分类讨论思想复习
高考数学专题复习(数形结合、分类讨论思想)
专题4 数形结合、分类讨论思想一．知识探究：1．数形结合作为一种重要的数学思想方法历年来一直是高考考察的重点之一。
数形结合是数学解题中常用的思想方法，使用数形结合的方法，很多问题能迎刃而解，且解法简捷。
所谓数形结合，就是根据数与形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的一种重要思想方法。
数形结合思想通过“以形助数，以数解形”，使复杂问题简单化，抽象问题具体化能够变抽象思维为形象思维，有助于把握数学问题的本质，它是数学的规律性与灵活性的有机结合。
数形结合的途径:（1）通过坐标系形题数解（2）通过转化构造数题形解 数形结合的原则:（1）等价性原则；（2）双向性原则；（3）简单性原则2．分类讨论是一种重要的数学思想方法，当问题的对象不能进行统一研究时，就需要对研究的对象进行分类，然后对每一类分别研究，给出每一类的结果，最终综合各类结果得到整个问题的解答。
分类原则：（1）对所讨论的全域分类要“即不重复，也不遗漏”（2）在同一次讨论中只能按所确定的一个标准进行（3）对多级讨论，应逐级进行，不能越级；二．命题趋势分类讨论思想是一种重要的数学思想，它在人的思维发展中有着重要的作用，因此在近几年的高考试题中，他都被列为一种重要的思维方法来考察。
分类讨论是每年高考必考的内容，预测对本专题的考察为：将有一道中档或中档偏上的试题，其求解思路直接依赖于分类讨论，特别关注以下方面：涉及指数、对数底的讨论，含参数的一元二次不等式、等比数列求和，由n S 求n a 等。
纵观多年来的高考试题，巧妙运用数形结合的思想方法解决一些抽象的数学问题，可起到事半功倍的效果，数形结合的重点是研究“以形助数”。
三．再现性题组1．集合A ＝{x||x|≤4,x ∈R}，B ＝{x||x －3|≤a ，x ∈R}，若A ⊇B ，那么a 的范围是（ ）。
A. 0≤a≤1B. a≤1C. a<1D. 0<a<1 对参数a 分a>0、a ＝0、a<0三种情况讨论，选B ；2. 若θ∈(0, π2)，则lim n →∞cos sin cos sin n n n n θθθ＋θ-的值为（ ）。
第63课 第二轮总复习(2)分类讨论思想
1 2
，现有 a(a＞0)桶水，可以清洗一次。也可以把水平均分 2 份后清洗两
次，试问哪种方；案上残留的农药比较少？说明理由
3.田忌赛马是一个为人熟知的故事，传说战国时期，齐王与田忌个有等级为上、中、下 的三匹马，同等级的马中，齐王的马比田忌的马强，有一天，齐王要与田忌塞马，双 方约定：比赛三局，每局各出一匹马，每匹马赛一次，赢得两局者为胜，看样子田忌 似乎没有什么胜的希望，但是田忌的谋士了解到主人的上、中等马分别比齐王的中、 下等马要强………… （1）如果齐王将马按上、中、下的顺序出阵比赛，那么田忌的马如何出阵，田忌才能 取胜？ （2）如果齐王将马按上、中、下的顺序出阵，而田忌的马随即出阵比赛，田忌获胜的 概率是多少？（要求写双方对阵的所有情况）
见学案
4
(2)已知矩形的长大于宽的 2 倍，周长为 12，从它的一个顶点，作一条射线，将矩形 分成一个三角形和一个梯形，且这条射线与矩形一边所成的角的正切值等于
1 ， 2
设梯形的面积为 S，梯形中较短的底的长为 x，试写出梯形面积 S 关于 x 的函数关 系式，并指出自变量 x 的取值范围．
布置作业 教后记
（4）一次函数 y=kx+b 的自变量取值范围是-3 小于等于 x 小于等于 6，相应函数值的取 值范围是-5 小于等于 y 小于等于 2。则这个一次函数的解析式为＿＿＿＿ 5.选择： （1）若 x2+4(m-2)x+16 是完全平方式，则 m 等于（ ） A.6 B. 4 C. 0 D. 4 或 0 （2）若圆 O 所在平面内的一点 P 到圆 O 上的点的最大距离为 a,最小距离为 b(a＞b)， 则此圆的半径为（ ） A.
B C
8.依法纳税是每个公民应尽的义务，从 2006 年 1 月 1 日起，个所得税的起征点从 800 元提到 1600 元。 月工资个人所得税税率表(与修改前一样): (1)某同学父亲 2006 年 10 月工资是 全月应纳税所得额 税率(%) 3000 元（未纳税） ，问他要纳税多 不超过 500 元的部分 5 少？ 超过 500 元至 2000 元的部分 10 (2)某人 2006 年 8 月纳税 150.1 元，那 超过 2000 元至 5000 元的部分 15 么此人本月的工资（未纳税）是多 …… …… 少元？此所得税法修改前少纳税多 少元？ (3)已知某人 2006 年 9 月激纳个人所得税 a（0＜a＜200）元,求此人本月工资（未纳税） 是多少元？
高考数学复习 分类讨论思想、转化与化归思想
第2讲 分类讨论思想、转化与化归思想数学思想解读1.分类讨论的思想是当问题的对象不能进行统一研究时，就需要对研究的对象按某个标准进行分类，然后对每一类分别研究，给出每一类的结论，最终综合各类结果得到整个问题的解答.实质上分类讨论就是“化整为零，各个击破，再集零为整”的数学思想.2.转化与化归思想方法用在研究、解决数学问题时，思维受阻或寻求简单方法或从一种状况转化到另一种情形，也就是转化到另一种情境使问题得到解决，这种转化是解决问题的有效策略，同时也是获取成功的思维方式.热点一 分类讨论思想的应用应用1 由概念、法则、公式、性质引起的分类讨论【例1】 (1)若函数f (x )＝a x (a >0，a ≠1)在[－1，2]上的最大值为4，最小值为m ，且函数g (x )＝(1－4m )x 在[0，＋∞)上是增函数，则a ＝________； (2)在等比数列{a n }中，已知a 3＝32，S 3＝92，则a 1＝________. 解析 (1)若a >1，有a 2＝4，a －1＝m ，解得a ＝2，m ＝12. 此时g (x )＝－x 为减函数，不合题意. 若0<a <1，有a －1＝4，a 2＝m ， 故a ＝14，m ＝116，检验知符合题意.(2)当q ＝1时，a 1＝a 2＝a 3＝32，S 3＝3a 1＝92，显然成立.当q ≠1时，由a 3＝32，S 3＝92，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1q 2＝32， ①a 1（1＋q ＋q 2）＝92， ②由①②，得1＋q ＋q 2q 2＝3，即2q 2－q －1＝0， 所以q ＝－12或q ＝1(舍去).当q ＝－12时，a 1＝a 3q 2＝6， 综上可知，a 1＝32或a 1＝6. 答案 (1)14 (2)32或6探究提高 1.指数函数、对数函数的单调性取决于底数a ，因此，当底数a 的大小不确定时，应分0<a <1，a >1两种情况讨论.2.利用等比数列的前n 项和公式时，若公比q 的大小不确定，应分q ＝1和q ≠1两种情况进行讨论，这是由等比数列的前n 项和公式决定的.【训练1】 (1)(2017·长沙一中质检)已知S n 为数列{a n }的前n 项和且S n ＝2a n －2，则S 5－S 4的值为( ) A.8 B.10 C.16D.32(2)函数f (x )＝⎩⎨⎧sin （πx 2），－1<x <0，e x －1，x ≥0.若f (1)＋f (a )＝2，则a 的所有可能取值的集合是________.解析 (1)当n ＝1时，a 1＝S 1＝2a 1－2，解得a 1＝2. 因为S n ＝2a n －2，当n ≥2时，S n －1＝2a n －1－2，两式相减得，a n ＝2a n －2a n －1，即a n ＝2a n －1，则数列{a n }为首项为2，公比为2的等比数列， 则S 5－S 4＝a 5＝25＝32. (2)f (1)＝e 0＝1，即f (1)＝1. 由f (1)＋f (a )＝2，得f (a )＝1.当a ≥0时，f (a )＝1＝e a －1，所以a ＝1. 当－1<a <0时，f (a )＝sin(πa 2)＝1， 所以πa 2＝2k π＋π2(k ∈Z ).所以a 2＝2k ＋12(k ∈Z )，k 只能取0，此时a 2＝12， 因为－1<a <0，所以a ＝－22. 则实数a取值的集合为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫－22，1.答案 (1)D(2)⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫－22，1 应用2 由图形位置或形状引起的分类讨论【例2】 (1)(2017·昆明一中质检)已知双曲线的离心率为233，则其渐近线方程为________；(2)设圆锥曲线C 的两个焦点分别为F 1，F 2，若曲线C 上存在点P 满足|PF 1|∶|F 1F 2|∶|PF 2|＝4∶3∶2，则曲线C 的离心率等于________. 解析 (1)由于e ＝c a ＝233，∴c 2a 2＝a 2＋b 2a 2＝43，则a 2＝3b 2， 若双曲线焦点在x 轴上，渐近线方程y ＝±33x . 若双曲线焦点在y 轴上，渐近线方程y ＝±3x .(2)不妨设|PF 1|＝4t ，|F 1F 2|＝3t ，|PF 2|＝2t ，其中t ≠0. 若该曲线为椭圆，则有|PF 1|＋|PF 2|＝6t ＝2a ， |F 1F 2|＝3t ＝2c ，e ＝c a ＝2c 2a ＝3t 6t ＝12；若该曲线为双曲线，则有|PF 1|－|PF 2|＝2t ＝2a ， |F 1F 2|＝3t ＝2c ，e ＝c a ＝2c 2a ＝3t 2t ＝32. 答案 (1)y ＝±3x ，或y ＝±33x (2)12或32探究提高 1.圆锥曲线形状不确定时，常按椭圆、双曲线来分类讨论，求圆锥曲线的方程时，常按焦点的位置不同来分类讨论.2.相关计算中，涉及图形问题时，也常按图形的位置不同、大小差异等来分类讨论.【训练2】 设F 1，F 2为椭圆x 29＋y 24＝1的两个焦点，P 为椭圆上一点.已知P ，F 1，F 2是一个直角三角形的三个顶点，且|PF 1|>|PF 2|，则|PF 1||PF 2|的值为________.解析 若∠PF 2F 1＝90°.则|PF 1|2＝|PF 2|2＋|F 1F 2|2， 又因为|PF 1|＋|PF 2|＝6，|F 1F 2|＝25， 解得|PF 1|＝143，|PF 2|＝43，所以|PF 1||PF 2|＝72.若∠F 1PF 2＝90°，则|F 1F 2|2＝|PF 1|2＋|PF 2|2， 所以|PF 1|2＋(6－|PF 1|)2＝20， 所以|PF 1|＝4，|PF 2|＝2，所以|PF 1||PF 2|＝2.综上知，|PF 1||PF 2|＝72或2.答案 72或2应用3由变量或参数引起的分类讨论【例3】已知f(x)＝x－a e x(a∈R，e为自然对数的底).(1)讨论函数f(x)的单调性；(2)若f(x)≤e2x对x∈R恒成立，求实数a的取值范围.解(1)f′(x)＝1－a e x，当a≤0时，f′(x)>0，函数f(x)是(－∞，＋∞)上的单调递增函数；当a>0时，由f′(x)＝0得x＝－ln a，所以函数f(x)在(－∞，－ln a)上的单调递增，在(－ln a，＋∞)上的单调递减.(2)f(x)≤e2x⇔a≥xe x－ex，设g(x)＝xe x－ex，则g′(x)＝1－e2x－xe x.当x<0时，1－e2x>0，g′(x)>0，∴g(x)在(－∞，0)上单调递增.当x>0时，1－e2x<0，g′(x)<0，∴g(x)在(0，＋∞)上单调递减.所以g(x)max＝g(0)＝－1，所以a≥－1.故a的取值范围是[－1，＋∞).探究提高 1.(1)参数的变化取值导致不同的结果，需对参数进行讨论，如含参数的方程、不等式、函数等.本题中参数a与自变量x的取值影响导数的符号应进行讨论.(2)解析几何中直线点斜式、斜截式方程要考虑斜率k存在或不存在，涉及直线与圆锥曲线位置关系要进行讨论.2.分类讨论要标准明确、统一，层次分明，分类要做到“不重不漏”.【训练3】(2015·全国Ⅱ卷)已知函数f(x)＝ln x＋a(1－x).(1)讨论f(x)的单调性；(2)当f(x)有最大值，且最大值大于2a－2时，求a的取值范围.解(1)f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝1x－a.若a ≤0，则f ′(x )＞0，所以f (x )在(0，＋∞)上单调递增.若a ＞0，则当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1a 时，f ′(x )＞0；当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ，＋∞时，f ′(x )＜0，所以f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1a 上单调递增，在⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ，＋∞上单调递减.综上，知当a ≤0时，f (x )在(0，＋∞)上单调递增；当a ＞0时，f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1a 上单调递增，在⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ，＋∞上单调递减. (2)由(1)知，当a ≤0时，f (x )在(0，＋∞)上无最大值；当a ＞0时，f (x )在x ＝1a 处取得最大值，最大值为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＝ln 1a ＋a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1a ＝－ln a ＋a－1.因此f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＞2a －2等价于ln a ＋a －1＜0.令g (a )＝ln a ＋a －1，则g (a )在(0，＋∞)上单调递增， g (1)＝0.于是，当0＜a ＜1时，g (a )＜0；当a ＞1时，g (a )＞0. 因此，a 的取值范围是(0，1). 热点二 转化与化归思想 应用1 特殊与一般的转化【例4】 (1)过抛物线y ＝ax 2(a >0)的焦点F ，作一直线交抛物线于P ，Q 两点.若线段PF 与FQ 的长度分别为p ，q ，则1p ＋1q 等于( ) A.2a B.12a C.4aD.4a(2)(2017·浙江卷)已知向量a ，b 满足|a |＝1，|b |＝2，则|a ＋b |＋|a －b |的最小值是________，最大值是________.解析 (1)抛物线y ＝ax 2(a >0)的标准方程为x 2＝1a y (a >0)，焦点F ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，14a .过焦点F 作直线垂直于y 轴，则|PF |＝|QF |＝12a ，∴1p ＋1q ＝4a .(2)由题意，不妨设b ＝(2，0)，a ＝(cos θ，sin θ)， 则a ＋b ＝(2＋cos θ，sin θ)，a －b ＝(cos θ－2，sin θ). 令y ＝|a ＋b |＋|a －b | ＝（2＋cos θ）2＋sin 2θ＋（cos θ－2）2＋sin 2θ＝5＋4cos θ＋5－4cos θ，令y ＝5＋4cos θ＋5－4cos θ，则y 2＝10＋225－16cos 2θ∈[16，20].由此可得(|a ＋b |＋|a －b |)max ＝20＝25， (|a ＋b |＋|a －b |)min ＝16＝4，即|a ＋b |＋|a －b |的最小值是4，最大值是2 5. 答案 (1)C (2)4 2 5探究提高 1.一般问题特殊化，使问题处理变得直接、简单.特殊问题一般化，可以使我们从宏观整体的高度把握问题的一般规律，从而达到成批处理问题的效果.2.对于某些选择题、填空题，如果结论唯一或题目提供的信息暗示答案是一个定值时，可以把题中变化的量用特殊值代替，即可得到答案.【训练4】 在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若a ，b ，c 成等差数列，则cos A ＋cos C1＋cos A cos C＝________.解析 令a ＝b ＝c ，则△ABC 为等边三角形，且cos A ＝cos C ＝12，代入所求式子，得cos A ＋cos C 1＋cos A cos C ＝12＋121＋12×12＝45.答案 45应用2 函数、方程、不等式之间的转化【例5】 已知函数f (x )＝3e |x |，若存在实数t ∈[－1，＋∞)，使得对任意的x ∈[1，m ]，m ∈Z 且m >1，都有f (x ＋t )≤3e x ，试求m 的最大值. 解 ∵当t ∈[－1，＋∞)且x ∈[1，m ]时，x ＋t ≥0， ∴f (x ＋t )≤3e x ⇔e x ＋t ≤e x ⇔t ≤1＋ln x －x .∴原命题等价转化为：存在实数t ∈[－1，＋∞)，使得不等式t ≤1＋ln x －x 对任意x ∈[1，m ]恒成立.令h (x )＝1＋ln x －x (1≤x ≤m ). ∵h ′(x )＝1x －1≤0，∴函数h (x )在[1，＋∞)上为减函数， 又x ∈[1，m ]，∴h (x )min ＝h (m )＝1＋ln m －m . ∴要使得对任意x ∈[1，m ]，t 值恒存在， 只需1＋ln m －m ≥－1.∵h (3)＝ln 3－2＝ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ·3e >ln 1e ＝－1， h (4)＝ln 4－3＝ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ·4e 2<ln 1e ＝－1，又函数h (x )在[1，＋∞)上为减函数， ∴满足条件的最大整数m 的值为3.探究提高 1.函数与方程、不等式联系密切，解决方程、不等式的问题需要函数帮助.2.解决函数的问题需要方程、不等式的帮助，因此借助于函数与方程、不等式进行转化与化归可以将问题化繁为简，一般可将不等关系转化为最值(值域)问题，从而求出参变量的范围.【训练5】 (2017·江苏卷)在平面直角坐标系xOy 中，A (－12，0)，B (0，6)，点P 在圆O ：x 2＋y 2＝50上.若P A → ·PB → ≤20，则点P 的横坐标的取值范围是________.解析 设点P (x ，y )，且A (－12，0)，B (0，6).则P A → ·PB → ＝(－12－x ，－y )·(－x ，6－y )＝x (12＋x )＋y (y －6)≤20， 又x 2＋y 2＝50， ∴2x －y ＋5≤0，则点P 在直线2x －y ＋5＝0上方的圆弧上(含交点). 联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x ＋5，x 2＋y 2＝50，解得x ＝－5或x ＝1，结合图形知，－52≤x ≤1.故点P 横坐标的取值范围是[－52，1]. 答案 [－52，1]应用3 正与反、主与次的转化【例6】 (1)若对于任意t ∈[1，2]，函数g (x )＝x 3＋⎝ ⎛⎭⎪⎫m 2＋2x 2－2x 在区间(t ，3)上总不为单调函数，则实数m 的取值范围是________；(2)对于满足0≤p ≤4的所有实数p ，不等式x 2＋px >4x ＋p －3恒成立，则x 的取值范围是________.解析 (1)g ′(x )＝3x 2＋(m ＋4)x －2，若g (x )在区间(t ，3)上总为单调函数， 则①g ′(x )≥0在(t ，3)上恒成立，或②g ′(x )≤0在(t ，3)上恒成立. 由①得3x 2＋(m ＋4)x －2≥0，即m ＋4≥2x －3x .当x ∈(t ，3)时恒成立，∴m ＋4≥2t －3t 恒成立， 则m ＋4≥－1，即m ≥－5；由②得m ＋4≤2x －3x ，当x ∈(t ，3)时恒成立，则m ＋4≤23－9，即m ≤－373. ∴使函数g (x )在区间(t ，3)上总不为单调函数的m 的取值范围为－373<m <－5. (2)设f (p )＝(x －1)p ＋x 2－4x ＋3， 则当x ＝1时，f (p )＝0.所以x ≠1.f (p )在0≤p ≤4上恒正，等价于⎩⎪⎨⎪⎧f （0）>0，f （4）>0，即⎩⎪⎨⎪⎧（x －3）（x －1）>0，x 2－1>0，解得x >3或x <－1.答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－373，－5 (2)(－∞，－1)∪(3，＋∞)探究提高 1.第(1)题是正与反的转化，由于不为单调函数有多种情况，先求出其反面，体现“正难则反”的原则.题目若出现多种成立的情形，则不成立的情形相对很少，从后面考虑较简单，因此，间接法多用于含有“至多”“至少”及否定性命题情形的问题中.2.第(2)题是把关于x 的函数转化为在[0，4]内关于p 的一次函数大于0恒成立的问题.在处理多变元的数学问题时，我们可以选取其中的参数，将其看作是“主元”，而把其它变元看作是参数.【训练6】 已知函数f (x )＝x 3＋3ax －1，g (x )＝f ′(x )－ax －5，其中f ′(x )是f (x )的导函数.对满足－1≤a ≤1的一切a 的值，都有g (x )<0，则实数x 的取值范围为________.解析 由题意，知g (x )＝3x 2－ax ＋3a －5，令φ(a )＝(3－x )a ＋3x 2－5，－1≤a ≤1.对－1≤a ≤1，恒有g (x )<0，即φ(a )<0，∴⎩⎪⎨⎪⎧φ（1）<0，φ（－1）<0，即⎩⎪⎨⎪⎧3x 2－x －2<0，3x 2＋x －8<0，解得－23<x <1.故当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－23，1时，对满足－1≤a ≤1的一切a 的值，都有g (x )<0. 答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－23，11.分类讨论思想是将一个较复杂的数学问题分解(或分割)成若干个基础性问题，通过对基础性问题的解答来实现解决原问题的思想策略.对问题实行分类与整合，分类标准等于增加一个已知条件，实现了有效增设，将大问题(或综合性问题)分解为小问题(或基础性问题)，优化解题思想，降低问题难度.常见的分类讨论问题：(1)集合：注意集合中空集∅讨论.(2)函数：对数函数或指数函数中的底数a ，一般应分a ＞1和0＜a ＜1的讨论，函数y ＝ax 2＋bx ＋c 有时候分a ＝0和a ≠0的讨论，对称轴位置的讨论，判别式的讨论.(3)数列：由S n 求a n 分n ＝1和n ＞1的讨论；等比数列中分公比q ＝1和q ≠1的讨论.(4)三角函数：角的象限及函数值范围的讨论.(5)不等式：解不等式时含参数的讨论，基本不等式相等条件是否满足的讨论.(6)立体几何：点线面及图形位置关系的不确定性引起的讨论.(7)平面解析几何：直线点斜式中k 分存在和不存在，直线截距式中分b ＝0和b ≠0的讨论；轨迹方程中含参数时曲线类型及形状的讨论.(8)去绝对值时的讨论及分段函数的讨论等.2.转化与化归思想方法，就是在研究和解决有关数学问题时采用某种手段将问题通过变换使之转化，进而解决问题的一种方法.一般总是将复杂的问题通过变换转化为简单的问题，将难解的问题通过变换转化为容易求解的问题，将未解决的问题通过变换转化为已解决的问题.。
数学总复习之数学思想第2讲《分类讨论》
数学总复习之数学思想第2讲《分类讨论》题型一 根据数学概念分类讨论【例题1】在△ABC 中，已知sin B ＝154，a ＝6，b ＝8，求边c 的长．．题型二 根据公式、定理、性质的条件分类讨论【例题2】数列{}n a 的前n 项和为221n S n n =+-，则其通项n a ＝ ．题型三 根据变量或参数的取值情况分类讨论【例题3】解关于x 的不等式01)1(2<++-x a ax .题型四 根据图形位置或形状变化分类讨论【例题4】在△ABC 中，AB =（2，3），AC =（1,k ），若△ABC 是Rt △，求k 的值.1． 等比数列{a n }中，a 3＝7，前3项之和S 3＝21，则公比q 的值是( ) A ．1 B ．－12 C ．1或－12 D ．－1或122．设集合A ＝{x |x 2＋x －12＝0}，集合B ＝{x |kx ＋1＝0}，如果A ∪B ＝A ，则由实数k 组成的集合中所有元素的和与积分别为 ( )A ．－112，0 B.112，－112 C.112，0 D.14，－1123．一条直线过点（5，2），且在x 轴，y 轴上截距相等，则这直线方程为（ ）A. x y +-=70B. 250x y -=C. x y x y +-=-=70250或D. x y y x ++=-=70250或4．不等式2(2)2(2)40a x a x -+--<对一切x ∈R 恒成立，则a 的取值范围是 ( )A ．(－∞，2]B ．[－2,2]C ．(－2,2]D ．(－∞，－2) 5．若圆柱的侧面展开图是边长为4和2的矩形，则圆柱的体积是 ．6．函数f (x )＝mx 2＋mx ＋1的定义域为一切实数，则实数m 的取值范围是 ．7．已知a ∈R ,若关于x 的方程2104x x a a ++-+=有实根,求a 的取值范围．8． 已知等差数列{a n }的前3项和为6，前8项和为－4.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝(4－a n )q n －1 (q ≠0，n ∈N *)，求数列{b n }的前n 项和S n .。
高考数学专题复习 分类讨论的思想
2008高考数学专题复习分类讨论的思想一、考点回顾分类讨论思想是解决问题的一种逻辑方法，也是一种数学思想，这种思想在简化研究对象，发展思维方面起着重要作用，因此，有关分类讨论的思想的数学命题在高考试题中占有重要地位。
所谓分类讨论，就是在研究和解决数学问题时，当问题所给对象不能进行统一研究，我们就需要根据数学对象的本质属性的相同点和不同点，将对象区分为不同种类，然后逐类进行研究和解决，最后综合各类结果得到整个问题的解决，这一思想方法，我们称之为“分类讨论的思想”．1. 分类讨论的思想方法是中学数学的基本方法之一，是历年高考的重点⑴分类讨论的思想具有明显的逻辑特点；⑵分类讨论问题一般涵盖知识点较多，有利于对学生知识面的考察；⑶解决分类讨论问题，需要学生具有一定的分析能力和分类技巧；⑷分类讨论的思想与生产实践和高等数学都紧密相关。
2. 分类讨论的思想的本质分类讨论思想的本质上是“化整为零，积零为整”，从而增加了题设条件的解题策略．3. 运用分类讨论的思想解题的基本步骤⑴确定讨论对象和确定研究的全域；⑵对所讨论的问题进行合理的分类（分类时需要做到不重复、不遗漏、标准统一、分层不越级）；⑶逐类讨论：即对各类问题详细讨论，逐步解决；⑷归纳总结，整合得出结论．4. 明确分类讨论的思想的原因，有利于掌握分类讨论的思想方法解决问题，其主要原因有：⑴由数学概念引起的分类讨论：如绝对值定义、等比数列的前n项和公式等等；⑵由数学运算要求引起的分类讨论：如偶次方根非负、对数中的底数和真数的要求、不等式两边同乘一实数对不等号方向的影响等等；⑶由函数的性质、定理、公式的限制引起的分类讨论；⑷由几何图形中点、线、面的相对位置不确定引起的分类讨论；⑸由参数的变化引起的分类讨论：某些含参数的问题，由于参数的取值不同会导致所得结果不同，或由于不同的参数值要运用不同的求解或证明方法；⑹其他根据实际问题具体分析进行分类讨论，如排列、组合问题，实际应用题等。
分类讨论复习
3、如图，在△ABC中，AB=18，AC=12，D为AC边的中点，点E 在AB上，如△ADE与△ABC相似，那么AE的长为
A E2 E1 D C
9或4
.
B
4、在Ｒｔ△ABC中，∠C=900，AC=3，BC=4. 若以Ｃ为圆心，Ｒ为半径 的圆与斜边只有一个公共点，则R的值为多少？
B
B
D C A C
A
A
∵ AB=AC=5，BC=6， AH⊥BC， ∴ BH=3. 3 在Rt △ABH中，cosB = 5 设运动的时间为 t 秒，那么AP=BQ= t ，BP=5 – t. 3 ∵在Rt △BPQ中，cosB = 5 5-t 3 25 BP 3 解得：t = ∴ = = 即 5 8 t BQ 5 15 25 综合得：当运动 或 秒时，△PBQ为直角三角形. 8 8
（从解题中可以看到，有时用锐角三角比的知识来代替 相似三角形的知识，会使得计算过程更简便）
B
Q A t P
C
5-t B t
H Q
C
六、本课小结
一、用分类讨论思想解决问题的一般步骤是：
1、明确讨论对象； 2、选择分类标准，进行合理分类； 3、对分类情况，逐类讨论解决； 4、归纳并作出结论. 二、解题关键：统一标准，不重不漏.
分类的原则是既不重复，也不遗漏！
二、代数中的分类讨论问题选讲：
例1：实数运算中的分类讨论： 已知|a|=3，|b|=2，且ab＜0，则a - b= ；
解： |a|=3，∴ a =±3； ∵
∵ |b|=3，∴ b
（2） 当a＜ 0 ，b ＞ 0时； 又∵ ab＜0 ，∴ a 、b 异号； a – b =（ -3 ）–2 = - 5 ∴ a – b =5或 - 5 例2：方程中的分类讨论：
高考数学文(二轮复习)课件《分类讨论思想》
由图形或图象引发的分类讨论
[试题调研] x＋y－2≥0， (2014· 北京高考)若x，y满足kx－y＋2≥0， y≥0， )
[例2]
且z＝y－x的最小值为－4，则k的值为( A．2 B．－2 1 C.2
1 D．－2
[思路方法]
线性约束条件中含有参数，k的取值会对可行
域产生影响，因此解题时要注意对k的分类讨论．可将k分为 k>0，k<－1，k＝－1与－1<k<0等情况讨论求解．
或0<x≤4，即不等式f(x)≥－2的解集为
1 －∞，－ ∪(0,4]，故选率、指数 函数、对数函数等．与这样的数学概念有关的问题往往需要根 据数学概念进行分类，从而全面完整地解决问题． (1)分段函数在自变量不同取值范围内，对应关系不同，必 须进行讨论．由数学定义引发的分类讨论一般由概念内涵所决 定，解决这类问题要求熟练掌握并理解概念的内涵与外延．
[回访名题] (1)(2013· 辽宁高考)已知点O(0,0)，A(0，b)，B(a，a3)．若△ OAB为直角三角形，则必有( A．b＝a3 1 B．b＝a ＋a
两式相减，得 (q－1)Sn＝nqn－1－q1－q2－„－qn－1
n n＋1 n q － 1 nq － n ＋ 1 q ＋1 n ＝nq － ＝ . q－1 q－1
nqn＋1－n＋1qn＋1 于是，Sn＝ . q－12 nn＋1 若q＝1，则Sn＝1＋2＋3＋„＋n＝ 2 . nn＋1 q＝1， 2 所以Sn＝ n＋1 n nq －n＋1q ＋1 q≠1. 2 q － 1
(3)由性质、定理、公式的限制而引起的分类讨论：如函数 的单调性、基本不等式等． (4)由图形的不确定性而引起的分类讨论：如二次函数图 象、指数函数图象、对数函数图象等． (5)由参数的变化而引起的分类讨论：如某些含有参数的问 题，由于参数的取值不同会导致所得的结果不同，或者由于对 不同的参数值要运用不同的求解或证明方法等.
中考数学专题复习一分类讨论思想PPT课件
AC
∴AD=AC×sin 45°， 在Rt△ABD中，∠B=30°，
∴AB=2AD=2AC×sin 45°=750 2 m．
答案：750 2 m
【知识归纳】解直角三角形实际应用的两点技能 1.转化：利用直角三角形或构造直角三角形解决实际问题，一 般先把实际问题转化为数学问题，若题目中无直角三角形，需 要添加辅助线(如作三角形的高等)构造直角三角形，再利用解 直角三角形的知识求解. 2.前提：解直角三角形时结合图形分清图形中哪个三角形是直 角三角形，哪条边是角的对边、斜边、邻边，此外正确理解俯 角、仰角、坡度、坡角等名词术语是解答此类题目的前提条件.
5.一次函数:已知一次函数与坐标轴围成的三角形的面积,求k 的值,常分直线交于坐标轴正半轴和负半轴讨论;确定反比例函 数与一次函数交点个数,常分一、三象限或二、四象限两种情 况讨论. 6.圆:圆的一条弦(直径除外)对两条弧,常分优弧和劣弧两种情 况讨论;求圆中两条平行弦的距离,常分两弦在圆心的同旁和两 旁两种情况讨论;圆与圆的相切,此时要考虑分外切和内切两种 情况讨论.
4.在几何中的应用:对于几何问题,我们常通过图形,找出边、 角的数量关系,通过边、角的数量关系,得出图形的性质等.
【例2】(2013·兰州中考)已知反比例函数y1= k 的图象与
x
一次函数y2=ax+b的图象交于点A(1，4)和点B(m，－2)． (1)求这两个函数的解析式. (2)视察图象，当x>0时，直接 写出y1>y2时自变量x的取值范围. (3)如果点C与点A关于x轴对称， 求△ABC的面积．
5.(2013·十堰中考)如图,在小山的东侧A点有一个热气球,由
高三数学复习学案：第3讲 分类讨论思想
1．分类讨论的思想是一种重要的数学思想方法．其基本思路是将一个较复杂的数学问题分解(或分割)成若干个基础性问题，通过对基础性问题的解答来实现解决原问题的思想策略．对问题实行分类与整合，分类标准等于增加一个已知条件，实现了有效增设，将大问题(或综合性问题)分解为小问题(或基础性问题)，优化解题思路，降低问题难度．2．分类讨论的常见类型(1)由数学概念引起的分类讨论：有的概念本身是分类的，如绝对值、直线斜率、指数函数、对数函数等．(2)由性质、定理、公式的限制引起的分类讨论：有的数学定理、公式、性质是分类给出的，在不同的条件下结论不一致，如等比数列的前n 项和公式、函数的单调性等．(3)由数学运算要求引起的分类讨论：如除法运算中除数不为零，偶次方根为非负，对数真数与底数的要求，指数运算中底数的要求，不等式两边同乘以一个正数、负数，三角函数的定义域等．(4)由图形的不确定性引起的分类讨论：有的图形类型、位置需要分类：如角的终边所在的象限；点、线、面的位置关系等．(5)由参数的变化引起的分类讨论：某些含有参数的问题，如含参数的方程、不等式，由于参数的取值不同会导致所得结果不同，或对于不同的参数值要运用不同的求解或证明方法．(6)由实际意义引起的讨论：此类问题在应用题中，特别是在解决排列、组合中的计数问题时常用．3．分类讨论的原则(1)不重不漏．(2)标准要统一，层次要分明．(3)能不分类的要尽量避免或尽量推迟，决不无原则地讨论．变式训练1 设0<x <1，a >0且a ≠1，比较|log a (1－x )|与|log a (1＋x )|的大小．题型二 根据公式、定理、性质的条件分类讨论例2 设等比数列{a n }的公比为q ，前n 项和S n >0 (n ＝1,2,3，…)．(1)求q 的取值范围；(2)设b n ＝a n ＋2－32a n ＋1，记{b n }的前n 项和为T n ，试比较S n 与T n 的大小．变式训练2 在等比数列{a n }中，设前n 项和为S n ，x ＝S 2n ＋S 22n ，y ＝S n (S 2n ＋S 3n )，求证：x ＝y .题型三 根据变量式参数的取值情况分类讨论例3 已知m ∈R ，求函数f (x )＝(4－3m )x 2－2x ＋m 在区间[0,1]上的最大值．变式训练3已知函数f (x )＝ax 3－32x 2＋1(x ∈R)，其中a >0. (1)若a ＝1，求曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线方程；(2)若在区间[－12，12]上，f (x )>0恒成立，求a 的取值范围．第3讲 分类讨论思想(推荐时间：60分钟)一、填空题1．不等式(a －2)x 2＋2(a －2)x －4<0对于x ∈R 恒成立，那么a 的取值范围是____________．2．过双曲线2x 2－y 2＝2的右焦点作直线l 交双曲线于A 、B 两点，若AB ＝4，则这样的直线有________条．3．设集合A ＝{x |x 2＋x －12＝0}，集合B ＝{x |kx ＋1＝0}，如果A ∪B ＝A ，则由实数k 组成的集合中所有元素的和与积分别为____________．4．在△ABC 中，已知A ＝30°，a ＝8，b ＝83，则S △ABC ＝__________.5．设一双曲线的两条渐近线方程为2x －y ＝0,2x ＋y ＝0，则双曲线的离心率是________．6．正三棱柱的侧面展开图是边长分别为6和4的矩形，则它的体积为____________．7．设常数a >0，椭圆x 2－a 2＋a 2y 2＝0的长轴长是短轴长的2倍，则a ＝________.8．已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 3＝32，S 3＝92，则a 1的值为__________．14.已知函数f (x )＝2a sin 2x －2 3a sin x cos x ＋a ＋b (a ≠0)的定义域是⎣⎡⎦⎤0，π2，值域是[－5,1]，求常数a ，b 的值．15．已知函数f (x )＝－2x 2－x ，求m 、n 的值，使f (x )在区间[m ，n ]上值域为[2m,2n ] (m <n )．。
复习的专题是“分类讨论思想在解题中的应用”人教版
复习的专题是“分类讨论思想在解题中的应用”一. 本周教学内容：本周复习的专题是“分类讨论思想在解题中的应用”，重点是通过例题的分析介绍分类的原则与分类方法。
二. 要点综述：1. 分类讨论是解决问题的一种逻辑方法，也是一种数学思想，这种思想对于简化研究对象，发展人的思维有着重要帮助，因此，有关分类讨论的数学命题在高考试题中占有重要位置。
2. 所谓分类讨论，就是当问题所给的对象不能进行统一研究时，就需要对研究对象按某个标准分类，然后对每一类分别研究得出每一类的结论，最后综合各类结果得到整个问题的解答。
实质上，分类讨论是“化整为零，各个击破，再积零为整”的数学策略。
3. 分类原则：分类的对象确定，标准统一，不重复，不遗漏，分层次，不越级讨论。
4. 分类方法：明确讨论对象，确定对象的全体，确定分类标准，正确进行分类；逐类进行讨论，获取阶段性成果；归纳小结，综合出结论。
5. 含参数问题的分类讨论是常见题型。
6. 注意简化或避免分类讨论。
［典型例题分析与解答］例1. ∆ABC A B C 中，已知，，求sin cos cos ==12513 分析：由于C A B =-+π()[]∴=-+=--⋅cos cos()cos cos sin sin C A B A B A B因此，只要根据已知条件，求出cosA ，sinB 即可得cosC 的值。
但是由sinA 求cosA 时，是一解还是两解？这一点需经过讨论才能确定，故解本题时要分类讨论。
对角A 进行分类。
解： 051322<=<cos B B ABC ，且为的一个内角∆ ∴<<=45901213 B B ，且sin 若为锐角，由，得，此时A A A A sin cos ===123032 若为钝角，由，得，此时A A A A B sin ==+>12150180 这与三角形的内角和为180°相矛盾。
可见A ≠150[]∴=-+=-+cos cos ()cos()C A B A B π[]=-⋅-⋅cos cos sin sin A B A B =-⋅-⋅⎡⎣⎢⎤⎦⎥=-32513121213125326例2. 已知圆x 2+y 2=4，求经过点P （2，4），且与圆相切的直线方程。
2020年九年级数学中考复习——常用数学思想方法之【分类讨论思想】
2．几何类：几何有各种图形的位置关系，未明确对应关系的全等或相似的可能对应情 况等.
3．综合类：代数与几何类分类情况的综合运用.
在数学中，我们常常需要根据研究对象性质的差异，分各种不同情况予以考查．这 种分类思考的方法是一种重要的数学思想方法，同时也是一种解题策略．
分类是按照数学对象的相同点和差异点，将数学对象区分为不同种类的思想 方法，掌握分类的方法，领会其实质，对于加深基础知识的理解．提高分析问题、解决 问题的能力是十分重要的．正确的分类必须是周全的，既不重复、也不遗漏．
e
故答案为：5；
m
1 2
m s；
11. 24或 6 或 8
解：已知三角形的周长为 3 e 4 e m 12， 设另一个与它相似的三角形的周长为 x，
2 与 3 是对应边时， 两三角形相似，
m 2，
12 3
解得 m h； 与 4 是对应边时，
两三角形相似，
12
m
2，
4
解得 m ；
2 与 5 是对应边时，
A. 34
B. 30
C. 30 或 34
D. 30 或 36
【解】： 当 m 4 时， t h， 、b 是关于 x 的一元二次方程 2
4 e m 12， m h 不符合；
同理， m 4 时，不符合题意； 当 m 时， 、b 是关于 x 的一元二次方程 2
12 e s e 2 m 0 的两根， 12 e s e 2 m 0 的两根，
m
1 2
e 3 与坐标轴分别交于点 A、B，与直线
m
交于点 C，
线段 OA 上的点 Q 以每秒 1 个长度单位的速度从点 O 出发向点 A 作匀速运动，运动时
初三数学专题复习五 分类讨论思想
专题复习四：分类讨论思想一。
基本分类方法：1．由点的不确定性引起的分类讨论。
2．由图形的对应关系的不确定性引起的分类讨论。
3．由图形的不确定性引起的分类讨论。
4．由图形位置的不确定性引起的分类讨论。
5．对求解过程不便统一表述的问题进行分类讨论。
6．分类讨论思想在方程、不等式中的应用。
二．典型例题：【例题1】1.若点P（x，y）到x轴的距离是3，到y轴距离是2，则P点坐标是___________;2.直角三角形的两边长分别是6和8，那么这个三角形的外接圆半径等于_________;3.已知⊙O的半径为1，AB=1，AC=2，则∠CAB的大小为_________;4．相交两圆的公共弦长为16cm，若两圆的半径长分别为10cm和17cm，则这两圆的圆心距为．5.若关于x的方程mx22m-4-2x2+2x-1=0是一元二次方程，则m=___________; 6.若a-a-1=0，b-b-1=0，则【例题2】已知反比例函数y=kx2ba+ab=____________; 和一次函数y=mx+n的图像有一个交点是A（-3，4），且一次函数的图像与x轴的交点到原点的距离是5，分别确定反比例函数和一次函数的解析式；【例题3】在平面直角坐标系内有一点P，且点P在直线y = -2x+3上；（1）若点P在第一象限，且到两坐标轴的距离相等，求点P的坐标；（2）若点P在第三象限，是否存在它到两坐标轴的距离相等？若存在，请求出点P坐标；（3）点P到两坐标轴的距离相等，求点P的坐标；0【例题4】在Rt△ABC中,∠ACB=90,AB=5,AC=3,D是AB上的一点,AE⊥CD,垂足为E,AE交直线BC于点F.求:(1)当tan∠BCD=12时,则BF的值.(2)点F在BC边上时,AD=x,BF=y,求y与x的函数解析式及定义域.(3)当BF=54ADB时,则AD的值.【例题5】如图:已知直线L1的解析式是y=3x+6,直线L1与x轴、y轴分别相交于点A、B,直线L2经过BC两点,点C的坐标为(8,0),又知点P在x轴上从点A向点C 移动,点Q在直线L2上从点C向点B移动.点P、Q同时出发,且移动的速度都是每秒1个单位长度,设移动时间为t秒(0<t<10). (1)求直线L2的解析式. (2)设△PCQ的面积为S,求出S与t的函数关系式.(3)当t为何值时,△PCQ是等腰三角形?答案: (1)y=-34x+6 (2)S=-310t2+3t (3) t=5或5013或8013秒.三．强化训练：1.已知抛物线y=x-(a+2)x+9的顶点在坐标轴上，则a的值为 _______________;2.一次函数y=kx+b的x的取值范围是 -3≤x≤6，相应的函数值的取值范围是 -5≤y≤-2，则这个函数的解析式是__________________________;3．已知圆O1与圆O2相切，圆O1的半径长为3cm，O1O2=7cm，那么圆O2的半径长是cm.4．已知正方形ABCD的边长是6，点E在直线AD上，DE=2，联结BE与对角线AC 相交于点F，则CF:FA的值是________________．5．如果直角梯形的一条底边长为7厘米，两腰长分别为8厘米和10厘米，那么这个梯形的面积是平方厘米．6.已知A、B两点二次函数y=ax的图像上，这两点的横坐标分别是-2和1，△AOB 是直角三角形（点O是坐标原点），求a的值；7.在△ABC中，AB=23，AC=2，BC边上的高为AD=3，求BC的长和∠B的度数；8.如图：在△ABC中，∠C=90，BC=6，AC=8，点M、N在△ABC并上，将△ABC沿直线MN对折后，它的一个顶点正好落在对边上，且折痕MN截△ABC 所成的小三角形（即对折后的重叠部分）与△ABC相似，请分别画出折痕MN各种可能的位置，并分别说明画法及求出折痕的长；022AB9.在平面直角坐标系xOy中，将抛物线y=2x沿y轴向上平移1个单位，再沿x轴向右平移两个单位，平移后抛物线的顶点坐标记作A，直线x=3与平移后的抛物线相交于B，与直线OA相交于C．（1）求△ABC面积；（2）点P在平移后抛物线的对称轴上，如果△ABP△ABC相似，求所有满足条件的P点坐标．10.如图8，在∆ABC中，∠C=90︒，AC=6，tanB=342，D是BC边的中点，E为AB边上的一个动点，作∠DEF=90︒，EF交射线BC于点F．设BE=x，∆BED的面积为y．（1）求y关于x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；（2）如果以B、E、F为顶点的三角形与∆BED相似，求∆BED的面积.CD 图8 B C D 备用图 B11.如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AD=3，DC=5，AB=∠B=45︒．动点M从B点出发沿线段BC以每秒2个单位长度的速度向终点C运动；动点N同时从C 点出发沿线段CD以每秒1个单位长度的速度向终点D运动．设运动的时间为t 秒．试探究：t为何值时，△MNC为等腰三角形．C12.如图，AB⊥BD，CD⊥BD，B、D分别为垂足。
2010高三二轮复习——分类讨论思想
2010高三二轮复习——分类讨论思想(一)基本概念古言 物以类聚，人以群分 ．某些数学问题存在各种制约因素，很难用 统一 的方法去处理，只好把数学问题分成若干个局部问题，使原制约条件不再影响问题解决，并使每个局部问题得以解决，从而使整个问题全面解决．这种 化整为零，各个击破 的策略就称为分类讨论．它既是一种逻辑方法，又是一种数学思想，因此也称 分类讨论思想 ．1．分类讨论思想．它是对某些数学问题处理时，依据数学概念和数学问题中的不定因素以及判断的需要，按照一定层次和标准，把问题对象划分成若干类，并对各类情况进行分析处理，再综合问题的完整解的一种策略思想．有些问题一次分类仍不够，可对它再进行分类，即构成二级分类，依次类推，可以有三级分类，四级分类……．2．分类讨论的原则：(1)施行分类的集合的全域的确定性，即D =D 1∪D 2∪…∪D n ．要求分类的全体对象一个也不遗漏；(2)分域的互斥性(即D i ∩D j =∅，i ≠j ，i ，j =1，2，…，n)，要求分类的每一个对象都不重复；(3)分类讨论标准的同一性；(4)分域的逐级性，指多次分类，应逐级分类，不能越级．3．分类讨论的步骤：(1)确定分类讨论的对象和标准；(2)分类讨论求解；(3)归纳总结结论．4． 分类讨论思想 解决问题的类型：(1)概念引起的分类，如二次函数、二次方程、二次不等式及绝对值等概念；(2)公式、定理、性质的应用范围受到限制而引起分类讨论，如等比数列{a n }的前n 项和S n ，当时,：当≠时，；再如＜≠的单调性，分＞和＜＜两种情况讨论；几何图形中点、线、q =1S =na q 1S =a y =log x(0q 1)a 10a 1(3)n 1n 1a ()11--q qn 面的相对位置关系不确定而引起的分类讨论，如直线l 的斜率，分存在和不存在两类．(二)应用举例例1 对于定义域是R 的任何奇函数，都有[ ]A ．f (x)－f (－x)＞0(x ∈R)B ．f (x)－f (－x)≤0(x ∈R)C ．f (x)·f (－x)≤0(x ∈R)D ．f (x)·f (－x)＞0(x ∈R)解：按 差 或 积 分类：(A)、(B)为一组；(C)、(D)为另一组．设一特殊函数f (x)=x ，有f (x)－f (－x)=2x ，既不能肯定它是正数，也不能肯定它是非正数，∴排除(A)、(B)；又f (x)·f (－x)=－x 2为非正数，∴排除(D)，选(C)．例若的定义域为，则实数的取值范围是2 f(x)=kx R k 2-++68kx k[ ]A ．0＜k ≤1B ．k ＜0或k ＞1C ．0≤k ≤1D ．k ≥1分析：此题以k 为讨论对象．当k =0时成立；根据函数的性质应k ＞0，且Δ≤0，得到0＜k ≤1．故0≤k ≤1，选(C)．例3 四面体的顶点和各棱中点共10个点在其中取4个不共面的点，不同取法共有[ ]A ．150种B ．147种C ．144种D ．141种(1997年全国高考试题)分析：取出的4点不共面比取出的4点共面的情形要复杂，故采用间接法：先不加限制任取点种取法减去点共面的取法，而取出点共面分三类：四点共四面体的某一个面，共有种；过四面4(C )44(1)4C (2)10464体的一条棱上的三个点及对棱的中点的平面有6个；(3)过四面体的四条棱的中点，且与另外两条棱平行的平面有3个．故取4个不共面的点的不同取法有－＋＋种，选．C (4C 63)=141()(D)10464例解关于的不等式＞＋．分析：解此不等式首先要使－≥，即－＋≤．使不等式有解需比较与的大小，因此，对就要进行讨4 x x a a 2x 0(x a)(x a)0a a a 22a x 22222222222-- 论，且以 0”为分类标准．这样思路自然流畅．解：当＞时，＜．由－≥得－＋≤，∴－≤≤．此时，＋≥－＋＞，原不等式两边平(1)a 0a a a 2x 0(x a)(x a)0a x a x a a a 022-22222222222222 方解得：－＜＜；又－＜－，∴当＞时，原不等式的解为－＜＜；23222323a a a x 0a a 0x 0(2)当a =0时，显然不等式无解．(3)a 0a a a x a x a 0a x a 当＜时，＜－，当＜＜－时，＋＜，∴此时原不等式解为＜＜．222222222222- 例5 设A ={x |－2≤x ≤a }，B ={y |y =2x ＋3，x ∈A }，C ={z |z =x 2，x A}C B a ∈，若，求实数的取值范围．⊆解：∵A ={x |－2≤x ≤a }，∴B ={y |y =2x ＋3，x ∈A)={y |－1≤y ≤2a ＋3}．由于C ⊆B ，对a 进行讨论：(1)a ≥2时，a 2≤2a ＋3，得2≤a≤；当≤＜时，∵，，∴≤＋，得≤＜；当－≤＜时，∵，，∴≤＋，得≥，无解；当＜3(2)0a 2C =[04]42a 3a 2(3)2a 0C =[a 4]42a 3a (4)a 21212－2时，A =∅，从而得B =C =∅，因此必有C ⊆B ．综合上述得∈－∞，－∪，．a (2)[123]评述：解有关集合的问题的分类讨论时，应注意空集∅的性质．例已知函数－·＋＋的定义域是，，值6 y =2asin x a cos2x a b [0]2π2域是[－5，1]，求常数a ，b ．解：y =2a sin 2x －a ·cos2x ＋a ＋b =4a sin 2x ＋b ．当a ＞0时，函数是，上的增函数，∴－＋，解得：，－；当＜时，函数是，上的减函数，∴＋－，解得：－，．[0]b = 5 4a b =1a =32b =5a 0[0]b =1 4a b =5a =b =1ππ2232⎧⎨⎩⎧⎨⎩例7 若函数y =ln|x －1|，试求函数y 的导数y '． 解：由－，得－当＞时，－当＜时．y =ln|x 1|y =ln(x 1)(x 1)ln(1x)(x 1)⎧⎨⎩∴当＞时，－·－－；当＜时，－·－－．故－．x 1y'=1x 1(x 1)'=1x 1x 1y'=11x (1x)'=1x 1y'=1x 1评注：若对含有绝对值的式子不能顺利处理时，用 讨论法 去 绝对值号 是上策．此时以 零点 分类，即使绝对值式等于0的自变量的取值为分类标准．例8 在交通拥挤及事故多发地段，为了确保交通安全，规定在此地段内，汽车与汽车之间的车距d (米)是车速v (千米／小时)的平方与车身长S (米)的积的正比例函数，且最小车距不得小于车身长的一半．已知车速为50千米／小时时，车距恰为车身长．(1)写出d 关于v 的分段函数(其中S 为常数)；(2)Q =应规定怎样的车速，才能使此地段的车流量最大．1000v d S +解：(1)依题意得：d =kv 2S ． 由时，，得，∴；又时，．v =50d =S k =12500d =12500v S d =1S v =25222∴≤，＞．当≤时，≤；d =S(v )v S(v 252)(2)v 25Q =1000v d +S =2000v 3S 2122521250025000023⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪S当＞时，≤当时，取“”号．∵＜，∴当千米／小时时，车流量最大．v 252Q =1000v 12500=1000S(1v +v 2500)(v =50=)v =50Q v S S S S S225000500002325000+注：这是一道不算难的应用题，关键是求分段函数的最值要分类讨论．(三)能力训练题1．方程lg (x ＋1)=|x －1|实根的个数为[ ]A ．1B ．2C ．3D ．4 2．如果直线l 是平面α的斜线，那么在平面α内[ ]A ．不存在与l 垂直的直线B ．与l 垂直的直线只有一条C ．不存在与l 平行的直线D ．与l 平行的直线有无穷多条3．已知sin α=m (|m |＜1)，则tan α的值为________．4z =cos isin (0)=1||=33arg =(1993)5x x(a 0)．设复数θ＋θ＜θ＜π，ω，已知ω，ω＜，则θ．年全国高考试题．解关于的不等式＞＞．-++-+()()z z a x ax 44212111π6．某小组中有6名男生、4名女生，从中任选4人组成代表队，求代表队中男生不超过2人的概率．7．已知数列{a n }的前n 项之和S n =32n －n 2，求数列{|a n |}的前n 项和S n '．8．是否存在同时满足下列条件的抛物线：①准线是y 轴；②顶点在x 轴上；③点A (3，0)到这条抛物线动点P 的距离的最小值是2．如果存在，求出抛物线方程；如果不存在，请说明理由．(四)参考答案1．B ．(提示：在同一坐标系中作y ＝lg (x ＋1)与y ＝｜x －1｜的图象．)2．C ．(提示：按“平行”或“垂直”分类再用排除法解．)3((1)．－或－－提示：将α分为两类：第一、四象限mm m m 1122和x 轴正半轴上的角；(2)第二、三象限和x 轴负半轴上的角．)4．π或π1271250(x 2．解：原不等式化为－－＋＞，此不等式同解于－x x ax 211x －1)(ax ＋1)＞0．∵a ＞0．(1)0a 若－＜－，即＜＜＋时，则不等式的解集1152512a为｛｜－＜＜－或＞＋；x x x }1152152a(2)a 若－＝－，即＝＋时，则不等式解集为1152152ax |x }＞＋；152(3)a 若－＞－，即＞＋时，则不等式的解集为1152152a {x x x }｜－＜＜－或＞＋．1521152a6C 22104．解：基本事件有种，记代表队中“男生人，女生人”、“男生1人，女生3人”、“全为女生”分别为事件A 、B 、C ，它们分别有种、种、种，C C C C C 6242614344∴＋＋＝＋＋，故所求的概率为．P(A)P(B)P(C)C C C C C C 62426143441042342 7S 32n n (n 16)51232m n (n 16) n 22．′＝－≤，－＋＞．⎧⎨⎪⎩⎪8．解：假设存在这样的抛物线，则可设为y 2＝4a (x －a)，其中a＞．设是抛物线上的点，其坐标为＋，则｜｜＝＋－＋＝－－＋－．0p (m a m)AP (m a 3)m [m 12(a a )]12a 8a 222222222441162a aa(1)a a 00a 1AP 2a 12min 当－≥，即＜≤时，｜｜＝－＝，解得＝1282a a 或＝．a 12所求抛物线方程为＝－或＝－．y 4(x 1)y 2(x )2212(2)当a ＞1时，要使｜AP ｜最小，则m ＝0，得｜AP ｜m i n ＝｜a －3｜＝2．∴a ＝5，抛物线方程为y 2＝20(x －5)．。
中考数学《第36讲：分类讨论型问题》总复习讲解含真题分类汇编解析
第36讲分类讨论型问题(建议该讲放第21讲后教学)内容特性分类讨论思想就是将要研究的数学对象按照一定的标准划分为若干不同的情形，然后逐类进行研究和求解的一种数学解题思想．对于存在的一些不确定因素而无法解答或结论不能给予统一表述的数学问题，我们往往将问题划分为若干类或若干个局部问题来解决.解题策略很多数学问题很难从整体上去解决，若将其划分为所包含的各个局部问题，就可以逐个予以解决．分类讨论在解题策略上就是分而治之各个击破．具体是：(1)确定分类对象；(2)进行合理分类(理清分类“界限”，选择分类标准，并做到不重复、不遗漏)；(3)逐类进行讨论；(4)归纳并得出结论.基本思想分类讨论的基本方法是：首先要确定讨论对象以及所讨论对象的全体的范围；其次确定分类标准，正确进行合理分类，即标准统一、不漏不重、分类互斥(没有重复)；再对各个分类逐步进行讨论，分层进行，获取阶段性结果；最后进行归纳小结，综合得出结论.类型一由计算化简时，运用法则、定理和原理的限制引起的讨论例1(·南通模拟)矩形一个角的平分线分矩形一边为1cm和3cm两部分，则这个矩形的面积为()A．3cm2B．4cm2C．12cm2D．4cm2或12cm2【解后感悟】解此题的关键是求出AB＝AE，注意AE＝1或3不确定，要进行分类讨论．1．(1)若关于x的函数y＝kx2＋2x－1与x轴仅有一个公共点，则实数k的值为____________________．(2)已知平面上有⊙O及一点P，点P到⊙O上一点的距离最长为6cm，最短为2cm，则⊙O的半径为cm.(3)若|a|＝3，|b|＝2，且a＞b，则a＋b＝()A．5或－1 B．－5或1 C．5或1 D．－5或－1类型二在一个动态变化过程中，出现不同情况引起的讨论例2为了节约资源，科学指导居民改善居住条件，小王向房管部门提出了一个购买商品房的政策性方案.人均住房面积(平方米)单价(万元/平方米)不超过30(平方米)0.3超过30平方米不超过m平方米部分(45≤m≤60)0.5超过m平方米部分0.7根据这个购房方案：(1)若某三口之家欲购买120平方米的商品房，求其应缴纳的房款；(2)设该家庭购买商品房的人均面积为x平方米，缴纳房款y万元，请求出y关于x的函数关系式；(3)若该家庭购买商品房的人均面积为50平方米，缴纳房款为y万元，且57＜y≤60时，求m的取值范围．【解后感悟】本题是房款＝房屋单价×购房面积在实际生活中的运用，由于单价随人均面积而变化，所以用分段函数的解析式来描述．同时建立不等式组求解，解答本题时求出函数解析式是关键．2．(1)在平面直角坐标系中，直线y＝－x＋2与反比例函数y＝1x的图象有唯一公共点，若直线y＝－x＋b与反比例函数y＝1x的图象有2个公共点，则b的取值范围是()A．b>2 B．－2<b<2 C．b>2或b<－2 D．b<－2(2)如图，在平面直角坐标系中，四边形OBCD是边长为4的正方形，平行于对角线BD 的直线l从O出发，沿x轴正方向以每秒1个单位长度的速度运动，运动到直线l与正方形没有交点为止．设直线l扫过正方形OBCD的面积为S，直线l运动的时间为t(秒)，下列能反映S与t之间函数关系的图象是()3．已知抛物线y1＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴相交于点A，B(点A，B在原点O两侧)，与y轴相交于点C，且点A，C在一次函数y2＝43x＋n的图象上，线段AB长为16，线段OC长为8，当y1随着x的增大而减小时，求自变量x的取值范围．类型三由三角形的形状、关系不确定性引起的讨论例3(·湖州)如图，在平面直角坐标系xOy中，已知直线y＝kx(k＞0)分别交反比例函数y＝1x和y＝9x在第一象限的图象于点A，B，过点B作BD⊥x轴于点D，交y＝1x的图象于点C，连结AC.若△ABC是等腰三角形，则k的值是________．【解后感悟】解题的关键是用k表示点A、B、C的坐标，再进行分类讨论．4．(1)在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A的坐标为(1，3)，M为坐标轴上一点，且使得△MOA为等腰三角形，则满足条件的点M的个数为()A．4 B．5 C．6 D．8(2)(·北流模拟)如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝12，BC＝6，一条线段PQ＝AB，P、Q两点分别在AC和过点A且垂直于AC的射线AX上运动，要使△ABC和△QPA 全等，则AP＝.(3)(·临淄模拟)如图，在正方形ABCD中，M是BC边上的动点，N在CD上，且CN＝14CD ，若AB ＝1，设BM ＝x ，当x ＝ 时，以A 、B 、M 为顶点的三角形和以N 、C 、M 为顶点的三角形相似．类型四 由特殊四边形的形状不确定性引起的讨论例4 (·鄂州模拟)如图1，在四边形ABCD 中，AD ∥BC ，AB ＝8cm ，AD ＝16cm ，BC ＝22cm ，∠ABC ＝90°，点P 从点A 出发，以1cm /s 的速度向点D 运动，点Q 从点C 同时出发，以3cm /s 的速度向点B 运动，其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，设运动时间为t 秒．(1)当t 为何值时，四边形ABQP 成为矩形？(2)当t 为何值时，以点P 、Q 与点A 、B 、C 、D 中的任意两个点为顶点的四边形为平行四边形？(3)四边形PBQD 是否能成为菱形？若能，求出t 的值；若不能，请说明理由，并探究如何改变Q 点的速度(匀速运动)，使四边形PBQD 在某一时刻为菱形，求点Q 的速度．【解后感悟】解本题的关键是用方程(组)的思想解决问题，涉及四边形的知识，同时也是存在性问题，解答时要注意分类讨论及数形结合．5．(1)(·盐城模拟)在平面直角坐标系中有三点A(1，1)，B(1，3)，C(3，2)，在直角坐标系中再找一个点D ，使这四个点构成平行四边形，则D 点坐标为 .(2)(·江阴模拟)如图，在等边三角形ABC 中，BC ＝6cm ，射线AG ∥BC ，点E 从点A 出发沿射线AG 以1cm /s 的速度运动，点F 从点B 出发沿射线BC 以2cm /s 的速度运动．如果点E 、F 同时出发，设运动时间为t(s )，当t ＝ s 时，以A 、C 、E 、F 为顶点的四边形是平行四边形．(3) (·金华模拟)如图，B(6，4)在函数y ＝12x ＋1的图象上，A(5，2)，点C 在x 轴上，点D 在函数y ＝12x ＋1上，以A 、B 、C 、D 四个点为顶点构成平行四边形，写出所有满足条件的D 点的坐标 .(4)(·萧山模拟)已知在平面直角坐标系中，点A 、B 、C 、D 的坐标依次为(－1，0)，(m ，n)，(－1，10)，(－7，p)，且p ≤n.若以A 、B 、C 、D 四个点为顶点的四边形是菱形，则n 的值是 .类型五 由直线与圆的位置关系不确定性引起的讨论例5 如图，已知⊙O 的半径为6cm ，射线PM 经过点O ，OP ＝10cm ，射线PN 与⊙O 相切于点Q.A 、B 两点同时从点P 出发，点A 以5cm /s 的速度沿射线PM 方向运动，点B 以4cm /s 的速度沿射线PN 方向运动．设运动时间为t(s )．(1)求PQ 的长；(2)当t 为何值时，直线AB 与⊙O 相切？【解后感悟】本题是直线与圆的位置关系应用，题目设置具有创新性．解决本题的关键是抓住直线与圆的两种情况位置关系，及其对应数量关系进行分析．6．(·泗洪模拟)如图，已知⊙P 的半径为2，圆心P 在抛物线y ＝12x 2－1上运动，当⊙P与x 轴相切时，圆心P 的坐标为 .【压轴把关题】如图，在平面直角坐标系中，点A ，B 的坐标分别是(－3，0)，(0，6)，动点P 从点O 出发，沿x 轴正方向以每秒1个单位的速度运动，同时动点C 从点B 出发，沿射线BO 方向以每秒2个单位的速度运动．以CP ，CO 为邻边构造▱PCOD ，在线段OP 延长线上取点E ，使PE ＝AO ，设点P 运动的时间为t 秒．(1)当点C 运动到线段OB 的中点时，求t 的值及点E 的坐标； (2)当点C 在线段OB 上时，求证：四边形ADEC 为平行四边形；(3)在线段PE 上取点F ，使PF ＝1，过点F 作MN ⊥PE ，截取FM ＝2，FN ＝1，且点M ，N 分别在第一、四象限，在运动过程中，设▱PCOD 的面积为S.①当点M ，N 中，有一点落在四边形ADEC 的边上时，求出所有满足条件的t 的值； ②若点M ，N 中恰好只有一个点落在四边形ADEC 内部(不包括边界)时，直接写出S 的取值范围．【方法与对策】本题是四边形的综合题，对于第(3)题解题的关键是正确分几种不同情况求解．①当点C在BO上时，第一种情况，当点M在CE边上时，由△EMF∽△ECO求解，第二种情况，当点N在DE边上时，由△EFN∽△EPD求解；【分类讨论应不重复、不遗漏】在△ABC中，P是AB上的动点(P异于A，B)，过点P的一条直线截△ABC，使截得的三角形与△ABC相似，我们不妨称这种直线为过点P的△ABC的相似线．如图，∠A＝36°，AB＝AC，当点P在AC的垂直平分线上时，过点P的△ABC的相似线最多有________条．参考答案第36讲 分类讨论型问题【例题精析】例1 ∵四边形ABCD 是矩形，∴AB ＝CD ，AD ＝BC ，AD ∥BC ，∴∠AEB ＝∠CBE ，∵BE 平分∠ABC ，∴∠ABE ＝∠CBE ，∴∠AEB ＝∠ABE ，∴AB ＝AE ，①当AE ＝1cm 时，AB ＝1cm ＝CD ，AD ＝1cm ＋3cm ＝4cm ＝BC ，此时矩形的面积是1cm ×4cm ＝4cm 2；②当AE ＝3cm 时，AB ＝3cm ＝CD ，AD ＝4cm ＝BC ，此时矩形的面积是：3cm ×4cm ＝12cm 2；故选D .例2 (1)由题意，得三口之家应缴购房款为：0.3×90＋0.5×30＝42(万元)； (2)由题意，得①当0≤x ≤30时，y ＝0.3×3x ＝0.9x ；②当30＜x ≤m 时，y ＝0.9×30＋0.5×3×(x －30)＝1.5x －18；③当x ＞m 时，y ＝0.9×30＋0.5×3(m －30)＋0.7×3×(x －m)＝2.1x －18－0.6m.∴y ＝⎩⎪⎨⎪⎧0.9x （0≤x ≤30）1.5x －18（30<x ≤m ）2.1x －18－0.6m （x>m ）(45≤m ≤60)． (3)由题意，得①当50≤m ≤60时，y ＝1.5×50－18＝57(舍)．②当45≤m ＜50时，y ＝2.1×50－0.6m －18＝87－0.6m.∵57＜y ≤60，∴57＜87－0.6m ≤60，∴45≤m ＜50.综合①②得45≤m ＜50.例3 ∵点B 是y ＝kx 和y ＝9x 的交点，y ＝kx ＝9x ，解得：x ＝3k ，y ＝3k ，∴点B 坐标为⎝⎛⎭⎫3k ，3k ，点A 是y ＝kx 和y ＝1x 的交点，y ＝kx ＝1x ，解得：x ＝1k ，y ＝k ，∴点A坐标为⎝⎛⎭⎫1k ，k ，∵BD ⊥x 轴，∴点C 横坐标为3k，纵坐标为13k＝k3，∴点C 坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫3k ，k 3，∴BA ≠AC ，若△ABC 是等腰三角形，①AB ＝BC ，则⎝⎛⎭⎫3k －1k 2＋（3k －k ）2＝3k －k 3，解得：k ＝377；②AC ＝BC ，则⎝⎛⎭⎫3k －1k 2＋⎝⎛⎭⎫k 3－k 2＝3k －k 3，解得：k ＝155；故答案为k ＝377或155.例4 (1)∵∠ABC ＝90°，AP ∥BQ ，∴当AP ＝BQ 时，四边形ABQP 成为矩形，由运动知，AP ＝t ，CQ ＝3t ，∴BQ ＝22－3t ，∴t ＝22－3t ，解得t ＝112.∴当t ＝112时，四边形ABQP成为矩形； (2)当P 、Q 两点与A 、B 两点构成的四边形是平行四边形时，就是(1)中的情形，此时t ＝112.当P 、Q 两点与C 、D 两点构成的四边形是平行四边形时，∵PD ∥QC ，∴当PD ＝QC 时，四边形PQCD 为平行四边形．此时，16－t ＝3t ，t ＝4；当P 、Q 两点与B 、D 两点构成的四边形是平行四边形时，同理，16－t ＝22－3t ，t ＝3；当P 、Q 两点与A 、C 两点构成的四边形是平行四边形时，同理，t ＝3t ，t ＝0，不符合题意；故当t ＝112或t ＝4或t ＝3时，以点P 、Q 与点A 、B 、C 、D 中的任意两个点为顶点的四边形为平行四边形． （3）四边形PBQD 不能成为菱形．理由如下：∵PD ∥BQ ，∴当PD ＝BQ ＝BP 时，四边形PBQD 能成为菱形．由PD ＝BQ ，得16－t ＝22－3t ，解得t ＝3，当t ＝3时，PD ＝BQ ＝13，AP ＝AD －PD ＝16－13＝3.在Rt △ABP 中，AB ＝8，根据勾股定理得，BP ＝AB 2＋AP 2＝64＋9＝73≠13，∴四边形PBQD 不能成为菱形；如果Q 点的速度改变为v cm /s 时，能够使四边形PBQD 在时刻t s 为菱形，由题意得，⎩⎨⎧16－t ＝22－vt ，16－t ＝64＋t 2，解得⎩⎪⎨⎪⎧t ＝6，v ＝2.故点Q 的速度为2cm /s 时，能够使四边形PBQD 在某一时刻为菱形．例5 (1)连结OQ ，∵PN 与⊙O 相切于点Q ，∴OQ ⊥PN ，即∠OQP ＝90°.∵OP ＝10，OQ ＝6，∴PQ ＝102－62＝8(cm )． (2)过点O 作OC ⊥AB ，垂足为C.∵点A 的运动速度为5cm /s ，点B 的运动速度为4cm /s ，运动时间为t s ，∴PA ＝5t ，PB ＝4t.∵PO ＝10，PQ ＝8，∴PA PO ＝PB PQ ＝t2.∵∠P ＝∠P ，∴△PAB ∽△POQ ，∴∠PBA ＝∠PQO ＝90°.∵∠BQO ＝∠CBQ ＝∠OCB ＝90°，∴四边形OCBQ 为矩形，∴BQ ＝OC.∵⊙O 的半径为6，∴BQ ＝OC ＝6时，直线AB 与⊙O 相切．①当AB 运动到如图1所示的位置时，BQ ＝PQ －PB ＝8－4t ，由BQ ＝6，得8－4t ＝6，t ＝0.5.②当AB 运动到如图2所示的位置时，BQ ＝PB －PQ ＝4t －8，由BQ ＝6，得4t －8＝6，t ＝3.5.综上，当t ＝0.5s 或3.5s 时，直线AB 与⊙O 相切．【变式拓展】1．(1)0或－1 (2)4或2 (3)C 2.(1)C (2)D3．根据OC 长为8可得一次函数中的n 的值为8或－8.分类讨论：①n ＝8时，易得A(－6，0)，如图1，∵抛物线经过点A 、C ，且与x 轴交点A 、B 在原点的两侧，∴抛物线开口向下，则a ＜0，∵AB ＝16，且A(－6，0)，∴B(10，0)，而A 、B 关于对称轴对称，∴对称轴为直线x ＝－6＋102＝2，要使y 1随着x 的增大而减小，∵a ＜0，∴x ≥2；②n ＝－8时，易得A(6，0)，如图2，∵抛物线过A 、C 两点，且与x 轴交点A ，B 在原点两侧，∴抛物线开口向上，则a ＞0，∵AB ＝16，且A(6，0)，∴B(－10，0)，而A 、B 关于对称轴对称，∴对称轴为直线x ＝6－102＝－2，要使y 1随着x 的增大而减小，且a ＞0，∴x ≤－2.4．(1)C (2)6或12 (3)12或455.(1)(3，0)或(－1，2)或(3，4) (2)2或6 (3)(2，2)或(－6，－2)或(10，6) (4)2，5，186.(6，2)或(－6，2)【热点题型】【分析与解】(1)∵OB ＝6，C 是OB 的中点，∴BC ＝12OB ＝3.∴2t ＝3，即t ＝32s .∴OE ＝32＋3＝92，E(92，0)． (2)如图1，连结CD 交OP 于点G ，在▱PCOD 中，CG ＝DG ，OG ＝PG ，∵AO ＝PE ，∴AG ＝EG .∴四边形ADEC 是平行四边形． (3)①(Ⅰ)当点C 在线段BO 上时，第一种情况：如图2，当点M 在CE 边上时，∵MF ∥OC ，∴△EMF ∽△ECO.∴MFCO＝EF EO ，即26－2t ＝23＋t，解得t ＝1.第二种情况：如图3，当点N 在DE 边时，∵NF ∥PD ，∴△EFN ∽△EPD.∴FN PD ＝EF EP 即16－2t ＝23，解得t ＝94.(Ⅱ)当点C 在BO 的延长线上时，第一种情况：如图4，当点M 在DE 边上时，∵MF ∥PD ，∴EMF ∽△EDP.∴MF DP ＝EF EP 即22t －6＝23，解得t ＝92.第二种情况：如图5，当点N 在CE 边上时，∵NF ∥OC ，∴△EFN ∽△EOC.∴FN OC ＝EF EO 即12t －6＝23＋t ，解得t ＝5.综上所述，所有满足条件的t 的值为1，94，92，5.②278＜S ≤92或272＜S ≤20.【错误警示】当PD∥BC时，△APD∽△ABC，当PE∥AC时，△BPE∽△BAC，连结PC，∵∠A＝36°，AB＝AC，点P在AC的垂直平分线上，∴AP＝PC，∠ABC＝∠ACB ＝72°，∴∠ACP＝∠PAC＝36°，∴∠PCB＝36°，∴∠B＝∠B，∠PCB＝∠A，∴△CPB ∽△ACB，故过点P的△ABC的相似线最多有3条．故答案为：3.。
高中数学内容复习14—分类讨论思想 必修1 试题
卜人入州八九几市潮王学校高中数学必修内容复习(14)—分类讨论思想一、选择题〔此题每一小题5分，一共60分〕1．用0，1，2，3四个数字组成没有重复数字的自然数，把这些自然数从小到大排成一数列，那么1230是这个数列的 〔〕 A ．第30项B ．第32项C ．第33项D ．第34项2．函数f (x )=3-2|x |，g (x )=x 2-2x ，构造函数F (x )，定义如下：当f (x )≥g (x )时，F (x )=g (x )；当f (x )＜g (x )时，F (x )=f (x )，那么F (x )〔〕A ．有最大值3，最小值-1B ．有最大值3，无最小值C ．有最大值7-2，无最小值D ．无最大值，也无最小值3．从长度分别为1，2，3，4的四条线段中，任取三条的不同取法一共有n 种，在这些取法中，以取出的三条线段为边可组成的三角形的个数为m ，那么mn等于〔〕A .0B ．C ．D ．164．记二项式〔1+2x 〕n展开式的各项系数和为a n ，其二项式系数和为b n ，那么lim n nn n nb a b a →∞-+等于 〔〕A ．1B ．－1C ．0D ．不存在5．过点)2,1(C作直线，使其在坐标轴上的截距相等，那么满足条件的直线的斜率为〔〕A ．1-B ．1±C ．21或-D ．21或±6．设函数，那么的值是〔〕A ．aB ．bC ．a 、b 中较小的数D ．a 、b 中较大的数7．点P 在定圆O 的圆内或者圆周上，圆C 经过点P 且与定圆O 相切，那么动圆C 的圆心轨迹是 〔〕A ．圆或者椭圆或者双曲线B ．两条射线或者圆或者抛物线C ．两条射线或者圆或者椭圆D ．椭圆或者双曲线和抛物线8．假设集合A 1、A 2满足A 1∪A 2=A ，那么称〔A 1，A 2〕为集合A 的一个分拆，并规定：当且仅当A 1=A 2时，〔A 1，A 2〕与〔A 2，A 1〕为集合A 的同一种分拆，那么集合A ={a 1,a 2,a 3}的不同分拆种数是〔〕A.27B.26C.9D.89．函数⎪⎩⎪⎨⎧-=)()()(22为偶数时当为奇数时当，，n n n n n f 且)1()(++=n f n f a n ，那么+++321a a a 100a + 等于 〔〕A ．0B ．100C ．-100D ．1020010．四面体的顶点和各棱的中点一共10个点，在其中取4个点，那么这四个点不一共面的概率为〔〕A ．75 B ．107 C ．3524 D ．7047 11．设双曲线的左、右焦点为1F 、2F ，左、右顶点为M 、N ，假设12PF F 的一个顶点P 在双曲线上，那么12PF F 的内切圆与边1F 2F 的切点的位置是〔〕A ．在线段MN 的内部B ．在线段1F M 的内部或者N 2F 内部C ．点N 或者点MD ．以上三种情况都有可能12．从5位男老师和4位女老师中选出3位老师，派到3个班担任班主任〔每班1位班主任〕，要求这3位班主任中男、女老师都要有，那么不同的选派方案一共有 〔〕A ．210种B ．420种C ．630种D ．840种二、填空题〔此题每一小题4分，一共16分〕13．定义符号函数=x sgn 101⎧⎪⎨⎪-⎩000<=>x x x ，那么不等式：xx x sgn )12(2->+的解集是.14．正ABC ∆的边长为32，那么到三个顶点的间隔都为1的平面有_________个.15．从装有1+n 个球〔其中n 个白球，1个黑球〕的口袋中取出m 个球()N n m n m ∈≤<,,0，一共有mn C 1+种取法。
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。
C B
A
5。△ABC是半径为2cm的圆的
A
C
内接三角3 形，
若BC=2 cm,则角A的度数
是
。
B
C
B
C
6。在Ｒｔ△ABC中，∠C=90，AC=3，BC=4。若以AＣ为圆
心，Ｒ为半径的圆与斜边只有一个公共点，则R的值为多少？
A
A
B
C
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B
C
B
C
A
CHENLI
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7..半径为R的两个等圆外切，则半径为2R且和这两个圆都相切 的圆有几个？
CHENLI
13
（分类讨论）
1、对∠A进行讨论
A 110°
C
20°
20°
A C
20° 20°
A C
80°
20°
80°
A 2021/3/10
B 20°
50° C
B 2、对∠B进行讨论
3、对∠C进行讨论
B A
C
65° 65° 50°
BA C
C
110° 35°
35°
B
50° 50°
BA
CHENLI
B
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与交点坐标。
当a=0时,为一次函数y=3x+1,交13 点为（- ，0）；
当a不为0时,为二次函数y=ax12+(3-a)x+1, △ =a2 -10a+9=0.
3
解得a=1或 a=9,交点为（-1，0）或（ ，0）
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CHENLI
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二.图形位置的分类
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CHENLI
（2）在△QAC中，S=
1 2
QA·DC=12 （
6－t)·12=36－６ｔ
在△APC中，S=
1 2
AP·BC=12 ·２ｔ·６＝６ｔ
D
QAPC的面积S=（３６－6t)+6t=36(cm2)
中考专题复习之二
分类讨论思想
余金耀
2021/3/10
CHENLI
1
浙江省衢州华茂外国语学校 余金耀 2021/3/10
CHENLI
2
一. 数学思想方法的三个层次:
数学一般方法
配方法、换元法、 待定系数法、判别 式法、割补法等
数学思想 和方法
逻辑学中的方 法(或思维方法)
数学思想方法
分析法、综合法、 归纳法、反证法等
∠QOP=∠QPO 设∠OCP=x度 , 则有：
（1）如上图， 当点P在线段OA上时， ∵∠OQC=∠OCP=x,
1
1
∴∠QPO2 =（180－∠OQ2 P）=（180－x)
1
又∠QPO=∠OCP+∠C2 OP，(180－x)=x+30,
解得x=40, 即∠OCP=40度
（2）如果点P在线段OB上，显然有PQ＞OQ，所以点P不可能在
3. 如图，直线AB经过圆O的圆心，与圆O交于A、B两点，点C
在O上，且∠AOC=30度，点P是直线AB上的一个动点（与点O
不重合），直线PC与圆O相交于点Q，问点P在直线AB的什么
位置时，QP=QO？这样的点P有几个？并相应地求出∠OCP的
度数。
C
B
A
OP
解：∵OQ=OC，Q OQ=OP
∴∠OQC=∠OCQ，
∵∠OQC=∠OCQ=x,∴∠OQC=∠QPO+∠QOP,
∴∠QPO=
1 2
∠OQC=
1 2
x,
又∠COA=∠OCP+∠CPO, 解方程30=x+
1 x2 ,
得到x=20 即∠OCP=20度
Q P
B
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CHENLI
C
O
A
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4。在半径为1的圆O中，弦AB、AC3 的长2 分别是 ，
则∠BAC的度数是
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三.与相似三角形有关的分类
8。在矩形ABCD中，AB=12cm，BC=6cm，点P沿AB
边从点A出发向B以2cm秒的速度移动;点Q沿DA边从点D
开始向A以1cm/秒的速度移动。如果P、Q同时出发，用t
秒表示移动的时间（0＜x＜6）那么：
（1）当t为何值时，△QAP为等腰直角三角形？
线202段1/3/O10B上。
CHENLI
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（3）如图，当点Ｐ在的ＯＡ延长线上时，
∵∠OQC=∠OCQ=180－ｘ，
∴∠OPQ=
12（180－x)=
1 x. 2
又∵∠QCO=∠CPO+∠COP，∴180－x=x+30,
B
O
解得x=100 即∠OCP=100度
Q C AP
（4）如图当Ｐ在ＯＢ的延长线上时，
11
如图，线段OD的一个端点O在直线a上，以OD 为一边画等腰三角形，并且使另一个顶点在直线 a上，这样的等腰三角形能画多少个?
Ｄ
Ｈ
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150°
Ｏ
ＣＥ
CHENLI
Ｆa
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在下图三角形的边上找出一点，使得该点与 三角形的两顶点构成等腰三角形！
A 110°
B 20°
50° C
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一.与概念有关的分类
1. 一次函数y=kx+b的自变量的取值范围是
-3≤x≤ 6，，相应的函数值的取值范围是
-5≤y≤-2 ，则这个函数的解析式 。
-5=-3k+b
-5=6k+b
-2=6k+b
-2=-3k+b
解析式为
Y=
1 3
x-4,
或 y=-
1 3
x-3
2. 函数y=ax2-ax+3x+1与x轴只有一个交点，求a的值
分类必须有一定的标准，标准不同分类的结 果也就不同。分类要做到不遗漏，不重复。 分类后，对每个类进行研究，使问题在各种 不同的情况下，分别得到各种结论，这就是 讨论。
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CHENLI
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分类讨论思想
分类讨论是对问题深入研究的思想方法，用分类讨 论的思想，有助于发现解题思路和掌握技能技巧， 做到举一反三，触类旁通。
（2）求四边形QAPC的面积； D
C
Q
提出一个与计算结果有关的结论；
（3）当t为何值时，以点Q、
A
A、P为顶点的三角形与ABC相似？
P
B
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解：对于任何时刻t，AP=2t,DQ=t, QA=6－ｔ，当ＱＡ=AP时，△QAP为等腰直 角三角形，即6－t=2t,解得t=2（秒）
函数和方程思想、分 类讨论思想、数形结 合思想、化归思想等
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分类讨论思想
分类思想是根据数学本质属性的相同点和不 同点，将数学研究对象分为不同种类的一种 数学思想。分类以比较为基础，比较是分类 的前提，分类是比较的结果。
分类的思想随处可见，既有概念的分类：如实数、 有理数、绝对值、点（直线、圆）与圆的位置关系 和两圆相切等概念的分类；又有解题方法上的分类， 如代数式中含有字母系数的方程、不等式；还有几 何中图形位置关系不确定的分类，等腰三角形的顶 角顶点不确定、相似三角形的对应关系不确定等。
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