勾股定理中考章节复习(知识点+经典题型分析总结)

A

B C

a b c

弦股

勾勾股定理（知识点）

【知识要点】 1. 勾股定理的概念：

如果直角三角形的两直角边长分别为a ，b ，斜边长为c ，那么 a 2＋b 2＝c 2. 即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。

2. 勾股定理的逆定理：

如果三角形的三边长a ，b ，c 有下面关系：a 2＋b 2＝c 2，那么这个三角形是直角三角形，其中c 为斜边。 3. 勾股数：

①满足a 2＋b 2＝c 2的三个正整数叫做勾股数（注意：若a ，b ，c 、为勾股数，那么ka ，kb ，kc 同样也是

勾股数组。）

②记住常见的勾股数可以提高解题速度，如3,4,5；6,8,10；5,12,13；7,24,25；8,15,17等 ③用含字母的代数式表示n 组勾股数： 221,2,1n n n -+（2,n ≥n 为正整数）；

2221,22,221n n n n n ++++（n 为正整数）

2222,2,m n mn m n -+（,m n >m ，n 为正整数）

4.命题、定理、证明

⑴ 命题的概念：判断一件事情的语句，叫做命题。 理解：命题的定义包括两层含义：

（1）命题必须是个完整的句子；（2）这个句子必须对某件事情做出判断。 ⑵ 命题的分类（按正确、错误与否分）

真命题（正确的命题）

命题

假命题（错误的命题）

所谓正确的命题就是：如果题设成立，那么结论一定成立的命题。

所谓错误的命题就是：如果题设成立，不能证明结论总是成立的命题。

⑶公理：人们在长期实践中总结出来的得到人们公认的真命题，叫做公理。

⑷定理：用推理的方法判断为正确的命题叫做定理。

⑸证明：判断一个命题的正确性的推理过程叫做证明。

⑹证明的一般步骤

①根据题意，画出图形。

②根据题设、结论、结合图形，写出已知、求证。

③经过分析，找出由已知推出求证的途径，写出证明过程。

5.判断直角三角形：

（1）有一个角为90°的三角形是直角三角形。

（2）有两个角互余的三角形是直角三角形。

（3）2、如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。

（4）如果三角形的三边长a、b、c满足a2+b2=c2 ，那么这个三角形是直角三角形。（经典直角三角形：勾三、股四、弦五）

用勾股定理逆定理判断三角形是否为直角三角形的一般步骤是：

（1）确定最大边（不妨设为c）；

（2）若c2＝a2＋b2，则△ABC是以∠C为直角的三角形；

若a2＋b2＜c2，则此三角形为钝角三角形（其中c为最大边）；

若a2＋b2＞c2，则此三角形为锐角三角形（其中c为最大边）

6.直角三角形的性质

（1）直角三角形的两个锐角互余。可表示如下：∠C=90° ∠A+∠B=90°

（2）在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半。 ∠A=30°

可表示如下： ⇒BC =

2

1AB ∠C=90°

（3）直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。

∠ACB=90°

可表示如下： ⇒CD =

2

1

AB = BD = AD

D 为AB 的中点 6、常用关系式

由三角形面积公式可得：AB ·CD=AC ·BC

7.数轴上表示无理数

第一步：分析所有表示二次根式中被开方数可以写成哪两个有理数的和

第二部：在数轴上画出其中一个有理数，以该有理数为垂足做垂线，在垂线上标出第二个有理数的长度。连接端点和原点，以原点为圆心，端点为半径画圆，于数轴交点即为所有无理数。

勾股定理（习题）

一、基本应用

考点1：勾股定理

1.矩形ABCD,A B=5 cm,AC=13 cm,则这个矩形的面积为______________cm

2.

2.（易错题）已知直角三角形的两边x ，y 的长满足│x －4│+3 y =0，则第三边的

长为__________

3．如图，在△ABC 中，∠BAC=90º，AB=15，AC=20，AD ⊥BC ，垂足为D ，则△ABC 斜

边上的高AD= ．

4．已知等腰三角形底边长为10cm ，腰长为13cm ，则腰上的高．．．．

为( ) A ．12cm B ．6013

cm C ．12013

cm D ．1013

cm

5.在Rt△ABC，∠C=90° （1） 已知c=17，b=8, 求a 。 （2） 已知a ∶b=1∶2，c=5, 求a 。 （3） 已知b=15，∠A=30°，求a ，c 。

6.如图：所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形边长为7cm ，则正方形A ，B ，C ，D 的面积之和为 cm 2

。

7.如图，分别以Rt △ABC 三边为边向外作三个正方形，其面积分别用S 1、S 2、S 3表示，容易得出S 1、S 2、S 3之间有的关系式 ．

8.一只蚂蚁从长、宽都是3，高是8的长方体纸箱的A 点沿纸箱爬到B 点，那么它所爬行的最短路线的长是__________________________________． 考点2.勾股定理逆定理

1、以下列各组线段为边长，能构成三角形的是____________，能构成直角三角形的是____________．（填序号）

①3，4，5 ② 1，3，4 ③ 4，4，6 ④ 6，8，10 ⑤ 5，7，2 ⑥ 13，5，12 ⑦ 7，25，24 2、在下列以线段a 、b 、c 的长为三边的三角形中，不能构成直角三角形的是（ ） A 、a=9，b=41，c=40 B 、a=b=5，c=25 C 、a ∶b ∶c=3∶4∶5 D a=11，b=12，c=15

S 1

S 2

S 3