数轴上的点集与点列极限
实数的基本定理
第三章 关于实数的基本定理及闭区间上连续函数性质的证明六个基本定理：1实数戴德德公理 确界原理2数列的单调有界定理 3区间套定理 4聚点定理 致密性定理5数列柯西收敛准则 6有限覆盖定理定理(确界原理) 设S 为非空数集．若S 有上界，则S 必有上确界；若S 有下界，则S 必有下确界．定理 单调有界数列必收敛. 证明 不妨设{}n a 为有上界的递增数列．由确界原理，数列{}n a 有上确界，记{}n a a sup =．下面证明a 就是{}n a 的极限．事实上，任给0>ε，按上确界的定义，存在数列{}n a 中某一项N a ，使得N a a ε-<．又由{}n a 的递增性，当N n ≥时有n N a a a <<-ε．另一方面，由于a 是{}n a 的一个上界，故对一切n a 都有ε+<≤a a a n ．所以当N n ≥时有εε+<<-a a a n ，即a a n n =∞→lim ．同理可证有下界的递增数列必有极限，且其极限即为它的下确界．（区间套定理） 若[]{}n n b a ,是一个区间套，则在实数系中存在唯一的一点ξ，使得ξ∈[]n n b a ,，,2,1=n ，即ξ≤n a n b ≤， .,2,1 =n （2） 证 由（1）式，{}n a 为递增有界数列，依单调有界定理，{}n a 有极限ξ，且有 .,2,1, =≤n a n ξ （3） 同理，递减有界数列{}n b 也有极限，并按区间套的条件（¡¡）有ξ==∞→∞→n n n n a b lim lim ， （4）且 .,2,1, =≥n b n ξ （5） 联合（3）、（5）即得（2）式。
最后证明满足（2）的ξ是唯一的。
设数ξ'也满足,,2,1, =≤'≤n b a n n ξ 则由（2）式有≤'-ξξ.,2,1, =-n a b n n 由区间套的条件（¡¡）得≤'-ξξ0)(lim =-∞→n n n a b ，故有ξξ='.由（4）式容易推得如下很有用的区间套性质：推论 若[]),2,1(, =∈n b a n n ξ是区间套[]{}n n b a ,所确定的点，则对任给的ε>0，存在N>0，使得当n >N 时有[]n n b a ,⊂()．；εξU致密性定理定义2 设S 为数轴上的点集，ξ为定点(它可以属于S ，也可以不属S)．ξ的任何邻域内都含有S 中无穷多个点，则称ξ为点集S 的一个聚点．等价定义如下：定义2’ 对于点集S ，若点ξ的任何ε邻域内都含有S 中异于ξ的点，即Φ≠S U );(0εξ，则称ξ为S 的一个聚点．定义2” 若存在各项互异的收敛数列{}S x n ⊂，则其极限ξ=∞→n n x lim 称为S 的一个聚点现证定义2’ ⇒定义2”设ξ为S(按定义2’)的聚点，则对任给的0>ε，存在()S U xεξ;∈．令11=ε，则存在()S U x11;εξ∈；令⎪⎭⎫ ⎝⎛-=12,21min x ξε，则存在()S U x22;εξ∈，且显然12x x ≠；令⎪⎭⎫⎝⎛-=-1,1min n n x n ξε，则存在()S U x n n εξ;∈，且11,,-n n x x x 与互异。
第二章 数列极限
1. 实数及其性质
回顾中学数学里关于有理数和无理数的定义.
有理数：
⎧⎪能用互质分数 ⎨
p q
(
p,
q
为整数，q
≠
0)
表示的数；
⎪⎩有限十进小数或无限十进循环小数表示的数
例 1 设 p 为正整数，若 p 不是完全平方数，则 p 是无理数.
证明：反证法。若
p 是有理数，则
p 可表示成：
p
=
n ，从而整数 p 可表示成： p = m
记作ξ = inf S . 上确界与下确界统称为确界。
{ } 例 1 讨论数集 S = x x为区间(0,1)中的有(无)理数 的确界。
分析：通过数轴看有无上、下界，进一步讨论上、下确界。
提示：利用有理数集在实数集中的稠密性。 sup S = 1, inf S = 0.
例 2（１）
S = [0,1],sup S = 1,inf S = 0. （２）
分析：首先，由 S = A ∪ B 及Ａ、Ｂ的性质知，Ｓ也是非空有界集。其次，证明（１）、（２）。
〖课外作业〗
2-2 数列极限
4
〖教学目的和要求〗初步掌握数列极限这一重要概念的内涵与外延；学会用定义证明极限的基本方法；加深 对数学的抽象性特点的认识；体验数学概念形成的抽象化思维方法；体验数学“符号化”的意义。
（其中 xn 为 x 的 n 位不足近似， yn 为 y 的 n 位过剩近似）．
例 2 设 x, y 为实数， x < y ，证明存在有理数 r ，满足 x < r < y ．
( ) 证明
由x<
y 知：存在非负整数 n，使得 xn
<
yn ．令 r
度量空间中收敛点列是有界点集证明
度量空间中收敛点列是有界点集证明在数学的世界里，收敛点列这玩意儿可真有趣。
想象一下你在海滩上，捡贝壳的时候，突然发现一堆漂亮的贝壳在你面前聚集。
你会觉得，这些贝壳就像一条条小鱼，它们朝着同一个方向游去，慢慢地靠近一个神秘的地方。
这种感觉其实跟点列的收敛很像。
点列在度量空间里就像这些贝壳，渐渐靠近某个特定的点。
这个点就是所谓的“极限”，就好像你眼前的那个贝壳一样，大家都想聚集到这里，真是热闹非凡。
说到点列的收敛，首先得明确一点，收敛的意思就是点列的每一个元素越来越接近一个特定的点。
举个简单的例子，假设你在比赛中跑步，你每一次都能越来越接近终点，那终点就是你的极限。
在这种情况下，你可能会想，点列是无限的，难道它就不能是有界的吗？我跟你说，这绝对是个误解，点列的确是有界的。
换句话说，虽然它可以跑得很远，但它其实总有个范围，不能说它在天上飞，一会儿就不见了。
就像咱们不能随便跑去马尔代夫度假，钱包也要有个限度嘛。
让我们进一步深入这个话题，想象一下一个点列，它的元素像一颗颗小星星，慢慢聚集到一个星球上。
每颗星星代表一个点，而这个星球就是那个收敛点。
看起来好像是个小小的聚会，点列中的每个点都在尽力靠近这个星球。
可是，假如这些点没有界限，像是随便飞到太空中，那就不行了，大家会迷路的！所以说，收敛点列一定是有界的，它的每一颗星星都在某个范围内活动，不会飞出太远。
你可能会问，那到底怎么证明点列是有界的呢？证明这个事情就像是侦探破案，得仔细观察、慢慢推理。
首先我们得看点列的定义，设这个点列为 (x_n)，而它的极限点为 (x)。
随着 (n) 越来越大，(x_n) 总是会离 (x) 越来越近。
就好比你要往一个小镇的咖啡馆走，虽然路途遥远，但每一步都是在逐渐接近。
也就是说，存在一个正数 (r)，让所有的 (x_n) 都在以 (x) 为中心，半径为 (r) 的圈圈里。
这就确保了，所有的点都不至于跑得太远，果然是有界的。
再想象一下，如果这些点像你身边的小朋友，大家都在追着一个大球，而这个大球就在某个固定的位置上。
实数的完备性 (2)
于是按定义 2，存在 {xn} 的一个收敛子列 以 ξ 为其极限.
证毕。
注： 聚点定理和致密性定理在有理数域不一定成立。
1 n 1 n 如：S {(1 ) }, { xn } {(1 ) }, n n
S是有界的无限有理点集，在实数域内的唯一聚
点为e，因而在有理数域没有聚点。 数列{xn}是有理数域内的有界数列，但其极限
0，N 0, n N , 有 [ n , n ] U ( , ). 由推论得 ：
因此在 U ( ; ) 内含有 {an }中除有限项外的所有项，
即 lim an .
n
柯西收敛原理的意义不仅在于它提供了判断数列收敛 的一个充分必要条件，而且，他还是刻画实数完备性的最
在什么情况下应用闭区间套定理呢？ 一般来说, 证明问
题需要找到具有某种性质 P 的一个数,常常应用闭区间套定理 将这个数“套”出来。 怎样应用闭区间套定理呢? ① 首先构造一个具有性质P的闭区间. 性质要根据性质P来定。 ② 其次，通常采用二等分法， 将此闭区间二等分 ，至少有
一个闭区间具有性质P。
是区间(0, 1)的一个无限开覆盖。
在具体问题中，一个点集的开覆盖往往是由该问题的 某些具体条件所确定。 函数f 在 (a, b) 内连续， 0, x (a , b), x 0, 使
n
定义2 定义2 定义2 显然，
三个定义等价性的证明:
2
1
只需证： 定义2 定义2
取 1 1, 则x1 U ( ; 1 ) S， 显然 x2 x1，
(
(
x 2 x1
)
)
0, x U ( , ) S , 设 为S（按定义2 ）的聚点，
实变函数引论参考答案_曹怀信_陕师大版第一到第四章
习题1.11．证明下列集合等式． (1) ；(2) ()()()C B C A C B A \\\ =；(3) ()()()C A B A C B A \\\=．证明 (1) )()C \B (c C B A A =)()( c c C B A A B A =c C A B A )()( =)(\)(C A B A = .(2) c C B A A )(C \B)(=)()(c c C B C A ==)\()\(C A C A .(3) )(\C)\(B \c C B A A =c c C B A )( =)(C B A c =)()(C A B A c =)()\(C A B A =.2．证明下列命题．(1) ()A B B A = \的充分必要条件是：A B ⊂；(2) ()A B B A =\ 的充分必要条件是：=B A Ø；(3) ()()B B A B B A \\ =的充分必要条件是：=B Ø．证明 (1) A B A B B B A B B A B B A c c ==== )()()()\(的充要[条 是：.A B ⊂(2) c c c c B A B B B A B B A B B A ===)()()(\)(必要性. 设A B B A =\)( 成立，则A B A c = , 于是有c B A ⊂, 可得.∅=B A 反之若,∅≠B A 取B A x ∈, 则B x A x ∈∈且, 那么B x A x ∉∈且与c B A ⊂矛盾.充分性. 假设∅=B A 成立, 则c B A ⊂, 于是有A B A c = , 即.\)(A B B A =(3) 必要性. 假设B B A B B A \)()\( =, 即.\c C A B A B A == 若,∅≠B 取,B x ∈ 则,c B x ∉ 于是,c B A x ∉ 但,B A x ∈ 与c C A B A =矛盾.充分性. 假设∅=B 成立, 显然B A B A \= 成立, 即B B A B B A \)()\( =.3．证明定理1.1.6．定理1.1.6 (1) 如果{}n A 是渐张集列, 即),1(1≥∀⊂+n A A n n 则{}n A 收敛且∞=∞→=1;lim n n n n A A (2) 如果{}n A 是渐缩集列, 即),1(1≥∀⊃+n A A n n 则{}n A 收敛且 ∞=∞→=1.lim n n n n A A 证明 (1) 设),1(1≥∀⊂+n A A n n 则对任意∞=∈1,n n A x 存在N 使得,N A x ∈ 从而),(N n A x N ≥∀∈ 所以,lim n n A x ∞→∈ 则.lim 1n n n n A A ∞→∞=⊂ 又因为∞=∞→∞→⊂⊂1,lim lim n n n n n n A A A 由此可见{}n A 收敛且 ∞=∞→=1;lim n n n n A A(2) 当)1(1≥∀⊃+n A A n n 时, 对于,lim n n A x ∞→∈存在)1(1≥∀<+k n n k k 使得),1(≥∀∈k A x k n 于是对于任意的,1≥n 存在0k 使得n n k >0, 从而,0n n A A x k ⊂∈ 可见.lim 1 ∞=∞→⊂n n n nA A 又因为,lim lim 1n n n n n n A A A ∞→∞→∞=⊂⊂ 所以可知{}n A 收敛且 ∞=∞→=1.lim n n n n A A 4．设f 是定义于集合E 上的实值函数，c 为任意实数，证明： (1) ⎥⎦⎤⎢⎣⎡+≥=>∞=n c f E c f E n 1][1 ； (2) ⎥⎦⎤⎢⎣⎡+<=≤∞=n c f E c f E n 1][1 ； (3) 若))(()(lim E x x f x f n n ∈∀=∞→，则对任意实数c 有 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡->=⎥⎦⎤⎢⎣⎡->=≥∞→∞=∞=∞=∞=k c f E k c f E c f E n n k n N n N k 1lim 1][111 ． 证明 (1) 对任意的[],c f E x >∈ 有,)(c x f > 则存在+∈Z n 使得n c x f 1)(+≥成立. 即,1⎥⎦⎤⎢⎣⎡+≥∈n c f E x 那么.11 ∞=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+≥∈n n c f E x 故[];11 ∞=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+≥⊂>n n c f E c f E 另一方面, 若,11 ∞=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+≥∈n n c f E x 则存在+∈Z n 0使得,110 ∞=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+≥∈n n c f E x 于是c n c x f >+≥01)(, 故[]c f E x >∈. 则有[].11 ∞=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+≥⊃>n n c f E c f E (2) 设[]c f E x ≤∈, 则c x f ≤)(, 从而对任意的+∈Z n , 都有n c x f 1)(+<, 于是 ∞=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+<∈11n n c f E x , 故有[];11 ∞=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+<⊂≤n n c f E c f E 另一方面, 设 ∞=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+<∈11n n c f E x , 则对于任意的+∈Z n , 有n c x f 1)(+<,由n 的任意性, 可知c x f ≤)(, 即[]c f E x ≤∈, 故[] ∞=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+<⊃≤11n n c f E c f E . (3) 设[]c f E x ≥∈, 则c x f ≥)(. 由),)(()(lim E x x f x f n n ∈∀=∞→ 可得对于任意的+∈Z k , 存在N 使得)(1|)()(|N n k x f x f n ≥∀<-, 即)1(11)()(≥-≥->k k c k x f x f n , 即k c x f n 1)(->, 故)1(1lim ≥∀⎥⎦⎤⎢⎣⎡->∈∞→k k c f E x n n , 所以 ∞=∞→⎥⎦⎤⎢⎣⎡->∈11lim k n n k c f E x , 故[] ∞=∞→⎥⎦⎤⎢⎣⎡->⊂≥11lim k n n k c f E c f E ； 另一方面, 设 ∞=∞→⎥⎦⎤⎢⎣⎡->∈101lim k n n k c f E x , 则对任意+∈Z k 有⎥⎦⎤⎢⎣⎡->∈∞→k c f E x n n 1lim 0. 由下极限的定义知：存在1N 使得当1N n ≥时, 有)(10+∈∀⎥⎦⎤⎢⎣⎡->∈Z k k c f E x n , 即对任意+∈Z k 有k c x f n 1)(0->; 又由),)(()(lim E x x f x f n n ∈∀=∞→ 知),()(lim 00x f x f n n =∞→ 即对任意的+∈Z k , 存在2N 使得当2N n ≥时, 有k x f x f n 1|)()(|00<-. 取},m ax {21N N N =, 则有k c x f n 1)(0->与k x f x f n 1|)()(|00<-同时成立, 于是有k c x f k x f n 1)(1)(00->>+, 从而k c x f 2)(0->, 由k 的任意性知：c x f ≥)(0, 即[]c f E x ≥∈0, 故有 [] ∞=∞→⎥⎦⎤⎢⎣⎡->⊃≥11lim k n n k c f E c f E ; 综上所述：[].11lim 111 ∞=∞=∞=∞=∞→⎥⎦⎤⎢⎣⎡->=⎥⎦⎤⎢⎣⎡->=≥k N N n n n n n k c f E k c f E c f E 5．证明集列极限的下列性质．(1) c n n c n n A A ∞→∞→=⎪⎭⎫ ⎝⎛lim lim _____； (2) c n n c n n A A _____lim lim ∞→∞→=⎪⎭⎫ ⎝⎛； (3) ()n n n n A E A E ∞→∞→=lim \\lim ； (4) ()n n n n A E A E ∞→∞→=lim \\lim ． 证明 (1) c n n n n m c m n c n m m c n n m m c n n A A A A A ∞→∞=∞=∞=∞=∞=∞=∞→====⎪⎭⎫ ⎝⎛lim )()(lim 111_____ . (2) c n n n n n m c m c n m m c n n m m c n n A A A A A _____111lim )()(lim ∞→∞=∞=∞=∞=∞=∞=∞→====⎪⎭⎫ ⎝⎛ . (3) () ∞=∞=∞=∞=∞=∞=∞→===111))(()()\(\lim n n m n n m c m c m n n m m n n A E A E A E A E c n n m m n c n m m n n m c m A E A E A E )())(()(111 ∞=∞=∞=∞=∞=∞==== ∞=∞=∞→==1lim \\n n m n n m A E A E . (4) () ∞=∞=∞=∞=∞=∞=∞→===111))(()()\(\lim n n m cm n n m n n m c m m n n A E A E A E A E c n nm m n c n m m n n m c m A E A E A E )())(()(111 ∞=∞=∞=∞=∞=∞==== ∞=∞=∞→==1lim \\n n m n n m A E A E .6．如果}{},{n n B A 都收敛，则}\{},{},{n n n n n n B A B A B A 都收敛且(1) ()n n n n n n n B A B A ∞→∞→∞→=lim lim lim ；(2) ()n n n n n n n B A B A ∞→∞→∞→=lim lim lim ；(3) ()n n n n n n n B A B A ∞→∞→∞→=lim \lim \lim ． 习题1.21．建立区间)1,0(与]1,0[之间的一一对应．解 令1111{,,,,}2345E =, 111{0,1,,,}234F =,(0,1)\D E =, 则(0,1)E D =,[0,1]F D =. 定义:(0,1)[0,1]φ→为: ;11();(1,2,)210;2x x D x x n n n x φ⎧⎪∈⎪⎪===⎨+⎪⎪=⎪⎩ 则φ为(0,1)[0,1]→之间的一个一一对应. 2．建立区间],[b a 与],[d c 之间的一一对应，其中d c b a <<,．解 定义: :[,][,]a b c d φ→为:()().([,])d c d c bc ad x x a c x x a b b a b a b a φ---=-+=+∀∈--- 可以验证: :[,][,]a b c d φ→为一个一一对应.3．建立区间),(b a 与],[d c 之间的一一对应，其中d c b a <<,．解 令{,,,}234b a b a b a E a a a ---=+++，{,,,,}23d c d c F c d c c --=++ (,)\D a b E =. 定义:(,)[,]a c d φ→为: ;();(1,2.)2;.2d c bc ad x x D b a b a d c b a x c x a n n n b a c x a φ--⎧+∈⎪--⎪--⎪=+=+=⎨+⎪-⎪=+⎪⎩可以验证: :(,)[,]a b c d φ→为一个一一对应.4．试问：是否存在连续函数，把区间]1,0[一一映射为区间)1,0(?是否存在连续函数，把区间]1,0[一一映射为]4,3[]2,1[ ?答 不存在连续函数把区间[0,1]一一映射为(0,1); 因为连续函数在闭区间[0,1]存在最大、最小值.也不存在连续函数把区间[0,1]一一映射为[1,2][3,4]; 因为连续函数在闭区间[1,2]上存在介值性定理, 而区间[1,2][3,4]不能保证介值性定理永远成立.5．证明：区间2~)1,0()1,0(~)1,0(R ⨯且ℵ=2R ．证明 记(0,1)A =,则(0,1)(0,1)A A ⨯=⨯.任取(,)x y A A ∈⨯, 设1231230.,0.,x a a a y b b b == 为实数,x y 正规无穷十进小数表示, 并令1122(,)0.f x y a b a b =, 则得到单射:f A A A ⨯→. 因此由定理1.2.2知A A A ⨯≤.若令10.5A A =⨯, 则1~A A A A ⊂⨯. 从而由定理1.2.2知: A A A ≤⨯. 最后, 根据Bernstein 定理知: (0,1)~(0,1)(0,1)⨯.对于(,)(0,1)(0,1)x y ∀∈⨯,定义2:(0,1)(0,1)R φ⨯→为:(,)((),())22x y tg x tg y ππφππ=--,则φ为2(0,1)(0,1)R ⨯→的一个一一对应,即2(0,1)(0,1)~R ⨯. 又因为: (0,1)~R , 则由对等的传递性知: 2(0,1)~(0,1)(0,1)~~R R ⨯且2R R ==ℵ. 6．证明：{}1:),(22≤+=y x y x A 与{}1:),(22<+=y x y x B 对等并求它们的基数．证明 令221{(,):(1,2,3,)}E x y x y n n =+==, \D A E =, 221{(,):(1,2,3,)}1F x y x y n n =+==+. 则,A E D B F D ==. 定义: :A B φ→为: 2222(,);(,),(,)11;(1,2,3,),(,).1x y x y D x y x y x y n x y E n n φ∈⎧⎪=⎨+=+==∈⎪+⎩ 可以验证: :A B φ→为一一对应, 即~A B . 又因为2~(0,1)(0,1)~~B R R ⨯, 所以 A B ==ℵ.7．证明：直线上任意两个区间都是对等且具有基数ℵ．证明 对任意的,I J R ⊆， 取有限区间(,)a b I ⊆，则(,)a b I R ℵ=≤≤=ℵ, 则由Bernstern 定理知I =ℵ, 同理J =ℵ. 故I J ==ℵ.习题1.31．证明：平面上顶点坐标为有理点的一切三角形之集M 是可数集． 证明 因为有理数集Q 是可数集，平面上的三角形由三个顶点所确定，而每个顶点由两个数决定，故六个数可确定一个三角形，所以M 中的每个元素由Q 中的六个相互独立的数所确定，即Q},,,,:{621621∈=x x x a M x x x 所以M 为可数集.2．证明：由平面上某些两两不交的闭圆盘之集M 最多是可数集． 证明 对于任意的M O ∈, 使得Q ∈)(O f . 因此可得：Q →M f :. 因为1O 与2O 不相交，所以)()(21O f O f ≠. 故f 为单射，从而a M =≤Q .3．证明：（1）任何可数集都可表示成两个不交的可数集之并；（2）任何无限集都可表成可数个两两不交的无限集之并．证明 (2) 当E 可数时，存在双射Q )1,0(:→E f . 因为∞=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫⎢⎣⎡+=11,11)1,0(n n n Q Q 所以∞=∞=--=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫⎢⎣⎡+==11111,11))1,0((n n n A n n f f E Q Q . 其中：)(),3,2,1(1,111j i A A n n n f A j i n ≠Φ==⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫⎢⎣⎡+=- 且Q . 又因为Q Q ⎪⎭⎫⎢⎣⎡+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫⎢⎣⎡+-n n n n f 1,11~1,111且Q ⎪⎭⎫⎢⎣⎡+n n 1,11 可数，所以E 可表示成可数个两两不交的无限集之并．当E 不可数时，由于E 无限，所以存在可数集E E ⊂1, 且1\E E 不可数且无限，从而存在可数集12\E E E ⊂，且)(\\)\(2121E E E E E E =无限不可数. 如此下去，可得),3,2,1( =n E n 都可数且不相交，从而1011)()\(E E E E E E i i n i ==∞=∞=. 其中)0(≥i E i 无限且不交. 4．证明：可数个不交的非空有限集之并是可数集．5．证明：有限或可数个互不相交的有限集之并最多是可数集．证明 有限个互不相交的有限集之并是有限集；而可数个互不相交的有限集之并最多是可数集.6．证明：单调函数的不连续点之集至多是可数集．证明 不妨设函数f 在),(b a 单调递增，则f 在0x 间断当且仅当0)(lim )(lim )0()0(_0000>==--+→→+x f x f x f x f x x x x . 于是，每个间断点0x 对应一个开区间))0(),0((00+-x f x f .下面证明：若x x '''<为()f x 的两个不连续点，则有(0)(0)f x f x '''+≤-. 事实上，任取一点1x ，使1x x x '''<<，于是11(0)lim ()inf{()}()sup {()}lim ()x x x x x x x x x f x f x f x f x f x f x +-'>'''→→'''<<'+==≤≤=， 从而x '对应的开区间((0),(0))f x f x ''-+与x ''对应的开区间((0),(0))f x f x ''''-+不相交，即不同的不连续点对应的开区间互不相交，又因为直线上互不相交的开区间所构成的集合至多是可数集，所以可知单调函数的不连续点之集至多是可数集.7．证明：若存在某正数d 使得平面点集E 中任意两点之间的距离都大于d ，则E 至多是可数集．证明 定义映射}:)3,{(:E x d x E f ∈→，即))(3,()(E x d x D x f ∈=，其中)3,(d x D 表示以E x ∈为中心，以3d 为半径的圆盘. 显然当y x ≠时，有∅=)3,()3,(d y D d x D ，即)()(y f x f ≠，于是f 为双射，由第2题知：a E x d x ≤∈}:)3,{(，故a E ≤. 习题1.41．直线上一切闭区之集具有什么基数？区间],[b a 中的全体有理数之集的基数是什么?答 直线上一切闭区间之集的基数是c . 这是因为：2),(],[:R ∈→b a b a f 为单射，而R ∈→a b a f ],[:为满射，所以c M c =≤≤=2R R .区间],[b a 中的全体有理数之集的基数是c ，这是因为：a b a a =≤≤Q Q ],[.2．用],[b a C 表示],[b a 上的一切连续实值函数之集，证明：(1) 设},,,,{],[21 n r r r b a =Q ，],[,b a C g f ∈，则⇔=g f ),2,1)(()( ==k r g r f k k ；(2) 公式)),(,),(),(()(21 n r f r f r f f =π定义了单射)(],[:R S b a C →π；(3) c b a C =],[．证明 (1) 必要性. 显然.充分性. 假设),2,1)(()( ==k r g r f k k 成立. 因为},,,{\],[321 r r r b a x ∈∀，存在有理数列∞=1}{n n x ，使得x x n n =∞→lim ，由],[,b a c g f ∈，可得 )()lim ()(lim x f x f x f n n n ==∞→∞→及)()lim ()(lim x g x g x g n n n ==∞→∞→. 又因为∞=1}{n n x 为有理点列，所以有)()(n n x g x f =，故],[b a x ∈∀，都有)()(x g x f =.(2) ],[,b a c g f ∈∀，设)()(g f ππ=，即 )),(,),(),(()),(,),(),((2121 n n r g r g r g r f r f r f =.由(1)知：g f =. 故π为单射.(3) 由(2)知：c R S b a c =≤)(],[；又由],[b a c ⊂R ，可得],[b a c c ≤=R . 故c b a C =],[.3．设],[b a F 为闭区间]1,0[上的一切实值函数之集，证明：(1) ]},[:))(,{()(b a x x f x f ∈=π定义了一个单射)(],[:2R P b a F →π；(2) ]1,0[⊂∀E ，E E χα=)(定义了单射],[])1,0([:b a F P →α；(3) ],[b a F 的基数是c 2．证明 (1) ],[,b a F g f ∈∀，设)()(g f ππ=，即]},[:))(,{(]},[:))(,{(b a x x g x b a x x f x ∈=∈.从而]),[)(()(b a x x g x f ∈∀=，故π为单射.(2) ]1,0[,⊂∀F E ，设)()(F E αα=，则F E F E χααχ===)()(，故α为单射. (3) 由(1)知：c P b a F 2)(],[2=≤R ；又由(2)知：],[2])1,0([b a F P c ≤=，故c b a F 2],[=.4．证明：c n =C ．证明 因为R R C ⨯~，而c =⨯R R ，故c =C ；又由定理1..4.5知：c n=C . 5．证明：若E 为任一平面点集且至少有一内点，则c E =．证明 显然c E =⨯≤R R . 设00E x ∈，则0>∃δ使得E x B ⊂),(0δ，可知E x B c ≤=),(0δ，故c E =.第一章总练习题.1 证明下列集合等式．(1) ()()F F E F E E F E \\\ ==；(2) ()()()G F G E G F E \\\ =．证明 (1) 因为\()()()()()\c c c c c E E F EE F E E F E E E F E F ====, ()\()()()\c c c E F F E F F E F F F E F ===.所以\\()()\E F E E F E F F ==.(2) 因为()\()()()(\)(\),c c c c E F G E F G E F G E G F G E G F G ==== 所以()()()G F G E G F E \\\ =..2 证明下列集合等式．(1) ()B A B A n n n n \\11∞=∞== ；(2) ()B A B A n n n n \\11∞=∞== ． 证明 (1)1111\()()(\)c c n n n n n n n n A B A B A B A B ∞∞∞∞=======. (2) 1111\()()(\)c c n n n n n n n n A B A B A B A B ∞∞∞∞=======. 3．证明：22[][][]cc E f g c E f E g +≥⊂≥≥，其中g f ,为定义在E 的两个实值函数，c 为任一常数．证明 若()()22c c x E f E g ∉≥≥, 则有()2c f x <且()2c g x <, 于是 ()()()()f x g x f g x c +=+<, 故()x E f g c ∉+≥. 所以()()()22c c E f g c E f E g +≥⊂≥≥. 4．证明：n R 中的一切有理点之集n Q 与全体自然数之集对等． 证明 因为0Q =ℵ,所以0Q Q Q Q n =⨯⨯⨯=ℵ(推论1.3.1). 又因为0N =ℵ, 所以0Q n N ==ℵ, 故Q ~n N .5．有理数的一切可能的序列所成之集)(Q S 具有什么基数？6．证明：一切有理系数的多项式之集][x Q 是可数集．证明 设},Q ,,,,,0,][:][{][Q 1100111∈≠++++==---n n n n n n n n n n a a a a a a x a x a x a x P x P x 于是.][Q ][Q 0 ∞==n n x x 显然,Q~][Q 1n +x n 所以,Q ][Q 1n a x n ==+ 因此由定理1.3.5知：.][Q a x = 7．证明：一切实系数的多项式之集][x R 的基数为c ．证明 记 },R ,,,,,0,][:][{][R 1100111∈≠++++==---n n n n n n n n n n a a a a a a x a x a x a x P x P x 于是.][R ][R 0 ∞==n n x x 显然,R ~][R 1n +x n 所以,R ][R 1n c x n ==+ 因此由定理1.4.3知：.][R c x =8．证明：全体代数数(即可作为有理系数多项式之根的数)之集是可数集，并由此说明超越数(即不是代数数的实数)存在，而且全体超越数之集的基数是c ．证明 由于有理系数多项式的全体是可数集，设其元素为,,,,,,210 n P P P P 记多项式)(x P n 的全体实根之集为,n A 由于n 次多项式根的个数为有限个，故n A 为有限集，从而代数数全体 ∞==0n n A A 为可数个有限集的并，故A 为可数集，即.a A =设超越数全体所成之集为,B 即,\R A B = 则R,=B A 从而B 必为无限集，由于A 为可数集，而任一无限集添加一个可数集其基数不变，故.R c B A B ===9．证明：A B B A \~\，则B A ~．证明 因为),()\(),()\(B A A B B B A B A A ==又因为,)(\)(\,~,\~\∅==B A A B B A B A B A B A A B B A所以由保并性知),()\(~)()\(B A A B B A B A即.~B A10．证明：若,,D B B A <≤则D A <． 证明 (反证法) 假设,D A = 则由已知可得,B D ≤ 这与D B <矛盾. 故有D A <.11．证明：若c B A = ，则c A =或c B =．证明 假设,a B A == 则有,a B A = 这与c B A = 矛盾，故有c A =或c B =.12．证明：若c A k k =+∈Z ，则存在+∈Z k 使得c A k =． 证明同上.。
关于实数完备性的基本定理
目 录摘要：本文主要讨论了关于实数完备性的基本定理，包括确界定理、单调有界定理、区间套定理、有限覆盖定理、聚点定理和致密性定理、柯西收敛准则,并举出相关实例以说明. 3关键词：实数；完备性 3Abstract: This paper mainly discusses the basic theorems on completeness of real,including theorem of supremum, monotone bounded theorem, theorem of nested interval, finite covering theorem, theorem of accumulation point and compact theorem, Cauthyconvergence criterion, and some related examples to illustrate. 3Key Words: Real number; Completeness 3前言 31 预备知识 3关于确界的定义 3极限的定义 4区间套的定义 4聚点的定义 5有限覆盖的定义 52 关于实数完备性的基本定理 5确界定理 5单调有界定理 6区间套定理 6聚点定理和致密性定理 7有限覆盖定理 7设H 为闭区间[,]a b 的一个（无限）开覆盖，则从H 中可选出有限个开区间来覆盖[,]a b . 7 柯西收敛准则 7结语： 8关于实数完备性的六大基本定理是彼此等价的，因此对同一个有关问题都有效. 但是又由于各个基本定理的内容和角度都不一样，因此所作出的证明可以很不相同. 即使同一个基本定理，也可能有不同的方法，即使方法相同还可以有不同的细节. 我们认为，其中的新发现是无穷尽的，发现的精彩是无穷尽的. “数学的理论是美妙的，引人入胜；数学的方法是精巧的，丰富多彩！”让我们悉心于数学研究，尽情的享受数学之美吧！ 8参考文献： 8摘要：本文主要讨论了关于实数完备性的基本定理，包括确界定理、单调有界定理、区间套定理、有限覆盖定理、聚点定理和致密性定理、柯西收敛准则,并举出相关实例以说明. (3)关键词：实数；完备性 (3)Abstract: This paper mainly discusses the basic theorems on completeness of real,including theorem of supremum, monotone bounded theorem, theorem of nested interval, finite covering theorem, theorem of accumulation point and compact theorem, Cauthyconvergence criterion, and some related examples to illustrate. (3)Key Words: Real number; Completeness (3)前言 (3)1 预备知识 (3)关于确界的定义 (3)极限的定义 (4)区间套的定义 (4)聚点的定义 (5)有限覆盖的定义 (5)2 关于实数完备性的基本定理 (5)确界定理 (5)单调有界定理 (6)区间套定理 (6)聚点定理和致密性定理 (7)有限覆盖定理 (7)设H 为闭区间[,]a b 的一个（无限）开覆盖，则从H 中可选出有限个开区间来覆盖[,]a b . (7)柯西收敛准则 (7)结语： ......................................................................................................................................... 8 关于实数完备性的六大基本定理是彼此等价的，因此对同一个有关问题都有效. 但是又由于各个基本定理的内容和角度都不一样，因此所作出的证明可以很不相同. 即使同一个基本定理，也可能有不同的方法，即使方法相同还可以有不同的细节. 我们认为，其中的新发现是无穷尽的，发现的精彩是无穷尽的. “数学的理论是美妙的，引人入胜；数学的方法是精巧的，丰富多彩！”让我们悉心于数学研究，尽情的享受数学之美吧！ (8)参考文献： (8)关于实数完备性的基本定理摘要：本文主要讨论了关于实数完备性的基本定理，包括确界定理、单调有界定理、区间套定理、有限覆盖定理、聚点定理和致密性定理、柯西收敛准则,并举出相关实例以说明.关键词：实数；完备性Basic Theorems of Real Number Completeness Abstract: This paper mainly discusses the basic theorems on completeness of real, including theorem of supremum, monotone bounded theorem, theorem of nested interval, finite covering theorem, theorem of accumulation point and compact theorem, Cauthy convergence criterion, and some related examples to illustrate.Key Words: Real number; Completeness前言数学分析的基础是实数理论.实数系最重要的特征是完备性和连续性，有了实数的完备性和连续性，才能讨论极限，连续，微分和积分.正是在讨论函数的各种极限运算的合法性的过程中，人们逐渐建立起严密的数学分析理论体系.数学分析初于对实数完备性在理论体系上的严格化和精确化，从而确立了在整个自然科学中的基础地位，并运用于自然科学的各个领域.实数系的完备性是实数的一个重要特征，与之相关的六个基本定理是批次等价的，并且是论证其他一些重要定理（如一致连续性定理等）的依据，他们从不同的角度刻画了实数系的完备性，在理论上具有重要价值.1 预备知识关于确界的定义∈都有设S为R中的一个数集.若存在数M(L)，使得对一切x S ≤≥，则称S为有上界（下界）的数集，数M(L)称为S的一个上界()x M x L（下界）.若数集S 既有上界又有下界，则称S 为有界集.若S 不是有界集，则称S为无界集.设S 是R 中的一个数集.若数η满足：(i) 对一切x S ∈，有x η≤，即η是S 的上界；(ii) 对任何αη≤，存在0x S ∈，使得0x α>，即η又是S 的最小上界，则称数η为数集S 的上确界，记作sup S η=设S 是R 中的一个数集.若数ξ满足：(i) 对一切x S ∈，有x ξ≥，即ξ是S 的下界；(ii) 对任何βξ>，存在0x S ∈，使得0x β<，即ξ又是S 的最大下界，则称数ξ为数集S 的下确界，记作inf S ξ=上确界与下确界统称为确界.极限的定义设{}n a 为数列, a 为定数.若对任给的正数ε，总存在正整数N ，使得当n N >时有||n a a ε-<则称数列{}n a 收敛于a ，定数a 称为数列{}n a 的极限，并记作lim n n a a →∞=，或()n a a n →→∞， 读作“当n 趋于无穷大时，{}n a 的极限等于a 或n a 趋于a ”.区间套的定义设闭区间列{[,]}n n a b 具有如下性质：(i) 11[,][,]n n n n a b a b ++⊃,n=1,2,…；(ii) lim()0n n n b a →∞-=, 则称{[,]}n n a b 为闭区间套，或简称区间套.聚点的定义设S 为数轴上的点集，ξ为定点（它可以属于S ，也可以不属于S ）.若ξ的任何邻域上都含有S 中无穷多个点，则称ξ为点集S 的一个聚点.对于点集S ，若点ξ的任何ε邻域上都含有S 中异于ξ的点，即(;)o U S ξε⋂≠∅，则称ξ为S 的一个聚点.若存在各项互异的收敛数列{}n x S ⊂，则其极限lim n n x ξ→∞=称为S 的一个聚点.有限覆盖的定义设S 为数轴上的点集，H 为开区间的集合（即H 的每一个元素都是形如(,)αβ的开区间）.若S 中任何一点都含在H 中至少一个开区间内，则称H 为S 的一个开覆盖，或称H 覆盖S .若H 中开区间的个数是无限（有限）的，则称H 为S 的一个无限开覆盖（有限开覆盖）.2 关于实数完备性的基本定理确界定理设S 为非空数集.若S 有上界，则S 必有上确界；若S 有下界，则S 必有下确界.推广的确界原理：任一非空数集必有上、下确界（正常的或非正常的）. 例1 设A ,B 为非空数集，满足：对一切x A ∈和y B ∈有x y ≤.证明：数集A有上确界，数集B 有下确界，且sup inf A B ≤证 由假设，数集B 中任一数y 都是数集A 的上界，A 中任一数x 都是B的下界，故由确界原理推知数集A 有上确界，数集B 有下确界.对任何y B ∈，y 是数集A 的一个上界，而由上确界的定义知，sup A 是数集A 的最小上界，故有sup A y ≤.而此式又表明数sup A 是数集B 的一个下界，故由下确界定义证得sup inf A B ≤.单调有界定理在实数系中，有界的单调数列必有极限.例2 设111...,12n a nααα=+++>.证明:{}n a 收敛. 证 显然{}n a 是递增数列.因为当2n ≥时，2n a =112α++…1(2)n α+=11(1...)3(21)n αα+++-+11(...)2(2)n αα++ <11(1...)3(21)n αα+++++11(...)2(2)n αα++ <122n a α+=112n a α-+, 以及2n n a a <，所以11112n a α-<-故{}n a 是有界的.根据单调有界定理可知数列{}n a 是收敛的.区间套定理若{[,]}n n a b 是一个区间套，则在实数系中存在唯一的一点ξ，使得[,]n n a b ξ∈，n=1,2,…，即n n a b ξ≤≤，n =1,2,…推论：若[,]n n a b ξ∈( n=1,2,…)是区间套{[,]}n n a b 所确定的点，则对任给的0ε>，存在N >0,使得当n>N 时有[,](;)n n a b U ξε⊂注：区间套定理中要求各个区间都是闭区间，才能保证定理的结论成立.例3 证明：若()f x 在[,]a b 上连续，则()f x 在[,]a b 上有界.证 假设()f x 在[,]a b 上无界，利用二分法总可找到一个闭区间无界得{[,]}n n a b 且满足：(1) 11[,][,]n n n n a b a b ++⊂;(2) 0()2n n n b a b a n --=→→∞; (3) ()f x 在[,]a b 上无界，由区间套定理有[,]a b ξ∃∈且lim lim n n n n a b ξ→∞→∞==.因为[,][,]n n a b a b ξ∈⊂，所以()f x 在ξ处连续.于是，一方面由连续函数的局部有限性定理得()U ξ∃使()f x 在()U ξ上有界；另一方面由推论得0,,[,]()n n N n N a b U ξ∃>∀>⊂，因此()f x 在[,]n n a b 上有界，则与条件(3)矛盾，故得证.聚点定理和致密性定理聚点定理：实轴上的任一有界无限点集S 至少有一个聚点.致密性定理：任何有界数列必定有收敛的子列.有限覆盖定理设H 为闭区间[,]a b 的一个（无限）开覆盖，则从H 中可选出有限个开区间来覆盖[,]a b .注：(1)该结论只对闭区间[,]a b 成立，而对开区间则不一定成立.(2)若将订立中的H 改为其他类型的区间集，则结论不一定成立.(3) H →开区间集，S →闭区间，该结论才能成立.例4 S=[0,1],11{(,)|}1H n N n n=∈+,H 是否覆盖S ？ 解1 n N ∀∈，当1n >时，尽管()10,1n ∈，但1n 不属于H 的任何开区间，因此H 不覆盖S .解2 012x S ∃=∈1,2H ∀∆∈∉∆⇒H 不覆盖S . 柯西收敛准则数列{}n a 收敛的充要条件是：对任给的0ε>，存在正整数N ，使得当n,m>N 时有||n m a a ε-<.这个定理从根本上完全解决了数列极限的存在性问题.柯西收敛准则的条件称为柯西条件，它表明：收敛数列各项的值愈到后面，彼此愈是接近，以至充分后面的任何两项之差的绝对值可小于预先给定的任意小正数. 结语：关于实数完备性的六大基本定理是彼此等价的，因此对同一个有关问题都有效. 但是又由于各个基本定理的内容和角度都不一样，因此所作出的证明可以很不相同. 即使同一个基本定理，也可能有不同的方法，即使方法相同还可以有不同的细节. 我们认为，其中的新发现是无穷尽的，发现的精彩是无穷尽的. “数学的理论是美妙的，引人入胜；数学的方法是精巧的，丰富多彩！”让我们悉心于数学研究，尽情的享受数学之美吧！参考文献：[1] 华东师范大学数学系.数学分析(第四版)[M].北京:高等教育出版社,2010.[2] 华东师范大学数学系.数学分析(第三版)[M].北京:高等教育出版社,2001.[3] 沐定夷.数学分析(第一版)[M].上海:上海交通大学出版社,1993.[4] 周性伟,刘立民.数学分析(第一版)[M].天津:南开大学出版社,1986.[5] 何琛,史济怀,徐森林.数学分析(第一版)[M].北京:高等教育出版社,1983.。
实变函数引论参考答案 曹怀信 第二章
习题2.11．若E 是区间]1,0[]1,0[⨯中的全体有理点之集，求bE E E E ,,,' ． 解 E =∅；[0,1][0,1]bE E E '===⨯。
2．设)}0,0{(1sin ,10:),( ⎭⎬⎫⎩⎨⎧=≤<=x y x y x E ，求bE E E E ,,,' ．解 E =∅；{(,):0,11}.bE E x y x y E E '==-≤≤==3．下列各式是否一定成立? 若成立，证明之，若不成立，举反例说明．(1) 11n n n n E E ∞∞=='⎛⎫'= ⎪⎝⎭； (2) )()(B A B A ''=' ； (3) n n n n E E ∞=∞==⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛11 ； (4) B A B A =； (5) ︒︒︒=B A B A )(； (6) .)(︒︒︒=B A B A解 (1) 不一定。
如设12={,,,,}n r r r Q ，{}n n E r =（单点集），则1()n n E ∞=''==Q R ,而1.n n E ∞='=∅但是，总有11n n n n E E ∞∞=='⎛⎫'⊃ ⎪⎝⎭。
(2) 不一定。
如 A =Q , B =R \Q , 则(),A B '=∅ 而.A B ''=R R =R(3) 不一定。
如设12={,,,,}n r r r Q ，{}n n E r =（单点集），则1n n E ∞===Q R , 而1.n n E ∞==Q 但是，总有11n n n n E E ∞∞==⎛⎫⊃ ⎪⎝⎭。
(4) 不一定。
如(,)A a b =，(,)B b c =，则A B =∅，而{}A B b =。
(5) 不一定。
如[,]A a b =, [,]B b c =, 则(,)A a b =, (,)B b c =，而()(,)A B a c =，(,)\{}A B a c b =.(6) 成立。
《数学分析A (2)》课程教学说明
《数学分析A (2)》课程教学说明一.课程基本信息1．开课学院（系）：数学系2．课程名称：《数学分析A(2)》(Mathematical Analysis A(2))3．学时/学分：80学时/ 5学分4．先修课程：《数学分析A(1)》(Mathematical Analysis A(1))5．上课时间：周一（双周10:00-11:40），周三（10:00-11:40），周四( 8:00-9:40)，周五（习题课10:00-11:40）6．上课地点：东上院1017．任课教师：周春琴（cqzhou@）8．办公室及电话：数学楼602，54743148-26029．习题课教师：王丽丹10.Office hour：周五下午2:00-4:00, 数学楼602二.课程主要内容第七章定积分(12课时)主要内容：定积分可积性定理，平面图形面积、立体体积、曲线弧长、微元法。
第八章反常积分(8课时)主要内容：反常积分的敛散性概念，反常积分计算，反常积分敛散性判别法。
第九章数项级数（18课时）主要内容：级数的收敛与发散概念，收敛性必要条件，收敛级数的性质，上下极限， Cauchy收敛准则，正项级数的判别方法，交错级数判敛法，任意项级数的判敛法，收敛级数的性质，无穷乘积。
第十章函数项级数（18课时)主要内容：点态收敛与一致收敛概念，函数列与函数级数一致收敛判别法，一致收敛函数列与函数级数的分析性质，幂级数的收敛半径与收敛域，幂级数的分析性质，函数展开成幂级数，幂级数的和函数计算。
第十一章 Euclid空间上的极限和连续（8课时）主要内容：平面点集与点列极限，R2上的基本定理，多元函数概念，二元函数的极限与连续，有界闭区域上连续函数的性质.第十二章多元函数的微分学（16课时）主要内容：偏导数与全微分的概念，偏导数与全微分的计算，复合函数微分法，方向导数与梯度，多元函数的Taylor公式，二元函数的极值与最值，隐函数概念，隐函数存在定理，隐函数及隐函数组的微分法，方程变换，多元函数微分学的几何应用，条件极值。
高等数学求极限的17种常用方法(附例题和详解)
(iii)
(iv)单调有界准则
（v）两边夹挤准则（夹逼定理/夹逼原理）
（vi）柯西收敛准则（不需要掌握）。极限 存在的充分必要条件是：
二．解决极限的方法如下：
1.等价无穷小代换。只能在乘除时候使用。例题略。
2.洛必达（L’hospital）法则（大题目有时候会有暗示要你使用这个方法）
它的使用有严格的使用前提。首先必须是X趋近，而不是N趋近，所以面对数列极限时候先要转化成求x趋近情况下的极限，数列极限的n当然是趋近于正无穷的，不可能是负无穷。其次,必须是函数的导数要存在，假如告诉f（x）、g（x）,没告诉是否可导，不可直接用洛必达法则。另外，必须是“0比0”或“无穷大比无穷大”,并且注意导数分母不能为0。洛必达法则分为3种情况：
；
cos=
ln（1+x）=x-
(1+x) =
以上公式对题目简化有很好帮助
4.两多项式相除:设 ，
P（x）= ,
(i) （ii）若 ，则
5.无穷小与有界函数的处理办法。例题略。
面对复杂函数时候，尤其是正余弦的复杂函数与其他函数相乘的时候，一定要注意这个方法。面对非常复杂的函数可能只需要知道它的范围结果就出来了。
（i）“ ”“ ”时候直接用
(ii)“ ”“ ”，应为无穷大和无穷小成倒数的关系，所以无穷大都写成了无穷小的倒数形式了。通项之后，就能变成(i)中的形式了。即 ；
(iii)“ ”“ ”“ ”对于幂指函数,方法主要是取指数还取对数的方法，即 ，这样就能把幂上的函数移下来了，变成“ ”型未定式。
3.泰勒公式(含有 的时候，含有正余弦的加减的时候）
例1已知A=｛x -2≤x<3｝，B=｛x -1<x≤5｝，求A B，A B
数学分析7.3上极限和下极限
第七章 实数的完备性 3 上极限和下极限定义1：若在数a 的任一邻域内含有数列{x n }的无限多个项，则称a 为{x n }的一个聚点.注：点列（或数列）的聚点邻域中可以包含无限个相同的项；而点集（或数集）的聚点邻域中只能包含无限个不同的项。
定理7.4：有界点列(数列){x n }至少有一个聚点，且存在最大聚点与最小聚点.证：∵{x n }为有界数列，∴存在M>0，使得|x n |≤M ，记[a 1,b 1]=[-M,M]. 将[a 1,b 1]等分成两个子区间，若右边的子区间含有{x n }中无穷多个项，则取右边的区间，否则取左边的区间为[a 2,b 2]，则[a 1,b 1]⊃[a 2,b 2],且b 2-a 2=21(b 1-a 1)=M. [a 2,b 2]含有{x n }中无穷多个项； 将[a 2,b 2]等分成两个子区间，若右边的子区间含有{x n }中无穷多个项，则取右边的区间，否则取左边的区间为[a 3,b 3]，则 ∴[a 2,b 2]⊃[a 3,b 3],且b 3-a 3=21(b 2-a 2)=2M. [a 3,b 3]含有{x n }中无穷多个项； 依此规律，将等分区间无限进行下去，可得区间列{[a n ,b n ]}满足 [a n ,b n ]⊃[a n+1,b n+1],且b n -a n =2-n 2M→0 (n →∞)，即{[a n ,b n ]}是区间套，且 每一个闭区间都含有{x n }中无穷多个项，而 其右边至多只有{x n }中有限多个项.由区间套定理，存在唯一的一点ξ，使得ξ∈[a n ,b n ], n=1,2,….又对任给的ε>0，存在N>0，使得当n>N 时有[a n ,b n ]⊂U(ξ; ε)， ∴U(ξ; ε)内含有{x n }中无穷多个项，∴ξ为{x n }的一个聚点. 若ξ为{x n }的唯一的聚点，则ξ同时为{x n }的最大聚点和最小聚点. 若{x n }有聚点ζ>ξ，则令δ=31(ζ-ξ)>0，在U(ζ,δ)内含有{x n }中无穷多个项， 且当n 充分大时，U(ζ,δ)将落在[a n ,b n ]的右边，矛盾。
平面点集
内至少含有 E 中一个（不等于 M0 的）点，就称 M0是E 的一个聚点。
性质： 设 M0是 E 的聚点，则在 E 中存在一个点列
M n以 M0为极限。
6.闭集 设 E 的所有聚点都在 E 内，就称 E 是闭集。
7.区域
设 E 是一个开集，并且 E 中任何两点 M1 和 M2 之间都 可以用有限条直线所组成的折线连接起来，而这条折 线全部含在 E 中，我们就称 E 是区域。一个区域加上 它的边界就是一个闭区域。
§1 .平面点集
一、领域、点列的限
在解析几何中，我们已经知道平面上的点可以用坐标 x, y
来表示，又知道平面上任何两点M1x1, y1和 M2x2, y2 之
间的距离是
点 M0 x0, y0
，rM凡1,是M与2 M0距x1 离x2小2 于 y1(是y2某2 个现正在数，) 固的定那一
些点 M 组成的平面点集，叫做 M0的 领域，记为
收敛原理 平面点列 有极限的充要条件是：对任意 给定的 0 ，存在正整数 N ，当 n, m N 时，有
rMn, Mm
3边界点
设 M 是平面上的一点，它可以属于 E ，也可以不属 E
于M ，如果对M 的任何 领域 OM , ，其中既含有 E
的点，又含有非 E 的点，就称 M 是E 的一个边界点。 的边界点的全体叫做 E 边界。
4开集
如果 E 的点都是E 的内点，就称 E 是开集。
5聚点 设M0是平面上的一点，它可以属于 E ，也可以不属于
OM0, ,换句话说，领域 OM0, 是由坐标 x, y 满足下
列不等式
rM1, M2 x1 x2 2 y1 y2 2
收敛点集与上下极限的关系-概述说明以及解释
收敛点集与上下极限的关系-概述说明以及解释1.引言1.1 概述在数学分析中，我们经常会遇到一些数列或函数序列，它们可以收敛到某个特定的点集。
这个点集被称为收敛点集，它是序列中的元素或函数中的取值点的极限。
与收敛点集密切相关的概念是上下极限。
上下极限是用来描述给定数列或函数序列随着序号趋于无穷大时，序列中的元素或函数的取值所趋近的两个极限。
上下极限可以帮助我们更好地理解序列中元素的变化趋势。
本文将讨论收敛点集与上下极限之间的关系。
我们将首先介绍收敛点集的定义和性质，包括如何判断一个点是否属于收敛点集，以及收敛点集的一些重要性质。
接着，我们将讨论上下极限的定义和性质，包括如何计算上下极限以及它们的一些基本性质。
我们会探讨上下极限与序列的收敛性之间的关系，以及它们在数学分析中的应用。
最后，我们将重点讨论收敛点集与上下极限之间的关系。
通过研究收敛点集与上下极限的性质，我们可以得出一些重要的结论和定理。
这些定理不仅可以帮助我们更好地理解数列和函数序列的性质，还可以为我们解决一些实际问题提供重要的指导。
通过本文的研究，我们希望读者能够深入理解收敛点集与上下极限之间的关系，并能够灵活运用它们来解决数学分析中的问题。
同时，我们也希望通过本文的讨论，能够引发更多关于收敛点集和上下极限的研究和探索。
1.2 文章结构本文将分为三个主要部分，即引言、正文和结论。
在引言部分，将对收敛点集与上下极限的关系进行概述，并阐明文章的目的和结构。
首先，我们将简要介绍收敛点集和上下极限的定义和基本性质。
接着，我们将详细讨论收敛点集和上下极限之间的关系，并从理论和实例两方面进行论述。
在正文部分，将深入探讨收敛点集和上下极限的含义和特性。
首先，我们将阐述收敛点集的定义和性质，包括收敛点的特点和极限值的性质。
然后，我们将介绍上下极限的定义和性质，包括上极限和下极限的概念及其基本性质。
通过对这些基本概念和性质的了解，我们可以建立起收敛点集与上下极限之间的联系和关联。
高中数学讲义：利用数轴解决集合运算问题
利⽤数轴解决集合运算问题数形结合是解决高中数学问题的常用手段，其优点在于通过图形能够直观的观察到某些结果，与代数的精确性结合，能够快速解决一些较麻烦的问题。
在集合的运算中，涉及到单变量的取值范围，数轴就是一个非常好用的工具，本文将以一些题目为例，来介绍如何使用数轴快速的进行集合的交并运算。
一、基础知识：1、集合运算在数轴中的体现：:A B I 在数轴上表示为,A B 表示区域的公共部分:A B U 在数轴上表示为,A B 表示区域的总和:U C A 在数轴上表示为U 中除去A 剩下的部分（要注意边界值能否取到）2、问题处理时的方法与技巧：（1）涉及到单变量的范围问题，均可考虑利用数轴来进行数形结合，尤其是对于含有参数的问题时，由于数轴左边小于右边，所以能够以此建立含参数的不等关系（2）在同一数轴上作多个集合表示的区间时，可用不同颜色或不同高度来区分各个集合的区域。
（3）涉及到多个集合交并运算时，数轴也是得力的工具，从图上可清楚的看出公共部分和集合包含区域。
交集即为公共部分，而并集为覆盖的所有区域（4）在解决含参数问题时，作图可先从常系数的集合（或表达式）入手，然后根据条件放置参数即可3、作图时要注意的问题：（1）在数轴上作图时，若边界点不能取到，则用空心点表示；若边界点能够取到，则用实心点进行表示，这些细节要在数轴上体现出来以便于观察（2）处理含参数的问题时，要检验参数与边界点重合时是否符合题意。
二、例题精析：例1：（2009 安徽）集合{}21213,03x A x x B x x +ìü=-<=<íý-îþ，则A B I =_______思路：先解出,A B 的解集，()()11,2,,3,2A B æö=-=-¥-+¥ç÷èøU ，作出数轴，则A B I 即为它们的公共部分。
3.8 多维空间的点列极限
收敛。
• 定理1 （极限的唯一性）若平面上的点
列 An收 敛，则其极限唯一。
• 闭矩形套定理 设 是由矩 Tn an , bn cn , d n 形 a xn b，c yn d ，n 1,2,3, 所组成的矩 形序列，且满足：
1） ， T1 T2 Tn Tn1
2） lim n
记为 xn , y。n A0 x0 , y是0 平面上的一点，若对 A0
的任何一个 邻0 域 U A0 ,， 总存在整数
，N 当 n N时，有 An UA0 ,
即 xn x0 2 yn y0 2 ，称点列 An 收敛，A为0
An
的极限，记为
lim
n
An
A0或者 An
A0 n
。
bn
an
lim
n
dn
cn
0
那么存在唯一一点 T0 a0 ,含b0 于每一矩形之
中，即
， ， an a0 bn cn b0 dn n 1,2,3,
•
例
证明
R
4中点列
1 n
,2
1 ,1 n
1 n
n
,1
是收敛的。
• 由点列极限的定义，易知
• A0 x0 , y0 为点列 的极 A1 x1 , y1 , A2 x2 , y2 ,, An xn , yn , 限的充分必要条件是
lim
n
xn
x
0
,
lim
n
yn
y0
• 即xn , yn x0 , y0 n ，也就是说点列An 收 敛的充分必要条件是相应的坐标xn ,yn
组成A 的集合，记为 U，A0即,
UA0 , x1 , x2 ,, xn x1 x10 2 x2 x20 2 xn xn0 2
高数极限的知识点笔记总结
高数极限的知识点笔记总结一、数列极限的概念1.1、数列的概念1.1.1、若给定一个从自然数集合N到实数集合R的函数an=f(n),则称序列{an}为数列。
1.1.2、数列是数学中的一个重要概念，它是指有序的一串数的集合。
比如，1,2,3,4,5,6,... 就是一个数列，其中每一个数都有一个位置，称之为该数在数列中的项。
这个位置通常用自然数n表示，称为项数。
1.2、数列极限的概念1.2.1、若数列{an}的项在某一项之后，无论距离这一项多近，都能无限地接近某一个确定的常数A，则称常数A为数列{an}的极限。
极限通过记号lim(an)=A来表示。
1.2.2、数列极限的概念是指当n趋于无穷大时，数列中的项an的极限值。
1.2.3、形式化定义：对于数列{an}，若对于任意给定的正数ε>0，存在正整数N，使得当n>N时，|an-A|<ε，则称A是数列{an}的极限。
1.3、无穷大数列1.3.1、若数列{an}满足：对于任何实数M，存在正整数N，使得当n>N时，有|an|>M，则称数列{an}为无穷大数列。
1.3.2、无穷大数列的极限是无穷大。
1.4、数列极限的性质1.4.1、唯一性：数列的极限若存在，则唯一。
1.4.2、有界性：如果数列有极限，则这个数列一定是有界的。
1.4.3、保号性：如果数列{an}有极限A, 且A>0（或A<0），则存在正整数N1，当n>N1时，有an>0（或an<0）。
二、函数极限的概念2.1、函数极限的概念2.1.1、在自然数集N上定义的函数f(n)，若当n趋于无穷大时，f(n)的极限存在，则称函数f(n)在n趋于无穷大时有极限。
2.1.2、形式化定义：对于函数f(x)，若对于任意给定的正数ε>0，存在正数δ>0，使得当0<|x-a|<δ时，有|f(x)-A|<ε，则称A是f(x)当x趋于a时的极限。
点集
否则称为无界点集。
聚点定义
设点集X ⊆ En , x ∈ En , 如果存在点列{x k }， x k ∈ X 互异，使得 x k − x → 0(当k → +∞时)， 则称x 为X 的极限点( 或聚点)。
邻域定义
定义 En中所有到定点x0距离小于ε (> 0)的点所组成的集合， 称为以x0为中心的ε 邻域。
⇓
点集X = {1, 2,3} ⇒ 点集没有聚点
问题1：数列在什么情况有极限。 1）有界的单调数列必有极限； 2）（致密性定理）有界数列一定存在收敛子 ）（致密性定理） ）（致密性定理 列。 问题2：点集在什么情况有极限。 1）（ ）（Weierstrass定理） 定理） ）（ 定理 任意有界无限点集一定存在（极限点）聚点。
导（出）集、内域、闭包
点集X ( ⊆ En )的全体极限点所作成的集合 称为点集X 的导 (出) 集，记为X '。 X 的全体内点所作成的集合称为X 的内域，记为int ( X ) 或X 0。 我们称X ∪ X '为X 的闭包。记为cl( X )。
闭集与开集
若int ( X ) = X ，即集合X 的每一个点都是它的内点， 则称X 为开点集，简称开集。 若点集X ⊆ En ,且cl ( X ) = X ，则称X 为闭点集，简称闭集。
数轴上的点集与点列极限
C{xx23x20},则AC. 不含任何元素的集合称为空集. (记作 ) 例如, {xxR ,x210}
规定 空集为任何集合的子集.
2.区间: 是指介于某两个实数之间的全体实数. 这两个实数叫做区间的端点.
a ,b R ,且 a b .
{xaxb} 称为开区间, 记作 (a,b)
oa
b
x
{xaxb} 称为闭区间, 记作 [a,b]oa Nhomakorabeab
x
{xaxb} 称为半开区间, 记作 [a,b)
{xaxb} 称为半开区间, 记作 (a,b]
1.集合: 具有某种特定性质的事物的总体.
组成这个集合的事物称为该集合的元素.
aM, aM,
A { a 1 ,a 2 , ,a n }
有限集
M{xx所具有的}特无征限集
若 x A ,则 x B 必 ,就 A 是 说 B 的.子集 记作 AB.
数集分类: N----自然数集 Z----整数集 Q----有理数集 R----实数集
有限区间
[a,) {xax} (,b ){xxb }
无限区间
oa
x
ob
x
区间长度的定义:
两端点间的距离(线段的长度)称为区间的长度.
3.邻域: 设 a与 是两个 , 且 实 0.数
数 {xx 集 a } 称a 的 为 邻 ,点 域
点a叫做这邻域的中心, 叫做这邻域的半径.
U ( a ) { x a x a } .
点列极限[整理版]
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第三章 点列极限极限是数学分析的最重要的工具，数学中很多重要的概念和方法都和极限有关，并且在实际问题中极限也占有重要的地位。
第一节 数列极限的概念所谓极限，简单的说就是研究当自变量变化时，函数随之变化的趋势问题我们首先讨论数列极限。
一 数列极限的定义与几何意义一列无穷多个数,,,,,321n a a a a按次序一个接一个的排列下去，就构成一个数列。
这个数列中，第一个数是1a ，第二个数是2a ，…，第n 个数是n a ，等等，或者说这个数列的第n 项是n a ，我们记这个数列为{}n a 。
要注意，{}n a 打了花括号后就表示一个数列，而不是一个数。
另外，我们也可以把数列看成是以自然数为自变量的函数，记作()n f a n =，即()() ,,,1n f f 。
下面是一些简单的数列的例子：（1）⎭⎬⎫⎩⎨⎧n 21， 即 ,21,,61,41,21n （2）⎭⎬⎫⎩⎨⎧+n n 12， 即 ,12,,37,25,3n n + （3）(){}n11-+, 即(),11,,0,2,0n-+（4）{}n3即,3,,27,9,3n考察当自变量n 无限增大时，通项n a 的变化趋势。
不难看出，上面数列（1）和（2）中，通项n a 无限趋向于某个确定的数；而数列（3）与（4）中，通项n a 不趋向于某个确定的数。
一般情况下，设数列{}n a ，当项数n 无限增大时，如果通项n a 无限趋近于某个常数c ，所谓n a 无限趋近于c ，可用距离c a n -无限趋近于0来表示，以数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧+n n 12为例：对于⎭⎬⎫⎩⎨⎧+n n 12：n a c a n n 12=-=-若要10012<-n a ，即10011<n ，得100>n 。
这表示从数列的第101项起，以后各项与2之差的绝对值小于1001；若要100012<-n a 即100011<n ，得1000>n 。
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数轴上的点集与点列极限
第一节 实数集
一,实数集与数轴 二,绝对与不等式 三,区间与领域 四,上确界,下确界
总体. 1.集合: 具有某种特定性质的事物的总体 1.集合: 具有某种特定性质的事物的总体 集合 组成这个集合的事物称为该集合的元素 组成这个集合的事物称为该集合的元素. 元素
数集间的关系: 数集间的关系 N Z , Z Q , Q R.
若A B , 且B A, 就称集合 A与B相等 . ( A = B )
例如 A = {1,2},
C = { x x 2 3 x + 2 = 0}, 则 A = C .
不含任何元素的集合称为空集 不含任何元素的集合称为空集. (记作 ) 空集 例如, 例如 { x x ∈ R, x + 1 = 0} =
x ≥ a 或 x ≤ a;
五,小结
基本概念 集合, 区间, 邻域, 常量与变量, 绝对值. 集合 区间 邻域 常量与变量 绝对值
�
o a
( ∞ , b ) = { x x < b}
无限区间
x o
b
x
区间长度的定义: 区间长度的定义: 两端点间的距离(线段的长度 称为区间的长度 两端点间的距离 线段的长度)称为区间的长度 线段的长度 称为区间的长度.
3.邻域: 3.邻域: 设a与δ是两个实数 , 且δ > 0. 邻域
数集{ x x a < δ }称为点a的δ邻域 ,
点a叫做这邻域的中心 , δ 叫做这邻域的半径 .
U δ (a ) = { x a δ < x < a + δ }.
δ
δ
x
a aδ a+δ 0 点a的去心的 δ邻域 , 记作 U δ (a ).
U δ (a ) = { x 0 < x a < δ }.
4.常量与变量: 4.常量与变量: 常量与变量 在某过程中数值保持不变的量称为常量 在某过程中数值保持不变的量称为常量, 常量 而数值变化的量称为变量 变量. 而数值变化的量称为变量 注意 常量与变量是相对"过程"而言的. 常量与变量是相对"过程"而言的 常量与变量的表示方法: 常量与变量的表示方法: 通常用字母a, 等表示常量, 通常用字母 b, c等表示常量 等表示常量 用字母x, 等表示 等表示变 用字母 y, t等表示变量.
2
空集为任何集合的子集. 规定 空集为任何集合的子集
2.区间: 是指介于某两个实数之间的全体实数. 2.区间: 是指介于某两个实数之间的全体实数 区间 这两个实数叫做区间的端点. 这两个实数叫做区间的端点
a , b ∈ R , 且a < b.
{ x a < x < b} 称为开区间 记作 (a , b ) 称为开区间,
o a x b 称为闭区间, { x a ≤ x ≤ b} 称为闭区间 记作 [a , b] o a
b
x
{ x a ≤ x < b} { x a < x ≤ b}
称为半开区间, 称为半开区间 记作 [a , b ) 称为半开区间, 称为半开区间 记作 (a , b] 有限区间
[a ,+∞ ) = { x a ≤ x }
a a≥0 a = a a < 0 运算性质: 运算性质 ab = a b ;
5.绝对值: 5.绝对值: 绝对值
( a ≥ 0)
a a = ; b b
绝对值不等式: 绝对值不等式
a b ≤ a ± b ≤ a + b.
x ≤ a ( a > 0) x ≥ a ( a > 0)
a ≤ x ≤ a;
a∈ M, a M, A ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ {a1 , a 2 , , a n }
有限集
M = { x x所具有的特征 } 无限集
若x ∈ A, 则必x ∈ B , 就说A是B的子集 . 记作 A B .
数集分类: 数集分类
N----自然数集 自然数集 Q----有理数集 有理数集
Z----整数集 整数集 R----实数集 实数集