高考典型题型训练——立体几何中求角与距离

C A1

E

B1

C1

高考典型题型训练——立体几何中求角与距离

1. 四棱锥P —ABCD 的底面是边长为a 的正方形，PB ⊥面ABCD. （1）若面PAD 与面ABCD 所成的二面角为60°，求这个四棱锥的体积；

（2）证明无论四棱锥的高怎样变化，面PAD 与面PCD 所成的二面角恒大于90°

2如图，直三棱柱ABC-A 1B 1C 1的底面ABC 为等腰直角三角形，∠ACB=900，AC=1，C 点到AB 1的距离为CE=

2

3

，D 为AB 的中点. （1）求证：AB 1⊥平面CED ；

（2）求异面直线AB 1与CD 之间的距离；

（3）求二面角B 1—AC —B 的平面角.

3. 如图a—l—β是120°的二面角，A，B两点在棱上，AB=2，D在α内，三角形ABD是等腰直角三角形，∠DAB=90°，C在β内，∆ABC是等腰直角三角形∠ACB=.

900

（I）求三棱锥D—ABC的体积；

（2）求二面角D—AC—B的大小；

（3）求异面直线AB、CD所成的角.

4. 在边长为a的正三角形的三个角处各剪去一个四边形．这个四边形是由两个全等的直角三角形组成的，并且这三个四边形也全等，如图①．若用剩下的部分

折成一个无盖的正三棱柱形容器，如图②．则当容器的高为多少时，可使这个容器的容积最大，并求出容积的最大值．

图①图②

5. 已知三棱锥P—ABC中，PC⊥底面ABC，AB=BC，

D、F分别为AC、PC的中点，DE⊥AP于E．

（1）求证：AP⊥平面BDE；

（2）求证：平面BDE⊥平面BDF；

（3）若AE∶EP=1∶2，求截面BEF分三棱锥

P—ABC所成两部分的体积比．

6. 如图，几何体ABCDE中，△ABC是正三角形，EA和DC都垂直于平面ABC，

且EA=AB=2a，DC=a，F、G分别为EB和AB的中点.

（1）求证：FD∥平面ABC；

（2）求证：AF⊥BD；

(3) 求二面角B—FC—G的正切值.

7. 如图，正方体ABCD—A

1B

1

C

1

D

1

的棱长为1，P、Q分别是线段AD

1

和BD上的点，

且

D

1

P∶PA=DQ∶QB=5∶12.

(1) 求证PQ∥平面CDD

1C

1；

(2) 求证PQ⊥AD；

A B C D E A 1 B 1

C 1

D 1 x

y

z

(3)求线段PQ 的长.

8. 如图4，在长方体ABCD -

1111A B C D 中，AD=1AA =1，AB=2，点E 在棱AB

上移动。

（Ⅰ）证明：11D E A D ⊥；

（Ⅱ）当E 为AB 的中点时，求点E 到面

1ACD 的距离；

（Ⅲ）AE 等于何值时，二面角1D EC D --的大小为4

π。

9.如图，在正三棱柱ABC—A

1B

1

C

1

中，各棱长都相等，D、E分别为AC

1

，BB

1

的中

点。（1）求证：DE∥平面A

1B

1

C

1

；（2）求二面角A

1

—DE—B

1

的大小。

10．如图：已知直三棱柱ABC—A

1B

1

C

1

，AB＝AC，F为棱BB

1

上一点，BF∶FB

1

＝2∶

1，BF＝BC＝2a。

（I）若D为BC的中点，E为AD上不同于A、D的任意一点，证明EF⊥FC

1

；

（II）试问：若AB＝2a，在线段AD上的E点能否使EF与平面BB

1C

1

C成60°

角，为什么？证明你的结论

11.如图，在底面是直角梯形的四棱锥P ABCD

-中，AD∥BC，∠ABC＝90°，且

∠ADC=arcsin

5

5

，又PA⊥平面ABCD，AD＝3AB＝3PA＝3a。

A

B

C

1

A

1

B

1

C

E

D

（I ）求二面角P —CD —A 的正切值； （II ）求点A 到平面PBC 的距离。

P

B

C

A D

12.在直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，CA=CB=CC 1=2，∠ACB=90°，E 、F 分别是BA 、BC 的中点，G 是AA 1上一点，且AC 1⊥EG. （Ⅰ）确定点G 的位置；

（Ⅱ）求直线AC 1与平面EFG 所成角θ的大小.

13.已知四棱锥P —ABCD ，底面ABCD 是菱形，⊥︒=∠PD DAB ,60平面ABCD ，PD=AD ，

点E为AB中点，点F为PD中点. （1）证明平面PED⊥平面PAB；

（2）求二面角P—AB—F的平面角的余弦值

14.在棱长为4的正方体ABCD-A

1B

1

C

1

D

1

中，O是正方形A

1

B

1

C

1

D

1

的中心，点P在

棱CC

1上，且CC

1

=4CP.

(Ⅰ)求直线AP与平面BCC

1B

1

所成的角的大小（结果用反三角函数值表示）；

(Ⅱ)设O点在平面D

1AP上的射影是H，求证：D

1

H⊥AP；

(Ⅲ)求点P到平面ABD

1的距离.

·

B1

P

A

C

D

A1

C1

D1

B

O

H

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