第五节 指派问题

C 或 (cij )
目标函数：
min S 2 x11 15 x12 13 x13 14 x14
10 x21 4 x22 14 x23 15 x24
9 x31 14 x32 16 x33 13 x34
7 x41 8 x42 11 x43 9 x44
2 14 7 2
10 3 8 13
源自文库4 8 5 6
7 7 5 7
0 8 0 11 2 3 11 0
√
2 5 0 4
5 4 0 5
√ √
第三步：作覆盖所有零元素的最少数量的直线 步骤如下： (1) 对没有△ 的行打√； (2) 对打√的行上有Φ元素的列打√； (3) 再对打√的列上有△的行打√； (4) 重复(2)、 (3) ，直到无法进行为止； (5) 对没有打√的行和打√的列划线.
4
若指派第i人完成第j项任务 若不指派第i人完成第j项任务
每人只承担一项任务 承担
则有:
xij =1 , j 1, 2, 3,4
j 1 4
i 1
每项任务只能一人 x 1 , i 1, 2, 3,4 ij
任务 人员 甲 乙 丙 丁
E
2
J
G
R
4
15
4 14 8
显然, 解矩阵具有这样的特点:每行每列 都只有一个1，其余都是零元素．
5.5.2
指派问题的解法 —匈牙利法
匈牙利法是1955年库恩（W.W.Kuhn）提出的， 他引用了匈牙利数学家狄康尼格（D.Kö nig） 的一个关于矩阵中0元素的定理 ,故称为匈牙利 法。
定理 如果效益矩阵 C 的每一行的各元素都 减去一个常数 a i ，每一列的各元素也都减去 一个常数 bj ，得到一个新矩阵 C ，则以新 矩阵为效益矩阵的指派问题和原问题有相同 的最优解．
2 14 7 2
10 3 8 13
4 8 5 6
7 7 5 7
0 8 0 11 2 3 11 0
√
2 5 0 4
5 4 0 5
√ √
第四步：修改缩减矩阵，使每行每列都至少 有一个△元素；方法如下： (1) 对没有直线覆盖的部分找出最小元素； (2) 让打√行的各元素都减去这个最小元素； (3) 让打√列的各元素都加上这个最小元素；
5.5 指派问题 5.5.1 指派问题的数学模型
指派问题的一般描述： n项任务，需n个人去完成，一人完成一项； 由于任务的性质和每个人的技术专长不同， 从而不同的人完成不同任务的效率也不同． 问：怎样分配任务能使总效率最高？
例 5.5 有一份中文说明书，需译成英、日、 德、俄四种文字。分别记作 E 、 J 、 G 、 R。 现有甲、乙、丙、丁四人，他们将中文说明 书翻译成不同语种的说明书所需时间如下表 所示。问应如何指派才能使所需总时间最少？
n
目标函数的系数可以写成矩阵的形式，称 为系数矩阵或收益矩阵.
如例1的收益矩阵为
2 15 13 4 10 4 14 15 C 9 14 16 13 8 11 9 7
满足约束条件的可行解也可以写成矩阵形 式，称为解矩阵.
如例1的解矩阵有
( x )ij 0 0 0 1 0 1 0 0 或 1 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 或 1 0 0 1 0 0 0 1 1 0 0 0
X 或 ( xij ) 2 15 13 14 x11 x21 x31 x41 x x x x 10 4 14 15 g 12 22 32 42 9 14 16 13 x13 x23 x33 x43 7 8 11 9 x x x x 14 24 34 44
13
14 16 11
10 9 7
15 13 9
目标函数：
min S 2 x11 15 x12 13 x13 14 x14
10 x21 4 x22 14 x23 15 x24
9 x31 14 x32 16 x33 13 x34
7 x41 8 x42 11 x43 9 x44
和行同样的操作． ３. 重复１、2 步，直到每行每 列都只有一个“△”符号． 解．

0 0 1 0
0 1 0 0
0 0 0 1
1 0 0 0
4. 把“△”换成1，其余的换成0．即得最优
若经过前两步没有得到最优解，则接着进行 第三步：
第三步：作覆盖所有零元素的最少数量的直线 步骤如下：
S ai xij b j xij
i 1 n j 1 j 1 i 1
n
n
n
n
1
S ai b j
i 1 j 1
n
匈牙利法的基本步骤是： １.从效益矩阵的各行减去这一行的最小元素, 再从各列减去这一列的最小元素．
2 15 13 4 2 0 13 11 2 10 4 14 15 4 6 0 10 11 C 9 14 16 13 9 0 5 7 4 4 2 7 8 11 9 7 0 1 4 2 0 13 7 0 6 0 6 9 0 5 3 2 0 1 0 0
任务 人员 甲 乙 丙 丁
E
2
J
G
R
4
15
4 14 8
13
14 16 11
10 9 7
15 13 9
任务 人员 甲 乙 丙 丁
E
2
J
G
R
4
15
4 14 8
13
14 16 11
10 9 7
15 13 9
解 引进变量 xij (i , j 1, 2, 3,4) ,使得
1 , xij 0 ,
0 7 15 13 2 0 10 4 14 15 min 1 6 14 16 13 8 0 9 0 7
0 1 0 0
0 0 0 1
1 0 0 0

（2）出现死循环时灵活处理
例5.7 求解指派问题，系数矩阵为
√ √
x13 x22 x34 x41 1
5.5.3 一般情况的处理
（1）求极大值的指派问题
max S cij xij
j 1 i 1 n n 具有相同 min S ( cij ) xij j 1 i 1 的最优解 n n min w ( M cij ) xij
C 或 (cij )
目标函数：
min S
c
j 1 i 1
4
4
ij
xij
指派问题的一般数学模型为
min S cij xij
j 1 i 1 n n
j 1 n xij 1 , i 1,L , n i 1 xij 0,1
xij =1 , j 1,L , n
0 13 4 0
6 0 3 9
0 5 0 2
3 4 0 3

0 0 0 1
0 1 0 0
1 0 0 0
0 0 1 0

第四步：修改缩减矩阵，使每行每列都至少 有一个△元素；方法如下： (1) 对没有直线覆盖的部分找出最小元素； (2) 让打√行的各元素都减去这个最小元素； (3) 让打√列的各元素都加上这个最小元素； 若经过此步骤仍然没有得到最优解，则返回 第三步重复进行,直到得到最优解.
找不同行不同列的0元素的方法如下： 1. 从第一行开始检查，若某 0 13 行只有一个 0 元素，则在该 0 6 0 元素上打上“△”符号，然 0 5 后划去同行同列的其它 0 元 1 0 素，记作“Φ ”．
２. 再从第一列开始，实施
7 6 3 0
0 9 2 0
证明
S cij xij S cij xij
j 1 i 1 n n j 1 i 1 n n
n
n
(cij ai b j ) xij cij xij ai xij b j xij
j 1 i 1 j 1 i 1 j 1 i 1 j 1 i 1 n n n n n n
0 13 4 0
6 0 3 9
0 5 0 2
3 4 0 3

0 8 0 11 2 3 11 0
√
2 5 0 4
5 4 0 5
√ √
第四步：修改缩减矩阵，使每行每列都至少 有一个△元素；方法如下： (1) 对没有直线覆盖的部分找出最小元素； (2) 让打√行的各元素都减去这个最小元素； (3) 让打√列的各元素都加上这个最小元素；
j 1 i 1
n
n
M max{cij }
3 14 9 1 6 12 2 1 max 10 2 0 3 9 8 16 7 16 9 16 1 16 3 16 14 16 6 16 12 16 2 16 1 min 16 10 16 2 16 0 16 3 16 9 16 8 16 16 16 7
请练习：
1、用匈牙利法求解下列指派问题，效益 矩阵为：
9 10 12 7 13 12 16 17 15 16 14 15 11 12 15 16
解：
9 10 12 7 0 7 12 13 12 16 17 1 15 16 14 15 14 1 11 12 15 16 11 0 3 4 0 4
0 1 1 1 C= 1 1 1 0
√
0
0 0 0 1 1 1 1
√
1 0 0 0 1 1 1 1
1 0 0 0 1 1 1 1
1 1 0 0 1 1 1 1
√
0 0 0 0 0 0
2 0 2 1
3 4 0 4
5 5 1 5 1
0 1 1 0
√
2 0 2 1
0 1 2 3 √ 0 1 0 1 4 √ √ 2 0 4 4 2 0 2 2 4 2 2 4 4 0 0 0 0 0 √ 0 0 3 3 0 0 1 1 4√
X 或 ( xij ) 2 15 13 14 x11 x21 x31 x41 x x x x 10 4 14 15 g 12 22 32 42 9 14 16 13 x13 x23 x33 x43 7 8 11 9 x x x x 14 24 34 44
第二步：进行试指派，以寻求最优解 经过第一步后,矩阵的每行每列都有了0 元素， 但我们希望找出n个位于不同行不同列的0 元素， 如果能找到，我们就以把这些元素写成1， 令其余的元素写成0 ，即得问题的最优解．
0 13 7 6 0 6 LL 0 5 3 0 1 0 0 9 2 0