算术基本定理精品教案

算数基本定理

【教学目标】

1．熟练运用素因数分解解决实际问题。

2．亲历的素因数分解式惟一性的探索过程，体验分析归纳得出算数基本定理，进一步发展学生的探究、交流能力。

【教学重难点】

重点：掌握算数基本定理和素因数分解式概念。

难点：掌握素因数分解的惟一性。

【教学过程】

一、直接引入

师：今天这节课我们主要学习算数基本定理，这节课的主要的内容有素因数分解的概念和惟一性，并且我们要掌握这些知识的具体应用，能熟练解决相关问题。

二、讲授新课

（1）教师引导学生在预习的基础上了解算数基本定理的内容，形成初步感知。

（2）首先，我们来学习素因数分解式的概念，它的具体内容是：

任何大于1的整数总可以分解成素因数乘积的形式，这就是算数基本定理，定理中的分解式叫做素因数分解式。

它是如何在题目中应用的呢？我们通过一道例题来具体说明。

例：分别将720,152进行素因数分解.由素因数分解式，你能求出以及()720,152[]720,152吗？

解析：容易知道，720的素因数只有2,3,5，且42720=235

⨯⨯152的素因数只有2，19且3152=219

⨯由此我们不难得到

()3720,152=2=8

[]42720,152=23519=13680

⨯⨯⨯根据例题的解题方法，让学生自己动手练习。

练习：分别将26和132进行素因数分解.由素因数分解式，你能求出以及

()26,132

吗？

[]26,132解：容易知道，26的素因数只有2,13.且26=213

⨯132的素因数只有2,3,11.且2132=2311

⨯⨯由此我们不难得到，()26,132=2[]226,132=231113=1716

⨯⨯⨯（3）接着，我们再来看下素因数分解式的惟一性内容，它的具体内容是：

任何大于1的整数总可以分解成素因数乘积的形式，并且，如果不计分解式中素因数的次序，这种分解式是惟一的．

证明：对大于1的整数，其素因数分解式的存在性 已经指出，余下只需要素因数分解n 式的惟一性.假定有如下两个素因数分解式：n 1212r r

n p p p q q q ==……其中与都是的素因数.

12,r p p p ，…，12r q q q ，，…，n 由于为素数，且，故整除中的某个.当不计素因数次序

1p 112s p q q q |…1p 12s q q q ，，…，i q 时在，总可假定，而，均为素数，故.于是，再由11p q |1p 1q 11p q =22r s p p q q =，…，，…，2p 为素数，且知，故整除中的某个，若不计素因数的次序，可假定22s p q q |…2p 2s q q ，…，j q ，而均为素数，同样有.如此进行下去，最后得，并且22p q |22p q ，22=p q r s =,1,2,,r i j p q i ==…所以的素因数分解式是惟一的.

n 三、课堂总结

（1）这节课我们主要讲了算数基本定理以及素因数分解式.

（2）它们在解题中具体怎么应用？

四、习题检测

1．用素因数分解式计算：()

152,2162．用素因数分解式计算：[]

152,216