差微分方程模型简介

6.具有离散年龄结构的单种群模型 把所讨论物种的最大成活年龄区间分成n个相等的子区间, 同时把从t0开始的时间也按与年龄子区间相等的长度加以 划分,在将这两类子区间分别从小到达加以编号,用xij表示在 第j个时间段内年龄位于第i段的种群规模.假定种群的规模 只决定于时间和年龄,或略密度制约因素. a.设pi是年龄处于第i段的个体能活到i+1段的概率,即
此为著名的leslie矩阵模型.
7.具有扩散的单种群模型 具有扩散的单种群模型 由于环境容纳量的限制或者环境条件的改变等影响,种群 有时会在两个或多个栖息地间迁徙. 种群规模(密度)大的 斑块上种群通常向种群规模(密度)小的斑块迁徙或扩散.
x dx1 = x1 (1 − 1 ) + D1 ( x2 − x1 ) dt K1 dx2 = x (1 − x2 ) + D ( x − x ) 2 2 1 2 dt K2
1 dx = r x dt or dx = rx ( t ) dt
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X(t)表t时刻人口数,模型表为t时刻种群的变化率是与种群数 目成正比.r为内禀增长率,是种群的出生率b与死亡率d之差.
方程的解为
x = x0 e rt
当 r > 0, x(t ) → +∞ (t → +∞)
Malthus模型当t不很长时是比较符合实际的,但当t趋于无 穷大时x(t)将无限增长是与实际不符的.问题在于建立数学 模型时没有考虑到有限的资源对种群规模增长的制约作用. 2.Logistic模型 模型
定义3.3 如果一个函数带入差分方程后,方程两边相等,则 定义 称此函数为差分方程的解.
例： + 2 x为方程y x +1 − y x = 2的解。 13
定义3.4 形如p0 ( x) y x + p1 ( x) y x +1 + L + pn ( x) y x + n = K ( x) 的差分方程成为n阶线性差分方程.当K ( x) = 0时成为线性 齐次差分方程, 否则成为非齐次差分方程. 定义3.5 若p0 ( x), p1 ( x),L , pn ( x)均为常数时, 上述方程 称为线性其次差分方程. 其特征方程记为 : p0 + p1λ + p2 λ2 + L + pn λn = 0 若其根为λi , 则λix为原差分方程的一解.
2. 常微分方程定义 凡含有未知函数,未知函数的导数与自变量之间的关系的 方程,叫做微分方程.未知函数是一元函数的叫常微分方程, 未知函数是多元函数的叫偏微分方程. 微分方程中所出现 的未知函数的最高阶导数的阶数叫做微分方程的阶.n阶 微分方程形如
F ( x, y, y ' ,..., y ( n ) ) = 0
种群生态学研究的主要问题有两个: (1)种群随时间的变化规律.随着时间的推移,种群是持续生存 还是绝灭,种群规模是否具有平衡态,有几个,是静平衡还是动 平衡等等. (2)如何对可再生资源进行开发利用才能既保持生态平衡,又 获取最大的经济效益. (1)单种群模型 单种群模型 1.Malthus人口模型 人口模型
三.流行病动力学模型简介 流行病动力学模型简介
流行病的传播规律和防治对策的研究是关系到人类信息 和国计民生的重大问题.近年来,随着环境的污染,生态的 破坏及国际交流的频繁,使过去得以控制的某些传染病再 次抬头蔓延,一些新的传染病也来势凶猛,这使流行病的 研究显得更为重要和迫切. 下面将通过一些基本模型介绍流行病动力学的建模思想, 基本知识和常用的方法. (1).Kermark-mckendrick的SIR模型(仓室)1927 (1).Kermark-mckendrick的SIR模型(仓室)1927 模型
y0 , y1 , L , y x , L
则差 y x +1 − y x 称为函数有y=f(x) 的一阶差分,记为 ∆y x
即 ∆y x = y x +1 − y x , 从而，∆ ∆y x） ∆y x +1 − ∆y x （ = = y x + 2 − y x +1 − ( y x +1 − y x ) = y x + 2 − 2 y x +1 + y x 记为 ∆2 y x ,即∆2 y x =∆ ∆y x）称为函数的二阶差分. （ ,
x,y分别表示两种群的规模(密度),系数b1与c2为非正常数,反映 两种群的密度制约因素.c1与b2反映另一种群对本种群的影响 因素.a1与a2分别为两种群的内禀增长率. (1)捕食型:c1b2<0,如鱼和虾米. (2)竞争型:c1<0,c2<0,每一种群的存在限制另一种群规模的增 长,二者共同竞争资源. (3)合作型:c1>0,c2>0,如蜜蜂和花朵,二者相互促进对方的 增长.
xi +1, j +i = pi xij
b.设Bi是年龄为i段的每一个体在一个时间段内平均生育的 下一代数量,即
x1 j +1 = B1 x1 j + B2 x2 j + B3 x3 j + L + Bn xnj
即
x1 j +1 = B1 x1 j + B2 x2 j + B3 x3 j + L + Bn xnj x2 j +1 = p1 x1 j x3 j +1 = p2 x2 j LL xnj +1 = pn −1 xn −1 j
(2)连续分布时滞模型 若t时刻种群规模的相对增长率依赖于t时刻以前的整个历史 时期中种群规模的发展,而在不同时刻又以不同的权函数p(u) 影响,则有 +∞ 1 dx = ∫ f [ x(t − u )] p (u )du 0 x dt 5.具有生理阶段结构的单种群模型 具有生理阶段结构的单种群模型 实际上,年龄是影响种群规模的一个重要指标.因为在不同年龄 段的生物群体具有不同的生育力和死亡率,涉及年龄的模型有 三类: (1)按年龄段划分为若干阶段(幼,成,老),建立常微分方程组模型 (2)离散地划分年龄,建立矩阵代数方程. (3)考虑年龄连续分布,建立一阶偏微分方程.
(2).Kermark-Mckendrick的SIS模型1932 (2).Kermark-Mckendrick的SIS模型1932 模型 假设恢复者不具有免疫力而被再次传染. S 模型为 dS
dt dI dt
βSI
1
I
+ 1 1 I
τ 表示平均
不考虑人口的流动和自然出生和死亡.即环境封闭,切疾病随时间的 变化与自然死亡随时间的变化要显著得多.

dS = dt dI = dt dR = dt
− β SI
β SI −
1
1
τ
I
τ
I
系统性质如下: 1. S(t)+I(t)+R(t)=K, K为总人口,是常数. 2. 系统可简化为如下系统
类似于常系数线性齐次常微分方程的通解的构造,我们只 需找到该差分方程的n 个线性无关的解,作出其线性组合即 可.
常见的一阶差分方程 设 f 是由区间[a,b]到其自身的一个连续映射,一阶自治差 分方程的一般形式为
xn +1 = f ( xn ) n = 0,1,2...
给定初值
x0 ,通过上式反复迭代上述方程的解为一数列
dS dt dI dt = − β SI = I (β S − 1 ⇔ ) dI dS = −1 +
ρ
S
(ρ =
1
βτ
)
τ
3. lim S (t ) = S ∞ 存在.
t →∞
4. S = ρ时，达到极大值。故当初始易感者S (0) = S 0 > ρ I
时,随时间的推移,染病者先将增加达到最大值而后逐渐减少 最终消亡. 5.令 R0 = βτS 0 .当R0>1时疾病流行,R0<1时疾病不会流行,染病 者单调减少而趋于零.R0称为基本再生数. 6.为防止疾病的流行,需控制R0<1,即可以加强治疗缩短病程, 也可以通过免疫接种使易感者获得免疫力而直接成为移初者.
1 dx x = r (1 − ) x dt K or dx x = rx (1 − ) dt k
K>0为环境容纳量.它表示保持种群规模增长,环境所能容纳 的最大种群规模.种群规模的相对增长率与当时所剩余的资 源份量(1-x/K)成正比.
3.离散的 离散的Logistic模型 离散的 模型 离散模型通常用以描述世代不重叠的种群(蚕).设第n代种群 规模为xn ,则离散的logistic模型为
lim
x→ x
0
f (x) − f (x0 ) = x − x0
为函数在点 x = x 0 处的导数. 函数在某点处的导数反映了因变量随自变量的变化而变化 的快慢程度,是刻画函数变化率的一个重要数学量. 任意一个涉及到两个变量之间变化率的实际问题均可考虑 建立微分方程模型来进行讨论.如速率,出生率,死亡率等.
xn xn +1 = rxn (1 − ) , n = 0,1, 2, ... K
4.具有时滞的单种群模型 具有时滞的单种群模型 (1)确定时滞模型
1 dx x (t − τ ) = r (1 − ) x dt K
τ 是妊娠所需要的时间.事实上, t时刻种群的相对增长率取决于
t − τ 时刻种群的规模.时刻增加的个体,在 t − τ 时已孕育在母体.
类似地, 可定义二阶以上的差分. 定义3.2 含有未知函数差分或表示未知函数几个时期的 定义 符号的方程称为差分方程.差分方程中未知函数的最大值 与最小值之差称为差分方程的阶.例如
F ( x, y x , y x +1 , L, y x + n ) = 0 G ( x, y x , y x −1 , L, y x − n ) = 0 都属于n阶差分方程
微分与差分方程模型简介
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常微分与常差分方程的定义 种群动力学模型简介 流行病动力学模型简介 模型性态分析方法简介
一.常微分与常差分方程的定义 常微分与常差分方程的定义
1.导数的定义及其意义 导数的定义及其意义 设函数
y = f (x) 在点
x = x 0 的某域内有定义,则称极限
f '( x0 )
特别地,一阶微分方程为
F ( x, y, y ' ) = 0 or y ' = f ( x, y )
需要注意:n阶微分方程的通解含有n个任意常数. 若需确定 这 n 个任意常数,需给出n个初始条件.但并非每个微分方程 或方程组均可求出其解.
3.差分与差分方程 差分与差分方程 定义3.1 设函数 y=f(x),记为yx .当x 取遍非负整数时,所 定义 得函数值可排成一数列:
x0 , x1 , ..., xn , ...
二.种群动力学模型简介
种群动力学是用动力学的方法去研究种群生态学,而种群生态 学是生态学的一个重要分支,也是迄今为止数学在生态中应用 的最广泛深入,发展的最为系统和成熟的分支. 下面将通过数 学生态学中的一些基本动力学模型,简要介绍建模思想,及常 用的研究方法. 生态学是研究生物的生存条件,生物群与环境之间相互作用的 过程及其规律的科学.在一特定时间内占据一定空间的同一物 种的集合成为一个种群,种群的每个成员成为一个个体. 种群生态学的着眼点在整个种群的演变规律和发展趋势,而往 往忽略个体的特性.
现实世界中种群不可能单独生存,它必于相关种群相互作用, 相互依存.这样,基于单种群模型,各种多种群相互作用模型被 建立与讨论.
(2)双种群模型
Lotka-volterra 模型
dx = x ( a 1 + b1 x + c 1 y ) dt dy = y (a 2 + b2 x + c2 y ) dt
1
S
β SI
I
τ
I
R
把人群分为三类: 1. 易感者类,指t时刻尚未感染但有可能感染成为传染病人者,其数量记 易感者类 为S(t). 2. 染病者类 染病者类,指t时刻已被传染成为病人者,其数量记为I(t). 3. 移除者类 移除者类,指t时刻已恢复且具有免疫力者以及因病死亡者, 其数量记 为R(t). 做如下三个假设: : 1. 2. 3. 单位时间内每一病人接触易感者的数量为 βS ,从而在时刻单位时 间内被所有病人传染的人数为βSI . 单位时间内移出染病者类即恢复的比例为常数 1/τ . 病程时间,在时间τ 内或者病人全部恢复或因病死亡