基变换与坐标变换

( 1, 2 ,L , n ) (1, 2 ,L , n )B 则有，( 1, 2 ,L , n ) ((1,2 ,L ,n ) A)B
(1,2 ,L ,n )AB
§6.4 基变换与坐标变换
二、坐标变换
1、定义
V为数域P上n维线性空间 ，1, 2 ,L , n;
1
,
2
,L
,
n
为V中的两组基，且
则称矩阵
A
a21 L an1
a22 L an2
L L L
a1n
a2n L ann
为由基1 , 2 ,L , n到基 1, 2 ,L , n 的过渡矩阵
（transition matrix）；
称 ① 或 ② 为由基 1 , 2 ,L , n到基 1, 2 ,L , n
的基变换公式．
§6.4 基变换与坐标变换
第六章 线性空间
§1 集合·映射
§5 线性子空间
§2 线性空间的定义 §6 子空间的交与和
与简单性质
§7 子空间的直和
§3 维数·基与坐标
§8 线性空间的同构
Байду номын сангаас
§4 基变换与坐标变换
§6.4 基变换与坐标变换
一、基变换 二、坐标变换
§6.4 基变换与坐标变换
引入
n维线性空间V中，任意n个线性无关的向量都 可取作线性空间V的一组基．V中任一向量在某一 组基下的坐标是唯一确定的，但是在不同基下的坐 标一般是不同的．因此如何选择适当的基使我们所 讨论的向量的坐标比较简单是一个实际的问题．
⑥
x1 a11 a12 L a1n 1 x1
或
x2 xMn
a21 L an1
a22 L an2
L L L
a2n L ann
x2
xMn
⑦
称⑥或⑦为向量ξ在基变换⑤下的坐标变换公式．
§6.4 基变换与坐标变换
例1 在Pn中，求由基 1, 2 ,L , n 到基1,2 ,L ,n 的过渡矩阵及由基1,2 ,L ,n 到基 1, 2 ,L , n 的过
L
a12 1
LL
a1n 1
L
a22 2 L
LLLL
a2n 2 L
L
an2 n
LL
ann n
①
即，
§6.4 基变换与坐标变换
a11 a12 L a1n
(1, 2 ,L
, n )
(1, 2 ,L
,
n
)
a21 L
a22 L LL
a2n L
②
an1 an2 L ann
a11 a12 L
即，1,2 ,L ,n也可由 1, 2 ,L , n 线性表出.
1,2 ,L
,n与1, 2 ,L
,
等价.
n
§6.4 基变换与坐标变换
故 1, 2,L , n 线性无关，从而也为V的一组基. 并且A就是1,2 ,L ,n到1, 2 ,L , n 的过渡矩阵. （2）若由基 1,2 ,L ,n到基1, 2 ,L , n 过渡矩阵为A, 则由基 1, 2 ,L , n到基1,2 ,L ,n 过渡矩阵为A-1.
2、有关性质
（1）过渡矩阵都是可逆矩阵；反过来，任一可逆矩阵
都可看成是两组基之间的过渡矩阵．
证：若 1,2 ,L ,n; 1, 2 ,L , n 为V的两组基, 且由基 1,2 ,L ,n到1, 2 ,L , n 的过渡矩阵为A，
即 (1, 2 ,L , n ) (1,2 ,L ,n ) A
③
§6.4 基变换与坐标变换
§6.4 基变换与坐标变换
反过来，设 A (aij )nn 为P上任一可逆矩阵，
任取V的一组基 1,2 ,L ,n ,
n
令 j aiji , j 1,2,L , n
i 1
于是有， (1, 2 ,L , n ) (1,2 ,L ,n ) A
由A可逆，有 (1,2,L ,n ) (1, 2,L , n )A1
x1
x1
(1, 2 ,L
,
n
)
x2 M
与
(1, 2 ,L
,
n
)
x2 M
xn
xn
§6.4 基变换与坐标变换
x1 a11 a12 L a1n x1
则
x2 M xn
a21 L an1
a22 L an2
L L L
a2n L ann
x2 M xn
解：
1 1 2 L n
∵
2LnLL
2
L
L
L L
L
n
n
1 0 L 0
∴
(1,2 ,L
,n )
(1, 2,L
,
n
)
1 L 1
1 L 1
L L L
又由基 1, 2 ,L , n到1,2 ,L ,n 也有一个过渡矩阵,
设为B，即 (1,2 ,L ,n ) (1, 2 ,L , n )B
④
比较③ 、④两个等式，有
(1, 2 ,L , n ) (1, 2 ,L , n )BA
(1,2 ,L ,n ) (1,2 ,L ,n ) AB Q 1,2 ,L ,n; 1, 2 ,L , n 都是线性无关的, AB BA E. 即，A是可逆矩阵,且A－1＝B.
为此我们首先要知道同一向量在不同基下的坐 标之间有什么关系，即随着基的改变，向量的坐标 是如何变化的.
§6.4 基变换与坐标变换
一、基变换
1、定义
设V为数域P上n维线性空间，1, 2 ,L , n ； 1, 2 ,L , n 为V中的两组基，若
1 a111 a21 2 L an1 n
Ln2
a11 a12 L a1n
(1, 2 ,L
, n )
(1, 2 ,L
,
n
)
a21 L an1
a22 L an2
L L L
a2n L ann
⑤
§6.4 基变换与坐标变换
设 V 且ξ 在基 1, 2 ,L , n 与基 1, 2 ,L , n
下的坐标分别为 ( x1, x2 ,L , xn ) 与 ( x1 , x2 ,L , xn ) ， 即，
§6.4 基变换与坐标变换
（3）若由基 1,2 ,L ,n到基1, 2 ,L , n 过渡矩阵为A, 由基 1, 2 ,L , n到基 1, 2 ,L , n 过渡矩阵为B， 则由基 1,2 ,L ,n到基 1, 2 ,L , n 过渡矩阵为AB. 证：若 (1, 2 ,L , n ) (1,2 ,L ,n ) A
渡矩阵．其中
1 (1,0,L ,0), 2 (0,1,L ,0),L , n (0,L ,0,1) 1 (1,1,L ,1),2 (0,1,L ,1),L ,n (0,L ,0,1) 并求向量 (a1,a2 ,L ,an )在基 1,2 ,L ,n 下的坐标.
§6.4 基变换与坐标变换