定区间动轴法求区间最值

“定区间动轴法”求区间最值

所谓“定区间动轴法”，就是将自变量所在区间[,]a b （或(,)a b ）标在数轴上，无论该区间是动的还是静的，根据运动的相对性，都将其看作“静止”的，然后分对称轴0x a <、a ≤0x ≤b 、0x b >三种情况进行讨论，特别地，如果二次函数图象开口向上求区间最大值或二次函数图象开口向下求区间最小值时，只需分02

a b

x +<

和0x ≥

2

a b

+两种情况进行讨论.这样让区间标在数轴上不动，而让二次函数图象的对称轴移动，分类方法非常明确、思路清晰、条理性强，这样可做到不重不漏，并且简捷易行.

1．条件中给出区间，直接采用“定区间动轴法”求区间最值

例1已知2()43,f x x x x R =++∈，函数()g t 、()h t 表示函数()f x 在区间[,1]t t +上的最小值，最大值，求()g t 、()h t 表达式.

分析：此题属于区间最值问题，结合图形，将区间[,1]t t +在数轴上相对固定，让对称轴2x =-的区间[,1]t t +内外移动，即分成2t -<；t ≤2-≤1t +；21t ->+三种情况进行讨论，结合图形便可轻松求出函数()f x 在区间[,1]t t +上的最小值.而只需分

2-≤

(1)2t t ++与(1)

22

t t ++->两种情况讨论便可求出()f x 在区间[,1]t t +上的最大值. 解：由22()43(2)1f x x x x =++=+-，知图象关于2x =-对称，结合图象知，

当2t -<，即2t >-时，2()()43g t f t t t ==++；

而当t ≤2-≤1t +，即3-≤t ≤2-时，()(2)g t f =-

当12t +<-，即3t <-时，2()(1)68g t f t t t =+=++.

∴2268,(,3)()1, [3,2]43,(2,)t t t g t t t t t ⎧++∈-∞-⎪

=-∈--⎨⎪++∈-+∞⎩

.

当2-≤(1)2t t ++，即t ≥5

2

-时，2()(1)6

h t f t t =+=+当(1)22t t ++->

，即5

2

t <-时，2()()43h t f t t t ==++∴22568,[,)2

()543,(,)2

t t t h t t t t ⎧++∈-+∞⎪⎪=⎨⎪++∈-∞-⎪⎩.

评注：本题采用了“定区间动轴法”， 分2t -<；t ≤2-≤1t +；21t ->+三种情况和2-≤

(1)2t t ++；(1)

22

t t ++->两种情况进行讨论，使本来因分类讨论带来的繁琐、思维混乱，变得脉络清晰、思维流畅、条理性强，降低了分类讨论中因分类不清带来的难度.此法是解决区间最值的一种非常有效的方法.该法是数形结合是重要体现，是研究数学的一个重要手段，是解题的一个有效途径，用数形结合法解题，直观、便于发现问题，启发思考，有助于培养我们综合运用数学知识解决问题的能力.应用分类讨论思想的前提是：审题准确、切入方向正确、分类严谨.引起分类讨论的原因主要有：字母的符号、字母的大小、函数图象对称轴的位置等.有时分类讨论思想应用的很隐蔽，需要我们仔细发掘.在讨论时，要做到尽量简捷、不重不漏.当然，有时也可采用转化思想避开分类讨论，这需要有较强的转化能力与转化意识.

例2已知二次函数()y f x =的定义域为R ，(1)2f =且在x t =处（t ∈R ）取得最值，若()y g x =为一次函数，且2()()23f x g x x x +=+-

(1)求()y f x =的解析式

(2)若[1,2]x ∈-时，()f x ≥1-恒成立，求t 的取值范围

分析：（2）若[1,2]x ∈-时，()f x ≥1-恒成立，条件的实质即为：当[1,2]x ∈-时

()f x 的最小值在于或等于1-，从而将问题归结为区间最值问题.作出函数的大致图

象，借助函数图象的直观性让区间定，对称轴动，分三种情况进行讨论.

解：(1)设2()()f x a x t b =-+，∵()g x 为一次函数，∴1a = 又(1)2f =，∴2(1)2t b -+=，∴221b t t =-++，

∴()2221f x x tx t =-++ (2)即min ()f x ≥1-

①当1t <-时，min [()]f x =(1)f -=24t +≥1-，得t ≥34

-

②当1-≤t ≤2时，min [()]()f x f t ==221t t -++≥1-，得1t ≤1+③当2t >时，min [()]f x =()2421f t =-+≥1-，得t ≤3

由①，②，③得：1-t ≤3.

评注：给定自变量区间求解最值问题时，最重要的策略就是结合二次函数图象，利用对称轴与区间的位置关系，可直观显示相应的最值.

2．通过化归转化将问题归结为区间最值问题，再采用“定区间动轴法”求解

例3设函数2()45f x x x .

当2k 时，求证：在区间[1,5]上，3y kx k 的图像位于函数()f x 图像的上

方.

分析：通过转化思想，将文字语言3y kx k 的图像位于函数()f x 图像的上方，转化为符号语言2

()

(3)(45)

0g x k x

x x

，当[1,5]x 时恒成立.而当

[1,5]x 时，2

()

(3)(45)

0g x k x

x x

恒成立只需min [()]0g x ，所以，本题

的实质为区间最值问题.

解：当[1,5]x 时，2

()

45f x x x .

2

2

42036

2

4

k k k x

，

2k ，∴

412

k . 又15x ，

① 当41

12k ，即26k 时，取42

k

x

， min

()g x 2

2

2036

1

10644

4

k k k .

2

16

(10)64,

k ∴2(10)640k ，

则min ()0g x .

②当

412

k ，即6k 时，取1x

， min ()g x ＝20k

.

由 ①、②可知，当2k 时，()0g x ，[1,5]x .