本点组成，而且这些样本点的出现是等可能的.用B 表示“连续取出的两球恰好有1个黑球”这一事件，则()()()()(){)}123123,,,,,,,,,,(,B a b a b a b b a b a b a =，事件B 由6个样本点组成，则63()168P B ==. 规律方法总结1.古典概型是一种最基本的概率模型.判断试验是否为古典概型要紧紧抓住其两个特征：样本点的有限性和等可能性.2.求随机事件A 包含的样本点个数和样本点总数常用的方法是列举法（画树状图和列表），注意要做到不重不漏.3.在应用公式()A m P A n==Ω包含的样本点个数包含的样本点总数时，关键是正确理解样本点与事件A 的关系，从而正确求出m 和n .4.注意“有放回取样”与“不放回取样”对样本点的影响.核心素养园地例 某单位N 名员工参加“社区低碳你我他”活动，他们的年龄在25岁至50岁之间，按年龄分组：第1组[25,30)，第2组[30,35)，第3组[35,40)，第4组[40,45)，第5组[45,50]，得到的频率分布直方图如图所示，下表是年龄的频数分布表.（1）求正整数,,a b N 的值；（2）现要从年龄较小的第1，2，3组中用分层随机抽样的方法抽取6人，则年龄在第1，2，3组的人数分别是多少？（3）在（2）的条件下，从这6人中随机抽取2人参加社区宣传交流活动，求恰有1人年龄在第3组的概率.解析 （1）根据频率分布直方图的意义并结合表格内的已知数据可以求得,,a b N 的值.（2）先求出这三组的总人数，再根据分层抽样的取样方法求得每组取样的人数.（3）利用列举法列出所有的样本点，共有15个，其中满足条件的样本点有8个，利用古典概型的概率计算公式计算得出结果.答案 （1）由频率分布直方图可知，[25,30)与[30,35)两组的人数相同，所以25a =.且0.08251000.02b =⨯=.总人数252500.025N ==⨯. （2）因为第1，2，3组共有2525100150++=（人），所以利用分层随机抽样的方法在150名员工中抽取6人，第1组被抽取的人数为2561150⨯=，第2组被抽取的人数为2561150⨯=，第3组被抽取的人数为10064150⨯=. 所以年龄在第1，2，3组的人数分别是1，1，4.（3）由（2）可设第1组的1人为A ，第2组的1人为B ，第3组的4人分别为1234,,,C C C C ，则从6人中随机抽取人的所有可能结果为()()1,,,,A B A C ())()()()()()()()()2341234121314,,(,,,,,,,,,,,,,,,,,,A C A C A C B C B C B C B C C C C C C C ()()()232434,,,,,C C C C C C ，共有15个样本点.其中恰有1人年龄在第3组的所有结果为()()()()()()()()12341234,,,,,,,,,,,,,,,A C A C A C A C B C B C B C B C ，共有8个样本点.所以恰有1人年龄在第3组的概率为815. 讲评 概率问题常常与统计问题结合在一起考查.在此类问题中，概率与频率的区别并不是十分明显，通常直接用题目中的频率代替概率进行计算.第（3）题是古典概型问题.解决与古典概型交汇的问题时，应明确相关事件，列举样本点，然后利用古典概型的概率计算公式求解.如果能正确理解题意，分析求解第（1）题与第（2）题，那么可以认为达到数学运算、直观想象、数学建模核心素养水平一的要求；如果能正确求解第（3）题，那么可以认为达到数学建模核心素养水平二与数学运算核心素养水平一的要求.。
高考数学统计与概率大题解题模板
统计与概率大题解题模板 一、随机抽样和用样本估计总体模板一、频率分布直方图1、频率分布直方图的性质：（1）小矩形的面积=组距×频率/组距=频率，所以各小矩形的面积表示相应各组的频率.这样，频率分布直方图就以面积的形式反映了数据落在各个小组内的频率大小； （2）在频率分布直方图中，各小矩形的面积之和等于1； （3）频数/相应的频率=样本容量.2、频率分布直方图反映了样本在各个范围内取值的可能性，由抽样的代表性利用样本在某一范围内的频率，可近似地估计总体在这一范围内的可能性.3、频率分布直方图中的纵坐标为频率组距，而不是频率值.例1-1.某城市100户居民月平均用电量(单位：度)，以[160180)，、[180200)，、[200220)，、[220240)，、[240260)，、[260280)，、]280[300，分组的频率分布直方图如图.（1）求直方图中x 的值；（2）求月平均用电量的众数和中位数；（3）在月平均用电量为[220240)，、[240260)，、[260280)，、]280[300，的四组用户中，用分层抽样的方法抽取11户居民，则月平均用电量在[220240)，的用户中应抽取多少户？ 【解析】（1）由(0.0020.00950.0110.01250.0050.0025)201x ++++++⨯=得：0.0075x =，∴直方图中x 的值是0.0075；（2）月平均用电量的众数是2202402302+=，∵(0.0020.00950.011)200.450.5++⨯=<，∴月平均用电量的中位数在[220240)，内，设中位数为a ， 由(0.0020.00950.011)200.0125(220)0.5a ++⨯+⨯-=得：224a =， ∴月平均用电量的中位数是224；（3）月平均用电量为[220240)，的用户有0.01252010025⨯⨯=户， 月平均用电量为[240260)，的用户有0.00752010015⨯⨯=户， 月平均用电量为[260280)，的用户有0.0052010010⨯⨯=户， 月平均用电量为]280[300，的用户有0.0025201005⨯⨯=户， 抽取比例11125151055==+++，∴月平均用电量在[220,240)的用户中应抽取12555⨯=户.模板二、茎叶图1、绘制茎叶图的关键是分清茎和叶，如数据是两位数，十位数字为“茎”，个位数字为“叶”；如果是小数时，通常把整数部分作为“茎”，小数部分作为“叶”，解题时要根据数据的特点合理选择茎和叶.2、利用茎叶图进行数据分析时，一般从数据分布的对称性、中位数、稳定性等几个方面来考虑. 例1-2.某中学高二（2）班甲、乙两名学生自进入高中以来，每次数学考试成绩情况如下： 甲：95、81、75、91、86、89、71、65、76、88、94、110、107； 乙：83、86、93、99、88、103、98、114、98、79、78、106、101. 画出两人数学成绩的茎叶图，并根据茎叶图对两人的成绩进行比较. 【解析】甲、乙两人数学成绩的茎叶图如图所示：从这个茎叶图上可以看出，乙同学的得分情况是大致对称的， 中位数是98；甲同学的得分情况，也大致对称，中位数是88， 乙同学的成绩比较稳定，总体情况比甲同学好.模板三、散点图1、两个变量的关系2、散点图：将样本中n 个数据点()i i x y ，(1i =，2，…，n )描在平面直角坐标系中得到的图形.3、正相关与负相关：（1）正相关：如果一个变量的值由小变大时，另一个变量的值也由小变大，这种相关称为正相关.（2）负相关：如果一个变量的值由小变大时，另一个变量的值由大变小，这种相关称为负相关. 4、最小二乘法：设x 、y 的一组观察值为()i i x y ，(1i =，2，…，n )，且回归直线方程为ˆˆˆybx a =+.当x 取值i x (1i =，2，…，n )时，y 的观察值为i y ，差ˆi i y y -(1i =，2，…，n )刻画了实际观察值i y 与回归直线上相应点纵坐标之间的偏离程度，通常是用离差的平方和，即21()ni i i Q y a bx ==--∑作为总离差，并使之达到最小.这样，回归直线就是所有直线中Q 取最小值的那一条.由于平方又叫二乘方，所以这种使“离差平方和最小”的方法，叫做最小二乘法. 5、回归直线方程的系数计算公式例1-3.一个车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此进行了10次试验，收集数据如下：（1）y 与x 是否具有线性相关关系？（2）如果y 与x 具有线性相关关系，求y 关于x 的回归直线方程. 审题路线图：→→→【解析】（1）画散点图如下：由图可知y 与x 具有线性相关关系；（2）列表、计算：1102211055950105591.70.66838500105520ˆ1iii ii x y x ybxx ==⋅-⋅⋅-⨯⨯==≈-⨯-⋅∑∑，91.70.668ˆ55.6ˆ549ay bx =-=-⨯=，即所求的回归直线方程为：0.66859ˆ 4.6y x =+.构建答题模板：第一步：列表i x 、i y 、i i x y ；第二步：计算x ，y ，21ni i x =∑，1ni i i x y =∑；第三步：代入公式计算ˆb 、ˆa 的值； 第四步：写出回归直线方程；第五步：反复回顾，查看是否有重复或遗漏情况，明确规范书写答题.模板四、古典概型例1-4.袋中有五张卡片，其中红色卡片三张，标号为1、2、3；蓝色卡片两张，标号为1、2. （1）从以上五张卡片中任取两张，求这两张卡片颜色不同且标号之和小于4的概率；（2）向袋中再放入一张标号为0的绿色卡片，从这六张卡片中任取两张，求这两张卡片颜色不同且标点之和小于4的概率.审题路线图：确定概率模型→列出所有取卡片的结果(基本事件)→构成事件的基本事件→求概率. 规范解答：【解析】（1）标号为1、2、3的三张红色卡片分别记为A 、B 、C ， 标号为1、2的两张蓝色卡片分别记为D 、E ， 从五张卡片中任取两张的所有可能的结果为：AB 、AC 、AD 、AE 、BC 、BD 、BE 、CD 、CE 、DE 共10种，由于每一张卡片被取到的机会均等，因此这些基本事件的出现是等可能的， 从五张卡片中任取两张，这两张卡片颜色不同且它们的标号之和小于4的结果为：AD 、AE 、BD ，共3种，∴这两张卡片颜色不同且它们的标号之和小于4的概率为310；（2）记F 是标号为0的绿色卡片，从六张卡中任取两张的所有可能的结果为：AB 、AC 、AD 、AE 、AF 、BC 、BD 、BE 、BF 、CD 、CE 、CF 、DE 、DF 、EF 共15种，用于每一张卡片被取到的机会均等，因此这些基本事件的出现是等可能的， 从六张卡片中任取两张，这两张卡片颜色不同且它们的标号之和小于4的结果为：AD 、AE 、BD 、AF 、BF 、CF 、DF 、EF ，共8种， ∴这两张卡片颜色不同且它们的标号之和小于4的概率为815. 构建答题模板：第一步：列出所有基本事件，计算基本事件总数；第二步：将所求事件分解为若干个互斥的事件或转化为其对立事件(也许不用分解，但分解必要注意互斥)；第三步：分别计算每个互斥事件的概率；第四步：利用概率的加法公式求出问题事件的概率；第五步：反复回顾，查看是否有重复或遗漏情况，明确规范书写答题.二、概率与统计之超几何分布与二项分布离散型随机变量的分布列、数学期望与方差1、关于离散型随机变量分布列的计算方法如下： （1）写出ξ的所有可能取值；（2）用随机事件概率的计算方法，求出ξ取各个值的概率； （3）利用（1）、（2）的结果写出ξ的分布列. 2、常见的特殊离散型随机变量的分布列：（1）两点分布，分布列为(0p -、1q -)，其中01p <<，且1p q +=；（2）二项分布，分布列为(00p 、11p 、22p 、…、k kp 、…、n np )，其中k k n kk n p C p q -=，0k =、1、2、…、n ，且01p <<，1p q +=，k k n k k n p C p q -=可记为(,,)b k n p .3、对离散型随机变量的期望应注意：（1）期望是算术平均值概念的推广，是概念意义下的平均；（2）()E ξ是一个实数，由ξ的分布列唯一确定，即作为随机变量ξ是可变的，可取不同值，而()E ξ是不变的，它描述ξ取值的平均状态；（3）()1122n n E x p x p x p ξ=++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅直接给出了E ξ的求法，即随机变量取值与相应概率值分别相乘后相加.4、对离散型随机变量的方差应注意：（1）()D ξ表示随机变量ξ对()E ξ的平均偏离程度，()D ξ越大表明平均偏离程度越大，说明ξ的取值越分散；反之()D ξ越小，ξ的取值越集中，在()E ξ来描述ξ的分散程度.（2）()D ξ与()E ξ一样也是一个实数，由ξ的分布列唯一确定.模板一、超几何分布——离散型随机变量的分布列、期望与方差（1）超几何分布的特征：①在小范围内不放回的随机抽取；②每次抽取相互影响；③每次抽取的可能性一直变化；（2）超几何分布的题型：在含有M 件次品的N 件产品中任取n 件(n M N ≤≤)，其中恰有X 件次品；（3）超几何分布的分布列、期望与方差：①分布列：()k n k M N MnNC C P X k C --⋅==，012k n =⋅⋅⋅，，，，，k ∈N ；②期望：0()[()]nk nME X k P X k N ===⋅=∑； ③{}22()()()[()]()(1)nk nM N M N n D X k E x P X k N N =--==-⋅=-∑. 例2-1.已知一个袋中装有3个白球和3个红球，这些球除颜色外完全相同.（1）每次从袋中取一个球，取出后不放回，直到取到一个红球为止，求取球次数ξ的分布列和数学期望()E ξ；（2）每次从袋中取一个球，取出后放回接着再取一个球，这样取3次，求取出红球次数η的分布列、数学期望和方差()D η.审题路线图：取到红球为止→取球次数的所有可能1、2、3、4→求对应次数的概率→列分布列→求()E ξ.取出后放回，这是条件→每次取到红球的概率相同→三次独立重复试验→利用公式. 规范解答：【解析】（1）ξ的可能取值为1、2、3、4，31(1)62P ξ===，333(2)6510P ξ==⨯=， 3233(3)65420P ξ==⨯⨯=，32131(4)654320P ξ==⨯⨯⨯=，故ξ的分布列为：17()123421020204E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=；（2）取出后放回，取球3次，可看作3次独立重复试验，∴1~(2)2B η，，η的可能取值为0、1、2、3，0033111(0)()()228P C η==⋅⋅=，1123113(1)()()228P C η==⋅⋅=，2213113(2)()()228P C η==⋅⋅=，3303111(4)()()228P C η==⋅⋅=，故ξ的分布列为：∴()322E η=⨯=，113()3224D η=⨯⨯=. 构建答题模板：第一步：确定离散型随机变量的所有可能性； 第二步：求出每个可能性的概率； 第三步：画出随机变量的分布列； 第四步：求期望和方差；第五步：反复回顾，查看是否有重复或遗漏情况，明确规范书写答题.如本题可重点查看随机变量的所有可能值是否正确；根据分布列性质检查概率是否正确.模板二、二项分布及其应用（1）二项分布的特征：①在小范围内有放回的随机抽取或在大范围内任意随机抽取；②每次抽取相互独立；③每次抽取的可能性保持不变；（2）二项分布的题型：在n 次独立重复试验中，设事件A 发生的次数为X ，在每次试验中事件A 发生的概率为p ；（3）二项分布的分布列、期望与方差：①分布列：~(,)X B n p ，n 为试验次数，p 为试验成功率，()(1)k kn k n P X k C p p -==-，0,1,2,,k n =⋅⋅⋅，k ∈N ；②期望：()E X np =； ③()(1)D X np p =-.例2-2.某联欢晚会举行抽奖活动，举办方设置了甲、乙两种抽奖方案，方案甲的中奖率为23，中奖可以获得2分；方案乙的中奖率为25，中奖可以获得3分；未中奖则不得分.每人有且只有一次抽奖机会，每次抽奖中奖与否互不影响，晚会结束后凭分数兑换奖品.（1）若小明选择方案甲抽奖，小红选择方案乙抽奖，记他们的累计得分为X ，求3≤X 的概率； （2）若小明、小红两人都选择方案甲或都选择方案乙进行抽奖，问：他们选择何种方案抽奖，累计得分的数学期望较大？【解析】（1）由已知得，小明中奖的概率为23，小红中奖的概率为25，且两人中奖与否互不影响，记“这2人的累计得分3≤X ”的事件为A ，则事件A 的对立事件为“5X =”， ∵224(5)3515P X ==⨯=，∴11()1(5)15P A P X =-==， 即这两人的累计得分3≤X 的概率为1115； （2）设小明小红都选择方案甲抽奖中奖次数为1X ，都选择方案乙抽奖中奖次数为2X ，则这两人选择方案甲抽奖累计得分的数学期望为1()2E X ⨯， 选择方案乙抽奖累计得分的数学期望为2()3E X ⨯，由已知可得12~(2)3X B ，，22~(2)5X B ，，∴124()233E X =⨯=，224()255E X =⨯=，从而18()23E X ⨯=，212()35E X ⨯=，∴12()2()3E X E X ⨯>⨯，∴他们都选择方案甲进行抽奖时，累计得分的数学期望较大.模板三、统计概率的综合应用例2-3.某食品厂为了检查一条自动包装流水线的生产情况，随即抽取该流水线上40件产品作为样本算出他们的重量(单位：克)重量的分组区间为，(495500]，，…，(510515]，，由此得到样本的频率分布直方图，如图所示.（1）根据频率分布直方图，求重量超过505克的产品数量.（2）在上述抽取的40件产品中任取2件，设X 为重量超过505克的产品数量，求X 的分布列及期望.（3）在上述抽取的40件产品中任取5件产品，求恰有2件产品的重量超过505克的概率. 【解析】（1）重量超过505克的产品数量是40(0.0550.015)12⨯⨯+⨯=件； （2）X 的所有可能取值为0、1、2，021********(0)130C C P X C ⋅===，11122824056(1)130C C P X C ⋅===，20122824011(2)130C C P X C ⋅===， X 的分布列为：X 的期望561139()01213013013065E X =⨯+⨯+⨯=； （3）设在上述抽取的40件产品中任取5件产品，恰有2件产品的重量超过505克为事件A ，则322812540231()703C C P A C ⋅==. 变式1：第三问改为：从流水线上任取5件产品，设Y 为重量超过505克的产品数量，求Y 的分布列、期望、方差.【解析】从流水线上任取5件产品服从二项分布：Y 可取：0、1、2、3、4、5；超过505克的产品发生的概率为0.3p =，则~(50.3)Y B ，， 005055(0)(1)0.70.16807P Y C p p -==-==， 115111455(1)(1)0.30.70.36015P Y C p p C -==-=⨯=，225222355(2)(1)0.30.70.3087P Y C p p C -==-=⨯=，335333255(3)(1)0.30.70.1323P Y C p p C -==-=⨯=，44544455(4)(1)0.30.70.02835P Y C p p C -==-=⨯=，555555(5)(1)0.30.00243P Y C p p -==-==，则Y 的分布列为：Y 的期望()50.3 1.5E Y =⨯=，方差()50.30.7 1.05D Y =⨯⨯=.变式2：某食品厂为了检查甲乙两条自动包装流水线的生产情况，随即在这两条抽流水线上各抽取40件产品作为样本算出他们的重量(单位：克).重量落在(495510]，的产品为合格品，否则为不合格.表一为甲流水线样本频率分布表，图一为乙流水线样本的频率分布直方图.（1）根据上表数据在答题卡上作出甲流水线样本的频率分布直方图；（2）若以频率作为概率，试估计从乙流水线上任取5件产品，恰有3件产品为合格品的概率；（3）由以上统计数据完成下面22⨯列联表，并回答有多大的把握认为“产品的包装质量与两条自动包装流水线的选择有关”.附：下面的临界值表供参考：(参考公式：22()()()()()n ad bcKa b a c c d b d-=++++，其中n a b c d=+++).在平面直角坐标系中做出频率分布直方图，甲流水线样本的频率分布直方图如下：（2）由图1知，乙样本中合格品为：(0.060.090.03)54036++⨯⨯=，故合格品的频率为360.940=， ∴可估计从乙流水线上任取一件产品该产品为合格品的概率0.9P =，设ξ为从乙流水线上任取5件产品中的合格品数，则~(50.9)B ξ，， ∴3325(3)0.90.10.0729P C ξ===，即从乙流水线上任取5件产品，恰有3件产品为合格品的概率为0.0729； （3）22⨯列联表如下：∵22()80(120360) 3.117 2.706()()()()66144040n ad bc K a b a c c d b d -⨯-==≈>++++⨯⨯⨯， ∴有90%的把握认为“产品的包装质量与两条自动包装流水线的选择有关”.课后作业1. 某学生对其亲属30人的饮食习惯进行了一次调查，并用茎叶图表示30人的饮食指数.(说明：图中饮食指数低于70的人，饮食以蔬菜为主；饮食指数高于70的人，饮食以肉类为主.)（1）根据茎叶图，帮助这位学生说明其亲属30人的饮食习惯；（2）根据以上数据完成下列22⨯列联表：（3）能否有99%的把握认为其亲属的饮食习惯与年龄有关，并写出简要分析.【答案】（1）30位亲属中50岁以上的人多以食蔬菜为主，50岁以下的人多以食肉为主；（2）表格见解析；（3）有，分析见解析.【解析】【分析】（1）根据茎叶图，分析题中数据即可得出结果.（2）根据茎叶图，补充完善列联表，计算观测值即可求解.【详解】（1）30位亲属中50岁以上的人多以食蔬菜为主，50岁以下的人多以食肉为主；（2）补全22⨯列联表：（3）230(42168)10 6.63512182010K ⨯⨯-⨯==>⨯⨯⨯，有99%的把握认为其亲属的饮食习惯与年龄有关.2. 某网站就“民众是否支持加大修建城市地下排水设施的资金投入”进行投票.按照北京暴雨前后两个时间收集有效投票，暴雨后的投票收集了50份，暴雨前的投票也收集了50份，所得统计结果如下表：已知工作人员从所有投票中任取一个，取到“不支持投入”的投票的概率为25. （1）求列联表中的数据x ､y ､A ､B 的值；（2）绘制条形统计图，通过图形判断本次暴雨是否影响到民众对加大修建城市地下排水设施的投入的态度？（3）能够有多大把握认为北京暴雨对民众是否赞成加大对修建城市地下排水设施的投入有关？ 【答案】（1）40x =，10y =，60A =，40B =；（2）条形统计图答案见解析，暴雨影响到民众对加大修建城市地下排水设施的投入的态度；（3）有99.9%把握.【解析】【分析】（1）先求出y的值，再求,,B x A的值；（2）先求出暴雨前后的支持率和不支持率，画出条形统计图，再通过图形判断本次暴雨是否影响到民众对加大修建城市地下排水设施的投入的态度.（3）利用独立性检验求解即可.【详解】（1）设“从所有投票中抽取一个，取到不支持投入的投票”为事件A，由已知得302()1005yP A+==，∴10y=，40B=，40x=，60A=；（2）由（1）知北京暴雨后支持为404505=，不支持率为41155-=，北京暴雨前支持率为202505=，不支持率为23155-=，条形统计图如图：由图可以看出暴雨影响到民众对加大修建城市地下排水设施的投入的态度；（3）22100(30402010)5016.7810.828505040603K⨯⨯-⨯==≈>⨯⨯⨯，故至少有99.9%把握认为北京暴雨对民众是否赞成加大对修建城市地下排水设施的投入有关.【点睛】方法点睛：独立性检验的解题步骤：（1）2*2列联表；（2）提出假设：设p与q没有关系；（3）根据列联表中的数据2K计算的值；（4）根据计算得到的随机变量2K的观测值作出判断.3. 电视传媒公司为了解某地区观众对某类体育节目的收视情况，随机抽取了100名观众进行调查，其中女性有55名.下面是根据调查结果绘制的观众日均收看该体育节目时间的频率分布直方图：将日均收看该体育节目时间不低于40分钟的观众称为“体育迷”，已知“体育迷”中有10名女性.（1）根据已知条件完成下面的22⨯列联表，并据此资料判断是否有95%的把握认为“体育迷”与性别有关？（2）将日均收看该体育节目不低于50分钟的观众称为“超级体育迷”，已知“超级体育迷”中有2名女性，若从“超级体育迷”中任意选取2人，求至少有1名女性观众的概率.附：22()()()()()n ad bcKa b a c c d b d-=++++【答案】（1）列联表答案见解析，没有95%的把握认为“体育迷”与性别有关；（2）7 10 .【解析】 【分析】（1）根据频率分布直方图，计算体育迷的人数，再结合条件依次填入22⨯列联表，并计算2K ，并和临界值3.841比较后进行判断；（2）首先由频率分布直方图计算“超级体育迷”的人数，在通过编号列举的方法，利用古典概型的计算公式计算概率.【详解】（1）由频率分布直方图可知，在抽取的100人中，“体育迷”有25人，从而完成22⨯列联表如下：将22⨯列联表中的数据代入公式计算，得22100(30104515)100 3.030 3.8417525455533K ⨯⨯-⨯==≈<⨯⨯⨯，∴没有95%的把握认为“体育迷”与性别有关；（2）由频率分布直方图可知“超级体育迷”为5人，设123,,a a a 是3名男超级体育迷，12,b b 是2名女超级体育迷，从而一切可能结果所组成基本事件为：12()a a ，､13()a a ，､23()a a ，､11()a b ，､12()a b ，､ 21()a b ，､22()a b ，､31()a b ，､32()a b ，､12()b b ，，则由10个基本事件组成，而且这些基本事件的出现是等可能的， 用A 表示“任选2人中，至少有1人是女性”这一事件，则A 由11()a b ，､12()a b ，､21()a b ，､22()a b ，､31()a b ，､32()a b ，､12()b b ， 这7个基本事件组成，因而7()10P A =.4. 2015年7月9日21时15分，台风“莲花”在我国广东省陆丰市甲东镇沿海登陆，给当地人民造成了巨大的财产损失，适逢暑假，大学生小张调查了当地某小区的100户居民由于台风造成的经济损失，将收集的数据分成[02000),、[2000,4000)、[4000,6000)、[6000,8000)、[800010000],五组作出频率分布直方图，如图：（1）台风后居委会号召小区居民为台风重灾区捐款，小张调查的100户居民捐款情况如表格，在表格空白处填写正确数字，并说明是否有95%以上的把握认为捐款数额多于或少于500元和自身经济损失是否到4000元有关？（2）将上述调查所得到的频率视为概率.现在从该地区大量受灾居民中，采用随机抽样方法每次抽取1户居民，抽取3次，记被抽取的3户居民中自身经济损失超过4000元的人数为ξ.若每次抽取的结果是相互独立的，求ξ的分布列，期望()E ξ和方差()D ξ.【答案】（1）答案见解析，有；（2）分布列见解析，()0.9E ξ=，()0.63D ξ=. 【解析】【分析】（1）由频率分布直方图可求出抽取的100户中，经济损失不超过4000元的户数，经济损失超过4000元的户数， 从而可补全列联表，进而可求出2K ，得出结论；（2）由题意知ξ的取值可能有0、1、2、3，符合二项分布，则3~(3)10B ξ，，从而利用二项分布的概率公式求出各自对应的概率，进而可得ξ的分布列，期望()E ξ和方差()D ξ. 【详解】（1）由频率分布直方图可知，在抽取的100户中，经济损失不超过4000元的有1002000(0.000150.00020)70⨯⨯+=户，则经济损失超过4000元的有30户， 则表格数据如下：22100(60102010) 4.76280207030K ⨯⨯-⨯=≈⨯⨯⨯，∵4.762 3.841>，2( 3.841)0.05P K ≥=，∴有95%以上把握认为捐款数额是否多于或少于500元和自身经济损失是否到4000元有关； （2）由频率分布直方图可知抽到自身经济损失超过4000元居民的频率为0.3，将频率视为概率，由题意知ξ的取值可能有0、1、2、3，符合二项分布，则3~(3)10B ξ，，003337343(0)()()10101000P C ξ==⋅⋅=，112337441(1)()()10101000P C ξ==⋅⋅=，221337189(2)()()10101000P C ξ==⋅⋅=，33033727(3)()()10101000P C ξ==⋅⋅=，从而ξ的分布列为：3()30.910E np ξ==⨯=，37()(1)30.631010D np p ξ=-=⨯⨯=. 5. 私家车的尾气排放是造成雾霾天气的重要因素之一，因此在生活中我们应该提倡低碳生活，少开私家车，尽量选择绿色出行方式，为预防雾霾出一份力．为此，很多城市实施了机动车车尾号限行，我市某报社为了解市区公众对“车辆限行”的态度，随机抽查了50人，将调查情况进行整理后制成下表：（1）完成被调查人员的频率分布直方图．（2）若从年龄在[15,25)（[25,35)的被调查者中各随机选取2人进行追踪调查，求恰有2人不赞成的概率．（3）在(2)在条件下，再记选中的4人中不赞成．．．“车辆限行”的人数为ξ，求随机变量ξ的分布列和数学期望．【答案】（1）见解析（2（2275（3）见解析 【解析】【详解】试题分析：（1）根据频率等于频数除以总数，再求频率与组距之比得纵坐标，画出对应频率分布直方图．（2）先根据2人分布分类，再对应利用组合求概率，最后根据概率加法求概率，（3）先确定随机变量，再根据组合求对应概率，列表可得分布列，最后根据数学期望公式求期望. 试题解析：（1（（2（由表知年龄在[)15,25内的有5人，不赞成的有1人，年龄在[)25,35 内的有10人，不赞成的有4人，恰有2人不赞成的概率为：()11122464442222510510C C C C C 4246666222C C C C 1025104522575P ξ==⋅+⋅=⋅+⋅==（（3（ ξ的所有可能取值为：0（1（2（3（()226422510C C 45150C C 22575P ξ==⋅==（()21112646442222510510C C C C C 415624102341C C C C 1045104522575P ξ⋅==⋅+⋅=⋅+⋅==（ ()124422510C C 461243C C 104522575P ξ==⋅=⋅==（ 所以ξ的分布列是：所以ξ的数学期望5E ξ=（ 6. 某商场举行的“三色球”购物摸奖活动规定：在一次摸奖中，摸奖者先从装有3个红球与4个白球的袋中任意摸出3个球，再从装有1个蓝球与2个白球的袋中任意摸出1个球，根据摸出4个球中红球与蓝球的个数，设一、二、三等奖如下：其余情况无奖且每次摸奖最多只能获得一个奖级．（1）求一次摸奖恰好摸到1个红球的概率；（2）求摸奖者在一次摸奖中获奖金额x的分布列与期望E（x）．【答案】（1）（2）X的分布列为EX==4元【解析】【详解】（1）设A i表示摸到i个红球，B i表示摸到i个蓝球，则与相互独立（i=0，1，2，3）∴P（A1）==（2）X的所有可能取值为0，10，50，200P（X=200）=P（A3B1）=P（A3）P（B1）=P（X=50）=P（A3）P（B0）==P（X=10）=P（A2）P（B1）==P（X=0）=1﹣=∴X的分布列为EX==4元7. 以下茎叶图记录了甲､乙两组个四名同学的植树棵树､乙组记录中有一个数据模糊，无法确认，在图中以X表示.（1）如果8X=，求乙组同学植树棵树的平均数和方差；（2）如果9X=，分别从甲､乙两组中随机选取一名同学，求这两名同学的植树总棵树Y的分布列和数学期望.【答案】（1）平均数为354，方差为1116；（2）分布列答案见解析，数学期望：19.【解析】【分析】（1）利用平均数和方差公式求出即可；（2）根据题意可得Y 的可能取值为17，18，19，20，21，分别求出Y 取不同值的概率，即可得出分布列，求出期望.【详解】（1）当8X =时，由茎叶图可知，乙组同学的植树棵数是：8，8，9，10， ∴平均数为889103544x +++==，方差为2222213535353511[(8)(8)(9)(10)]4444416s =-+-+-+-=；（2）当9X =时，由茎叶图可知，甲组同学的植树棵树是：9，9，11，11， 乙组同学的植树棵数是：9，8，9，10，分别从甲､乙两组中随机选取一名同学，共有4416⨯=种可能的结果， 这两名同学植树总棵数Y 的可能取值为17，18，19，20，21，事件“17Y =”等价于“甲组选出的同学植树9棵，乙组选出的同学植树8棵”， ∴该事件有2种可能的结果，21(17)168P Y ===， 事件“18Y =”等价于“甲组选出的同学植树9棵，乙组选出的同学植树9棵”， ∴该事件有4种可能的结果，41(18)164P Y ===， 事件“19Y =”等价于“甲组选出的同学植树9棵，乙组选出的同学植树10棵， 或甲组选出的同学植树11棵，乙组选出的同学植树8棵”， ∴该事件有224+=种可能的结果，41(19)164P Y ===， 事件“20Y =”等价于“甲组选出的同学植树11棵，乙组选出的同学植树9棵”， ∴该事件有4种可能的结果，41(20)164P Y ===， 事件“21Y =”等价于“甲组选出的同学植树11棵，乙组选出的同学植树10棵”， ∴该事件有2种可能的结果，21(21)168P Y ===，∴随机变量Y 的分布列为：∴11()17181920211984448E Y =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=.8. 语文成绩服从正态分布2(100,17.5)N ，数学成绩的频率分布直方图如图，如果成绩大于135的则认为特别优秀.（1）这500名学生中本次考试语文、数学特别优秀的大约各多少人？（2）如果语文和数学两科都特别优秀的共有6人，从（1）中的这些同学中随机抽取3人，设三人中两科都特别优秀的有X 人，求X 的分布列和数学期望.(附公式：若2~(,)X N μσ，则()0.68P X μσμσ-<≤+=，(22)0.96P X μσμσ-<≤+=).【答案】（1）语文有10人，数学有12人；（2）分布列见解析，98.【解析】【分析】（1）利用正态分布的对称性求出语文成绩特别优秀的概率，从而可估计出语文成绩特别优秀人数，由频率分布直方图可求出数学成绩特别优秀的频率，用频率来衡量概率，从而可求出数学成绩特别优秀的人数；（2）结合（1）可知数学语文单科优秀的有10人，则X 的所有可能取值为0、1、2、3，然后求出各自对应的概率即可列出分布列，求得数学期望【详解】（1）∵语文成绩服从正态分布2(10017.5)N ，，∴语文成绩特别优秀概率为11(135)(10.96)0.022P P X =≥=-⨯=， ∴数学成绩特别优秀的概率为230.0016200.0244P =⨯⨯=， ∴语文特别优秀的同学有5000.0210⨯=人，数学特别优秀的同学有5000.02412⨯=人； （2）语文数学两科都优秀的有6人，单科优秀的有10人，X 的所有可能取值为0、1、2、3，3103163(0)14C P X C ===，2110631627(1)56C C P X C ⋅===， 1210631615(2)56C C P X C ⋅===，363161(3)28C P X C ===， ∴X 的分布列为：19()0123145656288E X =⨯+⨯+⨯+⨯=. 9. 张明要参加某单位组织的招聘面试.面试要求应聘者有7次选题答题的机会(选一题答一题)，若答对4题即终止答题，直接进入下一轮，否则被淘汰.已知张明答对每一道题的概率都为12. （1）求张明进入下一轮的概率；（2）设张明在本次面试中答题的个数为ξ，试写出ξ的分布列，并求ξ的数学期望. 【答案】（1）12；（2）分布列答案见解析，数学期望：9316. 【解析】 【分析】（1）分情况讨论张明进入下一轮的概率；（2）由条件可知4,5,6,7ξ=，理解随机变量对应的事件，写出概率分布列，计算数学期望.。
事业单位行政职业能力测验数量关系：古典概率该咋做
事业单位行政职业能力测验数量关系：古典
概率该咋做
在行测数量关系中，概率问题属于高频考点，尤其是古典概率，那么对于一个古典概率的题来说，应该怎么入手去做呢?今天中公教育就跟大家探讨一下古典概率的做法。
所谓古典概率，就是可以求得出来的概率，其有两个明显的特征：①样本数是有限的;②每个样本等可能发生。
基本公式为：对于这个公式，我们在使用的时候可以从以下步骤走：第一步先从"总的等可能事件的样本数'入手，分析一下题干整体上是想让我们去干一件什么事情，然后再去看"A事件发生的样本数'，即从问题入手，看问题最终要求的是什么，这样下来，基本答案就可以出来了。
例1 甲、乙两人相约骑共享单车运动健身。
停车点现有9辆单车，分属3个品牌，各有2辆、3辆、4辆。
假如两人选择每一辆单车的概率相同，问两人选到同一品牌单车的概率约为：
例2 某人想要通过掷骰子的方法做一个决定：他同时掷3颗完全相同且均匀的骰子，如果向上的点数之和为4，他就做此决定。
那么，他能做这个决定的概率是：
【答案】C。
中公解析：题干最后求概率相关，根据公式，先从步
骤一开始，梳理题干可知本题要掷3颗骰子，样本总数为666=216，第二步分析问题可知需要三个点数之和为4，可能情况为(1，1，2)、(1，2，1)、(2，1，1)，样本数为3，故所求概率为故选择C。
中公教育希望通过以上两个题目的分析，大家可以对概率的解题思路及步骤有了深入的认识，在后面的备考中多练习，熟能生巧之后再也不怕概率相关的题。
概率综合(古典概型)
知识点之三：分房问题
例三、有n个人，每个人都以同样的概率1/N 被分配在N（n间房间中的每一间，试求下 列各事件的概率： （1）指定的n间房中各有一人 (2)恰有n间房中各有一个; (3)指定的某间房中恰有r（r≤N)个人; （4)第一间房、第二间房…第n间房中分别有 r1,r2,…rN个人，（ r1+r2+…+rN=n，0≤r≤n)
有放回的抽样问题练习
4、袋中装有编号为1，2……N的球各一只, 采用有放回方式摸球,试求在第k次摸 球 时首次摸到1号球的概率.
解题分析：
从N个球中有放回地摸出k个球的所有各种可 能的结果为Nk个,把它们作为全体基本事件,有 利场合数为(N-1)k-1,故所求概率为:
(N 1) P K N
知识点练习一(不放回抽样练习)
1、甲袋中有3只白球，7只红球，15只， 黑球，乙袋中有10只白球，6只红球，9 只黑球，现从两袋中各取一球 ，求两球颜
色相同的概率。
解答： 从两袋中各取一球的所有可能作为基本事 件，总数有252，有利场合数 为3×10+7×6+15×9,故所求的概率 P=207/625
知识点练习一(不放回抽样练习)
3、从52张扑克牌中任取5张，求下列事件的 概率：①、4张A集中在一个人的手中。 ②、 以K打头的同花顺次五张牌； ③ 、同花顺 次五张牌；④ 、有四张牌同点数； ⑤ 、三 张同点数且另两张取其它同点数； ⑥、同 花五张； ⑦ 、异花顺次五张； ⑧ 、三张 同点数，另两张不同； ⑨ 、五张中 有两对； ⑩ 、五张中有一对。 说明：扑克牌的顺次为：A2345678910JKA
分析：这n个人在N间房中的所有不同的分配 ，相当于从N个元素中选取n个进行有重复的排列
9.求古典概型概率的答题模板
观察所求结论：
求两张卡片颜色不同且标号之和小于4的概率 利用列举的结果分析
得出满足这两个条件的结果m
［教你快速规范审题］
【典例】（2012山东高考 ·满分12分）
袋中有五张卡片，其中红色卡片三张，标号分别为1,2,3；蓝色卡片 两张，标号分别为1,2. (1)从以上五张卡片中任取两张，求这两张卡片颜色不同且标号之和 小于4的概率； (2)向袋中再放入一张标号为0的绿色卡片，从这六张卡片中任取两 张，求这两张卡片颜色不同且标号之和小于4的概率．
12分
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［教你快速规范审题］
【典例】（2012山东高考 ·满分12分）
袋中有五张卡片，其中红色卡片三张，标号分别为1,2,3；蓝色卡片 两张，标号分别为1,2. (1)从以上五张卡片中任取两张，求这两张卡片颜色不同且标号之和 小于4的概率； (2)向袋中再放入一张标号为0的绿色卡片，从这六张卡片中任取两张， 求这两张卡片颜色不同且标号之和小于4的概率．
“大题规范解答———得全分”系列之（十）
求古典概型概率的答题模板
［教你快速规范审题］ ［教你准确规范解题］
［教你一个万能模版］
【典例】（2012山东高考 ·满分12分）
袋中有五张卡片，其中红色卡片三张，标号分别为1,2,3；蓝色卡片 两张，标号分别为1,2. (1)从以上五张卡片中任取两张，求这两张卡片颜色不同且标号之和 小于4的概率； (2)向袋中再放入一张标号为0的绿色卡片，从这六张卡片中任取两 张，求这两张卡片颜色不同且标号之和小于4的概率．
观察所求结论： 求两张卡片颜色不同且标号之和小于4的概率 利用列举的结果分析 得出满足这两个条件的结果m
【第审（题1规）范问】第３步：建联系，找解题突破口
古典概率的题型与列举方法
古典概率的题型与列举方法古典概型本质上有三种题型：“依次放回取”、“依次不放回取”与“同时取”，列举的手段有：列“树枝图”和列“数对表”，因此学习古典概率时，要抓住题型并把握列举的方法，下面就古典概型的三种基本题型与列举法的具体操作举例说明，供参考。
一、依次不放回取例1．口袋里装有2个白球和2个黑球，大小形状完全相同，4个人按顺序依次从中摸出一个球，求第二个人摸到白球的概率.解析：用a ，b 表示白球，用1，2表示黑球，则所有基本事件如“树枝图”：共有24个基本事件，其中“第二个人摸到白球的事件A 含有12个基本事件，如”树枝图”中加横线部分的事件，因此P （第二个人摸到白球的概率）=121242=。
点评：本题中的摸球问题相当于从4个球中依次不放回取4次，而依次不放回取的关键是取出的球不重复且顺序唯一，因此比较适宜列举手段是“树枝图”。
.二、依次放回取例2．某人有4把钥匙，其中有2把钥匙能把门打开，现每次随机地取1把钥匙试着开门，试过的钥匙不仍掉，求第二次和能打开门的概率。
解析：用a ，b 表示能打开门的钥匙，用1，2表示不能打开门的钥匙，则所有基本事件如右边的 “数对表”，共有16个基本事件，其中“第二次才能打开门”的事件含有4个基本事件，如“数对表”中加横线部分的事件。
因此P （第二次打开门的概率）=41164=。
点评：试过的钥匙不扔掉，相当于从a ，b ，1，2中依次放回取出2个数字或字母，考虑到有不同的顺序，故采用的列举手段是“数对表”，能清晰地分清先后顺序。
三、同时取例3．柜子里有3双不同的鞋，随机地取2只.试求下列事件的概率： ①取出的鞋不成对；②取出的鞋都是左脚；③取出的鞋都是同一只脚；④取出的鞋一只是左脚的一只是右脚的，但不成对。
解析：用A1，A 2分别表示第一双鞋的左右鞋，用B 1，B 2分别表示第二双鞋的左右脚，用C 1，C 2分别表示第三双鞋的左右鞋，则所有基本事件如右边的“数对表”，共有15个基本事件，其中“取出的鞋都是同一只脚的”的事件包含6个基本事件，如“数对表”中加横线部分的事件.。
古典概率面试题及答案
古典概率面试题及答案1. 古典概率的定义是什么？答案：古典概率是指在所有可能的基本事件数量相同的情况下，某一事件发生的概率。
它可以通过该事件的基本事件数除以所有基本事件的总数来计算。
2. 请解释什么是等可能事件？答案：等可能事件是指在所有可能的基本事件中，每个事件发生的可能性都是相同的。
3. 如何计算古典概率？答案：古典概率的计算公式为 P(A) = n(A) / n(S)，其中 n(A)是事件 A 的基本事件数，n(S) 是所有可能的基本事件的总数。
4. 古典概率有哪些基本性质？答案：古典概率的基本性质包括：- 非负性：对于任意事件 A，P(A) ≥ 0。
- 归一性：所有事件的概率之和等于 1，即 P(S) = 1，其中 S 是样本空间。
- 子集性质：如果 A ⊆ B，则P(A) ≤ P(B)。
5. 古典概率与几何概率有何区别？答案：古典概率关注的是事件的基本事件数与总基本事件数的比例，而几何概率关注的是事件发生区域的测度（如长度、面积或体积）与总测度的比例。
6. 请举例说明古典概率的应用场景。
答案：古典概率的一个典型应用场景是掷骰子。
一个公平的骰子有六个面，每个面上的数字从 1 到 6。
掷一次骰子得到数字 3 的概率就是 1/6，因为只有一个基本事件（数字 3）与六个基本事件（1 到6）的总数相比。
7. 如何使用古典概率解决实际问题？答案：解决实际问题时，首先需要确定所有可能的基本事件，然后识别出与问题相关的事件。
接着计算相关事件的基本事件数和总基本事件数，最后应用古典概率公式 P(A) = n(A) / n(S) 来求解。
8. 古典概率在哪些情况下不适用？答案：古典概率不适用于以下情况：- 基本事件不是等可能的。
- 基本事件的数量是无限的。
- 基本事件的总数无法确定。
9. 请解释什么是样本空间？答案：样本空间是随机试验中所有可能结果的集合，通常用大写字母 S 表示。
10. 古典概率与频率概率有何联系？答案：古典概率是一种理论上的概率计算方法，而频率概率是基于大量重复试验中事件发生的相对频率来估计的概率。
高中数学必修三讲义：古典概型 概率的一般加法公式Word版含答案
3．2.1 & 3.2.2 古典概型 概率的一般加法公式(选学)预习课本P102～107，思考并完成以下问题 (1)古典概型的特征是什么？(2)古典概型的概率计算公式是什么？[新知初探]1．古典概型的概念(1)定义：如果一个概率模型满足：①试验中所有可能出现的基本事件只有有限个； ②每个基本事件发生的可能性是均等的．那么这样的概率模型称为古典概率模型，简称古典概型． (2)计算公式：对于古典概型，任何事件A 的概率 P (A )＝事件A 包含的基本事件数试验的基本事件总数.2．概率的一般加法公式(选学) (1)事件A 与B 的交(或积)：由事件A 和B 同时发生所构成的事件D ，称为事件A 与B 的交(或积)，记作D ＝A ∩B (或D ＝AB )．(2)概率的一般加法公式：设A ，B 是Ω的两个事件，则有P (A ∪B )＝P (A )＋P (B )－P (A ∩B )．[小试身手]1．下列关于古典概型的说法中正确的是( )①试验中所有可能出现的基本事件只有有限个；②每个事件出现的可能性相等；③每个基本事件出现的可能性相等；④基本事件的总数为n ，随机事件A 若包含k 个基本事件，则P (A )＝k n .A ．②④B ．①③④C ．①④D ．③④解析：选B 根据古典概型的特征与公式进行判断，①③④正确，②不正确，故选B. 2．下列试验是古典概型的是( )A ．口袋中有2个白球和3个黑球，从中任取一球，基本事件为{}取中白球和{}取中黑球B ．在区间[－1,5]上任取一个实数x ，使x 2－3x ＋2＞0C ．抛一枚质地均匀的硬币，观察其出现正面或反面D ．某人射击中靶或不中靶解析：选C A 中两个基本事件不是等可能的；B 中基本事件的个数是无限的；D 中“中靶”与“不中靶”不是等可能的；C 符合古典概型的两个特征，故选C.3．从甲、乙、丙三人中任选两人担任课代表，甲被选中的概率为( ) A.12B.13 C.23D ．1解析：选C 从甲、乙、丙三人中任选两人有：(甲、乙)、(甲、丙)、(乙、丙)共3种情况，其中，甲被选中的情况有2种，故甲被选中的概率为P ＝23.4．两个骰子的点数分别为b ，c ，则方程x 2＋bx ＋c ＝0有两个实根的概率为( ) A.12 B.1536 C.1936D.56解析：选C (b ，c )共有36个结果，方程有解，则Δ＝b 2－4c ≥0，∴b 2≥4c ，满足条件的数记为(b 2,4c )，共有(4,4)，(9,4)，(9,8)，(16,4)，(16,8)，(16,12)，(16,16)，(25,4)，(25,8)，(25,12)，(25,16)，(25,20)，(25,24)，(36,4)，(36,8)，(36,12)，(36,16)，(36,20)，(36,24)，19个结果，P ＝1936.[典例] (1)42张，则取出的2张卡片上的数字之和为奇数的所有基本事件数为( )A ．2B ．3C ．4D ．6(2)连续掷3枚硬币，观察这3枚硬币落在地面上时是正面朝上还是反面朝上．①写出这个试验的所有基本事件；②求这个试验的基本事件的总数；③“恰有两枚硬币正面朝上”这一事件包含哪些基本事件？[解析](1)用列举法列举出“数字之和为奇数”的可能结果为：(1,2)，(1,4)，(2,3)，(3,4)，共4种可能．[答案] C(2)解：①这个试验包含的基本事件有：(正，正，正)，(正，正，反)，(正，反，正)(反，正，正)，(正，反，反)，(反，正，反)，(反，反，正)，(反，反，反)．②这个试验包含的基本事件的总数是8；③“恰有两枚硬币正面朝上”这一事件包含以下3个基本事件：(正，正，反)，(正，反，正)，(反，正，正)．基本事件的三个探求方法(1)列举法：把试验的全部结果一一列举出来．此方法适合于较为简单的试验问题．(2)树状图法：树状图法是使用树状的图形把基本事件列举出来的一种方法，树状图法便于分析基本事件间的结构关系，对于较复杂的问题，可以作为一种分析问题的主要手段，树状图法适用于较复杂的试验的题目．[活学活用]将一枚骰子先后抛掷两次，则：(1)一共有几个基本事件？(2)“出现的点数之和大于8”包含几个基本事件？解：(树状图法)：一枚骰子先后抛掷两次的所有可能结果用树状图表示．如图所示：(1)由图知，共36个基本事件．(2)“点数之和大于8”包含10个基本事件(已用“√”标出).[典例]事件的概率：(1)A：取出的两球都是白球；(2)B：取出的两球1个是白球，另1个是红球．[解]设4个白球的编号为1,2,3,4,2个红球的编号为5,6.从袋中的6个小球中任取2个球的取法有(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(2,6)，(3,4)，(3,5)，(3,6)，(4,5)，(4,6)，(5,6)，共15种．(1)从袋中的6个球中任取两个，所取的两球全是白球的取法总数有(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,3)，(2,4)，(3,4)，共6个．∴取出的两个球全是白球的概率为P(A)＝615＝25.(2)从袋中的6个球中任取两个，其中一个是红球，而另一个是白球，其取法包括(1,5)，(1,6)，(2,5)，(2,6)，(3,5)，(3,6)，(4,5)，(4,6)共8种．∴取出的两个球1个是白球，1个是红球的概率为P(B)＝8 15.求解古典概型的概率“四步”法[活学活用]某地区有小学21所，中学14所，大学7所，现采取分层抽样的方法从这些学校中抽取6所学校对学生进行视力调查．(1)求应从小学、中学、大学中分别抽取的学校数目；(2)若从抽取的6所学校中随机抽取2所学校做进一步数据分析，①列出所有可能的抽取结果；②求抽取的2所学校均为小学的概率．解：(1)从小学、中学、大学中分别抽取的学校数目为3,2,1.(2)①在抽取到的6所学校中，3所小学分别记为A1，A2，A3,2所中学分别记为A4，A5,1所大学记为A6，则抽取2所学校的所有可能结果为(A1，A2)，(A1，A3)，(A1，A4)，(A1，A5)，(A1，A6)，(A2，A3)，(A2，A4)，(A2，A5)，(A2，A6)，(A3，A4)，(A3，A5)，(A3，A6)，(A4，A5)，(A4，A6)，(A5，A6)，共15种．②从这6所学校中抽取的2所学校均为小学(记为事件B)的所有可能结果为(A1，A2)，(A1，A3)，(A2，A3)，共3种，所以P(B)＝315＝15.[典例]有A均未留意，在四个席位上随便就座．(1)求这四人恰好都坐在自己的席位上的概率；(2)求这四人恰好都没坐在自己的席位上的概率；(3)求这四人恰有一位坐在自己的席位上的概率．[解]将A，B，C，D四位贵宾就座情况用如图所示的图形表示出来．a席位b席位c席位d席位a席位b席位c席位d席位a 席位b 席位c 席位d 席位 a 席位b 席位c 席位d 席位 由图可知，所有的等可能基本事件共有24个．(1)设事件A 为“这四人恰好都坐在自己的席位上”，则事件A 只包含1个基本事件，所以P (A )＝124. (2)设事件B 为“这四人恰好都没坐自己的席位上”，则事件B 包含9个基本事件，所以P (B )＝924＝38. (3)设事件C 为“这四人恰有一位坐在自己的席位上”，则事件C 包含8个基本事件，所以P (C )＝824＝13.对于一些比较复杂的古典概型问题，一般可以通过分类，有序地把事件包含的情况分别罗列出来，从而清晰地找出满足条件的情况．在列举时一定要注意合理分类，才能做到不重不漏，结果明了，而树状图则是解决此类问题的较好方法．[活学活用]把一枚骰子抛掷2次，观察出现的点数，并记第一次出现的点数为a ，第二次出现的点数为b ，试就方程组⎩⎪⎨⎪⎧ax ＋by ＝3，x ＋2y ＝2解的情况，解答下列各题：(1)求方程组只有一个解的概率； (2)求方程组只有正数解的概率．解：若第一次出现的点数为a ，第二次出现的点数为b 记为有序数值组(a ，b )，则所有可能出现的结果有：(1,1)(1,2)(1,3)(1,4)(1,5)(1,6)， (2,1)(2,2)(2,3)(2,4)(2,5)(2,6)， (3,1)(3,2)(3,3)(3,4)(3,5)(3,6)， (4,1)(4,2)(4,3)(4,4)(4,5)(4,6)， (5,1)(5,2)(5,3)(5,4)(5,5)(5,6)， (6,1)(6,2)(6,3)(6,4)(6,5)(6,6)，共36种．由方程组⎩⎪⎨⎪⎧ ax ＋by ＝3，x ＋2y ＝2，可得⎩⎪⎨⎪⎧(2a －b )x ＝6－2b ，(2a －b )y ＝2a －3，(1)若方程组只有一个解，则b ≠2a ，满足b ＝2a 的有(1,2)，(2,4)，(3,6)，故适合b ≠2a 的有36－3＝33个．其概率为：P 1＝3336＝1112. (2)方程组只有正数解，需满足b －2a ≠0且⎩⎪⎨⎪⎧x ＝6－2b 2a －b＞0，y ＝2a －32a －b＞0.分两种情况：当2a ＞b 时，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＞32，b ＜3，当2a ＜b 时，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＜32，b ＞3.易得包含的基本事件有13个：(2,1)，(3,1)，(4,1)，(5,1)，(6,1)，(2,2)，(3,2)，(4,2)，(5,2)，(6,2)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，因此所求的概率P 2＝1336.[层级一 学业水平达标]1．若连续抛掷两次骰子得到的点数分别为m ，n ，则点P (m ，n )在直线x ＋y ＝4上的概率是( )A.13 B.14 C.16D.112解析：选D 由题意(m ，n )的取值情况有(1,1)，(1,2)，…，(1,6)；(2,1)，(2,2)，…，(2,6)；…；(6,1)，(6,2)，…，(6,6)，共36种，而满足点P (m ，n )在直线x ＋y ＝4上的取值情况有(1,3)，(2,2)，(3,1)，共3种．故所求概率为336＝112，故选D.2．从1,2,3,4这四个数字中，任取两个不同的数字构成一个两位数，则这个两位数大于30的概率为( )A.12B.13C.14D.15解析：选A 从1,2,3,4这四个数字中，任取两个不同的数字，可构成12个两位数：12,13,14,21,23,24,31,32,34,41,42,43，其中大于30的有：31,32,34,41,42,43共6个，所以所得两位数大于30的概率为P ＝612＝12. 3．设a 是从集合{}1，2，3，4中随机取出的一个数，b 是从集合{}1，2，3中随机取出的一个数，构成一个基本事件(a ，b )．记“这些基本事件中，满足log b a ≥1”为事件E ，则E 发生的概率是( )A.12B.512C.13D.14解析：选B 试验发生包含的事件是分别从两个集合中取1个数字，共有4×3＝12种结果，满足条件的事件是满足log b a ≥1，可以列举出所有的事件，当b ＝2时，a ＝2,3,4，当b ＝3时，a ＝3,4，共有3＋2＝5个，∴根据古典概型的概率公式得到概率是512.4．一个袋子中装有编号分别为1,2,3,4的4个小球，现有放回地摸球，规定每次只能摸一个球，若第一次摸到的球的编号为x ，第二次摸到的球的编号为y ，构成数对(x ，y )，则所有数对(x ，y )中满足xy ＝4的概率为( )A.316B.18C.118D.16解析：选A 由题意可知两次摸球得到的所有数对(x ，y )有(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，共16个，其中满足xy ＝4的数对有(1,4)，(2,2)，(4,1)，共3个．故所求事件的概率为316.5．为迎接2016奥运会，某班开展了一次“体育知识竞赛”，竞赛分初赛和决赛两个阶段进行，在初赛后，把成绩(满分为100分，分数均为整数)进行统计，制成如下的频率分布表：(1)求a ，b (2)若得分在[90,100]之间的有机会进入决赛，已知其中男女比例为2∶3，如果一等奖只有两名，求获得一等奖的全部为女生的概率．解：(1)a ＝50×0.1＝5，b ＝2550＝0.5，c ＝50－5－15－25＝5，d ＝1－0.1－0.3－0.5＝0.1. (2)把得分在[90,100]之间的五名学生分别记为男1，男2，女1，女2，女3.事件“一等奖只有两名”包含的所有事件为(男1，男2)，(男1，女1)，(男1，女2)，(男1，女3)，(男2，女1)，(男2，女2)，(男2，女3)，(女1，女2)，(女1，女3)，(女2，女3)，共10个基本事件；事件“获得一等奖的全部为女生”包含(女1，女2)，(女1，女3)，(女2，女3)，共3个基本事件．所以，获得一等奖的全部为女生的概率为P ＝310.[层级二 应试能力达标]1．某部三册的小说，任意排放在书架的同一层上，则各册从左到右或从右到左恰好为第1,2,3册的概率为( )A.16 B.13 C.12D.23解析：选B 所有基本事件为：123,132,213,231,312,321.其中从左到右或从右到左恰好为第1,2,3册包含2个基本事件，∴P ＝26＝13.故选B.2．袋中有大小相同的黄、红、白球各一个，每次任取一个，有放回地取3次，则89是下列哪个事件的概率( )A ．颜色全同B ．颜色不全同C ．颜色全不同D ．无红球解析：选B 有放回地取球3次，共27种可能结果，其中颜色全相同的结果有3种，其概率为327＝19；颜色不全相同的结果有24种，其概率为2427＝89；颜色全不同的结果有3种，其概率为327＝19；无红球的情况有8种，其概率为827，故选B.3．电子钟一天显示的时间是从00：00到23：59，每一时刻都由四个数字组成，则一天中任一时刻显示的四个数字之和为23的概率为( )A.1180B.1288C.1360D.1480解析：选C 当“时”的两位数字的和小于9时，则“分”的那两位数字和要求超过14，这是不可能的．所以只有“时”的和为9(即“09”或“18”)，“分”的和为14(“59”)；或者“时”的和为10(即“19”)，“分”的和为13(“49”或“58”)．共计有4种情况．因一天24小时共有24×60分钟，所以概率P ＝424×60＝1360.故选C.4．古代“五行”学说认为：“物质分金、木、水、火、土五种属性，金克木、木克土、土克水、水克火、火克金．”从五种不同属性的物质中随机抽取两种，则抽取的两种物质不相克的概率为( )A.310B.25C.12D.35解析：选C 从五种不同属性的物质中随机抽取两种，有(金，木)、(金，水)、(金，火)、(金，土)、(木，水)、(木，火)、(木，土)、(水，火)、(水，土)、(火，土)，共10种等可能发生的结果．其中金克木，木克土，土克水，水克火，火克金，即相克的有5种，则不相克的也是5种，所以抽取的两种物质不相克的概率为12.5．有四个大小、形状完全相同的小球，分别编号为1,2,3,4，现从中任取两个，则取出的小球中至少有一个号码为奇数的概率为________．解析：从四个小球中任取两个，有6种取法，其中两个号码都为偶数只有(2,4)这一种取法，故其对立事件，即至少有一个号码为奇数的概率为1－16＝56.答案：566．在5瓶饮料中，有2瓶已过了保质期，从中任取2瓶，取到的全是已过保质期的饮料的概率为________．解析：设过保质期的2瓶记为a ，b ，没过保质期的3瓶用1,2,3表示，试验的结果为： (1,2)，(1,3)，(1，a )，(1，b )，(2,3)，(2，a )，(2，b )，(3，a )，(3，b )，(a ，b )共10种结果，2瓶都过保质期的结果只有1个，∴P ＝110. 答案：1107．设a ，b 随机取自集合{1,2,3}，则直线ax ＋by ＋3＝0与圆x 2＋y 2＝1有公共点的概率是________．解析：将a ，b 的取值记为(a ，b )，则有(1,1)，(1,2)，(1,3)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，共9种可能．当直线与圆有公共点时，可得3a 2＋b 2≤1，从而符合条件的有(1,3)，(2,3)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，共5种可能，故所求概率为59. 答案：598．小李在做一份调查问卷，共有5道题，其中有两种题型，一种是选择题，共3道，另一种是填空题，共2道．(1)小李从中任选2道题解答，每一次选1题(不放回)，求所选的题不是同一种题型的概率；(2)小李从中任选2道题解答，每一次选1题(有放回)，求所选的题不是同一种题型的概率．解：将3道选择题依次编号为1,2,3；2道填空题依次编号为4,5.(1)从5道题中任选2道题解答，每一次选1题(不放回)，则所有基本事件为(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(2,1)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(3,1)，(3,2)，(3,4)，(3,5)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,5)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)，共20种，而且这些基本事件发生的可能性是相等的．设事件A 为“所选的题不是同一种题型”，则事件A 包含的基本事件有(1,4)，(1,5)，(2,4)，(2,5)，(3,4)，(3,5)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，共12种，所以P (A )＝1220＝0.6.(2)从5道题中任选2道题解答，每一次选1题(有放回)，则所有基本事件为(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(3,5)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，(4,5)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)，(5,5)，共25种，而且这些基本事件发生的可能性是相等的．设事件B为“所选的题不是同一种题型”，由(1)知所选题不是同一种题型的基本事件共12种，所以P(B)＝1225＝0.48.9．(山东高考)袋中有五张卡片，其中红色卡片三张，标号分别为1,2,3；蓝色卡片两张，标号分别为1,2.(1)从以上五张卡片中任取两张，求这两张卡片颜色不同且标号之和小于4的概率；(2)向袋中再放入一张标号为0的绿色卡片，从这六张卡片中任取两张，求这两张卡片颜色不同且标号之和小于4的概率．解：(1)标号为1,2,3的三张红色卡片分别记为A，B，C，标号为1,2的两张蓝色卡片分别记为D，E，从五张卡片中任取两张的所有可能的结果为：(A，B)，(A，C)，(A，D)，(A，E)，(B，C)，(B，D)，(B，E)，(C，D)，(C，E)，(D，E)，共10种．由于每一张卡片被取到的机会均等，因此这些基本事件的出现是等可能的．从五张卡片中任取两张，这两张卡片颜色不同且它们的标号之和小于4的结果为：(A，D)，(A，E)，(B，D)，共3种．所以这两张卡片颜色不同且它们的标号之和小于4的概率为310.(2)记F为标号为0的绿色卡片，从六张卡片中任取两张的所有可能的结果为：(A，B)，(A，C)，(A，D)，(A，E)，(A，F)，(B，C)，(B，D)，(B，E)，(B，F)，(C，D)，(C，E)，(C，F)，(D，E)，(D，F)，(E，F)，共15种．由于每一张卡片被取到的机会均等，因此这些基本事件的出现是等可能的．从六张卡片中任取两张，这两张卡片颜色不同且它们的标号之和小于4的结果为：(A，D)，(A，E)，(B，D)，(A，F)，(B，F)，(C，F)，(D，F)，(E，F)，共8种．所以这两张卡片颜色不同且它们的标号之和小于4的概率为815.。
古典概率
例 题 分 析
从含有两件正品a 和一件次品b 例4 从含有两件正品 1，a2和一件次品 1的三件产品中每 次任取1 次任取1件，每次取出后不放回，连续取两次，求取出的 每次取出后不放回，连续取两次， 两件中恰好有一件次品的概率． 两件中恰好有一件次品的概率．
例5 在例4中，把“每次取出后不放回”这一条件换成 在例4 每次取出后不放回” “每次取出后放回”，其余不变，求取出的两件中恰好有 每次取出后放回” 其余不变， 一件次品的概率． 一件次品的概率．
古 典 概 率
1、古典概型 以上三个随机试验有两个共同特征： 以上三个随机试验有两个共同特征： (1)有限性：在随机试验中，其可能出现的结果有有限个； (1)有限性：在随机试验中，其可能出现的结果有有限个； 有限性 (2)等可能性：每个结果出现的机会是均等的. (2)等可能性：每个结果出现的机会是均等的. 等可能性 结果出现的机会是均等的 我们将具有这两个特点的随机试验称为古典概型. 我们将具有这两个特点的随机试验称为古典概型. 将具有这两个特点的随机试验称 2、随机试验的一切可能结果构成的集合叫做这个试验的 样本空间，常用大写字母Ω表示；称样本空间的元素为基 样本空间，常用大写字母Ω表示；称样本空间的元素为基 本事件或样本点，常用小写希腊字母ω表示． 本事件或样本点，常用小写希腊字母ω表示．
小 结 与 作 业
古 典 概 率
一、小 结：
1、古典概型 (1)有限性：在随机试验中，其可能出现的结果有有限个； (2)等可能性：每个结果出现的机会是均等的． 2、古典概率
随机事件 A包含的基本事件的个数 m P ( A) = = 基本事件的总数 n
二、作 业：
古 典 概 率
随机事件（简称事件） 样本空间的子集，常用 、 、 3、随机事件（简称事件）：样本空间的子集，常用A、B、 C 表示． 表示． 4、不可能事件：某一试验中不可能发生的事件（即空集Φ）； 不可能事件：某一试验中不可能发生的事件（即空集Φ 必然事件：某一试验中必然发生的事件（即全集）． 必然事件：某一试验中必然发生的事件（即全集）．
古典概率例题
C 1 1 P(A) = P(AB) = P(B)P(A| B) = × = C 6 10
古典概型的基本模型(I)——摸球模型 摸球模型 古典概型的基本模型 设袋中有10个相同的球 个相同的球， 例2. 设袋中有 个相同的球，依次编号为 1,2,…,10，每次从袋中任取一球，取后 ，每次从袋中任取一球， 不放回，求第 次取到 号球的概率。 次取到1号球的概率 不放回，求第5次取到 号球的概率。 方法4： 次取到1号球 方法 ： A:第5次取到 号球 第 次取到 Bi:第i次取到 号球 i=1,2,…,5 次取到1号球 = A 105
3 1 4 1 4 10
找次品问题 方法5： 方法 ： 把次品看成“黑球” 正品看成 红球” 测 正品看成“ 把次品看成“黑球”,正品看成“红球”,测 试看作“杯子” 试看作“杯子”. 10个球放到 个杯子中,每个杯子最多放 10个球放到10个杯子中,每个杯子最多放1个 个球放到10个杯子中 每个杯子最多放1个 求第5个杯子必须是黑球 且前4个杯子中 球,求第 个杯子必须是黑球 且前 个杯子中 求第 个杯子必须是黑球,且前 个黑球的概率. 有3个黑球的概率 个黑球的概率
2 X ~ B(200, ) 5
2 30 3 P(A) = P(X = 30) = C × 5 5
30 200 200−30
怎样抽签才公平 个人抽签,只有一张中奖票 例1. n个人抽签 只有一张中奖票。 个人抽签 只有一张中奖票。 Ai:第i个人抽到中奖票 i=1,2,…,n 第 个人抽到中奖票
(C C ×4!)(C ×1!)(C ×5!) = P(A) =
3 4 1 6
A
1 1 10 10
5 5
2 105
《古典概型的概率问题求解》专题精讲
《古典概型的概率问题求解》专题精讲1.求古典概型问题的常用方法等可能事件的概率问题是概率中最基础、最常见的问题,古典概型问题就是要判断样本空间中的样本点是否有限,且等可能,解题时要紧紧把握古典概型的两个特征:有限性和等可能性,然后按下列步骤计算:①算出基本事件的总个数n;②算出事件A中包含的基本事件的个数m;③算出事件A的概率,即()mP An.古典概型问题中常用“列举法”“图表法”“树状图法”来进行概率的求解,这是解决古典概型问题中的常用工具.(1)列举法将试验结果一一列举,得到所有的样本点的个数和待求概率的事件包含的样本点的个数,进而求概率.典例1有5根木棍,其长度分别为2,3,4,5,6,从这5根木棍中任取3根,首尾相接能构成三角形的概率是( )A.7 10B.3 5C.2 5D.3 10答案:A解析:本题以构造三角形为背景,利用列举法求解古典概型的概率,在计算概率的过程中需要将试验结果一一列举,得到所有的样本点的个数和待求概率的事件包含的样本点的个数,然后利用古典概型的概率计算公式求解从2,3,4,5,6这5个数中任取3个不同的数的所有情况有(2,3,4),(2,3,5),(2,3,6),(2,4,5),(2,4,6),(2,5,6),(3,4,5),(3,4,6),(3,5,6),(4,5,6),共10种.其中能构成三角形的情况有(2,3,4),(2,4,5),(2,5,6),(3,4,5),(3,4,6),(3,5,6),(4,5,6),共7种.所以能构成三角形的概率为7 10.(2)图表法用图表的形式把某试验中所有样本点都呈现出来,并从图表中找出所求事件包含的样本点,从而利用古典概型的概率计算公式求解.典例2汉字是世界上最古老的文字之一,字形结构体现着人类追求均衡对称、和谐稳定的天性.如图所示的三个汉字可以看成轴对称图形小敏和小慧利用“土”“口”“木”三个汉字设计了一个游戏,规则如下:将这三个汉字分别写在背面都相同的三张卡片上,背面朝上,洗匀后抽出一张,放回洗匀后再抽出一张,若两次抽出的汉字能构成上下结构的汉字(如“土”“土”构成“圭”),则小敏获胜,否则小慧获胜.你认为这个游戏对谁有利？说明理由.解析:每次游戏时,所有可能出现的结果如下表所示:共有9种结果,且每种结果出现的可能性相同.其中,能组成上下结构的汉字的结果有4种:(土,土)“圭”,(口,口)“吕”,(木,口)“杏”或“呆”,(ロ,木)“呆”或“杏”.所以小敏获胜的概率为49,小蔧获胜的概率为59,所以这个游戏对小慧有利.思路:本题以数学文化为背景,通过游戏的公平性,利用图表法来求解古典概型的概率,在概率的计算过程中,需要用图表的形式把某试验中所有样本点都呈现出来,图表法通常把对问题的思考分析归纳为“有序实数对”,以便更直接地找出基本事件数.(3)树状图法利用树状图将基本事件之间的关系列出来,适用于需要分步完成的试验结果.树状图在解决求样本点总数和事件A包含的样本点数的问题时直观、方便,但画树状图时要注意按照一定的顺序确定分枝,避免造成遗漏或重复.典例3从标有数字1,2,3,4的4张卡片中任意抽取2张,则所抽取的2张卡片上的数字之积为奇数的概率是( )A.1 8B.1 6C.1 4D.1 2答案:B解析:本题通过树状图法来求解古典概型的概率,画树状图时,要注意按照一定的顺序确定分枝,避免造成遗漏或重复,然后在按照古典概型计算概率的求解步骤进行计算.设“所抽取的2张卡片上的数字之积为奇数”为事件A,可以利用树状图表示2张卡片上的数字之积,如图,由图可知,有4大类,每大类中有3种可能结果,共有4⨯312=(种)结果,其中抽取的2张卡片上的数字之积为奇数的结果有2种,所以21 ()126 P A==.2.有关抽取问题的概率古典概型的抽取问题有三种题型:依次不放回抽取、依次放回抽取与同时抽取.(1)对于不放回抽取,每次抽取时,总体数目比上一次抽取时要少,因此在第n 次抽取与第1n+次的抽取时,物品被抽中的概率可能会发生改变.(2)对于有放回抽取,总体数量没有改变,因此每次抽取同一种物品的概率相等.有放回抽取和无放回抽取的区别在于,同一件物品“有放回抽取”可能被抽到两次,而“无放回抽取”最多被抽到一次.这正是“有放回抽取”的样本空间包含的样本点数量比“无放回抽取”对应的样本空间包含的样本点数量多的原因.(3)同时抽取的实质是把不同性质的两(多)组元素混合在一起抽取,没有先后顺序,只考虑配对,厅以对应样本空间与所求事件包含的样本点数量都比“依次不放回抽取”对应的样本点数量少.典例4 一个袋子中装有四个形状和大小完全相同的球,球的编号分别为1,2,3,4.(1)从袋中随机取两个球,求取出的球的编号之和不大于4的概率;(2)先从袋中随机取一个球,记该球的编号为m ,将球放回袋中,再从袋中随机取一个球,记该球的编号为n ,求n ≥2m +的概率.解析:(1)从袋中随机取两个球,其样本点有(1,2),(1,3),(1,4),(2,3),(2,4),(3,4),共6个.从袋中取出的两个球的编号之和不大于4的样本点有(1,2),(1,3),共2个.因此所求事件的概率为2163=. (2)先从袋中随机取一个球,记其编号为m ,放回后,再从袋中随机取一个球,记其编号为n ,其一切可能的结果(m ,)n 组成的样本点有(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4),共16个.其中满足条件2n m ≥+的样本点有(1,3),(1,4),(2,4),共3个,所以2n m ≥+的概率为316. 思路:本题通过摸球的模型,考查了古典概型中的不放回和有放回抽取问题,在解决此类题需要注意,不放回抽取,物品被抽中的概率可能会发生改变,有放回抽取,总体数量没有改变,因此每次抽取同一种物品的概率相等.典例5 有红心1,2,3,4和黑桃5五张扑克牌,现从中随机抽取两张,则抽到的牌均为红心的概率是( )答案:35解析:本题考查了古典概型中的同时抽取问题,解决此类题要注意,元素没有先后顺序,只考虑配对.从五张扑克牌中随机抽取两张,有(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(2,3),(2,4),(2,5),(3,4),(3,5),(4,5),共10个样本点,抽到的2张均为红心的有(1,2),(1,3),(1,4),(2,3),(2,4),(3,4),共6个样本点,所以所求的概率为63105=.。
古典概型计算问题
古典概型计算问题一、主要知识点1.等可能事件的概率公式：P （A ）＝mn ；2.互斥事件至少有一个发生的概率公式：P(A+B)=P(A)+P(B)；3.相互独立事件同时发生的概率公式为P(AB)＝P(A)P(B)；4.n 次独立重复试验事件A 恰有k 次发生的概率公式)(k P n =;)1(kn k k n p p C --⋅ 5.如果事件A 、B 互斥，那么事件A 与B 、A 与B 及事件A 与B 也都是互斥事件；6.如果事件A 、B 相互独立，那么事件A 、B 至少有一个不发生的概率是1－P （AB ）＝1－P(A)P(B)；7.如果事件A 、B 相互独立，那么事件A 、B 至少有一个发生的概率是1－P （A ∙B ）＝1－P(A )P(B )； 二、典型例题例1.为做好食品安全工作，上级质检部门决定对甲、乙两地的出口食品加工企业进行一次抽检.已知甲地有蔬菜加工企业2家，水产品加工企业3家；乙地有蔬菜加工企业3家，水产品加工企业4家，现从甲、乙两地各任意抽取2家企业进行检查.①求抽出的4家企业中恰有一家为蔬菜加工企业的概率；②求抽出的水产品加工企业的家数不少于蔬菜加工企业家数的概率.解：①1102021123342334222257571215C C C C C C C C P C C C C ⋅⋅=+= ②11022222233424331225787210C C C C C C C C P C C ++== ，11020311233423342225772210C C C C C C C C P C C +==， 22343225718210C C P C C == ，1235970P P P P =++= 例2.某项考试按科目A 、科目B 依次进行，只有当科目A 成绩合格时，才可继续参加科目B 的考试。
已知每个科目只允许有一次补考机会，两个科目成绩均合格方可获得证书。
现某人参加这项考试，科目A 每次考试成绩合格的概率均为23，科目B 每次考试成绩合格的概率均为12。
随机事件的概率与古典概型
随机事件的概率与古典概型1．随机事件的频率与概率(1)(2015北京，13分)某超市随机选取1000位顾客，记录了他们购买甲、乙、丙、丁四.(Ⅰ) (Ⅱ)估计顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买3种商品的概率；(Ⅲ)如果顾客购买了甲，则该顾客同时购买乙、丙、丁中哪种商品的可能性最大？ 答案：(Ⅰ)0.2 (Ⅱ)0.3 (Ⅲ)如果顾客购买了甲，则该顾客同时购买丙的可能性最大 解：(Ⅰ)从统计表可以看出，在这1000位顾客中有200位顾客同时购买了乙和丙，(1分) 利用频率估计概率，可知顾客同时购买乙和丙的概率可以估计为2001000＝0.2.(3分)(Ⅱ)从统计表可以看出，在这1000位顾客中有100位顾客同时购买了甲、丙、丁，另有200位顾客同时购买了甲、乙、丙，其他顾客最多购买了2种商品．(5分)利用频率估计概率，可知顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买3种商品的概率可以估计为100＋2001000＝0.3.(6分) (Ⅲ)由统计表及频率估计概率可知：顾客同时购买甲和乙的概率可以估计为2001000＝0.2，顾客同时购买甲和丙的概率可以估计为100＋200＋3001000＝0.6，顾客同时购买甲和丁的概率可以估计为1001000＝0.1.(12分)因为0.6＞0.2＞0.1，所以，如果顾客购买了甲，则该顾客同时购买丙的可能性最大．(13分)2．互斥事件和对立事件a ．互斥事件、对立事件的判定(2)(2019汇编，5分)下列事件中，________是互斥事件，________是对立事件．(填序号)①从装有2个红球和2个黑球的口袋内任取两个球，事件“至少有1个黑球”与“至少有1个红球”；②一个人在打靶中连续射击两次，事件“至少有一次中靶”与事件“两次都中靶”； ③抛掷一枚骰子，事件“落地时向上的点数是奇数”与事件“落地时向上的点数是2的倍数”；④某城市有甲、乙、丙三种报纸，事件“至少订一种报纸”与事件“不订甲报”； ⑤现有5名学生，3名男生2名女生，从中任意抽取2人去参加比赛，事件“恰有1名男生”与事件“恰有2名男生”．答案：③⑤ ③解析：①事件“至少有1个黑球”的可能性有两种：1个黑球1个红球或2个黑球；事件“至少有1个红球”的可能性也有两种：1个红球1个黑球或2个红球，两个事件可能同时发生，所以不是互斥事件．②事件“至少有一次中靶”的可能性有两种：中一次靶或中两次靶，这与事件“两次都中靶”可能同时出现，所以不是互斥事件．③事件“落地时向上的点数是奇数”的结果可能为1，3，5，事件“落地时向上的点数是2的倍数”的结果可能为2，4，6，两个事件不可能同时发生，所以为互斥事件；又落地时向上的点数只可能是1，2，3，4，5，6，所以两个事件也是对立事件．④事件“至少订一种报纸”的结果可能为：订甲，订乙，订丙，订甲、乙，订甲、丙，订乙、丙，订甲、乙、丙，而事件“不订甲报” 的结果可能为：订乙，订丙，订乙、丙，两个事件可能同时发生，所以不是互斥事件．⑤事件“恰有1名男生”的结果只有一种：1名男生1名女生，事件“恰有2名男生”的结果只能是2名男生，两个事件不可能一起发生，所以为互斥事件；但是抽取2名学生参赛的可能结果有1名男生1名女生、2名男生、2名女生这三种，所以两个事件不是对立事件．b ．互斥事件与对立事件的概率(3)(经典题，12分)射手小张在一次射击中，射中10环、9环、8环、7环、7环以下的概率分别是0.24，0.28，0.19，0.16，0.13，计算这个射手在一次射击中：(Ⅰ)射中10环或9环的概率； (Ⅱ)至少射中7环的概率． 答案：(Ⅰ)0.52 (Ⅱ)0.87解：(Ⅰ)∵射手小张在一次射击中，射中10环、9环的概率分别是0.24，0.28，且它们为互斥事件，(2分)∴这个射手在一次射击中射中10环或9环的概率P ＝0.24＋0.28＝0.52.(5分)(Ⅱ)(法一)事件“至少射中7环”包括基本事件“射中7环”“射中8环”“射中9环”“射中10环”．(6分)∵射手小张在一次射击中，射中10环、9环、8环、7环的概率分别是0.24，0.28，0.19，0.16，且它们彼此互斥，(8分)∴由互斥事件的概率加法公式可得，这个射手在一次射击中至少射中7环的概率 P ＝0.24＋0.28＋0.19＋0.16＝0.87.(12分)(法二)事件“至少射中7环”的对立事件为“射中7环以下”．(7分) ∵射手小张在一次射击中，射中7环以下的概率是0.13，∴由对立事件的概率公式可得，这个射手在一次射击中至少射中7环的概率P ＝1－0.13＝0.87.(12分)3．求简单古典概型的概率(4)(2017全国Ⅱ，5分)从分别写有1，2，3，4，5的5张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张，则抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率为( )A.110B.15C.310D.25 答案：D由上表可知，基本事件总数是25，其中第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数包含的基本事件个数为4＋3＋2＋1＝10，则由古典概型的概率计算公式可得，第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率为P ＝1025＝25，所以选D.(5)(2016全国Ⅰ，5分)为美化环境，从红、黄、白、紫4种颜色的花中任选2种花种在一个花坛中，余下的2种花种在另一个花坛中，则红色和紫色的花不在同一花坛的概率是( )A.13B.12C.23D.56答案：C解析：(法一)种花时可能产生的结果分别为：(红黄，白紫)，(红白，黄紫)，(红紫，黄白)，(黄白，红紫)，(黄紫，红白)，(白紫，红黄)，共6种等可能的结果，即基本事件总数为6，其中红色和紫色的花不在同一个花坛的基本事件个数为4，故所求概率为P ＝46＝23.故选C.(法二)和红色花种在同一个花坛里的花有3种情况：紫色花、白色花、黄色花，三者是等可能的，其中红色与紫色的花不种在同一个花坛里有2种情况，故所求概率为23.故选C.(6)(2018江苏，5分)某兴趣小组有2名男生和3名女生，现从中任选2名学生去参加活动，则恰好选中2名女生的概率为________．答案：310解析：将2名男生编号为1，2，3名女生编号为3，4，5.选出2名学生参加活动，有 (1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(2，3)，(2，4)，(2，5)，(3，4)，(3，5)，(4，5)，共10个等可能基本事件．记事件“恰好选中2名女生”为事件A ，则事件A 包含(3，4)，(3，5)，(4，5)3个等可能基本事件，所以P (A )＝310.4．古典概型与其他知识点结合(7)(经典题，12分)为了了解甲、乙两名同学的数学学习情况，对他们的7次数学测试成绩(满分100分)进行统计，作出如图43－8所示的茎叶图，其中x ，y 处的数字模糊不清．已知甲同学成绩的中位数是83分，乙同学成绩的平均数是86分．图43－8(Ⅰ)求x 和y 的值；(Ⅱ)现从成绩在[90，100]之间的试卷中随机抽取两份进行分析，求恰抽到一份甲同学试卷的概率．答案：(Ⅰ)x ＝3，y ＝1 (Ⅱ)35∵乙同学成绩的平均数是86分，∴17(78＋83＋83＋80＋y ＋90＋91＋96)＝86，∴y ＝1.(5分)(Ⅱ)甲同学成绩在[90，100]之间的试卷有两份，分别记为a 1，a 2；乙同学成绩在 [90，100]之间的试卷有三份，分别记为b 1，b 2，b 3.(6分)“从这五份试卷中随机抽取两份试卷”的所有可能结果为(a 1，a 2)，(a 1，b 1)，(a 1，b 2)，(a 1，b 3)，(a 2，b 1)，(a 2，b 2)，(a 2，b 3)，(b 1，b 2)，(b 1，b 3)，(b 2，b 3)，共有10种等可能的情况．(8分)记“从成绩在[90，100]之间的试卷中随机抽取两份，恰抽到一份甲同学试卷”为事件M ，则事件M 包含的基本事件为(a 1，b 1)，(a 1，b 2)，(a 1，b 3)，(a 2，b 1)，(a 2，b 2)，(a 2，b 3)，共有6种情况，则P (M )＝610＝35.(12分)(8)(2018北京昌平二模，13分)为评估大气污染防治效果，调查区域空气质量状况，某调研机构从A ，B 两地区分别随机抽取了20天的观测数据，得到A ，B 两地区的空气质量指数(AQI)，绘制出如图43－9所示的频率分布直方图：图43－9根据空气质量指数，将空气质量状况分为以下三个等级：(留整数)(Ⅱ) 若分别在A ，B 两地区上述20天中，且空气质量指数均不小于150的日子里随机各抽取一天，求抽到的日子里空气质量等级均为“重度污染”的概率．答案：(Ⅰ)274 (Ⅱ)320解：(Ⅰ)从A 地区选出的20天中，空气质量状况“优良”的频率为 (0.008＋0.007)×50＝0.75，估计A 地区当年(365天)的空气质量状况“优良”的频率为0.75，所以A 地区当年(365天)的空气质量状况“优良”的天数约为365×0.75≈274(天)．(4分)(Ⅱ)A 地20天中空气质量指数在[150，200)内的有20×0.003×50＝3天，设为a 1，a 2，a 3；空气质量指数在[200，250)内的有20×0.001×50＝1天，设为a 4. B 地20天中空气质量指数在[150，200)内的有20×0.002×50＝2天，设为b 1，b 2；空气质量指数在[200，250)内的有20×0.003×50＝3天，设为b 3，b 4，b 5.(8分)设“抽到的日子里空气质量等级均为重度污染”为事件C . 满足条件的所有可能的结果为a 1b 1，a 1b 2，a 1b 3，a 1b 4，a 1b 5，a 2b 1，a 2b 2，a 2b 3，a 2b 4，a 2b 5，a 3b 1，a 3b 2，a 3b 3，a 3b 4，a 3b 5，a 4b 1，a 4b 2，a 4b 3，a 4b 4，a 4b 5，共20种， C 包含的基本事件有a 4b 3，a 4b 4，a 4b 5，共3种，所以抽到的日子里空气质量等级均为重度污染的概率为P (C )＝320.(13分)(9)(经典题，5分)将一颗骰子先后投掷两次分别得到点数a ，b ，则直线ax ＋by ＝0与圆(x －2)2＋y 2＝2有公共点的概率为________．答案：712≤2，整理得a 2≤b 2. 依题意，将一颗骰子先后投掷两次得到的点数所形成的数组(a ，b )有6×6＝36(种)结果．满足a 2≤b 2的数组：当a ＝1时，b ＝1，2，3，4，5，6，共6种结果； 当a ＝2时，b ＝2，3，4，5，6，共5种结果； 当a ＝3时，b ＝3，4，5，6，共4种结果； 当a ＝4时，b ＝4，5，6，共3种结果； 当a ＝5时，b ＝5，6，共2种结果； 当a ＝6时，b ＝6，共1种结果．∴满足a 2≤b 2的数组共有6＋5＋4＋3＋2＋1＝21(种)结果，因此所求的概率P ＝2136＝712.随堂普查练431．(经典题，5分)连掷一枚均匀的骰子两次，所得向上的点数分别为a ，b ，记m ＝a ＋b ，则( )A ．事件“m ＝2”的概率为118B ．事件“m >11”的概率为118C ．事件“m ＝2”与“m ≠3”互为对立事件D ．事件“m 是奇数”与“a ＝b ”互为互斥事件 答案：D解析：将一枚骰子先后投掷两次得到的点数所形成的数组(a ，b )有(1，1)，(1，2)， (1，3)，…，(6，6)，共36种情况．事件“m ＝2”只有1种情况，为(1，1)，所以所求概率为136，A 错误；事件“m ＞11”只有1种情况，为(6，6)，所以所求概率为136，B 错误；事件“m ＝2”与“m ≠3”可以同时发生，C 错误；若a ＝b ，则m ＝2a ，∴m 是偶数，则事件“m 是奇数”与“a ＝b ”互为互斥事件，D 正确．故选D.2．(2016天津，5分)甲、乙两人下棋，两人下成和棋的概率是12，甲获胜的概率是13，则甲不输的概率为( )A.56B.25 C.16 D.13答案：A解析：∵互斥事件“甲、乙两人下成和棋”和“甲获胜”的和事件是“甲不输”，∴根据互斥事件的概率加法公式可知甲不输的概率P ＝12＋13＝56.故选A.3．(经典题，5分)某学校五一放假4天，学校要求每天必须有1名校长值班，该校有正校长1名，副校长2名，正校长主动要求值班2天，若随机为他们排班，则正校长不连续值班的概率为( )A.14B.13C.12D.34答案：C解析：设正校长为a ，两名副校长分别为b ，c . (列举法)对两个a 及b ，c 进行排列，结果有aabc ，aacb ，abac ，abca ，acab ，acba ，baac ，baca ，bcaa ，caba ，caab ，cbaa ，共12种，其中两个a 不相邻的结果有abac ，abca ，acab ，acba ，baca ，caba ，共6种，∴正校长不连续值班的概率为P ＝612＝12.(树形图法)对两个a 及b ，c 进行排列，所有的可能结果用树形图表示如下：即所有可能的结果共12种，其中两个a 不相邻的结果有6种，如图：∴正校长不连续值班的概率为P ＝612＝12.(Ⅱ)这个射手射击一次，击中靶心的概率约是多少？答案：(Ⅰ)从左到右依次填0.8，0.95，0.88，0.9，0.89，0.91，0.906 (Ⅱ)0.9 解：(Ⅰ)表中击中靶心的频率依次是：810＝0.8，1920＝0.95，4450＝0.88, 90100＝0.9，178200＝0.89，455500＝0.91，9061000＝0.906.(7分) (Ⅱ)由(Ⅰ)知，射击的次数不同，计算得到的频率值也不同，但随着射击次数的增多，频率值都在常数0.9附近摆动，所以击中靶心的概率约为0.9.(12分)5．(经典题，12分)甲、乙两人玩一种游戏，每次由甲、乙各出1到5根手指，若和为偶数算甲赢，否则算乙赢．(Ⅰ)若以A 表示和为6的事件，求P (A )； (Ⅱ)这种游戏规则公平吗？说明理由．答案：(Ⅰ)15 (Ⅱ)游戏规则不公平，理由见解答过程解：(Ⅰ)甲、乙两人出手指数的所有情况如下表所示：(4分)由上表可知，所有可能的结果有25种，事件A 包括(5，1)，(4，2)，(3，3)，(2，4)，(1，5)，共5种，所以P (A )＝525＝15.(6分) (Ⅱ)游戏规则不公平．(7分)理由如下：由(Ⅰ)可知，所有可能的结果有25种，事件“和为偶数”包括(1，1)，(3，1)，(5，1)，(2，2)，(4，2)，(1，3)，(3，3)，(5，3)，(2，4)，(4，4)，(1，5)，(3，5)，(5，5)，共13种，事件“和为奇数”共25－13＝12(种)，∴事件“和为偶数”的概率是1325，两人的手指数之和不是奇数就是偶数.事件“和为奇数”的概率是1225.∴甲赢的概率是1325，乙赢的概率是1225.(10分)∵1325>1225，∴甲赢的概率大．因此，游戏规则不公平．(12分) 6．(2015天津，12分)设甲、乙、丙三个乒乓球协会的运动员人数分别为27，9，18，现采用分层抽样的方法从这三个协会中抽取6名运动员组队参加比赛．(Ⅰ)求应从这三个协会中分别抽取的运动员的人数；(Ⅱ)将抽取的6名运动员进行编号，编号分别为A 1，A 2，A 3，A 4，A 5，A 6，现从这6名运动员中随机抽取2人参加双打比赛．设A 为事件“编号为A 5和A 6的两名运动员中至少有1人被抽到”，求事件A 发生的概率．答案：(Ⅰ)3，1，2 (Ⅱ)35解：(Ⅰ)由题意可得抽样比为627＋9＋18＝19，(2分)∴27×19＝3，9×19＝1，18×19＝2，∴应从甲、乙、丙三个协会中分别抽取的运动员的人数为3，1，2.(4分)(Ⅱ)从6名运动员中随机抽取2名的所有结果为：(A 1，A 2)，(A 1，A 3)，(A 1，A 4)， (A 1，A 5)，(A 1，A 6)，(A 2，A 3)，(A 2，A 4)，(A 2，A 5)，(A 2，A 6)，(A 3，A 4)，(A 3，A 5)， (A 3，A 6)，(A 4，A 5)，(A 4，A 6)，(A 5，A 6)，共15个；(7分)事件A 包含(A 1，A 5)，(A 1，A 6)，(A 2，A 5)，(A 2，A 6)，(A 3，A 5)，(A 3，A 6)，(A 4，A 5)， (A 4，A 6)，(A 5，A 6)，共9个基本事件，(10分)∴事件A 发生的概率P (A )＝915＝35.(12分)。
古典概型解题技巧
古典概型解题技巧摘要概率论是数学学科中从数量的侧面来研究部分随机现象的规律性方面，其理论和方法渗透到了自然科学的各个领域，而古典概型是古典概率论的主要研究内容之一，也是概率论的研究中的一个经典的研究概型。
古典概型的主要研究对象是等可能事件，深入研究古典概型有助于我们更好地理解概率论中一些基本的概念，掌握概率论中的基本规律，有助于我们提高分析问题和解决问题的能力。
本文主要研究古典概型中的摸球问题，分球入盒问题，随机取数问题等几种模型，分析其解题思路，总结解题技巧以及思考其应用范围。
关键词：古典概型；分球入盒；摸球问题TitleAbstractKeywords：1 古典概型简介随机现象，是现实生活中非常常见，非常普遍的一种现象。
事件的发生或者是其走向，都是由随机决定的。
而这些随机性的事件都可以用概率模型来进行一定的分析，以求得相对准确的期望值。
随机性虽然容易给人们生活带来一定的烦恼，但同时也是最公平的象征。
在模拟计算，统计运筹中都有运用概率论的思想以及方法，所以，概率论有着明显的现实意义以及数学应用范畴。
在概率论的发展过程中，数学家们根据不同的问题，从各个不同的角度，给与了概率不同的定义和计算的方法。
但是这些定义或者计算的方法往往针对的是非常具体类型的事件和情况，所以多数都有一定的缺点，常常只是经验公式。
而经过长期的发展，概率论先后给出了古典概率，几何概率，统计概率，最后才给出了概率的数学定义。
在所有的随机事件中，有一类随机事件有两个明显的特点：第一，只有有限个可能的结果；第二，每个结果发生的可能性相同。
这类随机事件是概率论初期的研究对象，我们也把这类事件叫做古典概型。
2 古典概型的计算我们可以根据古典概型的等可能性和有限性的特点，得出模型下的概率。
古典概型的概率计算过程可以分解为三个步骤：第一，确定所研究的对象为古典概型；第二，计算样本点数；第三，利用公式计算概率。
如果本次随机事件只有有限个可能的结果，并且每一个可能的结果出现的可能性相同，则可以确定该事件为古典概型问题。
高中数学古典概型-典型例题
古典概型-典型例题规律发现【例1】口袋里装有100个球，其中有1个白球和99个黑球，这些球除颜色外完全相同.100个人依次从中摸出一球，求第81个人摸到白球的概率.分析：只考虑第81个人摸球的情况.此法不难理解，因为每个人摸到白球的概率都相等，有100个球，而白球只有1个.解：只考虑第81个人摸球的情况.他可能摸到100个球中的任何一个，这100个球出现的可能性相同，且第81个人摸到白球的可能结果只有1种，因此第81个人摸到白球的概率为1001. 【例2】100个人依次抓阄决定1件奖品的归属，求最后一个人中奖的概率.分析：这是日常生活中常见的问题，中奖与否与先抓后抓没有关系，每个人中奖与不中奖的概率都相同.解：只考虑最后一个人抓阄的情况，他可能抓到100个阄中的任何一个，而他摸到有奖的阄的结果只有一种，因此，最后一个人中奖的概率为1001. 【例3】从含有两件正品a 、b 和一件次品c 的3件产品中每次任取一件，连续取两次，求取出的两件产品中恰有一件是次品的概率.（1）每次取出不放回； （2）每次取出后放回.分析：问题的关键在于一种是不放回试验，一种是放回试验.不放回试验，取一件少一件；而放回试验，取一件后，再取一件时情况不变.通过列出所有基本事件解答比较直观易懂.（1）解法一：每次取出后不放回的所有可能结果有（a ，b ），（a ，c ），（b ，a ），（b ，c ），（c ，a ），（c ，b ），其中小括号内左边字母表示第一次取出的产品，右边字母表示第二次取出的产品，共有6个基本事件.其中有一件次品的事件有（a ，c ），（b ，c ），（c ，a ），（c ，b ），共4个基本事件.因此，每次取出后不放回，取出的两件产品中恰有一件次品的概率为3264 . 解法二：取出的两件产品中有一件次品，至于是第一次取出，还是第二次取出可不必考虑，则所有可能结果有（a ，b ），（a ，c ），（b ，c ），共3个基本事件；而恰有一件次品的基本事件有（a ，c ），（b ，c ），共2个.因此结果与解法一相同.（2）解：这是放回试验，第一次被取出的产品，第二次也可能被取出，由于最后关心的是两件产品中有一件次品，因此必须考虑顺序，则所有可能结果有（a ，a ），（a ，b ），（a ，c ），（b ，a ），（b ，b ），（b ，c ），（c ，a ），（c ，b ），（c ，c ），共9个基本事件，其中恰有一件次品的基本事件有（a ，c ），（b ，c ），（c ，a ），（c ，b ），共4若用前3种解法相当烦琐，而用解法4的方法问题则迎刃而解，且比较直观.这是古典概型，每个人中奖的概率相同，与第几个开始抓没有关系.建立概率模型，写出所有的基本事件，再写出某事件所含有的基本事件，问题就比较容易解答.每次摸出一球是有顺序的，（a ，b ）与（b ，a ）不同.可不考虑顺序，即（a ，b ）与（b ，a ）可认为相同.结果（a ，a ）在第（1）题不可能出现，由于是放回试验，在第（2）题中就有了可能.个基本事件.因此每次取出后放回，取出的两件产品中恰有一件次品的概率为94. 互斥事件规律发现【例1】从一箱产品中随机地抽取一件产品，设事件A =“抽到的一等品”，事件B =“抽到的二等品”，事件C ＝“抽到的三等品”，且已知P （A ）=0.7，P （B ）=0.1，P （C ）=0.05.求下列事件的概率. （1）事件D =“抽到的是一等品或二等品”； （2）事件E =“抽到的是二等品或三等品”. 分析：事件A 、B 、C 彼此互斥，且D =A +C ，E =B +C .解：（1）∵D =A +C ，且事件A 和C 互斥，P （A ）=0.7，P （C ）=0.05， ∴P （D ）=P （A +C ）=P （A ）+P （C ）=0.7+0.05=0.75. （2）∵事件E =B +C ，且事件B 和C 互斥，P （B ）=0.1，P （C ）=0.05，∴P （E ）=P （B +C ）=P （B ）+P （C ）=0.1+0.05=0.15. 【例2】某学校成立数学、英语、音乐3个课外兴趣小组，3个小组分别有39、32、33个成员，一些成员参加了不止1个小组，具体情况如右图所示.随机选取1个成员：（1）他至少参加2个小组的概率为多少? （2）他只参加1个小组的概率是多少?分析：至少参加2个小组是指参加2个小组或3个小组，其反面是只参加1个小组.解：设事件A =“只参加英语小组”，B =“只参加音乐小组”，C =“只参加数学小组”，D =“只参加英语、音乐小组”，E =“只参加英语、数学小组”，F =“只参加音乐、数学小组”，G =“参加了英语、音乐、数学3个小组”.（1）设事件M =“他至少参加2个小组”，则M =D +E +F +G . ∵3个小组共有60人，且P （D ）=607，P （E ）=6011，P （F ）=6010，P （G ）=608， ∴P （M ）=P （D +E +F +G ）=P （D ）+P （E ）+P （F ）+P （G ）=6.0603660860106011607==+++. （2）设事件N =“他参加不超过2个小组”，则N =“他参加3个小组”=G .∴P （N ）=1－P （N ）=1－P （G ）=1－1513608=. 【例3】小明的自行车用的是密码锁，密码锁的四位数码由4个数字2、4、6、8按一定顺序构成.小明不小心忘记了密码中4个数字的顺序，试问：随机地输入由2、4、6、8组成的一个四位数，不能打开锁的概率是多少?分析：密码只有1个，由2、4、6、8能组成多少个不同的四位利用互斥事件有一个发生的概率计算公式，首先确定是否是互斥事件.英语 音乐数学6881010117首先确定某个事件由哪些互斥事件组成，或确定它的对立事件，然后求出各事件的概率.把整个事件彻底分解，所求事件中有几个互斥事件则一目了然.也可用M 的对立事件M 求，即P （M ）=1－P （M ）.用对立事件求比较简单.“打开锁”与“打不开锁”是对立事件，因此可用“打开锁”的概率表示“打不开锁”的概率.也可直接求P （A ）=2423.数呢?用树状图分析知有4×3×2=24（个）.解：设事件A =“由2、4、6、8组成的四位数不是开锁密码”，而由2、4、6、8组成的所有四位数有4×3×2=24个，且P （A ）=241. ∴P （A ）=1－P （A ）=1－241=2423，即小明随机地输入由2、4、6、8组成的一个四位数，不能打开锁的概率为2423.【例4】班级联欢时，主持人拟出了如下一些节目：跳双人舞、独唱、朗诵等.指定3个男生和2个女生来参与，把5个人分别编号为1、2、3、4、5，其中1、2、3号是男生，4、5号是女生.将每个人的编号分别写在5张相同的卡片上，并放入一个箱子中充分混合，每次从中随机地取出一张卡片，取出谁的编号谁就参与表演节目.（1）为了取出2人来表演双人舞，连续抽取2张卡片，求取出的2人不全是男生的概率；（2）为了取出2人分别表演独唱和朗诵，抽取并观察第一张卡片后，又放回箱子中，充分混合后再从中抽取第二张卡片，求：①独唱和朗诵是由同一个人表演的概率；②取出的2人不全是男生的概率.分析：为了得到从5张卡片中连续抽取2张的所有结果，利用树状图列出，所有情况直观显现，有助于下面问题的解决.在第（2）题中也可用树状图表示，由于它是放回抽取，也可用有序数组的方式一一列举出.解：（1）首先利用树状图列举所有可能结果如下：1112222333344455555,,,,. 由图可看出所有可能结果数为20.每个结果出现的可能性相同，属古典概型.方法一：设A 1=“2人中恰有1人是女生”，A 2=“2人都是女生”，A =“2人不全是男生”，则A =A 1+A 2.由树状图易知P （A 1）=2012，P （A 2）=202，且A 1与A 2是互斥事件， ∴P （A ）=P （A 1+A 2）=P （A 1）+P （A 2）=2012+202=107=0.7，即连续抽取2张卡片，取出的2人不全是男生的概率为0.7.方法二：设事件A =“2人不全是男生”，则A =“2人全是男生”，且P （A ）=206=0.3. ∴P （A ）=1－P （A ）=1－0.3=0.7，即连续抽取2张卡片，取出的2个不全是男生的概率为0.7.方法三：不考虑抽取的顺序，即（a ，b ）与（b ，a ）相同，则要认真阅读题目内容，明确题目的条件和要求，这是解题的关键第一步. 有多少种不同抽法，可用树状图表示.利用树状图进行列举是常用的方法.也可用有序数组列举：（1，2），（1，3），（1，4），（1，5），（2，1），（2，3），（2，4），（2，5），（3，1），（3，2），（3，4），（3，5），（4，1），（4，2），（4，3），（4，5），（5，1），（5，2），（5，3），（5，4），共20个.通过A 的对立事件A 求P （A ）.最后考虑的是结果，可不考虑顺序.所有可能结果有（1，2），（1，3），（1，4），（1，5），（2，3），（2，4），（2，5），（3，4），（3，5），（4，5），共10种.易知这也属于古典概型.设事件A =“2人不全是男生”，则A =“2人全是男生”，且P （A ）=103=0.3. ∴P （A ）=1－P （A ）=1－0.3=0.7，即连续抽取2张卡片，取出的2人不全是男生的概率为0.7.（2）利用有序数组的方式列出所有结果为（1，1），（1，2），（1，3），（1，4），（1，5），（2，1），（2，2），（2，3），（2，4），（2，5），（3，1），（3，2），（3，3），（3，4），（3，5），（4，1）， （4，2），（4，3），（4，4），（4，5），（5，1），（5，2），（5，3），（5，4），（5，5），共25种.①设事件A =“独唱和朗诵由同一个人表演”，则P （A ）=255=0.2，即独唱和朗诵由同一个人表演的概率为0.2.②设事件A =“有放回抽取，取出的两人不全是男生”，则A =“有放回抽取，取出的两人全是男生”，且P （A ）=259， ∴P （A ）=1－P （A ）=1－259=0.64，即有放回地抽取2张卡片，取出的2人不全是男生的概率为0.64.【例5】10件产品中有两件次品，任取两件检验，求下列事件的概率（不放回抽取）.（1）至少有1件是次品； （2）最多有1件是次品.分析：可用树状图列出所有结果，从正面回答，不如从反面解决快捷.解：由树状图可知，共有90种可能结果.（1）设事件A =“至少有1件是次品”，则A =“没有次品”，且P （A ）=9056. ∴P （A ）=1－P （A ）=1－45179056=，即至少有1件是次品的概率为4517. （2）设事件A =“最多有1件是次品”，则A ＝“2件都是次品”，且P （A ）=902. ∴P （A ）=1－P （A ）=1－4544902=，即最多有1件是次品的概率为4544. 这是放回抽取，也可用树状图，如112345也可从正面直接解答,A 中含有两个互斥事件：“2人是一名男生和一名女生”和“2人都是女生”.列树状图要列10组,每组中有9个结果,共90个结果,通过想象可解决问题.也可从不考虑顺序的角度求解.。
高中数学例题：古典概型问题的概率计算
高中数学例题：古典概型问题的概率计算例1．将一枚骰子先后抛掷两次．（1）一共有多少种不同的结果？（2）其中“向上的点数之和是7”的结果有多少种？（3）向上的点数之和是7的概率是多少？【思路点拨】把“一枚骰子先后抛掷两次”的基本事件总数一一列出。
【答案】（1）36（2）6（3）16【解析】（1）先将骰子抛掷一次．它落地时，向上的点数有1，2，3，4，5，6这6种结果，每种结果又对应着第二次抛掷时的6种可能情况．因此一共有6×6=36（种）不同的结果．（2）在（1）的所有结果中“向上的点数之和为7”的结果有（1，6），（2，5），（3，4），（4，3），（5，2），（6，1）共六种，其中括号内的前后2个数分别为第一、第二次抛掷后向上的点数，如下图所示，其中坐标平面内的数表示相应两次抛掷后向上的点数的和．（3）所有36种结果是等可能出现的，其中“向上的点数之和是7”的结果（记为事件A）有6种，因此所求概率61P A==。
()366举一反三：【变式1】 用红、黄、蓝三种不同颜色给3个矩形随机涂色，每个矩形只涂一种颜色，求：3个矩形颜色都不同的概率．【解析】 所有可能的基本事件共有27个，如下图．设“3个矩形颜色都不同”为事件B ，由图可知，事件B 的基本事件有2×3=6（个），故62()279P B ==． 【变式2】 将一枚硬币连掷3次，求至少出现1次正面的概率． 【答案】78【解析】解法一：设A 表示“连掷3次硬币出现正面”，B 表示“连掷3次硬币”，则B={（正，反，反），（反，正，反），（反，反，正），（正，正，反），（正，反，正），（反，正，正），（正，正，正），（反，反，反）}，B 有8个基本事件组成，而且可以认为这些基本事件的出现是等可能的，且A={（正，反，反），（反，正，反），（反，反，正），（正，正，反），（正，反，正），（反，正，正），（正，正，正）}，事件A 有7个基本事件组成，所以7()8P A =． 红 红 黄 蓝 黄 红 黄 蓝 蓝 红 黄 蓝 红 蓝 红 黄 蓝 黄 红 黄 蓝 蓝 红 黄 蓝 红 黄 红 黄 蓝 黄 红 黄 蓝蓝 红 黄 蓝 红解法二：设A 1表示“连掷3次硬币有一次出现正面”，A 2表示“连掷3次硬币有两次出现正面”，A 3表示“连掷3次硬币有三次出现正面”，A 表示“连掷3次硬币出现正面．”显然，A=A 1∪A 2∪A 3，由解法一容易得出13()8P A =，23()8P A =，31()8P A =，又因为A 1、A 2、A 3彼此是互斥事件，所以，P （A ）=P （A 1∪A 2∪A 3）=P （A 1）+P （A 2）+P （A 3）=33178888++=． 解法三：在本题中，显然A 表示“连掷3次硬币三次均出现反面”的事件，且1()8P A =．根据（()()1P A P A +=，得7()1()8P A P A =-=． 例2．一个口袋里装有2个白球和2个黑球，这4个球除颜色外全都相同，四个人按顺序依次从中摸出一球，求第二个人摸到白球的概率．【思路点拨】画出数状图，把基本事件总数一一列出。
古典概型概率的鸡兔题型
古典概型概率的鸡兔题型
鸡兔同笼问题是一个经典的古典概型概率问题。
问题描述：假设有一只笼子里面有鸡和兔子，共有n只头，m 只脚。
问笼子里面有多少只鸡和兔子。
解法：假设鸡的数量为x，兔子的数量为y，则有以下等式成立：
x + y = n （1）
2x + 4y = m （2）
根据等式（1），可得到x = n - y。
将x = n - y 代入等式（2），得到：
2(n - y) + 4y = m
2n - 2y + 4y = m
2n + 2y = m
化简化简上述等式，得到：
2y = m - 2n
y = (m - 2n) / 2
将y的值代入等式（1），得到：
x + (m - 2n) / 2 = n
2x + m - 2n = 2n
2x = 4n - m
x = (4n - m) / 2
这样就可以求出鸡的数量x和兔子的数量y。
需要注意的是，对于解存在小数的情况，需要判断解是否满足鸡和兔子的数量必须是整数。
若解为小数，则说明该问题无解。
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结果为(A，B )，(A，C )，(A，D )，(A，E )，(A，F )，(B，C )，
(B，D )，(B，E )，(B，F )，(C，D )，(C，E )，(C，F )，(D，
从五张卡片中任取两张，这两张卡片颜色不同且它们的标号之 和小于4的结果为(A，D )，(A，E )，(B，D )，共3种． ………… 5分
所以这两张卡片颜色不同且它们的标号之和小于4的概率为
3 10
…… 6分
列举从5张卡片中任取两张的可能 结果时，易漏掉或重复某种结果.
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［教你准确规范解题］
(2)记F是标号为0的绿色卡片，从六张卡片中任取两张的所有可能的
“大题规范解答———得全分”系列之（十）
求古典概型概率的答题模板
［教你快速规范审题］ ［教你准确规范解题］
［教你一个万能模版］
【典例】（2012山东高考 ·满分12分）
袋中有五张卡片，其中红色卡片三张，标号分别为1,2,3；蓝色卡片 两张，标号分别为1,2. (1)从以上五张卡片中任取两张，求这两张卡片颜色不同且标号之和 小于4的概率； (2)向袋中再放入一张标号为0的绿色卡片，从这六张卡片中任取两 张，求这两张卡片颜色不同且标号之和小于4的概率．
观察所求结论:求两种卡片颜色不同且标号之和小于4的概率 利用列举结果分析 得出满足这两个条件的结果m.
【第审（题2规）范问】第３步：建联系，找解题突破口
利得用．古典概率公式P mn 可求
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［教你准确规范解题］
解：(1)标号为1,2,3的三张红色卡片分别记为A，B，C，标号为1,2的两张
蓝色卡片分别记为D，E，从五张卡片中任取两张的所有可能的结果 为(A，B )，(A，C )，(A，D )，(A，E )，(B，C )，(B，D )，(B， E )，(C，D )，(C，E )，(D，E )，共10种，由于每一张卡片被取 到的机会均等，因此这些基本事件的出现是等可能的．
观察所求结论： 求两张卡片颜色不同且标号之和小于4的概率 利用列举的结果分析 得出满足这两个条件的结果m
【第审（题1规）范问】第３步：建联系，找解题突破口
利用古典概率公式 P mn 可求得．
［教你快速规范审题］
【典例】（2012山东高考 ·满分12分）
袋中有五张卡片，其中红色卡片三张，标号分别为1,2,3；蓝色卡片 两张，标号分别为1,2. (1)从以上五张卡片中任取两张，求这两张卡片颜色不同且标号之和 小于4的概率； (2)向袋中再放入一张标号为0的绿色卡片，从这六张卡片中任取两 张，求这两张卡片颜色不同且标号之和小于4的概率．
【第审（题2规）范问】第２步：审结论，明解题方向
观察所求结论:求两种卡片颜色不同且标号之和小于4的概率
利用列举结果分析 得出满足这两个条件的结果m.
［教你快速规范审题］
【典例】（2012山东高考 ·满分12分）
袋中有五张卡片，其中红色卡片三张，标号分别为1,2,3；蓝色卡片 两张，标号分别为1,2. (1)从以上五张卡片中任取两张，求这两张卡片颜色不同且标号之和 小于4的概率； (2)向袋中再放入一张标号为0的绿色卡片，从这六张卡片中任取两 张，求这两张卡片颜色不同且标号之和小于4的概率．
【第审（题1规）范问】第２步：审结论，明解题方向
观察所求结论：
求两张卡片颜色不同且标号之和小于4的概率 利用列举的结果分析
得出满足这两个条件的结果m
［教你快速规范审题］
【典例】（2012山东高考 ·满分12分）
袋中有五张卡片，其中红色卡片三张，标号分别为1,2,3；蓝色卡片 两张，标号分别为1,2. (1)从以上五张卡片中任取两张，求这两张卡片颜色不同且标号之和 小于4的概率； (2)向袋中再放入一张标号为0的绿色卡片，从这六张卡片中任取两 张，求这两张卡片颜色不同且标号之和小于4的概率．
【第审（题1规）范问】第３步：建联系，找解题突破口
利用古典概率公式 P mn 可求得．
［教你快速规范审题流程汇总］
【第审（题1规）范问】第1步：审条件，挖解题信息
观察条件： 五张卡片，红色三张，标号1,2,3;蓝色两张，标号为1,2，从中取两张
用列举法 所有可能的结果n.
【第审（题1规）范问】第２步：审结论，明解题方向
【第审（题2规）范问】第1步：审条件，挖解题信息
观察条件：红色卡片三张、蓝色卡片二张，绿色卡片一张，从中取两张
用列举法 得所有的可能的结果数n.
［教你快速规范审题］பைடு நூலகம்
【典例】（2012山东高考 ·满分12分）
袋中有五张卡片，其中红色卡片三张，标号分别为1,2,3；蓝色卡片 两张，标号分别为1,2. (1)从以上五张卡片中任取两张，求这两张卡片颜色不同且标号之和 小于4的概率； (2)向袋中再放入一张标号为0的绿色卡片，从这六张卡片中任取两 张，求这两张卡片颜色不同且标号之和小于4的概率．
［教你快速规范审题］
【典例】（2012山东高考 ·满分12分）
袋中有五张卡片，其中红色卡片三张，标号分别为1,2,3；蓝色卡片 两张，标号分别为1,2. (1)从以上五张卡片中任取两张，求这两张卡片颜色不同且标号之和 小于4的概率； (2)向袋中再放入一张标号为0的绿色卡片，从这六张卡片中任取两张， 求这两张卡片颜色不同且标号之和小于4的概率．
【第审（题1规）范问】第1步：审条件，挖解题信息
观察条件： 五张卡片，红色三张，标号1,2,3;蓝色两张，标号为1,2，从中取两张 用列举法 所有可能的结果n.
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［教你快速规范审题］
【典例】（2012山东高考 ·满分12分）
袋中有五张卡片，其中红色卡片三张，标号分别为1,2,3；蓝色卡片 两张，标号分别为1,2. (1)从以上五张卡片中任取两张，求这两张卡片颜色不同且标号之和 小于4的概率； (2)向袋中再放入一张标号为0的绿色卡片，从这六张卡片中任取两 张，求这两张卡片颜色不同且标号之和小于4的概率．
【第审（题2规）范问】第３步：建联系，找解题突破口
利得用．古典概率公式 P
m n
可求
［教你快速规范审题流程汇总］ 【第审（题2规）范问】第1步：审条件，挖解题信息
观察条件：红色卡片三张、蓝色卡片二张，绿色卡片一张，从中取两张 用列举法 得所有的可能的结果数n.
【第审（题2规）范问】第２步：审结论，明解题方向